Аффинная симметрия и проблемы механики ориентируемых жидкостей тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

У/

ф Я 6.

^ /1»

V Ч. '

московский государственный университет

имени М.В. ЛОМОНОСОВА механико-математический факультет

На правах рукописи

ГОЛУБЯТНИКОВ Александр Николаевич

АФФИННАЯ СИММЕТРИЯ И ПРОБЛЕМЫ МЕХАНИКИ ОРИЕНТИРУЕМЫХ ЖИДКОСТЕЙ

01.02.05 - Механика жидкости, газа и плазмы

Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Научный консультант — академик Л. И. Седов

| Президиум ВАК Рос си

(решение от" " £>¥- 19 ¿Уг , № Ж присудил ученую степень,

■¿4^ - наук

Начальник управление ВАК России

МОСКВА — 1998

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ ...................................................................... 3

1. КИНЕМАТИЧЕСКАЯ СИММЕТРИЯ......................................... 13

1.1. Подгруппы Ли группы Лоренца........................................ 13

1.2. Тензорные инварианты подгрупп группы Лоренца.................... 19

1.3. Псевдотензорные инварианты................. ......................... 28

1.4. Подгруппы группы Галилея............................................ 30

1.5. Кинематические симметрии простых жидкостей.......... ............. 33

2. МАТЕРИАЛЬНАЯ СИММЕТРИЯ............................................ 40

2.1. Непрерывные подгруппы линейной унимодулярнои группы..... ....... 40

2.2. Связные подгруппы полной линейной группы.......................... 45

2.3. Линейные группы симметрии с конечным числом связных компонент. 54

2.4. Инвариантные тензоры, определяющие подгруппы......... ............ 61

2.5. Материальная симметрия поверхностного натяжения.................. 63

3. АНИЗОТРОПНЫЕ ЖИДКОСТИ............................................. 68

3.1. Структура, основные свойства и статика жидких кристаллов......... 68

3.2. Гидродинамика и оптические свойства жидких кристаллов............ 80

3.3. Равновесие капли нематического жидкого кристалла........ .......... 90

3.4. Устойчивость сплошных сред с высокой материальной симметрией---- 99

3.5. Устойчивость поверхностных сред............... ...................... 107

3.6. Анизотропно жесткие среды................. .......................... 116

4. ПОВЕРХНОСТНЫЕ СВОЙСТВА МАГНИТНЫХ ЖИДКОСТЕЙ...........121

4.1. Поверхностное натяжение намагничивающихся сред................... 122

4.2. Равновесие капли магнитной жидкости............. .................... 125

4.3. Движение пузырька в магнитной жидкости............................ 128

4.4. Аномальность магнитокапиллярных свойств магнитных жидкостей. .. 130

4.5. Распространение капиллярных волн малой амплитуды................. 137

ЗАКЛЮЧЕНИЕ .................................................................. 140

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ ............................... 144

ВВЕДЕНИЕ

При построении математических моделей механики сплошной среды и теории поля /88, 89, 91/ широко используются алгебраические свойства симметрии, основанные на понятии инвариантности моделей исследуемых физических объектов и процессов относительно различных групп преобразований. Основными задачами теории симметрии являются:

1) построение моделей, инвариантных относительно данной группы симметрии, что обычно связано с выводом инвариантной системы уравнений, конечных, дифференциальных или интегро-дифференциальных, удовлетворяющих определенным законам механики и физики. Группа симметрии модели, в свою очередь, также должна определяться на основании имеющегося в данной области науки экспериментального материала или, во всяком случае, прямо или косвенно ему не противоречить. С наличием группы симметрии связываются многие важные свойства модели, в частности, это может быть определенный тип уравнений или наличие законов сохранения, связанных с дивергентными формами уравнений, возможностями их частичного интегрирования или оценок решений.

2) математическое исследование инвариантности данной модели или класса моделей относительно преобразований, вообще говоря, функциональных, переводящих решение в решение при соответствующих заменах дополнительных условий, а также отыскание инвариантно-групповых решений, что связано с классификацией подгрупп полученной группы симметрии, нахождением их инвариантов и построением упрощенных систем уравнений - подмоделей /81, 82, 83, 59/. При этом полное множество преобразований симметрии часто оказывается шире первоначально заданной группы симметрии модели.

В механике сплошной среды, в которой обычно роль основного параметра механического состояния среды играет дисторсия представляющая собой производные, например, от лагранжевых переменных а = 1,2,3, по эйлеровым координатам материальных точек и времени х\ г = 1,2,3,4, различают две группы симметрии модели - группы кинематической и материальной симметрий.

Группа кинематической симметрии представляет собой множество преобразований переменных хг и ее структура зависит от геометрии пространства-времени и воздействия внешних полей, нарушающих симметрию. Максимальными здесь являются следующие группы: в ньютоновской механике - группа Галилея Г, в специальной теории относительности - группа Лоренца Ь (с учетом сдвигов - группа Пуанкаре), в

общей теории относительности - множество всех гладких невырожденных преобразований четырех переменных.

Наибольшей группой материальной симметрии, определенной, например, как группа симметрии плотности внутренней энергии £ - функции от , является множество всех гладких невырожденных преобразований трех переменных Ее подгруппами являются группы линейных преобразований: ОЬз и более узкая ±5Хз, оставляющая инвариантной плотность среды р и, следовательно, играющая определяющую роль в механике изотропных жидкостей и газов. В теории деформируемых твердых тел максимальной группой материальной точечной (без сдвигов) симметрии принято считать ортогональную группу Оз.

При конструировании моделей сред и полей значительную роль играет классификация допустимых подгрупп одной из максимальных групп симметрии, что связано с описанием всех возможных нарушений симметрии. Ясно, что решение задач сразу в наиболее несимметричной модели сильно усложняет математические методы, часто эффективно использующие при решении свойства симметрии модели в целом. Знание всех подгрупп позволяет постепенно подойти к сильно несимметричным моделям, например, используя малые параметры и асимптотические методы /69/.

Общий подход к исследованию такой иерархии моделей сплошных сред намечается в представленной диссертации путем проведения полных классификаций подгрупп Ли группы кинематической симметрии Ь и группы материальной симметрии ±.5'Ь3 с конечным числом связных компонент, а также описания их инвариантов, входящих в уравнения состояния простых (без производных от и внутренних степеней свободы как дополнительных определяющих параметров) сплошных сред. Дана также классификация связных подгрупп группы ОЬ3 и их инвариантов.

Рассмотрение групп с конечным числом связных компонент, в первую очередь, связано с исследованием возможности задания, что не обязательно, группы симметрии с помощью набора инвариантных тензоров, определяющих анизотропию среды или пространства-времени, что типично для построения моделей механики, во всяком случае, с ортогональными группами материальной симметрии. Группа симметрии любого конечного набора тензоров, как алгебраическая группа /8/, имеет конечное число связных компонент.

Как показывают примеры сред с линейными уравнениями движения, требование гиперболичности системы уравнений (или устойчивости среды по Гиббсу /21, 54, 96/) существенно может сузить класс допустимых групп симметрии. Этот вопрос в общем, нелинейном, случае должен быть исследован дополнительно и содержит в себе, как возможность отсева групп симметрии, почти всегда не допускающих гиперболич-

ности уравнений, так и вывод систем неравенств, налагаемых на термодинамические функции среды и их производные, в случаях допустимых групп.

Проведем краткий обзор имевшихся здесь результатов в рамках механики сплошной среды, не касаясь приложений групп симметрии к теории решеток и теории поля.

Свойства симметрии многогранников, связанных с подгруппами группы Оз, были известны еще в древности. Подгруппы группы движений трехмерного евкли-дового пространства, локально изоморфной однородной группе Галилея, описаны А. П. Котельниковым /66, 84/. Классификация подгрупп группы магнитной симметрии Оз х 1 С Ь (с отражения времени 1) дана А. В. Шубниковым /108, 65/. Непрерывные подгруппы группы Ь найдены Г. И. Кручковичем /67/ и В. Г. Коппом /64/. В последнее время дана и классификация связных подгрупп неоднородной группы Галилея и группы Пуанкаре /102/.

Тензорные инварианты подгрупп группы Оз, как множества тензоров, задающих группу симметрии, так и построение полной алгебры тензорных инвариантов, в частности, целого рационального базиса, исследовались многими авторами (см. обзоры /92, 93, 77, 76/). Полное исследование, связанное с теорией нелинейных тензорных функций, проведено В. В. Лохиным и Л. И. Седовым /77/. Лохиным также найдены инварианты непрерывных подгрупп группы Лоренца /75/.

Подход к построению моделей сплошных сред с аффинной материальной симметрией как подгруппой группы ±5Х3 предложен Б. Д. Колеманом /111/ и К.-К. Ваном /118/, которые также описали ряд анизотропных жидких сред с наиболее известными подгруппами. Согласно этой классификации среды с подгруппами группы материальной симметрии Оз относятся к твердым телам.

При построении всего множества тензорных инвариантов групп, заданных некоторой системой инвариантных тензоров, существенную роль играет ряд общих теорем /85, 86/.

В первой главе диссертации рассматриваются вопросы кинематической симметрии. Путем присоединения дискретных элементов к известным связным подгруппам дана классификация (с точностью до сопряженности) подгрупп группы Лоренца с конечным числом связных компонент. Анализ проводится в рамках спинорного представления группы Ь. Всего здесь с точностью до сопряженности и с учетом конечных подгрупп, сопряженных подгруппам группы Оз х 1, получаем 207 различных типов подгрупп, 76 из которых представлены сериями, зависящими от натурального числа га, и еще 10 - от га и положительного числа к, остальные - одиночные.

На основании этой классификации для каждой подгруппы строится алгебра тензорных инвариантов. Указаны системы образующих тензоров, из которых каждый инвариантный тензор получается операциями тензорной алгебры и свертками с метрическим тензором g пространства Минковского. Таким образом, всего получается 120 типов тензорных алгебр, 45 из которых представляют собой серии, параметризованные натуральным числом п, остальные - одиночные. На этом пути также могут быть построены и алгебры спинтензорных инвариантов /22, 23/.

В некоторых физических проблемах, связанных с действием магнитного поля имеет смысл введения величин, которые кроме тензорного закона преобразования дополнительно меняют знак при отражении времени /92/. Эти величины будем называть псевдотензорами. С помощью задания псевдотензорных инвариантов можно существенно расширить описание подгрупп группы Лоренца, которые нельзя выделить инвариантными тензорами /10/. В частности, таким образом выделяется связная компонента единицы группы Лоренца

Рассматривается действие подгрупп группы Лоренца на множестве всех псевдотензоров, получаемом из алгебры тензоров добавлением, с коммутативным умножением, псевдоскаляра П. Итак, получается еще 49 типов псевдотензорных алгебр, среди которых имеется 24 серии с натуральным параметром п, остальные - одиночные.

Проводится сравнение полученных результатов для подгрупп группы Лоренца с группами преобразований пространства-времени в рамках ньтоновской механики. Существенным обстоятельством здесь является отсутствие невырожденного фундаментального тензора типа g, позволяющего отождествлять четырехмерные тензоры с контравариантными и ковариантными компонентами. Указаны системы инвариантных тензоров, задающих связные подгруппы группы Галилея.

Дано приложение теории кинематической симметрии к простым идеальным жидкостям, подверженным возможному нарушению кинематической симметрии, как средам, инвариантным относительно группы материальной симметрии БЬ3 и одной из связных подгрупп группы Лоренца. Обсуждаются вопросы наличия законов сохранения, связанных с материальной симметрией, и структура канонической формы тензора энергии-импульса. Показано, что именно в силу инвариантности плотности внутренней энергии относительно группы БЬз всегда имеется закон сохранения некоторой обобщенной завихренности, а при ее отсутствии - обобщенный интеграл Коши-Лагранжа.

Во второй главе исследуются вопросы материальной симметрии. Дана полная классификация связных подгрупп группы 5Х3. Классификация проводится стандарт-

ными методами теории алгебр Ли, начиная с канонических типов матриц с нулевым следом, отвечающих одномерным алгебрам, путем последующего увеличения размерности. Группы восстанавливаются с помощью действия матричной экспоненты. Проводится отбор несопряженных подгрупп. Имеется всего 40 типов связных подгрупп, среди которых есть 8 непрерывных однопараметрических серий.

Для каждой подгруппы путем решения соответствующей системы дифференциальных уравнений в частных производных найдены множества инвариантов в шестимерном пространстве симметричных тензоров второго ранга. Тем самым в каждом случае определяется общий вид внутренней энергии среды (без нарушения кинематической симметрии) как функции компонент трехмерного метрического тензора многообразия мировых линий q (в ньютоновской механике - обычного метрического тензора подпространства постоянного абсолютного времени). Показано, что для подгрупп размерности 5 и выше эти инварианты могут совпадать.

Связные подгруппы группы з строятся с помощью присоединения путем известного приема /81/ одномерной группы растяжений В к уже известным подгруппам группы 5Х3, все элементы которых коммутируют с Б. Таким образом, получается всего 99 типов подгрупп, среди которых 23 однопараметрических и 19 двупараметри-ческих непрерывных серий, остальные - одиночные подгруппы.

Вычисляются инварианты подгрупп группы Сг.£3, как функций компонент тензора q, что можно уже сделать алгебраическими методами.

Путем присоединения дискретных элементов к связным подгруппам группы Б Ьз дана классификация подгрупп группы ±5Хз (с определителем, равным ±1) с конечным числом связных компонент. Всего с учетом конечных подгрупп получается 3 серии подгрупп с одним непрерывным и одним натуральным параметрами, 64 серии с непрерывным параметром, 42 серии с натуральным и 371 отдельную подгруппу. Итого 480 типов групп.

Намечен подход к добавлению дискретных элементов к подгруппам группы ОЬз. Проведено наиболее громоздкое описание однопараметрических подгрупп с конечным числом связных компонент.

Добавление дискретных элементов, конечно, существенно не меняет общий вид внутренней энергии, приводя лишь к свойствам типа четности или периодичности, но в конкретных моделях, например при полиномиальной зависимости от q, может существенно уменьшить число ненулевых коэффициентов.

Построены системы инвариантных тензоров, задающих связные подгруппы группы ±¿'¿3, а также те "ключевые" группы, содержащие и дискретные элементы, из которых все остальные подгруппы группы с конечным числом связных ком-

понент получаются постепенным удвоением числа элементов. Тензорные инварианты, задающие остальные подгруппы, в принципе, достаточно легко строятся из указанных систем тензоров с использованием трехмерного тензора Леви-Чивита.

Полные алгебры тензорных инвариантов всех подгрупп группы ±ЗЬ3 можно построить методами, развитыми в главе 1 для подгрупп группы Лоренца.

В связи с приложениями к теории анизотропного поверхностного натяжения проводится полная классификация подгрупп Ли группы вещественных линейных двумерных преобразований 0Ь2, имеющих конечное число связных компонент. Все указанные группы, конечно, содержатся в группе бг£з, классификация подгрупп которой дана выше. Однако в силу громоздкости их отбора проще провести классификацию заново с точности до сопряженности в группе СЬ?, используя применявшиеся ранее приемы.

Указаны все искомые группы и их инварианты в пространстве компонент двумерных симметричных тензоров второго ранга, что отвечает определению общего вида зависимости поверхностной энергии от компонент метрического тензора поверхности. Представлены соответствующие специализации аргументов, связанные с добавлением дискретных симметрии.

В третьей главе диссертации рассматривается механика анизотропных жидкостей. Прежде всего к ним относятся органические среды, называемые жидкими кристаллами, с несферически-симметричным строением молекул, взаимодействие между которыми может приводить к наличию коллективной ориентации среды, проявляющейся в оптических, упругих и гидродинамических свойствах таких жидкостей.

В свою очередь, отдельные, например, стержнеобразные молекулы могут объединяться в слоистые структуры или, нао