Локально транзитивные аффинные и проективные действия в малых размерностях тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Глава 1. КРАТКИЙ ИСТОРИЧЕСКИЙ ОБЗОР

Глава 2. ЛОКАЛЬНО ТРАНЗИТИВНЫЕ ПОДАЛГЕБРЫ АЛГЕБР ЛИ ТРЕХМЕРНОГО АФФИННОГО И ПРОЕКТИВНОГО

ПРОСТРАНСТВ. ОРБИТАЛЬНЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ

2.1. Описание локально транзитивных аффинных действий на М

2.2. Описание локально транзитивных проективных действий на ЕР

Глава 3. ОДНОРОДНЫЕ ПОДМНОГООБРАЗИЯ В ЧЕТЫРЕХМЕРНОЙ

ПРОЕКТИВНОЙ ГЕОМЕТРИИ

3.1. Теоретическое обоснование методики классификации

3.2. Гиперповерхности в проективной геометрии

3.3. Двумерные однородные подмногооборазия

3.4. Одномерные однородные подмногооборазия

Глава 4. ОДНОРОДНЫЕ ПОДМНОГООБРАЗИЯ В ЧЕТЫРЕХМЕРНОЙ

АФФИННОЙ ГЕОМЕТРИИ

4.1. Гиперповерхности в аффинной геометрии

4.2. Двумерные однородные подмногообразия

4.3. Одномерные однородные подмногообразия

4.4. Однородные подмногообразия в четырехмерной эквиаффинной геометрии

4.5. Анализ результатов главы

Глава 5. ОПЕРАТОРЫ ФОРМЫ ТРЕХМЕРНЫХ ОДНОРОДНЫХ

ПОДМНОГООБРАЗИЙ В ЧЕТЫРЕХМЕРНОЙ ЭКВИАФФИННОЙ

ГЕОМЕТРИИ

5.1. Основные понятия теории поверхностей в аффинной дифференциальной геометрии

5.2. Аффинные связности на однородном пространстве

5.3. Аффинные вложения однородных пространств

ВЫВОДЫ 102 Библиография

В конце прошлого века норвежский математик Софус Ли создал теорию "непрерывных групп преобразований", которая позднее стала называться теорией групп Ли. В своих исследованиях Софус Ли отталкивался от понятия действия группы Ли. Он выделил класс транзитивных групп преобразований как класс объектов, которые могут быть изучены конструктивно, так как любая проблема, относящаяся к однородным пространствам, может быть разрешена в явном виде и сведена к классификационной задаче. Софус Ли поставил проблему классификации транзитивных действий и решил ее для малых размерностей (эта проблема, понятно, локально, эквивалентна классификации (с точностью до сопряженности) подалгебр алгебр Ли). Однако, значительная часть работ Софуса Ли так и не была понята его современниками. Это было обусловлено громоздкостью всех сопутствующих вычислений, и отсутствием ясных геометрических построений: в большинстве работ Софуса Ли превалируют аналитические методы. Использование этого материала в математике и физике сводилось в основном к симметрическим пространствам, впервые введенным Эли Картаном. Даже в размерностях 3 и 4, особенно важных для физики, специалистам из других областей иногда приходилось проводить все описания требуемых пространств самим.

В данной работе исследуются только аффинные и проективные действия, наиболее часто встречающиеся в разного рода приложениях. Проводится полная классификация локально транзитивных подалгебр алгебры Ли трехмерного аффинного и проективного пространств, отдельно выделены алгебры, имеющие конечное число орбит и их орбитальные разложения. В работе, используя аппарат групп и алгебр Ли, классифицируются локально однородные подмногообразия в четырехмерной аффинной и проективной геометрии, алгебры симметрий которых имеют размерность, большую размерности подмногообразия, отдельно выделяются подмногообразия с локально транзитивными алгебрами симметрий, а также найходятся операторы формы для локально однородных гиперповерхностей в четырехмерной эквиаффинной геометрии.

Проблема описания подмногообразий в аффинной (проективной) геометрии была поставлена еще в начале века, в дальнейшем были классифицированы различные специальные классы подмногообразий. Безусловно, наиболее интересным случаем, как с математической точки зрения, так и с физической, является однородный случай. Большинство физических моделей являются однородными, и это условие часто 4 является априорным, большинство пространств, появляющихся в различных разделах математики, тесно связанных с приложениями, также являются однородными. Условие однородности является принципиальным и с математической точки зрения, оно позволяет свести задачу к чисто алгебраической, позволяет применить технику теории групп и алгебр Ли, с помощью которой задачу описания однородных пространств можно свести по сути к линейной алгебре.

Теория Софуса Ли создавалась как аналог теории Галуа для дифференциальных уравнений, однако в дальнейшем стали ясны тесные связи этой теории с другими разделами математики (особенно с геометрией), а также с теоретической физикой. В частности, после работ Эли Картана теория групп Ли стала основной составляющей современной дифференциальной геометрии. Вся теория геометрических объектов полностью сводится к теории транзитивных представлений групп Ли.

В диссертации предпринят систематический подход к исследованию однородных пространств в аффинной и проективной геометрии в размерностях 3 и 4, описаны все локально транзитивные аффинные и проективные действия на трехмерном пространстве. Все методы исследований могут быть использованы для случая произвольной размерности. Отметим, что ранее имелись лишь частичные результаты, были описаны некоторые специальные классы подмногообразий, полная их классификация практически не рассматривалась.

Автор выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю профессору Б.П. Комракову за формулировку задачи, полезные замечания и поддержку при выполнении данной работы.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы диссертации. Язык и методы дифференциальной геометрии и, в частности, теории однородных пространств групп Ли и алгебр Ли, проникают во многие области, еще недавно очень далекие от приложений такого рода; они значительно изменили лицо современной математики и физики. Дифференциально-геометрические модели сейчас используются не только в различных разделах математики, но и начинают играть важную роль в классической и квантовой механике, квантовой теории поля и других областях теоретической физики.

Задача описания транзитивных действий, поставленная еще Софусом Ли, локально эквивалентна задаче классификации (с точностью до сопряженности) подалгебр алгебр Ли. Задача описания подмногообразий в аффинной (проективной) геометрии появляется еще в начале века в работах Бляшке и его школы. Решение этих задач важно сегодня как для самой теории, так и для приложений, но еще не были получены полные списки транзитивных действий, не были выписаны все однородные подмногообразия в малых размерностях, хотя именно эти размерности играют главную роль в приложениях.

В работе проводится классификация локально транзитивных аффинных и проективных действий, а также локально однородных подмногообразий в четырехмерной аффинной (проективной, эквиаффинной) геометрии и их алгебр симметрий.

Связь работы с крупными научными программами, темами. Работа над диссертацией проводилась на кафедре математической физики факультета прикладной математики и информатики Белорусского государственного университета в соответствии с темой "Исследование граничных задач для уравнений математической физики" (шифр 713/31), включенной на 1996-1998 гг. в план НИР, выполняемых кафедрой, а также на кафедре высшей математики инженерно-экономического факультета Белорусского государственного технологического университета в соответствии с темой ГБ 109б "Качественное исследование свойств дифференциальных и функционально-дифференциальных уравнений и решение некоторых задач управления и механики", разрабатываемой кафедрой в 1998-2000 годах и являющейся составной частью плана важнейших НИР АН РБ, раздел математической структуры 21.

Цель и задачи исследования. Целью диссертации является описание аффинных и проективных действий в малых размерностях. Сюда включаются следующие задачи: 6

• классификация всех локально транзитивных подалгебр алгебры Ли трехмерного аффинного (проективного) пространства;

• выделение подалгебр, имеющих конечное число орбит, и описание всех конечных орбитальных разложений в трехмерной геометрии;

• классификация локально однородных подмногообразий в четырехмерной аффинной (проективной, эквиаффинной) геометрии, алгебры симметрий которых имеют размерность большую размерности подмногообразия, самих алгебр симметрий и операторов формы в эквиаффинной геометрии.

Методология и методы проведенного исследования. Исследования основаны на использовании свойств алгебр Ли, групп Ли и однородных пространств и носят локальный характер. Особенностью методики, представленной в работе, является применение чисто алгебраических методов описания действий и соответствующих однородных пространств.

Научная новизна и значимость полученных результатов. Все основные результаты диссертации новы. Научная новизна результатов обусловлена следующим. Впервые приведена полная классификация локально транзитивных аффинных и проективных действий на трехмерном пространстве. Впервые получена полная локальная классификация однородных подмногообразий в четырехмерной аффинной, проективной и эквиаффинной геометриях, алгебры симметрий которых имеют размерность, большую размерности подмногообразия, и найдены алгебры симметрий всех этих подмногообразий и операторы формы подмногообразий в эквиаффинной геометрии.

Практическая (экономическая, социальная) значимость полученных результатов. Работа носит теоретический характер. Ее результаты могут найти приложения в различных разделах дифференциальной геомерии, дифференциальных уравнений, топологии, в теории представлений и в теоретической физике. Работа содержит также алгоритмы классификации аффинных и проективных действий, однородных подмногообразий с их алгебрами симметрий и операторами формы. Экономическую значимость полученных в диссертации результатов оценить в настоящее время не представляется возможным.

Основные положения диссертации, выносимые на защиту:

1. Проведена полная классификация локально транзитивных подалгебр алгебры Ли трехмерного аффинного пространства и выделены среди них классы про-ективно эквивалентных.

2. Проведена полная классификация локально транзитивных подалгебр алгебры Ли трехмерного проективного пространства, действие которых не сводится к аффинному.

3. Получены аффинные (проективные) подалгебры, имеющие конечное число орбит и выписаны все конечные орбитальные разложения в трехмерной аффинной геометрии. 7

4. Проведена полная классификация локально однородных подмногообразий в четырехмерной аффинной (проективной) геометрии, алгебры симметрий которых имеют размерность большую размерности подмногообразия.

5. Выделены все локально однородные подмногообразия в четырехмерной аффинной (проективной) геометрии с локально транзитивными алгебрами симметрий.

6. Найдены локально однородные гиперповерхности в четырехмерной эквиаф-финной геометрии и их операторы формы.

Личный вклад соискателя. Все основные результаты диссертационной работы получены автором лично.

Апробация результатов исследования. Результаты, вошедшие в диссертационную работу, докладывались и обсуждались на УП-й Белорусской математической конференции (16-21 октября 1996г., г. Минск), на Всероссийской молодежной научной конференции по матем. моделированию, геометрии и алгебре (1998г., г. Казань), на 63-й Научно-технической конференции БГТУ (1-8 февраля 1999г., г. Минск), на УШ-й Белорусской математической конференции (19-24 июня 2000г., г. Минск), а также на семинарах кафедры уравнений математической физики Белорусского государственного университета и кафедры высшей матетатики Белорусского государственного технологического университета.

Опубликованность результатов. Основные результаты диссертации опубликованы в 9 работах, из них 4 статьи и 5 тезисов докладов на конференциях. Общее количество страниц опубликованных материалов — 45.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, общей характеристики работы, пяти глав, выводов и списка использованных источников из 122 наименований. Объем диссертационной работы составляет 106 страниц машинописного текста.

выводы

1. Проведена полная классификация локально транзитивных подалгебр алгебры Ли трехмерного аффинного пространства и выделены среди них классы проективно эквивалентных;

2. Проведена полная классификация локально транзитивных подалгебр алгебры Ли трехмерного проективного пространства, действие которых не сводится к аффинному;

3. Получены аффинные (проективные) подалгебры, имеющие конечное число орбит и описаны все конечные орбитальные разложения в трехмерной аффинной геометрии;

4. Проведена полная классификация локально однородных подмногообразий в четырехмерной аффинной (проективной) геометрии, алгебры симметрий которых имеют размерность, большую размерности подмногообразия;

5. Получено описание всех локально однородных подмногообразий в четырехмерной аффинной (проективной) геометрии с локально транзитивными алгебрами симметрий;

6. Найдены локально однородные гиперповерхности в четырехмерной эквиаффинной геометрии и их операторы формы.

Результаты этапов 1-3 отражены в работах [34, 35, 37, 102, 33], а результаты этапов 4-6 — в работах [103, 39, 38, 36].

1. Алексеевский Д.В. Группы Ли и однородные пространства // Итоги науки и техники. Алгебра. Топология. Геометрия.- М.: ВИНИТИ АН СССР, 1974.- Т. 11.- С. 37-123.

2. Алексеевский Д.В., Виноградов A.M., Лычагин В.В. Основные идеи и понятия дифференциальной геометрии // Итоги науки и техники. Совр. пробл. мат. Фундамент, направл.- М.: ВИНИТИ АН СССР, 1988.- Т. 28.- С. 5-297.

3. Алшибая Э.Д. Дифференциальная геометрия гиперповерхности в многомерном аффинном пространстве // Труды Тбилисск. ун-та.- 1968.- Т. 129.- С. 319-341.

4. Бланк Я.П., Гормашева И.М. Гиперповерхности Петерсона в Р4 // Укр. геометр, сб.- 1970.-Вып. 9.- С. 20-29.

5. Бляшке В. Введение в дифференциальную геометрию.- М.: Гостехиздат, 1957.- 223 с.

6. Бляшке В. Дифференциальная геометрия и геом. основы теории относит. Эйнштейна I. Элементарная дифференциальная геометрия,- М.-Л.: ОНТИ, 1935.- 330 с.

7. Винберг Э.Б. Группы Ли и однородные пространства // Итоги науки и техники. Алгебра. Топология. 1962,- М.: ВИНИТИ АН СССР, 1963.- С. 5-32.

8. Винберг Э.Б. Инвариантные линейные связности в однородном пространстве // Труды Моск. мат. общества.- I960.- Т. 9.- С. 191-210.

9. Владимиров С.А. Группы симметрий дифференциальных уравнений и релятивистские поля.-М.: Атомиздат, 1979.- 167 с.

10. Гольдберг В.В., Чакмазян A.B. О некоторых классах двойственно нормализованных поверхностей 4-мерного проективного пространства // Comment math. Univ. Carol.- 1972.- Т. 13-N 2,- С. 325-332.

11. Горбацевич В.В., Онищик А.Л. Группы Ли преобразований // Итоги науки и техники. Совр. пробл. мат. Фундамент, направл.- М.: ВИНИТИ АН СССР, 1988.- Т. 20.- С. 103-240.

12. Горбацевич В.В. О трехмерных однородных пространствах // Сиб. мат. ж.- 1977.- Вып. 18.-N 2.- С. 280-293.

13. Гото М., Гроссханс Д. Полупростые алгебры Ли.- М.: Мир, 1981.- 336 с.

14. Движения в пространствах аффинной связности.- Казань: Изд. Казанского унив., 1965.- 205 с.

15. Дынкин Е.Б. Полупростые подалгебры полупростых алгебр Ли // Матем. сборник.- 1952.Т. 30.- Вып. 72.- С. 349-462.

16. Желобенко Д.П., Штерн А.И. Представления групп Ли.- М.: Наука, 1983.- 360 с.

17. Иванова-Каратопраклиева И. Някои диференциально геометрички изледвания върху двупа-раметричните съвкупности от прави в // Годишник Софийск. ун-т Матем. фак., 1966-1967.1968.- Т. 61.- С. 257-267.

18. Картан Э. Геометрия групп преобразований // Геометрия групп Ли и симметрический пространства. Сб. работ,- М.: ИИЛ, 1949.- С. 7-112.

19. Картан Э. Пространства аффинной, проективной и конформной связности.- Казань: Из-во Казанского ун-та, 1962,- 210 с.104

20. Картан Э. Теория конечных непрерывных групп и дифференциальная геометрия, изложенные методом подвижного репера.- М.: Из-во Моск. ун-та, 1963 367 с.

21. Клейн Ф. Высшая геометрия,- М.: ГОНТИ, 1939.

22. Кобаяси Ш. Группы преобразований в дифференциальной геометрии.- М.: Наука, 1986.- 223 с.

23. Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии.- М.: Наука, 1981.- Т. 1.- 344 с.

24. Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии.- М.: Наука, 1981.- Т. 2.- 414 с.

25. Коробенок Е.В. Канонический репер гиперповерхности в 4-мерном проективном пространстве // Тр. 1-й Респ. конфер. матем. Белоруссии, 1964.- Минск: Высшая школа, 1965.- С. 315-315.

26. Лаптев Г.Ф. Инвариантное построение проективно-дифференциальной геометрии поверхности // Докл. АН СССР.- 1949.- Т. 65.- N 2,- С. 121-124.

27. Лаптев Г.Ф. Дифференциальная геометрия погруженных многообразий // Тр. Моск. матем. о-ва.- 1953.- Т. 2.- С. 275-382.

28. Лобода A.B. О классификации аффинно-однородных поверхностей пространства Ж3 в терминах их нормальных уравнений // Воронеж, весен, мат. шк. "Современные методы в теории краевых задач", "Понтрягин. чтения — 9", Воронеж 3-9 мая. Воронеж, 1998.- С. 124

29. Лопшиц A.M. К теории гиперповерхности в (n -I- 1)-мерном эквиаффинном пространстве // Труды семинара по векторному и тенз. анализу. 1950.- Вып. 8.- С. 273-285.

30. Лопшиц A.M. К теории поверхности п измерений в эквицентроаффинном пространстве (п+2) измерений // Труды семинара по векторному и тенз. анализу.- 1950.- Вып. 8.- С. 286-296.

31. Лумисте Ю.Г. К аффинно-дифференциальной геометрии многомерных линейчатых поверхностей // Докл. 3-й Сибирск. конф. по матем. и мех., 1964 Томск: Томск, ун-т, 1964.- С. 195-196.

32. Можей Н.П. Локально транзитивные аффинные действия в малых размерностях // Всероссийская молодежная научная конференция по матем. моделированию, геометрии и алгебре: Тез. докл. конф,- Казань, 1998.- С. 230-234.

33. Можей Н.П. Локально транзитивные аффинные действия в малых размерностях // Доклады HAH Беларуси. Сер. физ.-мат. наук.- 1999.- Т. 43.- N 2.- С. 7-9.

34. Можей Н.П. Локально транзитивные аффинные и проективные действия в малых размерностях // VII Белорусская математическая конференция: Тез. докл. конф., Ч. 1,- Минск, 1996.-С. 163-165.

35. Можей Н.П. Однородные подмногообразия в четырехмерной аффинной и проективной геометрии // VIII Белорусская математическая конференция: Тез. докл. конф., Ч. 1.- Минск, 2000.-С. 153-154.

36. Можей Н.П. Локально транзитивные аффинные и проективные действия в малых размерностях // Труды БГТУ. Серия IV. Физ.-мат. науки и информатика.- 1999.- Вып. 7.- С. 13-17.

37. Можей Н.П. Однородные подмногообразия в четырехмерной аффинной и проективной геометрии // Труды БГТУ. Серия IV. Физ.-мат. науки и информатика.- 2000.- Вып. 8.- С. 12-22.

38. Можей Н.П. Однородные подмногообразия в четырехмерной аффинной и проективной геометрии // Известия вузов.- 2000.- N 7 (458).- С. 1-13.

39. Норден А.П. Краткий курс дифференциальной геометрии.- М.: Физматгиз, 1958.- 244 с.

40. Норден А.П. Пространства аффинной связности.- Москва: Наука, 1976.- 432 с.

41. Норден А.П. Теория поверхностей.- М.: Гостехиздат, 1956.- 259 с.

42. Онищик А.Л. Топология транзитивных групп Ли преобразований.- М.: Физ.-мат. лит., 1995.384 с.

43. Остиану Н.М. О геометрии многомерных поверхностей проективного пространства // Тр. геометр. семинара. Ин-т научн. информ. АН СССР- 1966.- Т. 1.- С. 239-263.

44. Пясецкий B.C. Конечные орбитальные разложения групп аффинных преобразований плоскости // Вопросы теории групп и гомологической алгебры Ярославль: Изд. ЯГУ, 1988.-С. 155-158.105

45. Пясецкий B.C. Оценка числа орбит треугольной группы // Вопросы теории групп и гомологической алгебры Ярославль: Изд. ЯГУ, 1988.- С. 164-167.

46. Пясецкий B.C. Линейные группы Ли, действующие с конечным числом орбит // Функциональный анализ и его приложения.- 1975.- Т. 9.- Вып. 4,- С. 85-87.

47. Пясецкий С.А. Центро-аффинные и аффинные инварианты двумерной поверхности 4-мерного пространства // Уч. зап. Тамбовск. гос. пед. ин-та.- 1957.- Вып. 11.- С. 24-38.

48. Стернберг Ш. Лекции по дифференциальной геометрии.- М.: Мир, 1989.- 339 с.

49. Схоутен И.А., Стройк Д.Дж. Введение в новые методы дифференциальной геометрии. 4.2. Геометрия.- М.: Гос. изд. иностр. лит-ры, 1948.- 348 с.

50. Фавар Ж. Курс локальной дифференциальной геометрии.- М.: Изд. иностр. лит., I960.- 559 с.

51. Фиников С.П. Теория поверхностей.- М.-Л.: ОНТИ, 1934.- 200 с.

52. Фиников С.П. Проективная дифференциальная геометрия.- М.-Л.: ОНТИ, 1937.- 263 с.

53. Чакмазян A.B. О двумерной двойственно нормализованной гиперполосе в 4-мерном аффинном пространстве А4 // Comment math. Univ. Carol.- 1966.- Т. 7.- N 3.- С. 289-295.

54. Чеботарев Н.Г. Теория групп Ли.- М.: Гостехиздат, 1940.- 396 с.

55. Широков П.А., Широков А.П. Аффинная дифференциальная геометрия.- М.: Физматгиз, 1959.- 319 с.

56. Шульмат Т.Д. О гиперповерхности в 4-мерном проективном пространстве // Тр. Моск. ин-та инж. ж.-д. трансп.- 1965.- Вып. 190.- С. 35-44.

57. Abdalla В.Е., Dillen F., Vranken L. Affine homogeneous surfaces in M with vanishing Pick invariant // Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg.- 1997.- Vol. 67.- P. 105-115.

58. Barner M., Walter R. Zur projektiven Differential geometría der Regelflächen im vier dimensionalen Raum // Math. Nachr.- 1969.- Vol. 41.- N 4-6.- P. 191-211.

59. Belin E., Belyankina Z., Mozhei N., et al. Subgroups of GL(3, E) // Lie-Lobachevsky Colloquium. Abstracts Tartu: ISLC, 1992,- P. 12-13.

60. Belin E., Belyankina Z., Mozhei N., et al. Thre^-dimensional isotropically-faithful homogeneous spaces // Lie-Lobachevsky Colloquium. Abstracts Tartu: ISLC, 1992.- P. 16-17.

61. Blaschke W. Sulla geometría proietivodifferenziale dellesuperficie V¡¡ nello spazio P4 // Rend Circolo mat. Palermo.- 1954,- Vol. 3.- N 2,- P. 193-197.

62. Blaschke W. Raumkurven und Schiebflachen // Ber. Ges. Leipzig.- 1919.- Vol. 71.- P. 20-34.

63. Blaschke W. Vorlesungen über Differentialgeometrie II, Affine Differentialgeometrie.- Berlin: Springer, 1923.- 242 p.

64. Cartan E. Sur la connexion affine des surfaces.- Paris: C. R. Acad. Sei.- 1924.- Vol. 178.- P. 292-295.

65. Cartan E. Sur la connexion affine des surfaces developpables.- Paris: C. R. Acad. Sei.,- 1924,- Vol.178.- P. 449-451. ;

66. Changping W. The classification of equiaffme indefinite flat homogeneous surfaces in Ж" // Geom. Dedicata.- 1997.- Vol. 65.- N 3.- P. 323-353.

67. Chizh O., Goncharov I., Mozhei N. Homogeneous spaces and the Monge-Ampere equation // Lie-Lobachevsky Colloquium. Abstracts Tartu: ISLC, 1992.- P. 35-35.

68. Churyumov A., Mozhey N. Subalgebras of gl(n,P) // Lie-Lobachevsky Colloquium. Abstracts -Tartu: ISLC, 1992.- P. 3-5.

69. Darboux G. Theorie des surfaces.- Paris, 1894.- Vol. 3.

70. Demoulin A. Sur la theorie des lignes asymptotiques // Compt. Rend. Acad. Sei. (Paris). 1908.-Vol. 146.- P. 413-415.

71. Demoulin A. Sur la quadrique de Lie // Compt. Rend. Acad. Sei. (Paris). 1908.- Vol. 147.-P. 493-496, 565-568.

72. Dillen F., Sasaki Т., Vranken L. The classification of projectively homogeneous surfaces II // Osaka J. Math.- 1998.- Vol. 35.- P. 117-146.106

73. Doubrov B., Komrakov B., Rabinovich M. Homogeneous surfaces in the three-dimensional affine geometry // Topology and geometry of submanifolds, VIII.- River Edge: World Sei. Publ., 1996.-P. 212-223.

74. Eastwood M.G., Eznov V.V. On affine normal forms and a classification of homogeneous surfaces in affine three-space // Geom. Dedicata.- 1999.

75. Eisenhart L.P. Non-Riemannian Geometry // Amer. Math. Soc. Colloq. Publ.- 1927.- Vol. 8.

76. Favard J. Cours de géométrie différentielle locale.- Paris: Gauthier-Villars, 1957.- 344 p.

77. Fernandez G. Geometria differencial afin hipersperficies // Rev. Union mat. argent, y Asoc. fis.argent.- 1955.- N 17.- P. 29-38.

78. Flanders H. Local theory of affine hypersurfaces // J. Analyse Math.- 1965.- N 15.- P. 353-387.

79. Franck P. Uber paraboloidisehe Flachen // Deutsche Math. Ver. 1914,- Vol. 23,- P. 49-53,343-352.

80. Franck P. Uber die Liesche F2 eines Flachen punktes // Sitzungsber Berl. Math. Ges. 1914-Vol. 13.- P. 110-127.

81. Gauss K.F. Die Teile einer gegebenen Fläche auf einer and eren gegebenen Fläche so abzubilden, dass die Abbildung dem Abgebildeten in den Kleinsten Teilen a linlich wird.- Werke, 1825.- Vol. 4.-S. 189-216.

82. Gauss K.F. Disquisitiones generales circa superficies curvas.- Werke, 1827.- Vol. 4.- S. 222-258.

83. Heinrich W. Guggenheimer. Differential geometry.- New York: McGraw-Hill, 1963.- 234 p.

84. Huili L., Changping W. Centroaffinely homogeneous surfaces in M3 // Beitr. Algebra and Geom.-1994.- Vol. 35.- N 1.- P. 109-117.

85. Jensen G.R. Higher order contact of submanifolds of homogeneous spaces. Lecture Notes in Mathematics,- Berlin-New York: Springer-Verlag, 1977 Vol. 610.- 154 p.

86. Kimpara M. Sur les surfaces plongees dans un espace a connexion projective à quatre dimensions // Tensor.- I960.- T. 10.- N. 1.- C. 61-72.

87. Kimura T., Kasai S., Yasukura O. A classification of the representations of réductive algebraic groups which admit only a finite number of orbits // Amer. J. Math.- 1986.- Vol. 108.- N 3.-P. 643-692.

88. Koch R.M., Lowenthal F. On generating subgroups of the affine group on the plane by pairs of infinitesimal transformations // Rocky Mountain Journal of mathematics.- 1976.- Vol. 6.- N 1.-P. 119-131.

89. Komrakov B., Tchourioumov A., Mozhei N., et al. Three-dimensional isotropically faithful homogeneous spaces.- Preprint / Univ. Oslo.- Oslo., 1993.- N. 35.- 160 p.

90. Komrakov B., Thourioumov A., Mozhei N., et al. Three-dimensional isotropically faithful homogeneous spaces.- Preprint / Univ. Oslo.- Oslo., 1993.- N. 36.- 128 p.

91. Komrakov B., Thourioumov A., Mozhei N., et al. Three-dimensional isotropically faithful homogeneous spaces.- Preprint / Univ. Oslo.- Oslo., 1993.- N. 37.- 164 p.

92. Komrakov B., Tchourioumov A., Doubrov B. Two-dimensional homogeneous spaces.- Preprint/ University of Oslo.- 1993.- N17.- 142 p.

93. Laugwitz D. Zur Differential geometrie der Hyper flächen in Vektor räumen und zur affingeometrischen Deutung der Theorie der Finsler-Raume // Math. Z.- 1957.- Vol 67.- N 1.-P. 63-74.

94. Laugwitz D. Beiträge zuraffinen Flächentheorie mit Anwendungen auf die allgemeinmetrische Differentialgeometrie // Abhandl. Bayer. Akad. Wiss. Math.- Naturwiss Kl., 1959.- N 93.- 59 s.

95. Lie S. Bestimmung aller Flächen, die eine kontinuierliche Schar von projektiven Transformationen gestatten // Gesammelte abhandlungen.- Leipzig: Teubner, 1926.- S. 494-538.

96. Lie S., Engel F. Theorie der Transformationsgruppen.- Leipzig: Teubner. I, 1888.- 632 s

97. Lie S., Engel F. Theorie der Transformationsgruppen.- Leipzig: Teubner. II, 1890.- 554 s

98. Lie S., Engel F. Theorie der Transformationsgruppen.- Leipzig: Teubner. III, 1893.- 830 s107

99. Mostow G.D. The extensibility of local Lie groups of transformations and groups of surfaces // Ann. Math.- 1950.- Vol. 52,- N 3.- P 606-636.

100. Mozhei N. 4-dimensional almost symplectic homogeneous spaces // Lie-Lobachevsky Colloquium. Abstracts Tartu: ISLC, 1992,- P. 19-21.

101. Mozhei N. Low-dimensional locally transitive affine actions // Workshop "Towards 100 years after S. Lie", Kasan, Sept. 7-17, 1998.- Kasan: ISLC, 1998.- P. 26-28.

102. Mozhei N. Homogeneous submanifolds in four-dimensional affine and projective geometries // Workshop "Towards 100 years after S. Lie", Kasan, Sept. 7-17,1998.- Kasan: ISLC, 1998.- P. 28-32.

103. Nomizu K. Invariant affine connections on homogeneous spaces // Amer. Journ. Math.- 1954.-Vol. 76.- N 1,- P. 33-65.

104. Nomizu K., Opozda B. On affine hypersurfaces with parallel nullity // J. Math. Soc. Jap.- 1992.-Vol. 44.-N 4.-P. 693-699.

105. Nomizu K., Pinkale U. Cayley surfaces in affine differential geometry // Tohoku Math. J.- 1989.-Vol. 41.- N 4,- P. 589-596.

106. Nomizu K., Sasaki T. A new model of unimodular-affinely homogeneous surfaces // Manuscripta math.- 1991.- Vol. 73.- P. 39-44.

107. Nomizu K., Sasaki T. Affine differentail geometry.- New York: Cambridge Univ. Press, 1994.- 256 p.

108. Nomizu K., Sasaki T. On the classification of projectively homogeneous surfaces // Results Math.-1991.- Vol. 20.- P. 698-724.

109. Picasso E. Invarianti proiettivo-differenziali di contatto di una superficiedi S4 // Boll Unione mat. Ital.- 1958.- Vol. 13.- N 25.- P. 160-172.

110. Radon I. Die Grundgleichungen der affinen Flachentheorie // Ber. Ges.- 1918.- Vol. 70.- P. 91-107.

111. Ruscior S. Sur une classification affine des hyper supfaces reglees dans un E4 // Bull. cl. sei. Acad.roy. Belg.- 1964.- Vol. 50.- N 3.- C. 309-314.

112. Ruscior S. Desprehipersuprafata característica a unei hiper suprafete riglate din 54 // Bui. Inst. Politechn. Iasl.- 1963.- Vol. 9.- N 3-4.- C. 59-66.

113. Soare N. On vector fields on affine hypersurfaces // Publ. Elektrotehn. fak. Ser. Mat.- Univ. Beogradn, 1997.- Vol. 8.- P. 22-35.

114. Sorace O. Sulle superficiedi 54 aventi cinque iperpiani di Blaschke indipendenti // Atti. Accad. Naz. Lincei. Rend. Cl. sei. fis., mat. e. natur.- 1956.- Vol. 20.- N 4.- P. 452-456.

115. Terracini A. Particolari superficiew dello S5 in relazione con le loro linee principali // Atti. Accad. sei. Torino, Cl. sei. fis., mat. e. natur.- 1955-1956.- Vol. 90.- N 2.- P. 591-603.

116. Transon A. Recherches sur la courbure des lignes et des surfaces // Jörn. Math. Pures at Appl.-1841.- Vol. 6.- P. 191-208.

117. Tzitzeika G. Sur une nouvelle classe de surfaces // Compt. Rend. Acad. Sei. (Paris). 1907.-Vol. 145.

118. Walter R. Über zweidimensionale parabolische Flächen im vierdimensionalen affinen Raum. Teil I, Allgemeine Flächen teorie // J. reine und angew. Math.- 1967.- N 227.- C. 178-208.

119. Walter R. Über zweidimensionale parabolische Flächen im vierdimensionalen affinen Raum. Teil II, Spezielle Flächen // J. reine und angew. Math.- 1967.- N 228.- C. 71-92.

120. Wilczynski E.J. Projective differential geometry of curves and ruled surfaces.- Leipzig: Teubner, 1905.-278 p.

121. Wlodzimierz J. Characterization of affine ruled surfaces // Glasgow Math. J.- 1997.- Vol. 39.- N 1.-P. 17-21.