Исследование некоторых обратимых и необратимых систем на двумерных поверхностях тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В.ЛОМОНОСОВА

Механико - математический факультет

Р Г Б ОД

На правах рукописи

з п ОПТ V335

АНИКЕЕВ ПАВЕЛ ВАЛЕНТИНОВИЧ

УДК 531.01

ИССЛЕДОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ ОБРАТИМЫХ И НЕОБРАТИМЫХ СИСТЕМ НА ДВУМЕРНЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ

Специальность 01.02.01 - теоретическая механика

АВТОРЕФЕРАТ Диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 1995

Работа выполнена на кафедре теоретической механики механико-математического факультета МГУ им. N-В.Ломоносова.

Научный руководитель:

кандидат физико-математических ияук, доцент С.В.Болотин.

Официальные о п и о н е н т и:

доктор физико-математических наук, профессор А.П.Маркееп,

кандидат физико-математических наук Д.Л.Абраров.

Ведущая организация: Вычислительный центр РАН.

Защита диссертации состоится У/! ' '

н 7О часов на заседании Специализированного совета отделения

теоретической механики механико-математического факультета МГУ. Д 053.05.01 но адресу: 1172.14, Москва. Ленинские горы, МГУ. механико-математический факультет, ауд.

С диссертацией можно ознакомится п библиотеке механико-математического факультета МГУ.

~/<У О,

• Автореферат разослан " " 5 995 г.

Ученый секретарь Специализированного совета, доктор физико-математических

наук А.В.Карапетян

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность тем».

Исследованию систем на двумерной сфере методами теории воз-муиений посвящена первая глава диссертации.

Методы теории возмущений получили широкое распространение в теоретических и прикладных исследованиях механики и физики. Однако исследование систем такими методами каждый pan поднимает основную проблему: применить» схему теории возмущении ТйК% чтобы возникающая после применения схеми система имела бы связь с уже известной исследованной или интегрируемой системой.

В диссертации эта проблема решена для класса локально га-мильтоновых систем на двумерной сфере, рассотрены примеры применения построенных алгоритмов.

Особую важность для приложений имеет изучение так называемых гамильтоновых сиистем дифференциальных уравнений. Гамильто-новость системы означает, что при подходящем выборе координат она записывается в виде

p=<?H/dq, ч--ди/др. (1)

где Н - некоторая однозначная функция, называемая гамильтонианом, р называются обобщенными импульсами, a q - обобщенными координатами системы. Как правило в механике пространство (p,q)

обобщенных координат и скоростей, называемое фазовым, появляется *

Kat Т М кокасательное расслоение к конфигурационному многообразию М .

Классикам были известны результаты о связи между интегралами и локальной структурой динамических систем. Например, а работах Биркгофа было показано, что наличие условного интеграла (производная в силу системы которого обращается в 0 только на фиксированном уровне энергии H=h) линейного по импульсам связано с существованием скрытой циклической координаты, а наличие условного квадратичного интеграла связано с существованием скрытых

разделенных переменных. Глобальные варианты этих результатов были получены В.В.Козловым.

Кроме того, Э. (Тетер была установлена связь между интегралами и однопараметрическими группами диффеоморфизмов конфигурационного пространства. В последнее время В.В.Козловым была обнаружена интересная связь между интегралами гэмильтоновой системы и топологией конфигурационного пространства . В частности, из его результатов следует, что если род двумерного замкнутого ориентируемого многообразия больше единицы, то не существует дополнительного полиномиального по импульсам интеграла геодезического потока на этой поверхности.

Однако, еще классиками Якоби, Ли, Пуанкаре было замечено, что понижать порядок системы дифференциальных уравнений помогает не* только ее интеграл, но и так называемые тензорные инварианты системы уравнений (например, инвариантная мера).

Так С.Ли рассматривал наряду с фазовым потоком системы дополнительную однопараметрическую группу диффеоморфизмов фазового пространства, переводящую траектрии фазового потока исходной системы в себя. Им было доказано, что при определенных условиях, налагаемых на эту группу, она помогает понизить порядок системы дифференциальных уравнений. Векторное поле, соответствующее этой группе. Ли называл полем симметрий, а группу - группой симметрии системы дифференциальных уравнений.

В работах В.В.Козлова и С.В.Болотина выявлена тесная связь между наличием полей симметрий и интегралами в системе. Также выявлены интересные связи между наличием полей симметрий и топологическими и геометрическими характеристиками системы. Эта связь обсуждается также в первом параграфе второй главы диссертации .

Йемене с важен вопрос о разработке новых методов интегрирования различных систем. Вопрос о понижения порядка системы при помощи полей симметрий является классическим. Р связи с отим

становится актуальной задача о классификации полей симметрии. В диссертации эти вопросы обсуждаются для обратимых систем на двумерных поверхностях. Научная повинна.

1. Получены условия на потенциальную функцию на сфере необходимые для того, чтобы все орбиты движения точки по сфере в поле сил с таким потенциалом были -замкнуты.

э

2. Построена общая схема теории возмущений локально гамильтоновых систем на сфере, приведены примеры применения.

3. Проведена классификация полей симметрии второй степени обратимых систем на двумерной сфере.

4. Решена задача о связи между полями симметрии четной степени и однозначными интегралами геодезических потоков на горе для метрик в классе тригонометрических полиномов.

Практическая ценность. Полученные п диссертации результаты могут быть использованы при решении актуальных задач механики (движение твердых тел п жидкости, движение точки о магнитном поле), а также для изучения и построения методов интегрирования различных систем.

Апробация работы. Результаты работы неоднократно докладывались на семинаре "Динамические системы классической механики" кафедры теоретической механики МГУ. Руководители семинара: доктор физико-математических наук, профессор В.В.Козлов, кандидат физико-математических наук, доцент С.В.Болотин.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах (5,2).

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения и двух глав, содержит 67 страниц текста. Список цитируемой литературы включает 13 работы.

Содержание работы. Во введении выделен круг вопросов, охваченных диссертацией.

дан облор литературы но теме диссертации. Кратки излагается основное содержание глав диссертации.

Известны результаты о изоморфизме некоторых задач динамики твердого тела и задач о движении точки по сфере (эллипсоиду). Методы теории возмущений представляют другой, "неточный" вид изоморфизмов. Например можно показать, что если геодезический поток на сфере возмущать силой, допускающей потенциал в виде квадратичной формы декартовых координат (задача Неймана в случае движения с большой скоростью), то такая система в первом порядке метода усреднения является волчком Эйлера. Очевидно подобный изоморфизм происходит при нулевом уровне интеграла площадей. Естественно поставить вопрос о подобной соответствии для других уровней интеграла. Здесь возникают определенные трудности, связанные с тем, что подлежащая усреднению система оказывается га-мильтоновой лишь локально. Отсюда вытекает и общая постановка задачи об алгоритме усреднения локально гамильтоновых систем,

В п.1 рассматривается гамильтонова система на 5", представляющая собой возмущенное движение точки по инерции магнитным нолем и потенциальной силой с потенциалом в виде квадратичной формы. Ставится задача об отыскании такого возмущения магнитным полем. что усредненная система при этом представляет собой интегрируемую задачу динамики твердого тела (случай Вольтерра). Для этого, пользуясь тем, что возмущающее поле можно рассматривать как возмущение стандартной симплектической структуры, строится схема теории возмущений на основе алгоритма Депри-Хорн-Ли. Получившееся поле оказывается полем магнитного диполя.

В п.2 решается задача о построении схемы теории возмущений для локально гамильтоновых систем. Конкретнее, аналогично предыдущему случаю, рассматривается задача о возмущении геодезического потока на сфере полем магнитного монополя как задача о возмущении симплектической структуры. Предложенная схема на основе алгоритма Депри-Хори-Ли сводит систему с симплектической структурой вида

0+8«^. где 0 - стандартная симилектическая структура, а да^ - поле монополя, к системе со структурой вида П+6м?, где теперь - произвольное магнитное поле .

В последнем параграфе первой главы делается попытка методом усреднения продвинутся в решении следующей задачи В.В.Козлова: для каких потенциалов на все орбиты движения соответствующей системы замкнуты?

Для решения поставленной задачи строится аналог классической схемы теории нозмущений, основанной на исследованиях представления группы 2<0(з) на пространстве функций на 5". Здесь вместо тригонометрических гармоник используются сферические функции. Показано, что потенциал должен быть нечетной функцией и получены условия на коэфициенты разложения потенциала на сферические гармоники.

Замечание ■ Метрики на сфере, все геодезические которых замкнуты, можно получить путем деформации стандартной метрики, которая определена нечетной функцией на сфере . В работах Гийе-мша было показано, что любая нечетная функция определяет такую деформацию. Вторая глава посвящена изучению полей симметрии обратимых систем на двумерных,поверхностях. В н.1 получено утверждение о'нолях симметрии второй степени на из которого следует, с учетом результатов В.Н.Колокольцова. поная классификация полей симметрии второй степени в случае непостоянной тождественно гауссовой кривизны.

В п.2 продолжено изучение полей симметрии второй степени по 2

импульсам на 5 , но для систем более общего вида: допускается наличие потенциальной силы. Оказывается теорема п.1 верна п точности и для таких систем.

В п.З решается задача, поставленная в одной работе В.В.Козлова и С.В.Болотина . В этой работе доказана следующая теорема:

•п-2

Теорема : Если геодезический поток на 1 имеет не-тривиальное поле симметрии степени п. то найдется многознач-

ный полиномиальный по импульсам интеграл степени не выше п. Кроме того, если п нечетно, то существует однозначный интеграл, если же п четно, то однозначный интеграл существует всегда, кроме случаев, когда конформный множитель Л удовлетворяет уравнению:

¿2Л

= сЛ 1 п Л ,

где с - постоянная, ненулевая в с.лучае многозначности полиномиального интеграла.

Спрашивается, имеет ли это уравнение решения отличные от А=оопз1 и периодические по ч^ и я ? Показано, что в классе тригонометрических полиномов таких решений нет.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Аникеев П.В. О полях симметрии геодезических потоков на дву мерной сфере.- Вестник ИГУ, сер. матем.(в печати)

2. Аникеев П.В. О полях симметрии обратимых систем.- Регулярная и хаотическая динамика, 1495 г., вып.1