О непрерывном продолжении локально гомеоморфных симплициальных отображений R2 в RP1xRP1 посредством сигма-процессов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ имени В. А. СТЕКЛОВА

ОД

1 : 1] На правах рукописи

I , . УДК 515.17

Делл' Л'гчио Франческо

О НЕПРЕРЫВНОМ ПРОДОЛЖЕНИИ ЛОКАЛЬНО ГОМЕОМОРФНЫХ СИМПЛИЦИАЛЬНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ К2 В ИР1 X ИР1 ПОСРЕДСТВОМ ^-ПРОЦЕССОВ

01.01.01 - математический анализ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 1998

Работа выполнена в Математическом институте им. В. А. Стекпова РАН.

Научный руководитель - академик РАН, профессор А. Г. Витушкин

Официальные оппоненты - доктор физико-математических наук,

профессор ■ А. Г. Сергеев

кандидат физико-математических наук К. Ю. Федоровский Ведущая организация - Московский педагогический государственный университет им. В. И. Ленина

Защита диссертации состоится " АЦ_"_/ЛЛ&К/_1998 г. в /4- О-О

часов на заседании специализированного Ученого Совета Д 002.38.03 при Математическом институте им. В. А. Стеклова по адресу: 117966, ГСП-1, Москва, ул. Губкина, 6.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке института. Автореферат разослан " М-, " 1998 г.

Ученый секретарь специализированного совета доктор физико-математических наук

В. А. Ватутин

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Пусть Р(х,у), Q(x,у) —- полиномы от переменных X, у с комплексными коэффициентами и F = (/', Q) — отображение С2 в С2, порожденное этими многочленами. Обозначим через J(F) якобиан отображения F, т.е.

= ÖP3Q _ opoçi

Ох ду ду Ох

Известная гипотеза о якобиане требует доказать обратимость отображения F при условии

J(F) = const, ф 0.

Эта гипотеза была сформулирована Келлером 1 в 1939г.

Имеются разнообразные подходы к этой задаче, которые привели к большому количеству частных результатов, некоторые из которых представляют самостоятельный интерес. По этой тематике было написано два обзора 2 ■ 3.

Якобиан J(F) — это многочлен от х, у, коэффициенты которого есть билинейные функции от коэффициентов многочленов Р и Q. Условие J(F) = const, ф 0 означает, что все эти билинейные функции, кроме одной, равны нулю, и это порождает большое число соотношений на коэффициенты многочленов Р и Q. Анализ этих соотношений позволяет доказать, что для многочленов Р и Q небольшой степени гипотеза о якобиане справедлива, т. е. в этом случае отображение обратимо. Это верно для многочленов степени меньше чем 100 4.

С другой стороны, анализ этой системы соотношений позволяет построить серию примеров необратимых рациональных отображений с по-

lKeller О.Н., Ganze Cremona - Transformationen, Moiiatsh. М>'И.Ь. muí Pilis. 47 (1939), 299-305.

"Vitushkm A. G. On polynomial transformation of С", in Manifolds (Tokyo,1973), Tokyo Univ. Press, Tokyo, 1975, 415-417.

3Bass H., Conneil E.H., Wright D., The Jacobian Conjecture: réduction of degree and formal expansion of the inverse, Bull. Amer. Math. Soc., 7 (1982), 287-330..

4Moh T.-T. On the Jacobian Conjecture and the configuration of roots, .1. Reine Aiigew. Math., 340 (1983), 140-212.

стоянным (ненулевым) якобианом. Ряд таких примеров построен А. Г. Ви-тушкиным. В этих примерах получается так, что если степень рационального отображения велика, то на кривой ветвления обратного отображения имеются особые точки типа каспа (здесь и далее под каспами понимаются особые точки на кривой, задаваемые локальным уравнением степени > 3). Поэтому естественно предположить, что и в возможном контрпримере в задаче о якобиане это свойство (наличие каспов) имело бы место. Доказательство этой гипотезы было бы хорошей подсказкой при" поиске контрпримеров в проблеме о якобиане. Этот вопрос остается открытым, но в некоторых аналогичных постановках задачи о локально гомеоморфных отображениях К2, как будет видно ниже, ответ на него отрицателен. Изучение этого вопроса является основным предметом данной диссертации.

Наряду с алгебраическими методами (имеется в виду, в частности, анализ вышеуказанной системы уравнений) имеется значительный цикл работ, основанных на топологических методах. Суть топологического подхода состоит в следующем. Пространство С2 пополняется конечным набором римановых сфер (5,) до компактного комплексного многообразия М таким образом, чтобы задающие отображение полиномы Р(х, у), (¿(х,у) можно было продолжить до непрерывного отображения всего М в СР1 х СР1. Добавленные сферы 5, образуют дерево, т. е. они либо не пересекаются, либо пересекаются трансверсально и в каждой точке не более, чем по две. При этом оказывается, что для каждой из этих сфер выполняется одно из двух: либо одна из отображающих функций тождественно на всей сфере равна бесконечности, либо обе эти функции во всех точках сферы, быть может кроме одной, принимают конечные значения (при этом указанная обособленная точка переводится в точку, лежащую на бесконечности пространства

СР1 х СР1).

Обозначим через М открытое подмногообразие М. состоящее из точек. в которых обе продолженные функции Р и <3 принимают конечные значения. Пара (М, Р) будет разветвленным накрытием над С2, если исключить из М те сферы набора (.9,-), которые переводятся отображением Р в точку, лежащую в С2 (см. ниже). Множество точек, в которых ото-

бражение F\j~j локально гомеоморфно, будем называть регулярной частью накрытия (Л/, F) и обозначать через М'. Регулярная часть состоит из С2 и конечного числа комплексных кривых, гомеоморфных С1. Каждая из этих кривых является проколотой сферой из набора (Si). Множество М \ М' состоит из конечного числа кривых, изоморфных С1, на которых отображение F имеет ветвление, а также из тех сфер набора (5,), которые отображением F стягиваются в точку, лежащую в С1. Ясно, что из доказательства отсутствия накрывающей с такими свойствами следовал бы положительный ответ в гипотезе о якобиане.

Попытки доказать гипотезу о якобиане, используя лишь некоторые топологические свойства полиномиальных отображений, желаемого результата не дали. Это показывают примеры накрытий над С2 и над открытым шаром в С2, построенные А. Г. Витушкиным 5 и С. Ю. Орев-ковым 6. Отметим, что в этих двух примерах на кривых ветвления обратного отображения каспов нет, но это не опровергает гипотезу о каспах, упомянутую на с. 2, поскольку в этих случаях нет компактификации накрывающих поверхностей посредством дерева сфер, которая имеет место в случае полиномиальных отображений.

Весьма интересен еще один пример Оревкова 7. В связи с гипотезой о каспах отметим также, что в данном примере кривая ветвления обратного отображения имеет касп.

Отметим результат С. И. Пинчука 8 об отображениях, задаваемых полиномами с вещественными коэффициентами, и пример В. А. Зорича необратимого симплициального отображения RР2 на двумерную сферу, которое локально гомеоморфно в R2 С RF2 и переводит бесконечно удаленную окружность в окружность (неопубликовано).

Вещественным аналогом гипотезы о каспах является следующая ги-

5Витушкин А.Г., Некоторые примеры в связи с задачей полиномиальных преобразований С", Изв. Акад. Наук СССР, Сер. Мат., 35 (1971), 2G9-279.

60ревков С.Ю. Диаграммы Рудольфа и аналитическая реа^гизация примера Ви-nu/viKima., Мат. Зам., 60 (1996), в. 2, 206-224.

7Оревгов С.Ю., Один пример в связи с гипотезой о якобиане. Мат. Зам., 47 ¡199(1), в. 1, 127-136.

sPinchuk S. A counterexample to the strong real Jacobian conjecture. Math. Z., 217 (1994), 1-4

потеза: гладкое двумерное многообразие, состоящее из одной открытой двумерной клетки и конечного числа открытых одномерных клеток, не допускает собственного гладкого отображения в К2, которое имело бы не более чем складки вдоль одномерных клеток. Примеры Зорича и Пин-чука не опровергают эту гипотезу; например, для отображения Зорича, хотя кривая ветвления обратного отображения и не имеет особых точек, само отображение имеет две точки типа сборки над К2 (подробнее см. п. 1.2 диссертации).

Цель работы. Цель этой работы — изучение возможности продолжения локально гомеоморфных симплициальных отображений 1К2 в связи с проблемой обращения полиномиальных преобразований С2 с постоянным якобианом.

Научная новизна. Основные результаты работы являются новыми.

1. Построен пример двумерного открытого многообразия М, состоящего из одной открытой двумерной клетки и трех открытых одномерных клеток, и собственного гладкого отображения Р : М —> К2, локально гомеоморфного на двумерной клетке и имеющего не более чем складки вдоль одномерных клеток.

2. Доказано, что этот пример продолжается до симпяициального отображения из некоторой компактификации К2 в К/31 х К.Р1, которое в топологическом смысле во многом похоже на полиномиальное отображение. Указанная компактификация осуществляется посредством дерева из 18 окружностей. Построенное отображение является локальным гомеоморфизмом на К2, а его особенности над К2 С КР1 х ЕР1 оказываются простыми складками без каких-либо изолированных особых точек. Построенный пример показывает, что сформулированная выше гипотеза Витушкина о каспах на особых кривых отображения, обратного к полиномиальному, не верна без условия полиномиальности отображения.

Методы исследования. В работе используются общие методы комплексного анализа и комбинаторной топологии.

Теоретическая и практическая ценность. Диссертация носит

теоретический характер. Результаты могут быть использованы для продвижения к решению гипотезы о якобиане.

Апробация работы и публикации. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на объединенном семинаре по комплексному анализу отдела Теории функций комплексного переменного Математического института им. В.А. Стеклова и кафедры теории функций и функционального анализа механико-математического факультета Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова. Основные результаты диссертации опубликованы в двух статьях, список которых представлен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения и двух глав, первая глава разделена на 5 параграфов, а вторая глава — на 6 параграфов. Она снабжена оглавлением, списком рисунков из 8 наименований и списком литературы из 16 наименований. Текст работы изложен на 63 страницах.

Содержание диссертации

Во введении коротко приводится формулировка гипотеза о якобиане (в случае двух переменных) и излагаются факты, из которых возникла тема настоящей работы.

В первой главе диссертации строится один пример в связи с гипотезой Витушкина о каспах. А именно, доказывается следующее утверждение:

Утверждение 1.1. Существуют двумерное открытое многообразие М, состоящее из одной открытой двумерной клетки и из трех открытых одномерных клеток, и собственное отображение F : М —> R2, обладающие следуюгцгили свойствами:

1. F локально гомеоморфно на даумерной клетке;

2. »близи всякой точки любой одномерной клетки и подходящей, системе локальных координат F имеет вид: F(x,y) = (x.yk). где А: = 1 или 2;

3. Р переводит каждую одномерную клетку на -кривую в К2, которая при подходе к хондам клетки уходит о бесконечность вдоль некоторого асимптотического направления.

В п. 1.2 приведена конструкция вышеупомянутого примера Зорина.

В п. 1.3 доказывается, что при некоторых дополнительных ограничениях на структуру накрытий над К2 накрывающие отображения оказываются обратимыми. А именно, доказывается следующее утверждение:

Утверждение 1.2. Пусть М — многообразие, состоящее из одной открытой двумерной клетки и конечного набора открытых одномерных клеток ..., '„}• Тогда гладкое собственное отображение Р : М —» К2 такое, что дли любого » = 1,..., п:

- вблизи всякой точки /,• в подходящей системе локальных координат отображение Р имеет вид: (х, у) н->• (х,ук), к = 1 иди2;

- — прямая в К2;

___. п

не может быть локально гомеоморфно на М \ (У ¡-¡).

3 = 1

Доказательство этого утверждения использует известную технику уста

ранения складки .

Вероятно, предыдущий результат верен и в случае, когда образы одномерных клеток являются произвольными вложенными кривыми (без точек самопересечения). Отсюда и возникла идея построения контрпримера к гипотезе Витушкина о кастах: искомое накрытие строится над К1 так, чтобы две из трех входящих в поверхность М одномерных клеток, вдоль которых отображение Р имеет складку, спроектировались на кривые, имеющие точки •самопересечения. Эта идея описывается в п. 1.3, а в п. 1.4 формально определяются элементы конструкции и доказывается утверждение 1.1.

Вторая глава посвящена проблеме непрерывного продолжения накрывающего отображения Р : М —> К2, построенного в гл. I, на некоторую

9Цишанг X., Фогт Э., Колдевай Х.-Д-, Поверхности « разрывные группы, пер. с англ. - М: Наука, 1988.

компактификацию М, с помощью конструкции, аналогичной регуляризации полиномиального отображения посредством а-процессов. А именно, изучается возможность пополнения многообразия М до компактного многообразия М, являющегося топологическим объединением К2 и конечного числа окружностей, и продолжения Р до непрерывного отображения Р : М —у КР1 х КР1. Отметим, что в случае полиномиального отображения указанная система окружностей образует одномерное дерево. Первая окружность — это бесконечно удаленная окружность в КР2; в каждой точке неопределенности отображения на этой окружности выполняется <т-процесс; если на новых полученных окружностях имеются точки неопределенности, то процедура повторяется. Процедура объявляется законченной тогда, когда точек неопределенности не осталось и тем самым отображение непрерывно продолжается на построенное дерево. Нетрудно убедиться в том, что всякие две окружности полученной системы либо не пересекаются либо имеют лишь одну точку пересечения. Окружпость дерева будем называть концевой, если она пересекается лишь с одной из прочих окружностей дерева. Окружность дерева будем называть отмеченной, если она является концевой и пересекающаяся с ней окружность в процессе построения дерева появилась раньше, чем она сама.

В п. 11.1 приведены необходимые для дальнейшего определения и сведения о топологии раздутия многообразий, заимствованные из известных монографий.

В п. 11.2 сформулирован основной результат второй главы и диссертации, составляющий следующее утверждение.

Утверждение ПЛ.-Поверхность М, построенная в главе I, вкладывается в замкнутую поверхность М, состояпьую из одной двумерной клетки и конечного набора окружностей, образующих дерево, причем:

(а) двумерная клетка поверхности М при указанном, вложении го-меоморфно отображается на даумерную клетку поверхности М, а одномерные клетки М отображаются в отмеченные окружности дерева М так, что каждая накрывает соответствующую

отмеченную окружность целиком, кроме одной точки, которая является точкой пересечение с другой окружностью дерева;

(б) отображение Р можно выбрать таким, что оно непрерывно продолжается на всю поверхность М, и продолжение Р обладает следующими свойствами: г) на трех из отмеченных окружностей дерева отображение Р действует так: оно переводит всю окружность, кроме точка пересечения с другой окрг/жностмо дерева, в конечную часть КР1 х ЕР1, т. е. в К2, а точку пересечения — в точку (оо, оо); Н) каждая из оставшихся отмеченных окружностей гомеоморфпо переводится в одну из окружностей {х = оо}, {у = с»} из КР1 х КР1, а все неотмеченные окружности стягиваются в точку (оо,оо).

Доказательство этого утверждения получено посредством общей конструкции, предложенной автором, которая позволяет относительно всякой наперед заданной открытой поверхности выяснить, вкладывается ли она в замкнутую поверхность вышеуказанного специального вида.

А именно, в п. П.З, в связи с задачей о пополнении открытой поверхности, состоящей из одной двумерной клетки и конечного числа открытых одномерных клеток, до поверхности, состоящей из одной открытой двумерной клетки и конечного числа окружностей, приведены две леммы о многоугольном представлении таких поверхностей. Полезность этого представления состоит в том, что в процессе склейки отождествляемых сторон многоугольника, каждая одномерная клетка (в случае открытой поверхности) и соответственно каждая окружность (в случае замкнутой поверхности) порождается одной или несколькими парами ребер, что и позволяет решить вышеуказанную задачу о пополнении.

Лемма 11.1. Всякая открытая поверхность Л4, состоящая из одной двумерной клетки и конечного набора одномерных клеток ..., 1Р, может быть получена из некоторого правильного 2р-уголъника УУ без вершин, со сторонами разбитыми на пары, склеиванием интервалов каждой пары и при этом каждая одномерная клетка получается склейкой интервалов одной из пар.

Пусть М. обозначает произвольную замкнутую поверхность, состоящую из Е2 и дерева окружностей Еь . .., Е,,. Нетрудно убедиться в том, что точки пересечения окружностей делят дерево на четное число одномерных клеток /],..., поэтому М представляется правильным многоугольником, число сторон которого кратно 4, По аналогии с леммой 11.1, для таких замкнутых поверхностей имеет место следующая

Лемма 11.2. Замкнутая поверхность ЬЛ может быть получена из правильного Ад-угольника У\', стороны которого разбиты на пары, отождествлением сторон в каждой паре; при этом выполняются следующие условия:

1. внутренности .многоугольника сопоставляется двумерная клетка поверхности М., т. е. пространство Е2;

2. каждая из клеток I^ получается склеиванием сторон в одной из пар многоугольника;

3. каждая точка пересечения двух окружностей дерева получается склеиванием четырех вершин многоугольника.

В п. 11.4 приводится одна конкретная, необходимая для дальнейшего изложения, схема построения нормальной формы записи поверхности, а именно определение поверхности с помощью последовательности символов, и в этих терминах решается вопрос о вложении открытой поверхности в замкнутую поверхность специального интересующего нас зида.

Пусть заданы две последовательности символов аг — а2„, 61 — Ьг„, элементы которых разделены на пары. Эти последовательности будем называть эквивалентными, если, располагая каждую из них по окружности и, если необходимо, обращая ориентацию и изменяя начало отсчета для элементов одной из этих двух последовательностей, мы можем добиться следующего: для всякой пары {а;,а^} элементы />;, Ь^ также образуют пару, причем 6; = Ь, в том и только в том случае, когда а,- = а,.

Пусть теперь заданы две поверхности: поверхность М (см. лемму 11.1) и поверхность М (см. лемму 11.2). Пусть задано вложение Ф :

АЛ .М. Будем называть это вложение регулярным вложением, если оно гомеоморфно переводит двумерную клетку М на двумерную клетку М, а всякую из одномерных клеток {/,} в какую-либо отмеченную окружность из дерева и при этом образ одномерной клетки накрывает соответствующую отмеченную окружность целиком, за исключением точки, которая является точкой пересечения с другой окружностью дерева. Будем считать, что каждая из поверхностей М, М задана в нормальной форме, т. е. им сопоставлены некоторые последовательности символов УУ, УУ.

Лемма 11.3. Поверхность М. регулярно вкладывается в поверхность /А, если в последовательности УУ можно указать эквивалентную УУ подпоследовательность, состоящую из символов, соответствующих отмеченным окружностям дерева.

В п. 11.5 сначала строится специальная поверхность, дающая требуемую компактификацию накрытия, построенного в главе I. А именно, строится поверхность М такая, что пара поверхностей М, М удовлетворяют условиям леммы-И.З. Для этого задается дерево окружностей {5,-, ,г посредством точек пересечения принадлежащих ему окружностей

«2 —~ Я »2 ^ »2 —й —

и, после вычисления индексов самопересечения окружностей 5",, ,-2 ...,-4, находится нормальная форма записи соответствующей поверхности с помощью техники, разработанной в предыдущем параграфе 11.4. Затем доказывается пункт б) утверждения 11.1, а именно, доказывается, что отображение Р из М в К2, после простой замены координат в образе, непрерывно продолжается до отображения всей поверхности М в КР1 х КР1. Чтобы описать это продолжение, мы указываем как движется образ точки Р при монотонном обходе этой точки один раз вдоль фиксированной окружности большого радиуса в двумерной клетке К2 С М- Движение точки Р можно понимать как движение точки вблизи дерева, при котором вдоль каждого из интервалов дерева точка проходит дважды: с одной

стороны от интервала при первом проходе, и с другой стороны — при втором (возможно, в разных направлениях). Основной трудностью при выборе топологии компактифицирующего дерева окружностей является согласование направлений движения образа Р при таких обходах.

В последнем параграфе второй главы мы вновь возвращаемся к гипо-

у

тезе о каспах на особых кривых. В связи с этим мы обсуждаем некоторые примеры необратимых рациональных отображений с постоянным якобианом, построенные А. Г. Витушкиным.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю академику А. Г. Витушкину за постановку задачи и руководство работой.

Список РАБОТ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Делл'Аччио Ф., Контрпример к одной гипотезе, связанной с проблемой о якобиане, Мат. Зам., 58 (1995), в. 3, 452-455

2. Делл'Аччио Ф., О непрерывном продолжении локально гомеоморф-ных симплициальных отображений К2 в себя посредством <т-процессов, Мат. Зам., 59 (1996), в. 6, 821-831

Подписано в печать Заказ Ш±07 Тираж ±00

Типография издательства «Нефть и газ»