Исследование некоторых обратимых и необратимых систем на двумерных поверхностях тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В.ЛОМОНОСОВА Мехам ихо - математический факультет

1а ипчнау т-гопнги

( . !

1 лш(К1;1:1! плпг.ч г.ллпгптотк ■ /, ►

УДК >.11.01

ИССЛЕДОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ ОВРАТИМЫХ И НЕОБРАТИМЫХ СИСТЕМ НА ДВУМЕРНЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ

''н.,'!.|||.-1 ч.мюсгь 01.02-0! - 1 г о рет имо с к а " тчлии«

ЛР,ТОРКФН\\Ч Н и 1 V. е ртн и ии ил < <>ис к чпио >чвнчй птисни кандидата физико-математических на\к

(У

Москва 1996

Работа выполнена на кафедре теоретической механики механико-математического факультета МГУ им. М.В.Ломоносова.

Научный руководител ь:

кандидат физико-математических наук, доцент С.В.Болотин.

Официальные оппоненты:

доктор фичико-математических наук, профессор А.П.Маркееп.

кандидат физико-математических наук Д.Л.Абрарон.

Ведущая организация: Вычислительный центр РАН.

"16" ФЕВРАЛЯ 1996 г.

Защита диссертации состоится

н 11) часов на заседании Специализированного совета отделения теоретической механики мечанико-математического факультета МГУ Д 053.05.ОТ по адресу: 117234, Москва. Ленинские горн, МГУ. механико-математический факультет, ауд. !С" Ю ■

С диссертацией можно ознакомится в библиотеке механико-математического факультета МГУ.

Автореферат разослан " " СЧ'СТ/.-б^и^Я- 5 995 г.

(

Ученый секретарь Специализированного совета, доктор физико-математических наук

Д.В.Трещев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы.

Исследованию систем на двумерной сфере методами теории вот мучений лосвятена первая глава диссертации.

Методы теории вочмущсний получили широкое распространение п теоретических и прикладных исследованиях механики и физики. Однако исследование систем такими методами каждый рач поднимает основную проблему: применять сгему теории возмущений так» чтобы иозниклющач после применения схемы система имела бы снизь с уже известной исследованной или интегрируемой системой.

В диссертации эта проблема решена для к л «с с л "опально га-мильтонопых систем на двумерной сфере, рассотрены примеры применения построенных алгоритмов.

Особую важность для приложений имеет изучение так называемых гамильтоновых сиистем дифференциальных уравнений. Гамильто-новость системы означает, что при подходящем выборе координат он« чаоиснвяетск в пиле

/<>ц , ц-г-'^и/^р. (!)

где Н - некоторая одночничная функция, начинаемая гднильтипиа-чом, р начынаготся обобщенными импульсами, а ч ~ обобщенными координатами системы. Как правило с механике пространство (р,ч) о(5оощенннх координат и скоростей, называемое фачовнм. появляется каь Т М кокасательное расслоение к конфигурационному многообразию м .

Классикам были игтестиъ; речультлтм о спяпи между инте( ралами и локальной структурой динамических систем. Например, н работах Биркгофа было показано, что наличие условного интеграла (проичаодная в силу снстсмм которого ойращается в 0 только на фиксированном уровне энергии !)-!1) линейного по импульсом епччано с существованием скрытой циклической координаты. а наличие условного квадратичного интеграла счяпано с сущестиопанием скрытых

разделенных переменных. Глобальные варианты этих результатов были получены Р.В.Козловым.

Кроме того, Э.Нетер была установлена связь между интегралами и однопараметрическими группами диффеоморфизмов конфигурационного пространства. В последнее время В.В.Козловым била обнаружена интересная связь между интегралами гамильтоновой системы и топологией конфигурационного пространства . В частности, из его результатов следует, что если род двумерного замкнутого ориентируемого многообразия больше единицы, то не существует дополнительного полиномиального по импульсам интеграла геодезического потока на этой поверхности.

Однако, еще классиками Якоби, Ли. Пуанкаре было замечено, что понижать порядок системы дифференциальных уравнений помогает не' только ее интеграл, но и так называемые тензорные инварианты системы уравнений (например, инвариантная мера).

Так С.Ли рассматривал наряду с фазовым потоком системы дополнительную одноиараметрическую группу диффеоморфизмов фазового пространства, переводящую трнектрии фазового потока исходной системы в себя. Им было доказано, что при определенных условиях, налагаемых на эту группу, она помогает понизить порядок системы дифференциальных уравнений. Векторное поле, соответствующее этой группе. Ли называл полем симметрии, а группу - группой симметрии системы дифференциальных уравнений.

В работах Л.П.Козлова и С.В.Болотина выявлена тесная спяль между наличием полей симметрии и интегралами в системе. Также выяпленн интересные связи между наличием полей симметрии и топологическими и геометрическими характеристиками системы. Эта связь обсуждается также г» первом параграфе второй главы диссертации .

Неменее важен вопрос о разработке новых методов интегрирования различных систем. Вопрос о понижении порядка системы при помощи полой симметрий является классическим. I» связи с чтим

становится актуальной задача о классификации полей симметрия. В диссертации эти вопросы обсуждаются для обратимых систем на двумерных поверхностях. Научная новизна.

1. Получены условия на потенциалы^'!« функцию на сфере необходимые для того, чтобы все орбиты движения точки по сфере и поле сил с Таким потенциалов были тймклуты.

2. Построена общая схема теории возмущений локально гашиыончшд систем на сфере, приведены примеры применения.

3. Проведена классификация полей симметрии второй степени oOpartl-

4Mv еиеткм на диумерной сфере .

4. Решена задача о связи между полями симметрии четной степени и однозначными интегралами геодезических потоков на торе для метрик в классе тригонометрических полиномов.

Практическая ценность. Полученные п диссертации результаты могут быть использованы при решении актуальных задач механики ( '(вижепие гиерди" тел п жидкости, движение точки в магнитном поле ) . н тчкАе цля изучения и построения ««гтодоп <ште! («цимыини

p,i' I'! ичдых си с ге м .

А и роба ни я работы . Ре чул ьта I'M раОотм неоднократно доклндыин-чись нп семинаре "Линачические chi vi«мм классической механики" кафедры теоретической механики МГУ. Руководители семинара: доктор фиоики - mu'i емач ических наук, профессор П . Я . Концов , кандидат Физико-математических наук, доцент С.В.Волотин.

Осионные r>e jyjibTaTvi диссепт.щим опуб 'жкопаны п c.'Uhi ¡л:< [1,2].

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения и дпуч |лап. сод'-ртнт 77 страниц текста. Список цитируемой читера i'.vpi.i включает Тб работ .

Содержание работ». Во введении выделен круг вопросов, охваченных диссертацией.

дан обзор литературы но чем« диссертации. Кратко излагается основное содержание глав диссертации.

Ипнестны результаты о изоморфизме некоторых задач динамики твердого тела и задач о движении точки по сфере (эллипсоиду). Методы теории возмущений представляют другой, "неточный" вид изоморфизмов. Например можно показать, что если геодезический ноток на сфере возмущать силой, допускающей потенциал в виде квадратичной формы декартовых координат (задача Неймана в случак движения с большой скоростью), то такая система в первом порядке метода усреднения является волчком Эйлера. Очевидно подобный изоморфизм происходит при нулевом уровне интеграла площадей. Естественно поставить вопрос о подобном соответствии для других уровней интеграла. Здесь возникают определенные трудности, связанные с тем, что подлежащая усреднению система оказывается га-мильтоноиой лишь локально. Отсюда вытекает и общая постановка задачи об алгоритме усреднения локально гамильтоиовых систем.

В п.1 рассматривается гамильтонова система на S", представляющая собой возмущенное движение точки по инерции магнитным полем и потенциальной силой с потенциалом и виде квадратичной формы. Ставится задача об отыскании такого возмущения магнитным полем. что усредненная система при этом представляет собой интегрируемую задачу динамики твердого тела (случай Вольтерра). Для этого, пользуясь тем, что возмущающее поле можно рассматривать как возмущение стандартной симплектической структуры, строится схема теории возмущений на основе алгоритма Депри-Хори-Ли. Получившееся поле оказывается полем магнитного диполя.

В п.2 решается задача о построении схемы теории возмущений для локально гамильтоиовых систем. Конкретнее, аналогично предыдущему случаю, рассматривается задача о возмущении геодезического потока на сфере полем магнитного монополя как задача о возмущении симплектической структуры. Предложенная схема на основе алгоритма Депри-Хори-Ли сводит систему с симплектической структурой вида

Q+£wo. где D - стандартная симплектнческая структура, a w^ - поле монополя, к системе со структурой вида O+Sw, где теперь w - произвольное магнитное поле.

У» последнем параграфе первой главы делается попытка метолом усреднения продвинутся в решении следующей чадами В.Ts.Коолопп: для каких потенциалов на ^ все орбиты движения cooiuc го нующей с и с г е м ы "I а м к н vт ы ?

Для решения постявленной задачи строится аналог классической схемы п.'ирии ночмущений, основанной на неслсдошиших ир-с/Н-тапле-ния группы S<D(3> на пространстве функций на S". Здесь вместо тригонометрических гар.'^оннг иополтлукугсч сферические функции. Показано, что потенциал должен быть нечетной функцией и получены условия на коэфициенты разложения потенциала на сферические гармоники.

Замечание ■ Метрики на сфере, все геодезические которых замкнуты, можно получить путем деформации стандартной метрики, которая определена нечетной функцией на сфере . В работах Гийе-

мшш было покачано, что любая нечетная функция определяет такую

деформацию, вторая глада пос-нишена и ичсиию полей симметрии

обратимых систем на двумерных ионе ¡г.; костях . Ö и.! получено у гс 2

пержденне о нолях симметрии второй степени на > . ш которого следует, с учетом ре п'льг'дтов П. И . Колокольное« . поная гласгифи-кация полой симметрии нторой степени ч случае непостоянной го.к-дестпенно гауссовой кривизны.

H U.2 продолжено изучение полей симметрии второй ст»иеои по

<г- ?

импульсам на э> , но для систем боле« общего вида: доиусь ;>■;■ ,( я наличие потенциальной силы. Оказывается теорема л.1 верна л точности H ДТП T4KIÎY ¡'«СТРЧ,

П н.3 решается задача, пос гкилениая п о,той работе И. Р. Козлова и С.В.Гюлотинч . В зтой работе доказана следующая теорема:

2

Теорема : Коли геодезический ноток на и имеет не-трипиальное поле симметрии степени п. то найдется многознач-

ный полиномиальный по импульсам интеграл степени не выше п. Кроме того, если п нечетно, то существует однозначный интеграл, если же п четно, то однозначный интеграл существует всегда, кроме случаев, когда конформный множитель Л удовлетворяет уравнению;

*2к =сД 1п Л ,

где с - постоянная, ненулевая в случае многозначности полиномиального интеграла.

Спрашивается, имеет ли это уравнение решения отличные от Л^сопэ! и периодические по и ч^? Показано, что в классе тригонометрических полиномов таких решений нет.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Аникеев П.В. О полях симметрии геодезических потоков на дву мерной сфере,- Вестник МГУ, сер. матем.(в печати)

2. Аникеев П.В. О полях симметрий обратимых систем.- Регулярная и хаотическая динамика, 1995 г., вып.1