Нелинейные и непрерывные квантовые измерения с частичной селекцией тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.01 ВАК РФ

I Введение

1 Теория косвенных измерений.

2 Непрерывные квантовые измерения.

II Анализ изменения состояния объекта в результате косвенных измерений.

3 Однократные косвенные измерения.

3.1 Учет вырожденного спектра наблюдаемой КСС.

3.2 Учет приближенного измерения наблюдаемой КСС.

3.3 Учет влияния корреляции.

4 Непрерывные косвенные измерения.

4.1 Описание используемого подхода.

4.2 Уравнение эволюции состояния объекта при непрерывном косвенном измерении.

4.3 Решение уравнения.

4.4 Обсуждение результатов.

5 Влияние непрерывного измерения на эволюцию квантового осциллятора.

5.1 Изменение параметров гауссова состояния осциллятора при измерении.

5.2 Эволюция дисперсий координаты, импульса и их корреляции при измерении.

5.3 Изменение средних значений координаты и импульса после выхода на стационарный режим.

5.4 Обнаружение силового детерминированного воздействия на объект.

III Нелинейные комбинации координаты и импульса.

Проблемы соответствия и измеримости.

6 Квантовые особенности операторов, соответствующих произведению координаты и импульса и их квадратов.

6.1 Отрицательная квантовая величина, соответствующая положительной классической наблюдаемой.

6.2 Неклассические свойства оператора Л2.

6.3 Собственные векторы оператора Лт и Л2.

6.4 Распределение плотности вероятности собственных значений операторов Л-1 и Л2.

6.5 Примеры распределения плотности вероятности.

6.6 Неклассичность функции W(A).

7 Проблема описания фазы квантового осциллятора.

7.1 История вопроса.

7.2 Оператор фазы Пегга и Барнетта.

7.3 Квантовые особенности оператора фазы Пегга-Барнетта.

7.4 Проявление цикличности Ф, при расчетах средних значений.

7.5 Применение аппарата квантовой теории измерений к оператору фазы Пегга-Барнетта.

8 Выводы

А Оператор редукции, соответствующий стандартной схеме измерения.

В Приближенное измерение наблюдаемой КСС.

С Выражение для матрицы плотности p(t + St) в пределе N —» ос.

D Матричное представление гауссовых состояний.

Е Поведение параметров гауссова состояния объекта при непрерывном измерении.

Е.1 Анализ изменения параметров v^ и vyi.

Е.2 Зависимость параметра от f,(t) и f(t) в стационарном режиме.

Развитие квантовой теории измерений (КТИ) началось одновременно с возникновением квантовой теории. В дальнейшем интерес к ней то возрастал, то угасал. Возникновение КТИ обычно отсчитывают от выхода классической работы фон Неймана [1]. в которой был сформулирован постулат о редукции. В это же время было введено понятие косвенного измерения [2] (см. также [5]). Было достигнуто понимание того, что теория измерения в квантовой теории имеет фундаментальное значение, а не играет вспомогательную роль, как в классической физике. Более того, была предложена формулировка квантовой механики, аппарат которой был основан на аксиоматике теории измерений [4].

Вместе с тем, достигнутые успехи не нашли в то время практического применения, поскольку задачи, решаемые в экспериментальной физике того периода, включали рассмотрение огромных ансамблей квантовых частиц. Решение этих задач требовало лишь знание вероятностных характеристик этих ансамблей, для получения которых требовалось только умение решать уравнение Шредингера относительно волновой функции или матрицы плотности, а рассмотрение редукции квантового объекта оказывалось излишним. В связи с этим в развитии квантовой теории измерений возник некоторый застой.

Интерес к квантовой теории измерений вновь вспыхнул после изобретения квантовых генераторов оптического и СВЧ диапазонов. Возникшая потребность в решении задач, связанных с приемом квантовых электромагнитных сигналов, инициировала разработку квантовой теории оценивания [б, 7, 8]. Был развит математический аппарат неортогональных измерений [8, 9], который. в отличие от постулата о редукции фон Неймана, позволяет рассматривать приближенные неповторяющиеся квантовые измерения, а также дает возможность рассматривать одновременное оценивание нескольких взаимно некоммутируюших наблюдаемых.

Дальнейшие успехи экспериментальной физики сделали возможным формирование и поддержание в течение заметного времени таких состояний макроскопического объекта, в течение которых его квантовые неопределенности превышают все остальные [10]. Наблюдаемые подобного объекта могут быть измерены повторно. В связи с этим на первый план выходит вопрос об изменении в результате измерения квантового состояния объекта, а также о величине возмущения его наблюдаемых. В частности, вводится понятие обратного действия ("back action") измерительного прибора на объект и невозмушаюгцего измерения (см. [11, 12]).

Следующим важным направлением развития теории квантовых измерений стал продолжающийся в течение последних десятилетий поиск подходов к описание непрерывных квантовых измерений (НКИ) [15, 17, 39, 40, 41]. Развитие данного направления кроме практических результатов позволило прояснить некоторые принципиальные вопросы. В частности было достигнуто понимание того, как при измерении происходит процесс декогеренции, то есть исчезновение в матрице плотности объекта недиагональных членов. Различные подходы к описанию НКИ рассмотрены далее подробнее.

Целью настоящей работы является развитие квантовой теории измерений в части нелинейных и непрерывных измерений с целью приближения ее к условиям реальных экспериментов, в частности:

• анализ процесса однократного косвенного измерения и изменения состояния объекта в результате однократного косвенного измерения в общем случае, когда состояние квантовой считывающей системы (КСС) является смешанным, измерение наблюдаемой КСС является приближенным, а спектр измеряемой наблюдаемой КСС - вырожденным;

• анализ изменения состояния квантового объекта, наблюдаемая которого подвергается непрерывному косвенному измерению, при условии приближенного измерения наблюдаемой КСС, произвольного чистого состояния КСС и инерционности регистрирующей части прибора;

• исследование вопроса о соответствии квантовых эрмитовых операторов физическим наблюдаемым и возможности сопоставления теоретическому измерению реального физического измерения;

• применение методов квантовой теории измерений к исследованию квантовых особенностей эрмитовых операторов, соответствующих классическим наблюдаемым.

Диссертация состоит из трех частей, выводов и приложений.

Первая часть носит характер теоретического введения. Она состоит из двух глав. В главе 1 данной части рассмотрены основные положения теории однократных косвенных измерений. В главе 2 рассмотрены основные подходы и результаты теории непрерывных измерений.

Вторая часть посвящена обсуждению тонкостей механизма косвенных измерений. Она состоит из трех глав. В главе 3 данной части произведено обобщение известных формул для состояния после однократного косвенного измерения [12, 11] на случай приближенного измерения наблюдаемой КСС, смешанного состояния КСС, а также вырожденной измеряемой наблюдаемой КСС. В главе 4 результаты главы 3 использованы для исследования эволюции состояния квантового объекта, находящегося под непрерывным косвенным измерением. С помошью предельного перехода выведено диффернциаль-ное уравнение, описываюшее эволюцию данного объекта. Используемый метод позволяет учесть приближенность измерения наблюдаемой КСС, с помошью которой осуществляется слежение, корреляцию наблюдаемых КСС, отличие состояние КСС от гауссова, а также инерционность регистрирующей части прибора, приводящая к конечности полосы пропускания. Найдено решение данного уравнения, обсуждены его следствия. В главе 5 результаты главы 4 использованы для исследования особенностей изменения состояния гармонического осциллятора и свободной частицы, находящихся под действием детерминированной классической внешней силы, координата которых непрерывно измеряется.

Третья часть посвящена изучению вопроса о сопоставлении физическим величинам эрмитовых операторов в квантовой теории, а также о соотношении классического и квантового представления об окружающем мире. Она состоит го двух глав. Рассмотрены два типа наблюдаемых: наблюдаемые, которые являются производными от уже известных и хорошо изученных величин (на примере алгебраических комбинаций координаты и импульса), и наблюдаемые, имеющие самостоятельный физический смысл (на примере фазы гармонического осциллятора). В первой главе данной части производится рассмотрение странных с классической точки зрения свойств эрмитовых операторов. соответствующих классическому произведению координаты, импульса и их квадратов. Найдена система их собственных векторов и собственных значений, а также получено выражение для плотности вероятности этих значений в заданном состоянии. Во второй главе рассмотрена задача об измерении наблюдаемой, соответствующей эрмитову оператору фазы Пегга-Барнетта, с помощью применения аппарата квантовой теории измерений. Показано, что попытка измерить данную величину приводит к физически абсурдному результату.

Опишем обозначения, используемые в диссертации.

1. обычные числа: а, Ь, А, В. а, /3, .:

2. эрмитовы операторы, соответствующие наблюдаемым: А. В. Ф, Л, х. р.

3. векторы состояния: l^), •••;

4. собственные векторы: |а), \ф), \п), \т), .;

5. матрицы плотности состояния: p. Q. .;

6. скалярное произведение: (ф\ф). (^ИЮ

7. коммутатор: [А, В] = Ав - В А;

8. антикоммутатор: {А, В} = Ав В А;

9. линейные операторы, действующие в гильбертовом пространстве ограниченных эрмитовых матриц:

А.}р = {А,р}

-i[A, ]р = -i[A, р] Н[А = -г[А, -i[A,.]]p = -[i, [А,р\] ехр[-{А ,}]р = (1 - {Л,.} + ,})2 + .)р и т.п.:

10. квантер произведения П • будучи применен к семейству некоммутируj=1 - ' югцих операторов {А,}, обозначает произведение, в котором операторы упорядочены слева направо в соответствии с возрастанием индекса j:

J[Aj = AiA2.An; квантер произведения П обозначает произведение, в котором операторы упорядочены слева направо в соответствии с убыванием индекса j:

П Aj = AnAn^.Ay,

11. оператор временного упорядочения Т:

Техр\I A{t')dt'} = Шп exp[i(tn)Ai].exp[A(i2)Ai] exp[.4(^)At];

At = tj = iAt: n

12. реальная и мнимая часть произвольного оператора или комплексного числа:

Ща} = а + а* R-R+ а-а*

Глава

Теория косвенных измерений.

В отличие от классической физики, где теория измерения в большей мере является прикладной дисциплиной, в квантовой механике теория измерений с самого начала ее развития носит принципиальный характер. В классической физике возможность совместного измерения любого набора физических величин может быть ограничена лишь техническими трудностями, в то время как в квантовой механике совместное точное измерение таких величин, как координата и импульс, принципиально невозможно в силу основных законов квантовой теории.

Положивший начало квантовой теории измерений постулат о редукции [1] дает ответ на вопрос о том, что происходит с состоянием объекта в результате измерения. Согласно постулату фон Неймана при получении в процессе измерения наблюдаемой X результата измерения Х]г объект после измерения окажется в состоянии . причем вероятность получить данный результат измерения Wk равна

Wk = IW)I2, где |Ф) - начальное состояние объекта. В более обшей формулировке [11] можно говорить о том. что процесс измерения описывается действием на состояние объекта оператора являющимся проектором на подпространство собственных векторов оператора X. Описываемое им преобразование является неунитарным, в то время, как все эволюционные преобразования, подчиняющиеся лежащему в основе квантовой механики уравнению Шредингера [21], являются унитарными. Здесь выявляется еше одна особенность квантовой теории измерений - невозможность описать процесс измерения наблюдаемой квантового объекта, не выходя за рамки законов квантовой механики.

После измерения закон эволюции объекта может остаться тем же, что и до эволюции, а может претерпеть коренные изменения, в ходе которых объект оказывается связанным с другими квантовыми объектами или даже переходит в качественно другое состояние (например поглощенный фотопластинкой фотон при измерении его координаты). В зависимости от этого говорят об измерениях первого или второго рода [12] (косвенных или прямых). Теория измерений первого рода была разработана Мандельштаммом [2] и получила название теории косвенных измерений. Согласно ей прибор, реализующий измерение первого рода или косвенное измерение, должен включать в себя квантовое звено - т.н. квантовую считывающую систему (КСС), непосредственно взаимодействующую в течение конечного времени с объектом измерения, и классическую часть, в которой по окончании взаимодействия осуществляется редукция КСС. В зависимости от выделенного в КСС под ансамбля делается вывод о значении измеряемой наблюдаемой объекта.

Информация, принимаемая КСС от объекта, определяется гамильтонианом взаимодействия объекта и КСС. Чтобы эта информация относилась к конкретной наблюдаемой объекта, гамильтониан взаимодействия должен быть функцией этой наблюдаемой. Кроме того, желательно, чтобы сразу по окончании взаимодействия значение наблюдаемой оставалось тем же самым, что и до взаимодействия. Конечно, если измеряемая наблюдаемая не является интегралом движения, она может измениться в результате свободной эволюции. Однако если предположить, что время взаимодействия с прибором много меньше характерного времени эволюции, а гамильтониан взаимодействия много больше собственного гамильтониана объекта, в большинстве случаев этим изменением можно пренебречь. Тогда условие неизменяемости измеряемой наблюдаемой равносильно тому, что гамильтониан взаимодействия не зависит от некоммутирующих с ней наблюдаемых. Это означает, что гамильтониан взаимодействия диагонален в собственном представлении измеряемой наблюдаемой, в простейшем случае пропорционален ей. Впервые мысль о том. что при измерении гамильтониан взаимодействия должен быть пропорционален измеряемой наблюдаемой, была высказана еще фон Нейманом [1]. Измерение с гамильтонианом, пропорциональным измеряемой наблюдаемой, получил название стандартной схемы измерения. Если же измеряемая наблюдаемая является еще и интегралом движения, измерения носят название невозмушаюших. Особенности невозмушаюших измерений, а также способы их реализации были подробнейшим образом исследованы [11].

Любой измерительный прибор должен включать классическое звено, в котором происходит деквантизация, то есть преобразование квантового сигнала в классический [12]. Деквантизация включает в себя декогеренпию состояния КСС. В процессе деквантизации происходит элиминация элементов совместной матрицы плотности объекта и КСС, которые не являются диагональными в представлении измеряемой наблюдаемой КСС. Этот процесс является необратимым. После этого совместное состояние объекта и КСС представляет собой смесь состояний, каждое из которых является произведением собственного состояния измеряемой наблюдаемой КСС на некоторую матрицу плотности объекта, зависящую от начального состояния объекта.

Следующий этап преобразования состояния объекта может варьироваться в зависимости от вида измерения. Различаются измерения: селективные, неселективные и частично селективные. При селективном измерении производится выделение из полученной смеси состояния, соответствующего конкретному результату измерения У наблюдаемой КСС (и соответственно оценке а наблюдаемой .А). Состояние объекта после селективного измерения [9, 2, 12]

ЛУ) = . (1.1)

7У[ЯЧУ)Л(УШ определяется результатом измерения и выражается через начальное состояние объекта с помощью оператора редукции R(Y).

Приведенная формула справедлива в случае чистого исходного состояния КСС, случай смешанного исходного состояния КСС рассмотрен далее. При селективном измерении происходит сужение исходного распределения измеряемой наблюдаемой объекта. Изменение состояния, описываемое постулатом о редукции фон Неймана, соответствует селективному измерению.

При неселективном измерении не производится разделение смеси в соответствии с результатом измерения. Смесь остается в исходном состоянии. Состояние после неселективного измерения может быть представлено как смесь состояний после селективных измерений, соответствующих различным значениям наблюдаемой КСС: р = J W(Y)p(Y)dY. (1.2)

После такого измерения распределение наблюдаемой объекта А совпадает с исходным, однако некоммутируюшие с А наблюдаемые оказываются возмущенными.

При частично селективном измерении разделение смеси производится, однако разделение в данном случае соответствует не точному измерению наблюдаемой КСС, а получению ее приближенной оценки. Прибором производится выделение из смеси некоторой подсмеси состояний в соответствии с близостью "нумерующих" их значений наблюдаемой КСС к полученной приближенной оценке наблюдаемой КСС. Именно случай частично селективных измерений составляет предмет изучения данной диссертационной работы.

Взаимодействие с прибором от взаимодействия с квантовыми объектами отличает необратимость процесса декогеренции. Этот, в настоящее время хорошо изученный [17], процесс вызван взаимодействием с макроскопическим числом степеней свободы классического звена прибора. Суть его заключается в том, что каждая альтернатива, соответствующая конкретному значению измеряемой наблюдаемой КСС, в результате взаимодействия с классическим звеном оказывается завязана с некоторым состоянием, описываемым макроскопически большим числом параметров. Эти состояния макроскопически различимы, то есть их скалярное произведение близко к нулю, причем было показано, что оно убывает экспоненциально по времени взаимодействия КСС с классическим звеном (показатель экспоненты пропорционален числу степеней свободы). Процесс декогеренции теоретически обратим, однако на практике вероятность этого обращения ничтожна мала.

Взаимодействие КСС с классическим звеном приводит к исчезновению интерференции между собственными состояниями измеряемой наблюдаемой КСС. В то же время, характером этого взаимодействия определяется какая наблюдаемая КСС может быть измерена. Эта наблюдаемая должна коммутировать с совместным оператором эволюции КСС и макроскопического звена [43, 44] аналогично тому, как для поступления информации о наблюдаемой объекта в КСС, указанная наблюдаемая должна коммутировать с гамильтонианом взаимодействия объекта и КСС. В этом смысле говорят об "измерении, индуцированном окружением" [16], где под окружением понимается макроскопическое число квантовых объектов, взаимодействующих с КСС.

Как было отмечено выше, измерения первого рода характеризуются тем, что после их проведения закон эволюции объекта не претерпевает изменений, изменяется лишь его волновая функция (или матрица плотности) в зависимости от полученного результата измерения. Tow, же самый объект оказывается доступен для выполнения последующих измерений его наблюдаемых тем же самым или каким либо другим прибором. Последовательность измерений представляет собой процесс слежения за эволюцией наблюдаемой объекта.

Измерения второго рода также могут давать информацию о текущем состоянии квантового объекта. Конечно с помощью одного измерения второго рода над одним единственным объектом восстановить его состояние не удастся. Однако если имеется множество объектов, о которых с высокой степенью вероятности можно сказать, что их состояния характеризуются идентичными волновыми функциями (или матрицами плотности), то проводя различные измерения над частью объектов из данного множества, можно восстановить квантовое состояние, в котором находятся остальные объекты. Особенно часто данный способ употребляют в оптических системах, например, при калибровке лазера. На измерениях второго рода построен один из подходов описания фазы квантового осциллятора, в котором фаза рассматривается в качестве параметра состояния объекта [28].

Резюмируя вышесказанное, можно сказать, что измерения второго рода выходят на первый план, когда нужно определить статистические характеристики большого ансамбля объектов, условия приготовления состояний которых фиксированы (фотоны в оптическом или СВЧ квантовом генераторе, электроны в пучке). Если же приходится иметь дело с единичными квантовыми объектами (частица в ловушке или макроскопический маятник, квантовые флуктуации которого превышают все прочие) и интересоваться их наблюдаемыми и эволюцией, то измерения второго рода становятся непригодными и на первый план выходят измерения первого рода.

Глава

Непрерывные квантовые измерения.

В главе 1 при обсуждении измерений первого и второго рода было отмечено, что измерения первого рода или косвенные измерения могут производиться над одним и тем же объектом неоднократно. Если при каждом таком измерении оценивается одна и та же наблюдаемая объекта, такую последовательность измерений можно рассматривать как мониторинг данной наблюдаемой. При уменьшении временного интервала между последовательными измерениями последовательность измерений может рассматриваться как результат записи непрерывного измерения.

Непрерывное измерение наблюдаемых квантовых объектов научились осуществлять достаточно давно. Это относится прежде всего к записи траекторий движения элементарных частиц в ядерной физике. В то же время заметное развитие теории непрерывных измерений началось лишь в последние десятилетия. В настоящее время существует несколько подходов к описанию непрерывных измерений.

В последнее время наметилась тенденция применять термин "измерение" ко всем процессам сопровождающимся декогеренцией состояния объекта [16]. Хотя и следует отдать должное важности внимательного изучения данного физического процесса во всех его проявлениях, в данной работе будет избегаться постановка знака равенства между понятиями "декогеренция" и "измерение".

Термин " измерение" будет считаться применимым лишь в ситуации существования результата измерения, допускающего возможность разделения исходного ансамбля на подансамбли в соответствии с полученными результатами измерения.

Имеется ряд работ, в которых рассматривается конкретная модель непрерывно "измеряющего" устройства, с которым взаимодействует квантовый объект [41, 42]. В роли такого устройства может выступать, например, атомная решетка кристала. между узлами которого движется объект-электрон. Рассмотрение конкретной модели позволяет получить уравнение изменения состояния квантового объекта. Полученные уравнения могут служить описанием декогеренции состояния квантового объекта в конкретной модели. Однако, как правило, в модель не закладывается возможность получения результата измерения, и поэтому говорить об измерении в общепринятом смысле неправомерно.

Некоторые весьма полезные общие соотношения могут быть получены без рассмотрения конкретной модели просто из предположения, что получаемый на выходе прибора отсчет связан с истинным значением измеряемой наблюдаемой линейным образом [11].

Другой феноменологический подход описания непрерывных квантовых измерений основан на методе ограниченных интегралов по путям (ОИП). Техника интегрирования по путям принадлежит Фейману, который показал, что формализм интегрирования по путям является еще одной формулировкой квантовой механики, полностью эквивалентной гейзенберговской и боровской [13]. Разработанная техника нашла активное применение в квантовой теории поля. Фейману также принадлежит идея о том, что с помошью интегралов по путям могут быть описаны измерения. Однако на этом пути ему не удалось достигнуть заметных успехов. Прорыва на этом направлении удалось достичь после того как М.Б.Менским было высказано предположение [14] о том, что для описания измерений нужно брать интеграл не по всем возможным путям, а лишь по тем, отклонение которых от некоторого пути, соответствующего результатам измерения, не превышает заданного значения, то есть лежащих в некотором коридоре. В качестве меры отклонения было взято среднеквадратичное отклонение за время измерения. Следующим шагом стало замена коридора с резкими границами на коридор с нечеткими границами путем внесения под интеграл Феймана дополнительный весовой функционал, имеющий гауссов вид.

Модифицированный интеграл Феймана, получивший название ограниченного интеграла, по путям, приводит к следующему дифференциальному уравнению для изменения состояния квантового объекта: = (~я-к(Л-а(0)2)|ф>, (2.1) где a,(t) - полученная запись результатов наблюдения за измеряемой наблюдаемой А. Видно, что оно имеет такой же вид, как и уравнение Шредингера, за исключением того, что входящий в него гамильтониан является комплексным. Мнимая его часть зависит от результата измерения. Благодаря его наличию, норма волновой функции, определяемой данным уравнением, не остается постоянной. Она соответствует плотности вероятности данной записи регистрирующего прибора a(t). Данное уравнение было независимо получено в работе [18].

При неселективном описании непрерывного измерения, при котором состояние объекта в каждый момент времени представляется в виде некогерентной смеси состояний, соответствующих различным записям результатов измерений, метод подход ОИП дает следующее уравнение изменения матрицы плотности:

P = -~[Hohj,p}-^[AAAp]}. (2.2)

Это уравнение имеет явно нешредингеровский вид. Второй член в правой части данного уравнения (двойной коммутатор) приводит к тому, что изначально чистое состояние объекта в процессе изменения, описываемого этим уравнением становится смешанным.

Метод ОИП позволяет произвести анализ многих явлений, таких как квантовый эффект Зенонна, непрерывный мониторинг перехода в многоуровневых системах, возникновение декогеренции (см. мрнографию [17]).

Существуют и другие феноменологические подходы. Среди них упомянем стохастическое уравнение Шредингера [19], а также уравнение Линдблада [20], полученное с учетом предположения о марковском характере процесса. Указанные уравнения не противоречат результатам получаемым в подходе ОИП. Стохастическое уравнение может быть выведено из уравнения (2.1), а уравнение Линдблада при определенных условиях совпадает с (2.2).

Если не задавать конкретную модель измерительного прибора, то наиболее естественным выглядит рассмотрение непрерывного измерения как последовательности повторных однократных измерений. Изменение состояния объекта в момент измерения описывается оператором редукции R(Yj), а между измерениями оператором эволюции U1. который определяется уравнением Гамильтона: p{[Y-\) = (2.3) где [!}] - последовательность результатов измерений. Переход к непрерывному измерению осуществляется в пределе очень часто повторяющихся измерений. Наиболее просто поддается анализу случай последовательности мгновенных измерений, при которых время взаимодействия объекта с КСС много меньше характерного периода эволюции и интервала между измерениями. Однако время взаимодействия объекта с КСС может и превышать интервал между соседними измерениями. При этом объект взаимодействует одновременно с несколькими КСС.

Результирующий подход является феноменологическим и не требует явной модели измерительного прибора. Именно он использован в данной работе для анализа квантового косвенного непрерывного изменения.

Часть II

Анализ изменения состояния объекта в результате косвенных измерений.

Как было отмечено во введении, при современном состоянии экспериментальной физики стало возможно проводить эксперименты с участием одиночных квантовых объектов. В связи с этим на первый план выходит вопрос об описании изменения состояния объекта при производимых над ним действиях и, в частности, получении информации о его наблюдаемых.

Как отмечалось во вводной части, для описания изменение состояния объекта при селективном измерении используется оператор редукции R(Y). Наиболее часто применяется следующая формула [9, 2, 12]:

2>[Я+(?')Д(У)л,]

Выражение (2.4) описывает идеальное измерение, условием которого является чистое состояние КСС и точное измерение наблюдаемой КСС. При описании реального измерения следует учитывать, что состояние ККС может быть смешанным. а также, что измерения наблюдаемой КСС всегда приближенные.

Данная часть диссертационной работы посвящена поиску такого описания. В первой главе данной части проведен анализ изменения состояния объекта при однократном измерении. Выведено наиболее общее выражение, описывающее изменение состояние в результате измерения, в котором учтена смешанность начального состояния КСС, приближенность измерения наблюдаемой КСС, а также возможная вырожденность измеряемой наблюдаемой КСС (которая, как показано ниже, оказывает влияние на конечное состояние объекта). Полученный результат использован во второй главе для перехода к описанию непрерывных квантовых измерений.

Глава

Однократные косвенные измерения.

Как было отмечено, формула (2.4) представляет ограниченный практический интерес, поскольку описывает идеальное измерение. Произведенный в [11] учет смешанности состояния КСС (зл) где Wj веса ортонормированного множества векторов {|Ф7)}; составляющих смесь состояния КСС. позволяет получить выражение более приближенное к реальности:

РоьАУ) = ^у ^ wA(y)p^(n (3-2)

Rj(Y) - набор операторов редукции, который, как показано в [11], может быть выражен через оператор совместной эволюции объекта и КСС U следующим образом:

Ej(V) = |*л->. (3.3)

Тем не менее, выражение (3.3) оставляет за рамками рассмотрения приближенность измерения наблюдаемой КСС, которая имеет место во всех реальных измерениях. Кроме того, некоторые наблюдаемые имеют вырожденный спектр. Наличие у наблюдаемой вырожденного спектра может являться не только следствием физических особенностей наблюдаемой (как например в случае энергии электрона в атоме водорода), но и следствием технических условий эксперимента. Последний случай имеет место, если в качестве КСС используется несколько квантовых объектов, а качестве измеряемой наблюдаемой КСС усредненное значение некоторой наблюдаемой этих объектов (например средний импульс у пучка электронов). Существование у измеряемой наблюдаемой КСС вырожденного спектра, как показано ниже, повлияет на конечный результат.

Таким образом, наиболее полное решение задачи об изменении состояния объекта в результате однократного косвенного измерения должно быть получено с учетом физических последствий, обусловленных как смешанностью состояния КСС, так и приближенностью измерения наблюдаемой КСС, а также вырожденностью ее спектра. Далее рассмотрены влияния двух последних факторов по отдельности, а затем, после суммирования полученных результатов, будет выписана общая формула.

3.1 Учет вырожденного спектра наблюдаемой КСС.

Начальное состояние полной системы "объект -f КСС" факторизуется в декартово произведение начальных состояний объекта и КСС: h = Pobj © /W (3.4)

Полный гамильтониан системы "объект -Ь КСС" во время взаимодействия складывается из собственных гамильтонианов объекта и КСС Н„ь7 и Hqrfj. а также из гамильтониана взаимодействия Hin. Согласно стандартной квантовой схеме измерений [?], гамильтониан взаимодействия должен быть пропорционален произведению оцениваемой наблюдаемой объекта и наблюдаемой КСС, которая канонически сопряжена с измеряемой наблюдаемой КСС. Например, если требуется оценить координату объекта с помощью измерения координаты

KCC Y, гамильтониан взаимодействия может быть представлен в виде

Hin = ахРу.

Состояние полной системы "объект 4- КСС" после взаимодействия составляющих ее частей выражается формулой:

Данное состояние уже не является факторизованным, оно - запутанное [16]. В результате взаимодействия между наблюдаемыми объекта и КСС возникает квантовая корреляция. К моменту измерения наблюдаемой КСС взаимодействие между объектом и считывающей системой прекращается. Таким образом, производимое измерение наблюдаемой КСС не оказывает динамического влияния на объект. Сущность процесса косвенного измерения состоит в "распутывании" квантовой корреляции, возникшей в ходе взаимодействия. Такое распутывание может быть полным или неполным. Ниже показано какие факторы на это влияют.

Если нас интересует состояние только какой-либо одной подсистемы (объекта или КСС), нам следует произвести усреднение по степеням свободы другой подсистемы. Например, состояние объекта выражается следующим образом:

Если по окончании взаимодействия производится точное измерение наблюдаемой КСС Y, полная система, согласно постулату фон Неймана перейдет в состояние я л % л

Ре(г) = exp[--h^r]pohj Ф /v,, ехр[-ЯЕг],

Pcbj{r) = Тг^Ыт)]. где П(У') - проектор на собственное подпространство наблюдаемой Y, соответствующее собственному значению Y. а

W(Y)=Tr[fl(Y)fe(T)}

- плотность вероятности получить результат измерения У. Если спектр наблюдаемой У является невырожденным, то

П(У) = |У)(У|, и поэтому выражение для состояния после измерения (3.7) можно представить в виде

Состояние системы после селективного измерения оказывется факторизован-ным в произведение собственного состояния наблюдаемой КСС У pqrs(Y) = \У)<У\ и состояния объекта после косвенного измерения

Таким образом, при точном измерении невырожденной наблюдаемой КСС запутанность состояния системы исчезнет. Если в выражении (3.8) расписать измененную совместную матрицу плотности КСС и объекта в соответствии с соотношением (3.5). в котором в качестве рдтя выбрана матрица (3.1) смешанного состояния КСС общего вида, получим формулу (3.2).

Если спектр наблюдаемой У вырожден, например, двукратно, проектор П(У) равен

П(У) = |У,1)(У,1| + |У,2)(У,2|, где |У, 1) и |У,2) - два ортогональных вектора, составляющих базис в собственном пространстве оператора У, которое соответствует собственному значению У. Состояние системы после измерения имеет вид:

У г) = 11Ш |У ,1) е |У, 1) (У, 11) + (У, 21Ш |У, 2) е | У, 2) (У, 2| <У, Шг)|У,2) © |У,1)(У,2| + (У. 2\p^(r)\Y, 1) ф |У, 2)(У, 1|) (3.9)

В общем случае матрица плотности системы, описываемая выражением (3.9) не раскладывается в произведение матриц плотности состояний объекта и КСС, то есть не факторизуется. Это означает, что после измерения между степенями свободы объекта и КСС остается частичная корреляция. Слагаемые стоящие в левой части выражения (3.9) можно разделить на две группы: диагональные и недиагональные по собственным векторам У. При операции усреднения по степеням свободы КСС недиагональные члены исчезнут, а содержащаяся в них информация не будет использована экспериментатором и уйдет из его поля зрения (она будет передана макроскопическому окружению). В принципе данную информацию можно извлечь, произведя в КСС более детальное измерение, которое позволит выделить, в каком из состояний |У, 1) или |У, 2) находится КСС. В этом случае, ситуация полностью аналогична рассмотренному ранее измерению наблюдаемой с невырожденным спектром (у которой векторам |У, 1) и |У, 2) соответствуют разные собственные значения).

В случае вырожденного спектра выражение для состояния объекта после косвенного измерения

M(F,r) = ^Ly((y,l|pE(r)| У,1) + (У,2|^(т)|У,2)) (3.10) состоит из нескольких (в данном рассмотрении двух) слагаемых. Следствием этого будет то, что даже если начальные состояния объекта и КСС были чистыми, окончательное состояние объекта будет некогерентной смесью. Причина этого, как уже было отмечено, лежит в эллиминации части информации, то есть во внесении классической, а не квантовой случайности (при взаимодействии КСС с макроскопическим окружением).

3.2 Учет приближенного измерения наблюдаемой КСС.

Процесс приближенного измерения наблюдаемой КСС во многом похож на точное измерение наблюдаемой с вырожденным спектром. Действительно, наблюдаемую с вырожденным спектром можно рассматривать как аппроксимацию наблюдаемой с невырожденным спектром, если их собственные векторы совпадают. Однако имеется принципиальное различие. Заключается оно в том, что в случае приближенного измерения граница множества векторов, относящихся к данному результату измерения, является размытой. В общем случае каждый вектор может соответствовать нескольким результатам измерения. В случае же измерения вырожденной наблюдаемой может быть выбран базис векторов, каждый из которых соответствует одному и только одному результату измерения.

Следовательно, все вышеприведенные принципиальные рассуждения об остаточной квантовой корреляции, возможности получения дополнительной информации об объекте и ее эллиминации при усреднении по степеням свободы КСС остаются справедливыми и в случае приближенного измерения наблюдаемой КСС. Изменению подвергается только выражение для состояния объекта после измерения.

MY, т) = ^ f W(Y\Y){Y\fe(r)\Y)dY, (3.11) где W(Y\Y) - условная вероятность получить отсчет Y, если значение наблюдаемой равно У, а

W{Y) = f W(Y\Y)W{Y)dY у

- вероятность получить отсчет Y.

Это выражение может быть получено с помошью классической формулы Байеса (Приложение В), применимость которой обусловлена постулатом о редукции. Заметим, что также, как и для случая измерения наблюдаемой с вырожденным спектром, объект, находящийся в чистом состоянии, в результате приближенного косвенного измерения перейдет в смешанное состояние, даже если состояние КСС чистое.

Классический наблюдатель априори может оперировать лишь с ограниченным и дискретным набором чисел. Поэтому оценка любой непрерывной физической величины всегда является дискретной и, следовательно, приближенной. Неточность измерения непрерывной величины является следствием ее непрерывности. Однако даже в случае наблюдаемой с дискретным, но очень плотным спектром ее точное измерение может оказаться технически невозможным или же нецелесообразным. Пусть, например, для измерения такой наблюдаемой есть два прибора с одинаковыми цифровыми шкалами. Различие между ними состоит в том, что в первом приборе существует остаточная интерференция после окончания измерения между состояниями, которые соответствуют одному и тому же значению отсчету на шкале, но различным значениям наблюдаемой КСС. Во втором приборе эта интерференция полностью разрушена в результате измерения. То есть в первом приборе шкала является наиболее подходящей для реализованного метода оценки наблюдаемой КСС, а во втором она сознательно огрублена. Несмотря на то, что состояния полной системы "объект + КСС" в первом и во втором случае будут различаться, редуцированное состояние объекта, полученное усреднением по степеням свободы КСС, в первом и во втором случае будет одним и тем же.

Обобщив все предыдущие рассуждения, выведем выражение для состояния после измерения при ранее сформулированных наиболее общих условиях. Для этого выполним преобразования над матрицей плотности КСС p„rs. Поскольку матрица плотности является самосопряженным оператором, она обладает системой собственных взаимоортогональных векторов {|Фу)}(с множеством собственными значений {И7,}, лежащих в пределах от 0 до 1, трактуемых как вероятности нахождения КСС в состояниях, описываемыми соответствующими векторами). В представлении собственных векторов матрица плотности запишется как = (ЗЛ2)

Учитывая соотношения (3.11) и (3.10), получим выражение для состояния объекта после косвенного измерения в случае смешанного состояния КСС (3.12), приближенного измерения наблюдаемой КСС (с приборной функцией W(Y\Y)) с вырожденным спектром (каждому значению У которого соответствует множество ортогональных собственных векторов |У. к), к = 1,2,.):

МОП = y^flZW(YlY)(Y,k\h\Y,k)dY = = f T,W(Y\Y)(Y, к\йъ £ © РоьМ\У; k)dY = W(Y)^I k)dY = ЩГ, E f Щ W(Y\Y)Щ (Y. k)pohjRj (У k)dY. (3.13) / ' где через Rj(Y.k) обозначен обобщенный оператор редукции, определяемый выражением:

Rj(Y,k) = (У,Л|ехр[~ЯЕ7-]|%)- (3-14)

В случае точного измерения наблюдаемой КСС. имеющей невырожденный спектр, имеем W(Y"|Y) = fi(Y — Y). В этом случае выражение (3.13) сводится к выражению (3.2). которое, как было показано, справедливо только при идеальных условиях эксперимента.

3.3 Учет влияния корреляции.

Существует и еще один фактор, который следует учитывать при анализе задач, связанных с процессом измерения. Если в исходном состоянии КСС существует корреляция измеряемой наблюдаемой У и наблюдаемой Ру, которая канонически ей сопряжена, то опенка наблюдаемой объекта А через измеренное значение У может оказаться неоптимальной. Поясним это на конкретном примере.

Если требуется оценить некоторую наблюдаемую объекта А. то согласно стандартной схеме измерения гамильтониан взаимодействия объекта и КСС определяется выражением

Hin = а АРу. где (У, - константа взаимодействия. Время взаимодействия объекта с КСС т будем считать настолько малым, а константу взаимодействия настолько большой, что в течение взаимодействия эволюция системы "объект + КСС" определяется исключительно гамильтонианом взаимодействия. При выполнении этих условий значения наблюдаемых A, У и Ру ло окончании взаимодействия будут связаны с исходными значениями следующими соотношениями:

AT = i0, Рут = Руо, Ут = У0 + (у.тА0.

При оценке значения наблюдаемой объекта с помощью измерения наблюдаемой КСС У дисперсия оценки наблюдаемой объекта будет определяться дисперсией наблюдаемой У в исходном состоянии:

ДЬ^. (3.15)

Если же проводить оценку наблюдаемой А с помощью линейной комбинации наблюдаемых У и Ру:

Y + /3Pr = Z, где /3 - некоторый числовой параметр, то дисперсия оценки А будет равна: л (0/.Т) где аур - параметр, характеризующий корреляцию У и Ру: Минимум дисперсии Ад достигается при

0opt =

Он равен min{A\} = "гр/^к

При наличие корреляции наблюдаемых У и Ру минимум дисперсии не совпадает с выражением (3.15). Оптимальной наблюдаемой для оценки А является наблюдаемая л opt — г - -уГ-гу-аРо

Глава

Непрерывные косвенные измерения.

Данная

глава посвяшена анализу изменения состояния квантового объекта при непрерывном измерении его наблюдаемой. Как уже было отмечено в главе 2, в настоящее время существует несколько подходов к описанию изменения состояния объекта в процессе непрерывных квантовых измерений. Однако во всех подходах рассматривался один из двух предельных случаев. Один из них соответствует идеализированному полностью селективному измерению при чистом состоянии КСС с минимальным произведением неопределенности. Другой соответствует полностью неселективному измерению, в котором вообще не производится разделение на подансамблн в соответствии с результатами измерения (хотя благодаря классическому звену прибора происходит уничтожение интерференции между состояниями, соответствующим различным значениям наблюдаемой КСС).

Близкое к реальности описание непрерывного измерения должно учитывать те же факторы, действие которых было рассмотрено в предыдущей главе для случая однократных измерений, а именно смешанность исходного состояния КСС, приближенность измерения наблюдаемой КСС, корреляция наблюдаемых КСС.

Ниже рассматривается случай, когда измерение наблюдаемой квантовой считывающей системы является приближенным, а состояние КСС произвольным чистым (с учетом корреляции наблюдаемых КСС). Целью анализа является получение и исследование дифференциального уравнения, описывающего эволюцию объекта в процессе измерения.

4.1 Описание используемого подхода.

Особенностью используемого здесь подхода является то, что непрерывное измерение рассматривается как серия однократных мгновенных измерений, разделенных малым интервалом времени, в течение которого состояние объекта свободно эволюционирует.

Если состояние КСС является чистым, то, согласно формуле (3.13), состояние после однократного измерения определяется выражением:

S(Y) = и я

Р{ > W(Y) ' 1 ' ' где Y - результат приближенного измерения наблюдаемой КСС, W(Y\Y) -условная вероятность, характеризующая приближенность измерения наблюдаемой КСС, R(Y) - оператор редукции приближенного измерения, ро - начальное состояние объекта, а

W(Y) = Tr[fw(Y\Y)R+(Y)R(Y)dYpo} безусловная плотность вероятности получения результата измерения Y.

Состояние после измерения, определяемое выражением (4.1), является нормированным. Между тем, при рассмотрении задач о непрерывных измерениях удобнее использовать ненормированные матрицы плотности [15]. Норма такой матрицы плотности равна плотности вероятности получить данный результат или последовательность результатов измерения. В дальнейших выкладках используются именно ненормированные матрицы плотности. Соотношение (4.1) для ненормированной матрицы плотности следует заменить на выражение: p{Y) = I W(Y\Y)R(Y)pqP+(Y)dY. (4.2)

Если производится серия однократных измерений в моменты времени /•). t дг. а между этими моментами протекает свободная эволюция объекта, определяемая оператором свободной эволюции JJj. то состояние после серии измерений перейдет в состояние

КЙ-]) = / П П ^ВДро П R+<Xi)Uj-[dY& (4.3) з=1 i=i где [Y?] - последовательность результатов измерений. Это выражение может быть использовано для описания изменения состояния объекта как в результате всей последовательности измерений, так и в результате некоторой ее подпоследовательности. В последнем случае вместо матрицы плотности ро должна быть подставлена матрица плотности р^ после А-того измерения, а также переобозначены индексы результатов измерения и изменено число измерений N.

Как было отмечено в главе 3, в соответствии со стандартной схемой измерения, гамильтониан взаимодействия может быть представлен в виде

Hin = axY.

Развитие квантовой теории измерений (КТИ) началось одновременно с возникновением квантовой теории. В дальнейшем интерес к ней то возрастал, то угасал. Возникновение К Т И обычно отсчитывают от выхода классической работы фон Неймана [1], в которой был сформулирован постулат о редукции. В это же время было введено понятие косвенного измерения [2] (см. также [5]).Было достигнуто понимание того, что теория измерения в квантовой теории имеет фундаментальное значение, а не играет вспомогательную роль, как в классической физике. Более того, была предложена формулировка квантовой механики, аппарат которой был основан на аксиоматике теории измерений [4].Вместе с тем, достигнутые успехи не нашли в то время практического применения, поскольку задачи, решаемые в экспериментальной физике того периода, включали рассмотрение огромных ансамблей квантовых частиц. Решение этих задач требовало лишь знание вероятностных характеристик этих ансамблей, для получения которых требовалось только умение решать уравнение Шредингера относительно волновой функции или матрицы п,потности, а рассмотрение редукции квантового объекта оказывалось излишним. В связи с этим в развитии квантовой теории измерений возник некоторый застой.Интерес к квантовой теории измерений вновь вспыхнул после изобретения квантовых генераторов оптического и СВЧ диапазонов. Возникшая потребность в решении задач, связанных с приемом квантовых электромагнитных сигна.лов, инициировала разработку квантовой теории оценивания [б, 7, 8].Был развит математический аппарат неортогональных измерений [8, 9], который, в отличие от постулата о редукции фон Неймана, позволяет рассматривать приближенные неповторяющиеся квантовые измерения, а также дает возможность рассматривать одновременное оценивание нескольких взаимно некоммутирующих наблюдаемых.Дальнейшие успехи экспериментальной физики сделали возможным формирование и поддержание в течение заметного времени таких состояний макроскопического объекта, в течение которых его квантовые неопределенности превышают все остальные [10]. Наблюдаемые подобного объекта могут быть измерены повторно. В связи с этим на первый план выходит вопрос об измене5 НИИ в результате измерения квантового состояния объекта, а также о величине возмушения его наблюдаемых. В частности, вводится понятие обратного действия ("back action") измерительного прибора на объект и невозмушаюшего измерения (см. [11, 12]).Следующим важным направлением развития теории квантовых измерений стал продолжающийся в течение последних десятилетий поиск подходов к описание непрерывных квантовых измерений (НКИ) [15, 17, 39, 40, 41]. Развитие данного направления кроме практических результатов позволило прояснить некоторые принципиальные вопросы. В частности бы.по достигнуто понимание того, как при измерении происходит процесс дексгереиции, то есть исчезновение в матрице плотности объекта недиагональных членов. Различные подходы к описанию Н К И рассмотрены далее подробнее.Целью настоящей работы является развитие квантовой теории измерений в части нелинейных и непрерывных измерений с целью приближения ее к условиям реа.пьных экспериментов, в частности: • анализ процесса однократного косвенного измерения и изменения состояния объекта в результате однократного косвенного измерения в общем случае, когда состояние квантовой считывающей системы (КСС) является смешанным, измерение наблюдаемой КСС является приближенным, а спектр измеряемой наблюдаемой КСС - вырожденным; • анализ изменения состояния квантового объекта, наблюдаемая которого подвергается непрерывному косвенному измерению, при условии приближенного измерения наблюдаемой КСС, произвольного чистого состояния КСС и инерционности регистрирующей части прибора; • исследование вопроса о соответствии квантовых эрмитовых операторов физическим наблюдаемым и возможности сопоставления теоретическому измерению реального физического измерения; • применение методов квантовой теории измерений к исследованию квантовых особенностей эрмитовых операторов, соответствующих классическим наблюдаемым.Диссертация состоит из трех частей, выводов и приложений.Первая часть носит характер теоретического введения. Она состоит из двух глав. В главе 1 данной части рассмотрены основные положения теории однократных косвенных измерений. В главе 2 рассмотрены основные подходы и результаты теории непрерывных измерений.Вторая часть посвящена обсуждению тонкостей механизма косвенных измерений. Она состоит из трех глав. В главе 3 данной части произведено обобщение известных формул для состояния после однократного косвенного измерения [12, 11] на случай приближенного измерения наблюдаемой КСС, смешанного состояния КСС, а также вырожденной измеряемой наблюдаемой КСС. В главе 4 результаты главы 3 использованы для исследования эволюции состояния квантового объекта, находящегося под непрерывным косвенным измерением. С помощью предельного перех:ода выведено диффернциальное уравнение, описываюшее эволюцию данного объекта. Используемый метод позволяет учесть приближенность измерения наблюдаемой КСС, с помощью которой осуществляется слежение, корреляцию наблюдаемых КСС, отличие состояние КСС от гауссова, а также инерционность регистрирующей части прибора, приводящая к конечности полосы пропускания. Найдено решение данного уравнения, обсуждены его следствия. В главе 5 результаты главы 4 использованы д,пя исследования особенностей изменения состояния гармонического осциллятора и свободной частицы, находящихся под действием детерминированной классической внешней силы, координата которых непрерывно измеряется.Третья часть посвящена изучению вопроса о сопоставлении физическим ве.пичинам эрмитовых операторов в квантовой теории, а также о соотношении классического и квантового представления об окружающем мире. Она состоит из двух глав. Рассмотрены два типа наблюдаемых: наблюдаемые, которые являются производными от уже известных и хорошо изученных величин (на примере а.лгебраических комбинаций координаты и импульса), и наблюдаемые, имеющие самостоятельный физический смысл (на примере фазы гармонического осциллятора). В первой главе данной части производится рас7 смотрение странных с классической точки зрения свойств эрмитовых операторов, соответствующих классическому произведению координаты, импульса и их квадратов. Найдена система их собственных векторов и собственных значений, а также получено выражение для плотности вероятности этих значений в заданном состоянии. Во второй главе рассмотрена задача об измерении наблюдаемой, соответствующей эрмитову оператору фазы Пегга-Барнетта , с помощью применения аппарата квантовой теории измерений. Показано, что попытка измерить данную величину приводит к физически абсурдному результату .Опишем обозначения, используемые в диссертации.

Выводы

1. Исследовано влияние на изменение состояния объекта ранее не принимавшихся во внимание факторов, имеющих место в любом реальном эксперименте: приближенность измерения наблюдаемой квантовой считывающей системы (КСС), произвольность исходного состояния КСС и инерционность прибора.

2. С помощью полученного уравнения найдены общие закономерности, сопровождающие реальный процесс непрерывного измерения координаты в линейных системах. Доказано, что при таком измерении состояние объекта стремится к сжатому гауссову с постоянными значениями дисперсий координаты, импульса и их корреляции, независимо от начального состояния объекта, начального состояния КСС и точности измерения. Найдена связь времени установления стационарного состояния с параметрами объекта и прибора. Найден функционал отношения правдоподобия для обнаружения внешнего детерминированного воздействия на свободную частицу или гармонический осциллятор.

3. Проанализированы и уточнены правила сопоставления нелинейным комбинациям классических координаты и импульса эрмитова оператора. Показано, что в случае, если классическая величина может быть представлена несколькими равнозначными комбинациями координаты и импульса, нет единого правила формирования соответствующего эрмитовых операторов. Адекватный эрмитов оператор может быть найден только исходя из условий конкретной физической задачи.

4. Показано, что эрмитов оператор, формально соответствующий положительной классической величине, может иметь отрицательные собственные и средние значения. Например, в вакуумном состоянии осциллятора и в состоянии с минимальным произведением неопределенностей свободной частицы среднее значение наблюдаемой (х2р2 A-fix1)/2, соответствующей классической величине х2р2 (определяющей корреляцию х2 и р2). равно —b?j4. Подобная наблюдаемая не может быть оценена даже приближенно путем совместного (приближенного) измерения in р или х2 и р2. Следовательно, ее нельзя рассматривать как произведение существующих независимо от измерения координаты и импульса.

5. Показано, что в вакуумном состоянии и в энергетических состояниях имеется стопроцентная антикорреляция между квадратами координаты и импульса (коэффициент корреляции равен -1).

6. Показано, что оператору фазы Пегга-Барнетта, не может быть сопоставлена реальная физическая наблюдаемая. Следовательно, оператор, предложенный Пеггом и Барнеттом нельзя считать решением проблемы оператора фазы осциллятора.

1. И.фон Нейман, "Математические основы квантовой механики", М.:Наука, 1964.

2. Л.И.Мандельштамм,"Лекции по оптике,теории относительности и квантовой механике", М.: Наука, 1972.

3. A.Einstein, B.Podolsky. N.Rosen, Phys.Rev 47 (1935) 777.

4. Ю.Швингер, "Квантовая кинематика и динамика", М.-.Наука, 1992.

5. Д.Бом, "Квантовая теория". М.-Наука, 1971.

6. А.А.Курикша,"Квантовая оптика и оптическая локация", М.:Сов.Радио,1973.

7. К.Хелстром."Квантовая теория проверки гипотез и оценивания", М.: Мир, 1979.

8. А.С.Холево,"Вероятностные и статистические аспекты квантовой теории",М.:Наука,1980.

9. P.Busch, P.J.Lahti, P.Mit.telstaedt., "The Quantum Theory of Measurement", Springer, 1996.

10. В.Б.Брагинский, В.П.Митрофанов, В.И.Панов, "Системы с малой диссипацией", М.:Наука, 1981.

11. V.B.Braginsky, F.Ya.Khalili, "Quantum Measurement", ed.by K.S.Thorne, Cambridge University Press, 1992.

12. Ю.И.Ворондов,"Теория и методы макроскопических измерений". М.-Наука,1989.

13. Р.Фейман,А.Хибс "Квантовая механика и интегралы по траекториям.", М.:Мир, 1968.14