Нелинейные модулированные состояния параметра порядка в поляризованных средах тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.07 ВАК РФ

ХАРКІВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ ім. В.Н.Каразіна

\ - ’'

п п и,.;.--

СЕРЕДА Юрій ВолодимировіРі

НЕЛІНІЙНІ МОДУЛЬОВАНІ СТАНИ ПАРАМЕТРА ПОРЯДКУ У ПОЛЯРИЗОВАНИХ СЕРЕДОВИЩАХ

01.04.07 - фізика твердого тіла

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математачних наук

УДК 538.9

Харків - 2000

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана у Науково-технічному центрі електрофізичної обробки НАН України.

Науковий керівник:

Офіційні опоненти.

Провідна установа:

доктор фізико-математичних наук, професор Клепіков Вячеслав Федорович (директор Науково-технічного центру електрофізичної обробки НАН України).

доктор фізико-математичних наук, професор Єрмолаев Олександр Михайлович (завідувач кафедри теоретичної фізики Харківського національного університету ім. В.Н.Каразіна);

доктор фізико-математичних наук, доцент Чупіс Ірина Євгенівна (провідний науковий співробітник Фізико-технічного інституту низьких температур ім. Б.І.Вєркіна НАН України).

Національний технічний університет "Харківський політехнічний інститут" (кафедра фізики металів і напівпровідників) Міністерства освіти і науки України.

ОіР

. годині на засіданні

Захист відбудеться 2000 р. о і

спеціалізованої вченої ради 'Д '&4.051.03 Харківського національного університету ім. В.Н.Каразіна (61077, м.Харків, пл. Свободи, 4, ауд. ім. К.Д.Синельнікова);

З дисертацією можна ознайомитись у Центральній науковій бібліотеці Харківського національного університету ім. В.Н.Каразіна.

Автореферат розісланий <^4 2000 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради

В.Шшйда

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Рівноважні просторово-неоднорідні модульовані структури, ікі характеризуються однокомпонентним параметром порядку (ПП), відіграють зажливу роль у фізиці твердого тіла. Моделі таких структур використовуються при дослідженні фазових переходів у багатьох поляризованих системах 'сегнетоелектриках, магнетиках), а також у сплавах. Завдяки відносній простоті зпису дослідження поляризованих середовищ дозволяє сформулювати і апробувати найважливіші положення теорії модульованих структур. Результати, що здобуваються, носять вельми універсальний характер і можуть бути використані при вивченні як основних, так і збуджених неоднорідних станів у різноманітних фізичних системах.

Виникнення просторово-неоднорідних, зокрема, періодичних розподілів ПП у багатьох випадках пов'язане з наявністю в системі ефективних короткодіючих та дальнодіючих взаємодій, що конкурують між собою. Дальнодія може також сильно пригнічувати критичні флуктуації. Це дозволяє ефективно досліджувати фазові перетворення у вказаних середовищах за допомогою моделей, які узагальнюють теорію Ландау фазових переходів.

Конкуренція і компроміс різних за своїм впливом факторів, наприклад, взаємодії з різними радіусами дії, призводять до появи таких неоднорідних станів, як домени або неспіввимірні фази в сегнетоелектриках, магнетиках тощо. Еволюція цих станів обумовлюється зміною зовнішніх параметрів - температури, тиску, зовнішніх полів, концентрації і т.д. На початковій стадії параметричної еволюції неоднорідних полів амплітуда ПП мала і тому поведінку системи можна описати у квазілінійному наближенні. Але кількість вищих гармонік, які необхідно враховувати, швидко зростає зі збільшенням амплітуди ПП. Експериментальні спостереження і комп’ютерне модешовання температурної поведінки фізичних величин (теплоємності, періоду модуляції), наприклад, у сегнетоелектриках (8іі2Р25ех8і_х, Наг-Юг, 8С(№ї2)2 та ін.) теж демонструють суттєві відхилення від передбачень квазілінійного опису, який домінує протягом багатьох рою в у фізиці модульованих структур.

Таким чином, виникає проблема розвитку підходу, котрий дозволив би в рамках спрощуючих припущень описати не тільки квазілінійну стадію еволюції систем з однокомпонентним ПП, але також і суттєво нелінійні стадії. Особливо актуально це для систем з неспіввимірними фазами однокомпонентного ПП, оскільки в теорії систем з багатокомпонентними ПП вже знайдено розподіли, які дозволяють частково вирішити проблему опису нелінійного режиму.

Також недостатньо розвинуто такий перспективний напрямок як симетрійний аналіз модульованих фаз, котрий дозволяє виявляти загальні властивості систем з неоднорідним ПП і знаходити точні розподіли полів ПП, зокрема розподіли спеціального виду (солітони і т.п.).

Усе вище наведене доводить, що вивчення нелінійних модульованих станів ПП у поляризованих середовищах є актуальною задачею фізики твердого тіла.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота виконана у відділі фізики нелінійних, нерівноважних, стохастичних процесів Науково-технічного центру електрофізичної обробки (НТЦ ЕФО) НАН України і пов’язана з виконанням держбюджетних тем НАН України: «Модульовані структури і їх фазові перетворення в упорядкованих середовищах» (номер державної реєстрації 0195U022247, термін виконання: 1995-1999 рр.), «Неспіввимірні структури в поляризованих системах поблизу точок фазових перетворень» (номер державної реєстрації 0100U002058, термін виконання: 2000-2002 рр.) і проекту Державного фонду фундаментальних досліджень України № 2.4/691 «Спонтанне порушення симетрії і самоорганізація модульованих структур» (номер договору Ф4/159-97, термін виконання: 1997-2000 рр.) і за своєю тематикою відповідає розділам 1; 3; 4; 14 паспорту спеціальності 01.04.07 - фізика твердого тіла.

Мета і основні задачі дослідження. Метою дисертаційної роботи є теоретичний опис експериментальних даних щодо температурної залежності ПП і теплоємності у власних одновісних сегнетоелектриках типу Sn2P2Se6 (Barsamian Т.К., Khasanov S.S., Shekhtman V.Sh., 1993) і оцінка внеску вищих гармонік у цю залежність.

Для досягнення поставленої мети було необхідно:

» Підібрати та обгрунтувати можливість використання моделі ПП, яка здатна коректно описувати внесок вищих гармонік у хвилю модуляції ПП.

• Провести симетрійний аналіз допустимих розподілів ПП, для чого знайти всі неперервні симетрії модульованих структур для моделей термодинамічного потенціалу (ТП) (р4 і <р6.

• Розглянути точні і наближені стани ПП з метою дослідження допустимих

фазових переходів в узагальненій схемі Гінзбурга-Ландау. Розглянути різні типи просторово-неоднорідних станів ПП, варійованих і точних, і з’ясувати їх придатність для опису фаз з нульовим і ненульовим просторовим середнім ПП а також зародків нової фази. .

• Розв’язати задачу стосовно чисельного дослідження рівноважного стану і нелінійної моделі однокомпонентного ПП у вигляді <р(х) = a sn(b-x,k) з варійованими параметрами а, b, k. Провести порівняння з передбаченнями одногармонічної моделі р(х) = a-sin(b x). Дослідити характер рельєфу ТП в просторі початкових умов для ІШ.

• Встановити особливості температурної поведінки амплітуди і періоду ПП, теплоємності при фазових переходах для систем без інваріанта Ліфшиця, які описуються нелінійною sn-моделлю у рамках узагальненої схеми Гінзбурга-Ландау. Співставити експериментальні результати стосовно температурної еволюції ПП і теплоємності власного одновісного сегнетоелектрика Sn2P2Se6 з передбаченнями sn-моделі ПП.

• Розглянути солітонні розподіли ПП і з’ясувати їх роль як зародків нових фаз на прикладі точних станів такого типу. З’ясувати можливість самоіндукованої магнітної прозорості антиферромагнетика, що описується одновимірним спіновим XY-ланцюжком, обумовленої наявністю резонансних солітонів за присутності імпульсного магнітного поля.

Об'єкт дослідження - неспіввимірні структури однокомпонентного ПП в

з

поляризованих середовищах.

Предмет дослідження - температурна поведінка модульованого ПП і теплоємності у власних одновісних сегнетоелектриках типу БигРгБеб.

Методи дослідження. В роботі використані відомі методи теорфізики. При дослідженні неспіввимірних структур ПП використано варіаційний принцип, при товеденні можливості самоіндукованої магнітної прозорості одновимірного спінового ХУ-ланцюжка - континуальний перехід.

Наукова новизна одержаних результатів. .

1. Вперше зроблено теоретичний опис експериментальних результатів стосовно температурної залежності періоду модульованої структури і теплоємності у зеспіввимірній фазі власного одновісного сегнетоелектрика БпгРгЗеб на підставі юложель нелінійної моделі ПП і'Дх) = а-зп(Ь-х,к) (бп-модєль). Встановлено параметри ТП Бі^Рг^Сб для одногармонічної моделі ПП.

2. Доведено, що эп-модель добре описує рівноважний стан однокомпонентного ПП у поляризованих середовищах, які описуються узагальненим ТП Гінзбурга-Нандау.

3. Знайдено нові точні і наближені розподіли ПП, які можуть слугувати хорошим наближенням для опису рівноважішх станів систем без інваріанту Ліфшиця.

4. Вперше встановлено існування резонансного солітона в антиферромагнітному ХТ-ланцюжку в зовнішньому магнітному полі. Доведено, що за умови сильної шізотропії обмінної взаємодії така система проявляє самоіндуковану прозорість. Вперше з’ясовані характеристики імпульса магнітного поля і середовища, в якому можливе його бездисипативне проходження.

5. Теоретично обгрунтовано закономірності доменоутворення в одновісній |)ерит-гранатовій плівці, які були визначені експериментально. Виявлена повторюваність доменної структури при перемагнічуванні плівки різнополярним пшанарним полем.

Практичне значення одержаних результатів дисертації полягає в тому, що вони дозволяють однозначно інтерпретувати спостережені експериментально температурні залежності однокомпонентного модульованого ПП і теплоємності при разових переходах І і II роду в поляризованих твердих тілах, зокрема в сегнетоелектриках типу 8п2Р2$Є6, і розширюють уявлення про фізичну природу разових перетворень.

Запропоновано нові методи побудови точних і наближених розподілів для ПП і шайдено нові розподіли модульованих фаз.

Запропонована нова методика автоматизації пошуку дефектних областей в магнітних ферит-гранатових плівках, пов’язана з повторюваністю модульованої поменної структури на дефектах при перемагнічуванні зразка. Це важливо для розвитку фізики фазових переходів з утворенням неспіввимірних структур ПП і необхідно для фізичного обгрунтування автоматизованого контролю за структурою і технічної діагностики магнітних матеріалів.

Доведена можливість самоіндукованої прозорості одновимірного спінового ХУ-

ланцюжка для імпульса магнітного поля певної форми і вказано критерії вибору антиферомагнетика для експериментального дослідження цього ефекту.

Результати, здобуті автором і представлені в дисертації, є основою дл* подальшого опису експериментальних результатів стосовно неспіввимірних структур однокомпонентного ПП.

Особистий внесок здобувана полягає у його участі в аналітичному і чисельному розв’язуванні поставленої задачі, обробці експериментальних даних, у самостійнії постановці задач з пошуку нових розподілів ПП, в аналізі здобутих результатів роботі над публікаціями. Особисто автором було узагальнено схему побудові точних і наближених нелінійних розподілів ПП і проведено всі розрахунки : вивчення еволюції одновимірного спінового XY-ланцюжка в зовнішньому імпульсному магнітному полі. Конкретний внесок співавторів в опубліковані прац наведено у примітці до дисертації.

Апробація результатів дисертації. Матеріали дисертації були оприлюднені доповідались і обговорювались на таких конференціях та семінарах:

— First PAMPOROVO International Winter Workshop on Cooperative Phenomena ii Condensed Matter, 7th-15th March 1998, Villa Orlitza, PAMPOROVO, Bulgaria;

— Conference ITT-98 International Technology Transfer from the States of tire Forme Soviet Union, May-June 1998, Columbus, USA;

— IV Ukrainian-Polish meeting on phase transitions and ferroelectric physics, June 15 19, 1998, Dniepropetrovsk, Ukraine;

— 7th European magnetic materials and applications conference (EMMA’98) September 9-12, 1998, Zaragoza, Spain;

— 8th European magnetic materials and applications conference (EMMA2000), June 7 10,2000, Kyiv, Ukraine;

на засіданнях Вченої ради і наукових семінарах НТЦ ЕФО НАП України.

Публікації. Основні результати дисертації опубліковано в 10 статтях -спеціалізованих фізичних наукових журналах [1-10] і у 3 тезах доповідеі конференцій та семінарів [11-13].

Структура і обсяг роботи. Дисертація складається із вступу, чотирьо розділів основного тексту, висновків, списку літератури із 137 найменувань, восьм додатків. Об’єм дисертації - 144 сторінки, у ній є 14 рисунків і 1 таблиця.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі окреслена суть задачі дисертаційного дослідження та стан розв’язання на час початку роботи над дисертацією, обгрунтована актуальність темі сформульована мета дослідження. Наведено зв’язок між проведеним дослідженнями та науковими темами, програмами. Подано основні результаті здобуті в дисертаційній роботі, вказано на їх наукову новизну та практичне значенш

У першому розділі «Фазові переходи в системах із неоднорідними розподілами іараметра порядку» подано огляд симетрійних аспектів теорії Ландау фазових іереходів II роду та її узагальнення на випадок неспіввимірних структур іднокомпоненшого ПП ср(х). Наведено загальний вираз ТП моделі <р6 узагальненої хеми Гінзбурга-Ландау для систем II типу (без інваріанта Ліфшиця) та формули іереходу до безрозмірних величин. Безрозмірний потенціал має вигляд

Ф = ГI~ ^<Р(Р'^ ~ ї(<(Р ^ + ^ + 2 ^ + ^’ (1)

іе конкуренція градієнтних членів забезпечує можливість опису неспіввимірних ітанів ПП. Розглянуто характерні властивості систем І (з інваріантом Ліфшиця) та П :ипів і проблеми їх опису, особливо поблизу точки фазового переходу з іеспіввимірної фази в співвимірну. З метою доведення актуальності пошуку нових іслінійних моделей ПП дано стислий огляд нелінійних властивостей :егпетоелектриків типу Бг^РгЯехБьх - представників систем II типу - і інших таких :истем. Описано стан дослідження дисертаційної задачі.

У другому розділі «Просторово-неоднорідні фази в системах з однокомпонент-шм параметром порядку» наведено варіаційне рівняння для моделі ср° та розглянуті >сновні положення одногармонічної моделі ПП ср(х) = а-Бт(Ь-х), котра добре іідтворюс властивості сегнетоелектриків II типу. Описано відомі результати, які Юйодять необхідність урахування інваріанту -((рср')1 та вищих гармонік ПП для тису нелінійних залежностей його властивостей від температури. Подано відомості іро суто нелінійну модель ПП (р{х) = а-5п(Ь-х,к) з трьома варійованими параметрами. Зона містить лише непарні гармоніки і роль вищих гармонік важлива лише при : « 1, коли ця модель може описувати доменну структуру. Це узгоджується з ¡кспериментальною картиною температурної поведінки ПП систем II типу. Іровсдено симетрійний аналіз досліджуваного варіаційного рівняння за допомогою точкових та контактних груп Лі. Доведено, що у випадку довільних матеріальних іараметрів варіаційне рівняння допускає лише трансляційну варіаційну групу шметрії. При цьому виникає константа інтегрування Б, яка має значення густини міергії. Трансляційно інваріантні розподіли описують просторово-однорідні стани. Також в трикритичній точці Ліфшиця та точці Ліфшиця моделі Міхельсона без нваріантів $ є масштабна симетрія. Масштабна інваріантність дозволила

¡найти часткові розподіли поблизу точок Ліфшиця. Пошук точних розв’язків тріаційного рівняння важливий для встановлення типів просторово-неоднорідних {)аз поляризованої системи, котрі може описувати ТП, та дослідження їх кількісних саракгеристик.

Розвинуто відомий підхід, який грунтується на розкладенні типу

(ф'\2 = V я лі2“ ґ?")

\Г ) “-ПГ 5 4-у

п = 0

іе а„ - коефіцієнти, пов’язані з параметрами ТП системи, - для пошуку нелінійних

довгоперіодичних розподілів однокомпонентного ПП І^х) для моделей ТП (1) з

вищими похідними ПП. При N = 2; 3 розподіли ПП виражаються через еліптичні функції Якобі. Цей підхід дозволяє знайти нові нелінійні просторово-неоднорідні

розподіли <р(х) і дає алгоритм послідовного пошуку розподілів, які поступове наближаються до точного. За допомогою підстановки (р2 = лу(г), у? = г варіаційні рівняння - це диференціальне рівняння II порядку. При N = І маємо одногармонічну модель, починаючи з N = 2 маємо суто нелінійні моделі, що враховують вищ

гармоніки модуляції ІТО. Розглянуто переходи із фази <р(х) = а-(1п(Ь-х,к) з ненульовин

просторовим середнім ПП у невпорядковану та у співвимірну фази, доведено, ще останній з них є неперервним. Для граничних випадків к * 0 та к « 1 аналітичне знайдено характеристики сіп-фази. Такий розподіл ІШ з варійованими параметрами як відомо, є перспективними для опису збуджених станів та опису властивостеі речовин з періодом модуляції ПП, що зростає при зниженні температури, а такои структур ПП, що виникають при ФП першого роду. Розглянуто ФП І роду і співвимірну фазу. Вказано, що для опису белл-солітонного розподілу ПП, що < зародком співвимірної фази, потрібне врахування доданка ~ <р 6 у розкладенні (2). ■ метою кращого наближення до точних розподілів ПП розглянуто розв’язки цьоге гіпереліптичного рівняння (2), N = 3. Знайдено підстановку

р(х) = і~(Ь- х,к) _ де (р)2 = ^ + ь^{2 + ^ (з

уі + с • ґ (Ь • х,к)

що дозволяє точне інтегрування цього рівняння при будь-яких значеннях йогс коефіцієнтів а, в термінах еліптичних функцій Якобі ґ(Ь х,к). Деякі з розподілів тшг (3) використовуються для опису доменних стінок поблизу критичної точки Кюрі спліт-солітонної модуляції ПП.

Підхід (2) узагальнено на випадок довільних реальних показників п т; використано дія аналізу досліджуваного варіаційного рівняння. Знайдено всі точн розкладення типу (2); кожне з них характеризується певним скінченним набороь раціональних показників 0 < п < 2. Розкладення, які мають доданки з дробовимі степенями, генеруються сукупністю інваріантів ^"2, {(р(р')г, <р‘ в ТП (1). Показники і знаменником 2 виникають при Б * 0, а показники із знаменником 3 - при 0 = 0 Відповідні стани системи з енергією 0 = 0 розділяють фази з нульовим і ненульовю просторовим середнім ПП, а розкладення з неаналітичними залежностями ф2(ср можуть бути корисними при аналізі поведінки досліджуваних систем в критичнії області. У моделі (р' в розкладеннях (2) допустимі тільки цілочислові показники п всі точні розподіли ПП в підході (2) охоплюються алгебраїчними функціями т; еліптичними функціями Якобі. У моделі <р6 для деяких точних розкладень типу (2 також знайдено всі розподіли ПП.

У третьому розділі «Рівноважні неспіввимірні стани в сегнетоелектриках магнетиках» проведено теоретичний опис модульованих структур у поляризовани: середовищах без інваріанта Ліфшиця для моделей ТП з вищими градієнтами ПП Підтверджено і обгрунтовано ряд положень та висновків відносно нелінійносі розподілу ПП в таких системах.

Досліджено рівноважні розподіли однокомпонентного ПП в неспіввимірній фаз при зміні ефективної температури д для різних значень матеріальних параметрів і використанням різницевої схеми Рунге-Кугта 4 порядку (рис. 1).

Використовували значення матеріальних параметрів h = 0, р = 1, g < 0, що не меншувало загальності даних досліджень. Досліджено ФП із неупорядкованої фази і модульовану і потім у співвимірну. Для пошуку рівноважних розподілів ПП <р(х) ¡початку знаходили розв’язок, який відповідає деякому набору початкових умов >о = {ç>(0), 0), ç"(0), <р'”(0)} при заданій ефективній температурі. Далі для нього

)бчнслювали значення ТП і визначали абсолютний мінімум потенціала на окупності умов So. Завдяки трансляційній симетрії можна занулити дві із чотирьох ючаткових умов, тобто розглядати лише парні (Soi = {0, <р'(0), 0, <р'"(0){) або непарні S02 = {^(0), 0, ^,,(0), 0}) періодичні розподіли <р(х). Симетрія потенціала і варіацій-юго рівняння відносно заміни (р —> -<р дозволяє розглядати лише області ç>(0) > 0, р"(0) < 0. Перша груба сітка початкових умов для кожного набору матеріальних іараметрів покривала довкілля відповідної точки для одногармонічної моделі.

Рис. 1. Рівноважний розподіл ПП <р(х) = а-зп(Ь-х,к) для різних значень ефективної температури Я: неперервна крива - я = 0.2, штрихова - я = 0.0, пунктирна -Я = -0.2. Матеріальні параметри § = -10,р = 1;1і = 0,

-15 0 15 х

порівняння результатів для Soi і S02 підтвердило їх еквівалентність та засвідчило відмінність рівноважного розподілу від одногармонічного. Значення ТП спочатку обчислювали з довжиною інтегрування L = 104 і кроком 0.01. При цьому не можна 5уло виявити рівноважні розподіли, тому що вони чисельно нестійкі. Уже на (овжині двох періодів ПП помітно збільшення амплітуди таких чисельних розв’язків. Гож були проведені розрахунки з укороченою до одного періоду довжиною нтегрування. Період визначали за допомогою графіка <р(х).

Як видно з таблиці, sn-модель (р(х) = a-sn(b-x,k) є хорошим наближенням для рівноважного розподілу ПП в неспіввимірній фазі, в тому числі і поблизу точки іереходу у співвимірну фазу. Наприклад, рівноважне значення ер”((Y) ~ a b2 для цієї моделі набагато ближче до чисельних значень ніж для наближення

р(х) = a-sin(b-x). Ця відмінність принципова і обумовлена відмінністю механізмів температурної залежності періоду модуляції в sn- та sin-моделях.

Таблиця 1.

Результати чисельного дослідження неспіввимірної фази, g = -10, р = 1, її = 0.

ч, темп. ТП, т ?У(0)

ьіп БП числен. віл БП числ. БІП БП числ.

0.2 -1.953 Е-4 -1.962 Е-4 -2.010 Е-4 0.126 0.126 0.126 -0.060 -0.059 -0.058

0 -5,240 Е-3 -5.409 Е-3 -5.401 Е-3 0.297 0.298 0.299 -0.116 -0.097 -0.096

-0.2 -1.878 Е-2 -2.086 Е-2 -2.110 Е-2 0.437 0.457 0.460 -0.114 -0.031 -0.021

У локальних мінімумах просторова залежність ПП <р(х) має вигляд двічі модульованої структури (рис. 2). У спектрі хвильових чисел присутні щонайменше дві субгармоніки з хвильовими числами Ь ± <у, со « Ь та з різним співвідношенням амплітуд.

Рис. 2. Характерний нерівноважний розподіл ПП <р(х) при я = 0. Матеріальні параметри та початкові умови дорівнюють відповідно

8 = -10,р=1,Ь = 0; ф) = 0,2215, <р"(0) = -0.1493,

<р'{ 0) = ^"(0) = 0.

-50

0

50

При всіх досліджених температурах присутня долина потенціальних мінімумів на рельєфі ТП Ф{^о(0), <р"(0)} (рис. 3). ТП різко змінюється на границях долини.

Рис. 3. Характерна залежність ТП від початкових умов.

_ _Л Л _ 1Л _ 11 _ А

ц = і, П - V.

<р(0>

<р'ЧО)

Судячи з цього, передбачається релаксація в рівноважний стан у два етапи -“швидкий” і “повільний”. Представлено результати дослідження деяких нелінійних властивостей наближено рівноважного sn-розподілу. Для виявлення ролі вищих гармонік ШТ досліджено залежність параметрів sin-, sn- моделей ПП і точного sn-розподілу від параметрів ТП, головним чином, від зведеної температури q та g. Точний sn-розподіл не відповідає рівноважному стану. При р > 0 частина розрахунків виконана без урахування інваріанта Амплітуда ПП a(q) і еліптичний модуль k(q) монотонно зростають при пониженні температури. Залежність b(q) також є монотонною. Але, на відміну від sin-моделі, у випадку варійованого sn-розподілу параметр b може також зростати (як при g - -1). Період модуляції не для всіх значень g поводить себе монотонно. Зменшення g від +1 до -10 призводить до того, що температурний інтервал існування неспіввимірної фази зменшується, вклад вищих гармонік у модуляцію ПП збільшується. При деяких значеннях g > 0 період модуляції може зростати при пониженні температури. Sn-модель якісно вірно описує відомі властивості систем II типу, зокрема, сегнетоелектриків типу NaNCK і SC(NH2)2. Результати проілюстровані на прикладі NaNC>2. Sn-модель, на відміну від sin-моделі, може описувати залежність періоду від температури і у випадку g = 0, що важливо при описі просторово-неоднорідних станів в системах різної природи, які характеризуються різною величиною взаємодії типу - <j?{<ft)2 і описуються досліджуваним рівнянням. Знайдено умову мінімуму ТП за періодом ПП та доведено, що для sn-розподілу вона еквівалентна умові мінімуму за Ь.

Проведено порівняльний аналіз одногармонічного наближення і нелінійної sn-моделі при опису експериментальної температурної залежності теплоємності та періоду ПП у неспіввиміриій фазі власного одновісного сегнетоелектрика Sn2P2Se6 на основі матеріальних параметрів ТП (1) g = -1.241, у = 1, в співвимірній фазі рср = -0.137, в неспіввимірній фазі ріср = -0.088, h = 1, розрахованих на основі експериментальних даних для одногармонічної sin-моделі. Для цього виконано перенормування параметрів ТП за рахунок дальнодіючих дружних взаємодій. Для опису ФП І роду використовується поняття “щілини” між однорідними та неоднорідними деформаціями. У sin-моделі залежність хвильового вектора модуляції ПП від температури має кривизну, яка протилежна експериментальній. Урахування лише двох гармонік дає для хвильового числа гірше узгодження з експериментом, ніж одна гармоніка. Обтрушувано вибір sn-розподілу для моделі ПП. Доведено, що sn-модель краще описує нелінійні властивості рівноважного стану системи, зокрема, правильно описує кривизну графіка температурної залежності хвильового числа (рис. 4) і краще описує тенденцію зростання АС/Т при наближенні до температури переходу в співвимірну фазу, ніж одногармонічне наближення.

Експериментально вивчена залежність доменоутворення у порівняно товстій од-новісній ферит-гранатовій плівці складу Y^eSmo^Fes.gGai^On від величини і напрямку зовнішнього магнітного поля, а також роль дефектів плівки у формуванні доменної структури. Описано експериментальні пристрої. Параметри плівки: фактор якості Q > 3, товщина t = 5.6 мкм, намагніченість насичення 4tiMs = 246 Гс, поле колапса Ніс = 116 Е, характеристична довжина 1 = 0.83 м, період доменної структури складає

Рис. 4. Хвильове число модуляції ПП (суцільна лінія -експеримент (Barsamian Т.К., Khasanov S.S., Shekhtman V.Sh., 1993), штрихова - sn-модель, крапкова - sin-модель).

Ä

Г>

О

CU

о

£, 0,65

о

5

Я

О

і

Т-'--'--1--Г——»—і—І----------.-І-г— г

qc -0,2 0,0 0,2

Температура q (безрозмірна)

декілька мікрон. Здобуто зображення залишкової конфігурації доменів після намагнічування плівки зовнішнім магнітним полем Ні до насичення (при цьому доменна струкіура зникає) і наступного повільного зменшення поля до величини залишкового поля електромагніта. Дослідження проводили при протилежних напрямках зовнішнього магнітного поля Ііі_ в зонах однорідного і неоднорідного зародження доменів. Здобуто повторення конфігурації доменної структури, яка утворюється в результаті дії різнополярного поля Пі, що вказує на те, що в плівці існують структурні неоднорідності, які допомагають утримувати і формувати домени певної конфігурації. Для доменної структури, утвореної в зоні неоднорідного зародження доменів, це короткі страйпи. Існує можливість автоматизації процесу визначення дефектних місць в досліджуваній шіівці, що грунтується на аналізі розподілу циліндричних магнітних доменів по розмірних градаціях. При вивченні впливу азимутальної орієнтації плівки на домешу структуру за допомогою поляризаційного мікроскопа виявлено, що в процесі повного оберту плівки доменна структура зазнає низку фазових перетворень - зона щільного пакування «чорних» циліндричних магнітних доменів переходить у зону змішаної полярності доменів, а та в свою чергу переходить у зону щільного пакування «білих» доменів. Установлено, що полоясення границі ФІІ, де спостерігається одночасно змішана полярність доменів, залежить як від кута нахилу плівки, так і від кута а повороту її відносно напрямку вектора напруженості діючого поля. Залежність від а має вигляд гармонічного коливання з півперіодом приблизно 54.7°. Це вказує на наявність кубічної анізотропії у плівці, а переходи від однієї полярності пакувати доменів до іншої зумовлені розташуванням осей важкого і легкого намагнічування відносно напрямку зовнішнього поля. Проведено чисельний Фурьє-аналіз азимутальної залежності поля однорідного доменоутворення. Найбільшу амплітуду має третя гармоніка, що вказує на основну роль кубічної анізотропії. Амплітуди першої та другої гармонік характеризують нахил одноосної анізотропії і внесок орторомбічної анізотропії відповідно.

Четвертий розділ «Солітонні розподіли параметра порядку у сегнетоелектриках та магнетиках» присвячений аналізу солітонних розподілів однокомпонентного ПП у сегнетоелектриках і магнетиках. Дано огляд методу фазового портрета, що дозволяє

шзначати кількість і типи фаз а також точки фазових перетворень. Розглянуто умови снування кінк- та белл-солітонних розподілів а також їх придатність для опису іародження рівноважного стану. Доведена можливість існування стійких белл-;олітонів для будь-яких значень § в моделях (рА і <р6 (1). Кінк-солітони існують у мо-іелі И = 0 при § 5* 0 і в моделі її > 0 при будь-яких g і можуть бути рівноважними ті-іьки при 8 ті 0 в моделях її > 0. Знайдено всі фізично значущі розподіли для юзкладення ці2 = аіа<Р - Ї<Р - 8^/10, котре є розв’язком варіаційного рівняння точним) при £ = 501і/3, р = уе/5, у= Ь = 1, ц = 0. Із умови глобальної стабільності ТО іипливає g = - %/50 / 3. Усі періодичні розподіли ПП відповідають метастабільним :танам. Також існує белл-солітонний розподіл; він має мінімальну серед усіх іосліджених розподілів енергію О = (10/27)/3/й і описує зародок співвимірної фази.

Досліджено еволюцію одновимірного анізотропного спінового ХУ-ланцюжка в мпульсному магнітному полі з метою доведення можливості ефекту ¡амоіндукованої магнітної прозорості в даній системі. Одновимірний спіновий ХУ -ганцюжок при умові сильної анізотропії обмінної взаємодії Іх - -Іу допускає находження точної системи еволюційних рівнянь. За цієї умови раніше була іоведена можливість нульового відклику на однорідне магнітне поле, яке змінюється і часі певним чином. Така модель має антиферомагнітний характер основного стану, снують органічні сполуки класу солей ТСИС), магнітні властивості яких (зокрема, юведінка магнітної сприйнятливості) пояснюються в рамках цієї моделі. Умова х = приводить систему еволюційних рівнянь до вигляду, що має солітонний юзв’язок. Шляхом знаходження однопараметричного автомодельного розв’язку іоведена можливість бездисипативного поширення в такому магнетику юзонансного солітона, що виникає внаслідок нелінійної взаємодії системи із іовиішнім полем. Наявність такого нелінійного збудження обумовлює такі явища, як :амоіндукована оптична прозорість, розповсюдження звуку в надпровідниках, і ¡изначається головним чином фермієвським характером елементарних збуджень у іідповідних системах. Солітон магнітного поля має вигляд 1ї(х,і) = -2аЛ//1(1 -[Щм)\2)т п(у)-сЬ_1(п(у)-[1 - х/у]), де а - стала гратки, ц - е/г/(2тс) - магнетон Бора, = Іх/4, V - постійна швидкість. При Т -> 0 ширина солітона дорівнює п(у) = 2л2/ГІ-а4/^((с/у)2 - 1)"’(1 - д/(ЙУ))2) V > ЛТі. Відмічено суттєву нелінійність знайденого :фекту. Здобутий результат указує критерії відбору середовища для експеримен-ального дослідження ефекту бездисипативного проходження імпульсу магнітного юля і характеристики самого імпульсу. При додатковому накладенні постійного од-юрідного магнітного поля знайдений солітоіший розв’язок при Т -» 0 має іескінченну амплітуду.

ВИСНОВКИ

У дисертаційній роботі розв'язана задача стосовно теоретичного опису іелінійних модульованих станів однокомпонентного ПП. Пояснено температурну волюцію ПП і теплоємності у неспіввимірній фазі власного одновісного егнетоелсктрика 8п2Р25еб. Основними і найбільш важливими науковими та

практичними результатами роботи є такі:

1. Доведено, що в порівнянні з моделями, в яких розподіл ПП апроксимуєтьс; гармонічним рядом, наближений вп-розподіл (р{х) = а-Бп(Ь-х,к) з варійованимі параметрами повніше відтворює нелінійні властивості модульованих структур однокомпонентного ПП. У той же час точний розподіл такого типу відповідач метастабільному стану. При зниженні температури синусоїдальна залежністі модульованого ПП <р(х) поблизу точки переходу із високосиметричної фази і модульовану трансформується в суттєво нелінійну залежність поблизу точкі переходу в співвимірну фазу, тобто росте внесок вищих гармонік. У дослідженії феноменологічній зп-моделі ПП, яка має всього три параметра, здобуто добре узгодження теоретичних розрахунків температурної поведінки хвильового числа і неспіввимірній фазі сегнетоелекгрика Зі^Р^е,, з експериментальними даними.

2. Чисельні розрахунки з використанням малої довжини інтегрування порядку декількох періодів ПП дня пошуку рівноважних розподілів, які виявляють« чисельно нестійкими, підтверджують хорошу відповідність положень і висновків БІТ моделі основному стану досліджуваних речовин. Результати цих обчислені узгоджуються також із основними висновками, зробленими в рамках модел <р(х) - азш(Ь-х). Вивчена залежність р(х) від параметрів ТП. Порівняння : експериментом проведено для сегнетоелектрика №N02.

3. Проведено повний аналіз точкових і контактних груп симетрії розподілі! однокомпонентного ПП в узагальненій схемі Гінзбурга-Ландау для моделей ТП <рА <р6 з вищими градієнтами.

4. Знайдено всі точні і наближені розподіли для досліджуваного варіаційного рівняння за допомогою підстановки (<р'\2 = £ап -^>2п . у такому підході неспіввимірн

п=0

розподіли ПП виражаються через еліптичні функції Якобі. Досліджено властивост цих розподілів з точки зору можливості опису різних фаз речовин. Якіснс досліджено перехід в модульовану фазу з ненульовим просторовим середнім ПП зі допомогою моделі <р(х) = а-(1п(Ь'Х,к). Розглянуто перехідний стан солітонного типу Знайдені розподіли можуть слугувати наближенням для опису рівноважного стану.

Цей підхід узагальнено на випадок довільних реальних п. Знайдено всі точн залежності ({І1 у вигляді поліномів із реальними степенями <р. З їх допомогок знайдені нові точні розподіли ПП. Для всіх аналітичних залежностей <р,2(<р) вказане зручний шлях інтегрування. Цей алгоритм застосовний і у випадку, коли ТП системі містить інші степенні нелінійності і градієнтні доданки. Знайдені залежності (р’2{(р) т; ЇХ розв’язки <р(х) Є ОСНОВОЮ ДЛЯ побудови НОВИХ більш досконалих моделей ДЛ5 дослідження станів різноманітних поляризованих твердих тіл.

5. Розглянуто різні типи нелінійних просторових розподілів однокомпонентногс 1111 в системах з конкуруючими взаємодіями. Обговорено іх властивоеіх і фізичнш зміст. Особливо виділено кінк- і белл-солітонні розподіли як зародки нової фази.

Для точного розкладення (У)2 = г\а<р + а,<р2 + аг(рА знайдено всі фізично значущ розподіли ПГ1. Для значень матеріальних параметрів, при яких існує дане розкладення і ТП абсолютно стійкий, доведено, що серед них всі періодичн

озподіли відповідають метастабільним станам, а белл-солітонний стан є зародком піввимірної фази і має однакову з нею мінімальну енергію. .

6. Числові розрахунки довели, що релаксація до рівноважного стану відбувається два етапи - “швидкий” і “повільний”.

7. Досліджено доменоугворення в одновісній феррит-іранатовій плівці складу 'г.бЗто^Рез^Са^Оп, яка застосовується при створенні запам'ятовуючих пристроїв, (оведена можливість автоматазації процесу виявлення дефектів в плівках такого типу.

8. Виявлена можливість самоіндукованої магнітної прозорості антиферо-іагнетиків, які описуються одновимірним спіновим XY-ланцюжком з умовою нльної анізотропії обмінної взаємодії Jx = -Jy. Показано, що при взаємодії імпульса овнішнього магнітного поля з даною системою виникає резонансний солітон та изначено його характеристики при температурі 0 К. Доведено принципову :ожливість бездисипативного розповсюдження імпульсного магнітного поля в таких разках і вказано критерії вибору типів антиферомагнетиків та магнітного поля для кспериментального дослідження самоіндукованої магнітної прозорості.

Результати даного дисертаційного дослідження важливі для розробки таких горетичних моделей, які б коректно описували властивості неспіввимірної фази в сьому температурному інтервалі її існування і, зокрема, дозволяли врахувати нелінійні собливості розподілів ПП за відсутності і за наявності зовнішніх полів. Наведені езультати полегшують пошук нових розподілів, які допускаються варіаційним івнянням задачі, детальне вивчення їх властивостей і можливості їх використання для пису різних станів поляризованих середовищ. Отримані результати можуть викорисго-уватися для інтерпретації експериментальних даних, для планування нових експери-ентів, при вивченні перспектив використання одновісних власних сегнетоелектриків.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ АВТОРОМ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

. Olemskoi А.І., Berezovsky S.V., Klepikov V.F., Sereda Yu.V. Modulated structures in the condensed matters without Lifshitz invariant // Journal of Physical Studies. - 1998. -Vol. 2, №2. - P. 1049-1056.

. Березовский C.B., Клепиков В.Ф., Корда В.Ю., Середа Ю.В., Шляхов Н.А. Численное исследование параметрической эволюции несоразмерных распределений однокомпонентного параметра порядка // Вісник Харківського університету. Серія фізична «Ядра, частинки, поля». - 1998. - № 421. - С. 18-23.

. Березовский С.В., Клепиков В.Ф., Середа Ю.В., Федорец Д.И. Неоднородные состояния поляризованных систем в модели tp6 II Вопросы атомной науки и техники. Физика радиационных повреждений и радиационное материаловедение.

- 1999. - вып. 1/73/, 2/74/. - С. 184-187.

. Berezovsky S.V., Klepikov V.F., Sereda Yu.V. The non-linear properties of incommensurate phases in the systems with scalar order parameter 11 Journal of Physical Studies. - 1998. - Vol.2, № 4. - P. 518-523.

. Afonin A.M., Klepikov V.F., Pukhov I.K., Sereda Yu.V. Domain formation study in ferrite-garnet Y2.6Smo.4Fe3gGa1.2O2 film in external magnetic field // Functional materials.

- 1999. - Vol. 6, № 1. - P. 157-159.

6. Середа Ю.В., Березовский C.B. Нелинейные распределения однокомпонентного параметра порядка // Вісник Харківського університету. Серія фізична «Ядра, частинки, поля». - 1999. - вип. 1, № 438. - С. 55-61.

7. Березовский С.В., Клепиков В.Ф., Середа Ю.В., Лысенко М.А. Симметрии в системах с несоразмерными фазами // Вісник Харківського університету. Серія фізична «Ядра, частинки, поля». - 1999. - вип. 2/6/, № 443. - С. 17-22.

8. Berezovsky S.V., Klepikov V.F., Korda V.Yu., Sereda Yu.V. Non-linear distributions of a one-component order parameter // Український фізичний журнал. - 1999. - Т. 44, № 5. - С. 655-660.

9. Березовский С.В., Середа Ю.В., Щелоковский П.А. Термодинамическая модель поіія параметра порядка в несоразмерной фазе сегнетоэлектрика SiijPiSer, // Вісник Харківського університету. Серія фізична «Ядра, частинки, поля». - 1999. - вип. 4, №463.'-С. 34-38.

10. Середа Ю.В. Бездиссипативное распространение импульсного магнитного поля в - одномерной анизотропной спиновой XY-цепочке // Вісник Харківського університету. Серія фізична «Ядра, частинки, поля». - 2000. - вип. 1, N° 469. -С. 21-26,

11. Klepikov V.F., Berezovsky S.V., Korda V.Yu., Sereda Yu.V. Non-linear properties of one-component order parameter distributions in ferroelectrics // Abstracts of IV Ukrainian-Polish meeting on phase transitions and ferroelectric physics. -Dnepropetrovsk (Ukraine). - 1998. - P. 59.

12. Berezovsky S.V., Klepikov V.F., Korda V.Yu., Sereda Yu.V. Novel modulated phase in systems without Lifshitz invariants // Abstracts of 7th European magnetic materials and applications conference (EMMA’98). - Zaragoza (Spain). - 1998. - P. 301.

13. Sereda Yu.V. Selfinduced antiferromagnet transparency for the magnetic field pulse II Abstracts of 8th European magnetic materials and applications conference (EMMA 2000). - Kyiv (Ukraine). - 2000. - P. 174.

Середа Ю.В. Нелінійні модульовані стани параметра порядку у поляризованих середовищах. - рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.04.07 - фізика твердого тіла. - Харківський національний університет ім. В.Н.Каразіна, Харків, 2000.

Теоретично досліджені нелінійні стани систем з однокомпонентнім ПП в рамка> моделей ТП (р4 і <р6 Гінзбурга-Ландау з вищими градієнтами ПП. Проаналізован симетрії ПП за допомогою груп Лі. На основі розкладеіпія по цілим степеням ф знайдено нові перспективні розподіли ПП. Цей підхід узагальнено на довільні п : застосовано до варіаційного рівняння для ТП.

Доведено, що модель ПП гріх) = a-sn(b-x,k) з варійонанимк параметрами добре описує рівноважний стан систем без інваріанта Ліфшиця, зокрема, температурну за лежкість ПП одновіспого власного сегнетоелектрика Sn2P2Se6 в неспіввішірній фазі.

Експериментально досліджено доменоутворення при перемагнічуванн одновісної плівки Уг^то^Рез^Оаі.гОіг і вказано шлях автоматизації пошук)

ефектів таких плівок.

Розглянуті солітонні розподіли ПП. Доведена можливість самоіндукованої агнітної прозорості одновимірного спінового XY-ланцюжка при Jx = -Jy.

Ключові слова: фазові перетворення, термодинамічний потенціал, варіаційне івняння, параметр порядку, групи Лі, sn-модель, точні розподіли, солітони.

Sereda Yu.V. Nonlinear modulated states of order parameter in polarized tediums. - Manuscript.

Dissertation for Ph.D. degree of physics and mathematics sciences by speciality

1.04.07 - solid state physics. - Kharkov National Karazin University, Kharkov, 2000.

The nonlinear states of the systems with one-component order parameter have been leoretically studied in tp* and (p3 models of Ginzburg-Landau thennodynamic potential with igher derivatives of order parameter (OP). The symmetries of OP have been studied with іе aid of Lie groups. On the base of (р'г expansion in integer powers of <j?‘ the novel erspective OP distributions are found.

The OP model <p(x) = a-sn(b-x,k) with varied parameters is shown to describe well the able state of systems without Lifsliitz invariant, e.g. the OP temperature dependence of niaxial proper Sn2P2Se6 in incommensurate phase.

The domain nucléation under remagnetization has been studied experimentally for uniaxial Д'’ез,8Са і ¿О )2 film. The way of defect search automatization in such films is shown.

The soliton OP distributions are considered. The possibility of selfinduced magnetic ansparency of 1-D spin XY-chain under condition Jx = -Jy is shown.

Keywords: phase transitions, thermodynamic potential, variation equation, order arameter, Lie groups, sn-model, exact distributions, solitons.

Середа Ю.В. Нелинейные модулированные состояния параметра порядка в оляризованиых средах. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических аук по специальности 01.04.07 - физика твердого тела. - Харьковский ациональный университет им. В.Н.Каразина, Харьков, 2000.

Теоретически исследованы нелинейные состояния систем с однокомпонентным П в рамках моделей ТП <р4 и <рй схемы фазовых переходов Гинзбурга-Ландау, бобщенной на случай высших градиентов ПП. Основной задачей был поиск елинейной модели ПП, способной воспроизвести параметрическую температурную) эволюцию теплоемкости и периода несоразмерной лодулированной) структуры в одноосных магнетиках и собственных одноосных ;гнетоэлектриках (типа Sn2P2SexSi-x, NaN02, SC(NH2)2 и т.д.).

В качестве такой модели ПП принята sn-модель <р(х) = a-sn(b-x,k), применяемая ля описания несоразмерных структур ПП в системах с многокомпонентным ПП. На глюве характерных значений материальных параметров в ТП показано, что эта одель хорошо описывает несоразмерную фазу исследуемых поляризованных сред и вляется перспективной для описания многих экспериментальных результатов. В гличие от используемых при описании однокомпонентного ПП разложений в їрмонические ряды, sn-модель имеет лишь три варьируемых параметра и в то же

время позволяет корректно учитывать роль высших гармоник волны модуляции ПП.

Проведен термодинамический анализ ПП и теплоемкости собственного одноосного сегнетоэлектрика с помощью эн-модели ПП на основе

материальных параметров, рассчитанных в работе для одногармонической бш-модели. Впервые качественно и количественно объяснено температурное поведение волнового числа модуляции ПП. Улучшено описание тенденции к росту ДС/Г при приближении к температуре перехода из несоразмерной фазы в соразмерную.

Точное яп-раснределение ПП описывает состояние с более высокой энергией и при некоторых значениях материальных параметров его температурная область существования находится вне области существования варьируемой Бп-модели.

Проанализированы симметрийные свойства распределений ПП с помощью точечных и контактных групп Ли. .

Найдены все точные распределения ПП <р(х), для которых (р’г разложимо по целым степеням а также все приближенные распределения, дня которых такое разложение оканчивается слагаемым <р6. Показано, что распределение <р(х) = а-(1п(Ь х,к) с варьируемыми параметрами может описывать фазы с ненулевым пространственным средним ПП. Предложен удобный способ отыскания явного вида <р(х) для всех точных аналитических разложений (р'1 по степеням (р. Эти и все точные неаналитические разложения <{17{<р) с вещественными показателями степеней <р найдены с помощью развитого в работе подхода.

Исследована зависимость ТП от начальных условий <р{0), <р!'(0).

Рассмотрены солитоноподобные распределения однокомпонентного ПП. Получены условия их существования. Для набора численных значений параметров ТП, при которых обеспечена глобальная устойчивость ТП, исследованы все точные распределения р(х), возможные в рамках развитого здесь подхода. Показано, что все содержащиеся среди них периодические распределения описывают метастабилъные состояния, а белл-солитонное состояние является зародышем соразмерной фазы.

Экспериментально исследовано доменообразовалие при перемагничивании одноосной феррит-гранатовой пленки состава Уг/^Шо^Те^Са^Оп в зависимости от величины и направления внешнего поля. Показано, что визуальное изучение рисунка ДС после воздействия на пленку планарным полем дает практически точный метод обнаружения дефектных мест в пленках, который может быть автоматизирован на основе анализа распределения цилиндрических магнитных доменов по размерным градациям.

Изучена эволюция одномерной спиновой ХУ-цепочки во внешнем импульсном магнитном поле при условии сильной анизотропии обменного взаимодействия 1Х = -1У. Получена точная система эволюционных уравнений и найден резонансный солитон, возникающий в результате нелинейного взаимодействия системы с полем. Найдены характеристики этого солитона при нулевой температуре. Показана возможность самоиндуцированной магнитной прозрачности рассматриваемой системы по отношению к импульсу магнитного поля и получены критерии выбора вещества и импульса для экспериментальных исследований.

Ключевые слова: фазовые переходы, термодинамический потенциал, вариационное уравнение, параметр порядка, группы Ли, Бп-модель, точные распределения, солитоны.

Підписано до друку 07.11.2000 р. Зам. № 521.

Наклад - 120 прим. Умов. друк. арк. 0,9. Формат 60 х 8471б.

ТОВ “Техно-АРТ” вул. Донець-Захаржевського, 4а/4б.