Непараметрическое оценивание функций из пространств Бесова с использованием вейвлетных базисов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

Белорусский Государственный Университет

•ТО о л

УДК 519.234.2 - $ д^р до«

Завадский Вячеслав Леонидович

Непараметрическое оценивание функций из пространств Бесова с использованием вейвлетных базисов

01.01.05-теорил вероятностей. я л/аTf.uaтичсскал статистика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Минск, 1998

Работа выполнена в институте математики Национальной Академии Наук Беларуси.

Научные руководители: д.ф.м.н. Залесский Б.А. д.ф.м.н. Егоров А.Д.

Официальные оппоненты: д.ф.м.н., с.н.с. Дудин А.Н. д.ф.м.н., проф. Берник В.И.

Оппонирующая организация: Санкт-Петербургский Государственный университет.

Защита диссертации состоится "._" сентября 1998 г. на заседании специализированного совета Д 02.01.08 при Белорусском Государственном Университете в "_" часов в аудитории "_".

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке университета или получить ее через Internet по адресу http://im.bas-net.by/vzavadsky/mam.ps.gz.

Автореферат разослан _ 1998 г.

Ученый секретарь совета ilM Труш H.H.

Общая характеристика работы

Актуальность темы диссертации

В течение последнего десятилетия в работах Donoho D.L., Johnstone I.M., Залесского Б.A., Götze F., Kerkuchirian G., Pickarcl D., Amato V., Vuza D.T. и др. стал применяться новый подход к задаче непараметрического оценивания функций, наблюдаемых с шумом ría сетке. Эта проблематика является актуальной в задачах обработки изображений и экспериментальных данных, в нелинейных экономических моделях, в математических моделях для САПР и т.д. Указанный подход основал па применении к результатам наблюдения техники вейвлетного разложения, что позволяет свести задачу оценивания функции, наблюдаемой с шумом на сетке, к задаче оценивания последовательности, априори принадлежащей эллипсоиду в fp, по одному наблюдению.

Данная задача изучалась з работах Шшскера М.С., Donoho D.L., Johnstone I.M и для пее построены минимаксные оценки в случае гауссовского шума. Негауссокский случай изучен хуже и его исследование представляется актуальным. Для углубления вейвлетного подхода к пепараметрпческому оцениванию функций актуальной является дальнейшая разработка вейвлетного анализа, развитие которого представляет самостоятельный научный и практический интерес.

Вейвлетный анализ сформировался а работах Coifman R.R, Chili L.K, Meyer I., Daubechies I., Feaufeau J.C, Mallat S., Jawerth В., DeVore R.A., Popov V.A., Lucier B.J., Frazier M., Lemarie D.G и др. К настоящему времени получен ряд результатов для функций одного переменного и функций многих переменных с частными производными по каждой переменной. Представляет интерес построение и изучение вейвлетного анализа для функций многих переменных многих переменных с ограниченной смешанной производной, аппроксимация которых тригонометрической системой изучалась в работах Галеева Э.М., Романюка A.C., Темлякова В.Н., Тихомирова В.М. и др. Как показывают полученные в работах этих авторов оценки поперечников пространств функций с ограниченной смешанной производной, построение вейвлетного анализа в

этих пространствах позволяет улучшить оценки скорости сходимости как аппроксимаций, так и непараметрического оценивания.

Связь работы с крупными научными программами, темами

Диссертационная работа выполнена в рамках Государственной программы фундаментальных исследований республики Беларусь "Методы и алгоритмы вычислительной и дискретной математики" по теме "Разработка приближенных методов стохастического анализа и функционального интегрирования", гос. номер 317, включенной в тематический план института математики на 1996-2000 гг. и по теме "Исследование многомерных вероятностных распределений и их применений в математической ста-тистикегос. номер 580, включенной в тематический план института математики на 1991-1995 гг.

Цель И задачи исследования

Целями и задачами исследования является: получение новых оценок для задач непараметрического оценивания с использованием вейвлетов, построение вейвлетов с необходимыми для этого характеристиками, изучение связи вейвлетов со свойством самопо-добности сигналов.

Научная новизна полученных результатов

В настоящей работе дается способ построения вейвлетных базисов для пространств функций нескольких переменных с ограниченной смешанной производной, получены новые факты по эквивалентности норм при разложениях по вейвлетным базисам, дано дальнейшее развитие работам по связям вейвлетных и фракталь-пых методов и описанию вейвлетов с вырожденными моментами. Доказана теорема об оптимальности оценок вида срезки для не-гауссовских шумов при оценивании над 1р эллипсоидами, построены скрытая марковская модель для вейвлетно-фрактального разложения и базирующейся на ней алгоритм оценивания.

Практическая значимость полученных результатов

Работа носит теоретический характер. Многие объекты, изучае-

мые и диссертации, встречаются в математических моделях для систем обработки и храпения изображений, телекоммуникационных продуктов, систем видеоконференцсвязи и т. п. Полученные в диссертации результаты могут найти применение при разработке таких систем.

Экономическая значимость полученных результатов

Экономическую значимость разработанных в диссертации методов и алгоритмов оценить в настоящее время не представляется возможным.

Основные положения, выносимые на защиту

1. Построено и изучено семейство вейвлетных базисов для пространств функций многих переменных с ограниченной смешанной производной и доказана эквивалентность (с точностью до бесконечно малой в параметрах пространств) норм функций и их. коэффициентов разложений по построенному базису. Тем самым доказана эквивалентность задач оценивания функции, наблюдаемой с шумом на сетке и априори принадлежащей пространству функций с ограниченной смешанной производной и соответствующей задачи для последовательности.

2. Для задачи непараметрического оценивания, последовательности, априори принадлежащей пространству Бесова, построен способ оценивания и получена оценка сверху его скорости сходимости.

3. Показана минимаксность оценок вида срезки для задачи не-параметрнчсско?о оценивания последовательности, априори принадлежащей пространству Бесова.

4. Дано полное описание семейств вейвлетов, имеющих заданное количество вырожденных моментов.

5. Доказана оценка сверху скорости сходимости вейвлет-но-фрактальяого разложения; построен алгоритм непараметрического оценивания, базирующийся на вейвлетно-фрактальном разложении.

Личный вклад соискателя

Результаты всех разделов диссертации, кроме разделов 2.1, 3.1 и 3.3 получены автором самостоятельно. В разделе 2.1 автору принадлежат все теоремы, кроме теоремы 2.1, формулировка и первоначальный вариант первого пункта доказательства которой принадлежат Б. Дуброву. Совместно с ним получены алгоритмы ©того раздела. Результаты раздела 3.1 получены автором самостоятельно, после чёго были обобщены совместно с Е. Блиновой на пространства /г и в таком виде опубликованы. Результаты раздела 3.3 получены совместно с В. Петровым на паритетных началах.

Апробация результатов диссертации

Результаты, представленные в диссертации, обсуждались на Республиканской научно-практической конференции, посвященной 25-летию факультета прикладной математики и информатики БГУ, на семинаре факультета математики университета Биеле-фельд (Германия), на семинаре кафедры математического моделирования и анализа данных БГУ под руководством Ю. Харина и (неоднократно) на семинарах в отделе стохастического анализа института математики НАН Беларуси под руководством А. Егорова и Б. Залесского.

Опубликоваляость результатов диссертации

Основные результаты диссертационной работы опубликованы в [Ц-(7].

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения и трех глав. Общий объем диссертации составляет 97 страниц. В списке литературы, который занимает 7 страниц, приводятся 89 наименований.

Содержание диссертации.

В главе 1 дается обзор литературы по теме диссертации, и кратко приводятся основные определения и положения вейвлет-ного анализа.

Многоразрешающей аппроксимацией называют четверку функций (ф,ф',ф,ф'), удовлетворяющую следующим условиям:

¿(*) = £Л(''Ж2*-*); (1)

¿ez

Ф'(х) = ^1(г)ф'(2х-г)-> (2)

iez

<0'(х-0, <*(*-.;)> = ¿у; (3)

= (4) iez

fW = Eî№-0; (5)

¡ez

<ф(х-0 ,ф*{х-])> = 6и\ _ (б)

. < ф(х — г),ф'(х — j) > = 0; * (7)

<ф'(х -i),^(x - j) > =0; (8)

"(9)

¿(2* -i)=i; - j) 4- £ bjlK* - j),

iez ,-6Z (10)

где x - некая вещественная переменная, R, Z множества вещественных и целых чисел соответственно, < •,• > - скалярное произведение в смысле I>2(R), i,j - некие целые числа, h{i),î(i),g(i),q(i) €R.

Функции ф и ф' называют шапочкой п биортогоналъной шапочкой соответственно, а ф и ф* - вейолетом и биортогоналъ-ным вейвлетпом. Говорят, что многоразрешающая аппроксимация (ф,ф',ф,ф') имеет t вырожденных моментов, если / ф*х' 0, где î = 0,...,t- 1.

Результаты, полученные автором, представлены в двух следующих главах: главе 2, которая посвящена построению и использованию эейвлетных базисов для аппроксимации и является необходимой базой для главы 3, которая посвящена применению вейвлетных базисов для задач непараметрического оценивания.

Глава 2 начинается с раздела 2.1, который посвящен описанию

семейств вейвлетоп с заданным количеством вырожденных моментов. В дальнейшем, в разделах 2.2 и 2.3, именно это свойство является достаточным для доказательства оценок сверх}' скорости сходимости разложений по вейвлетному базису.

Фильтром называют конечный ряд Лорана, например Р(х) = Е"1П| Р|-х', П1,П2 € 6 С,х € С. Множество всех фильтров обозначается через я\ Говорят, что Р £ ж имеет корень а ф О кратности к, если Р представим в виде (х — а)кР, где Р 6 гг и Р(а) ф 0. Положим

я = £/»(«>'; ¡62 (П)

¡ег (12)

(13)

■ег (14)

Сигналом называют двунаправленную комлекснозначную последовательность. Сигналы в дальнейшем будут обозначаться греческими буквами (а,/?...). Элементы последовательностей будут обозначаться о(«), где i € Z. Множество всех сигналов обозначено через Б. Положим 5 —► 5, X а(|) = а(2»), Б —> 5,

| о(») = если 1 четн0> Обозначим т =||. Отме-

[0, в противном случае.

тим, что множество всех сигналов 5 имеет структуру векторного пространства над полем С. Обозначим как 5+ линейное подпространство - область значения линейной операции г, т.е. ае5+ «

а(2» 4-1) = 0, »6 Ъ. Положим:

* : тг х 5 -» Б, (15)

ах" * «(¿) = аа(» - п), а 6 €, (16)

(Р1 + Р2)*а = Р!*а + Р2*а. (17)

Будем говорить, что два фильтра Н и Ь образуют биортого-налъную пару, если т(ЬН * а) = а для всех а 6 Показано, что наличие вырожденных моментов связано только со свойствами фильтра Н.

В частности, показано, что если —1 является корнем кратности тп 1 фильтра Н, 1 является корнем кратности то фильтр имеет

в точности тп = тах{т1 — т?, 0} вырожденных моментов (теорема 2.1). В теореме 2.2 показано, что биортогональный к фильтру Н фильтр существует тогда и только тогда, когда Я не имеет симметричных корней.

Из этих двух результатов получается следствие 2.1, которое утверждает, что если (Н,Ь) — биортогональная пара, т — кратность корня —1 у Н, то Н имеет ровно т вырожденных моментов. Далее в разделе 2.1 построены методики описания всех биортогональных и ортогональных пар фильтров.

Раздел 2.2 посвящен построению вейвлетного базиса для пространств функций многих переменных с ограниченной смешанной производной и доказательству некоторых для оценок свер--ху скорости сходимости линейных приближений по этому базису. Пусть € Z, 21,...,гп 6 {0,1}. Мультиипдексы ,АП] и [^1,22,... ,2„) будут обозначаться как 1с и г соответственно. Положим а(к) = 9 = — ^/р) {Я = 00 если

Р=1),

:=.2.(Ц/р^, ф1-,г • • 'V* (2*"*п) ф1-'" (2к"хп),

(18)

-М := 2«00/1ф>ч (2*'хг) • • • ф(2*»х„) ф*х~г' (2к"хп),

(19)

К = {(к, а) | *!,...,*„ ег+, 21,...,2„ е {0,1}, 2,':=о=>*.- = о}.

(20)

Показано, что множество

{^{х1-ц12к\..,,хп-и/2к')\(к,г)еК, (21)

является базисом Шаудера в Ьр, 1 < р < оо и получен алгоритм разложения по этому базису. Затем доказаны результаты по оценке сверху скорости сходимости для функций из пространств Соболева и Бесова.

В частности, показано (теорема 2.4), что если аппроксимируемая функция имеет обобщенную соболевскую производную

/("*.....т) в ЬР, а вейвлетный базис - га вырожденных моментов, то

Ьр-погренгаость при аппроксимации не будет превосходить, с точностью до логарифмической компоненты, 0{N~m) относительно числа коэффициентов N.

Результат для пространства Бесова сформулирован в теореме 2.8. Там показано, что если функция / принадлежит пространству Бесова а многоразрешающая аппроксимация имеет [а] вырожденных моментов, то скорость сходимости вейвлетных приближений в Ьр не хуже, (с точностью до логарифмической компоненты) чем по отношению к числу ненулевых коэф-

10, если х < 0; фициентов N, где 1 < р, т < оо, (х)+ := <

в противном случае .

Раздел 2.3 посвящен более подробному изучению вейвлетно-го базиса, построенного в разделе 2.2, а именно, доказательству эквивалентности различных норм функций и норм их коэффициентов разлджепия по этому базису, а так же нелинейным аппроксимациям пространств Бесова функций и последовательностей.

Пусть / - функция, а а* - коэффициенты ее разложения по вей-влетному базису пространств функций с ограниченной смешанной производной. Пространства Бесова последовательностей определяется посредством нормы

К1*, -

£ (к,»)6Л-

2«(к,1)[о+1/г-1/г] (

I £

V..........

т\в/Т

К(»ч.....»'-)П

1/в

(22)

Определим калибровочную функцию обычной нормой /р с весом: .

которая является

а;

■ я/..

(к,ж)€К и.....1„€2

1/Р

(23)

Установлена взаимосвязь между Ьр нормой функции и 1рс нормой ее коэффициентов, а именно если 1 < р < оо, е > 0, то < С (теорема 2.9). С другой стороны, если 1 < р < оо, а е < 0

т° к -(те°рема 2л°)-

Далее получена взаимосвязь между нормами пространств Бесова функции и ее коэффициентов, а именно если многоразрешающая аппроксимация имеет [а] вырожденных моментов, то

Кк* С И/И«

(24)

где [а] - наименьшее целое, большее либо равное а, 1 < г < ос (теорема 2.11). С другой стороны, если элементы вейвлетного

базиса принадлежат пространству Бесова 7 < а, то

l/k, <cRLr% '' (25)

(теорема 2.12).

Обозначим через Е/у множество тех последовательностей, у которых лишь не более чем N элементов отличны от нуля. В диссертации показано, что заданная скорость сходимости нелинейных аппроксимаций есть характеризация пространств Бесова последовательностей, а именно если функция, соответствующая последовательности, имеет носитель, сосредоточенный в единичном кубе и а > 1 /г, то для любого N найдется такая последовательность /3* € Sew, что

К - ^ CN~[a~e) KL;,# N, 0 < £ < a — 1/r (26)

(теорема 2.13).

Кроме того, для любого 7 < а найдется £ < 0, такое,, что для любой последовательности {Sjv}, Sn € Еyv справедливо

K||^<Csupo^K-S4fi, (27)'

где т = 1/(а + 1 /р), р > а (теорема 2.14).

Пусть Тн есть множество тех функций, коэффициенты разложений которых по вейвлетному базису принадлежат Е^. В диссертации показано, что заданная скорость сходимости нелинейных аппроксимаций есть характеризация так же пространств Бесова функций. Если функция / € В°в, где а > 1 /т имеет носитель, сосредоточенный в кубе [0,1]", a вейвлетпый базис имеет fa] вырожденных моментов, то для любого N найдется /w G Fu, такая, что

Wf-fN\\Lp<CN-T\\f\\Blt, 7 < a, I <r,P< со (28) (теорема 2.15).

Показано что если т = l/(ar+l /р), 7 < a < /3 и ф £ В°т, то какова бы mí была последовательность {fs}, € Tn справедливо

||/||B?r<Csup(jV + \f\\f- /.v|| (29)

N>0

(теорема 2.16).

Раздел 2.4 посвящен построению семейств функционалов, которые можно применить при распознавании изображений. Ставится задача описания таких семейств функционалов на банаховом пространстве (в частности, пространстве Бесова), которые инвариантны относительно действия некой бикомпактной в слабой топологии группы преобразований (в частности, группы движений плоскости) и в тоже время отделяют элементы пространства, неэквивалентные относительно действия группы. Построен общий вид таких функционалов и способ построения семейств.

Раздел 2.5 посвящен связи вейвлетного разложения с фрактальным. В этом разделе исследована связь вейвлетного анализа с фрактальным разложением, что позволило получить алгоритм вейвлетно-фрактального разложения и построить фрактальное пространство Бесова, калибровочная функция для которого определяется как

Ф

I'*

где £¡(0) :=

£2тШ(1/р-1/т+7)1£{(0)}г

¡еи

шш шш

1/Р

(30)

(31)

Показано, что если последовательность принадлежит фрак* * Л I

тальному пространству Бесова ^, в > 1/р, 7 — 1/г > 0, р > 1, то погрешность приближения, получаемого с помощью алгоритма вейвлетно-фрактального разложения не превосходит, с точностью до логарифмической компоненты, 0(ЛГ7 ) (теорема 2.18).

Перейдем к формулировке результатов главы 3, которая посвящена применению вейвлетных базисов для фильтрации функций.

В разделах 3.1 и 3.2 изучается следующая задача статистического оценивания: имеется одно наблюдение а сигнала а, т.е. 04 = а,- + » € N. где - шум, причем известно, что исходный сигнал принадлежит единичному шару в пространстве Бесова последовательностей, т.е.

»М»/'

а||в;> :=|£ 2

бак

I к=0

£ |«,Г

< 1.

(32)

Доказало, что эта норма эквивалентна введенной в (22). Полу-

чешгые б главе 2 результаты позволяют сделать вывод об эквивалентности этой задачи задаче фильтрации функций, принадлежащих априори пространству Бесова и наблюдаемых с шумом на сетке. Построены две оценки, для одной из которых доказано свойство минимаксности.

В разделе 3.1 изучается оценка, в которой а полагается равным вектору из шара ||-||в« < 1, доставляющему минимум значения

функционала Е^-а'''"1"' |й; — где

N := а >»+2/Р+(2-я)/«/.», (33)

Риск этой оценки вычислен в теореме 3.2: Пусть £,—вообще говоря, зависимые случайные величины, такие, что < a4, q > 2.

Пусть ||a||tof < 1, а > 1/2, р < 2. Пусть дано одно наблюдение а = о + ёеличины q,p,a,9 предполагаются известными. Тогда существует независящая от сг оценка 5, сходящаяся со скоростью

(а-И/р-1/» \ (7o+l/p+(2-f)/J«M 1

В качестве вспомогательного результата доказана теорема 3.1; Если а > 1/2, р < 2 и Е|£,|* < a4, q > 2. При фиксированном N > 0 рассмотрим d := Е_ ¿.jj. Тогда, какова бы ни была оценка 2 со значениями в шаре ||*||р. < 1 удовлетворяющая условию

Ed < Дг1+(2-р)/20р(77) (34)

справедлива следующая оценка:

Е ||а - аН?, < С (N1+%<T2 + . (35)

В разделе 3.2 строится оценка от, которая "почти" оптимальна в асимптотическом минимаксном смысле, т.е.

sup sup Е ||ar — Elf/i'S«* " (33>

———:-——--г < оо при а 0. (36)

. inf sup sup Е a^-ft or^ij-W j t, • ' "J

Рассматриваются оценки вида срезки, т.е.

о

есшЫ>Х„ п в противном случае.

Для доказательства минимаксности таких оценок рассматривается вспомогательная байесовская задача: известно, что случайная величина в удовлетворяет следующему условию: Е|0|р < гр. Дано одно наблюдение в = в + £, где £ - случайный шум, про который известно только лишь что < д > 2. Величины г,;;,а,д считаются известными. Надо построить оценку для в. Рассматривается следующая оценка типа срезки с параметром Л:

в:=

|(<т?/гр)*-' если г < а, где := <

в противном случае

Тогда (см. теорему 3.3)

Это позволяет получить теорему 3.6. Там сказано, что в условиях теоремы 3.2 существует оценка типа срезки, которая является минимаксной с точностью до константы и имеет скорость

„а+Чг-Чг

сходимости 7(1с^2<7)<т , где 7-периодическая непрерывная

функция (т.е. ограниченна константой). Отметим, что ни сама оценка, ни скорость сходимости не зависят от q.

Задаче вычисления континуального интеграла специального вида посвящен раздел 3.3. Это является определенным продвижением к вычислению несколько более сложного по структуре континуального интеграла, который появляется в разделе 3.4 при непараметрическом байесовском оценивании для вейвлетно фрактального разложения.

Раздел 3.4 посвящен построению скрытой марковской модели для веЙвлетно-фрактального разложения и построению непараметрической оценки на базе этой модели. Для построения скрытой марковской модели каждому оцениваемому коэффициенту а; поставлено в соответствие две величины («¡,а,), € {—1,0}1Ш,

^в, если р > 2,

в если р < 2 и |0| > Х„,Г1р,ч, (38)

О в противном случае,

тт{<72,г2}, если р > 2,

[9 + 2' ] а «-' г , если р < 2 и г < а,

а2 в противном слу4И§)

з,- < г, а,- £ К и считается,

О, если я, = О,

а,а,,., если а, ф 0, — 1, (40)

заданно непосредственно , .а,- = —1.

Задается вероятностное распределение на последовательности

таких пар и строиться алгоритм для задачи их оценивания.

<

Работы автора по теме диссертации

[1] Завадский В.Л. Отделяющие семейства инвариантных функционалов// Весщ Акадэми Навук Беларуси - 1994, N 2-С. 24-27.

[2] Завадский В.Л. Многоразрешающие аппроксимации пространств функций с ограниченной смешанной производной// Материалы республиканской паучпо методической конференции, посвященной 25-летию ФПМИ-Минск: БГУ, 1995-С. 12-15.

[3] Завадский В.Л. Аппроксимация функций нескольких переменных с ограниченной смешанной производной посредством вейвлетов - Препринт / ИМ АНБ - Минск, 1997 - N 1(524) - С. 12

[4] Завадский В.Л. Минимаксность оценки типа срезки над /р эллипсоидами для негауссовских шумов - Препринт / ИМ АНБ - Минск, 1997 - N 2(525) - С. 6

[5] Завадский В.Л. Нелинейная аппроксимация функций нескольких переменных с ограниченной смешанной производной посредством вейвлетов - Препринт / ИМ АНБ -Минск, 1997 - N 15(538) - С. 13

[6] Завадский В.Л., Петров В.А. Приближенное вычисление винеровских континуальных интегралов специального вида// Весщ Акадэми Навук Беларуси - 1997, N 4- С. 30-34

[7] Завадский В.Л.. Блинова Е. Непараметрическое оценивание над 1р эллипсоидами в /г// Весщ Акадэми Навук Беларуси - 1998, N 2-С. 18 22

Выводы

Изучены всевозможные биортогональные и ортогональные пары фильтров, у которых один из фильтров имеет т вырожденных моментов. Получено полное описание таких пар. Установлена связь между двумя биортогональными парами (H,L) и (G,Q) и многоразрешающими аппроксимациями.

Построен вейвлетный базис, который обеспечивает скорость сходимости порядка 0(N~a) (с точностью до логарифмической компоненты) для функций с ограниченной смешанной производной а-го порядка в Lp.

Доказаны результаты об эквивалентности или близости норм Lp функций и норм 1Р коэффициентов их разложений по построенному базису, норм В°д функций и норм 6°й коэффициентов их разложений, получены оценки сверху и снизу для скорости сходимости нелинейных приближений в пространствах Бесова функций и последовательностей. Результаты как представляют самостоятельный интерес, так и используются в дальнейшем при построении оценок для функций, наблюдаемых на фоне шума.

Изучены связи вейвлетного разложения с фрактальным. Построено пространство функций, которые хорошо обрабатываются вейвлетно-фрактальным разложением - фрактальное пространство Бесова. Для пего получена оценка сверху скорости сходимости.

Построены оценки для последовательности, принадлежащей априори шару в пространстве Бесова, наблюдаемой с аддитивным шумом, имеющим q > 2. Для этих оценок вычислена скорость сходимости.

Показано, что оценка типа срезки, построенная и применявшаяся D.L. Donoho и I. Johnstone для случая гйуссовского шума, является минимаксной с точностью до константы и в негауссовском случае. Вместе с оценкой Пипскера, которая оптимальна для не-гауссовских шумов со вторым моментом при условии р > 2, это дает способ построения минимаксных с точностью до константы оценок над ¡р эллипсоидами.

Построена скрыто-марковская модель для вейвлетно-фракта-льного разложения и алгоритм для оценивания на базе этой модели.

Резюме Завадский Вячеслав Леонидович

Напарамеярячвскос сцяпивалне фуггкцпГ: лэ ирсетргкста Восоза с использозапием аешзлетпых базисов

Клхгчевые слова: вейвлет, непараметрическое оценивание, минимаксное оценивание, нелинейное оценивание, пространство Бесова, нелинейная аппроксимация.

Диссертация посвящена применению, вейвлетов для фильтрации и аппроксимации функций нескольких переменных с ограниченной смешанной производной. Целью работы является получение нозых оценок для задач непараметрического оценивания с использованием вейвлетов, построение вейвлетов с необходимыми для этого характеристиками, изучение связи вейЬлетов со свойством самоподобпости сигналов.

В работе получены способ построения вейвлетпых базисов для пространств функций нескольких переменных с ограничен- ._ ной смешанной производной, ряд результатов по эквивалентности норм при разложениях по вейвлетпым базисам, получены новые факты по связям вейвлетпых и фрактальных методов, по описанию вейвлетов с вырожденными моментами. Доказала теорема об оптимальности оценок вида срезки для пегауссозскпх шумов при оценивании над !р эллипсоидами, построены скрытая марковская модель для веГшлетно-фрагчтального разложения и алгоритм оценивания на ее базе.

Полученные результаты могут быть использованы при создании систем обработки и хранения изображений, телекоммуникационных продуктов, систем видеоконференцсвязи и т. п.

Резюме

Завадсы Вячэслау Леашдав^ч Нопараметрычнае ацовыэшше фушаг,ый з прастор Бесава з уагываннем иайвлетау.

Ключавшг слови Вэйвлет, непарамэтрычнае ацэньванне, мпймакс-пае ацэньванне, нелшейнае ацэньванне, прастора Бэсава, нелшей-пая апраксымацыя.

Дысертацая прысвечана скарыстанню вэйвлетау да фыырацьп 1 апраксымацш функций некалылх змеиных з абмяжаванай мяша-пай вытвориай. Мэтай працы з'яуляеца атрьшанне новых ацэнак для задач непарамехрычнага ацэньвання з ужываннем вэйвлехау, пабудавапне войвлетау з неабходным! для гэтага.характэрысты-каш, вывучэпне сувяз! вэйвлехау з уласцшасцю самападобнасщ си-налау.

У працы атрыманы спосаб пабудавання вэйвлетных базкау для прастор функций пекальшх змеиных з абмяжаванай мяша-пай вытворпай, шораг вышкау па экв1валентнасщ норм пры рас-кладаннях па гэтьш базкам. Атрыманы новыя факты па сувя-зям вэйвлетных 1 фрактальных мвтадау, па ашсанню вэйвлетау з выраджаным» момантамь Дадзеп доказ оптымальнасщ ацэнак тыну зрэзш пры ацэшванш над 1р эллшсо1дам1 для нягаусавсых шумоу, пабудавана схаваная маркауская мадэль для вэйвлетна-фрактальнага расклання и алгарытм ацэньвання на яе базе.

Атрыыапыя вынш ыагчыма выкарастовываць пры стиарэшп астэм апрацоуы 1 захавання адлюсхрованняу, хэлекамушкацый-пых прадуктау, остом в1дэаканфярэнцсувяз1 1 гэтак далей.

Summary

Zavadsky Vyacheslav Leonidovich Wavelet nonparametric estimations of functions from Besov spaces

Keywords: wavelets, nonparametric estimation, nonlinear estimation, minimax estimr/aon, Besov spaces, nonlinear approximnHons.

The thesis if devoted to applications of wavelet analysis to approximations and filtration of functions of several variables with bounded mixed derivative. The aims of the thesis are: to construct new wavelet based nonparametric estimators, to construct suitable for such estimators wavelets, to research parallels between wavelet analysis and self similar signals.

We present a wavelet basis of spaces of functions of several variables with bounded mixed derivative, some results concerned with norm equivalence between functions and their coefficients of reprsentations in our basis are proved. We obtain new facts regarding connections between wavelet and fractal methods. The optimality of threshold estimators over lp balls for non-gaussian noises is proved.

The results can be used in image compression and restorations, telecommunication and videoconfencing.