Неравенства колмогоровского типа на прямой, полупрямой, отрезке и окружности и задачи восстановления

Михалин, Дмитрий Александрович

Неравенства колмогоровского типа на прямой, полупрямой, отрезке и окружности и задачи восстановления тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ

Михалин, Дмитрий Александрович АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Москва МЕСТО ЗАЩИТЫ

2010 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.09 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «Неравенства колмогоровского типа на прямой, полупрямой, отрезке и окружности и задачи восстановления»

Автореферат диссертации на тему "Неравенства колмогоровского типа на прямой, полупрямой, отрезке и окружности и задачи восстановления"

«¿■^»овский государственный университет имени М. В. Ломоносова Механико-математический факультет

£104607089

На правах рукописи

УДК 517.518.8, 519.65

Михалин Дмитрий Александрович

НЕРАВЕНСТВА КОЛМОГОРОВСКОГО ТИПА НА ПРЯМОЙ, ПОЛУПРЯМОЙ, ОТРЕЗКЕ И ОКРУЖНОСТИ И ЗАДАЧИ ВОССТАНОВЛЕНИЯ

01.01.09 — дискретная математика и математическая кибернетика, 01.01.01 — математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва, 2010 г.

004607089

Работа выполнена на кафедре оптимального управления Механико-математического факультета Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор

Владимир Михайлович Тихомиров.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор

Василий Николаевич Малоземов;

доктор физико-математических наук, профессор

Константин Юрьевич Осипенко.

Ведущая организация: Российский государственный reo лого-разведочный университет им. Серго Орджоникидзе

Защита диссертации состоится 19 февраля 2010 года в 16 ч. 45 мин. на заседании диссертационного совета Д.501.001.84 при Московском государственном университете имени М. В. Ломоносова по адресу: Российская Федерация, 119991, Москва, ГСП-1, Ленинские горы, д. 1, Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова, Механико-математический факультет, аудитория 14-08.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Механико-математического факультета МГУ имени М. В. Ломоносова (Главное здание, 14-й этаж).

Автореферат разослан 19 января 2010 года.

Учёный секретарь диссертационного совета Д.501.001.84 при МГУ, доктор физико-математических наук, профессор

А. О. Иванов

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Работа посвящена точным неравенствам для производных гладких функций. Важный класс таких неравенств составляют неравенства для производных на прямой и полупрямой вида

l|zW(-)lb(T) < m№\\%}\\x{n\-)\\L{ту (1)

где 0 ^ к < п — целые, Т — прямая R или полупрямая СЬ(Т) — пространство ограниченных непрерывных функций на Т с нормой Цс^т) = suPteT А»(Т) — пространство измеримых, существенно ограниченных функций наТ с нормой ||a;(-)IUoo(r) = vraisup|a:(i)|. Задача состоит в нахождении наименьшей константы К, при которой неравенство (1) справедливо для всех функций х{-) € W^(T) = {х(-) 6 С^Т)!^"-1^-) € АС(Т),х^(-) € Ьоо(Т)}, где АС(Т) - пространство локально абсолютно непрерывных функций на Т. Эту оптимальную константу обозначим Кх{п, к).

Задача о вычислении точной константы в неравенстве (1) равносильна нахождению точного значения в следующей экстремальной задаче:

z<fe>(0)-шах, |ЮЬ(Г)<7ь lk(n)(-)IUoo(T) <72 (2)

для некоторых 71,72 > 0 (выбор этих констант на решение задачи не влияет). Функцию î(-)i на которой достигается максимум в этой задаче, назовем экстремальной функцией Задача (2) рассматривается нами также на окружности Т и на отрезке / = [0,1].

Точкой отсчёта для данной тематики явилась заметка Э. Ландау1, опубликованная в 1913 году, в которой было доказано, что Кж+(2,1) = 2. Годом позже Адамар2 доказал, что Är(2, 1) = у/2. Неравенство Адамара при-

1 Landau е. Einige Ungleichingen für zweimal differentierbare Funktionen // Proc. London Math. Soc.

1913. V. 2. № 13. P. 43-49.

2Hadamard J. Sur le module maximum d'une fonction et de ses dérivées // С. E. Soc. Math. France.

1914. V. 41. P. 68-72.

влекло внимание А. Н. Колмогорова, и он поставил перед своим учеником Г. Е. Шиловым (в ту пору студентом, носившим фамилию Боссе Ю. Г.3) задачу обобщить результат Адамара на любые кип. Шилов нашел константу Kr(ti, к) при п — 3,4 для всех к и при п — 5 для некоторых к, но дальше продвинуться не смог4. Это дало повод Колмогорову самому взяться за решение задачи. Он решил ее в 1938 году5. Впоследствии было получено множество примыкающих результатов. В частности, в работе

B. М. Тихомирова6 рассматривалась задача (2) для Г = [0,1] и были описаны экстремальные функции, получившие название чебышевских сплайнов.

Задача (2) на полупрямой R+ была исследована Шёнбергом и Каварет-той7 в следующей постановке:

|x«(0)Hmax, NOIkodM < 1, Ца^ОИь^)^""^!. (3)

Было доказано, что экстремальная функция является сплайном; причем при п — 2,3 этот сплайн на любом отрезке непрерывности n-й производной с точностью до константы совпадает со смещенным чебышевским полиномом, и, соответственно, значение задачи (3) совпадает со значением fc-ой производной чебышевского полинома в точке t = 1.

При п ^ 4 построена7 некоторая последовательность чебышёвских перфектных сплайнов (Snm(-)) (где m — число узлов), которая сходится к

3ВоссЕ Ю. Г. (Шилов Г. Е.) О неравенствах между производными // Сб. работ студ. науч. кружков МГУ. 1937, Т. 1, с. 68-72.

*БосСЕ Ю. Г. (Шилов Г. Е.) О неравенствах между производными // Сб. работ студ. науч. кружков МГУ. 1937, Т. 1, с. 68-72.

5колмогоров а. н. о неравенствах между верхними гранями последовательных производных функции на бесконечном интервале // Избранные труды. Математика и механика. М.: Наука, 1985.

C. 252-261.

^Тихомиров В. М. Наилучшие методы приближения и интерполирования дифференцируемых функций в пространстве С(-1,1] // Матем. сборник. 1969, Т. 80, № 2, с. 290-304.

'Shoenberg I. J., Cavaretta A. S. Solution of Landau's problem concerning higher derivatives on the half line // Proc. of the Intern. Conf. on Construction Function Theory, Golden Sands (Varna), May 19-25, 1970. Publ. House Bulgarian Acad. Sei., Sofia, 1972. P. 297-308.

экстремальной функции при стремлении m к бесконечности. При этом последовательность (|£>пт(0)|) монотонно убывает и стремится к решению задачи (3), которое, в отличие от случая п = 2, 3, оказывается строго меньше, чем значение к-ой производной чебышевского полинома в точке t = 1.

Шёнберг и Каваретта8 приводят также вычисленные значения величины 5nm(0) при нескольких первых значениях п, к и т.

В последние годы вышло несколько монографий, посвященных неравенствам колмогоровского типа9,10'11.

Интерес к неравенствам для производных и актуальность этой тематики вызваны несколькими причинами. Точные неравенства на протяжении всей истории привлекали внимание многих математиков. Достаточно привести в пример книгу "Неравенства" Харди, Литтлвуда и Полиа. С. Б. Стеч-кин в 60-е годы связал проблематику неравенств для производных гладких функций с интересной для численного анализа задачей оптимальной аппроксимации неограниченных операторов ограниченными (это актуальная проблема вычислительной математики, ибо численное решение дифференциальных уравнений относится к классу задач аппроксимации неограниченного дифференциального оператора ограниченными, в частности, сеточными операторами). Впоследствии эта проблематика была включена в более широкий класс задач оптимального восстановления. Точно решенные неравенства могут служить полигоном для различных теорий в анализе, в частности, для теории экстремальных задач.

Все описанные решения, касающиеся точных неравенств для производ-

8Siioenberc I. J., Cavaretta A. S. Solution of Landau's problem concerning higher derivatives on the half line // Proc. of the Intern. Conf. on Construction Function Theory, Golden Sands (Varna), May 19-25, 1970. Publ. House Bulgarian Acad. Sei., Sofia, 1972. P. 297-308.

"Бабенко В. Ф., Корнейчук H. П., Кофанов В. А., Пичугов С. А. Неравенства для производных и их приложения. Киев: Наукова думка, 2003.

l0Bagdas arov S.Chebysliev Splines and Kolmogorov Inequalities. Bukhauser, Basel etc. 1998.

uKwong M. K., zettl a. Norm Inequalities for Derivatives and Differences // Berlin. Springer-Verlag, 1992, 150 p. (Lecture Notes in Mathematics, V. 1536)

ных, были получены авторами "индивидуально", без использования общей теории экстремума. Мы же исследуем задачи (1) и (2), базируясь на одном из принципов общей теории — принципе Лагранжа.

а;№(т)-»тах,. 1Ю11с(д) < 7ъ Н^ОИ^г) ^ 72, 7ь72>0, (4)

где А — некоторый отрезок, т -- некоторая точка Г, а 71, 72 — некоторые числа.

Параллельно с решением экстремальных задач (2) и (4) в настоящей работе исследуются задача Стечкина и задача оптимального восстановления, которые были упомянуты выше. Точная постановка задачи Стечкина такова12. Пусть X и У — банаховы пространства, Г/ : X —► У — линейный (вообще говоря, неограниченный) оператор с областью определения Вц С X и К — некоторый класс элементов из Би- Множество линейных ограниченных операторов из X в У, норма которых не превосходит числа N > 0, обозначим £(Л0 = С(М~,Х,У). Рассматривается задача о наилучшем приближении оператора II всевозможными линейными операторами 5 с нормой, не превосходящей числа N > 0, на заданном классе К. Другими словами, рассматривается величина

ЕцШ-, К) — Ш КШ, 5; К) = М зир \\llx - ЯггЦу. (5)

56С(М) 5е£(Л') хеК

Задача состоит в исследовании вопроса существования, единственности и характеризации экстремального оператора, на котором в (5) достигается нижняя грань, а также, в ряде частных случаев, в точном вычислении величины Ем(11; К).

"Стечкин С. Б. Наилучшее приближение линейных операторов // Матем. заметки. 1967, Т. 1, № 2, с. 137-148.

Общую теорию восстановления одним из первых стал создавать С. А. Смоляк13, хотя в частных постановках подобные вопросы рассматривались и ранее (см., например, работы А. Сарда14 и С. М. Никольского15). Общая задача о восстановлении линейного функционала на классе функций по некоторой информации об этой функции ставится следующим образом.

Пусть X и Y — вещественные векторные пространства, х' — линейный функционал на X, который требуется восстановить возможно лучшим образом на элементах х из некоторого класса С С X по информации у = F(x), где F : X Y — некоторое, вообще говоря, многозначное отображение, называемое информационным оператором

Методом восстановления функционала х' из пространства Х\ сопряженного с X, на классе С по информации F назовем любую функцию ip : F(C) —* К. Погрешность, которую производит данный метод восстановления <р, будем оценивать величиной

е{х', С, F, ¡р) := sup |(ж, х') - <р(у) |,

IG С, V6FW

где (х, х') — значение линейного функционала х' на элементе х. Оптимальной погрешностью восстановления назовём величину

Е{х', С, F) := inf е(х', С, F, <р), (6)

ч>

где нижняя грань берется по всем методам восстановления <р : F(C) —» R, а метод <р, на котором эта нижняя грань достигается, назовем оптимальным методом восстановления, и мы пишем (х,х'} « <р(у), где у Е F(x). Задачу нахождения величины Е(х', С, F) и соответствующего оптималь-

13Смоляк С. А. Об оптимальном восстановлении функций и функционалов от них: Дисс.... канд. физ.-мат. наук. М., 1965.

14SARD A. Best approximate integration formulae; best approximation formulae // Aner. J. Math. 1949, V. 71, P. 80-91.

"НИКОЛЬСКИЙ С. M. Квадратурные формулы. Изд. 2-е. M.: Наука, 1974. (1-е изд. — 1950).

ного метода ф мы будем называть задачей оптимального восстановления и обозначать (х', С, F).

Цель работы. Одной из основных целей настоящей работы является исследование экстремальной задачи

а:«(т)-ипах, ||®(-)||с(Л) < 6, *(•) € И£(Г,Г), (7)

где Г) — соболевский класс:

И£(Т,Г) = {х(-)|л;^(-) € АС(Т), Ix^it') - V)l < I* ~ П

и выполнено краевое условие Г},

А — отрезок [—1,1] или [0,1], а (Г, Г) — это, соответственно, либо (К, Гоо) (т. е. когда рассматривается класс при отсутствии граничных усло-

вий), либо (Е+,Г„о) (когда рассматриваются функции из такие,

что zW(0) =0, 0 < s < п), и |т| > 1.

Также решается связанная с экстремальной задачей (7) задача оптимального восстановления {х^(т), W£,(T. Г), Fsc(a)), гДе F¡C{Д) — многозначный информационный оператор, сопоставляющий функции х(-) такую функцию у(-) в С (А), что ||х(-) - у(-)||с(д) <

Требуется решить задачу оптимального восстановления (х^(т), W^{T,r),F5C[A)), то есть найти величину Р5С{&)) и

оптимальный метод восстановления.

Также решается задача восстановления F¡q(т))- В этом

случае известно решение соответствующей экстремальной задачи для дискретного множества значений 5, и для этих значений ищется решение соответствующей задачи восстановления.

Методика исследований. В отличие от перечисленных выше решений задач (1) и (2) и им подобных, которые были получены "индивидуально", в настоящей работе используется аппарат общей теории экстремума.

Мы исследуем задачи (1), (2) и (4) при помощи принципа (метода множителей) Лагранжа. Из необходимых и достаточных условий, получаемых с помощью этого метода, выводится так называемое "основное тождество", из которого в дальнейшем и получаются решения всех поставленных задач.

Между экстремальной задачей (7) и поставленной выше задачей восстановления имеется следующая взаимосвязь: если х есть решение задачи (7), а А — вектор множителей Лагранжа, на котором достигается минимум функции Лагранжа, то А — оптимальный метод восстановления в задаче Г),^с(д)), а оптимальная погрешность восстановления равна значению задачи (7).

Таким образом, решив экстремальную задачу (7) и найдя при этом множители Лагранжа, мы автоматически получаем решение соответствующей задачи восстановления.

При решении задачи восстановления (х^(т), №^(1), -Ргс(Т)) вычисление множителей Лагранжа и решение задачи восстановления проводится методом, аналогичным примененному А. П. Буслаевым16 для Т = К.

Научная новизна. В диссертации получены следующие новые результаты:

1. Получены решения задачи (7), когда А — отрезок [—1,1] или [0,1], а (Г, Г) — это, соответственно, либо (К, Гоо), либо (М+,Гпо), для произвольных пеМиОО<п.

2. При решении задачи с граничными условиями было впервые доказано существование и единственность специальных чебышевских и золотаревских перфектных сплайнов, дающих решение в экстремальной задаче (7), а также описаны их основные свойства.

3. Для случая Т = Т приводится вычисление множителей Лагранжа и

16Буслаев А. П. О наилучшем приближении оператора дифференцирования. М., 1979.

решение задачи восстановления.

Теоретическая и практическая ценность работы. Диссертация носит теоретический характер. Изложенные в диссертации подходы и полученные результаты представляют интерес для специалистов по теории кодирования, теории приближения и оптимальному восстановлению.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на следующих научно-исследовательских семинарах:

1. Семинар по теории приближения и теории экстремальных задач под руководством проф. В. М. Тихомирова на кафедре общих проблем управления механико-математического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова (неоднократно, 2002-2008).

2. Семинар по проблемам оптимального восстановления под руководством проф. К. Ю. Осипенко на кафедре высшей математики МАТИ (2008).

3. Семинар по дискретному и гармоническому анализу под руководством проф. В. Н. Малоземова на математико-механическом факультете СП6ГУ (2008).

4. Семинар "Теория автоматов" под руководством академика В. Б. Кудрявцева на кафедре математической теории интеллектуальных систем механико-математического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова (2009).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в трех работах автора, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения и трех глав, которые содержат одиннадцать параграфов. Объем диссертации — 71 страница. Список литературы включает 53 наименования.

Краткое содержание работы

Во введении описывается общая постановка задачи и излагается содержание работы по главам и параграфам.

В первой главе диссертации содержатся предварительные сведения, необходимые для решения поставленных задач. Приводится обзор научной литературы и известных исследований по теме настоящей работы.

В первом параграфе ставится общая задача о точной константе в неравенствах для производных колмогоровского типа:

||г«(.)1и,(г)<^1к(-)1!2р(г)!Мп)(-)111(т); (8)

где 0 < к < п — целые, 1 ^ р, д,г < оо, а,/3 > О, Т = Ж V Ж+, справедливые для всех функций ж(-) из Ьр(Т), у которых (п — 1)-я производная локально абсолютно непрерывна наТ и п-я производная принадлежит ЬГ(Т) (при этом числа а и (3 однозначно определяются: а = "п-Т/У+Т/р'?' (3 = 1 — а). Пространство таких функций мы будем обозначать через И£Г(Т) (или просто 1Л£(Г), если р = г).

Задача о вычислении точной константы в неравенстве (8) равносильна нахождению точного значения в следующей экстремальной задаче:

Ц^О^^тях, |Н-)||Мт)^7ь ||о>)(-)|к(г)<72 (9)

для любых фиксированных чисел 71,72 > 0.

Перечислены основные случаи, при которых ранее были решены неравенства колмогоровского типа, и приведены полученные результаты.

Во втором параграфе главы приводятся основные понятся и факты выпуклого анализа, необходимые для нашего исследования.

Даются определения эффективного множества и надграфика функции, выпуклой функции в векторном пространстве X. Вводится понятие двойственных пространств, сопряженной функции и второй сопряженной. Приводится теорема об условиях совпадения функции со своей вто-

рой сопряженной, которая служит базой теории двойственности выпуклых функций:

Теорема (Фенхель—Моро) Пусть X — векторное топологическое пространство / : X —>■ К и {+оо}. Функция / совпадает со своей второй сопряженной тогда и только тогда, когда / выпукла и замкнута.

Вводится понятие субдифференциала, который во многих случаях играет в выпуклом анализе роль производной. в гладком анализе. Для субдифференциального исчисления приводятся аналог теоремы Ферма о критерии абсолютного минимума, а также теоремы Моро-Рокафеллара и Дубовицкого-Милютина о субдифференциале суммы и максимума двух функций.

В третьем параграфе дается определение выпуклой задачи:

Здесь /г'.Х —* К, г = 0,1 ,...,т, — выпуклые функции, отображающие линейное пространство X в расширенную прямую, А С X — выпуклое множество.

Для этой задачи приводится правило множителей Лагранжа, которое является основным инструментом для решения поставленных задач.

Затем показано применение принципа Лагранжа в общей задаче о неравенствах для производных в различных случаях. Рассмотрены случаи классического вариационного исчисления и оптимального управления. Из принципа Лагранжа выводится так называемое "основное тождество", из которого в дальнейшем и получаются решения всех поставленных задач.

В четвертом параграфе ставится вкратце описанная выше (стр. 5) задача, оптимального восстановления (х',СуР). С ней связывается следующая задача, называемая ассоциированной:

/о(х) —> шп, /г(х) ^ 0, г = 1,... ,тп, х € А.

(10)

(х,х') —* тах, х € Р ^0), х € С, 10

(И)

которую можно переписать в виде

(х, х') max, и = 0, и £ F(x), х е С, (12)

vpßF-l{y) = {x&C\yeF{x)}.

Если множество С и функция F выпуклы, то (12) — выпуклая задача. Двойственная задача к (12) относительно стандартного возмущения17 имеет вид

sup ((у, у') + (х, х')) -> min, (13)

16 с,

где у' — линейный фунционал на Y.

Связь между выписанными задачами и их решениями дается в следующей теореме:

Теорема (двойственности для задачи восстановления)

Пусть в задаче (11) множества С и grF выпуклы и уравновешены. Тогда допустимая в (12) точка (£(0), 0) является решением этой задачи в том и только в том случае, когда найдется такой множитель Лагранжа А € У (линейный фунционал на Y), что

min £((х,и), —1, А) = £((ж,0),-1,А). (14)

ueni)

При этом

(а) —Л — решение задачи (13) и значения задач (1£) и (13) совпадают:

(б) Л — оптимальный метод восстановления в задаче (x':C,F) и E(x',C,F) = (х:х').

Вторая глава работы посвящена доказательству существования и единственности чебышевских и золотаревских перфектных сплайнов.

"Магарил-Ильяев Г. Г., Тихомиров В. М. Выпуклый анализ и его приложения. М.: Эдиториал УРСС, 2000, с. 61.

Определение Функция х(-), заданная и непрерывная на отрезке Д = [а, 6], называется полиномиальным сплайном (или просто сплайном) порядка п с узлами {ZjjjLy, такими, что а =: £ о < <6 < • • • < 6n < £m+i ■'= Ь, если на каждом из промежутков £/+i], j = 0,..., т функция х(-) есть алгебраический полином степени, не превосходящей п.

Определение Сплайн х(-) G степени п с узлами < £2 < • • • <

I;т называется перфектным, если на отрезке j = 0,... ,т он

имеет п-ю производную х^(-) = (—(где 7 = ±1), т. е. эта производная по модулю равна 7, и при этом ее знаки чередуются.

Определение Пусть х(-) £ С[а,Ь]. Говорят, что х(-) обладает N-альтернансом, если существуют точки а ^ ti < Г2 < ... < т^ ^ Ъ, такие, что [z(ry)| = |Н-)1!сМ при 1 ^ j < N и x(Tj)x(rj+i) < 0 при 1 < j < N.

Определение Скажем, что функция ж(-) е а, Ъ] удовлетворяет

Тиу-условию на [а, 6], где и, v 6 Z+, и < п и v ^ п, если х^\а) = 0 при О ^ j ^ и — 1 и х^ (Ь) = 0 при 0 < j ^ v — 1 (если и = 0 или v = 0, то условия в соответствующем конце отрезка отсутствуют).

Перфектный сплайн степени пет узлами, удовлетворяющий условию на отрезке [а, 6], назовем (nmTuv\a, Ь])-сплайном.

Если такой сплайн имеет (п + т — (и + v) + 1)-альтернанс на отрезке [а, 6], то будем называть его чебышевским (птГиу[а,Ь])-сплайном; а если лишь (n + т — (и + г>))-альтернанс, то золотаревским.

Доказывается теорема о существовании чебышевских и золотаревских сплайнов как для задачи без граничных условий, так и с нулевыми граничными условиями в концах отрезка:

Теорема (о чебышевских и золотаревских сплайнах)

Для всяких п € N, т, и, v G Z+, удовлетворяющих условиям и, v ^ п и ть 4- те (и и) ^ 0, сущестпвуе-тп чсбышевскии (Нтп-Г^

[а, Ь])-сплайп

^nm,ruv[a,b] (")' Такой сплайн единственный с точностью до знака. Для любого S > 0, лежащего между |КтГ„,[а,б](0НсМ и lla;n,m-i,r„„[o,6](')llc[o,4]) существуют ровно четыре различных золотарев-ских (•nmTuv[a, Ь])-сплайна, равномерная норма которых на отрезке [а, Ъ] равна 5.

Достаточно доказать существование и единственность искомых сплайнов на отрезке [0,1], которые обозначаются просто (птГиг))-сплайнами.

При отсутствии граничных условий приводятся результаты, полученные ранее другими авторами. В остальных случаях доказательство теоремы разбито на несколько этапов.

Сначала приводится доказательство существования чебышевских сплайнов, основанное на теореме Борсука18 (согласно которой нечетное непрерывное отображение г-мерной сферы Sr в К.г обращается в нуль в некоторой точке) и на свойствах обобщенных полных чебышевских пространств (ЯСТ-пространств19-20).

Единственность чебышевских сплайнов доказывается двумя способами, один из которых является распространением на рассматриваемый случай доказательства единственности чебышевских (птГоо)- и (птТпп)-сплайнов, приведенного В. Н. Малоземовым и А. Б. Певным21.

При доказательстве существования и единственности золотаревских (т7гГи„)-сплайнов используется аппарат обобщенных перфектных сплайнов, использованный С. Карлиным22 при доказательстве существования

18Borsuk К. Drei Sätze über die n-dimensionale euklidishe Spare //Fund. Math., 1933, Bd. 20, s. 177191.

13Дзядык В. К. Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами. М.: Наука, 1977.

20Демидович В. Б. Приближенные вычисления с помощью обобщенных полиномов из чебышевских пространств. Чебышевские обобщенные полиномы. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1990.

21Малоземов В. Н., Певный А. Б.. Полиномиальные сплайны. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1986. 120 с.

22Karun S. Oscillatory perfect splines and related extremum problems // Spline Functions and

и единственности чебышевских и золотаревских сплайнов без граничных условий.

В третьей главе работы полученные чебышевские и золотаревские сплайны применяются для решения экстремальных задач и задач оптимального восстановления.

В первом параграфе в качестве простейшего примера применения выбранной методики решается экстремальная задача (7) и соответствующая задача оптимального восстановления при малых значениях п. Эти задачи решаются на пространствах (для функций на отрезке [—1,1]) при п = 1, 2,3 и Г„о) (для функций на отрезке [0,1]) при п = 1,2. В этих случаях возможно явное построение чебышевских и золотаревских сплайнов.

Во втором параграфе приводится с небольшими изменениями и. дополнениями результат, полученный А. П. Буслаевым для Т = Ж. Оптимальный метод восстановления имеет вид

¿(°)мЕ ((У+\)) >

где множители /х,- находятся из формулы /к,

где = у ¡, а константы Фавара

_ { I р+ТрТ' п нечетно,

— \ 4 (-1)*

1, (2*Н-1)"+1 > п четн0-

При некоторых п приводятся вычисленные значения множителей щ. В третьем параграфе методом, аналогичным примененному А. П. Буслаевым для Т = Ж, решается задача оптимального восстановления на

Approximation Theory, by S. Karlin, С. A. Micchelli, A. Pinkus and I. J. Shoenberg, pp. 371-460, Academic Press, New York, 1976.

окружности. Доказывается, что множители Лагранжа находятся из системы линейных уравнений:

«е2 ^=1 а£Ъ

е 2т — е 2т

)

I = 0,... ,т — 1. (16)

В четвертом параграфе главы 3 приводится решение задачи экстраполяции и соответствующей экстремальной задачи (7) как для случая отрезка без ограничений, так и при наличии нулевых ограничений в левом конце отрезка. Полученный результат формулируется в следующем виде:

Теорема (об оптимальном методе в задаче экстраполяции)

Пусть х^ — чебышевский или золотаревский сг1ла.йн{хптт№&{'), %птбГ(»д(")> ^гапГ„0д(') или хптйг„0д(-)); имеющий норму 5; — его точки аль-

тернанса. Тогда

где — некоторые величины, зависящие от т, 6, п, к и являющиеся решением некоторой системы линейных уравнений.

В конце параграфа приводится иллюстрация применения полученных результатов в некоторых частных случаях.

Благодарности. Автор выражает свою глубокую признательность доктору физико-математических наук, профессору Владимиру Михайловичу Тихомирову за постановку задач, многочисленные плодотворные обсуждения и помощь в работе.

Список публикаций по теме диссертации

[1] МИХАЛИН Д. А. Оптимальное восстановление значений гладких функций и их производных по неточной информации на отрезке. // Фундаментальная и прикладная математика. 2002, Т. 8, Вып. 4, с. 1047-1058.

[2] МИХАЛИН Д. А. Чебышёвские и золотаревские перфектные сплайны на отрезке с нулевыми граничными условиями. // Доклады Академии Наук. Т. 425, № 5 (2009), с. 592-594.

[3] МИХАЛИН Д. А. Специальные чебышёвские и золотарёвские перфектные сплайны на отрезке. // Успехи матем. наук, 64:2 (386) (2009), с. 203-204.

Подписано в печать /3. ¿V {О Формат 60x90 1/16. Усл. печ. л. /,¿>5 Тираж /¿>¿7 экз. Заказ 03

Отпечатано с оригинал-макета на типографском оборудовании механико-математического факультета МГУ имениМ. В. Ломоносова

2009124693

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Михалин, Дмитрий Александрович

Введение

1 Предварительные сведения

§1.1 Постановка задачи о неравенствах для производных.

§1.2 Выпуклый анализ.

§1.3 Принцип Лагранжа.

1.3.1 Формулировка принципа Лагранжа для выпуклых задач.

1.3.2 Применение принципа Лагранжа в задаче о неравенствах для производных

§1.4 Задачи оптимального восстановления.

2 Чебышевские и золотаревские сплайны

§2.1 Определение перфектных сплайнов и формулировка теоремы существования

§2.2 Доказательство существования и единственности чебышевских сплайнов

2.2.1 Существование чебышевских Гиг)-сплайнов.

2.2.2 Единственность чебышевских сплайнов.

2.2.3 Доказательство единственности чебышевских сплайнов методом Малоземова и Певного.

§2.3 Доказательство существования и единственности золотаревских сплайнов

2.3.1 Обобщенные перфектные сплайны

2.3.2 Некоторые вспомогательные утверждения.

2.3.3 Основной результат.

3 Задачи экстраполяции и оптимального восстановления

§3.1 Чебышевские и золотаревские сплайны при малых размерностях и формулы восстановления.

3.1.1 Задача без граничных условий.

3.1.2 Задача с ограничением в левом конце отрезка.

§3.2 Формула Домара-Буслаева и восстановление значений производных функций из соболевского класса по неточной информации.

§3.3 Эйлеровские сплайны и восстановление на окружности.

§3.4 Формулы оптимального восстановления функций из соболевского класса на отрезке по неточной информации

3.4.1 Постановка задачи и формулировка теоремы об экстраполяции

3.4.2 Доказательство основной теоремы.

3.4.3 Некоторые частные случаи.

Введение диссертация по математике, на тему "Неравенства колмогоровского типа на прямой, полупрямой, отрезке и окружности и задачи восстановления"

И^ОИсчт) < ^но^^чои!^ (1) где 0 ^ к < п — целые, Т — прямая К или полупрямая К+, СЪ{Т) — пространство ограниченных непрерывных функций на Г с нормой ||ж(-)||сь(Т) = зир4еТ |ж(£)|, £оо (Т) — пространство измеримых, существенно ограниченных функций на Т с нормой |К-)1коо(т) = Уга1зир|х(£)|. Задача состоит в нахождении наименьшей константы К, при которой неравенство (1) справедливо для всех функций х(-) Е = {х(-) € С\Т)Е АС(Т),хМ(') е Ь^Т)}, где АС{Т) - пространство локально абсолютно непрерывных функций на Т. Эту оптимальную константу обозначим Кт{п,к).

Задача о вычислении точной константы в неравенстве (1) равносильна нахождению точного значения в следующей экстремальной задаче: х<*>(0) тах, |Н-)|ЬЧт) ^ 7ъ ||*(п)(-)Н¿-(г) ^ Ъ (2) для некоторых 71,72 > 0 (выбор этих констант на решение задачи не влияет). Функцию х(-), на которой достигается максимум в этой задаче, назовем экстремальной функцией. Задача (2) рассматривается нами также на окружности Т и на отрезке I = [0,1].

Точкой отсчёта для данной тематики явилась заметка Э. Ландау [43], опубликованная в 1913 году, в которой было доказано, что 1) = 2. Годом позже Адамар [42] доказал, что 2,1) = л/2- Неравенство Адамара привлекло внимание А. Н. Колмогорова, и он поставил перед своим учеником Г. Е. Шиловым (в ту пору студентом, носившим фамилию Боссе Ю. Г., см. [7]) задачу обобщить результат Адамара на любые кип. Шилов нашел константу к) при п = 3,4 для всех к и при п = 5 для некоторых к, но дальше продвинуться не смог [7]. Это дало повод Колмогорову самому взяться за решение задачи. Он решил ее в 1938 году [17]. Впоследствии было получено множество примыкающих результатов. В частности, в работе В. М. Тихомирова [33] рассматривалась задача (2) для Т = [0,1] и были описаны экстремальные функции, получившие название чебышевских сплайнов.

Задача (2) на полупрямой К+ была исследована Шёнбергом и Кавареттой в работе [48] в следующей постановке:

0)| - max, IHOIIw^) < 1, lMn)(0IUoo(M+) < 2-4!. (3)

Было доказано, что экстремальная функция является сплайном; причем при п = 2, 3 этот сплайн на любом отрезке непрерывности п-й производной с точностью до константы совпадает со смещенным чебышевским полиномом, и, соответственно, значение задачи (3) совпадает со значением А;-ой производной чебышевского полинома в точке t = 1.

При п ^ 4 в [48] построена некоторая последовательность чебышевских перфектных сплайнов (Snm(-)) (где m — число узлов), которая сходится к экстремальной функции при стремлении m к бесконечности. При этом последовательность (|£nm(0)|) монотонно убывает и стремится к решению задачи (3), которое, в отличие от случая п = 2,3, оказывается строго меньше, чем значение А;-ой производной чебышевского полинома в точке 1=1.

В вышеупомянутой статье содержатся также вычисленные значения величины Snm{0) при нескольких первых значениях п, к и га.

В последние годы вышло несколько монографий, посвященных неравенствам кол-могоровского типа: [4], [37], [46].

Интерес к неравенствам для производных и актуальность этой тематики вызваны несколькими причинами. Точные неравенства на протяжении всей истории привлекали внимание многих математиков. Достаточно привести в пример книгу "Неравенства" Харди, Литтлвуда и Полиа. С. Б. Стечкин в 60-е годы связал проблематику неравенств для производных гладких функций с интересной для численного анализа задачей оптимальной аппроксимации неограниченных операторов ограниченными (это актуальная проблема вычислительной математики, ибо численное решение дифференциальных уравнений относится к классу задач аппроксимации неограниченного дифференциального оператора ограниченными, в частности, сеточными операторами). Впоследствии эта проблематика была включена в более широкий класс задач оптимального восстановления. Точно решенные неравенства могут служить полигоном для различных теорий в анализе, в частности, для теории экстремальных задач.

Все описанные решения, касающиеся точных неравенств для производных, были получены авторами "индивидуально", без использования общей теории экстремума. Мы же исследуем задачи (1) и (2), базируясь на одном из принципов общей теории — принципе Лагранжа.

В диссертации также рассматриваются экстремальные задачи, в которых ограничения на норму функции и ее тг-й производной заданы не на одном и том же множестве Т, а на разных множествах: х^(г) max, |Ю1|с(Д) ^ 7ь lk(n)(-)IU~(T) ^ 72, 7ъ72 > 0, (4) где А — некоторый отрезок, г — некоторая точка Т, а 71, 72 — некоторые числа.

Параллельно с решением экстремальных задач (2) и (4) в настоящей работе исследуются задача Стечкина и задача оптимального восстановления, которые были упомянуты выше. Точная постановка задачи Стечкина такова (см. [31]). Пусть X и Y — банаховы пространства, U : X —> Y — линейный (вообще говоря, неограниченный) оператор с областью определения Du С X и К — некоторый класс элементов из Dv. Множество линейных ограниченных операторов из X в Y, норма которых не превосходит числа N > 0, обозначим C(N) ~ £(-/V; X, Y). Рассматривается задача о наилучшем приближении оператора U всевозможными линейными операторами S с нормой, не превосходящей числа N > 0, на заданном классе К. Другими словами, рассматривается величина

En{U- К) = inf R{U, S;K)= inf sup \\Ux - Sx\\y. (5) seC{N) SeC(N)хЕк

Задача состоит в исследовании вопроса существования, единственности и характериза-ции экстремального оператора, на котором в (5) достигается нижняя грань, а также, в ряде частных случаев, в точном вычислении величины E^{U\K).

Общую теорию восстановления одним из первых стал создавать С. А. Смоляк [29], хотя в частных постановках подобные вопросы рассматривались и ранее (см., например, работы Сарда [47] и Никольского [28]). Общая задача о восстановлении линейного функционала на классе функций по некоторой информации об этой функции ставится следующим образом.

Пусть X и У — вещественные векторные пространства, х' — линейный функционал на X, который требуется восстановить возможно лучшим образом на элементах х из некоторого класса С С X по информации у = -Р(ж), где Р : X —> У — некоторое, вообще говоря, многозначное отображение, называемое информационным оператором.

Методом восстановления функционала х' из пространства X', сопряженного с X, на классе С по информации Р назовем любую функцию (р : Р(С) —> Ж. Погрешность, которую производит данный метод восстановления (р, будем оценивать величиной

С, .Р, ф) := эир \{х,х') - р(у)\, хб с, где (х, х') — значение линейного функционала х' на элементе х. Оптимальной погрешностью восстановления назовём величину

Е(х\ С, Р) := т£ е(х', С, Р, у>), (6) ч> где нижняя грань берется по всем методам восстановления <р : Р(С) —> К, а метод <р>, на котором эта нижняя грань достигается, назовем оптимальным методом восстановления, и мы пишем (х,х') ж <р(у), где у 6 -Р(х). Задачу нахождения величины Е(х',С,Р) и соответствующего оптимального метода (р мы будем называть задачей оптимального восстановления и обозначать (х',С,Р).

Цель работы. Одной из основных целей настоящей работы является исследование экстремальной задачи я^ОО-тах, *(■) € И£(Г,Г), (7) где Г) — соболевский класс: {ж(-)|®(п1)(-) е АС{Т), 1x^(1') - ^"-^(О! ^ I*' и выполнено краевое условие Г},

Д — отрезок [—1,1] или [0,1], а (Т, Г) — это, соответственно, либо (Е, Гоо) (т. е. когда рассматривается класс И^^К.) при отсутствии граничных условий), либо (М+,Гп0) (когда рассматриваются функции из такие, что = 0, 0 ^ я < п), и

И > 17

Также решается связанная с экстремальной задачей (7) задача оптимального восстановления (хЮ (г), (Т, Г), ), где ^с'(д) — многозначный информационный оператор, сопоставляющий функции х(-) такую функцию у(-) Е С(Д), что ||а;(-) — 11с(Д) <

Требуется решить задачу оптимального восстановления (гг^(т), ЦГ^Т, Г), -Ргс(д))> то есть найти величину Е(х^(т), Ц/'^Т^), Е$с(а)) и оптимальный метод восстановления.

Также решается задача восстановления И^(Т), В этом случае известно решение соответствующей экстремальной задачи для дискретного множества значений 8, и для этих значений ищется решение соответствующей задачи восстановления.

Краткое содержание работы

Во введении описывается общая постановка задачи и излагается содержание работы по главам и параграфам.

11^(-)1к(т) < К\\хЖр(тМП)(Ж(т)> (8) где 0 ^ к < п — целые, 1 ^ р, д, г ^ оо, а, (3 ^ О, Т = К V М+, справедливые для всех функций из ЬР(Т), у которых (п — 1)-я производная локально абсолютно непрерывна на Т и п-я производная принадлежит ЬГ(Т) (при этом числа а и /5 однозначно определяются: а = "^-Т/У-н/р'4» @ ~ 1 — а). Пространство таких функций мы будем обозначать через УУ^ДТ) (или просто УУ™ (Т), если р — г).

-)1к(т) -> шах, |ВД||Мт) ^ 7ъ ||®(п)0)11мг) < Ъ (9) для любых фиксированных чисел 71,72 > 0.

Перечислены основные случаи, при которых ранее были решены неравенства кол-могоровского типа, и приведены полученные результаты.

Теорема (Фенхель—Моро) Пусть X — векторное топологическое пространство f : X —» Ж U {+оо}. Функция f совпадает со своей второй сопряж-енной тогда и только тогда, когда f выпукла и замкнута.

Вводится понятие субдифференциала, который во многих случаях играет в выпуклом анализе роль производной в гладком анализе. Для субдифференциального исчисления приводятся аналог теоремы Ферма о критерии абсолютного минимума, а также теоремы Моро-Рокафеллара и Дубовицкого-Милютина о субдифференциале суммы и максимума двух функций.

В третьем параграфе дается определение выпуклой задачи: fo{x) —► min, fi(x) ^ 0, г = 1,. ,m, х е А. (10)

Здесь /¿: X —> R, г = 0,1,., т, — выпуклые функции, отображающие линейное пространство X в расширенную прямую, А С X — выпуклое множество.

В четвертом параграфе ставится вкратце описанная выше (стр. 7) задача оптимального восстановления (x',C,F). С ней связывается следующая задача, называемая ассоциированной: х, х') -» шах, х е F1(0), ж е С, (11) которую можно переписать в виде х, х') —> max, и = 0, u€F(x), х £ С, (12) где F-1^) = {re G С | г/ G F(rr)}.

Если множество С и функция F выпуклы, то (12) — выпуклая задача. Двойственная задача к (12) относительно стандартного возмущения (см. [24, с. 61]) имеет вид sup ((у, у') + (ж, ж')) -> min, (13) хбС, yeF(x) где у' — линейный фунционал на Y.

Связь между выписанными задачами и их решениями дается в следующей теореме:

Теорема (двойственности для задачи восстановления)

Пусть в задаче (11) множества С и grF выпуклы и уравновешены. Тогда допустимая в (12) точка (5;(0),0) является решением этой задачи в том и только в том случае, когда найдется такой множитель Лагранжа А G Y' (линейный фунционал на Y), что min £((ж,и),-1,А) = £((£,0),-1,Л). (14) itO,

При этом а) —Л — решение задачи (13) и значения задач (12) и (13) совпадают; б) Л — оптимальный метод восстановления в задаче (х', С, F) и Е(х', С, F) = (х, х').

Определение Функция х(-), заданная и непрерывная на отрезке А = [а, Ь], называется полиномиальным сплайном (или просто сплайном) порядка п с узлами {£j}"=ii такими, что а =: £0 < < • • • < £m < £m+i := Ь, если на каждом из промежутков [£7,^+1]) j = 0,., т функция ж(-) есть алгебраический полином степени, не превосходящей п.

Определение Сплайн ж(-) е С^П1^(А) степени п с узлами £1 < £2 < • • • < называется перфектным, если на отрезке j — 0,. ,т он имеет п-ю производную х^(-) = (—1)^7 (где 7 = ±1), т. е. эта производная по модулю равна 7, и при этом ее знаки чередуются.

Определение Пусть .т(-) £ С[а,Ь]. Говорят, что х(-) обладает N-алътернаисом, если существуют точки а ^ т\ < Т2 < ■ ■ ■ < т^ ^ Ь, такие, что 1^(^)1 = ||ж(-)||с[а,ь] при 1 ^ 3 ^ N и х{т^х{т^+1) < 0 при 1 < N.

Определение Скажем, что функция ж(-) £ Ь] удовлетворяет Гиг;-условию на а, 6], где и,ь Е и ^ п и V ^ п, если х^(а) = 0 при О^^'^тг — 1 и х^(Ь) = О при 0 ^ 7 ^ г; — 1 (если и = 0 или V = 0, то условия в соответствующем конце отрезка отсутствуют).

Перфектный сплайн степени пет узлами, удовлетворяющий Гии-условию на отрезке [а, 6], назовем (птТиу[а,Ь\)-сплайном.

Если такой сплайн имеет (п + т — (и + у) + 1)-альтернанс на отрезке [а, Ь], то будем называть его чебышевским (птТиь[а, Ь])-сплайном', а если лишь (п + т — (и + г;))-альтернанс, то золотаревским.

Теорема (о существ, и единств, чебышевских и золотаревских сплайнов)

Для всяких п 6 т,и,ь Е Z+J удовлетворяющих условиям и,у ^ п и п + т — (и + у) ^ 0, существует чебышевский (птТиу[а,Ь])-сплайн хпТпГи„[а,ь](-)■ Такой сплайн единственный с точностью до знака.

Для любого 8 > 0, лежащего между ||£„тГш)[а,&](-)11см и Ужпдп-х.г^кьКОУсМ; существуют ровно четыре различных золотаревских (птГиу[а,Ь])-сплайна, равномерная норма которых на отрезке [а, Ь] равна 6.

Достаточно доказать существование и единственность искомых сплайнов на отрезке [0,1], которые обозначаются просто (ггтГ,№) - с п л ай нам и.

Сначала приводится доказательство существования чебышевских сплайнов, основанное на теореме Борсука ([38]) (согласно которой нечетное непрерывное отображение г-мерной сферы §г в Мг обращается в нуль в некоторой точке) и на свойствах обобщенных полных чебышевских пространств (ЕСТ-пространств, см. [15] и [14]).

Единственность чебышевских сплайнов доказывается двумя способами, один из которых является распространением на рассматриваемый случай доказательства единственности чебышевских (тшгГоо)- и (?7.771,ГПП )-сплайнов, приведенного в работе [26] (Ма-лоземов, Певный).

При доказательстве существования и единственности золотаревских (птТи%1)~ сплайнов используется аппарат обобщенных перфектных сплайнов, использованный Карлиным в работе [45] при доказательстве существования и единственности чебышевских и золотаревских сплайнов без граничных условий.

В первом параграфе в качестве простейшего примера применения выбранной методики решается экстремальная задача (7) и соответствующая задача оптимального восстановления при малых значениях п. Эти задачи решаются на пространствах (для функций на отрезке [—1,1]) при гг = 1,2,3 и Гп0) (для функций на отрезке [0,1]) при п = 1,2. В этих случаях возможно явное построение чебышевских и золотаревских сплайнов.

Во втором параграфе приводится с небольшими изменениями и дополнениями результат, полученный А. П. Буслаевым для Т = М. Оптимальный метод восстановления имеет вид где множители ^ находятся из формулы

15) где В§ — , а константы Фавара п нечетно,

4 (-1)''

7г (2£+1)"+1 ' п четн0

При некоторых п приводятся вычисленные значения множителей чая отрезка без ограничений, так и при наличии нулевых ограничений в левом конце отрезка. Полученный результат формулируется в следующем виде:

Теорема (об оптимальном методе в задаче экстраполяции)

Пусть Х8 — чебышевский или золотаревский сплайн (жптг00д(-), жпт<$г00д(")> .^Птгп0д (•) или хПП1$гп0а(-)), имеющий норму 6; — его точки альтернанса. Тогда

Е(х{к)(т)^(Т,Г),Р6С{ь)) = \х?\т)\ и оптимальный метод восстановления имеет вид х^(т) ж №зУ(тз)> Уз ~ некоторые величины, зависящие от г, 8, п, к и являющиеся решением некоторой системы линейных уравнений.

В конце параграфа приводится иллюстрация применения полученных результатов в некоторых частных случаях.

Список источников диссертации и автореферата по математике, кандидата физико-математических наук, Михалин, Дмитрий Александрович, Москва

1. Арестов В. В. О точных константах между нормами функций и их производных // Acta Sei. Math. 1972, Т. 33, № 3-4, с. 243-267.

2. Арестов В. В. Приближение неограниченных операторов ограниченными и родственные экстремальные задачи // Успехи матем. наук. 1996, Т. 51, № 6, с. 89-124.

3. Арестов В. В., Бердышев В. И. Неравенства для дифференцируемых функций // Тр. Ин-та математики и механики УНЦ АН СССР. 1975, № 17. Методы решения условно-корректных задач. С. 108-138.

4. Бабенко В. Ф., Корнейчук Н. П., Кофанов В. А., Пичугов С. А. Неравенства для производных и их приложения. Киев: Наукова думка, 2003.

5. Бабенко В. Ф., Кофанов В. А., Пичугов С. А. Сравнение точных констант в неравенствах для производных на вещественной прямой и окружности // Укр. мат. журн. 2003, Т. 55, № 5, с. 579-589.

6. Бердышев В. И. Наилучшее приближение в L0,oo) оператора дифференцирования // Матем. заметки. 1971, Т. 9, № 5, с. 477-481.

7. Боссе Ю. Г. (Шилов Г. Е.) О неравенствах между производными // Сб. работ студ. науч. кружков МГУ. 1937, Т. 1, с. 68-72.

8. Буслаев А. П. О наилучшем приближении оператора дифференцирования. М., 1979.

9. Буслаев А. П. О точных константах и неравенствах для производных // Школа по теории операторов в функциональных пространствах. Тез. докл. Минск, 1982, с. 29.

10. Габушин В. Н. Точные константы в неравенствах между нормами производных функций // Матем. заметки. 1968, Т. 4, № 2, с. 221-232.

11. Габушин В. Н. О наилучшем приближении оператора дифференцирования на полупрямой // Матем. заметки. 1969, Т. 6, № 5, с. 573-582.

12. Габушин В. Н. Некоторые неравенства между производными функций // Труды Ин-та математики и механики УНЦ АН СССР. 1976, № 23. Методы регуляризации неустойчивых задач. С. 20-26.

13. Галеев Э. М., Тихомиров В. М. Оптимизация: теория, примеры, задачи. М.: Эдиториал УРСС, 2000.

14. Демидович В. Б. Приближенные вычисления с помощью обобщенных полиномов из чебышевских пространств. Чебышевские обобщенные полиномы. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1990.

15. КУПЦОВ Н. П. Колмогоровские оценки для производных в Ь2{0, оо) // Труды МИАН. 1975, Т. 138, с. 94-117.

16. Купцов Н. П. О точных константах в неравенствах между нормами функций и их производных // Матем. заметки. 1987, Т. 41, № 5, с. 313-319.

17. Магарил-Ильяев Г. Г. Неравенства для производных и двойственность // Тр. МИАН СССР. 1983, Т. 161, с. 183-194.

18. Магарил-Ильяев Г. Г., Тихомиров В. М. Выпуклый анализ и его приложения. М.: Эдиториал УРСС, 2000.

19. Магарил-Ильяев Г. Г., Тихомиров В. М. О неравенствах для производных колмогоровского типа // Матем. сборник. 1997. Т. 188. № 12. С. 73-106.

20. МАЛОЗЕМОВ В. Н., ПЕВНЫЙ А. Б. Полиномиальные сплайны. Л.: Изд-во Jle-нингр. ун-та, 1986. 120 с.

21. МАТОРИН А. П. О неравенствах между наибольшими значениями абсолютных величин функции и ее производных на прямой // Укр. матем. журнал. 1955, Т. 7, № 3, с. 262-266.

22. Стечкин С. Б. Наилучшее приближение линейных операторов // Матем. заметки. 1967, Т. 1, № 2, с. 137-148.

23. Тихомиров В. M., Магарил-Ильяев Г. Г. Перавенства для производных // Колмогоров А. Н. Избранные труды. Математика и механика. М.: Наука, 1985, с. 387-390.

24. Харди Г. Г., Литтлвуд Дж. Е., Полна Г. Неравенства. М.: ИЛ, 1948.

25. Чебышев П. Л. Теория механизмов, известных под названием параллелограммов // Полное собрание сочинений. Т. 2. Изд. АН СССР, М.-Л., 1948, с. 23-51.37. bagdasarov S. Chebyshev Splines and Kolmogorov Inequalities. Bukhauser, Basel etc. 1998.

26. Borsuk K. Drei Sätze über die n-dimensionale euklidishe Spare // Fund. Math., 1933, Bd. 20, s. 177-191.39. cavaretta A. S. An elementary proof of Kolmogorov's theorem // Amer. Math. Monthly, 81 (1974), pp. 480-486.

27. Cavaretta A. S. Oscillatory and zero properties for perfect splines and monosplines // J. Analyse Math., 28 (1975), pp. 41-59.

28. Cavaretta A. S. A refinement of Kolmogorov's inequality // Journal of Approximation Theory, 27 (1979), pp. 45-60.

29. H adam ard J. Sur le module maximum d'une fonction et de ses dérivées // C. R. Soc. Math. France. 1914. V. 41. P. 68-72.

30. Landau E. Einige Ungleichingen für zweimal differentierbare Funktionen // Proc. London Math. Soc. 1913. V. 2. № 13. P. 43-49.

31. Karlin S. Interpolation properties of generalized perfect splines and the solution of certain extremal problems // I., Trans. Amer. Math. Soc. V. 206, 1975, pp. 25-66.

32. Karlin S. Oscillatory perfect splines and related extremum problems // Spline Functions and Approximation Theory, by S. Karlin, C. A. Micchelli, A. Pinkus and I. J. Shoenberg, pp. 371-460, Academic Press, New York, 1976.

33. К wong M. K., Zettl A. Norm Inequalities for Derivatives and Differences // Berlin. Springer-Verlag, 1992, 150 p. (Lecture Notes in Mathematics, V. 1536)

34. Stein E. M. Functions of exponential type // Ann. of Math. (2). 1957, V. 65, № 3, P. 582-592.

35. Sz.-Nady B. Uber Integralungleichungen zwischen einer Function und ihrer Avleitung // Acta Sei. Math. 1941, V. 10, P. 64-74.Работы автора по теме диссертации

36. Михалин Д. А. Оптимальное восстановление значений гладких функций и их производных по неточной информации на отрезке // Фундаментальная и прикладная математика. 2002, Т. 8, Вып. 4, с. 1047-1058.

37. Михалин Д. А. Чебышёвские и золотаревские перфектные сплайны на отрезке с нулевыми граничными условиями // Доклады Академии Наук. Т. 425, № 5 (2009), с. 592-594.

38. Михалин Д. А. Специальные чебышёвские и золотарёвские перфектные сплайны на отрезке // Успехи матем. наук, 64:2 (386) (2009), с. 203-204.