О точных константах в неравенствах для норм функции и ее производных на конечном интервале тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

ОБОЗНАЧЕНИЯ.

Глава I. К РАЗРЕШИМОСТИ ПРОБЛЕМЫ

А .Н. КОЛМОГОРОВА.

§ I. Допустимые наборы.

§ 2. Три вариационные задачи для норм функции и ее производных

§ 3. Функции

Глава П. НЕРАВЕНСТВА КОЛМОГОРОВА ДЛЯ

НИЗШИХ П

§ I. Случай П =

§ 2. Случай П =

§ 3. Оценки для норм промежуточных производных

§ 4. О единственности экстремальной функции.

Глава Ш. НЕРАВЕНСТВА КОЛМОГОРОВА В

СЛУЧАЕ K = n-f .бб

§ I. Предварительный результат .бб

§ 2. Решение задачи Е>

§ 3. Некоторые оценки для нормы п—/)—ой производной.

§ 4. О единственности экстремальной функции

СПИСОК ЛИТЕРАТУШ

Диссертация посвящена вопросу получения точных кон -стант в неравенствах между верхними гранями абсолютных величин функции и ее производных на конечном отрезке. Решение этого вопроса интересно не только само по себе, но и в связи со многими приложениями: в теории приближения, в теории краевых задач обыкновенных дифференциальных уравнений, в теории автоматического регулирования и т.д.

Приведем краткий обзор результатов, посвященных оценкам нормы промежуточной производной в случаях всей действительной оси, полуоси и конечного интервала.

Первые фундаментальные результаты содержатся в работах Ж.Адамара [i] и Е.Ландау [i,2]. Адамар Ж. рассмотрел случай всей числовой прямой I - °° ^ + ^ , а Ландау Е. исследо -вал случаи полупрямой i.^ С0 Л 00 ) и конечного интервала I ~ Г О у С J в оба математика рассматривали функцию которая определена на I и имеет первую производ -ную, удовлетворяющую условию Липшица. Обозначая через

Мс=<1 ир№1 , Мг* uplf'W, где Мг понимается как верхняя грань производных чисел функции > можно сформулировать следующую теорему.

Теорема Ландау-Адамара. Если > + , то

M^flKK.

Если 1 = ГОу£] и

I)

Если и или l^LQ,+ «*») , то

M^ZfKK . (3)

Все неравенства в этой теореме точные,.так как существуют функции, называемые экстремальными, для которых нера -венства обращаются в равенства. Таким образом, случай, когда порядок старшей производной равен двум, полностью разобран Ж.Адамаром и Е.Ландау. В тот же исторический период П.Боль [i] для конечного отрезка рассмотрел более общий случай.

Теорема Боля.„Пусть для всех ^ из промежуткаоС^/^ /5 , fi>oC , задана функция £ (%) , имеющая производные до порядка ус/ , /Мъ-Z , включительно. Для существует верхняя грань. Пусть каждая из функций /' . у имеет на указанном промежутке по крайней мере по одному нулю. Символ m , V = о, уМ , пусть 03 начает верхнюю грань величины на заданном промеягутке, причем J~cc) ft) пусть означает саму функцию . Тогда .

А.Н.Колмогоров поставил следующую проблему. Пусть Т обозначает один из интервалов f-00^00) ? Соу Е\ и задана произвольная система целых чисел вида

Ко = 0< Кл < . .< Кj .

Найти необходимые и достаточные условия, которым должна удовлетворять система положительных чисел

Мк0, Afк* >.,., А1к] у для того, чтобы существовала определенная на I функция f ft) , обладающая на I абсолютно непрерывными производными до порядка Kj - i включительно, которые вместе с почти всюду существующей производной ft) удовлетворяли бы следующим (j + i )-му условиям: tel

Эта проблема до настоящего времени остается нерешенной за исключением некоторых частных случаев. Наибольшее продви -жение при решении проблемы Колмогорова достигнуто в случае Г = (- 00 э + оо ) .

Из работы Ж.Адамара [i] следует, что для того, чтобы для тройки чисел задача Колмогорова была раз решимой, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось нера -венство (I).

Г.Е.Шилов [i], рассматривая проблему Колмогорова для троек чисел МКо , Л1к< > А!Кг » решил ее для случаев, когда Кг » а также, когда Ki~2 , Кг= £ .

Исследование для случая I = (" 00 00) и j = 2 было доведено до конца самим А.Н.Колмогоровым [1,2]. Полученный при этом важный результат дает следующая

Теорема Колмогорова. Для того, чтобы тройке положительных чисел МКо , MKi , Мк* соответствовала функция J-60 , для которой ii--м, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие

MKz < Г*г MKi I Hi - «1К( / '«о / 'Kt у

4) где

П К г

1 ^ t^Ki-Ki / 1\ Кг

Ввиду фундаментальности этой теоремы неравенства между нормами функции и ее производных часто называют неравенствами Колмогорова.

В работах А.М.Родова рассматривался случай всей числовой оси при jъ 3 . Ему удалось получить решение проблемы Колмогорова для систем чисел вида К , М,, Мм., Мк,«] , [М«. Л, Л. Лг+<, Мк,« \.

В этом решении зависимость между постоянными A/Kt. выражается при ПОМОЩИ функции у - У (Мк\ Mki+2 ) или г** ) . .Так, например, для четверки результат А.М.Родова формулируется следующим образом: для решения проблемы Колмогорова в случае, когда К< = с , 6 = 0 , /,2,3, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись ус -ловия

Мг *2М<МЪ , Мо >Ч>(М<,Мг,МЛ) , где ЧСМ^Мх^Мъ) - /WX)/ , а функция определяется из условий:

I) Y(x) = V(K+4a) , a = , ;

Г , а4<х<гс(-а< ,

-Мз , Zcx+ai<X* 4а-ai ;

Для и j - 3 более эффективные условия получили В.К.Дзядык и В.А.Дубовик [l,2j:

Теорема. Для того, чтобы для заданной четверки положительных чисел у /1 «г , Мкг+<1 У 0 = К.*К4<Къ > существовала функция J-(x) с абсолютно непрерывной производной до порядка Кг и почти всюду ограниченной производной порядка Кг+4 , для которой З^/1 //Ге)(х)/ = Л/< >

М<0о г" = /Со > А«, /Сг , /(«-f / , необходимо и достаточно, чтобы числа Mi удовлетворяли следующим двум неравенствам:

1 м М Мкг.-К1-*1 а', где константы Колмогорова с пил и константы выражаются через константы Фавара л «» r-jvx^*)

K^TrZ-gjT7Г ' с помощью формул

V»- // п-т 7 У

Я*" к- {1 К-1 а число а является неотрицательным корнем уравнения

В случае /<2 = /<у + / эта теорема позволяет получить решение проблемы Колмогорова в явном виде:

Теорема. Для того, чтобы для четверки положительных чисел

Mo К+1 , м к+г существовала функция J- Сх) , для которой необходимо и достаточно выполнения неравенств

М ъЩ^ C<*>JMS**. ./У ml > где константы С/у) выражаются по формуле (5).

Этот результат служит существенным усилением основного результата работы А.М.Родова.

А.Горни [1,2] получил аналоги неравенства Колмогорова (4) для случаев I = Г О , + и I = Г О, .Так, если + , то если же ~ , то

Однако константы Горни не точные.

А.П.Маторин [I] в случае получил более точное неравенство

А.к,/////'"®///^//- , (6) где р Kl0<l-1). ГКгг - CKi -if] [(2Кг - /)//7 %

КгК'" . - (к.-*?.1}g - он у которое обращается в равенство при Из. £ 3 . Причем неравенство Маторина (б) при Кг =2 совпадает с неравенством Ландау (3),

Уточнению констант в неравенстве Колмогорова для полупрямой посвящены статьи В.М.Оловянишникова[1], С.Б.Стечки -на [1,3] и ряд других работ.

В общем случае для 1-/70,+ °°) и j~2 алгоритм вы -числения точных констант дали И.Шенберг и А.Каваретта [I]. Рассматривая задачу

1кгк, = -iup ///<*"// , itftt они доказали, что существует единственный "совершенный" сплайн Ткхт 00 вида

S(х) =2K*V,+ <XvXvy < . . < ^ ^ У, , имеющий наименьшую L^- норму на для всевозможных действительных Кг+ м параметров ^ м , (Х0 ? аКлЧ , и

Из результатов И.Шенберга и А.Кавареттн следует, что в случае полупрямой для того, чтобы для тройки чисел А//<0, , Л/к2 проблема Колмогорова была разрешимой, необходимо и

- 10 достаточно, чтобы выполнялось неравенство

Отметим, что неравенство (7) при Кг. < 3 эквивалентно неравенству Маторина (б). Случай является наиболее сложным и менее изученным в задаче Колмогорова. Настоящая диссертация посвящена исследованию этого случая.

В последнее время большое внимание уделяется неравенствам Колмогорова для норм производных в интегральных метриках. В случае прямой и полупрямой можно выделить прежде всего работы советских математиков Ю.И.Любича [I], Габушина В.Н. [1,2,6,7], Л.В.Тайкова [i], В.В.Арестова [2], В.И.Бер-дышева [i], Н.П.Купцова [I], В.М.Тихомирова [1,2],Г.Г.Мага-рил-Ильяева [i], Г.Г.Магарил-Ильяева и В.М.Тихомирова [i], А.П.Буслаева и В.М.Тихомирова [i], А.П.Буслаева, Г.Г.Мага-рил-Ильяева и В.М.Тихомирова [I], В.Г.Соляра [i]. Из ре -зультатов зарубежных математиков отметим работы ГДарди и Д.Литтльвуда [2], Г.Харди, Д.Литтльвуда и Г.Полиа [I], Е. Штейна [i], Б.С.Надя [i], З.Дитциана [i], Т.Като и И.Сатаке [i], М.Квонга и А.Зетла [1-4], А.Финка [i] и др. Подробную библиографию работ можно найти в статье М.Квонга и А.Зетла

М.

Оценки для норм производных периодической функции со -держатся в работах Н.П.Корнейчука [1,2] и А.А.Лигуна [1-3].

Случай конечного интервала в последнее время рассмат -ривался в работах В.И.Буренкова [1,2] и С.З.Рафальсона [i]. Приведем результат В.И.Буренкова [I].

Теорема. Пусть fу п=2уь>. > QM(x) = Xm+ cXm-iX"'*. л Qo многочлен, наименее уклоняющийся от нуля в метрике Lp(o^4) . Для любой функции /(X) , имеющей на (0,/) абсолютно непрерывную производную п Cn-i)l

Постоянную -г^г« нельзя заменить на меньшую.

IIQn-ll\Lp(0,1)

Разумеется, приведенное краткое описание исследований по оценкам для норм функции и ее производных не претендует на полноту и призвано лишь обрисовать положение дел в указанном вопросе.

Остановимся теперь более конкретно на содержании диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы.

1. О наилучшем приближении операторов дифференцирования. -Матем.заметки, 1967, I, № 2, с.149-154.

2. О точных неравенствах между нормами функций и их произ -водных. - Acta.Sci. Math. 1972, 33, № 3-4, р.243 -267.

3. О некоторых экстремальных задачах для дифференцируемых функций одной переменной. - Труды МИАН СССР, 1975, 138, с.3-28.Ахиезер Н.И.

4. Элементы теории эллиптических функций. - М.:Наука, 1970. - 304 с.Бабенко В.§., Пичугов С.А. I. Замечание к неравенству А.Н.Колмогорова. - В кн.: Исслед. по соврем.пробл.суммир. и приближ.функции и их прилож. Днепропетровск, 1980, с.14-17.Бердышев В.И.

5. Исследование пространств дифференцируемых функций с не-негулярной областью определения. Докт.дис.,Москва,1982.Буслаев А.П.

6. О приближении оператора дифференцирования на окружности. - Вестник Моск.ун-та, серия мех.-мат., 1980, № 6, с.12-16.

7. Неравенства для норм функции и ее производных в метриках ip. - Матем.заметки, 1967, I, № 3, с.291-298.

8. Точные константы в неравенствах между нормами производных функции. - Матем.заметки, 1968, 4, № 2, с.221-232.

9. О наилучшем приближении операторов дифференцирования на полупрямой. - Матем.заметки, 1969, 6, № 5, с.573-582.

10. Наилучщее приближение функционалов на некоторых множествах. - Матем.заметки, 1970, 8, № 5, с.551-562.

11. О наилучшем приближении оператора дифференцирования в метрике Lp. - Матем.заметки, 1972, 12, № 5, с.531-538.

12. Неравенства между производными в метриках Zр приО <р < оо. - Изв. АН СССР. Сер.мат., 1976, 40, № 4, с.869-892.

13. Неравенства между производными и приближение оператора дифференцирования. - В кн.: Примен.методов теор.функций и функ.анализа к задачам мат.физики. Новосибирск, 1978, ИМСО АН СССР, с.54-57.Дзядык В.К., Дубовик В.А.

14. К проблеме А.Н.Колмогорова о зависимостях между верхними гранями производных вещественных функций, заданных на всей оси. - Украинский мат.журнал, 1974, 26, № 3, с.300-317.

15. Неравенства Колмогорова для П =4. - Латвийский мат.ежегодник, 1982, вып.26, с.165-175.

16. К разрешимости проблемы А.Н.Колмогорова. - В кн.: Школа по теории операторов в функциональных пространствах. Тезисы докладов. Минск, 1982, с.68.

17. Некоторые вариационные задачи для норм функции и ее производных на конечном интервале. - В кн.: Ж Школа по теории операторов в функциональных пространствах. Тезисы докладов. Рига, 1983, т.1, с.94-95.

18. Об одной проблеме А.Н.Колмогорова. - Сибирский мат.журнал (в печати).

19. О неравенствах между верхними гранями последовательных производных произвольной функции на бесконечном интер -вале. - Учен.зап.МГУ. Математика, 1939, т. 30, кн.З,с.3-16.

20. Une generalisation de l'inegalite de M.J.Hadamard entre les bomes superieures des derivees successives d'une fonction. - C.r.Acad.sci., 1938, 207, p.764-765.Корнейчук Н.П.

21. Точные оценки для норм дифференцируемых периодических функций в метрике L. - Матем.заметки, 1967, 2, № 6, с.569-576.

22. Неравенства для дифференцируемых периодических функций и наилучшее приближение одного класса другим. - Изв.АН СССР, сер.матем., 1972, 36, с.423-434.Купцов Н.П.

23. Об априорных оценках производных решения дифференциального неравенства третьего порядка. - Латв.мат.ежегодник, 1981, вып.25, с.47-49.Лигун А.А.

24. Точные неравенства для верхних граней полунорм на классах периодических функций. - Матем.заметки,1973, 13, №5,с.647-654.2. 0 неравенствах между нормами производных периодических функций. - Матем.заметки, 1983, 33, № 4, с.385-391.

25. Об одном вопросе Менделеева. - Избр.тр., М., 1948, с.1-76.

26. Лекции о функциях, наименее уклоняющихся от нуля. -Избр.тр., М., 1948, с.249-292.Марков В.А.

27. О функциях, наименее уклоняющихся от нуля в данном промежутке. СПб., 1982.Маторин А.П.

28. Одно неравенство между нормами функции и ее производных в интегральных метриках. - Матем.заметки, 1983, 33, № I, с.77-82. Родов A.M.

29. Зависимости между верхними гранями производных функции действительного переменного. - Изв.АН СССР. Сер.мат., 1946, 10, с.257-270.

30. Достаточные условия существования функции действительного переменного с заданными верхними гранями модулей самой функции и ее пяти последовательных производных. -Уч.записки Белорусского гос.ун-та, 1954, выпД9. Смогоржевский А.С., Столова Е.С.

31. Справочник по теории плоских кривых третьего порядка. -М.:Физматиздат, 1961. - 236 с. Соляр В.Г.

32. Об одном неравенстве для норм функции и ее производных.-Изв.высш.учебн.завед. Математ., 1976, №2, с.64-68. Стечкин С.Б.

33. Неравенства между нормами производных произвольной функции. - Acta Sci. Math. 1965, 26, № 3-4, р.225-230.

34. Наилучшее приближение линейных операторов. - Матем.заметки, 1967, I, № 2, с.137-148.

35. О неравенствах между верхними гранями производных произвольной функции на полупрямой. - Матем.заметки, 1967, I, Л& 6, с.665-674.Субботин Ю.Н., Тайков Л.В.

36. Наилучшее приближение оператора дифференцирования в пространстве I— 2. - Матем.заметки, 1968 3, № 2, с.157--164.Тайков Л.В.

37. Неравенства типа Колмогорова и наилучшие формулы чис -ленного дифференцирования. - Матем.заметки, 1968, 4, № 2, с.233-238. Тихомиров В.М.

38. Некоторые вопросы теории приближений. - Докл.АН СССР, 1965, 160, № 4, с.774-777.

39. On the inequality ///"//* * К //////. - Quart. J.Math., 1974, 25, p.241-252.

40. An elementary proof of Kolmogorov's theorem. -Amer.Math. Monthly, 1974, 81, p.480-486.

41. One-sided inequalities for the successive derivatives of a function. - Bull.Amer.Math.Бос., 1976, 82, p.303-305.Каллионеми X. (Kallioniemi H.)

42. Interpolation properties of generalized perfect splines and the solutions of certain extremal problems. -Trans. Amer.Math.Soc., 1975, 206, p.25-66.

43. Landau-Kolmogorov inequalities for semigroups andgroups.-Proc.Amer.Math.Soc.,1977, 63, p.226-230.Копсон E. (Copson E.)

44. On two integral inequalities. - Proc.Roy.Soc.Edinbergh,1977, 77A, p.326-328.

45. On two inequalities of Brodlie and Everitt, - Proc.Roy. Soc.Edinbergh, 1977, 77A, p.329-333.Курепа C. (Kurepa S.) Iv Remarks on the Landau inequality. - Aequations Math., 1970, 4, p.240-241.Ландау E.(Landau E.)

46. Einige Ungleichungen ftir zweimal differentierbare Funk-tionen. - Proc. London Math. Soc., 1913, 13, s, 4349.

47. Kolmogorov-Landau inequalities for monotone functions. -J.Math. Anal, and Appl., 1982, 90, N 1, p. 251 - 258.

48. Best possible approximation constants. - Trans. Amer. Math. Soc., 1977, 226, p.243-255.Харди Г., Литтльвуд Д. (Hardy G., Littlewood J.) I. Contribution to the arithmetic theory of series. - Proc. London Math.Soc., 1912, 11, p. 411-478.

49. Remark on the Landau-Kallman-Rota inequality. -Aequationes Mat., 1970, 4, p.239-240.

50. On the Landau-Kallman-Rota inequality. - J. of Approx. Theory, 1972, 6, p.117-122fЧуй Ц.К., Смит П.В. (Chui O.K., Smith P.W.) I. A note on Landau's problem for bounded intervals, -Amer. Math.Monthly, 1975, 82, p.927-929. Шёнберг И. (Schoenberg I.)

51. Norm inequalities for a certain class of С functi -ons. - Israel J.Math., 1971, 10, N 3, p. 364-372.

52. On the integrb-differential inequality llf'llz ^К Hf Hp Hi"Ну. - J.Math.Anal, and Appl., 1974,45, p.639-653*

53. Some inequalities associated with certain ordinary differential operators. - Nath.Z., 1972, 126, s.308-326.

54. Inequalities and separation for certain ordinary differential operators. - P.London Math. Soc., 1974, 28, N 3, p.352-372.Эверит В., Зетл A. (Everitt W., Zettl A.) ^ О11 a class of integral inequalities. - J.London Math. Soc., 1978, 17, p.291-303.