Неустойчивости границ раздела и турбулентное перемешивание сред со сложной реологией тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

На правах рукописи

Долуденко Алексей Николаевич

НЕУСТОЙЧИВОСТИ ГРАНИЦ РАЗДЕЛА И ТУРБУЛЕНТНОЕ ПЕРЕМЕШИВАНИЕ СРЕД СО СЛОЖНОЙ РЕОЛОГИЕЙ

Специальность: 01.02.05 — механика жидкости, газа и плазмы

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

2 6 НОЯ 2009

Москва-2009

003484831

Работа выполнена на кафедре физической механики Государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Московский физико-технический институт (государственный университет)».

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, чл.-корр. РАН,

профессор Сон Эдуард Евгеньевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Жмур Владимир Владимирович

Ведущая организация: Институт прикладной механики РАН г. Москва

Защита состоится 9 декабря 2009 г. в 15 час. 00 мин. на заседании диссертационного совета Д 212.156.08 при Московском физико-техническом институте (государственном университете) по адресу: 141700, Московской обл., г. Долгопрудный, Институтский пер. д. 9, главный корпус, аудитория 119.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского физико-технического института (государственного университета).

Автореферат разослан "6" ноября 2009 г.

доктор физико-математических наук, профессор Иванов Михаил Федорович

Ученый секретарь диссертационного сове кандидат физико-математических наук

Коновалов В.П.

Общая характеристика работы

Актуальность проблемы. Течения сред со сложной реологией представляют важный класс фундаментальных и прикладных задач. Области применения включают новые методы в атомной промышленности, химической технологии, металлургии и других областях. В таких средах возникают сложные многофазные течения, например, в нефтяных скважинах и трубопроводах, они играют существенную роль в задачах гидроразрыва пласта при перемещении проппанта. Для повышения нефтеотдачи пласта реологические сложные среды находят применение в качестве специальных агентов закачки при поддержании внутрипластового давления. Такой список проблем может быть расширен.

В настоящее время существует множество работ, посвященных исследованию течений сред со сложной реологией, однако многие физические проблемы находятся в начальной стадии изучения. Это особенно касается вязкопластических сред, имеющих пороговое значение касательного напряжения.

Первые исследования, посвященные вязкопластическим средам, связаны с именем русского физика Ф.Н. Шведова, а также Хесса, Хэтчека. Ю. Бингам ввел в терминологию термин "реология", а также впервые предложил математическое выражение для вязкопластической жидкости. Более общая модель вязкопластической жидкости получила свое название в честь Гершеля и Балкли.

В развитие теории неустойчивостей Релея-Тейлора и Рихтмайера-Мешкова большой вклад внесли Д. Тейлор, Р. Бэллман, Р. Пеннингтон, Р. Рихтмайер, Е. Мешков, Д. Лэйзер, неустойчивость в магнитном поле рассматривалась С. Чандрасекхаром, подробно исследовал влияние вязкостных эффектов на развитите неустойчивостей К. Микаэльян, монография H.A. Иногамова, А.Ю.

Демьянова и Э.Е. Сона суммирует результаты многолетних исследований по гидродинамической неустойчивости и турбулентности.

Цель работы — исследование неустойчивости границы раздела сред со сложной реологией типа неустойчивостей Релея - Тейлора и Рихтмайера -Мешкова вплоть до стадии турбулентного перемешивания, а также изучение характеристик развитого турбулентного течения.

Методы исследования. В процессе диссертационного исследования использованы различные численные методы интегрирования для решения исходной системы уравнений сплошной среды. Автором разработаны программы расчета, основанные на методе сквозного расчета межфазных границ без их специального выделения. Для адекватного определения положения межфазной границы используется метод выделенных объемов (УОР). Проведено распараллеливание программ с целью использования их на многопроцессорных кластерах, что позволило выяснить особенности гидродинамического перемешивания и турбулентности вязкопластических сред.

Положения, выносимые на защиту:

1. Комплекс программ на основе метода выделенных объемов для численного изучения нестационарных трехмерных течений реологически сложных сред с межфазными границами.

2. Численное решение задач неустойчивости для сред со сложной реологией, включающей вязкопластические среды с пороговым напряжением для нестационарных двумерных и трехмерных геометрий течений. Результаты исследования процессов нелинейного развития неустойчивостей и турбулентного перемешивания.

3. Результаты исследования развитых однородных, неоднородных, изотропных и неизотропных пространственных турбулентных течений сред со сложной реологией.

Практическая ценность работы. Возможность использования разработанных программных комплексов для расчетов и моделирования турбулентных течений сред со сложной реологией, а также течений многофазных сред. Возможность расчетов развитых турбулентных течений многофазных сред методом в промышленных компаниях (Роснефть, Лукойл, Шлюмберже), научно-исследовательских институтах (ВНИИГАЗ, и др.) а также в университетах.

Достоверность полученных результатов основана на сравнении полученных расчетных результатов с аналитическими решениями, известными численными результатами и экспериментальными данными. Дополнительно для проверки точности построенной гидродинамической модели были проведены расчеты на различных разностных сетках и получена сходимость результатов.

Апробация работы. Результаты исследований обсуждались на научных семинарах кафедры «Физическая механика» факультета аэрофизики и космических исследований МФТИ, докладывались на конференциях:

1. 11-ой международной конференции «Физика турбулентного перемешивания сжимаемой жидкости» (1\УРС'1'М-11), Лос-Аламос, США, 13-18 июля 2008.

2. 51-ой научной конференции МФТИ "Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук", Долгопрудный, 28-30 ноября 2008.

3. XVII школе-семинаре молодых ученых и специалистов им. Леонтьева "Проблемы газодинамики и тепломассообмена в аэрокосмических технологиях", Жуковский, 25 - 29 мая 2009 года.

4. 2-ой международной конференции и школе «Турбулентное перемешивание» (1СТР), Триест, Италия, 27 июля - 7 августа 2009.

Основные результаты по теме диссертационного исследования изложены в 5 публикациях, список которых представлен в конце автореферата.

Личный вклад автора. Автор разработал и реализовал используемые численные методы; разработал программу визуализации расчетных 20 полей течений; произвел распараллеливание и отладку программ на многопроцессорном кластере; участвовал в постановке задач, проводил численные расчеты, обработку и анализ результатов.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка использованной литературы из 84 наименований. Полный об>ем работы представлен на 103 страницах машинописного текста.

Краткое содержание работы.

Во введении обоснована актуальность темы диссертационной работы, сформулирована цель работы, кратко изложено содержание.

В первой главе приведен обширный исторический обзор по неустойчивости Релея-Тейлора и Рихтмайера-Мешкова границ раздела сред для линейной, нелинейной, регулярно асимптотической стадий и стадии турбулентного перемешивания. Уделено внимание влиянию вязкости и поверхностного натяжения на развитие неустойчивостей в ньютоновских жидкостях. Проанализированы аналитические, экспериментальные и численные результаты. Рассмотрены современные работы из области гидродинамики перемешивания. Из этого раздела наглядно видна актуальность рассмотрения неустойчивых течений реологически сложных сред.

В этой же главе сделан исторический обзор, посвященный средам со сложной реологией. Приведено описание различных реологии (нелинейные среды, вязкоупругие, вязкопластические, псевдопластические, дилатантные среды).

Проанализированы основные численные методы изучения неустойчивостей межфазных границ (методы с выделением границ, метод сквозного расчета,

метод выделенных объемов). Произведен анализ вязкой неустойчивости Релея-Тейлора для сильно- и слабовязких ньютоновских жидкостей.

Здесь же дается обзор работ по численному моделированию турбулентных течений как гомогенных, так и гетерогенных течений. Обсуждаются различные подходы к проблеме замыкания. Так, например, методы прямого численного моделирования предъявляют большие требования к разностным схемам и вычислительной технике. Расчётная область должна вмещать наибольшие масштабы турбулентного движения, а число расчётных точек должно быть такое, чтобы можно было разрешать турбулентные вихри порядка колмогоровского масштаба. При этом и шаг по времени не может превышать порядок колмогоровского масштаба времени.

Во второй главе рассматриваются неустойчивости Релея-Тейлора и Рихтмайера-Мешкова в двумерном случае. Приведена система двух жидкостей с одинаковой реологией, но различными плотностями (р2>р,). Предполагается, что жидкости находятся в поле силы тяжести направленной вниз. Предполагается также, что жидкость с большей плотностью расположена над жидкостью с меньшей плотностью. В этом случае будет наблюдаться абсолютная неустойчивость контактной границы - неустойчивость Релея-Тейлора. С поверхностью раздела двух жидкостей связывается система координат, горизонтальная ось Ох которой лежит в плоскости поверхности раздела, а вертикальная ось О: направлена вверх.

Уравнения сохранения количества движения и неразрывности будут иметь

вид:

81 и

^Ни-УУи

дI

с1Ы(£) + р§,

где / - время, Ту =-р8^ + г(/, - тензор вязких напряжений, р - плотность, /7-давление, й - вектор скорости.

Для выражения тензора вязких напряжений используются две реологические модели:

1) модель ньютоновской жидкости,

2) модель Гершеля-Балкли.

В случае ньютоновской жидкости связь тензора вязких напряжений г9 с тензором скоростей деформации Димеет вид:

Уц ~~ 2

'дм, 5г/Л —— + —£

йх, <Эх ч ) ' /

хпидекартовые координаты и составляющая вектора скорости вдоль х1 соответственно.

Реологическая модель Гершеля-Балкли описывается следующим образом:

для Г>Г0, ^=0, для г<г0,

где г = ^ 2"1 г^ , / = у^ - вторые инварианты тензоров вязкости и скоростей деформации соответственно, г0 - пороговое значение напряжения.

При численных расчетах реологическое выражение для жидкости Гершеля-Балкли аппроксимируется следующим выражением для кажущейся вязкости /и(г) (рис. 1):

кУ~[+МоГ"~\ У^У^

^"о^шт МоУтт > ^ *

Рис. 1: Зависимость касательного напряжения от скоростей деформации.

Алгоритм основан на регуляризации основных соотношений модели Бингама или модели Гершеля-Балкли. В этом алгоритме области движения твердого тела описываются как области вязкого течения, с высоким значением вязкости // и малой величиной тензора скоростей деформаций у «\¡tm, где tRU = Á¡uB - характерное время неустойчивости Релея-Тейлора, Л - длина волны одномодового возмущения, и и0 - начальная скорость возмущения. В линейном случае при t = 0 мы можем задать гармоническое распределение скорости: и = и0е~ь sin Ах, w = u0e'b eos кх, z> О, и = -и0еь sin кх, w = и0еь cos кх, z < О, где и, w - проекции вектора скорости по осям х и г соответствен но.

При численных расчетах в качестве параметров обезразмеривания выбраны: длина волны возмущения Л, модуль вектора |g|, плотность тяжелой жидкости р2. Для удобства ширина физической области принята равной 2л.

Соответственно волновое число равно к = 1. Глубина обеих жидкостей считается больше по сравнению с длиной волны возмущения поверхности их раздела (приближение глубокой воды). Толщины верхнего и нижнего слоев жидкости существенно превышают длину волны возмущения. Это позволяет

аппроксимировать случай глубокой воды, когда граничные условия на верхней и нижней границах мало сказываются на развитии неустойчивости.

Для решения поставленной задачи был создан программный комплекс, позволяющий производить численное моделирование двумерных нестационарных течений как ньютоновской, так и неньютоновской жидкостей тремя численными методами:

1) методом крупных частиц

2) с использованием схемы"Лакса-Вендроффа

3) с использованием схемы Мак-Кормака.

Программный комплекс позволяет производить расчет течений не только ньютоновской жидкости, но и жидкостей с реологическими свойствами, подчиняющимися в общем случае уравнению Гершеля-Балклея. В частном случае рассматривается жидкость Бингама.

Для расчета и моделирования движения двухфазных сред используется явная схема с применением метода выделенных объемов.

Непременным условием использования программы является ее тестирование. Программа была протестирована на плоском ламинарном движении вязкой ньютоновской и бингамовской жидкости между двумя плоскостями у = ±Ь в призматической трубе прямоугольного сечения, одна сторона прямоугольника которой равна 2И, а другая устремлена в бесконечность.

Для ньютоновской жидкости распределение скоростей между плоскостями будет определяться следующим соотношением:

где Ар- перепад давления в трубе длиной /, ц - вязкость жидкости, у-расстояние от плоскости равноудаленной от стенок трубы до некоторой точки между этой плоскостью и стенкой трубы.

На рис. 2 показано теоретическое распределение скорости в сечении между двумя плоскостями в сравнении с численным расчетом. Видно, что численное решение с большой точностью совпадает с теоретическими значениями.

Рис. 2 Сравнение результатов теоретических и численных расчетов распределения скоростей в сечении призматической трубы при течении Пуазейля ньютоновской жидкости, ошибка в %.

Для бингамовской жидкости распределение скоростей между плоскостями будет определяться следующим соотношением:

и-„

мь.

(

___1о

Но М0)

N г.

( \ N / \ л Л

ч. -Ь. т _I0.

ч Но) <Но /

, 0<у<у0,

Лг0

гдед>0 = —-- половина толщины слоя жидкости, который движется как

г*

твердое тело,

напряжение вязкого трения на границе жидкость-стенка трубы,

ут.

х ~ ——— - текущее напряжение трения в зависимости от расстояния до И

плоскости, равноудаленной от двух стенок трубы,

N = ^^, п - показатель степени для жидкости Гершеля-Балклея, п = 1. п

Из расчетов получено (при следующих начальных условиях: А = 5см, г0 = 40///м2, АрИ = 40Н1м\ /¿ = 0.02#с/л12): >»0 = 1.25 см, «1.4 м/с.

твор. —числ. расчет -«--ошибка]

, I

ч / 1 /

1 / \ / \ !

\ г' / 1 \ /

\/ л / \ г

А ^ А / / ^ А

V V

О 5 10 15 20

расстояние поперек трубы

Рис. 3 Сравнение результатов теоретических и численных расчетов распределения скоростей в сечении призматической трубы при течении Пуазейля бингамовской жидкости, ошибка в %.

На рис. 3 показано теоретическое распределение скорости в сечении между двумя плоскостями в сравнении с численным расчетом при движении бингамовской жидкости. Видно, что численное решение с в параболической

части с большой точностью совпадает с теоретическими значениями. В части, соответствующей движению жидкости как твердого тела совпадение результатов менее точное. Это объясняется аппроксимацией реологического выражения для жидкости Гершеля-Балклея в расчете. Поэтому в модели движения жидкости при г < гй как твердого тела нет. В этом случае жидкость будет течь, но со значительно большей вязкостью.

Было произведено сравнение результатов численного расчета начального этапа развития неустойчивости ньютоновской жидкости с результатом теоретического расчета. На начальном этапе неустойчивость развивается по закону:

г (I) = 20 со5/г(ст/)со

где а2 = А^, А - число Атвуда: А = ———.

Рг + Й

При х - 0 выражение переходит в:

= С05Й(07)-

) -»- Мисп. расчет Пкнейная теория |

время

Рис. 4 Линейная фаза развития неустойчивости

Рис. 4 показывает хорошее соответствие теоретических и численных расчетов.

Прослежено влияние коэффициента вязкости на скорость развития неустойчивости. При увеличении этого коэффициента развитие неустойчивости замедляется.

На рис. 5 показаны изображения характерных фаз неустойчивости ньютоновских жидкостей с различной вязкостью на момент времени / = 100.

Важной задачей является нахождение критического начального возмущения, при котором происходит развитие неустойчивости в бингамовской жидкости при определенной величине порогового напряжения г0.

а) б) в)

Рис. 5 Влияние вязкости на развитие НРТ. Изображения соответствуют одинаковым временам от начала развития НРТ, а) вязк. 0.1, б) вязк. 0.2, в) вязк. 0.5.

Вид кривой касательного напряжения на рис. 1 позволяет построить следующий алгоритм величины начального возмущения. Первая часть кривой отвечает области высокой вязкости (выбираемой для настройки параметров задачи), а вторая часть - истинной, физической вязкости бингамовской жидкости. Поэтому, если задать начальное возмущение скорости, которое будет превышать максимальную скорость регулярно асимптотической стадии для жидкости с большой вязкостью, то могут реализоваться два случая.

1. Скорость пузыря легкой жидкости и струи тяжелой жидкости будет уменьшаться до постоянной скорости регулярно асимптотической стадии характерной для жидкости с высокой вязкостью.

2. Скорость пузыря легкой жидкости и струи тяжелой жидкости будет увеличиваться до постоянной скорости регулярно асимптотической стадии характерной для жидкости с физической вязкостью.

а) б)

Рис. 6 Зависимость скорости пузыря от времени при развитии 20 неустойчивости Рихтмайера-Мешкова с большой а) и малой б) амплитудой начального возмущения.

Первый случай может трактоваться как отсутствия необходимого начального возмущения, приводящего к развитию неустойчивости, второй случай - как достаточной величины начального возмущения скорости.

Была проведена серия расчетов для определения критической величины амплитуды возмущения, т.е такой амплитуды возмущения, превышение которой приводит к началу развития неустойчивости Рихтмайера-Мешкова.

Проведенные расчёты (рис. 6) на различных разностных сетках и при различных начальных возмущениях скорости позволяют найти необходимый для начала развития неустойчивости уровень начальных возмущений.

В третьей главе рассматриваются неустойчивости Релея-Тейлора и Рихтмайера-Мешкова в трехмерной геометрии.

В связи с резким увеличением, по сравнению с двумерным случаем, количеством расчетных ячеек, ключевым свойством программы является возможность ее использования с применением многопроцессорных систем с любым числом процессоров. При этом каждый процессор «обрабатывает» только «свою» часть общего расчетного поля. Обмены происходят только по граничным ячейкам каждой соседней области. Для исследования численных полей неизвестных величин с каждого процессора собирается информация и загружается в выходной файл. Это позволяет производить расчет с большим количеством расчетных ячеек за разумный интервал времени. Параллелизация производилась с помощью распространенного стандарта MPI 1.3 предназначенного для машин с распределенной памятью. Все расчеты проводились на кластере МФТИ с использованием, в зависимости от геометрии, до двадцати процессоров.

В пространственном случае также производился поиск критической амплитуды для начала развития неустойчивости Рихтмайера-Мешкова.

а) б)

Рис. 7 Зависимость скорости пузыря от времени при развитии 30 неустойчивости Рихтмайера-Мешкова с большой а) и малой б) амплитудой начального возмущения.

Проведенные расчёты (рис. 7) на различных разностных сетках и при различных начальных возмущениях скорости позволяют найти необходимый для начала развития неустойчивости уровень начальных возмущений, а также обнаруживают отличие значений критической амплитуды для пространственной задачи от значений критической амплитуды для плоской задачи.

При задании нескольких начальных мод возмущений происходит их взаимодействие, которое на нелинейной стадии приводит к «выживанию» более длинноволновой моды. При задании многих мод на стадии турбулентного перемешивания наблюдается так называемый инверсный каскад. Для определения величины проникновения нижней среды в верхнюю и наоборот -верхней среды в нижнюю вводится специальный коэффициент турбулентного перемешивания а.

Различие в развитиях неустойчивостей ньютоновской и неньютоновской жидкостей проявляется в различной толщине перемешанного слоя:

И = сс&2.

В численных расчетах проводились измерения слоев смешения для жидкостей с различной реологией, определение зависимостей h{t) и коэффициентов а.

В четвертой главе проводится численное изучение двух классов течений сред, в том числе и со сложной реологией:

1) свободные турбулентные течения,

2) неустойчивые течения,'приводящие к турбулентному перемешиванию. Для моделирования свободного турбулентного течения необходимо иметь

поле скоростей в рассматриваемом пространстве, обладающее определенными свойствами. Начальное поле скоростей должно удовлетворять уравнению неразрывности; кроме того, должны удовлетворяться требования, чтобы средняя по всему объему скорость и средний момент количества движения равнялись нулю, средние значения величин lu]}, (ufy и (и^ должны быть

заданы, а средние значения {«,«, ) при i ф j должны равняться нулю, должны

быть заданы также определенные «масштабы» движения по всем осям. В пределах удовлетворения этих требований начальное поле может задаваться произвольно. Удобно задать это поле периодическим, имея в виду, что при дальнейшем развитии турбулентного течения скорости должны приобрести случайный характер. Можно принять, например, следующее начальное распределение скоростей us = и,, иу=и2 и иг=щ.

щ = A, sin k¡ х, sin к2х2 sin к3х2 + Л/, cos k¡xt cos к2х2 cos кгхг + a¡ sin sin k2x2 sin k3хг + m[ co^k¡x¡ eos k2x2 eos k3x}

u2 = D2 sin sin k2x2 eos k3x} + H2 eos kíxl eos k2x2 sin k3x3 + d2 sin sin k2x2 eos k} x3 + /í¡ eos k¡ jc, eos k2x2 sin къхг

щ = B3 sin А,дг, cos k2x2 sin к3х} + Ьг sin cos к2 х2 sin к}хг

Величины к, и к, должны быть выбраны так, чтобы в размер рассчитываемой области вдоль каждой оси укладывалось целое число периодов. Например, если размер рассчитываемой области вдоль оси х, равен Ц, то

можно выбрать к, = 2д-л,. /£,, к,. = 2 л-«, /, где и и, - целые числа.

В качестве иллюстрации данного поля на рис. 8 показаны г проекции скорости.

Рис. 8 Начальное турбулентное поле проекции скорости на ось Оу.

Анализируются кинетическая энергия турбулентности и скорость ее диссипации:

где и, - мгновенная скорость. Угловые скобки обозначают осредненное значение. Штрих относится к пульсационной скорости.

г

I

Помимо этого рассматриваются также пространственные корреляционные функции скоростей:

Корреляция для точек, удаленных друг от друга на расстояние г, представляет собой меру интенсивности вихрей, размер которых в направлении вектора г больше его абсолютной величины (мелкие вихри не вносят клад в корреляцию).

Трехмерный энергетический спектр случайного векторного поля, он связан с пространственной корреляцией при помощи теоремы Хинчина:

1 **

Р(к) = —т {Л(г)ехр(-/^.

В теории турбулентности используется энергетический спектр Е(к), который характеризует энергию всех гармоник с заданным модулем волнового вектора независимо от его направления:

Е(к) = к.

п

Поскольку Е(к)(1к представляет собой кинетическую энергию турбулентности, содержащуюся между волновыми числами к и к + с1к, то спектральное представление кинетической энергии турбулентности имеет вид:

+00

к= \Е(к)с1к.

о

Спектральная плотность диссипации определяется соотношением

й(к) = 2укгЕ(к).

Таким образом, строится схематическое распределение кинетической энергии турбулентности по волновым числам и определяется разрешимая данной моделью часть спектра турбулентности.

Основные результаты работы.

1. Разработана и реализована программа для моделирования неустойчивостей Релея-Тейлора и Рихтмайера-Мешкова в 2D и 3D случаях на языке Fortran, в основу которой положены методы крупных частиц и выделенных объемов (VOF). Эта программа позволяет вычислять поля давлений, скорости, завихренности, плотности и концентрации, используемы в дальнейшем для анализа расчетов. Разработана программа визуализации расчетных 2D полей.

2. Получены зависимости величин начальных сдвиговых напряжений от порогового значения в одномодовом случае неустойчивости Рихтмайера-Мешкова для бингамовских сред в 2D и 3D случаях.

3. Создан программный комплекс, позволяющий производить численное моделирование трехмерных нестационарных течений как ньютоновской, так и неньютоновской жидкостей с применением технологии параллельного программирования MPI vl.3 тремя численными методами:

1) методом крупных частиц

2) с использованием схемы Лакса-Вендроффа

3) с использованием схемы Мак-Кормака.

Этот комплекс позволяет производить прямые численные вычисления нестационарных турбулентных течений на многопроцессорных системах с распределенной памятью.

4 Получены значения коэффициентов турбулентного перемешивания для сред со сложной реологией.

5. Получены начальные модельные турбулентные поля, проверенные на изотропность и однородность. Произведено численное исследование как распада турбулентности ньютоновской и неньютоновской жидкости, так и турбулентного перемешивания в результате развития неустойчивостей.

Основное содержание диссертационной работы изложено в следующих публикациях:

[1 ]A.Yu. Demianov, A.N. Doludenko, N.A. Inogamov, E.E. Son. Bingham plastic, yield stress, and threshold for onset of Rayleigh-Taylor instability // 11th International Workshop on the Physics of Compressible Turbulent Mixing (IWPCTM-11). Los Alamos. 13-18 July 2008.

[2] Демьянов А.Ю., Долуденко A.H., Иногамов H.A., Сон Э.Е. Неустойчивость вязкопластических сред // 51-й научная конференция МФТИ "Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук". 28-30 ноября 2008. Сборник трудов. - Москва-Долгопрудный, 2008. - Ч. 3, Т.1, с. 109-110.

[3] Демьянов А.Ю., Долуденко А.Н., Иногамов Н.А., Сон Э.Е. Модель Бингама и предел текучести в развитии неустойчивости Релея-Тейлора // XVII школа-семинар молодых ученых и специалистов им. Леонова "Проблемы газодинамики и тепломассообмена в аэрокосмических технологиях". г. Жуковский. 25 - 29 мая 2009 года. Сборник трудов. - М.: Изд-во МЭИ, 2009. -Т. 1, с. 316-319.

[4] Демьянов А.Ю., Долуденко А.Н., Иногамов Н.А., Сон Э.Е. Неустойчивость Релея-Тейлора вязкопластической жидкости // Теплофизика высоких температур. М.: "Наука", 2009.-Т. 47, №6, с. 131-143.

[5] A. Yu. Demianov, A.N. Doludenko, N.A. Inogamov, E.E. Son. Rayleigh-Taylor Instability in a Visco-plastic Fluid // Topical Issue of the Physica Scripta, 2010 (в печати).

Долуденко Алексей Николаевич

Неустойчивости границ раздела и турбулентное перемешивание сред со сложной реологией

Подписано в печать 05.11.09 Формат 60x84 Усл. печ.л.6 Тираж экз. Заказ №38 Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Московский физико-технический институт (государственный университет)

141700, Московская область г. Долгопрудный, Институтский пер. 9

Введение

ГЛАВА 1. Обзор литературы

1.1. Контактные неустойчивости Релея-Тейлора и Рихтмайера-Мешкова.

1.2. Вязкопластические жидкости.

1.3. Турбулентность и методы моделирования турбулентности

ТЛАВА 2. Неустойчивости Релея-Тейлора и Рихтмайера-Мешкова в средах со сложной реологией в двумерной постановке задачи

2.1. Постановка задачи.

2.2. Неустойчивость Релея-Тейлора вязкой жидкости.

2.3. Экспериментальное определение свойств неньютоновской жидкости.

2.4. Реологическое уравнение неньютоновской жидкости

2.5. Начальные и граничные условия.

2.6. Метод решения.

2.6.1. Метод крупных частиц.

2.6.2. Метод Лакса-Вендроффа.

2.6.3. Метод Мак-Кормака.

2.6.4. Метод выделенных объемов.

2.7. Тестирование численного алгоритма.

2.8. Неустойчивость Рихтмайера-Мешкова в ньютоновских и вязкопластических средах. Определение критической амплитуды.

2.9. Неустойчивость Релея-Тейлора в ньютоновских и вязкопластических средах.

2.10. Выводы к главе

ГЛАВА 3. Неустойчивости Релея-Тейлора и Рихтмайера-Мешкова в средах со сложной реологией в трехмерной постановке задачи

3.1. Постановка задачи и метод решения.

3.2. Использование технологии параллельного программирования MPI.

3.3. Неустойчивость Рихтмайера-Мешкова в ньютоновских и вязкопластических средах. Определение критической амплитуды

3.4. Неустойчивость Релея-Тейлора в ньютоновских и вязкопластических средах.

3.5. Выводы к главе

ГЛАВА 4. Численное исследование турбулентного перемешивания

4.1. Введение.

4.2. Многомодовый режим. Определение ширины зоны перемешивания.

4.2.1. Постановка задачи.

4.2.2. Методика определения ширины зоны перемешивания

4.2.3. Результаты.

4.3. Корреляционные зависимости

4.4. Спектр Фурье кинетической энергии.

4.5. Выводы к главе

Течения сред со сложной реологией представляют важный класс инженерных задач. Области применения включают новые методы в химической технологии, металлургической промышленности и в производстве красителей. Такие среды создают сложные многофазные течения в нефтяных скважинах и трубопроводах, они играют существенную роль при перемещении проппанта в задаче гидроразрыва пласта. Для повышения нефтеотдачи пласта реологические сложные среды находят применение в качестве специальных агентов закачки при поддержании внутрипластового давления. На практике такое поведение жидкостей проявляется повсеместно и можно привести большое количество примеров: жидкие цементные растворы, суспензии, различные растворы полимеров, твердеющая лава, ил и пластилин, тяжелые нефти и лавины, косметические кремы и гели, жидкий шоколад и всевозможные пасты. Таким образом, гидродинамика подобных материалов имеет приложения в широком диапазоне областей человеческой деятельности, начиная нефтяной и газовой, химической и пищевой промышленностями, и заканчивая геофизической гидродинамикой. Такой список проблем может быть расширен.

В настоящее время существует множество работ, посвященных исследованию течений сред со сложной реологией, однако можно констатировать, что многие физические проблемы находятся в начальной стадии изучения. Это особенно касается вязкопластических сред, имеющих пороговое значение касательного напряжения (так называемые бингамовские среды).

Цель работы - исследование неустойчивости границы раздела сред со сложной реологией типа неустойчивостей Релея - Тейлора и Рихтмайера - Мешкова вплоть до стадии турбулентного перемешивания, а также изучение характеристик развитого турбулентного течения.

Методы исследования. В процессе диссертационного исследования использованы различные численные методы интегрирования для решения исходной системы уравнений сплошной среды. Автором разработаны программы расчета, основанные на методе сквозного расчета межфазных границ без их специального выделения. Для адекватного определения положения межфазной границы используется метод выделенных объемов (УОР). Проведено распараллеливание программ с целью использования их на многопроцессорных кластерах, что позволило выяснить особенности гидродинамического перемешивания и турбулентности вязкопластических сред.

Положения, выносимые на защиту:

1. Численное решение задач неустойчивости для сред со сложной реологией, включающей вязкопластические среды с пороговым напряжением для нестационарных двумерных и трехмерных геометрий течений. Результаты исследования процессов нелинейного развития нсустойчивостей и турбулентного перемешивания.

2. Результаты исследования развитых неоднородных, неизотропных пространственных турбулентных течений сред со сложной реологией.

3. Комплекс программ на основе метода выделенных объемов для численного изучения нестационарных трехмерных течений реологически сложных сред с межфазными границами.

Практическая ценность работы. Возможность использования разработанных программных комплексов для расчетов и моделирования турбулентных течений сред со сложной реологией, а также течений многофазных сред. Возможность расчетов развитых турбулентных течений многофазных сред предложенным методом в промышленных компаниях (Роснефть, Лукойл, Шлюмберже), научно-исследовательских институтах (ВНИИГАЗ, и др.), а также в университетах.

Достоверность полученных результатов основана на сравнении полученных расчетных результатов с аналитическими решениями, известными численными результатами и экспериментальными данными. Дополнительно для проверки точности построенной гидродинамической модели были проведены расчеты на различных разностных сетках.

Апробация работы. Результаты исследований обсуждались на научных семинарах кафедры „Физическая механика" факультета аэрофизики и космических исследований МФТИ, докладывались на конференциях:

1. 11-ой международной конференции „Физика турбулентного перемешивания сжимаемой жидкости" (1\\ФСТМ-11), Лос-Аламос, США, 13-18 июля 2008.

2. 51-ой научной конференции МФТИ „Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук" , Долгопрудный, 28-30 ноября 2008.

3. XVII школе-семинаре молодых ученых и специалистов им. Леонтьева „Проблемы газодинамики и тепломассообмена в аэрокосмических технологиях", Жуковский, 25 - 29 мая 2009 года.

4. 2-ой международной конференции и школе „Турбулентное перемешивание" (1СТР), Триест, Италия, 27 июля - 7 августа 2009. Основные результаты по теме диссертационного исследования изложены в [1-5] (5 публикациях).

Личный вклад автора. Автор разработал и реализовал используемые численные методы; разработал программу визуализации расчетных 2Б полей течений; произвел распараллеливание и отладку программ на многопроцессорном кластере; участвовал в постановке задач, проводил численные расчеты, обработку и анализ результатов.

Б диссертации получены следующие результаты, характеризующиеся научной новизной:

Основные результаты работы.

1. Разработана и реализована программа для моделирования неустойчивостей Релея-Тейлора и Рихтмайера-Мешкова в 2D и 3D случаях на языке высокого уровня, в основу которой положены метод выделенных объемов. Эта программа позволяет вычислять поля давлений, скорости, завихренности, плотности и концентрации, используемые в дальнейшем для анализа расчетов. Разработана программа визуализации расчетных 2D полей. Создан программный комплекс, позволяющий производить численное моделирование трехмерных нестационарных течений как ньютоновской, так и неньютоновской жидкостей с применением технологии параллельного программирования MPI vl.3 тремя численными методами:

1) методом крупных частиц

2) с использованием схемы Лакса-Вендроффа

3) с использованием схемы Мак-Кормака.

Этот комплекс позволяет производить прямые численные вычисления нестационарных турбулентных течений на многопроцессорных системах с распределенной памятью.

2. Получены зависимости величины амплитуды начального возмущения от порогового значения сдвигового напряжения в одномодовом случае неустойчивости Рихтмайера-Мешкова для бингамовских и ньютоновских сред в 2D и 3D случаях.

3. Получены значения коэффициентов турбулентного перемешивания для сред со сложной реологией.

4. Произведен анализ корреляционных функций и энергетического спектра турбулентного перемешивания в результате развития < неустойчивости Релея-Тейлора.

Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка использованной литературы из 80 наименований. Полный объем работы, включая 41 наименование рисунков и список литературы, представлен на 123 страницах машинописного текста.

Основные результаты работы состоят в следующем:

1. В результате проведенного моделирования неустойчивости Рихтмайера-Мешкова бингамовских жидкостей получены пороговые значения амплитуды начального возмущения одномодового поля скорости в плоской постановке задачи. Показано, что порог напряжения неньютоновской жидкости существенно влияет на развитие неустойчивостей Релея-Тейлора и Рихтмайера-Мешкова.

2. Получены критические значения амплитуды начального возмущения одномодового поля скорости при моделировании неустойчивости Рихтмайера-Мешкова бингамовских жидкостей в пространственной постановке задачи. Получен факт масштабируемости порогового значения амплитуды для различных значений порогового напряжения бингамовских жидкостей.

3. Произведено моделирование неустойчивости Релея-Тейлора в многомодовой постановке задачи. Получены универсальные коэффициенты а турбулентного перемешивания для ньютоновских и бингамовских жидкостей с различными значениями предельного напряжения сдвига.

4. Исследованы корреляционные функции проекции и' скорости на ось Ог при турбулентном перемешивании в результате развития неустойчивости Релея-Тейлора. Установлено, что характерные структуры перемешивания увеличиваются в размере с течением времени.

5. Получен и проанализирован спектр кинетической энергии в плоскости начального положения границы раздела двух жидкостей. • Рассмотрено изменение вида энергетического спектра от времени в зависимости от волновых чисел кх и ку.

6. Разработан и реализован алгоритм для моделирования неустойчивостей Релея-Тейлора и Рихтмайера-Мешков в 20 и ЗО геометрии на языке высокого уровня. В ее основу положены методы крупных частиц, Лакса-Вендроффа, Мак-Кормака и метод выделенных объемов. Эта программа позволяет вычислять поля давлений, скорости, завихренности, плотности и концентрации, используемые в дальнейшем для анализа расчетов. Вариант алгоритма, предназначенный для моделирования трехмерных течений позволяет выполнять задачи на высокопроизводительных многопроцессорных вычислительных машинах. Тестовые расчеты показали согласованность с теоретическими результатами и подтвердили возможность использования алгоритма для моделирования движения вязких несжимаемых жидкостей с ньютоновской и неньютоновской реологией в пространственной геометрии.

7. Разработан пакет алгоритмов, предназначенный для анализа и визуализации расчетных полей: программа 20 визуализации; алгоритмы вычисления координат вершины пузыря и скорости его подъема; программа вычисления зоны смешения двух жидкостей; алгоритмы расчета значений корреляционных функций и энергетического спектра.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Bingham plastic, yield stress, and threshold for onset of Rayleigh-Taylor instability / A. Demianov, A. Doludenko, N. 1.ogamov, E. Son // Proceedings of the 11th International Workshop on the Physics of Compressible Turbulent Mixing (IWPCTM-U). — 2008.

2. Неустойчивость вязкопластических сред / А. Демьянов, А. Долуденко, H. Иногамов, Э. Сон // Сборник, трудов 51-й научной конференции МФТИ "Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук". — 2008. — Т. 1.-С. 109-110.

3. Неустойчивость Релея-Тейлора вязкопластической жидкости / А. Демьянов, А. Долуденко, Н. Иногамов, Э. Сон // Теплофизика высоких температур. М.: "Наука". — 2009. — Т. 47. — С. 830-834.

4. Rayleigh-Taylor instability in a visco-plastic fluid / A. Demianov, A. Doludenko, N. Inogamov, E. Son // Topical Issue of the Physica Scripta.— 2010 (в печати).

5. Taylor G. I. The instabilitiy of liquid surfaces when accelerated in a direction perpendicular to their planes. / Proc. Roy. Soc. (A). — 1950. — Pp. 192-196.

6. Bellman R., Pennington R. H. Effects of surface tension and viscosity on Taylor instability. // Quarterly of Applied Mathematics. — 1954. — July. Vol. 12, no. 2. - Pp. 151-162.

7. Richtmyer R. D. Taylor instability in shock acceleration of compressible fluids.: report: University of California, 1954.— July.

8. Meshkov E. E. Instability of the interface of two gases accelerated by a shock wave. // Izv. AN SSSR. Mekhanika Zhidkosti i Gaza. — 1969. — Vol. 4, no. 5,-Pp. 151-157.

9. Chang С. T. Dynamic instability of accelerated fluids // Phys. Fluids. — 1959.- no. 2,- P. 656.

10. Layzer D. On the instability of superposed fluids in a gravitational field // Astrophysical Journal. — 1955. — Vol. 122. — Pp. 1-12.

11. Bell G. Taylor instability on cylinders and spheres in the small amplitude approximation: report La-1321: Los Alamos National Laboratory, 1951.

12. Plesset M. S. On the stability of fluid flows with spherical symmetry // Journal of Applied Physics. — 1954. — Vol. 25. — Pp. 96-98.

13. Chandrasekhar S. Hydrodynamic and Hydromagnetic Stability. — New York, NY, USA: Dover, 1981.

14. Развитие рэлей-тейлоровской неустойчивости в системах с различной сжимаемостью среды. / Н. Н. Анучина, М. Г. Анучин, В. И. Волков и др. // Математическое моделирование. — 1990.— Т. 2, № 4.— С. 3-16.

15. Mikaelian К. Effect of viscosity on Rayleigh-Taylor and Richtmyer-Meshkov instabilities 11 Phys. Rev. 1993. - Vol. E 47. - P. 375-383.

16. Иногамов H. А., Демьянов А. Ю., Сон Э. E. Гидродинамика перемешивания, — Изд-во МФТИ., 1999,— С. 464.

17. Ott Е. Nonlinear evolution of the Rayleigh-Taylor instability of a thin layer // Physical Review Letters. — 1972. Vol. 29, no. 21. - Pp. 14291432.

18. Ibanez L. F., Piriz A. R.t Sanz J. Rayleigh-Taylor instability of steady ablation fronts: The discontinuity model revisited // Phys. Plasmas. — 1997. Vol. 4. - Pp. 1117-1126.

19. Cui A., Street R. L. Large-eddy simulation of coastal upwelling flow ¡I Environmental Fluid Mechanics. — 2004. — Vol. 4. — Pp. 197-223.

20. Bychkov V., Liberman M. A. Hydrodynamic instabilities of the flame front in white dwarfs // Astron. Astrophys. — 1995.— Vol. 16.— Pp. 727-734.

21. Ribeyre X.} Tikhonchuk V. Т., Bouquet S. Compressible Rayleigh-Taylor instabilities in supernova remnants // Phys. Plasmas. — 2004. — Vol. 302,- Pp. 4661- 4670.

22. Annett С. H., Racca R. A. Simple demonstration of Rayleigh-Taylor instability // Am. J. Phys. 1985. - Vol. 53. - Pp. 484-486.

23. Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа: Учеб. для вузов. — М.: Дрофа., 2003. С. 840.

24. Уилкинсон У. Л. Неньютоновские жидкости: Перев с англ. — М.: Мир., 1964.i

25. Kumar P., Alohan Н., Singh. G. J. Rayleigh-Taylor instability of rotating oldroydian viscoelastic fluids in porous medium in presence of a variable magnetic field // Transport in Porous Media.— 2004.— Vol. 56.— Pp. 199-208.

26. Kumar P., Singh M. Hydrodynamic and hydromagnetic stability of viscous-viscoelastic superposed fluids in presence of suspended particles // Physical Separation in Science and Engineering. — 2007. — Vol. 2007. Article ID 28908. 6 pages.

27. Weber W. 11 Ann. Phy. Chem. 1835. - no. 34. - P. 247.

28. Schwedoff T. Recherches experimentales sur la cohesion des liquides // J. Physique. — 1890. Vol. 2, no. 9. - P. 34.

29. Hess W. Ц Kolloid Z. Klin. Med. 1910. - no. 71. - P. 421.

30. Hatchek E. // Koll. Z. 1913. - no. 13. - P. 88.

31. Bingham E. С. Fluidity and Plasticity. — New York: McGraw-Hill Book Company, Inc, 1922. P. 219.

32. Bingham E. An investigation of the laws of plastic flow 11 U.S. Bureau4 of Standards Bulletin. — 1916. — no. 13. — Pp. 309-353.

33. Halton P., Blair G. W. S. A study of some physical properties of flour doughs in relation to their breadmaking qualities // J. Phys. Chem. — 1936. Vol. 5, no. 40. - P. 561-580.

34. Blair G. W. S. A Survey of General and Applied Rheology. — London: Sie Isaac Pitman & Sons, 1949.

35. Шулъман 3. П., Хусид Б. М. Нестационарные процессы конвективного переноса в наследственных средах. — Минск: Наука и техника, 1983.

36. Dynamic transient mode of shear strain of an elastic viscoplastic medium in a long channel / O. Dornyak, E. Zal'tsgendler, B. Khusid, Z. Shul'man // Journal of Engineering Physics.— 1989.— Vol. 55, no. 3,- Pp. 1025-1029.

37. Shul'man Z., Khusid B. Conjugated convective heat transfer problemsfor viscoplastic fluids in plane-parallel channels // International Journal of Heat and Mass Transfer. 1981. — Vol. 24, no. 6. - Pp. 1045-1050.

38. Alexandrou A. N., McGilvreay Т. M., Burgos G. Steady Herschel-Bulkley fluid flow in three-dimensional expansions // Non-Newtonian Fluid Mech. 2001. - Vol. 100. - Pp. 77-96.

39. Flow instabilities of Herschel-Bulkley fluids / A. N. Alexandrou, P. L. Menn, G. Georgiou, V. Entov // Non-Newtonian Fluid Mech. — 2003.-Vol. 116.-Pp. 19-32.

40. Saffman-Taylor instability in yield stress fluids / N. Maleki-Jirsaraei, A. Lindner, S. Rouhani, D. Bonn // J. Phys.: Condens. Matter. — Vol. 17,- Pp. 1219-1228.

41. Taylor G. Stability of a viscous liquid contained between two rotating cylinders // Phil. Trans. Roy. Soc. London. — 1923,— Vol. A. 223.— Pp. 289-343.

42. Landry M. P. Taylor-Couette instability of a Bingham fluid 11 BMath University of Waterloo. — 2003.

43. Malin M. The turbulent flow of Bingham plastic fluids in smooth circular tubes // International Communications in Heat and Mass Transfer. — 1997. Oct. - Vol. 24, no. 6. - Pp. 793-804.

44. Malin M. Turbulent pipe flow of Herschel-Bulkley fluids // International Communications in Heat and Mass Transfer. — 1998. — April. — Vol. 25, no. 3,- Pp. 321-330.

45. Черняк В. Г., Суетин П. Е. Механика сплошных сред: Учеб. пособ.: Для вузов. М.: ФИЗМАТЛИТ., 2006. - С. 352.

46. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика: Учебное пособие. В 10 т. T. VI. Гидродинамика. — М.: Наука. Гл. ред. физ-мат. лит., 1986.- С. 736.

47. Колмогоров А. Локальная структура турбулентности в несжимаемой жидкости при очень больших числах рейнольдса. // ДАН СССР.— 1941,- Т. 30, № 4,- С. 299-303.

48. Reynolds О. On the dynamical theory of incompressible viscous fluids and the determination of the criterion // Phil. Trans. Roy. Soc. London. Series A. 1895. - Vol. 186. - Pp. 123-161.

49. Boussinesq J. // VAcademie des sciences de VInstitut de France. — 1877.-Vol. 23, no. l.-Pp. 46-50.

50. Prandtl L. 11 ZAMM. 1925. - Vol. 5. - Pp. 136-139.

51. Karman Т. 11 Third International Congress on Applied Mechenics. — Stockholm, Sweden: 1930.

52. Колмогоров А. Уравнения турбулентного движения несжимаемой жидкости // Известия АН СССР. Серия физическая. — 1942. — Т. 6, № 1-2.- С. 56-58.

53. Prandtl L. // Nacr. Ahad. Wiss. 1945. - no. 6. - Pp. 6-19.

54. Smagorinsky J. General circulation experiments with the primitive equations // Monthly Weather Review. — 1963,— Vol. 91, no. 3,- Pp. 99165.

55. A dynamic subgrid-scale eddy viscosity model / M. Germano, U. Pi-omelli, P. Moin, W. Cabot // Physics of Fluyds.— 1991,- Vol. 3, no. 7,- Pp. 1760-1765.

56. Germano M. Turbulence: the filtering approach // Journal of Fluid Mechanics. — 1992. — Vol. 238. Pp. 325-336.

57. Chakravarty V., Menon S. Subgrid modeling of turbulent premixed flames in the flamelet regime // Flow, Turbulence and Combustion. — 2000. Vol. 65, no. 2. - Pp. 133-161.

58. Yoshizava A., Horiuti K. A statistically-derived subgrid-scale kinetic energy model for the large-eddy simulation of turbulent flows // Journal of Physical Society of Japan. — 1985. Vol. 54, no. 8. — Pp. 2834-2839.

59. Wang X., Gordaninejad F. Flow analysis of field-controllable, electro and magneto-rheological fluids using Herschel-Bulkley model // Journalof Intelligent Materials, Systems and Structures.— 1999,— Vol. 10, no. 8. — Pp. 601 608.

60. Седов JI. Механика сплошной среды. Т.1.— М.: Наука, 1970.— С. 492.

61. Hirt С., Nichols В. Volume of fluid (VOF) method for the dynamics of free boundaries // Journal of Computational Physics. — 1981.— Vol. 39,- Pp. 201-225.

62. Evans M., Harlow F. The particle-in-cell method for hydrodynamic calculations: Tech. rep. — Los Alamos: Los Alamos Scientific Lab. Rept. № LA-2139, 1957.

63. Харлоу Ф. Численный метод частиц в ячейках для задач гидродинамики. — В сб.: Вычислительные методы в гидродинамике. — М.: Мир, 1967,- С. 316-342.

64. Белоцерковский О. М., Давыдов Ю. М. Метод крупных частиц в газовой динамике. — М.: Наука, 1982. — С. 370.

65. Lax P., Wendroff В. Systems of conservation laws // Comms. Pure and Appl. Math. 1960. - Vol. 13. - Pp. 217-237.

66. Lax P. Weak solutions oi nonlinear hyperbolic equations and their numerical computatien. // Comms. Pure and Appl. Math. — 1954.— Vol. 7.— Pp. 159-193.

67. MacCormack R. W. The effect of viscosity in hypervelocity impact cra-tering // AIAA Paper 69 354. — 1969.

68. Нигматулин P. Динамика многофазных сред. 4. I. — М.: Наука. Гл. ред. физ-мат. лит., 1987. — С. 464.

69. Басниев К., Дмитриев Н., Розенберг Г. Нефтегазовая гидродинамика: учебное пособие для вузов. — М.—Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2005. — С. 544.

70. Воеводин В., Воеводин В. Параллельные вычисления. — СПб.: БХВ-Петербург, 2002. — С. 608.

71. Inogamov N., Oparin A. Three-dimensional aray structures associated with Richtmyer-Meshkov and Rayleigh-Taylor instability // Journal of experimental and theoretical physics.— 1999.— Vol. 89, no. 3.— Pp. 481-499.

72. Иевлев В. Численное моделирование турбулентных течений. — М.:Наука, 1990.-С. 216.

73. On stochastic mixing caused by the Rayleigh-Taylor instability / N. Inogamov, A. Oparin, A. Dem'yanov et al. // Journal of Experimental and Theoretical Physics. — 2001. Vol. 92, no. 4. — Pp. 715-743.

74. Inogamov N. Richtmyer-Meshkov turbulence / 10 IWPCTM -PARIS(France). 2006. - July.

75. Inogamov N. Statistics of long-wavelength fluctuations and the expansion rate of Richtmyer-Meshkov turbulence zone 11 JETP LETTERS. — Vol. 75, no. 11.- Pp. 547-551.

76. Волков К., Емельянов В. Моделирование крупных вихрей в расчетах турбулентных течений. — М.: Физматлит, 2008. — Р. 368.