Неустойчивости проводящей жидкости в сильных электрических и магнитных полях тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.13 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. ДИНАМИКА СВОБОДНОЙ ПОВЕРХНОСТИ ЖИДКОСТЕЙ С РАЗЛИЧНЫМИ ФИЗИЧЕСКИМИ СВОЙСТВАМИ В ОКОЛОКРИТИЧЕСКОМ ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ.

1.1. Введение.

1.2. Исходные уравнения.

1.3. Малоугловое приближение.

1.4. Амплитудные уравнения.

1.5. Критерии взрывной неустойчивости.

1.6. Четырехволновые взаимодействия.

1.7. Критерии жесткой неустойчивости плоской поверхности диэлектрической жидкости во внешнем электрическом поле.

1.8. Влияние старших нелинейностей на стабилизацию неустойчивостей в жидких проводниках, диэлектриках и гелии.

1.9. Выводы к главе 1.

ГЛАВА 2. РАВНОВЕСНАЯ КОНФИГУРАЦИЯ ЗАРЯЖЕННОЙ ЖИДКОМЕТАЛЛИЧЕСКОЙ СТРУИ.

2.1. Введение.

2.2. Исходные уравнения и их точные решения.

2.3. Построение равновесных профилей в координатах {х,у}.

2.4. Зависимость амплитуды возмущения от поверхностного заряда струи.

2.5. Выводы к Главе 2.

ГЛАВА 3. КОНВЕКТИВНЫЕ НЕУСТОЙЧИВОСТИ В ПЛОСКИХ

ЖИДКИХ ПРОВОДНИКАХ С ТОКОМ.

3.1. Введение.

3.2. Аналогия между задачей о конвективных неустойчивостях в жидких проводниках с током и проблемой Бенара в приближении Буссинеска.

3.3. Перетяжечная неустойчивость границы резистивной жидкости.

3.4. Выводы к Главе

ГЛАВА 4. МАЛОМОДОВАЯ МОДЕЛЬ ПРЕРЫВАНИЯ ТОКА В ЖИДКОМ МЕТАЛЛЕ

4.1. Введение.

4.2. Построение маломодовой модели динамики вихревых структур в эвтектике.

4.3. Анализ поведения модели.

4.4. Сравнение теории и эксперимента.

4.5. Динамика вихревых структур в жидкометаллическом проводнике.

4.5. Выводы к Главе 4.

На протяжении нескольких последних десятилетий сохраняется устойчивый интерес к исследованию поведения жидкостей с различными физическими свойствами в сильных электрическом и магнитном полях. Особую значимость, в частности, имеет электрогидродинамическая (ЭГД) неустойчивость заряженной поверхности жидкости, предсказанная в работах JL Тонкса [1] и Я.И. Френкеля [2]. Прежде всего, это связанно с важной ролью жидкой поверхности в общей проблеме нарушения электрической прочности, а также в связи с созданием источников заряженных частиц. Взаимодействие электрического поля 0.1-10МВ/см и индуцированных им зарядов на поверхности проводящей жидкости приводит к лавинообразному росту возмущений на изначально плоской поверхности, формированию за конечное время микрообластей с высокой концентрацией энергии, обострению эмиссионных процессов и, как следствие, вакуумному пробою. Существуют свидетельства того, что неустойчивости в жидкой фазе играют важную роль при инициировании взрывной электронной эмиссии [3]. Хорошо экспериментально изучены ЭГД неустойчивости поверхности диэлектрических жидкостей (воды, различных масел), а также аналогичные с математической точки зрения неустойчивости феррожидкостей в нормальном магнитном поле. Кроме того, имеется значительное количество экспериментальных данных о развитии ЭГД неустойчивости поверхности криожидкостей — жидких гелия и водорода, развивающейся при относительно малых напряженностях электрического поля (1-10кВ/см).

Другой класс неустойчивостей, которые рассматриваются в настоящей работе, это конвективные магнитогидродинамические (МГД) неустойчивости, сопровождающие протекание тока величиной 5-50кА по проводящей жидкости. Интерес к подобным неустойчивостям обусловлен широким применением в электрофизических установках прерывателей тока, основанных на разрушении проводников током значительной плотности. Существенную роль в процессах, происходящих при электрическом взрыве проводников, играет стадия, на которой проводник можно считать жидким. По ряду экспериментальных данных именно на этой стадии происходит рост эффективного сопротивления металла и начинают формироваться характерные радиальные возмущения поверхности проводника (страты). Кроме того, эксперименты по многократной коммутации в изначально жидком металле, эвтектике, в которых прерывание тока происходило без последующего разрушения проводника, дают основание полагать, что именно конвективные МГД неустойчивости ответственны за уменьшение эффективной проводимости среды.

Кратко опишем современное состояние теоретических исследований ЭГД и конвективных МГД неустойчивостей. Анализ дисперсионных соотношений для электрокапиллярных волн позволил определить критерии неустойчивости поверхности жидкостей во внешнем поле; полностью описана линейная фаза развития ЭГД неустойчивости [4]. Что касается динамических процессов, происходящих в нелинейной фазе неустройчивостей: было исследовано формирование возмущенного рельефа поверхности жидкостей с близким к единице коэффициентом диэлектрической проницаемости [5] и криожидкостей с малым поверхностным электрическим зарядом [6] при околокритических внешних полях. Вместе с тем, именно нелинейные процессы ответственны за формирование геометрических особенностей — острий, обеспечивающих условия для интенсивной электронной (ионной) эмиссии, за взрывной рост возмущений поверхности, формирование капель и пузырей — т.е. за всевозможные ситуации, соответствующие сингулярным решениям нелинейных уравнений движения жидкости.

В работах [7-9] решена задача описания эволюции поверхности проводящей жидкости в пределе сильного электрического поля. С использованием методов гамильтоновского формализма получены нелинейные интегро-дифференциальные уравнения движения свободной поверхности идеальной проводящей жидкости в сильном внешнем электрическом поле. Для случая плоской симметрии эти уравнения аналитически решаются методами теории функций комплексного переменного. Это позволило показать, что при произвольных начальных ус лов иях за конечное время на исходно гладкой поверхности появляются точки с бесконечной кривизной, соответствующие особенностям корневого типа, что соответствует процессу формирования геометрических особенностей на заряженной поверхности проводящей жидкости. В работе [10] для случая ЭГД неустойчивости плоской заряженной электронами поверхности жидкого гелия найдены решения, не ограниченные условием малости возмущений поверхности и позволяющие аналитически описать эволюцию свободной поверхности вплоть до формирования на ней особенностей — точек заострения, подобных наблюдаемым в экспериментах.

Как известно, плоская поверхность жидкости становится неустойчивой по отношению к малым возмущениям формы границы и поля скоростей если величина внешнего электрического поля превышает некоторое критическое значение. Одна из особенностей поведения жидкостей состоит в том, что даже если поле меньше порогового (т.е. поверхность линейно устойчива), возмущение достаточно большой амплитуды может вывести систему из равновесия. Это связано с влиянием нелинейных волновых взаимодействий, роль которых особенно велика при околокритических полях. Появляется необходимость построения критериев неустойчивости заряженной поверхности жидкости по отношению к возмущениям конечной амплитуды. А также возникает вопрос, вызовет ли неустойчивость взрывной рост амплитуд возмущений поверхности, или нелинейности старших порядков стабилизируют ее развитие, приводя к формированию волнистого стационарного рельефа поверхности жидкостей. Для ответа на него был проведен анализ функционалов потенциальной энергии [11,12].

Обсуждение задач, возникающих при изучении поведения жидкостей в электрическом поле, предполагает упоминание о классической задаче нахождения стационарного профиля заряженной поверхности проводящей жидкости. До настоящего времени было найдено лишь одно частное нетривиальное решение — так называемый конус Тейлора [13]. Однако, условие баланса сил для конуса Тейлора нарушается в особой точке — его вершине, так что подобное решение является лишь асимптотическим. В работах [14-16] были разработаны эффективные методы нахождения точных решений этой задачи в плоской геометрии, когда применима техника конформных отображений (наиболее близкий подход применялся в [17] при исследовании формы прогрессивной капиллярной волны). Это позволило впервые найти точные решения задачи о стационарном профиле свободной поверхности жидкого металла во внешнем электрическом поле, а также задачи о равновесной конфигурации заряженной струи проводящей жидкости.

Знание точных решений уравнений электростатики проводящей жидкости дает возможность далеко продвинуться в понимании некоторых принципиально нелинейных процессов, которые до сих пор не удавалось проанализировать не только аналитическими, но и численными методами. В работах [14-16] точные решения были получены в квадратурном виде и их громоздкость затрудняла дальнейшее аналитическое и численное исследование. Переход от квадратурного вида к алгебраическим выражениям существенно упростил бы эту задачу, а также позволил бы найти критические параметры задачи и изучить зависимость амплитуды возмущения поверхности заряженной струи от погонного, то есть, приходящегося на единицу длины, заряда [18].

Что касается конвективных МГД неустойчивостей, то до настоящего времени они преимущественно исследовались применительно к неустойчивостям в плазме. В работах [19-21] сформулирована модель поведения несжимаемой проводящей жидкости в магнитном поле протекающего по ней электрического тока. Установлено, что эволюция токонесущей жидкости с постоянными конечными вязкостью и проводимостью описывается уравнениями, подобными возникающим в теории термоконвекции в подогреваемом снизу плоском слое жидкости (эффект Бенара). Обнаружено, что при превышении некоторого порогового тока в среде с закрепленной границей могут формироваться крупномасштабные гидродинамические и токовые вихревые структуры с характерным размером порядка поперечного размера системы. Получена маломодовая модель нелинейного взаимодействия возмущений в околокритической области неравновесного фазового перехода, представляющая собой простейшую модели турбулизации токонесущей плазмоподобной среды.

В статьях [22-24] показано, что существенную роль в развитии пе-ретяжечной неустойчивости поверхности токонесущего жидкометаллического проводника играют крупномасштабные конвективные МГД структуры в его объеме. Предложена модель, в соответствии с которой именно эти структуры определяют размер страт на начальных стадиях электрического взрыва проводников. Определены значения критического тока и характерного размера пространственных структур, которые хорошо согласуются с экспериментальными данными. Установлено, что в результате нелинейного взаимодействия флуктуа-ций магнитного поля и поля гидродинамических скоростей эффективное сопротивление проводника существенно увеличивается. Высказано предположение, что этот процесс может быть одним из факторов, обуславливающих прерывание тока при электрическом взрыве проводников.

Наконец, в работах [25,26] была предложена основанная на представлениях о вихревых токовых и гидродинамических структурах модель многократного прерывания и восстановления тока в жидкометалличе-ских прерывателях. Проведено сравнение расчетных значений пороговых токов и характерных времен коммутаций с реальными осциллограммами, подтверждающее хорошее качество моделей и методик их построения. Представляет интерес как линейная, так и нелинейная теория развития подобных неустойчивостей в несжимаемой проводящей токонесущей жидкости, а также их влияние на макроскопические характеристики системы .

Ввиду выше обозначенных проблем, основные задачи данной диссертационной работы формулируются следующим образом:

1. Построение критериев неустойчивости плоской заряженной поверхности жидкостей с различными физическими свойствами по отношению к возмущениям конечной амплитуды, которые обобщали бы известные критерии линейной устойчивости. Анализ функционалов потенциальной энергии для проводящих жидкостей, диэлектрических жидкостей с индуцированными внешним полем поверхностными зарядами, а также криожидкостей со свободными поверхностными зарядами.

2. Преобразование точных решений о равновесной конфигурации заряженной жидкометаллической струи из квадратурного вида к алгебраическим выражениям. Получение пороговых значений электрического зарядов, при которых струя будет разбиваться на несколько отдельных струй. Изучение зависимости амплитуды возмущения поверхности струи от заряда.

3. Теоретическое исследование влияния крупномасштабной магни-тогидродинамической неустойчивости на динамику поверхности жид-кометаллического проводника с током.

4. Построение модели прерывания электрического тока в жидко-металлических прерывателях, нахождение порогового значения электрического тока и качественное объяснение процессов многократного прерывания и восстановления тока через эвтектику.

При решении поставленных задач были получены следующие результаты, которые позволили вынести на защиту:

1. Достаточные интегральные критерии жесткой неустойчивости поверхности жидкостей с различными физическими свойствами в электрическом поле.

2. Точные решения задачи о равновесной конфигурации заряженной жидкометаллической струи получены в алгебраической форме. Это позволило определить критические значения зарядов достаточные для распада струи на отдельные.

3. Механизм развития крупномасштабной неустойчивости поверхности жидкости основан на конвективной магнитогидродинамической неустойчивости плоского ограниченного слоя проводящей жидкости в магнитном поле протекающего по ней электрического тока. Эволюция такого слоя проводящей жидкости описывается уравнениями аналогичными уравнениям термоконвекции в эффекте Бенара.

4. Маломодовая модель многократного прерывания и восстановления тока в жидкометаллических прерывателях, основанная на учете МГД конвективной неустойчивости. Оценки для порогового тока и периода процесса многократной коммутации.

Перечисленные положения определяют научную новизну выполненных исследований.

Результаты, изложенные в диссертации, докладывались на российских и международных научных конференциях (Международная школа по нелинейной физике, Нижний Новгород-1995; XII Symposium on High Current Electronics, Tomsk-2000; VI Забабахинские чтения,

Снежинск-2001; Progress in nonlinear science, H. Новгород-2001. По материалам диссертации опубликовано 16 печатных работ (см. стр. 128).

Диссертация состоит из введения, четырехглав, заключения и списка цитируемой литературы. Каждая глава содержит введение, в котором проводится обзор проблемы, рассматриваемой в данной главе, и достигнутые ранее результаты, а также выводы, где сведены основные результаты, полученные в данной работе.

Основные результаты выполненной работы сводятся к следующему.

1. Построены критерии неустойчивости поверхности жидкостей с различными физическими свойствами в электрическом поле по отношению к возмущениям конечной амплитуды, которые обобщают известные критерии линейной устойчивости. Найденные критерии являются динамическими в том смысле, что они учитывают влияние распределения скоростей в среде в начальный момент времени: роль запасенной кинетической энергии может быть определяющей при жестком механизме неустойчивости. Оказалось, что даже при докритических (.Е < Ес) полях возмущение достаточной величины может вывести плоскую поверхность проводящей жидкости из состояния равновесия и привести к взрывному росту острийных структур.

2. Для случаев плоской и квадратной симметрий задачи, для которых трехволновые взаимодействия являются вырожденными, а основными становятся четырехволновые взаимодействия, показано, что кубические нелинейности играют тоже дестабилизирующую роль. Причем, для квадратной структуры их влияние более значительно, чем для одномерной, что приводит к взрывному росту периодической системы возмущений поверхности в щелевых эмиттерах.

3. Точные решения задачи о равновесной конфигурации заряженной жидкометаллической струи преобразованы из квадратурного вида к алгебраическим выражениям, что позволило получить критические значения зарядов достаточные для распада струи на отдельные.

4. Показано, что механизм развития перетяжечной неустойчивости плоского ограниченного слоя проводящей жидкости в магнитном поле протекающего по ней электрического тока, основан на конвективной магнитогидродинамической неустойчивости. Эволюция такого слоя проводящей жидкости описывается уравнениями аналогичными уравнениям термоконвекции в эффекте Бенара

5. Предложена маломодовая модель многократного прерывания и восстановления тока в жидкометаллических прерывателях, основанная на учете МГД конвективной неустойчивости, благодаря которой получены оценки для порогового тока и периода процесса многократной коммутации. Эти оценки хорошо сочетаются с с реальными осциллограммами, что подтверждает качественность моделей.

В заключении автор выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю д.ф.-м.н. Н.Б. Волкову за постоянное внимание и полезные обсуждения. Автор глубоко признателен к.ф.-хМ.н. Н.М. Зубареву за стимулирующие обсуждения и сотрудничество и оказанную им помощь в подготовке части материалов диссертационной работы.

Основное содержание диссертационной работы содержится в следующих работах:

1. N.M. Zubarev, O.V. Zubareva. Sufficient integral criteria for instability of the free charged surface of an ideal liquid. Phys. Lett. A, 2000, V.272, P.119-123.

2. H.M. Зубарев, О.В. Зубарева. Критерии жесткой неустойчивости плоской поверхности диэлектрической жидкости во внешнем электрическом поле. Письма в ЖТФ, 2000, Т.26, В.9, С.65-69.

3. Зубарев Н. М., Зубарева О. В. Динамика свободной поверхности жидкости в околокритическом электрическом поле.// ЖТФ. 2001. Т.21 В.7 С.21-29.

4. Зубарев Н. М., Зубарева О. В. Модель слабонелинейных стадий формирования периодической структуры на заряженной поверхности проводящей жидкости.// Письма в ЖТФ. 2001. Т.27 В.14 С.16-20.

5. N.M Zubarev, O.V. Zubareva. Sufficient criteria for the explosive instability of the charged surface of liquid metal.// Proc. XII Symposium on High Current Electronics, Tomsk-2000, P. 104-107.

6. N.M Zubarev, O.V. Zubareva. Dynamic criteria for hard excitation of electrohydr о dynamic instability of the flat surface of an ideal fluid.// Тезисы конф. "Progress in nonlinear science", Изд. НГГУ, H. Новгород, 2001, С. 199.

7. N.M Zubarev, O.V. Zubareva. Equilibrium configurations of charged conducting fluid jets.// Тезисы конф. "Progress in nonlinear science", Изд. НГГУ, H. Новгород, 2001, С.198.

8. Н.Б. Волков, Н.М. Зубарев, О.В. Зубарева. Об аналогии между одной задачей магнитной гидродинамики и проблемой Бенара в приближении Буссинеска. Письма в ЖТФ. 1999. Т.25, В.10, С.1-6.

9. Н.Б. Волков, Н.М. Зубарев, О.В. Зубарева. Крупномасштабная магнптогидродинамическая неустойчивость поверхности проводящей жидкости. Письма в ЖТФ. 2001. Т.2Т, В.22, С.38-44.

10. Н.Б. Волков, Н.М. Зубарев, О.В. Зубарева. Конвективная магни-тогидродинамическая неустойчивость токонесущей проводящей жидкости со свободной поверхностью.// Тезисы конф. "VI Заба-бахинские чтения", Изд. ВНИИТФ РФЯЦ, Снежинск, 2001, С.121-122.

11. A.M. Iskoldsky, N.B. Volkov, N.M Zubarev, O.V. Zubareva. The large-scale vortex structures in plasma-like media and the electric explosion of conductors. Chaos, 1996, V.6, N.4, P.568-578.

12. Волков H. Б., Зубарев H. M., Зубарева О. В., Искольдский А. М. Теоретическое исследование начальных стадий ламинарно-турбулентного перехода в токонесущих плазмоподобных средах // Сб.: Нелинейные волны. Синхронизация и структуры. Под ред. М. И. Рабиновича, М. М. Сущика и В. Д. Шалфеева. Изд. Нижегородского Университета, Ч. I, С. 85-90, 1995.

13. Iskoldsky А. М., Volkov N. В. and Zubareva О. V. The dynamics of large-scale spatial structures in current-carrying fluids and the electric explosion of conductors // Physica D, 1996. V. 91, P. 182-204.

14. Н.Б. Волков, Н.М. Зубарев, О.В. Зубарева, В.Т. Шкатов. Динамическое прерывание тока и вихревые структуры в токонесущей плазмоподобной среде. Письма в ЖТФ, 1996, Т.22, В.13, С.43-47.

15. N.B. Volkov, N.M. Zubarev, O.V. Zubareva, V.T. Shkatov. Repeated interruption and restoration of current in liquid metals as a nonlinear phenomenon. Physica D, 1997, V.109, P.315-324.

16. K.E. Бобров, Н.М. Зубарев, О.В. Зубарева. Условия коллапса электрокапиллярных волн на границе диэлектрических жидкостей. Тезисы докладов XXIX Международной зимней физической школы физиков-теоретиков Коуровка-2002, с. 103-104.

Заключение

1. Tonks L. A theory of liquid surface repture by a uniform electric field// Pliys. Rev. 1935. V.48. P.562-568.

2. Френкель Я. И. К теории Тонкса о разрыве поверхности жидкости постоянным электрическим полем в вакууме // ЖЭТФ. 1936. Т.6. В.4. С.350.

3. Swanson L., Schwind G.//J. Appl. Phys., 1976

4. Taylor G. I., McEwan A. D. The stability of a horizontal fluid interface in a vertical electric field.// J. Fluid Mech. 1965. V.39. N.l.

5. Кузнецов E. А., Спектор M. Д. О существовании гексагонального рельефа на поверхности жидкого диэлектрика во внешнем электрическом поле.// ЖЭТФ. 1976. Т.71. В. 1(7). С.262-272.

6. Горьков JI. П., Черникова Д. М. О режиме развития неустойчивости заряженной поверхности гелия. // ДАН СССР. 1976. Т.228. В.4. С.829-832.

7. N.M. Zubarev. Formation of root singularities on the free surface of a conducting fluid in an electric field. Phys. Lett. A, 1998, V.243, P.128-131.

8. H.M. Зубарев. Нелинейная динамика свободной поверхности проводящей жидкости в электрическом поле. Письма в ЖТФ, 1998, Т.24, В.12, С.25-29.

9. Н.М. Зубарев. Формирование особенностей на поверхности жидкого металла в сильном электрическом поле. ЖЭТФ, 1998, Т.114,1. B.6(12), 2043-2054.

10. Н.М. Зубарев. Развитие неустойчивости заряженной поверхности жидкого гелия: точные решения. Письма в ЖЭТФ, 2000, Т.71, В.9,1. C.534-538.

11. N.M. Zubarev, O.V. Zubareva. Sufficient integral criteria for instability of the free charged surface of an ideal liquid. Phys. Lett. A, 2000, V.272, P.119-123.

12. H.M. Зубарев, О.В. Зубарева. Критерии жесткой неустойчивости плоской поверхности диэлектрической жидкости во внешнем электрическом поле. Письма в ЖТФ, 2000, Т.26, В.9, С.65-69.

13. Sir Geoffrey Taylor F R S. Disintegration of water drops in an electric field.// Prog. Roy. Soc., 1964, V.280, P.383-397.

14. H.M. Зубарев. Точное решение для стационарного профиля поверхности жидкого металла во внешнем электрическом поле. Письма в ЖТФ, 1999, Т.25, В.22, С.79-83.

15. Н.М. Зубарев. Точное решение задачи о равновесной конфигурации двумерной заряженной жидкометаллической капли. Письма в ЖТФ, 1999, Т.25, В.23, С.55-60.

16. Н.М. Зубарев. Точное решение задачи о равновесной конфигурации заряженной поверхности жидкого металла. ЖЭТФ, 1999, Т.116, В.6(12), С. 1990-2005.

17. Crapper G.D., On exact solution for progressive capillary waves of arbirary amplitude.// J. Fluid Mech., 1957, V.2, p. 532.

18. N.M Zubarev, O.V. Zubareva. Equilibrium configurations of charged conducting fluid jets.// Тезисы конф. "Progress in nonlinear science", Изд. НГГУ, H. Новгород, 2001, C.198.

19. Н.Б. Волков, H.M. Зубарев. Модель начальной стадии ламинарно-турбулентного перехода в токонесущей плазмоподобной среде. ЖЭТФ, 1995, Т.107, В.6, С.1868-1876.

20. Н.Б. Волков, Н.М. Зубарев, О.В. Зубарева. Об аналогии между одной задачей магнитной гидродинамики и проблемой Бенара в приближении Буссинеска. Письма в ЖТФ. 1999. Т.25, В.10, С.1-6.

21. A.M. Iskoldsky, N.B. Volkov, N.M Zubarev, O.V. Zubareva. The large-scale vortex structures in plasma-like media and the electric explosion of conductors. Chaos, 199G, V.6. N.4, P.568-578.

22. Н.Б. Волков, H.M. Зубарев, A.M. Искольдский. Стратификация жидкометаллического проводника с током: эксперимент, модель. ЖЭТФ, 1996, Т.109, В.2, С.429-440.

23. A.M. Iskoldsky, N.B. Volkov, N.M Zubarev. A model of the stratification of a liquid current-carrying conductor. Phys. Lett. A, 1996, V.217, P.330-334.

24. Н.Б. Волков, H.M. Зубарев, О.В. Зубарева. Крупномасштабная магнитогидродинамическая неустойчивость поверхности проводящей жидкости. Письма в ЖТФ. 2001. Т.27,В.22, С.38-44.

25. Н.Б. Волков, Н.М. Зубарев, О.В. Зубарева, В.Т. Шкатов. Динамическое прерывание тока и вихревые структуры в токонесущей плазмоподобной среде. Письма в ЖТФ, 1996, Т.22, В.13, С.43-47.

26. N.B. Volkov, N.M. Zubarev, O.V. Zubareva, V.T. Shkatov. Repeated interruption and restoration of current in liquid metals as a nonlinear phenomenon. Physica D, 1997, V.109, P.315-324.

27. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Электродинамика сплошных сред. М.: Наука, 1982.

28. Melcher J. R. Field-coupled Surface Waves, Cambrige, Mass., The M.I.T. Press, 1963.

29. Баскин Л. M. Динамика полевых эмиссионных процессов в статических и СВЧ полях. Диссертация на соискание степени д.ф.м.н. Томск. 1990.

30. Ширяева С. О. Григорьев О. А. Муничев М. И. Григорьев А. И. Волновое движение в заряженной вязко-упругой жидкости.// ЖТФ. 1996. Т.66. N.10. С.47-62.

31. Ширяева С. О. Григорьев О. А. Влияние релаксации вязкости на величину инкремента неустойчивости Тонкса-Френкеля.// ПЖТФ. 1999. Т.25. N.2. С.1-4.

32. Габович М. Д., Порицкий В. Я. Исследование нелинейных волн на поверхности металла, находящегося в электрическом поле. // Письма в ЖЭТФ. 1981. Т.ЗЗ. В.6. С.320.

33. Зайцев В. М., Шлиомис М. И. Характер неустойчивости поверхности раздела двух жидкостей в постоянном поле. // ДАН СССР. 1969. Т.188. В.1261. С.1261-1262.

34. Zelazo R. Е., Melcher J. R. Dynamics and stability of ferrofluids: surface interaction.// J. Fluid Mech. 1969. V.39 N.l.

35. Cowley M. D., Rosensweig R. E. The interfacial stability of a ferromagnetic fluid.// J. Fluid Mech. 1967. V.30 N.4. P.671.

36. Эдельман В. С. Левитирующие электроны.//УФН, 1980, Т. 130, Вып. 4, С. 675-705.

37. Горьков Л. П., Черникова Д. М. К вопросу о структуре заряженной поверхности жидкого гелия.// Письма в ЖЭТФ. 1973. Т.18. С.119.

38. Черникова Д. М. Заряженная поверхность гелия в конденсаторе.// ФНТ. 1976. Т.2. С.1374.

39. Ikezi Н. Macroscopic electron lattiice on the surface of liquid helium. // Phys. Rev. Lett. 1979. T.42. C.1688.

40. Черникова Д. M. Гистерезис при развитии неустойчивости заряженной жидкой поверхности. //ФТН, 1980, Т.6, С.1513.

41. Шикин В. Б., Монарха Ю. П. Двумерные заряженные системы в гелии. М.: Наука, 1989.

42. Kuznetsov Е. A., Rasmussen J. J., Rypdal К., and Turitsyn S. K. Sharper criteria for the wave collapse. // Physica D. 1995. V.87. P.273-284.

43. Лушников П. М. Динамический критерий коллапса. // Письма в ЖЭТФ. 1995. Т.62. В.5. С.447-452.

44. Кузнецов Е. А., Лушников П. М. Нелинейная теория возбуждения волн ветром за счет неустойчивости Кельвина-Гельмгольца. // ЖЭТФ. 1995. Т.108. В.2(8). С.614-630.

45. Maslov Е. М. and Shagalov A. G. On the dynamics of scalar wave collapse. // Phys.Lett.A. 1998. V.239. P.46-50.

46. Turitsyn S. K. Blow-up in the Boussinesq equation. // Phys.Rev.E. 1993. V.47. N.2. P.R796-R799.

47. Захаров В. E. Устойивость периодических волн конечной амплитуды на поверхности глубокой жидкости.// ПМТФ. 1968. В.2. С.86-94.

48. Захаров В. Е., Кузнецов Е. А. Гамильтоновский формализм для нелинейных волн. // УФН. 1997. Т.167. B.ll. С.1137-1167.

49. Pregenzer A. L. and Marder В. М. Liquid lithium ion sourse: Nonlinear behavior of liquid surface in electric fields.// J.Appl.Phys. 1986. V.60. N.ll. P.3821-3824.

50. Suvorov V. G. and Litvinov E. A. Dynamic Taylor cone formation on liquid metal surface: numerical modelling.// J.Phys.D: Appl.Phys.

51. Lord Rayley. On the instability of jets.// Prog. London Math. Soc., 1879, V.10, p. 4-13.

52. Bogy D.B. Drop formation in circular liquid jets.// Annu. Rev. Fluid Mech., 1979, V.U, p. 207-228.

53. Eggers J. Nonlinear dynamics and breakup of free surface flows.// Rev. of Modern Physics, 1997, V.69, No.3, p. 865-928.

54. Grossmann S., Muller A., Instabilities and decay rates of charged viscos liquid jets.// Z. Phys. B. Condensed Matter, 1984, V.57, p. 161-173.

55. Crapper G.D., On exact solution for progressive capillary waves of arbirary amplitude.// J. Fluid Mech., 1957, V.2, p. 532.

56. Лебедев С. В., Савватимский А. И. Металлы в процессе быстрого нагревания электрическим током // УФН, 1984, Т. 144, С. 215-250.

57. Бурцев В. А., Калинин Н. В., Литуновский В. Н. Электрический взрыв проводников. Ротапринт НИИЭФА им. Д. В. Ефремова. Ленинград, 1977.

58. Бурцев В. А., Калинин Н. В., Лучинский А. В. Электрический взрыв проводников и его применение в электрофизических установках. М: Энергоатомиздат, 1990, 289 с.

59. Искольдский А. М. Феноменологические основы импульсного электрического накрева металлов. Дисс. на соиск. уч. ст. доктора физ.-мат. наук, ИСЭ СО РАН, Томск, 1985, 218 с.

60. Абрамова К. Б., Валицкий В. П., Вандакуров Ю. В., Златин Н. А., Перегуд Б. П. Магнитогидродинамические неустойчивости при электрическом взрыве // ДАН СССР, 1966, Т. 167, С. 778-781.

61. Абрамова К. Б., Златин Н. А., Перегуд Б. П. Магнитогидродинамические неустойчивости жидких и твердых проводников. Разрушение проводников электрическим током // ЖЭТФ, 1975, Т. 69, С. 2007-2022.

62. Абрамова К. Б., Будович В. Л., Кужекин И. П., Перегуд Б. П. Определение длины волны перетяжечной неустойчивости по импульсу напряжения, возникающему на разрушающемся проводнике // ЖТФ, 1976, Т. 46, В. 7, С. 1465-1469.

63. Лев М. Л., Перегуд Б. П. Время развития перетяжечной МГД неустойчивости жидких проводников в поле собственного тока // ЖТФ, 1977, Т. 47, С. 2116-2121.

64. Колгатин С. Н., Лев М. Л., Перегуд Б. П., Степанов А. М., Федорова Т. А., Фурман А. С., Хачатурянц А. В. Разрушение медных проводников при протекании по ним тока плотностью, большей 107 А/см2 // ЖТФ, 1989, Т. 59, С. 123-133.

65. Валуев А. А., Дихтер И. Я., Зейгарник В. А. Страты при электрическом взрыве цезиевых проволок при закритических давлениях // ЖТФ, 1978, Т. 48, В. 10, С. 2088 2096.

66. Батенин В. М., Берковский М. А., Валуев А. А., Куриленков Ю. К. О коллективных эффектах и аномальной проводимости в неидеальной токонесущей плазме. Физическая модель. Стратификация проводника с током // ТВТ, 1987, Т. 25, В. 2, С. 218-224.

67. Жданов С .К., Трубников Б. А. Квазигазовые неустойчивые среды. М.: Наука, 1991, 176 с.

68. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Еидродинамика. М.: Наука, 1990. 270 с.

69. Волков Н. Б., Искольдский А. М. Об аналогии между начальными стадиями зарождения турбулентности и электрического взрыва проводников // Письма в ЖЭТФ, 1990, Т. 51, С. 560-562.

70. Волков Н. Б., Искольдский А. М. Динамическое прерывание электрического тока как неравновесный фазовый переход // Письма в ЖТФ, 1994, Т. 20, В. 24, С. 71.

71. Volkov N. B. and Iskoldsky A. M. The dynamics of vortex structures and states of current in plasma-like fluids and the electrical explosion of conductors: 2. Computer experiment // J. Phys. A: Math, and Gen., 1993, V. 26, P. 6649-6666.

72. Volkov N. B. and Iskoldsky A. M. The dynamics of vortex structures and states of current in plasma-like fluids and the electrical explosion of conductors: 3. Comparison with experiment // J. Phys. A: Math, and Gen., 1993, V. 26, P. 6667.

73. Волков Н. Б., Искольдский А. М. О механизме образования горячих точек в плазмоподобных средах // Тезисы докл. IX Симпозиума по сильноточной электронике, 1992, Пермь-Москва, С. 248.

74. Iskoldsky А. М., Volkov N. В. and Zubareva О. V. The dynamics of large-scale spatial structures in current-carrying fluids and the electric explosion of conductors // Physica D, 1996. V. 91, P. 182-204.

75. Гершуни Г. 3., Жуховицкий E. M., Непомнящий А. А. Устойчивость конвективных течений, М.: Наука, 1989.

76. Cross М.С., Hohenberg Р.С. Parttern formation outside of equilibrium. // Rev. of Mordern Physics, 1993, Vol. 65, N 3, p.'851-1112. 1988, 352 c.

77. Crawford J. D. Introduction to bifurcation theory. // Rev. Mod. Phys., 1991, V. 63, No. 4, P. 991-1037.

78. Флетчер К. Численные методы на основе метода Галеркина, М.: Мир, 1988, 352 с.

79. Галеев А. А., Сагдеев Р. 3. Нелинейная теория плазмы. В сборнике "Вопросы теории плазмы" под ред. М. А. Леонтовича, М.: Атом-издат, 1993, Вып. 7, С. 3-146.

80. Wanner М., Leiderer P. Charge-induced ripplon softening and dimple crystallization at the interface of He^-He4 mixtures // Phys. Rev. Letters D, 1979. V. 42, N.5, P. 315-317.

81. Зубарев H. M., Зубарева О. В. Динамика свободной поверхности жидкости в околокритическом электрическом поле.// ЖТФ. 2001. Т.21 В.7 С.21-29.

82. Зубарев Н. М., Зубарева О. В. Модель слабонелинейных стадий формирования периодической структуры на заряженной поверхности проводящей жидкости.// Письма в ЖТФ. 2001. Т.27 В.14 С.16-20.