Низкотемпературные аномалии в стеклообразных материалах тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

'■ С С;'

ЮСЮВСКИЙ ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНЭГО ЗНАМЕНИ ■ ИШЕНЕРГО-<ШИЧЕОТМ ИНСЖ1УГ

КРУПЕИЬКИН Тимофей Вшитич ШЗКОТМТЕРАТУРНЬЕ АЮШИИ В СГЕКГООБРАЗНЬК МАТЕРИАЛАХ 01.04.02 - теоретическая физика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кацвдцата ^гаико-математических наук

На правах рукописи

Автор

Мэсква - 1992

Работа шпошена в Московском орцена Трудового Красного Знамени иняшещо-физическам инсгиуте.

кащщат фсико-математических наук, доцент В. Г. 1^дрявцев

доктор физико-математических наук, профессор М.И. Рязанов кацвдцат физико-математических наук И.И. Ясковец

Ведущая организация: Московский Государственный Университет им. Ломоносова

Защита состоится ¡105.91 в час. на заседании специализированного совета ГО53.03.01 в Московском инженерно-физическом шстиуте по адресу: 115409, Москва, Каширское шоссе, 31, тел. 324-84-98

С диссертацией юнно ознакомиться в библиотеке инстгаута.

Автореферат разослан 04 1992г.

Просим принять участие в работе совета или прислать отзыв в одном экземпляре заверенный печатью организации.

Ученый секретарь специализированного совета

Д.Н. Воофесенский

Научный руководитель:

Официальные оппонента:

" " j ОЩАЯ ХАРДЛЕРИСГИКА РАВСЛИ '

- n S -

Актуальность та®.

В последнее десятилетие значительное внимание уделяется как экспериментальному, так и теоретическому исследованию сгешл. Обычно стеклом называет . класс амор^шх материалов, полученных путем охлавдения с достаточно шсотой скоростью расплава до температур ниже так называемой температура стеклования Т. Стекло, в отличии от кристалла, является неравновесной метастабильной системой с макроскопически большим временем жизни. Часто стекла разбивают на три основных класса в соответствии с шириной основной огггической щели Е' на: а) диэлектрические стекла, в том числе окощные (a-SiO,

opt 2

и т.д.), с существенной долей ионных связей Е . = 5 - 10 эв. б)

opt

стеклообразные полупроводники,- в том числе халькогенвдые, с преимущественно ковалентной связью и умеренно большими Eopt =1-3 эв. в) металлические стекла, у которых оптическая щель отсутствует.

Род свойств стекол обладает аномальным (т.е. не имещим аналогов в обычных кристаллах) поведением как при высоких температурах Т - Т , так и при низких Т < hu (где и - дебаевская

g D D

частота). Так, в частности, большинство термодинамических параметров неметаллических стекол, как например, теплоемкость, теплопроводность и т.д. при низких температурах имеют поведения кардинально отличагацееся от такового в кристаллах (см. например Amorphous Solids: 'Lour Temperature Properties/ Ш. by W.A.Phillips, Springer Verlag, Heidelberg, 1980). Можно выделить три основные черта низкотемпературных свойств стекол: аномальность, универсальность, собственная природа (т.е. независимость от примесей).

Указанные выше особенности не находили объяснения в рамках обычных представлений. Дот их интерпретации в известных работах (см. FMllips W.A. // J. Low. Temp. Phys., 1972, v.7, p.351) было постулировано существование двухуровневых систем,

отовдествленных с туннельными состояниями (ТС) в атомных двухямных потенциалах (Д1). При этом для объяснения наблюдаемых закономерностей необходимо было предположить, что основные характеристики Д1 : мощность межьямюго барьера л и разность энергий ям д являются случайными величинами с практически

равномерным распределением Р(д,х) в соответствующих интервалах. Однако вопрос о физической природе ДП в стеклах и причинах указанного вида распределения Р(л,х) оставался в значительной мере неясным.

Для решения этих и других проблем в раде работ (см. например Klinger M.I.// Phys. Rep., 1983, v. 169, N 5-6) была предложена модель мягких атомных конфигураций. Поскольку в аморфных материалах существует весьма больше, хотя и редкие флуктуации параметров локальных . атомных юнфигурац-й, то возмошы ситуации, когда в качдой из таких конфигураций смещение х некого атома юи малой группы атомов происходит в лекальном потенциале • V(x) с аномально малой величиной квазиупругого параметра. Такие локальные потенциалы существенно ангармоничны и этим отличаются от обычного типа гармонических одноямнда атомных потенциалов. Последние составляют подавляюцую долю атомов .аморфной, системы, и лишь малая доля атомов характеризуется необычными ангармоническими потенциала!®. Формулу, описывающую такой потенциал, кганэ аппроксимировать выражением :

V(x) = X4 + Кхэ +'KjX2 Cl)

с некими постош 5-ыми безразмерными параметрами с и . Атомная динамика в таких потенциалах и определяет низкотемпературные свойства стекол.

Цель диссертации

Разработка теории низкотемпературных аномалий термодинамических сюйств неметаллических стекай в рзмках модели мягких атомных конфигураций. Анализ энергетического спектра ангармонических атомных потенциалов ввда (1) и исследование энергетической плотности состояний для. ансамбля таких потенциалов. Применение полученных результатов для анализа как стационарных, так и зависящих от времени эксперимента аномалий низкотемпературной термодинамики стеклообразных материалов.

Научная новизна

Впервые найден спега^ низкоэнергетических возбундедай для несимметричного квантового ангармонического осциллятора четвертой степени (АО) вода (1).

Впервые найдена энергетическая плотность состояний для ансамбля квантсшх АО в стеклах. .

Вперше тлучена зависимость энергетическш плотности состояний ансамбля квангошх АО в стеклах от времени эксперимента.

Вперше дат объяснение с единых позиций низкотемпературных аномалий термодинамики стекла как при очень низких Т«ьив, так и при умеренно низких 7 < йы • температурах, как для стационарного случая, так и в зависимости от времени эксперимента.

Научная и практическая ценность.

Результаты дассертаци* имеет теоретическое значениз для (физики аморфных и стеклообразных материалов т.к. они углубляют понимание термодинамики стекол и позволяют дать обшснёние рщу наблвдаемых на эксперименте особенностей таких термодинамических параметров параметров стекол как теплоемкость, теллспроводахтъ и т.д. Полученные результаты для спегора низкоэнергетических возбуждений несимметричного квантоюго Ю четвертой степей! могут представлять отдельный интерес дт ряда других областей физики таких как теория невдеального кристалла, теория шля и ряца датах.

Основные положения, вшосиныа на защиту.

1, Получено решение уравнения Шредингера: (Рф/йс3 + СЕ — УС* » 0 = 0. • с потенциале« ввда (1) :

у(х) = x* + к х3 + к 1г,

2 X

где х - безразмерная координата, а К1 и кг - случайные безразмерные

параметры потенциала, ограниченные неравенствами ikJs 10, (î^ls 10, ю которого слеуует что:

а) зависимость E,1)(k¡ ,кг) и Е(0> (к ,кг) ( энергий основного и первого возбувденного состояний соответственно) имеет ввд изображенный на рис. 3. .

б) зависимость е(к, ,к ) = Е|П(к ,к) - Е(0)(к. ,к ) имеет над

2 2 12 12

изображенный на рис. 4.

в) функция eOtj ,кг) имеет две седшвые точки (0, ±1.9) в плоскости

2. Энергетическая плотность состоян-й п(е) для ансамбля АО вцца (1) в стеклах имеет ввд, показанный на pic.5, и характеризуется наличием особенности Ван-Хововского- типа в области энергий соответствующей седювым точкам для функции е(к;

3. Плотность распределения ансамбля Ю ввда (1) по параметрам л и а (разность энергий ям и шцнссть Иежьямного барьера соответственно) Р(л,л) определяется формой (23). При этом P(û=const,x) в области 1 < \ < 3 имеет либо плато, либо максимум ю а (см. рис. 8)

4. Зависимость n(e,t ) - энергетической плотности состояний для ансамбля АО ввда (1) от времени. эксперимента t имеет ввд

показанный на рис. 9. При этш зависимость n(e=ccnst,to ) не сводатся к чисто логарифмической, а имеет более слсжный ввд.

■ 5. Стационарная шзютемперэтурная теплоемкость стекал С^ (Т) имеет ввд, показанный на рис. 1. Зависимость С (Т) / Т3 имеет "горб" в области Ï - е определяемой свдюеьш особенностями ф/нкции е (к ,к )

с 12

6. Зависящая от времени экспе!жменга теплоемкость С (T,t ) имеет ввд,

Ч в

показанный на рис. 10. Она постепенно приближается к стационарной ' С^ (Т) по мере увеличения te.

Апробация работа

Результаты работы - докладывались на Мевдународюй конференции "Некристаллические пслупроюдаикй -89" (Ужгород, 1989), Всесоюзном семинаре "Структурные превращения .и релаксационные явления в

некристаллических твердое телах" (Львов, 1990), III Всесоюзном совещании "Применение хальюгешдак стеклообразных полупроводников в оптоэяектронике" (Кишинев, 1991), Второй Всесоюзной конференции по физике стеклообразных твевдух тел (Рига, 1991). Основные результаты диссертации опубликованы в 12 научных работах.'

Объем и структура диссертации.

Диссертация состоит га введения, четырех глав и заключения; содержит 78 страниц, 11 рисунков и список литературы из 27 наименований.

СЭДЕШАШЕ ДССЕРШДО

В последнее время большое внимание уделяется как эксперементальному, так и теоретическому исследованию стеклообразных материалов. Такой интерес во шэгш связан с наличием суиоственнык "аномалий" свойств стекла как при шеоких температурах Т, так и при низких Т < iwd ' . Настоящая диссертация посвящена теоретическому

• исследованию низкотемпературных аномалий свойств неметаллических стегал.

Аномальный.(т.е. не имещий аналогов в обычных кристаллах) характер поведения стекол межно наглядно проиллюстрировать на примере теплоемкости С (Т) стекла. При Т < w » ю + ЗОК

С (Т) « (? Т4*п + <х (Т) Т3 , ч ч ч • .

где'О s п < 0,3 , причем а (Т) имеет широкий максимум ("горб") при 5 < Т < ЗСК, как показано на рис. 1. Такое поведение С (Т)

*• ** Я

кардинально отличается от кристаллов, для которых С (T)/I° = const.

С

Помимо теплоемкости аномальным в стеклах является и поведение теплопроводности, коэффициента поглощения слабой акустической и электромагнитной волны и т.д.

В настоящей диссертации низкотемпературная термодинамика стекол рассматривается в рамках модели "мягких" атомных конфигураций. Согласно этой модели атомная динамика в существенно ангармонических потенциалах вада (1) является основным фактором определяющим

Рисунок 1

График зависимости С (Т)УТ3 (в условных единицах)

1 - случай n(s) = n (s)

2 - случай n(e) = na (s) • • « - эксперимент

с (tj/f

низкотемпературные свойства стекся.

В качестве первого шага необходимого, для анализа низкстемпературной термодинамики стекал рассмотрим задачу поиска

собственных значений стационарного уравнения Шредлнгера с потенциата вада (1) : ' - • • •

•VC*) = х\ + К_хэ + К. х2

Cl)

где х - безразмерная ксордината, a и к2 - случайте безразмерные параметры потенциала, ограниченные неравенствами ikJs ю, |кгм 10.

Заметим, что потенциал Cl) Сможет быть в этом случае как одно-ямным, так и двухямным . "Чисто ¡работ, посвященных ангармоническим осцилляторам вцца Cl) CAO) весьма велико однако, грактически все они рассматривает симметричные потенциала (1) при кг = О. Учет асимметрии (кг * 0) значительно осложняет проблему, и, как показано далее, . приводит к некоторым не характерным для симметричного случая эффектам, представляющим существенный интерес для кжкретаьк щишжний.

Для решения рассматриваемой задачи об асимметричном АО нами бьш

использован метод "нелинеаризации" уравнения которого сводится к применении подстановки ввда:

у = -Cdii/dx) / ф ■ в уравнение ЕЬедингера:.

+ (Е-V(x)) * = 0, где V(x) = £ V Сх), .

Ередангера, суть ^ С2)

СЗ)

л = 0, 1, 2,...

и л - произвольный, не обязательно 'малый параметр. Решение

полученного в результате подстановки уравнения далее находится в ввде'сходащхся радов . Отметим, что применение этого метода в нашей задаче продактовано невозможностью. использования в указанном' случае (для произвольных кг и к2 б потенциале (1)) обычной теории возмущений Рэлея-Ередингера, поскольку полученные с ее ггащыо рад в данном случае расходятся. -

Перше два члена, полученного тагам методе« рада для собственных значений энергии: :

Е = £ Е , где п = 0, 1, 2,... (4)

п

совпадают с формулами стандартного вариационного метода . Это позволяет путем варьирования волновой 4уннщи нулевого приближения минимизировать значение Eq + Е^ , резко ускорив сходимость рада (4), и затем использовать последующие . члены Е( (i s 2) для дальнейшего улучшения точности определения Е. ,

Нами были рассмотрены перше три члена рада (4) (т.е. Eq+ Et+ Ег) для основного Et0) и перюго возбужденного Е(1> уровней в потенциале (1). Значения Kt и кг были рассмотрены в области "сильной связи" , соответствуюцей )К( | s 10 и |кг | s 10 (в этом случае потенциал (1) соответствует мягкой атомной конфигурации) Значения Е^" и Е'°' были использованы для оценки точности определения Е(и и Е(0' ( которая сказалась лежащей в пределах от 0.01% до 10% в зависимости от значений ks и к2 ).

Рисунок 2. Трансформация волновых функций, соответствупцж первому и второму возбужденным состояниям в потенщале У(х) при увеличении значения параметра к : О - ' ]2; 1 - ' I2; 2 - ]2 (качественно)

1Ьлученные результата для ЕС1> и Е'°' в зависимости от значений к4 и кг приведены на рис. 3. Ввдно, что при к < 0 для Е(1>, в отличии от Е<0), на&лвдается переход с одной ветви решения (возростакщей) на другую (убывающую). Это мсино рассматривать как-изменение систематики уровней, связанное со следуюцей трансформацией волновых функций соответствующих 1-му и 2-му уровням: волновая функция первого уровня из состояния с преимущественной локализацией в первой яме превращается в волновую функцию с преимущественной локализацией во второй яме, волновая функция 2 -го уровня претерпевает, соответственно, обратное превращение. Таким образом, уровни 1 и 2 как бы меняются местами (см. рис. 2)).

ш*' с-:-

ш ////А г\\Ду Лл\\\

4П

/ / / / ° 11.1 / / О////; Ш

а) б)

** ...

Рисунок 3. Зависимость значений энергии первого возбущденного состояния Ет (а) и энергии основного состояния Е(0) (б) в потенциале У(х) от параметров и К2 (1 - к^ = -10; 2 - = -в; 3 - к = -6; 4 - к = -4; 5 - к = -3; 6 - к =0; 7 - к =5;

1 • 1 1 ' 1 I

8 - к = 10 ).

Как следует из расчетов, величина'щели е(к1 ,кг) мещпу уровнями Е<0> и Е(1) имеет две седловые точки (0, ±1,9) в плоскости (к1 ,кг) (см. рис. 4). Это обстоятельство имеет существенное значение для спектральных свойств колебательных возбуждений стекла в модели ' мягких атомных конфигураций.

Таким образом проведенный анализ позволяет дать количественную картину поведения Есо), Е(1) и е = Еш- Е<0) в плоскости (к^,^). Это может быть использовано в ряде различных приложений, в

а) б)

Рисунок 4. Зависимость величины щели е(к1,к2) меяру уровнями Есо) и Еи'от параметров ^и к2. Знак« "о" обозначены седла а) -фрагмент левого седла б) - общий ввд-

частности, дот определения спектральной плотности колебательных возбувдений в ансамбле потенциалов ввда (1).

Рассмотри теперь ансамбль АО ввда (1). Возникаюцие в нем низкоэнергетические возбулздения имеют практически непрерывный спектр и определяют аномалии низкотемпературных свойств стекол . Оашной характеристикой спектра низкоэнергетических возбувдений является его плсггность состояний пО?). Наибольший интерес здесь представляет область возбувдений с энергией е < п , где а ~ 1. В этой области энергий основной вклад в п(е), как показали детальные исследования, вносят перше возбущденные состояния АО ввда (1). В этом случае плотность состояний определяется формулой :

n(e) = IJ FCks ,кг) б(ё(к ,кг) - в) ckdK., •. (5) .

Здесь T(ki ,кг) - плотность вероятностного распределения параметров ^ и кг потенциала ввда (1) дая рассматриваемого ансамбля Ю.

Как отмечалось выне, функция в(кгхг) имеет седловые точки, которые приводят к особенности в плотности состояний п(е) при некоторой 5 = е^ 2. Для актуальной ситуации, характеризуемой аналитическим поведением F(k2 ,кг) вблизи седловых точек, плотность состояний n(s) при | s - е | « п имеет характерную для двумерного случая (плоскость (кх ,к )) логарифмическую особенность

Ван-Хововского типа : .

п(е) - In Ii / (ie - s l>J_

С

Однако при рассмотрении низкотемпературных аномалий стекла важным представляется поведение п(е) во всей области |е - е | < п ,

С *"

а не только непосредственно вблизи особенности спектра |е - е | «о.

С

Рассмотрим более подробно эту область энергий ( 0 < е < (е^ + л) ). функцию F(ki ,кг) аппроксимир/ем ' тремя различными характерными выражениями : аналитическими ( F^ ,K2),F2 (Kj , кг) ) и не-адалигаческими ( F3 Ц ,кг) ) вблизи с =0 , отвечающим двум возможным типам F(k ,к2) (ив этом смысле двум типам стекла ) :

F (к ,кг) - А ^expi -{Ц-к")/^]2 - [(к2±кр/дкг]2 ),

F2(k ,К2) = Azi+exp{ к/к - ((кг±к~)/лк212 } , .

,K2) = |KJ|FI(KJ,K2),

где : Kt« 1(f, лк^ 10, кг < 10, дк** 10. к » 10,

Aj ,Аг - нормировочные консташы - • .

Исследование поведения п(е) проводилось численно метода! Монте-Карло. Типичные результаты этих расчетов при различных характерных значениях параметров и различных функциях, спишвгщих плотность распределения F(Kt ,кг), представлены на рис.5. Поведение п(е) при FG^ ,к? ) = F2 Ц ,кг) фактически аналогично случаю F(ks Д2) = Т^ дг) . Ввдно, что в случаях F - Т и F = F имеется пик п(е) в точке е - -в '«'2 ,

3 2 с

соогветствуицей особенности (6). В случае же F = F3 пик п(е) отсутствует и имеется лишь разрыв в производной dn(e)/de

Рассмотрим более подробно поведение п(е) для актуального случая Г = Г(г (ал. рис. 5). Поведенный регресеонный анализ показывает, что' на графике п(е) - можно ввделигь три важные для теории низкотемпературных свойств стекал области,' в которых , функции наилучшим образом алпроксимирущю п(е) имеет вид : ' -

а. О < е < ei : n(e) - n -е", где no - const,

а - величина маси/таба нескольких десятых (конкретно, в данном

примере а « 0.6);

б. вг < s < 8з : п(е) - е0 . где р « 2;

в. в < s < е : n(e) - In [1 / (|s - е |)].

4 — S 1 ' с

Такт образом, проведенный чисжтш и регрессионный анализ позволяет понять поведение п(е) - рассматриваемой плотности состояний спектра шзюэнергетических возбуждений в мягаих атомных конфигурациях и проанализировать ее зависимость от ввда F(k} Хг) -плотности распределения параметров потенциалов.

Рассмотрим, белее подробно наиболее. низкоэнергетические возбуждения в ансамбле АО ввда (1) с энергией е < w. Эти возбувдежя не . является колебательными. 'Они реализуется в симметричных и слабо асимметричных ДО ввда (1) с существенным барьером за счет слабого атомного' зушзалирсвания с амплитудой J и малой асимметрии потенциала д = е^1'- е"'. Здесь cj1' и е™ обозначают энергии основных состояний в кавдой из ям в нулевом приближении-(т.е. без учета эффектов туннёлирования).

Разность энергий основного и первого возбужденного состояний в этом случае можно записать в виде :

е = /л2 + л2 . (7)

Монно показать , что дан кх < к* « -3,3 и |К2( < к* « 1, (а это и есть та область, где преимущественно реализуются вышеуказанные да), . зашсшость амплитуда тушелирэв|шя ,3(1^ ,кг) от параметров потенциала (1) имеет ввд :

Лс^) - ^(к,) + о(ф ' (а)

Здесь Ло ) соответствует аишигуде туннелирования для

симметричного случая кг = .0

Обратимся более- подробно к анализу зависимости Ло(к]). В этом

случае вследствие симметрии ситуации имеем: дЦ ,кг=0) = 0 и

Лк ,к О) = J (к ), а следовательно и е(к ,к=0) = Л (к ). С другой 12 01 1 2 01

стороны, для симметричного дврямдаго потенциала с существенным барьером известно :

в =4>о(хО) |^(х=Ю) •

где ^0(х) - волновая функция основного состояния в каядой из ям в нулевом приближении (т.е. без учета эффектов туннелировашя), ^ = Фо/ск , а начало отсчета кооданаты х помещено в центре мжгмного. барьера. _

В качестве волновой функции в кавдой из ям нами бьша выбрана волновая функщя основного состояния обычного гармонического осциллятора. В этом случае мы имеем:

е(к1 ,к2=0) = 2/пео (к1) ехр(-х(к )), ' ' (10)

где: х(к ) = 2Г3/г (-* )3/г - 3/41п(-к ). - МАЫ*г/32.), (11)

Ео°)=Ео1> = <г\У"-

Однако, зная еЦ ,кг) .- энергетический спектр АО ввда (1) , мсжно также записать:

' асимметрию (к ,к2), определяемую как: . '

где: У(х) = х4 + кгх3 + ^х2 - потенциал (1) С г = 1/8(-3 кг ± (9 к2 - 32 к^1'2) - коовдината минимумов (1) Тогда при условий к2 « имеем:

* 1/»^|Кг|(-К1)3/2 (16)

С другой стороны, зная г (к ,кг) щи |К21 « 1 (-южно записать: •

л(кг ,к2) . ( [еОс^))2 - [е(к ,к2=0)]г )1/г (17) Будем теперь искать дЦ ,К2) в ввде:

д&с,-.^) = ЬУ5|Кг|[ (-к )3/2 + ) 1 (1В)

Здесь функция g(ict) определяется из сравнения с формулой (17). Из рис. 7 ввдно, что g(кl) хорошо аппроксимируется формулой:

г ~ с1 ^

) =--+ с, . (19)

1 + ехр[ (э-*,)/« ]

где: с » -1,18 ; р * -5,55 ; а « 0Д5 ; d - -1,46 ; у » 8,11

Итак, для |кз1 « 1 и к** <• к < имеем:

\(к4 ,с2) = а 1п(-к1) + Ь (20)

л(к1,к2)= 1/^|К2|[ (-к^3'2 +ё(К1) ], (21)

где: ) определяется (19), а= 3,95, Ь=-3,50.

х(^ ) = 1п

п е(к ,к =0)

I 2

(12)

Тогда, учитывая что на самом деле \ро(х) не совпадет точно е волновой функцией гармонического -осциллятора, межно попытаться записать ХЦ) в ввде, аналогичном вцпу (11), но с другими константами. Значения этих констант находятся из условия наилучшего совпадения значений х(к[), наеденных по формулам (11) и (12). В этом случае имеем:

хЦ) = с (-к ?'2 + а 1п(-к ) + Ь, (13)

где: а«1,9, Ь « -1,5, с « 0,1.

Полученная для х(к ) зависимость при к^ имеет вид, аналогичный формуле (11). Однако, поведение л(к1) при к"< к < к* (где к**« -10) отличается от формулы (11) (см. рк. 6).

Рисунок 6 .• График функции ) определяемой формулами (11) и (13) (1 -формула(11), 2 -формула (13))

ю -К,

В тш случае, когда да не рассматриваем ) при к^ к " мояш попытаться аппроксимировать а(к ) более простым, чем (13) выражением, . пренебрегая член»!, прапорщональшм )3/2 и ответственным за ассимптотику функции при к . Тогда при к** < к < к* имеем:

хЦ) = а 1пС-к1) "+■ Ь,

(14)

где: а « 3,95 ; Ь - -3,50.

-Перейдем теперь к рассмотрению л(к1 ,кг) - вклада в е(к[ ,кг) за счет асимметрии потенциала (1). Рассмотрим сначала классическую

г

Рисунок 7. График функция ) 2 (« • ■ ) определяемая из 1 сравнения формул (17) и (18) — ) определяемая из (19)) 0 • -1

Введем теперь Р(л,х) - функцию распределения ансамбля АО ввда (1) по параметрам д и х . 1Ъ определению имеем:

Р(д ,д) = \\ Г(к ,к ) 5(д(к ,к ) - д) з(д (к х ) - д) сЬс (ЗК . (22)

I ) I (2 12 1 2 12

где Г(к. ,кг) - функция распределения ансамбля АО по параметрам к4и кг. Подставляя в это выражение формулы (23) и (21) для д(к ,кг) их^,^), поучаем:

ехр[(х-Ъ)/а] ГСк4 Сх)»|кг Сл)|)

Р(д,л) = У5/а---:—(23)

ехр[3/2 (д~Ь)/а) + g(кl (д))

где: ^(а) = - ехр1(х-Ь)/а],

|кг(д,л)| =»5д/( ехр[3/2 (л-Ь)/а] + g(к}(дj) },

g(кJ) определяется из (19).

На рис. (8) изображен график функции Р(д=согазЬ,д) для случая ,к2) = Г1(к1 ,кг) и трех различных значений параметра дк^ 40; 60; 60 (при этсм ? = 100 , (дкз)2= 10 , к"г= 0). Ввдно, что Р(д=сапзЬ,х) в области 1<я < 3 имеет либо плато, либо максиедм по а. Это обстоятельство имеет важное значение дяя описания зависимости низкотемпературных свойств стекла от времени эксперимента.

Как хорошо известно , характерное время релаксации туннельной двухуровневой системы, характеризуемой энергией е и прозрачностью барьера д '. за • счет взаимодействия с фононной

Рисунок 8. График , функции Р(л=сопэЬ,х) (1 - случай ¿^ = 40 2 - случай д^ =60. 3 - случай Л^ = 80} (а условных еденицах)

Р^соЫд)

подсистемой, имеет ввд: т(вд> = то(т) (т/§)3 ехр(2(л - Ав!п)] Ш[<?/(2г)1,

(24)

где: г(т) = 0 /т)3,

О вех

л = Л (\ . ) = 2/и е (а . ) ехр(-а , ),

п&х -О О п1п ш1п

■ т - абсолютная температура.

Здесь - максимально возможная для данного вада потенциала ампшпуда туннелирования, которая реализуется при наибольшей возюшой прозрачности барьера а = а. (в нашем случае

я1&

а = а(к = -3,3) к 1 ). Тогда функция распределения ансамбля АО

В|П I 1

по энергии в и временам релаксации т имеет ввд:

Р(е,т) = || Р(д,а) г(е(д,х) - е) г(т(д,а) - т) сМа

(25)

Огсода, щцставляя для е(д,л) формулу (7), а дая т(д,а) формулу (24), имеем:

Е(б,т)

е Р(й(е,т),х(е,т))

(26)

2т д(е,т)

где: д2(е,<) - (т5/3/т) т2 (т/е)3-№(е / (&)),■

л(е,т) = 1/2-lni te/r)3 (т/т ) cth(e/(2r)) ] +a , ,

0 ain

•t . (J /т)3 , J « 1/2 ; x, »1,

О max nax nln

Р(д,х) определяется из формулы (23).

n(s=const,t )

Рисунок 9. Графин функции n(e,t )

а) n(e=const,tt) (в > ег > ез)

б) n(§,fc =const) (t > t > t J

• «1 «J «3

(в условных еденицах)

n(e,t -const)

I 2 3

5 ln(t Л )

• О ■

Site1

Если время релаксации т(е,х) туннельных систем оказывается больше или сравнимо с временами эксперимента 1; , то доступными для туннелирования оказываются лишь те системы, для которых т * ^ . Таким образом межно определить зависящую от времени эксперимента плотность состояний:

nfe,te) = |"р(8,т) dr

(27)

Полученные по этой формуле характерные графики зависимости n(e,t ) для случаев s = const и t = const приведены на рис. 9. Хорю видно, что зависимость n(e = const,t#) не сводится к чисто логарифмической, а имеет более елейный ввд. . Причем отклонение от' логарфа функции n(e = const,t ) тем сильнее, чем меньше энергия

i

возбувденш s .

Зависимость n(e,te=const) демонстрирует распространение • "хвоста" плотности состояний в направлении все меньших энергий с • течением времени. Ездно, что при стремлении te » плотность состояний наростает, постепенно приближаясь к стационарной п(е) .

Итак, мы гюлучили зависящую от времени плотность состояний n(e,te). Знание функции n(e,t) позволяет гонять экспериментально наблвдаемую зависиюсть рада, термоданамических свойств стекол (теплоемкость, теплопроводность и т.д.) от времени эксперимента. .

Рассмотрим в качестве характерного примера низкотемпературной термодинамики стекал зависимость удельной теплоемкости стекла С (T,te) от температуры и времени эксперимента. Интерес здесь представляет как область очень низких Т «w температур, так и область умеренно низких Т 4 w температур . Как хорош известно теплоемкость ансамбля двухуровневых систем имеющих распределение ш энергиям п(е), имзет ввд:

С (T,t ) ='Т n(s,t ) (e/ZT)2/ ch2(е/2Т) ds. (28)

«».je

о

Рассмотрим сначала стационарную теплоемкость Cq(T) s С (T.t^-» ю) Для вычисления С (Т) подставим в выражение (28) два различных веда зависимостей п(е) : зависимость nt(e), полученную при выборе аналитической ( F^ ) = Ft 2(Kj ,к2) ) функции распределения ансамбля АО по параметрам и к2 и зависимость пг (е), полученную при выборе F(Kt ,кз) = F3(Kt ,кг) -неаналитической ^^нкции распределения ш параметрам к и к2 .

Характерный график ' полученной таким образш зависимости С9(Т)Л° в случае n(s) = п (&) показан на рис. 1. йщно что С^ (Т)Л° имеет "горб" в области Т - в , что соответствует данным эксперимента . При Т« w , когда п(е) - еа (а - мааотаба нескольких десяшх), почтенная зависиюсть С (Т)/Г. слабо

я

наростает, что также соответствует эксперименту. В случае же п(е) = пг(е) "горб" у функции С (Т)Л° отсутствует и имеется лишь провал и госледущее наростание (см. рис. 1). Это связано с отсутствием пика у п, (е) , которая имеет при е = е лишь разрыв в

2 С

производной. Такое поведение С^(Т)/Г3 противоречит эксперименту.

Рисунок 10

График функции C(T,te= const)

(в условных единицах)

t , < t , ol е 2

Перейдем теперь к рассмотрению зависящей от времени эксперимента теплоемкости С (T,t ) . Ограничимся в этом случае значениями Т « w . Тогда, подставляя в (23) шражение (27) для n(s,t ), получаем зависимость С (T,t ). Поведение С (Т = const, t )

- в ч в q в

фактически воспроизводит зависимость n(e,te) и, следовательно, отклоняется от чисто ляг.ргф.шческого тем сильнее,- чем ниже температура Т. Поведение С (Т, t = const) ( см. рис. 10 )

Я в

демонстрирует постепенное приближение С (T,t ) по мере увеличения t

Ч О 9

к стационарюй зависимости С (Т) = С (Т,^-> «>) - Т1,а, полученной с использованием для п(е) формулы (5). Такое - поведение С (T,t ) объясняется тем, что го мере увеличения времени эксперимента te "хвост" плотности состояний п(е.О продвигается в область все более низких энергий е , обеспечивая участие в процессе все новых и новых двухуровневых систем.

Таким образом, испсльзуя навденные ранее шражения доя стационарюй п(е) и зависящей от времени' n(e,t ), ш- получили количественную картину поведения С (T,t ) во всей представляющей интерес области температур 0 < Т 4 w . Найденная таким ■ образом теплоемкость С (T,t^) имеет ввд, соответствукнда известным экспериментальным данным .

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ЕШЗДЫ

1. Навден спектр низкоэнергетических возбувдений для несимметричного квантового АО четвертой степени ввда (1) в зависимости от его параметров. Наедено положение седловых точек для зависимости первой энергетической щели в таком осцилляторе от, его параметров.

2. Навдеш энергетическая плотность состояний для ансамбля АО в стеклах при различных распределениях параметров к ик2 . Показано, что в случае аналитической фунтами распределения параметров и

кз энергетическая плотность состояний имеет особенность Ван-Хововского типа в области энергий, соответствующей седлошм точкам для зависимости первой энергетической щели в АО от его параметров.

3. Найдена зависимость энергетической плотности состояний для ансамбля АО в стеклах от времени эксперимента. Показано, что эта зависимость не сводится к чисто логарифмической, а имеет более сложный вед. Исследован процесс распространения "хвоста" плотности состояний в направлении все меньших энергий с течением времени эксперимента.

4. Исследована стационарная низкотемпературная теплоемкость

С (Т). Показано, что в области Т < Ш отношение С (Т) / Т слабо я - я

наростает, в соответствии с экспериментом. В случае «?. Т < 10 - 30К отношение С^(Т) / Т3 имеет "горб", что также соответствует эксперименту.

5. Исследована зависящая от времени эксперимента t теплоемкость С (T,t ). ГЬказано, что поведение С (T=const,t ) имеет

9 « 9 •

ввд более сложный чем логарифмический. Исследован процесс трансформации С^ (Т, te) с увеличением времени эксперимента t^ и постепенное приближение С (T,t ) к .стационарной зависимости С (Т).

Q б q

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. Клингер М.И., Крупенькш Т.Н., Кудрявцев В.Г. Особенности энергетического спектра квантового ангармонического осциллятора. - Письма вЖГФ, 1988, т.14, с.695

2. Клингер М.И., Кргупенькин Т.Н., Кудрявцев В.Г. Плотность

состояний ансамбля квантошх ангармонических осцилляторов в стеклах. - ТО, 1989, т.59, N 5, с.913

3. Клингер М.И., Крупенькш Т.Н., }^црявцев В.Г. Плотность состояний ансамбля квантовых ангармонических осцилляторов в стеклообразных материалах. - материалы Мэщунарэдной конференции "Некристаллические полупровсдники-89" с. 41, Ужгород, 1989.

4. Кфзупенькин Т.Н., Кудрявцев В.Г. Зависимость от времени эксперимента плотности состояний ансамбля квантовых ангармонических осцилляторов в стеклах. - материалы Всесоюзного семинара "Структурные превращения и релаксационные явления в некристаллических твердое телах" с. 70, Львов, 1990.

5. Крупенькин Т.Н., Кудрявцев В.Г. Аномалии низкотемпературной теплоемкости стекол. - материалы Всесоюзного семинара "Структурные превращения и релаксационные явления в некристаллических твердах телах" с.69, Львов, 1990.

6. Крупенькин Т.Н.,' Кудрявцев В.Г. . Завиомэсть спектра низкоэнергетических возбувдений в стеклах от времени эксперимента. - материалы Всесоюзного семинара "Стрп/кгурные превращения й релаксационные явления в некристаллических тверда телах" с.37, Тбилиси, 1991.

7. Крупенькин Т.Н., %фявцев В.Г. Аномалии теплоемкости стекла при низких температурах. - материалы Всесоюзного семинара "Структурные превращения и релаксационные явления в некристаллических тверда телах" с.33, Тбилиси, 1991.

8. Крупенькин Т.Н., KJ/дрявцев В.Г. Временная зависимость спектра низкоэнергетических ' возбувдений ансамбля квантовых ангармонических осцилляторов в стеклах от времени эксперимента. - материалы III Всесоюзного совещания "Применение халькогенедных стеклообразных псиртроводникоз в огггозлеотронике" с.13, йданев, 1991

9. Крупенькин Т.Н., Кудрявцев В.Г. Особенности теплоемкости стеклообразных материалов' при низких температурах. - материалы III Всесоюзного совещания "Применение халькогендак стеклообразных полупроводников в отгоэлектронике" с.14, Кишинев, 1991

10. Крупенькин Т.Н., Кудрявцев В.Г. Зависимость плотности состояний ансамбля квантовых ангармонических осцилляторов в -

стеклообразных материалах, от времени эксперимента. - материалы Второй всесоюзной клфрениии ш физике стеклообразных твердых тел., с.27, Рига, 1991

11. Крупенькин Т.Н., Кудрявцев В.Г. Особенности низкотемпературной ■теплоемкости стеклообразных материалов. - материалы Второй всесоюзной конференции го физике стеклообразных твердое тел., с.28, Рига, 1991

12. Кр1упенькин Т.Н., Кудрявцев В.Г. Ангар.юшческие низкоэнергетаческие возбувдения в стеклах.- - Препринт ММ, Мхква, 1991.

!

I

Подписано в печать ОУ- <¡1 Заказ 'Шраж

Типография МИФИ, Каширское шхее, 31

экз.