Новые точно решаемые статистические и квантовые модели тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

Н6 ОД

АКАДЕМИЯ НАУК УКРАИНЫ ИНСТИТУТ МОНОКРИСТАЛЛОВ

На правах рукописи

СТРЖЕМЕЧШИ Юрий Михайлович УДК 537.6, 538.9, 539.2

НОШЕ ТОЧНО РЕШАЕМЫЕ СТАТИСТИЧЕСКИЕ И КВАНТОВЫЕ МОДЕЛИ (01.04.02 - Теоретическая физика)

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Харьков-1993

Работа выполнена в Физико-техническом институте низких температур им. Б.И.Веркина АН Украины, г. Харьков

Научный, руководитель - доктор физико-математических наук, главный научный сотрудник ФГИНТ АН Украины Боровик Андрей Евгеньевич

ОКициалънйе оппоненты - доктор физико-математических. наук,

главный научный сотрудник ИРЭ.АН Украины Басс Фридрих Гершонович

кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник Института монокристаллов АН Украины Токарь Олег Иосифович

ьедущая организация - Харьковский физико-технический институт

Защита состоится чу - ¿¿¿О ¿"Я 1993 г. в ^^часов на заседании Специализированного совета К 138.01.01 при Институте монокристаллов АН Украины (310001, Харьков, пр.Ленина, 60).

Замечания и отзывы по данной работе присылать по адресу: 310Ш1, Харьков, пр.Ленина 60, Институт монокристаллов АН Украины.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института монокристаллов АН Украины.

Автореферат разослан " 1993 г.

Ученый секретарь Специализированного совета кандидат технических наук

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Несмотря на огромное количество моделей, а также методов их решения, существующих в современной теоретической и математической физике, наиболее важными, "реперными" являются модели, допускающие (в том или ином смысле) точное решение. Это связано с гем, что, во-первых, такие модели являются основой для развития различных схем теории возмущений, а, во-вторых, точная решаемость доделируемых систем позволяет обнаружить принципиально новый тип эешений, в то время как приближенные методы дают подчас качественно мверные результаты.

Нетривиальные точно решаемые системы были обнаружены в самых различных областях - нелинейной классической динамике, статистической физике двумерных систем, квантовой механике и смежных разделах теор-I матфизики. Поначалу эти разрозненные результаты казались удачными 1аходками и между ними не прослеживалось никакой связи. Однако, в юследние десятилетия в направлении систематизации точно решаемых юделей был совершен прорыв, позволивший обнаружить глубокую связь «ежду, казалось бы, совсем разными моделями. Методы их решения [методы классической и квантовой задачи рассеяния, метод анзаца Бете, нетод коммутирующих трансфер-матриц и пр.) основаны на практически )диных симметрийных принципах.

Основные конструктивные объекты теории, R-матрица и ассоцщро-ээнный с ней локальный оператор перехода являются связующим звеном фактически всех известных на сегодняшний день точно решаемых моде-тей.

Так, например, для двумерных статистических моделей нахождение :татистической суммы сопряжено с задачей определения спектра грансфер-матрицы типа "ряд-ряд". Получаемые в результате выражения шляются, по сути, импульсным вариантом зашей координатного анзаца Зете (см., например Ш). Разложение соответствующей трансфер-матрицы ю степеням внутренних параметров порождает семейство законов охранения, в числе которых, как правило, содержатся гамильтонианы точно решаемых квантовых систем.

В секторе нелинейной классической динамики производится замена шераторов на функции, а коммутаторы переходят в скобки Пуассона. При

этом сохраняется видоизмененный соответствующим образом Я-матричный подход и наличие бесконечного набора законов сохранения [2].

В настоящей работе на онове нового принципа построения й-матри-цы, предлагается широкий набор новых физических систем, допускающих точное решение. Важной особенностью предлагаемых моделей является то, что они представляют собой точно решаемые системы большей размерности, нежели в подавляющем большинстве решенных ранее задач. Стартовые статистические вершинные модели порождают квантовые (как спиновые, так и фермионные) дискретные модели, которые, в свою очередь, тесно связаны с соответствующими непрерывными классическими моделями.

Одна из моделей, рассматриваемая нами, есть трехмерная статистическая модель, а производные квантовые модели представляют собой двумерные спиновую и фермионные решеточные системы.

В соответствии с этим, целью настоящей работы является исследование симметрийных и физических свойств этих систем.

Научная новизна работы заключается в получении и исследовании новых точно решаемых моделей в области трехмерной статистики и двумерной дискретной квантовой механики. Предлагаемая нами трехмерная статистическая модель является, по сути дела, первой точно решенной моделью статистической физики, имеющей физическую трактовку. Двумерная квантовая модель есть первая двумерная дискретная квантовая модель, представляющая набор цепочек с взаимодействием между ближайшими соседями.

Практическая значимость. Полученные результаты будут иметь применение в статистической физике и в квантовой механике (дискретные спиновые и фермиевские системы) при поиске и последующем исследовании новых точно решаемых моделей подобного рода, развития соответствующих схем теории возмущений. Эти результаты расширяют наши представления о .возможных фазовых состояниях в решенных системах.

Основные положения, выносимые на защиту

I. Построена новая биплоскостная точно решаемая модель. Для нее доказано уравнение Янга-Бакстера. Выписаны уравнения анзаца Бете, при помощи процедуры Хюльтена получено выражение для свободной энергии системы, позволяющее построить фазовую диаграмму модели. Показано,

что при определенных значениях параметров задачи возможно существование принципиально новой фазы, в которой одна из подрешэток неупорядо-чена, а другая - сегнетоэлектрически упорядочена.

2. Показано, что точная интегрируемость биплоскостной модели не нарушается при включении внешнего электрического поля в плоскости. Для,этого случая также доказано уравнение Янга-Бакстера, выписаны уравнения анзаца Бете и выражение для свободной энергии.

3. Биплоскостная модель обобщена на случай произвольного числа плоскостей с локальным взаимодействием. Доказана справедливость уравнения Янга-Бакстера и получены уравнения анзаца Бете. Это означает, что обнаружена первая точно решаемая статистическая модель размерности 3.

4. Найдены гамильтонианы точно решаемых многоцепочечных квантовых (спиновых и фермиевских) систем с взаимодействием между ближайшими цепочками. Такие системы можно трактовать как эффективно двумерные. При помощи уравнений анзаца Бете получены выражения для энергии основного состояния модели.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Borovick А.Е., Kullnich S.I., Popkov V.Yu., Strzhemechny Yu.M., New с1азз oí completely Integrable bl-plane 2D vertex models -Kharkov. - 1991 - ÍPreprlnt ILTPE 29-91) 9 P.

2. Borovick A.E., Kullnich S.I., Popkov V.Yu., strzhemechny Yu.M., A new completely Integrable bl-plane 2D vertex model // Phys.Lett. A. - 1993. - V.1T4, N 5,6. - P.407-410.

3. Borovick A.E., Kullnich S.I., Popkov V.Yu., Strzhemechny Yu.M., A new с1азз of completely solvable bi-plane 2d vertex models - Vienna. - 1993 - (Preprlnt ESI 12) 36 P.

4. Borovick A.E., Popkov V.Yu., Strzhemechny Yu.M., Zvyagln A.A., Exactly solvable raultl-chaln quantum model - Kharkov. - 199! -(Preprlnt ILTPE 28-91) 9 P.

- б -

5. Боровик А.Е., Звягин A.A., Попков В.Ю., Стржемечный Ю.М., Точно решаемая многоцепочечная квантовая модель // Письма в КЭТФ. -1992. - Т.55, В.5. - С.293-296.

Апробация работы. Результаты, вошедшие в диссертацию, докладывались на международной рабочей группе "Связь физики и математики" (Вена, 1992), семинаре по физике твердого тела Центра нелинейных исследований Лейпцигского университета (Лейпциг, 1992), VIII международной рабочей группе по нелинейным эволюционным уравнениям и динамическим системам NEEDS'92 (Дубна, 1992), школе физиков-теоретиков "Коуровка" (1992), международной рабочей груше "Точно решаемые двумерные модели в теории поля" (Вена, 1993), на семинарах ФГИНГ АН Украины.

Структура и объем. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, приложения и списка литературы. Объем работы составляет 92 страницы и включает 12 рисунков и список цитируемой литературы из 53 наименований.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность и новизна работы а также кратко излагается содержание диссертации.

В главе I "НОВАЯ БИПЛОСКОСТНАЯ ТОЧНО РЕШАЕМАЯ СТАТИСТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ" мы рассматриваем биплоскостную модель - точно решаемую модель, являющуюся простейшим, а поэтому наиболее полно исследованным примером факторизуемой (в указанном выше смысле) системы.

Раздел I.I посвящен общему описанию вершинных моделей и обзору литературы. Вершинными называют решеточные модели, в которых связи между узлами имеют, как правило, дипольный характер, а узлы решетки с определенной конфигурацией дипольных моментов принято называть, соответственно, вершинами. В зависимости от числа разрешенных вершинных конфигураций, а также от структуры "несущей" решдтки меняются и свойства системы (в том числе и ее точная решаемость). Характерной точно решаемой системой является шестивершинная модель на квадратной решетке с размерами N « M с торидальными граничными условиями СЗ1. Для этой модели отличными от нуля энергиями е. обладают вершины, удовлет-

- '( - '

воряющие так называемому правилу льда: два дипольных вектора входят в узел и два из него выходят. К тому же, модель инвариантна по отношению к обращению всех дипольных векторов. Представим вершинную диаграмму узла в виде:

Р---

Общее выражение для больцмановского веса вершины может оыть гмстсапо следующим образом:

где ='и>2{\)= с(\)/2; и>3= (а(\) - Ь(\))/2; «за) • I/.-;

а(Д.):Ь(Л):с(\) = з1па + т}):з!п(Л. - Т}):з1п 2т), а о^. есть матричный элемент с индексами 11' матриц Паули о-1:

С использованием больцмановских весов конструируется тр.'лгт»"'; матрица типа "ряд-ряд":

т£:,= Е ... Е п

(а>

Р,

Рн

где индекс п нумерует узлы в ряду. Через трансфер-мэтрг.ц-; ¡¡:рч:п-статистическая суша системы

(а1) (ам>

Ча' >

{01 I

где (...) обозначает конфигурацию вертикальных стрелок г. ряду.

Интерес представляют производные от статистическоП суммы термодинамические потенциалы. Так, для удельной свободной энергии ь тор-модинамическом пределе получаем с экспоненциальной степенью точности

Е

I « Ит -кто- 1п г = 11т 1 1п Бр Тм М,К«о ™ м.н.» ^

Это значит, что двумерная задача статистики сводится к нахождению спектра оператора трансфер-матрицы.

В следующем разделе кратко излагается математический аппарат квантового метода обратной задачи рассеяния Ш, центральным местом которого является уравнение Янга-Бакстера, определяющее правила перемножения для всех операторов, описывающих динамику. Уравнение Янга-Бакстера позволяет вывести соотношения, получившие название алгебраического анзаца Бете. Уравнения анзаца Бете представляют собой трансцендентную форму записи спектра трансфер-матрицы.

При помощи процедуры Хюльтена (см., например £43) для случая N »-» можно построить фазовую диаграмму шестивершинной модели. В области Д в соз 2т) > 1 при достаточно низких температурах реализуется сегне-тоэлектрическая фаза. В области - 1 < Л < 1 реализуется неупорядоченная фаза. К этой области принадлежит точка, соответствующая пределу бесконечно большой температуры. Область же Д < - 1 соответствует ан-тисегнетоэлектрической фазе.

В п.1.3. приведено нетривиальное обобщение шестивершинной модели на случай двух взаимодействующих решеток (плоскостей). В качестве элементарного объекта теперь выбирается не простая вершина, а составной "биузел", который можно описать следующей диаграммой

Р7

V,

1а±

Р

г

Каждому биузлу ставится в соответствие Оольцмановский вес вида

где е1г - энергия взаимодействия между вершинами биузла.

Впервые точно решаемая биплоскостная модель была предложена в работах Шастри 151. Он показал, что при условии Д = 0 трансфер-матри-

i модели порождает бесконечный набор законов сохранения. Однако Шас->и не смог получить анзаца Бете и исследовать фазовую диаграмму для юдложенной модели. Бариев 16], с использованием техники "диагональ-[X" трансфер-матриц, получил уравнения анзаца Бете и выписал выраже-[в для свободной энергии этой системы.

В диссертации предложена новая точно решаемая биплоскостная мода. Рассматривается случай е12= hlflMa^- сцр2) (h - вещественная шстанта, к - постоянная Больцмана, Т - температура). Наша модель шускает в каждой подрешетке шестивершинную модель общего положения, > требующую априорно ограничения Д = О. к тому же, больцмановские >са узлов для одного и того же типа вершины в разных плоскостях >гут не совпадать.

Нам удалось доказать в аналитическом виде уравнение Янга-Еаксте ) для нашей модели, т.к. и локальный оператор перехода биузла, и зансфер-матрица типа "биряд-биряд" факторизуются по плоскостям.

Доказательству уравнения Янга-Бакстера и сопутствующих ему лемм 1я новой биплоскостной модели посвящен п.1.4.

В следующем разделе диссертации выводится соответствующий анззц эте и строится фазовая диаграмма модели для простейшего случая i] '4 (Д = О).

В пределе N *• «. выражение для свободной энергии модели имеет

№

(г fch Ф* + соз ki г d rch Ф,+ cos ki

г = - zl I In -^- dK + In -{-----dk .

[i Lch Ф1 - cos kj J Ich Ф|- cos к о d о

+ it (|Ф*| + |Ф^| - 2 u|

ae внутренние параметры задачи, характеризующие состояние систе-= С » 2h(1 - 2^); С = 1п(й/а). Физической областью определе-яя свободнй энергии есть Ю, ..., 1]. Минимизация функции Г по i позволила получить при помощи компьютера фазовую диаграмму модели, риведенную на рис.1.

Рис.1.

Фазовая диаграмма биплоскостной модели

На диаграмме указаны три фазы:

а) Неупорядоченная фаза - обе плоскости находятся в параэлектри ческом состоянии (в каждой из плоскостей реализуются все типы вершин).

б) Двухподрешеточная "ферриэлектрическая" фаза - обе плоскости находятся в сегнетоэлектрическом состоянии, но их векторы поляризаци взаимно перпендикулярны.

в) Промежуточная фаза - одна из плоскостей находится в сегнетоэлектрическом состоянии, в то время как другая - в неупорядоченном, соответствующем состоянию параэлектрика во внешнем поле. Эта фаза является самой интересной, поскольку описывает систему с сосуществущи-

га порядком и беспорядком. Линия, разделяющая фазы а) и б), а) и в), >твечает фазовому переходу первого рода, а линия между фазами б) и в) ■ фазовому переходу второго рода.

Важным свойством нашей модели является то, что она без потери очной интегрируемости допускает введение внешнего электрического поя с напряженностью Ё = (Е,Е'). Эта задача рассматривается в п.1.6. се выкладки проводятся по аналогии с бесполевой ситуацией, но с уче-ом того, что нарушение инвариантности системы относительно обращения игольных векторов превращает двухпараметрическую модель в четырехпа-аметрическую.

При Л = 0 выражение для свободной энергии биплоскостной системы з внешнем поле имеет вид:

Г = - Ц jx (|Ф*(С+2Е')| 1- (С+2Е*) | - (2С + Е(1 - tj) +

я?, .

г 1 fch Ф+(С-2Е") + соз lq г 2 rch ФЛГа-2Е') + сов к

+ In —§- dk + m--1--

•1 Ich ФГ(С+2Е') - соз kj J Ich Ф!(£+2Е') - соз К

о о

)мимо ранее существовавших фаз а), б) и в) появляется фаза г) - оое юскости находятся в неупорядоченном состоянии, соответствующем тос-1янию параэлектрика во внешнем поле, но с разным значением этого юля" для разных плоскостей.

При переходе к рассмотрению трехмерных систем имеется дг-а разных ти обобщения техники трансфер-матрицы.

Первый состоит в трехмерном обобщении собственно уравнения Янга-кстера. Это предполагает, что у искомых трехмерных систем локальные атистические веса являются решениями уравнения тетраэдров 171. Воз-кающие в этом случае трансфер-матрицы имеют характер "плоскость-эскость". Замолодчикову [7], Бакстеру и Квиспелу [8] удалось доста-тно подробно исследовать такую систему. Однако, эта модель далека реальности, т.к. болыдмановские веса элементарных ячеек могут придать отрицательные значения.

Второй путь обобщения заключается в поиске систем, предстзвляю-i собой набор плоскостей, взаимодействутоих друг с другом. Локалъ-) статистические веса системы являются по-прежнему решением уравне-I треугольников, но на классе матриц размерности 4К, где К - число

взаимодействующих плоскостей. Для успешного применения квантового ме тода обратной задачи необходимо, чтобы локальные статвеса, а, следовательно, и трансфер-матрицы "плоскость-плоскость" могли быть нетривиально факторизованы по плоскостям.

Во второй главе "ТОЧНО РЕШАЕМЫЕ МНОГОПЛОСКОСТШЕ МОДЕЛИ" нами предлагается модель, иллюстрирующая второй способ трехмерного обоб- ' щения техники трансфер-матрицы. Наша система представляет собой К плоскостей, связанных друг с другом взаимодействием такого же характера, что и в биплоскостной модели. Многоплоскостная модель допускав' точное решение как в случае периодических по плоскостям граничных условий, так и в случав свободных граничных плоскостей. Статвес мультй узла имеет вид

где 8Ж= - a^iy.

Нами доказаны уравнение Янга-Бакстера вместе с сопутствующими леммами и выписаны выражения для соответствующего алгебраического ан-заца Бете. Интересно, что факторизованная структура всех величин дав' возможность вывода уравнений анзаца Бете без обращения к полному уравнению Янга-Бакстера.

Для в пределе N *• «> выписывается "соответствующее выра-

жение для свободной энергии системы:

w к Гг* fch + cos ki I

r = " ZSK 2 i ln---К + - С(ае))

^ ае=1 U Ich «1 - cos kj * J

о x

где s£= С(Ж) ± 4h;{jh, -

Задача минимизации потенциала Г по {£ж> пока не была исследован; в той же мере, что и для биплоскостной модели, однако полученные предварительные результаты представляются весьма интересными. Например, при h > g можно утверждать, что не существует многоподрешеточной полностью неупорядоченной фазы.

В главе 3 "ТОЧНО РШАШЫЕ МУЛЬТИКОМПОНЕНГНЫЕ КВАНТОВЫЕ ЦЕПОЧКИ" мы переходим от статистических моделей к рассмотрению ассоциировании: с ними точно решаемых дискретных квантовых систем. Среди сохраняющих-

величин, порождаемых коммутирующими трансфер-матрицами, содержатся мильтонианы систем, достаточно физичных по содержанию. Так, шести-ршинная модель порождает хорошо известный спиновый гамильтониан Z-цепочки для спина 1/2 т.е. анзац Бете для статистической модели дает спектр указанного гамильтониана. Воспользовавшись преоСразова-:ями Иордана-Вигнера мы можем преобразовать гамильтониан XXZ-цепочки точно решаемый гамильтониан бесспиновых фермионов.

В п.3.1 дан краткий обзор точно решаемых многоподрешеточных ¡антовых систем, известных на сегодняшний день. Так, например, в [5] ютри показал, что предложенная им двухплоскостная вершинная модель »рождает гамильтониан цепочки Хаббарда и спиновый гамильтониан двух Г-цепочек с изинговским взаимодействием между ними.

Для двухкомпонентного спинового гамильтониана, предложенного Ба-гевым 19], интересен тот факт, что в основном состоянии в отсутствии згнитного поля намагниченность системы вдоль оси z отлична от нуля, цнако, физическая применимость многоподрешеточного обобщения этой эдели ограничена из-за дальнодействующвго характера взаимодействия эжду подрешетками.

Модель, предложенная в [101 интересна тем, что в ней оказываются эзможными межподрешеточные перескоки возбуждений.

Во втором пункте этой главы мы предлагаем точно решаемую двумер-ую спиновую квантовую модель, в которой взаимодействие между ближай-ими цепочками в плоскости представляет собой взаимодействие между злами, лежащими внутри первой координационной сферы. В этой работе ы выписали уравнения алгебраического анзаца Бете, а также выражения ля энергии основного состояния.

Трансфер-матрица многоплоскостной модели порождает спиновый га-ильтониан для спиновых операторов о* х

К = - 2 SJXÄ,.* e*P<41<f<0n.*+r <ае-1» + э-с-> +

Г1= I dc= I

+ 24 .а +

•де ф = - lh. - константа взаимодействимя между спиновыми цепочками в [лоскости, э.с. означает эрмитово сопряжение, д|ае)= соз(2т)(ае)) - кон-;танты обменной анизотропии для каждой цепочки, а Н - внешнее посто-шное магнитное поле. Модифицированные для мультиивдексного случая

преобразования Иордана-Вигнера связывают спиновый гамильтониан с гамильтонианом двумерной системы взаимодействующих бесспиновых фермио-нов

- ®п.*-1®п.»-1» + &"с

+ 2й(1 - г®^авп>а)(1 - 2©;+1ае©п+1>ае) + 2Н(1 - 2®;^)} ®п ае и ®п ж ~ Фбрмиввскиэ операторы роадения и уничтожения, соответ-

п

ственно

Для спинового гамильтониана межцепочечное взаимодействие проявляется лишь для случая свободных граничных цепочек в поправках конечного размера, которые существены при рассмотрении мезоскопических систем. Например, для Д<ге)= О энергия основного состояния, в котором в ае-той цепочке имеется п^ спинов вниз, равна

к , 2 зШСтпуЮсоэС (4ф(паепж+1 )+и;)/Ш 0 эе=Д в1п(1С/Ы)

В нулевом магнитном поле взаимодействие между цепочками вносит вклад в энергию порядка 1/Ы. Отличное от нуля магнитное поле может привести к существенной зависимости главного члена в выражении для энергии основного состояния от константы межцепочечного взаимодействия.

ЛИТЕРАТУРА

I. Тахтаджян Л.А., Фаддеев Л.Д., Квантовый метод обратной задачи и XYZ модель Гайзенберга // УМН. - 1979. - Т.34, В.5. - C.I5-63.

. 2. Тахтаджян Л.А., Фаддеев Л.Д., Гамильтонов подход в теории солитонов, - М.:,Наука, 1986 - 528 С.

3. Lieb Е.Н. Exact analysis ol an Interacting Bose-gas. 2. The excitation spectrum. // Phys.Rev. - 1963. - V.130 N 4 P. 1616.

4. Бэкстер P., Точно решаемые модели в статистической механике, - М.: Мир, 1985 - 488 С.

Shastry B.S., Infinite conservation laws In the ons-dimensional Hubbard model // Phys.Rev.Lett.. - 1986. - V.56, N 15. - P.1529-1531.

i. Бариев P.3., Точное решение классического аналога I-мерной модели хаббарда // ТМФ. - 1982. - Т.2, B.3I3-320.

. Замолодчиков А.Б., Уравнения тетраэдров и интегрируемые системы в трехмерном пространстве // ЖЗТФ. - 1980. - Т.79, В.2(8). - C.64I-664.

. Baxter R.J., Quispel G.R.W., Hamiltonian limit of the 3D Zamolod-chikov model // J.Stat.Phys.. - 1990. - V.42, N 12. - P.7647-7650.

. Bariev R.Z., Integrable spin chain with two- and three-particle interactions// J.Phys.A.. - 1991. - V.24. N 10. - F.L549-L553.

0. Popkov V.Yu., Zvyagin A.A., // Phys.Lett.A. (accepted lor print).

Ответственный за выпуск - канд. физ.-мат. наук Кулинич С.И.

N подписано к печати 05-05.1993 г. фкзп.л. 1,0, учетн.изд. л. 1,0 Заказ N49, тираж 100 экз.

Ротапринт ФГИНТ АН Украины, 3I0I64, Харьков-164, пр.Ленина, 47