О бифуркации равновесий механических систем с симметричным потенциалом тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

ргч ОД

с •

1 7 ФВ 1997

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ М.В.ЛОМОНОСОВА

Механики-математический факультет

На праппх рукопис и

НАРАЛЕНКОВА Ирина Игоревна

О БИФУРКАЦИИ РАВНОВЕСИЙ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ С СИММЕТРИЧНЫМ ПОТЕНЦИАЛОМ

01.02.01 - теоретическая механика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата <|шзпко-математических паук

Москча 1997

работа выполнена на кафедре математики Специализированного Учебно-Научного Центра МГУ имени М.В.Ломоносова

Научный руководитель - доктор физико-математических наук,

профессор А.В.Каранетян

Официальные оппоненты - доктор физико-математических наук,

профессор В.А.Самсонов

кандидат физико-математических наук, доцент И.И.Косенко

Ведущая организация - Институт прикладной .математики

им. М.В.Келдыша РАН

Защита диссертации состоится ^ cJSA/****-^- 1997 г. в 16 часов на заседании диссертационного Совета по механике Д 053.05.01 в MIT по адресу 119899, Москва, Воробьевы горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 16-10.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан /Çt 1997 года.

Ученый секретарь диссертационного Совета Д 053.05.01 в МГУ доктор физико-математических наук

Д.В.Трещев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Проблема отыскания положений равновесия (абсолютных или относительных) и стационарных движений консервативных механических систем, как известно, сводится к задаче анализа критических точек исходной или измененной потенциальной энергии соответственно. Как правило эта задача сводится к исследованию системы нелинейных алгебраических уравнении. Поэтому тема настоящей работы, посвященной разработке методики определения равновесных решений консервативных механических систем, представляется актуальной.

Целью работы является изучение положений равновесия (абсолютных или относительных) и стационарных движений консервативных механических систем с симметричным потенциалом, а также равновесных ориентации твердого тела в центральном гравитационном иоле.

Основные результаты и их научная новизна

I. Указана методика последовательного определения нетривиальных положений равновесия (стационарных движений) в порядке возрастания их сложности. Эга методика опирается на свойства симметрии механической системы и свойства второй вариации потенциальной энергии, вычисленной для положения равновесия (стационарного движения) предыдущего уровня сложности, начиная с тривиального:

1) тривиальные равновесные решения разыскиваются как неподвижные точки преобразований переменных, сохраняющих потенциал.

2) нетривиальные равновесные решения 1-го уровня сложности разыскиваются в окрестности точек смены устойчивости

3

тривиальных равновесных решений в том или ином специальном виде.

3) нетривиальные равновесные решения 2-го н последующих уровней сложности разыскиваются в окрестности точек смены устойчивости нетривиальных равновесных решений предыдущего уровня сложности в соответствующем специальном виде.

II. В задаче о движении однородного параллелепипеда, закрепленного в центре масс и находящегося в центральном ньютоновском иоле сил найдены все положения равновесия тела, близкого к кубу, исследованы их ветвление и устойчивость в зависимости от таких физических параметров, как отклонение параллелепипеда от куба:

1) найдено, что решение, отвечающее случаю, когда вдоль радиус-вектора направлено самое короткое ребро - неустойчиво в вековом смысле ( степень неустойчивости равна 2) при любых значениях физических параметров. Решение, при котором вдоль радиус-вектора направлено среднее ебро - неустойчиво, причем при одних значениях физических параметров степень неустойчивости равна 1, а при других 2. Решение, при котором вдоль радиус-вектора направлено самое длинное ребро мо?кет быть устойчиво (степень неустойчивости 0) и неустойчиво (степень неустойчивости 1 или 2) в зависимости от физических параметров.

2) показано, что существуют нетривиальные равновесные ориентации двух типов:

а) одна из главных осей инерции перпендикулярна радиус-вектору цент/» масс, а две другие повернуты относительно него на тот или иной угол;

б) ни одна из главных осей инерции тела не перпендикулярна радиус-вектору.

Решения типа (а) либо всегда неустойчивы (степень неустойчивости 1), если радиус-вектору перпендикулярно самое длинное или среднее ребро, либо могут быть как неустойчивы (степень неустойчивости 1), так и устойчивы (степень

4

неустойчивости 0), если радиус-вектору перпендикулярно самое короткое ребро.

Решения типа (б) всегда устойчивы.

III. В задаче о вращательном движении однородного параллелепипеда, центр масс которого движется по круговой кеплеропой орбите в центральном ньютоновском поле сил, методом, аналог!иным приведенному во второй главе

1) найдены относительные равновесия тела четырех типов:

а) тривиальные, отвечающие таким ориентациям тела, при которых одна нз его главных центральных осей инерции направлена вдоль радиус-вектора центра масс, вторая - по нормали к плоскости орбиты, в третья - но касательной к орбите,

б) нетривиальные, отвечающие таким ориентациям тела, при которых одна из его главных центральных осей инерции направлена вдоль касательной к орбите и тело повернуто вокруг касательной к орбите,

в) нетривиальные, отвечающие таким ориентациям тела, при которых одна из его главных центральных осей инерции направлена вдоль нормали к плоскости орбиты и тело повернуто вокруг нормали к плоскости орбиты,

г) нетривиальные, при которых ни одна из центральных осей инерции тела не совпадает с ни с радиус-вектором, ни с касательной к орбите, ни с нормалью к плоскости орбиты.

2) Исследованы устойч1гаоеть и ветвление всех относительных равновеаш. Результаты исследования представлены в виде бифуркационных диаграмм.

Обоснованность. Все результаты работы получены с помощью теории устойчивости движения и теории бифуркации и строго обоснованы.

Практическая ценность. Полученные результаты могут быть использованы при изучении положений равновесия,

5

относительных равновесий и стационарных движений консервативных систем.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались на международной конференции "Устойчивость, управление и динамика твердого тела", (Донецк, 2-6 сентября 1996 г.) и на семинарах МГУ им.М.В.Ломоносова:

1) но аналитической механике иод руководством академика В.В.Румянцева и проф. А.В.Карапетяна (1996)

2) по механике относительного движения под руководством проф. В.В.Белецкого, проф. Ю.Ф.Голубева, доц. С.И.Трушина, доп. К.Е.Якнмовон (1996)

3) по классической механике иод руководством проф. В.В.Козлова н д.ф.м.н. Д.В.Трещева (1996)

Основные результаты опубликованы в 3-х статьях и тезисах доклада на международной конференции (работы [1-4]).

Объем и струкрура диссертации

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, изложенных на 83 страницах, содержит 33 рисунка, список литературы из 33 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы, дается краткий обзор работ, посвященных теории бифуркации и исследованию устойчивости и бифуркации относительных равновесий тел на круговой орбите, излагается общий план диссертант!.

В первой главе указана методика последовательного определения положений равновесия (стационарных движений) в порядке возрастания их сложности. Эта методика опирается на свойства симметрии механической системы н свойства второй вариации потенциальной анергии, вычисленной для положения

равновесия (стационарного движения) предыдущего уровня сложности, начиная с тривиального.

В первой главе рассматриваются механические системы, у которых потенциальная энергия (исходная или приведенная) инвариантна относительно замены Ц —> (-1 где q - вектор координат (в общем случае зависимых), в - вектор, компоненты которого суть 0 или 1, а через 1)яС| обозначен вектор ((-1)8!С][ ,

...,(-1)8пЧп)Т-

В §1 рассматривается случай, когда потенциал имеет вид р), где X -вектор координат, р - вектор физических параметров, причем X е в" , где 8П - п - мерная сфера единичного радиуса. Отмечено, что при любых значениях параметров р существуют тривиальные решения, соответствующие неподвижным точкам преобразования С] —> (-1)^. Вторая вариация функции XV (х, р) в этих точках всегда имеет вид суммы квадратов. Доказано, что если для тривиальных решений существуют бифуркационные значения параметров, то от них ответвляются нетривиальные решения первого уровня сложности и вторая вариация функции \У(х, р) в этих точках имеет вид суммы квадратов. Если, в спою очередь; для нетривиальных решений первого уровня сложности существуют бифуркационные значения параметров, то от них ответвляются нетривиальные решения второго уровня сложности. Вторая вариация функции \У(х, р) в этих точках представляет собой сумму двух квадратичных форм, одна из которых зависит от двух переменных и не имеет, вообще говоря, диагонального вида, а вторая зависит от остальных независимых переменных и имеет диагональный вид. Если один из коэффициентов этой квадратичной формы меняет знак, то от решений второго уровня сложности отвтвляются решения общего вида и т.д.

В §2 рассматривается случай, когда потенциальная энергия имеет вид \¥(х;у,р), где X = (XI , ... , Хп)т и у = (у'1 , ... , уп)т причем X е ^ , У £ 8П, (х,у) = 0. Отмечено, что при любых

значениях параметров р существуют тривиальные решения, соответствующие неподвижным точкам преобразования переменных. Вторая вариация функции \^'(х;у;р) в этих точках всегда имеет вид суммы квадратов. Доказано, что если для тривиальных решении существуют бифуркационные значения параметров, то от них ответвляются нетривиальные решения первого уровня сложности и вторая вариация функции р) в этих точках имеет вид суммы

квадратов. Если, в свою очередь, для нетривиальных решений первого уровня сложности существуют бифуркационные значения параметров, то от них ответвляются нетривиальные решения второго уровня сложности двух видов, один из которых не имеет аналога в случае, рассмотренном в §1.

В заключении первой главы рассмотрена задача об относительных равновесиях твердого тела на круговой орбите в центральном гравитационном поле, в предположении, что распределение масс тела симметрично относительно плоскостей, проходящих через любую пару его главных центральных осей инерции.

Показано, что наряду с тривиальными равновесными ориентациями, при которых одна из главных центральных осей инерции тела направлена вдоль радиус-вектора центра масс, другая - по касательной к орбите, а третья - по нормали к плоскости орбиты, могут существовать и нетривиальные, а именно такие, при которых тело повернуто на некоторый угол вокруг нормали к плоскости орбиты или вокруг касательной к орбите.

Показано, что в случае тела с трехосным эллипсоидом инерции не существует нетривиальных равновесных ориентации тела, при которых оно повернуто вокруг радиус-вектора.

Во второй главе рассматривается задача о движении однородного парллелепипеда, закрепленного в центре масс и находящегося в центральном ньютоновском поле сил. Найдены все положения равновесия тела, близкого к кубу, исследованы их ветвление и устойчивость.

Предполагается, что размер тела мал по сравнению с расстоянием от центра масс до протягивающего центра, т.е. величина, равная отношению длины меньшего ребра к расстоянию до притягивающего центра, много меньше единицы. Потенциальная энергия вычисляется с точностью до членов четвертого порядка относительно этой величины.

Проводится исследование влияния на вид положений равновесия данной механической системы и их устойчивость таких физических параметров, как отклонения параллелепипеда от куба.

Во втором параграфе описываются тривиальные решения, отвечающие таким ориентациям тела, при которых одна из главных нейтральных осей инерции направлена вдоль радиус-вектора. Для исследования устойчивости этих решений вычисляется вторая вариация приведенной потенциальной энергии.

Найдено, что решение, отвечающее случаю, когда вдоль радиус-вектора направлено самое короткое ребро - неустойчиво в вековом смысле, причем степень неустойчивости равна 2 при любых значениях физических параметров. Решение, при котором вдоль радиус--вектора направлено среднее ребро - неустойчиво, причем при одних значениях физических параметров степень неустойчивости равна 1, а при других 2. Решение, при котором вдоль радиус--вектора направлено самое длинное ребро может быть устойчиво(степень неустойчивости 0) и неустойчиво (степень неустойчивости 1 или 2) в зависимости от значений физических параметров.

В случаях, когда степень неустойчивости меняется при тех или иных значениях параметров, в окрестности этих значений рождаются новые решения. В третьем параграфе указаны эти решения, исследованы их ветвление и устойчивость.

В третьей главе рассматривается задача о вращательном движении однородного параллелепипеда, центр масс которого движется по круговой кеплеровой орбите в центральном ньютоновском поле сил. Методом, аналогичным, приведенному во

9

второй главе, найдены все положения относительного равновесия тела, близкого к кубу, исследованы их ветвление и устойчивость.

Сначала находятся тривиальные решения, отвечающие таким ориептацням тела, при которых одна из главных центральных осей инерции направлена вдоль радиус-вектора центра масс, вторая - по нормали к плоскости орбиты, а третья - по касательной к орбите. Для исследования устойчивости этих решений вычисляется вторая вариация приведенной потенциальной энерпш.

Найдено, что решение, отвечающее случаю, когда вдоль радиус-вектора направлено самое короткое ребро, а самое длинное -вдоль касательной к орбите - неустойчиво в вековом смысле, причем степень неустойчивости равна 2 при любых значениях физических параметров.

Решение, при котором вдоль радиус-вектора направлено самое короткое ребро, а самое длинное - по нормали к плоскости орбиты - неустойчиво, причем степень неустойчивости равна 3 при любых значениях физических параметров.

Решение, соответствующее такой ориентации тела, ггрн которой самое длинное ребро направлено вдоль касательной к орбите, а самое короткое - но норма\и к плоскости орбиты, при одних значениях физических параметров неустойчиво (степень неустойчивости равна 1), а при других - неустойчиво в вековом смысле (степень неустойчивости равна 2).

Решение, при котором самое короткое ребро направлено но касательной к орбите, а самое длинное - по нормали к плоскости орбиты, при одних значениях физических параметров неустойчиво (степень неустойчивости равна 3), а при других - неустойчиво в вековом смысле (степень неустойчивости равна 2).

Решение, нрн котором самое длинное ребро направлено вдоль радиус-вектора, а самое короткое - по нормали к плоскости орбиты, может быть устончиво(степень неустойчивости 0) и неустойчиво

ю

(степень неустойчивости 1) или неустойчиво в вековом смысле (степень неустойчивости равна 2) в зависимости от значений физических параметров.

Решение, при котором самое длинное ребро направлено вдоль радиус-вектора, а самое короткое вдоль касательной к орбите может быть устойчиво(степень неустойчивости 0), неустойчиво (степень неустойчивости 1 или 3) и неустойчиво в вековом смысле (степень неустойчивости равна 2) в зависимости от значений физических параметров.

В случаях, когда степень неустойчивости меняется при тех или иных значениях параметров, в окрестности этих значений рождаются новые решения. В третьем параграфе указаны равновесные ориентации, при которых тело повернуто вокруг нормали к плоскости орбиты или вокруг касательной к орбите, исследована их устойчивость и показано, что степень неустойчивости этих решений меняется при некоторых значениях параметров. При этом рождаются равновесные ориентации тела, при которых ни одна из его главных осей инерции не совпадает ни с радиус-вектором центра масс, ни с касательной к орбите, нн с нормалью к плоскости орбиты.

В Заключении приведены основные результаты диссертационной работы.

и

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Караиетян A.B., Наралснкоиа И.И. О бифуркации равновесии механических систем с симметричным потенциалом. ПММ - и печати.

2. Караиетян A.B., Нараленкови И.И. Бифурьамня относительных равновесий механических систем, допускающих дискретные группы симметрии. Тезисьг международной конференции "Устойчивость, управление и динамика твердого тела", Донецк, 2-6 сентября 1996 г.

3. Наралепьона И.И. О ветвлении и устойчивости положений равновесия твердою тела в ньютоновском иоле. Задачи исследования устойчивости и стабилизации движения. М: В LI

РАН, 1995. С.53-60.

4. Нараленкова И.И. О ветвлении и устойчивости относительных равновесий твердого тс\а на круговой орбите. Вести. Моск.гос.ун-та.Сер. мат ,мех. Принята к печати.