О близости распределений при моментных ограничениях тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

¡20 и '7'. 3 I

ереванский государственный университет

факультет математики

На правах рукописи

мустафа мухаэдд салех

удк 519.21

О БЛИЗОСТИ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ ПРИ НОНЕНТНЫХ ОГРАНИЧЕНИЯХ

01.01.05 - теория вероятностей и ма-г тематическая статистика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

ЕРЕВАН - 1992

Работа выполнена на кафедре теории вероятностей и математической статистики Ереванского государственного' университета.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Э.А.ДАНИЕЛЯН, Научный консультант: кандидат физико-математических

наук, доцент А.В.КАКОСЯН

Официальные опоненты: доктор физико-математических наук,

профессор В.М.ШУРЕНКОВ

доктор технических наук, в.н.с. Г.А.ПОПОВ

Ведущая организация:

Институт математики им. Стеклова Российской АН, г.Москва.

Защита состоится " 8 " июля 1992 г. в 12 час. на заседании Специализированного Совета К055.01.12 при Ереванском государственном университете по адресу': 375049 Ереван, ул.Алека Манукяна 1, факультет математики ЕГУ, ауд. 47.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ЕГУ.

Автореферат разослан "2Л " июня 1992г.

Ученый секретарь Специализированного Совета, кандидат физико-математических

наук, доцент

В.К.ОГАНЯН

в/теории вероятностей и математической статистике важную роль ^ЙМу задачи сравнения "близости" и выявления "совпадения" функщй де^щвделения случайных величин при ограничениях на их моменты. ТТсшШзованив ашарата характеристических функций предполагает первоначальное решение таких задач в терминах характеристических функций. Достаточно исчерпывающе тематика изложена в монографиях Е.Лукача, Б.Рамачандрана, В.В.Петрова, В.Феллера.

В теории суммирования, асимптотической теории оценивания метод характеристических функций трансформирует эти задачи в задачи "близости" функций распределения на основе "близости" их интегральных преобразований. Отметим имена А.Н.Колмогорова, Б.В.Гнеденко, Ю.В.Прохорова, В.В.Сазонова, В.М.Золотарева, Т.А.Азларова. В математической теории надёжности, теории массового обслуживания тематика приобретает новые черты. Возникают задачи "близости" в терминах преобразований Лапласа на различных классах распределений. Ими занимались Р.Барлоу, Ф.Брошан, Э.А.Даниелян и др. К данной проблематике в математической статистике и теории надежности примыкают задачи характеризации классов распределений, нашедшие отра-кение в исследованиях Ю.В.Линника, А.М.Кагана, Т.А.Азларова, Л.Б. Клебанова и др.

Таким актуальным задачам и посвящена настоящая диссертация, состоящая из трех глав, литературы из 42 наименований, и изложенная на^7 с. машинописного текста.

Приступим к изложению основных положений работы.

Вводная глава состоит из §§1-3. В §1 обоснована актуальность тематики и сформулированы результаты диссертации.

В §2 приведены принадлежащие А.Н.Колмогорову известные нера-" зенства для верхних граней последовательных производных для несколько раз непрерывно дифференцируемых функций. В §3 дана одна 1звестнзя оценка ¿.-метрик. Результаты §§2,3 применяются в главах и 2.

Глава 1 содержит §§4-6.

Пусть К., и К2 - положительные константы; зг(К1 .Кд)-класс поло-штельных случайных величин, у которых вторые моменты ограничены телом К1, супремумы модулей вторых производных от распределений >граничены числом К2. В §4 доказана

Теорема 1. Пусть Х1 ,Х2еэе (К., ,К2), Р1 ,Р2-их функции распреде-гания, ф_.ф^-преобразования Лапласа. Если при всех г^О

- 3 -

существуют числа е0 и С>0, зависящие от ф1, ф2, такие что |<р1(а)-ф2(2;)|<е для ее(0,ео), то

р(2Ц ,Х2)а=гдир | 4 С/(гп1п1п е-1 )2.

Пусть К>0-константа; зе (К)-класс положительных случайных величин, у которых первый момент ограничен числом К. В §5 доказаны теорема 2 и следствие 1.

Теорема 2. Пусть Х1(К), ф1,ф2-их преобразования Лапласа. Если для п>0 и 1<к1<г;2<_<гп выполнено ф1 (а1)=ф2(г1), 1=Т7п, то

п -1 1п Е вк*

аир (и)—фр(2) | <2(К+1)—^- .

zeio.1l 1 ^ .

к=1 к

Следствие 1. Если в условиях теоремы 1 п-»+оо, гп-*+<» и Е

ТО ф1(2)^ф2(2).

В §6 выводится неравенство для двух произвольных функций распределения Р1 и

оо

I J eitie_x(1-F1 (x))dx

«О

- f elt2e~x(1-F5(x))dx I < —-—л , о 2.1 min е-1

вшкмшеное при jtj i .Inln fe_1, &s(0,e^]t eQ>0, где i=V::T , C>0 и ■ e„ константы p зависящие от F. и F„.,

О 1 С. л \

Вывод основан на известной леммэ К.А.Сапогова . Дано такие новое доказательство этой лзммн.

Глава 2 образована параграфами 7-9. В §7 рассмотрен подкласс староица случайных величин Т» определяемых условием •

pi'm+y / т^у} = |p{T^)jh(y) - (1)

ирг Есех si-C и где Р(А/В)-условная вероятность события А при условии .осуеэствлвния события В.

1) Саасгев H.A. Задача cd устойчивости теорема единственности ха-pütitepuctet-isckgS функцзз, апалятпчесгюй в'окрестности начала t=0.-Б. сб.: Проблемы устойчивости стохастических моделей. Ы.: ВНИИСИ, 1££Оа с. 63-94о

Следует найти вид функции h(y). Пусть F(x)=PCT<x}.

Теорема 3. Условие (1) выполнено тогда-и только тогда, когда

1) -либо F(t)=1-eip{-A(e_at-1)}, где А>0, а>0 - константы;

2) либо F(t)=1-erpC-\t), \>0 - константа.

В ;§8 получены неравенства для моментов безгранично делимых распределений. Пусть g-класс одномерных безгранично делимых распределений, и. )-момент порядка J распределения Feg.

Теорема 4. Пусть F^g, F(+0)=0, ц3<-к». Тогда

^ - ц| » ufflv^l )• (2)

. В (2) равенство достигается тогда и только тогда, когда F-закон Пуассона.

Теорема 5. Пусть Feg, ^.,=0, Тогда

ц4 > 3-(j| . (3)

В (3) равенотво достигается тогда и только тогда, когда F-нормальный закон. . ,

Теорема 6. В условиях теоремы 5

В (4)'равенство достигается тогда и только тогда, когда либо а) F-нормальный закон; либо б) F-центрированный закон Пуассона, -сосредоточенный на- [0,+«>) или на (-оо,01. •

Теоремы 4-6 основаны на-двух, более общих утвервдениях, представляющих и самостоятельный интерес. Они также*установлены в §8.

Именно, пусть зп (п>2)-класс распределений: Fegn, если У представима в виде n-ой степени свертки некоторого распределения.G. Тогда при некоторых условиях имеют место неравенства

М-з^ - и! > ' (5)

> . (3-|+ ¡j.2 . (6)

В работах О.П.Виноградова, Э.Л.Даниэляна и Г.А.Попова получеш р. терминах преобразований Лапласа необходимые и достаточные условий старения и молодения случайных величин. Однако на практике требуются более простые условия, чем найденные в их работах. Нам удалось на основе результатов этих авторов получить более простые услоЕия старения и молодения случайных величин, что составляет содержание параграфа 9.

Пусть {|n)n>1-последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин, '

Eli < +«>. Sn = ••• +еп, 101.

Е-знак математического ожидания.

Тэовема Т. Если существует последовательность iz^^^, Iiis z = 0, такая что для любого тХЭ

P{VSn+1<^} / F{VSn<5>

не возрастает (не убывает) с ростом п>1, то случайная величина £ является стареющей (молодеющей).

Теорема 8. Пусть случайная величина (п>1) имеет плотность р(х), для которой при любом А>0 отношение р(х+А)/р(х) не убывает с ростом : р(у)>0) и т]-стареющая (молодеющая) случайная вели-■ члна. Тогда

P{Sn+1<7)} / PiSn<T]}

не возрастает (не убывает) с ростом п (п^1). Лля случайной, величины т^Ю положим (z^O):

aG(E) = pfJj-jT ta_1e~stP{r)>t}clt,

где Г(-)~ гсмма-функция Эйлера, а-действительное число. Пусть существует неубывающая последовательность

Ita <!=+«, Um. (а -а 0<7<+oo; последовательность is } > ,

П-»+оо U n-»+cc n n '

I im 2ß=0; последовательности натуральных чисел inOn)}^ , UUm))^

и число a>C такие., что

lim. Z^-n(m) = C, lim. z£-N(m) = Д, (CK$<ü$-o°, a>Q).

ГП++00 HH+OI

Теооема 9. 1. Если отношение

a (z) / a (z) "il+l "fi

крг всех z>C пэ возрастает (но убывает) с ростом rising), х-(го) 3, то случайная величина т]-%(б<т]<А) является старение й (малюющей). 2. Если т}-ствреиц2Я (молодеющая) случайная вели мила, то для любых i';Qs е>С отношение

Wz) 7 aa(-Z! .

не возрастает (не убывает) с ростом а (ооО). Здесь

- б -

■у С0<П<Л) - / 1 при Т)е(0,Д), X(0<7]<д) - ^ о прИ T]«(Ö,A).

Автор выражает глубокую признательность Э.А.Даниеляну и

А.В.Какосяну за постоянное внимание при выполнении данной работы.

По теме диссертации опубликованы следующие две работы.

1. Какосян A.B., Клебанов Л.Б., Салех М.М. Неравенства для моментов и экстремальные свойства безгранично делимых распределений.- "Вероятность и оптимизация", Ереван, ЕГУ, 1992, с.21-23

2. Какосян A.B., Салех М.М. Об одном семействе стареющих распределений.- "Вероятность и оптимизация", Ереван, ЕГУ, 1992, с.19-21