О критических свойствах при росте кластеров DLA тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

Учреждение Российской Академии наук Институт теоретической физики им. Л.Д. Ландау РАН

На правах рукописи

/Цщиугпдн

Меньшутин Антон Юрьевич

О критических свойствах при росте кластеров БЬА

01.04.02 - Теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

иио)45Б8 1

Москва - 2008

003456811

Работа выполнена в Институте теоретической физики им. Л.Д. Ландау Российской Академии Наук.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

Щур Л.Н.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

Иоселевич A.C.

доктор физико-математических наук Зайцев С.И.

Ведущая организация: Институт космических исследований РАН,

г. Москва

Защита состоится 26 декабря 2008 г. в 12 часов на заседании диссертационного совета Д 002.207.01 при Институте теоретической физики им. Л.Д. Ландау РАН, по адресу: Ц2432, Московская обл., Ногинский р-н., город Черноголовка, Институт физики твердого тела РАН.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института теоретической физики им. Л.Д. Ландау РАН.

'с/ ■ 1 * Т

Автореферат разослан У^ » • 2008 г.

Ученый секретарь диссертационного совета,

доктор физико-математических наук ,■ '/) Гриневич П.Г.

* С'

Общая характеристика работы

Актуальность темы

Многие объекты, встречающиеся в природе, имеют форму, которая не описывается обычными геометрическими объектами [1]. Основное свойство таких объектов - самоподобие, т.е. похожесть объекта на самого себя при рассмотрении его па разных масштабах. Такие объекты называются фракталами. Существует большое число процессов, такие как рост кристаллов и дендритов, путь заряда при пробое диэлектрика, рост колоний бактерий, которые относятся к классу так называемых структур роста. Объекты, генерируемые такими процессами, оказываются очень похожими как внешне, так и по своим свойствам друг на друга [2|. Параметры таких объектов и условия их образования таковы, что основной вклад в перенос частиц дает диффузия. Основная модель, которая описывает образование таких объектов - это модель агрегации, ограниченной диффузией (БЬА), предложенная Виттеном и Сандером в 1981 году [3]. Модель описывает правила движения частиц, последовательное выполнение которых позволяет смоделировать рост кластера. Модель роста двумерных агрегатов является алгоритмической, поэтому ее исследование аналитически сильно затруднено.

Существует ряд аналитических предсказаний и методов исследования таких моделей [4]. Однако, до конца не ясно, как модифицированные модели, изучающиеся этими методами, соотносятся с исходной задачей и друг с другом. Часть предсказаний этих теорий сложно проверить численно (например, мультифрактальный спектр), для проверки других теорий требуется существенно улучшить точность вычислений. Применяя более совершенные технические средства, а также разработав новые методы изучения таких объектов, мы рассчитываем ответить па часть

из этих вопросов.

Цель диссертационной работы

1. Разработка эффективного численного алгоритма, позволяющего моделировать рост кластеров, состоящих из большого числа частиц (до 50 млн.)

2. Исследование свойств мультискейлинга кластеров DLA и проверка предсказаний Е. Somfai, R.C. Ball, N.E. Bowler, L.M. Sander [5] относительно этих свойств и наличия поправок к закону скейлинга.

3. Исследование флуктуаций и свойства слабого самоусреднения фрактальной размерности.

4. Разработка методов оценки фрактальной размерности кластеров, позволяющих повысить точность измерений без существенного увеличения размеров исследуемых кластеров.

5. Исследование кластеров, построенных с применением анизотропных локальных правил, применяемых при добавлении частиц к кластеру.

Основные результаты

1. Разработан эффективный численный алгоритм, позволяющий построить кластер размером до 50 млн. частиц за 3-4 часа на компьютере типа Pentium 4 3 ГГц с 2-мя Гб оперативной памяти, при этом для стабилизации роста не используются методы уменьшения шума.

2. По ансамблю из 100 кластеров, состоящих из 50 млн. частиц каждый, вычислена фрактальная размерность с использованием раз-

личных определений линейного размера R в соотношении скейлин-га N ос Проведено сравнение полученных результатов между собой и установлено, что в пределах ошибки измерений фрактальная размерность не зависит от выбора R. Также установлено, что квадрат ошибки определения фрактальной размерности убывает с ростом размера кластера как 1/N033. Т.е. можно сказать, что для фрактальной размерности наблюдается свойство слабого самоусреднения.

3. С использованием ансамбля из 100 кластеров но 50 млн. частиц вычислен показатель мультискейлинга D{x) при разных размерах кластера и проведено сравнение полученных результатов с предсказанными в работах [5]. Установлено, что поведение D{x) с ростом размера кластера не соответствует предсказанному. Также установлено, что наличие мультискейлинга нельзя объяснить поправками к закону скейлинга в виде R(N) = RN^D(Î + RN~"), предложенным в работах [5].

4. Предложен метод пробных частиц переменного размера для вычисления фрактальной размерности кластера D. В этом методе фрактальная размерность вычисляется по зависимости Rj™ среднего радиуса прилипания частиц, вычисленного как среднее от г по гармонической мере. При этом для расчета гармонической меры используются пробные частицы размером d = 0.1 — 100, причем за единичный размер принимается радиус частиц, из которых составлен кластер. В результате фрактальная размерность оказывается величиной, зависящей от N и от d". Вычисляя предел D(N, S —» 0), можно найти фрактальную размерность как функцию числа частиц в кластере D(N). При этом данная зависимость оказывается

гладкой функцией, что позволяет находить фрактальную размерность кластера с большей точностью и сделать предположения о его асимптотических свойствах. Найдена универсальная скейлин-говая функция D(N,5/Rdep), которая объясняет повышение точности при уменьшении размера пробных частиц. Использование пробных частиц с 6 = 0.1 равносильно использованию кластера размером в 10 раз больше по Rdep или в 4 раза больше по числу частиц.

5. С использованием метода антенн для генерации анизотропных кластеров построены ансамбли из 1000 кластеров по 50 млн. частиц каждый для числа антенн Njp = 3,4,5,6,7,8. Вычислена фрактальная размерность D(N) для каждого ансамбля, с использованием метода пробных частиц переменного размера. Установлено, что при Nfp = 3,4 фрактальная размерность является строго убывающей величиной. При Njp = 6, 7,8 фрактальная размерность кластеров близка к размерности безрешеточных ансамблей. Случай Nfp = 5 является переходным. При N/p > 5 наблюдается критическое поведение, при этом, по-видимому, получающиеся объекты относятся к одному классу универсальности. При Nfp < 5 фрактальная размерность, по-видимому, стремится к своему предельному значению 3/2 при JV —> оо. Данные выводы также подтверждаются сравнением кластеров с использованием зависимости плотности частиц от угла Р(ф) и производных от нее величин.

Научная новизна и достоверность

Результаты диссертационной работы получены впервые, ее выводы обоснованы надежностью применявшихся при исследовании современных методов теоретической и вычислительной физики и подтверждают-

ся результатами апробации работы. Научная и практическая ценность

Разработанный алгоритм позволяет исследовать кластеры, полученные в рамках модели БЬА, с большей точностью и за меньшее время. Детали алгоритма подробно изложены в опубликованных работах, что позволяет использовать их другими авторами. Планируется публикация исходных текстов разработанного программного инструментария для исследования БЬА. Сделана проверка предположения о наличии поправок к закону скейлинга, что означает необходимость разработки другого теоретического объяснения свойства мультискейлинга. Разработан новый метод измерения фрактальной размерности с использованием пробных частиц исчезающе малого размера, что позволило измерить фрактальную размерность с большей точностью. Проведено сравнение безрешеточных и псевдорешеточных кластеров и установлено принципиальное отличие в их свойствах при увеличении числа частиц в кластере в зависимости от типа решетки. Апробация работы

Основные результаты данной работы докладывались и обсуждались на ХЬУ1 научной конференции МФТИ, 2003, на международной летней школе "Фундаментальные проблемы статистической физики XII", Лёвин, Бельгия, 2005, на международной конференции по вычислительной физике, Лейпциг, Германия, ноябрь 2006, на международной конференции по вычислительной физике, Брюссель, Бельгия, 2007 и на семинарах в ИТФ им. Л.Д. Ландау. Публикации

По материалам диссертации опубликовано три печатных работы. Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка

литературы.

Краткое содержание работы Введение

Во введении обоснована актуальность диссертационной работы, сформулирована цель и аргументирована научная новизна исследований, показана практическая значимость полученных результатов, представлены выносимые на защиту научные положения. Глава I. Алгоритм.

В этой главе изложены приципы численного алгоритма для генерации кластеров БЬА. Т.к. проблема роста кластеров БЬА исследуется численно, то разработка эффективного алгоритма является важной задачей, от успеха решения которой зависит вся остальная часть работы. Исходный алгоритм, предложенный в оригинальной работе Виттена и Сандера [3], состоит из следующих шагов:

1. На квадратной двумерной решетке в начале координат находится частица-зародыш (занятая клетка).

2. Вдали от кластера (от зародыша) рождается новая частица.

3. Новая частица блуждает случайным образом.

4. Если частица подходит вплотную к занятой клетке, то она прилипает.

5. Если частица уходит достаточно далеко от кластера, она уничтожается.

6. Повтор начиная с шага 3 до тех пор, пока частица не прилипнет или не погибнет, после чего запуск новой частицы (шаг 2).

Объекты, построенные таким способом, проявляют фрактальные свойства и называются кластерами. По внешнему виду (и но ряду свойств) они похожи на кристаллы, затвердевающие из расплава или из солей, а также на колонии бактерий и другие объекты, встречающиеся в природе. Алгоритм для построения кластеров, предложенный Виттеном и Сандером, стал первым, позволяющим моделировать рост таких объектов. Однако в форме, изложенной выше, данный алгоритм требует доопределения, а именно, не заданы области, где происходит рождение и уничтожение частиц. Чаще всего их задают окружностями радиуса и причем /?(/ В-ь- Основная проблема, возникающая при использовании решетки для роста кластера, заключается во влиянии самой решетки на свойства кластера. По-видимому, из-за того, что вероятность случайного блуждания на двумерной решетке есть функция с симметрией 4-го порядка, то и кластеры, получающиеся при использовании данного метода тоже проявляют симметрию 4-го порядка [6].

Наиболее логичный шаг состоит в отказе от использования решетки и переходу к безрешеточной модели, в которой частицы представляются окружностями. При этом случайное блуждание моделируется как шаг конечной длины в случайном направлении. Частицы, начинающие движение вдали от кластера, подходят к нему равномерно, т.е. вероятность первого пересечения окружности, описывающей кластер, есть функция, не зависящая от угла. Это позволяет использовать в качестве окружности рождения /?(,, окружность, описывающую кластер, т.е. минимальную из возможных. Вторая важная модификация, базирующаяся на равномерности распределения случайного блуждания, заключается в возможности увеличения длины шага, если частица находится вдали от кластера. Если расстояние от частицы до кластера равно Дг, то можно вместо единичного шага взять шаг, незначительно меньший Дг. Третья, самая

важная модификация, следует из того факта, что на плоскости вероятность ухода частицы на бесконечность равна 0, т.е. любая частица рано или поздно коснется кластера. Это означает, что R¿ должно быть бесконечно велико. Но при этом частицы, отошедшие далеко от кластера, могут затратить много времени на возврат обратно, даже при использовании шагов большой длины. Использование же конечной величины R¿, такой что Rd Rb, приводит к искажению вероятностей роста кластера. В своем алгоритме мы используем аналитически вычисленную вероятность возврата из точки г > Rb на окружность Rb- Если частица находится в точке (0, г), то вероятность ее возврата в точку (Rb cos ф, Rb sin ф)

1 х2 - 1 Р^ = 2ттх2 - 2х cos ф+ 1'

где х = r/Rb■ Используя эту зависимость и генерируя случайные числа с таким распределением, мы находим новую координату для частиц, вышедших за окружность возврата R?.

Для того, чтобы хранить в памяти координаты частиц, из которых состоит кластер, мы используем комбинированную схему из алгоритмов, предложенных Боллом [6] и Микеном [7]. При этом частицы хранятся внутри ячеек размером 32, и в каждой ячейке записан размер свободной зоны вокруг нее. Данный алгоритм позволяет построить 1 кластер из 50 млн. частиц за 3 часа на компьютере с процессором Pentium 4 и 2 Гб оперативной памяти. Типичный кластер, построенный по этому алгоритму, показан на рисунке 1.

Глава II. Фрактальная размерность, слабое самоусреднение и мультискейлинг в модели DLA.

В отличие от традиционных объектов евклидовой геометрии, форма которых описывается двумя величинами - длиной и шириной (на плоскости), форма фрактального объекта задается рекурсивным алгоритмом

Рис. 1. Кластер ОЬА. состоящий из 50 млн. частиц. Цветом показан возраст частиц.

его построения. Геометрической величиной, характеризующей фрактальные объекты, является фрактальная размерность, при этом отличительным свойством таких объектов является свойство самонодобия. Применительно к структурам роста это означает, что соблюдается соотношение скейлинга N ос В.ю, где N - масса объекта (число частиц), а Д - его геометрический размер. Величина Б < (I, где <1 - размерность пространства, называется фрактальной размерностью и является обобщенной характеристикой структуры фрактала. При изучении БЬА за величину Я можно принять размер кластера, состоящего из N частиц. Также можно изучать зависимость числа частиц, лежащих внутри окружности радиуса Я, от ее размеров. Два основных метода, использующихся для вычисления Я, заключаются в использовании различных средних величин. Если имеется К ансамблей кластеров, и гДЛГ) - положение А^-ой частицы в ¿-том ансамбле, то среднее по ансамблю (г(ЛГ)) = £^т^Щ/К называется радиусом осаждения Д^р- Также используются величины Я2, радиус инерции Ядуг, средняя глубина проникновения В дополнение к сред-

по ансамблю по мере

(г) 1.70942(46) Цгёд) 1.70922(97)

1.71003(45) (^гЧд) 1.7087(11)

^еут 1.71008(96) — —

ЯеИ — — (ехр(/1пг^)) 1.70944(87)

£ /?22 - Даер2 1.74(3) — 1.69(7)

Таблица 1. Оценка фрактальной размерности О различными способами усреднением по гармонической мере и по ансамблю с использованием разных величин. В скобках указана погрешность значений, как поправка к последним знакам.

ним по ансамблю можно провести усреднение по поверхности кластера с весом, равным вероятности роста в данной точке поверхности. Такие средние называются средними по гармонической мере и обычно обозначаются как / г<1д. Определения различных величин и результаты расчета фрактальной размерности приведены в таблице 1. В пределах ошибок измерений результаты совпадают, т.е. фрактальная размерность кластера не зависит от выбора величины Д. Это противоречит данным, что £ имеет другой закон скейлинга вида £ ос Яд/\АпМ в работе [8], т.к., по-видимому, эффекты, вызванные конечными размерами кластеров, оказываются значительны при числе частиц в кластере менее 105. Далее в Главе 2 проводится анализ поведения ошибки измерения Б с ростом размера кластера. Для обычных термодинамических систем флуктуация некой физической величины А убывает с ростом размеров системы как Мы исследуем поведение квадрата этой величины

т» = ((О2) - <Я)2)/(Я>2.

В диссертации обнаружено, что квадрат ошибки Ти ведет себя как 1 /ТУ1", где 7 = 0.33. Т.е. для увеличения точности измерений на порядок пона-

добится увеличение размеров кластера в 1 млн. раз.

В работах [5| для вычисления фрактальной размерности кластера используется также положение центра масс. При этом соответствующая ему фрактальная размерность оказывается точно такой же, как и при использовании других величин. Исследуя положение центра масс отдельно взятых кластеров и среднего но ансамблю, мы обнаружили, что его положение совершает случайное блуждание около центра. При этом размерность такого блуждания оказывается близка к 0.5, т.е. его движение соответствует движению броуновской частицы. Это подтверждается и анализом направления движения.

В работах [5] сделано утверждение, подтвержденное авторами экспериментально, о наличии поправок к закону скейлинга в виде R(N) = RN^d(1 + RN~"). Проведя измерения по большему ансамблю и без использования методов уменьшения шума, мы проверили это предположение. Оказалось, что ошибка измерения коэффициента R превышает его измеренное значение. Поэтому вывод о наличии поправок к закону скейлинга в виде, предложенном выше, нами не подтвержден.

Следующая часть этой главы посвящена изучению явления мульти-скейлинга [9]. Плотность частиц на расстоянии г от центра для кластера с радиусом инерции Rgyr представляется в виде g(r, Rsyr) = d,

где х = г/Rgyr- На основе предположения о наличии поправок к скей-лингу авторы предсказывают, что уже при N = 107 мультискейлинг не должен наблюдаться, т.е. D(x) = const. Проведя измерения, мы построили зависимость D{x) для разных размеров кластеров. Обнаружено, что при увеличении размеров кластера D{x) не выходит на константу, как было предположено авторами. Далее приводятся предположения относительно происхождения мультискейлинга и проводится изучение вероятности роста кластера P(r, N) на расстоянии г от центра и ее влияния

1х10т 2*10* 3x1 о' 4x101 5x10'

N

Рис. 2. Фрактальная размерность, вы- Рис. 3. Фрактальная размерность численная по ilj™ как функция S и N. D{N) в пределе 5 —> 0.

на мультискейлинг.

Глава III. Метод пробных частиц переменного размера.

В предыдущей главе показано, что зависимость D(N) не является монотонной, при этом для уменьшения ошибки измерений D на порядок требуется увеличение числа частиц в кластере в 1 млн раз, что не представляется возможным. Все это делает затруднительным предсказание свойств кластеров в пределе N —> оо.

В этой главе описывается разработанный в диссертации метод, позволяющий построить гладкую монотонную зависимость D(N), не прибегая к существенному увеличению размеров кластера. Для расчета средних но гармонической мере используется метод пробных частиц: частица двигается по обычным правилам до тех пор, пока не коснется кластера в точке г,. При большом числе пробных частиц М, среднее ¿^г, стремится к искомой величине RВо всех работах, использующих этот метод, размер пробной частицы выбирается совпадающим с размером частиц ¿о = 1, из которых построен кластер. При увеличении размеров пробных частицы <5 > 30 они будут касаться только концов ветвей, при уменьшении размера (<$ < ¿о) частицы будут глубже проникать в глубь

структуры кластера. При этом происходит изменение гармонической меры и величина R'^lp становится зависящей от <5, а с ней и фрактальная размерность кластера. Набор кривых D(N, S) для разных значений N и <5 иоказап па рисунке 2. С увеличением S фрактальная размерность увеличивается, при этом с увеличением размера кластера зависимость от S уменьшается. В пределе бесконечно малого размера пробных частиц зависимость D(N) становится гладкой функцией и имеет четко выраженное асиитотическое поведение при больших N (рис. 3).

В диссертации рассмотрен метод нахождения предела D(N, S —> 0) с использованием различных эмпирических законов. В считать, что фрактальная размерность кластера определяется не только тем, как происходит рост концов ветвей, но и его внутренней структурой, мы сделали предположение, что при уменьшении размера пробной частицы & относительно размера кластера R,jep, эффективный размер кластера можно считать больше исходного. Чтобы продемонстрировать это, мы построили зависимость D(N,S) с параметром 5, отмасштабированным на размер кластера Rdep ос Nll°. На рисунке 4 показан набор точек, соответствующий набору кривых D(N,y),y = Ö/Rdep для разных значений N. Все точки достаточно хорошо ложатся па одну кривую. Отсюда следует, что использование пробных частиц меньшего по сравнению с ¿о размера равносильно использованию больших по размеру кластеров. Это также означает более быструю сходимость различных параметров к их асимптотическим значениям.

Далее в главе изучается точное число частиц, лежащих на поверхности, число частиц кластера, тронутых пробными, и проводится анализ возможности и целесообразности измерения средних но гармонической мере с использованием всей доступной поверхности кластера. Оказывается, что практически все частицы лежат на поверхности (доступна для

5iRd

Рис. 4. Фрактальная размерность кластера, вычисленная при разных значениях 6 и N, в зависимости от безразмерного параметра S/Rdep. Разные цвета соответствуют различным значениям N.

пробной частицы размером ¿о). При этом для измерения гармонической меры вдоль всей поверхности кластера, а также мультифракталыюго спектра, требуется чрезвычайно большое число пробных частиц, не достижимое в реальном эксперименте. Глава IV. Анизотропные кластеры и их свойства.

Кластеры, выращенные на решетке, представляют не меньший интерес, чем безрешеточные. В ряде работ, посвященных исследованию таких кластеров, изучаются универсальные свойства таких кластеров и делаются противоречивые утверждения о них. Так, в работе [11] автор утверждает, что размерность кластера не зависит от типа используемой решетки. Позже это утверждение было опровергнуто в работах Туркевича и Шера [12] и в работах других авторов. Как было сказано в Главе I, сделать эффективный алгоритм, полностью соответствующий движению частиц на решетке с различной симметрией, сложно из-за то-

Рис. о. Анизотропные кластеры, построенные с числом осей анизотропии N¡v = 3,4,5,6.

го, что невозможно применить ни один из способов ускорения их движения. Микен [10] предложил использовать безрешеточный алгоритм, дополненный анизотропными правилами, применяющимися только при добавлении частиц к кластеру. Одна из разновидностей этого метода называется методом антенн - каждая частица кластера имеет антенн, при этом у всех частиц эти антенны ориентированы одинаковым образом. При касании кластера новая частица сдвигается к ближайшей антенне. Мы используем этот метод для построения кластеров с числом антенн равным 3,4,5,6,7 и 8. В пределе NJP —* оо кластеры должны полностью совпадать с безрешеточными. Для изучения свойств таких кластеров мы используем метод измерения фрактальной размерности в пределе пробных частиц бесконечно малого размера и ансамбли из 1000 кластеров по 50 млн. частиц каждого типа. Изображения первого кластера из каждого ансамбля для N¡2 = 3,4,5,6 приведены на рисунке 5. У кластеров с тремя осями анизотропии наблюдается три главных ветви, расположенных вдоль этих же осей. Флуктуации направлений роста практически не наблюдаются, различия между разными кластерами из ансамбля несущественны. Несмотря на наличие большого свободного пространства между ветвями, частицы преимущественно осаждаются только на концах ветвей. У кластеров с числом осей, равным четырем,

Рис. 6. Средняя плотность частиц на единицу поверхности для ансамбля анизотропных кластеров, построенных с числом осей анизотропии Ы{Р = 3,4,5,6.

происходит утолщение ветвей, их число также совпадает с числом осей анизотропии. При увеличении М/р визуальный анализ отдельного кластера становится затруднительным из-за роста флуктуаций. Для изучения их свойств мы построили среднюю плотность частиц на единицу площади (рис. 6) и среднюю плотность частиц по углу Р{ф). Кластеры с = 3,4 отличаются друг от друга по всем параметрам: число ветвей, зависимость Р(ф). Их фрактальная размерность убывает логарифмически с размером кластера. Минимально возможное значение размерности равно 1 (при этом объекты перестают быть фракталами). Существуют предположения, что минимальное значение Б составляет 3/2 (см., например, [13, 14]). Полученные нами данные (рис. 7) не позволяет ни подтвердить, ни опровергнуть эти теории. При > 5 все отличия в свойствах кластеров исчезают, фрактальная размерность в пределах ошибки становится одинаковой (рис. 8). По-видимому, они принадлежат к одному классу универсальности.

В главе проводится анализ и сравнение полученных результатов с работами других авторов и с теоретическими предсказаниями. Так, фрактальная размерность кластеров не совпадает с предсказанной в работах Туркевича и Шера, причем наблюдаемая зависимость И от N¡2 противоположна предсказанной ими. Проводится критический анализ предпо-

Рис. 7. Фрактальная размерность кла- Рис. 8. Фрактальная размерность без-стеров с числом антенн 3 и 4 решеточных кластеров и кластеров с

числом антенн 5-8.

ложения о независимости свойства кластеров от внутренней структуры, а также указываются возможные методы проверки этих предположений с использованием разработанных в диссертации методик генерации кластеров и их анализа. Заключение

В заключении сформулированы основные результаты работы. Публикации автора по теме диссертации

1. A.Yu. Menshutin, L.N. Shchur, Test of multiscahng in DLA model using an off-lattice kilhny-free algorithm, Phys. Rev. E 73 (2006) 011407.

2. A.Yu. Menshutin, L.N. Shchur, V.M. Vinokur, Probing surface characteristics of diffusion-limited-aggregation clusters with particles of variable size, Phys. Rev. E 75 (2007) 010401 (R).

3. A.Yu. Menshutin, L.N. Shchur, V.M. Vinokur, Finite size effect of harmonic measure estimation m a DLA model: Variable size of probe particles, Physica A, 387 (2008) 6299.

Литература

[1] Мандельброт Б.В., Фрактальная геометрия природы, Институт компьютерных исследований, Москва, 2002.

[2] А. Bunde, S. Havlin (Eds*.), Fractals and Disordered Systems, Springer, Berlin, 1996.

[3] T.A. Witten and L.M. Sander, Phys. Rev. Lett. 47 (1981) 1400.

[4] T.C. Halsey, Phys. Today 53 (2000) 36.

[5j R.C. Ball, N.E. Bowler, L.M. Sander, E. Somfai, Phys. Rev. E 66 (2002) 026109, E. Somfai, R.C. Ball, N.E. Bowler, L.M. Sander, Physica A 325 (2003) 19.

[6] R.C. Ball and R.M. Brady, J. Phys. A 18 (1985) L809.

[7] P. Meakin, J. Phys. A 18 (1985) L661.

[8] P. Ossadnik, Physica A 176 (1991) 454.

[9] C. Amitrano, A. Coniglio, P. Meakin and M. Zannetti, Phys. Rev. В 44 (1991) 4974.

[10] P. Meakin, Phys. Rev. A 33 (1986) 3371.

[11] P. Meakin, Phys. Rev. A 27 (1983) 1495.

[12] L.A. Turkevich and H. Scher, Phys. Rev. Lett 55 (1985) 1026.

[13] R.C. Ball, R.M. Brady, G. Rossi and B.R. Thomson, Phys. Rev. Lett. 55 (1985) 1406.

[14] M.N. Popescu, H.G.E. Hentschel and F. Family, Phys. Rev. E 69 (2004) 061403.

Введение

Глава 1. Алгоритм роста кластеров DLA

1.1. Алгоритмическая модель.

1.2. Вероятность возврата.

1.3. Организация памяти

1.4. Алгоритм генерации кластеров DLA

1.5. Анализ производительности алгоритма.

Глава 2. Фрактальная размерность, слабое самоусреднение и мультискейлинг в модели DLA

2.1. Определение фрактальной размерности

2.1.1. R, как среднее по ансамблю

2.1.2. R, как среднее по гармонической мере

2.2. Результаты измерения фрактальной размерности

2.3. Скейлинг положения центра масс.

2.4. Слабое самоусреднение в модели DLA

2.5. Поправки к закону скейлинга

2.6. Мультискейлинг.

Глава 3. Метод пробных частиц переменного размера.

3.1. Вычисление средних по гармонической мере с использованием пробных частиц переменного размера

3.2. Число частиц, доступное для пробных

3.3. Оценка фрактальной размерности методом пробных частиц переменного размера.

3.4. Фрактальная размерность в пределе S —» 0.

3.5. Оценка ошибок измерения

3.6. Скейлинг функции D(N, S).

3.7. Функция распределения вероятности роста.

3.8. Точное число частиц, лежащих на поверхности

Глава 4. Анизотропные кластеры и их свойства.

4.1. Алгоритм.

4.2. Влияние анизотропии на структуру кластеров.

4.3. Спектр Фурье для плотности частиц по углу.

4.4. Фрактальная размерность анизотропных кластеров.

Большинство объектов, встречающихся в природе, имеет чрезвычайно сложную структуру, которую невозможно описать простыми геометрическими формами [3, 4]. Отличительная черта таких объектов - отсутствие минимального масштаба, после которого структура объекта начинает упрощаться. Так, длина береговой линии при ее измерении линейками различной длины окажется возрастающей величиной. Чем больше будет точность измерений, тем больше будет длина линии [26]. Объекты, обладающие такими свойствами называются фракталами, при этом их отличительным свойством является наличие самоподобия (точного пли статистического).

Распространенный метод построения фракталов заключается в использовании специальной рекурсивной процедуры. Одной из таких процедур является алгоритм, предложенный Виттеном и Сандером в 1981 году [51] и получивший название агрегации, ограниченной диффузией (Diffusion Limited Aggregation - DLA). В основе алгоритма лежит идея о том, что рост агрегата происходит путем налипания частиц, двигающихся случайным образом, друг на друга. Если плотность частиц мала, то можно считать, что за один шаг алгоритма прилипает только одна частица. Размерность фракталов меньше размерности пространства, в котором он построен и в большинстве случаев не есть целая величина. Так, для нахождения фрактальной размерности модели DLA чаще всего используется соотношение вида N ос Rd, где R - размер кластера, а N - число частиц в нем.

Объекты, построенные по алгоритму Виттена и Сандера (см. рис. 1) демонстрируют развитую ветвистую структуру и, по-видимому, являются фракталами, т.к. численно их фрактальная размерность D « 1.71. Фрактальная структура возникает из-за того, что быстро растущие ветви экранируют другие части кластера, рост которых сильно замедляется.

Интерес к модели DLA связан с тем, что похожие структуры возникают в

Рис. 1. Типичный кластер DLA. различных экспериментах - при образовании языков на границе жидкостей с разными вязкостями (viscous fingering) [27], при росте колоний бактерий [11], при электроосаждении [28] и многих других [1]. Общим для этих структур является доминирование процесса диффузии, поэтому неудивительно, что их форма оказывается похожа друг на друга. Один из важных вопросов связан с классификацией таких объектов - относятся ли они к одному классу универсальности [10. 27]. Так, в ячейке Хеле-Шоу, или в пористой среде, скорость жидкости пропорциональна градиенту давления. Если же жидкость несжимаемая, то давление в такой системе описывается уравнением Лапласа: \/2р = 0. Аналогичные уравнения возникают и в модели DLA при описании ее в терминах электрического потенциала [37]. При этом давление заменяется электрическим потенциалом. Модель DBM (Dielectric Breakdown Model), являющаяся обобщением модели DLA, получается из модели DLA возведением вероятности роста в некоторую степень т/, или, в терминах электрического потенциала, Р(г) ос ) S/<p\v. При rj — 0 модель переходит в модель Идена, с равновероятным ростом в любой точке периметра. Основное отличие между моделями DLA/DBM и гидродинамическими моделями заключается в том, что в DLA рост происходит по одной частице за один шаг, а в моделях, основанных на уравнении Лапласа вся поверхность растет одновременно во всех точках. Т.к. частицы, из которых состоит кластер, имеют конечный размер, то после прилипания новой частицы распределение вероятностей меняется тоже на конечную величину. Данный факт приводит к тому, что построить хорошее аналитическое приближение пока не удалось.

Основное предположение, которое используется при построении теоретической модели, основано на допущении, что рост кластера происходит преимущественно около концов ветвей. Данная идея была впервые высказана Туркевичем и Шером в работе [50]. Предсказанные ими фрактальные размерности D — 5/3 на квадратной решетке и D = 7/4 на треугольной подтверждаются экспериментально только для случая квадратной решетки [30]. В работе Халси и Либига [17], построивших описание DLA па основе двоичной иерархии частиц, найденная фрактальная размерность составила в 2D: D = 1.66 (численно D = 1.71), в 3D D = 2.49 (численно D = 2.50), 4D в D = 3.40 (D = 3.40). В работе [40] авторы, используя метод "преобразования конечного масштаба", вычислили фрактальную размерность D = 1.66 в двумерном случае. Из приведенных данных видно, что в случае 2D совпадение аналитических и экспериментальных данных самое плохое. Как следует из теории среднего поля, фрактальная размерность связана с размерностью пространства как D = d — 1, при d —» сю, что и наблюдается в численном эксперименте.

В случае же d — 2 самым близким к экспериментальному результату можно считать результат Хастингса [19]: D = 17/10, полученный в рамках ренорм-группового подхода. Представляет также интерес и вопрос о минимально возможной фрактальной размерности в DLA на плоскости, утверждается, что D —

3/2 [6, 25].

Флуктуации и шумы, возникающие в DLA вследствие того, что добавление частиц происходит строго по одной, приводят к тому, что не удается построить непрерывную теорию среднего поля с хорошей точностью описывающую свойства кластера и позволяющую вычислить фрактальную размерность. В большинстве таких моделей фрактальная размерность оказывается существенно занижена [44].

Другое важное направление исследований связано с наличием мультискей-линга в кластерах DLA [5, 12, 13, 38, 39, 41]. Так, в работах [5, 13, 38], фрактальная размерность, вычисленная по средней глубине проникновения отличалась, от фрактальной размерности, вичисленной по радиусу инерции Rg. Данное несоответствие было объяснено наличием логарифмических поправок к £ вида f ос Rgf In N.

Кроме того, плотность частиц на расстоянии г в кластере размером R ведет себя как g(r, R) = c(x)RD^~d, х = г/R. Это означает, что для описания кластера необходимо бесконечно большое число фрактальных размерностей D{x). Однако в работах [8, 49] данный эффект был объяснен как эффект конечного размера кластера с использованием поправок к закону скейлинга и было предсказано, что уже при iV = 107 он исчезает.

В дополнение к свойствам мультискейлинга кластеры DLA обладают свойством мультифрактальности, а их структура описывается обобщенно фрактальной размерностью. Если Pi(e) вероятность прилипания частиц на поверхности кластера в области размером е, то тогда обобщенная фрактальная размерность определяется как [21] Dq = lime>o(? — I)-1 log Pi/ l°g(c)- Измерение спектра Dq при q < О оказывается очень сложной численной задачей, т.к. при q < О Dq определяется минимальными вероятностями роста, которые чрезвычайно малы вследствие сильной экранировки внутренних частей кластера [22]. Имеющиеся теоретические предсказания спектра f(a) [15, 22] требуют аккуратной экспериментальной проверки [18].

Очередной всплеск интереса к модели DLA произошел, когда Хастингс и Левитов предложили процедуру построения кластера DLA с помощью последовательности конформных отображений [14, 19, 20]. Их подход основан на решении уравнения Лапласа методом конформных отображений. При этом кластер из N частиц задается отображением w = Fjy(z) области \z\ > 1 на внешность кластера. Вероятность роста в каждой точке поверхности кластера после обратного отображения z = F^1 будет постоянной функцие. Пользуясь инвариантностью гармонических функций относительно конформных отображений, можно найти вероятность роста вдоль всей поверхности исходного кластера. Отображение F2y вычисляется итеративно как Fm — i), гДе ВИД Функции ф2у вычисляется дополнительно на каждом шаге.

Данный подход применяется как в численных, так и в аналитических расчетах. Однако из-за сложностей метода и из-за повышенных требований к точности вычислений типичные размеры кластеров, которые удается исследовать таким методом составляют не более 50 тыс. частиц1.

Наиболее удивительна связь модели роста Хеле-Шоу с теорией струн [36] а также с теорией квантовой гравитации в 2D. Условие сохранения гармонических моментов (кроме нулевого) задает набор кривых с различными Со но одинаковыми Ck- В свою очередь эта задача связана с набором уравнений интегрируемой иерархии Тоды, возникающих в квантовой двумерной гравитации.

Большое разнообразие моделей, близких к DLA, а также различных теоретических подходов требует их сравнения между собой и с точными численными данными. Применяя более совершенные технические средства, а также разрабатывая новые методы изучения таких объектов мы рассчитываем изучить асимптотические свойства кластеров, влияние анизотропии на их рост и провести их

1 Стандартным методом удается построить кластеры из 50 млн. частиц и более. классификацию на основе различий в их свойствах в пределе бесконечно больших размеров систем. Также в работе будут проверены предсказания Сомфая и др. [8, 49] относительно свойств мультискейлинга и наличия поправок к законам скейлинга в DLA.

Цель работы

1. Разработка эффективного численного алгоритма, позволяющего моделировать рост кластеров, состоящих из большого числа частиц (до 50 млн.)

2. Исследование свойств мультискейлинга кластеров DLA и проверка предсказаний Е. Somfai, R.C. Ball, N.E. Bowler, L.M. Sander [8, 49] относительно этих свойств и наличия поправок к закону скейлинга.

3. Исследование флуктуаций и свойства самоусреднения фрактальной размерности.

4. Разработка методов оценки фрактальной размерности кластеров, позволяющих повысить точность измерений без существенного увеличения размеров исследуемых кластеров.

5. Исследование кластеров, построенных с применением анизотропных локальных правил, применяемых при добавлении частиц к кластеру.

Структура диссертации

В Главе 1 описывается численный алгоритм, использующийся для генерации кластеров DLA. Данный алгоритм позволяет исследовать кластеры размеров 50 млн. частиц и более, при этом построенный алгоритм полностью эквивалентен исходной задаче и не использует методы уменьшения шума для стабилизации роста.

В Главе 2 изучается фрактальная размерность ансамбля из 100 кластеров по 50 млн. частиц с использованием различных определений длины в соотношении скейлипга. Установлено, что в пределах ошибок измерений фрактальная размерность не зависит от выбора линейной величины, описывающей кластер. Также установлено, что фрактальная размерность, вычисленная по средней глубине проникновения £ совпадает с размерностью, вычисленной по другим величинам. Наблюдаемая сложность определения асимптотических свойств кластера объясняется следствием слабого самоусреднения фрактальной размерности и наличием мультискейлинга в системе. В этой же главе проверяется существование поправок к законам скейлинга в виде, предложенным Сомфаем и др. и изучается свойство мультискейлинга при увеличении размеров системы.

В Главе 3 разрабатывается метод измерения средних по гармонической мере с использованием пробных частиц переменного размера. Данный подход позволяет вычислить фрактальную размерность кластера как функцию размера кластера N и размера пробных частиц 5. В пределе бесконечно малых пробных частиц фрактальная размерность D(N) становится гладкой функцией, что позволяет найти асимптотику D(N —л оо). Улучшение точности вычислений объяснено путем нахождения скейлинговой функции, описывающей зависимость D(N. 5). Изучено влияние применения пробных частиц переменного размера на вероятность P(r, N) роста в точке г для кластера размером N. Изучено точное число частиц кластера, доступных для пробных частиц заданного размера. Рассмотрен вопрос сложности численного вычисления минимальной вероятности роста и связанных с ней величин - обобщенной фрактальной размерности и мультифрактального спектра.

В Главе 4 с помощью метода пробных частиц переменного размера изучаются свойства анизотропных кластеров. Изучаются фрактальные размерности таких кластеров, средняя плотность частиц на единицу поверхности, средняя плотность частиц по углу и ее спектр. Проводится критический анализ предположения Туркевича и Шера о независимости фрактальной размерности от внутренней структуры кластера. Кластеры с небольшим числом ветвей, выращенные с использованием метода антенн в случае Nfp = 3,4 по всем свойствам существенно отличны от кластеров с Nfp > 5. Случай Nfp — 5 оказывается переходным между ними. Обсуждается минимально возможное значение фрактальной размерности Dmin ~ 3/2.

Основные результаты

1. Разработан эффективный численный алгоритм, позволяющий построить кластер размером до 50 млн. частиц за 3-4 часа на компьютере типа Pentium 4 3 ГГц с 2-мя Гб оперативной памяти, при этом для стабилизации роста не используются методы уменьшения шума.

2. По ансамблю из 100 кластеров, состоящих из 50 млн. частиц каждый, вычислена фрактальная размерность с использованием различных определений линейного размера R в соотношении скейлинга N ос RB. Проведено сравнение полученных результатов между собой и установлено, что в пределах ошибки измерений фрактальная размерность не зависит от выбора R. Также установлено, что квадрат ошибки определения фрактальной размерности убывает с ростом размера кластера как 1/iV0-33. Т .е. можно сказать, что для фрактальной размерности наблюдается свойство слабого самоусреднения.

3. С использованием ансамбля из 100 кластеров по 50 млн. частиц вычислен показатель мультискейлинга D{x) при разных размерах кластера и проведено сравнение полученных результатов с предсказанными в работах [8, 49]. Установлено, что поведение D{x) с ростом размера кластера не соответствует предсказанному. Также установлено, что наличие мультискейлинга нельзя объяснить поправками к закону скейлинга в виде R(N) = предложенным в работах [8, 49].

4. Предложен метод пробных частиц переменного размера для вычисления фрактальной размерности кластера D. В этом методе фрактальная размерность вычисляется по зависимости среднего радиуса прилипания частиц, вычисленного как среднее от г по гармонической мере. При этом для расчета гармонической меры используются пробные частицы размером S = 0.1 — 100, причем за единичный размер принимается радиус частиц, из которых составлен кластер. В результате фрактальная размерность оказывается величиной, зависящей от N и от S. Вычисляя предел D(N,6 —> 0), можно найти фрактальную размерность как функцию числа частиц в кластере D(N). При этом данная зависимость оказывается гладкой функцией, что позволяет находить фрактальную размерность кластера с большей точностью и сделать предположения о его асимптотических свойствах. Найдена универсальная скейлинговая функция D(N, 6/Rdep), которая объясняет повышение точности при уменьшении размера пробных частиц. Использование пробных частиц с 6 = 0.1 равносильно использованию кластера размером в 10 раз больше по Rdep или в 4 раза больше по числу частиц.

5. С использованием метода антенн для генерации анизотропных кластеров построены ансамбли из 1000 кластеров по 50 млн. частиц каждый для числа антенн Nfp = 3,4,5,6, 7,8. Вычислена фрактальная размерность D(N) для каждого ансамбля, с использованием метода пробных частиц переменного размера. Установлено, что при Nfp = 3,4 фрактальная размерность является строго убывающей величиной. При Nfp = 6, 7, 8 фрактальная размерность кластеров близка к размерности безрешеточных ансамблей. Случай Nfp = 5 является переходным. При Nfp > 5 наблюдается критическое поведение, при этом, по-видимому, получающиеся объекты относятся к одному классу универсальности. При Nfp < 5 фрактальная размерность, по-видимому, стремится к своему предельному значению 3/2 при N —> оо. Данные выводы также подтверждаются сравнением кластеров с использованием зависимости плотности частиц от угла Р(ф) и производных от нее величин.

Дальнейшие исследования по данной теме с использованием разработанных методов и средств могу включать:

1. Разработка аналитического описания метода пробных частиц переменного размера.

2. Поиск новых объяснений наличия мультискейлинга.

3. Подробное исследование влияния методов уменьшения шума на свойства кластеров, путем изучения необходимой величины М (параметр уменьшения шума) при которой происходит изменение в свойствах.

4. Совместное использование анизотропных правил прилипания частиц и стандартных правил в разной пропорции. Изучение свойств кластеров в зависимости от ее величины.

5. Поиск средств и методов вычисления минимальной вероятности роста. Публикации автора по теме диссертации

1. A.Yu. Mcnshutin, L.N. Shchur, Test of multiscaling in DLA model using an off-lattice killing-free algorithm, Phys. Rev. E 73 (2006) 011407.

2. A.Yu. Menshutin, L.N. Shchur, V.M. Vinokur, Probing surface characteristics of diffusion-limited-aggregation clusters with particles of variable size, Phys. Rev. E 75 (2007) 010401 (R).

3. A.Yu. Menshutin, L.N. Shchur, V.M. Vinokur, Finite size effect of harmonic measure estimation in a DLA model: Variable size of probe particles, Physica A, 387 (2008) 6299.

Заключение

1. Fractals and Disordered Systems / ред. A. Bunde, S. Havlin. B.:Springer, 1996.

2. Redner S. A guide to first-passage processes / S. Redner C.: Cambridge university press, 2001.

3. Мандельброт Б.Б. Фрактальная геометрия природы / Б.Б. Мандельброт. М.: Институт компьютерных исследований, 2002.

4. Морозов А.Д. Введение в теорию фракталов / А.Д. Морозов. М.: Институт компьютерных исследований, 2002.

5. Amitrano С. Multiscaling in diffusion-limited aggregation / С. Amitrano, A. Coniglio, R Meakin, and M. Zannetti // Phys. Rev. В 1991. - 44. - С. 4974.

6. Ball R.C. Diffusion limited aggregation and its response to anisotropy /R.C. Ball // Physica A 1986. - 140. - C. 62.

7. Ball R.C. Anisotropy and Cluster Growth by Diffusion-Limited Aggregation,. Physical Review Letters / R.C. Ball, R.M. Brady, G. Rossi and B.R. Thomson // Phys. Rev. Lett. 1985. - 55. - C. 1406.

8. Ball R.C. Off-lattice noise reduction and the ultimate scaling of diffusion-limited aggregation in two dimensions / R.C. Ball, N.E. Bowler, L.M. Sander, E. Somfai // Phys. Rev. E 2002. - 66. - C. 026109.

9. Ball R.C. Large scale lattice effect in diffusion-limited aggregation / R.C. Ball and R.M. Brady //J. Phys. A 1985. - 18. - C. L809.

10. Barra F. Laplacian Growth and Diffusion Limited Aggregation: Different Universality Classes / F. Barra, B. Davidovich, A. Levermann and I. Procaccia // Phys. Rev. Lett. 2001. - 87. - C. 134501.

11. Ben-Jacob. E. Response of bacterial colonies to imposed anisotropy / E. Ben-Jacob, O. Shochet, A. Tenenbaum and I. Cohen // Phys. Rev. E 1996. - 53. - C. 1835.

12. Coniglio A. Multiscaling and multifractality / A. Coniglio and M. Zannetti // Physica D 1989. - 38. - C. 37.

13. Coniglio A. Novel dynamical scaling in kinetic growth phenomena / A. Coniglio and M. Zannetti // Physica A 1990. - 163. - C. 325.

14. Davidovich. B. Diffusion limited aggregation and iterated conformal maps / B. Davidovich, H.G.E. Hentschel, Z. Olami, I. Procaccia, L.M. Sander, E. Somfai // Phys. Rev. E 1999. - 59. - C. 1368.

15. Duplantier B. Two-Dimensional Copolymers and Exact Conformal Multifractality / B. Duplantier // Phys. Rev. Lett 1999. - 82. - C. 880.

16. Halsey T.C. Diffusion-Limited Aggregation: A Model for Pattern Formation / T.C. Halsey // Phys. Today 2000. - 53. - C. 36.

17. Halsey T.C. Theory of branched growth / T.C. Halsey and M. Leibig // Phys. Rev. A 1992. - 46. - C. 7793.

18. Hanan W.H. Global structure and finite-size effects in the f(alpha) of diffusion-limited aggregates / W.H. Hanan and D.M. Heffernan // Phys. Rev. E 2008. -77. - C. 011405.

19. Hastings M. Renormalization theory of stochastic growth / M. Hastings // Phys. Rev. E 1997. - 55. - C. 135.

20. Hastings M.B. Laplacian growth as one-dimensional turbulence / M.B. Hastings, L.S. Levitov // Physica D 1998. - 115. - C. 244.

21. Hentschel H.G.E. The infinite number of generalized dimensions of fractals and strange attractors / H.G.E. Hentschel and I. Procaccia // Physica D 1983. - 8. -C. 435.

22. Jensen M.H. Multifractal structure of the harmonic measure of diffusion-limited aggregates / M. H. Jensen, A. Levermann, J. Mathiesen, I. Procaccia // Phys. Rev. E 2002. - 65. - c. 046109.

23. Kaufman H. Parallel diffusion-limited aggregation / H. Kaufman, A. Vespignani, B.B. Mandelbrot, and L. Woog // Phys. Rev. E 1995. - 52. - C. 5602.

24. Kertesz J. Diffusion-limited aggregation and regular patterns: fluctuations versus anisotropy / J. Kertesz and T. Vicsek // J. Phys. A 1986. - 19. - C. 257.

25. Kesten H. Hitting probabilities of random walks on Zd / H. Kestcn // Stoch. Proc. Appl. 1987. - 25. - C. 165.

26. Mandelbrot B. How Long Is the Coast of Britain? Statistical Self-Similarity and Fractional Dimension / B. Mandelbrot // Science 1967 -. 156. - C. 636.

27. Mathiesen J. The universality class of diffusion-limited aggregation and viscous fingering / J. Mathiesen, I. Procaccia, H. L. Swinney and M. Thrasher // Europhys. Lett. 2006. - 76. - C. 257.

28. Matsushita M. Fractal Structures of Zinc Metal Leaves Grown by Electrodeposition / M. Matsushita, M. Sano, Y. Hayakawa, H. Honjo and Y. Sawada // Phys. Rev. Lett. 1984. - 53. - C. 286.

29. Meakin P. Diffusion-controlled cluster formation in 2-6-dimensional space / P. Meakin // Phys. Rev. A 1983. - 27. - C. 1495.

30. Meakin P. Universality, nonuniversality, and the effects of anisotropy on diffusion-limited aggregation / P. Meakin // Phys. Rev. A 1986. - 33. - C. 3371.

31. Meakin P. Noise-reduced diffusion-limited aggregation / P. Meakin // Phys. Rev. A 1987. - 36. - 332.

32. P. Meakin, .The structure of two-dimensional Witten-Sander aggregates,. Journal of Physics A: Mathematical and General, vol. 18, 1985, стр-ы. L661-L666.

33. Meakin P. The structure of two-dimensional Witten-Sander aggregates / P. Meakin // J. Phys. A 1985. - 18. - C. L661.

34. Menshutin A.Yu. Test of mutiscaling in a diffusion-limited-aggregation model using an off-lattice killing-free algorithm / A.Yu. Menshutin, L.N. Shchur // Phys. Rev. E 2006. - 73. - C. 011407.

35. Menshutin A.Yu. Probing surface characteristics of diffusion-limited-aggregation clusters with particles of variable size / A.Yu. Menshutin, L.N. Shchur, V.M. Vinokur // Phys. Rev. E 2007 .- 75. - C. 010401 (R).

36. Menshutin A.Yu. Finite size effect of harmonic measure estimation in a DLA model: Variable size of probe particles / A.Yu. Menshutin, L.N. Shchur, V.M. Vinokur // Physica A 2008 .- 387. - C. 6299.

37. Mineev-Weinsfcein M. Observation of conservations laws in diffusion limited aggregation / M. Mineev-Weinstein, P.B. Wiegmann, A. Zabrodin // Phys. Rev. Lett 2000. - 84. - C. 5106.

38. Niemeyer L. Fractal Dimension of Dielectric Breakdown / L. Niemeyer, L. Pietronero, H.J. Wiesmann // Phys. Rev. Lett. 1984. - 52. - C. 1033.

39. Ossadnik P. Multiscaling analysis of large-scale off-lattice DLA / P. Ossadnik // Physica A 1991. - 176. - C. 454.

40. Ossadnik P. Multiscaling analysis and width of the active zone of large off-lattice DLA / P. Ossadnik // Physica A 1993. - 195. - C. 319.

41. Pietronero L. Theory of Fractal Growth / L. Pietronero, A. Erzan and C. Evertsz // Phys. Rev. Lett. 1988. - 61. - C. 861.

42. Plischke M. Active Zone of Growing Clusters: Diffusion-Limited Aggregation and the Eden Model / M. Plischke and Z. Racz // Phys. Rev. Lett. 1984. - 53. - C. 415.

43. Popescu M.N. Anisotropic diffusion-limited aggregation // M.N. Popescu, H.G.E. Hentschel and F. Family // Phys. Rev. E 2004. - 69. - C. 061403.

44. Rostunov T.A. Early stages of generation of two-dimensional structures by the Hastings-Levitov method of conformal mapping dynamics / T.A. Rostunov and L.N. Shchur //JETP 2002. - 95. - C. 145.

45. Ryabov A.B. Diffusion-limited aggregation: A continuum mean field model / A.B. Ryabov, E.B. Postnikov and A.Yu. Loskutov // JETP 2005. - 101. - C. 235.

46. Sadowski J.T. Single-Nucleus Polycrystallization in Thin Film Epitaxial Growth / J.T. Sadowski, G. Sazaki, S. Nishikata, A. Al-Mahboob, Y. Fujikawa, K. Nakajima, R.M. Tromp, T. Sakurai // Phys. Rev. Lett. 2007. - 98. - C. 046104-4.

47. Sander E. Fractals and fractal correlations / E. Sander, L.M. Sander and R.M. Ziff // Comput. Phys. 1994. - 8 . - C. 420.

48. Sander L.M. / L.M. Sander // Contemp. Phys. 2000. - 41. - C. 203.

49. Schwarzer S. Minimum growth probability of diffusion-limited aggregates / S. Schwarzer, J. Lee, A. Bunde, S. Havlin, H.E. Roman and H.E. Stanley // Phys. Rev. Lett. 1990. - 65. - C. 603.

50. Somfai E. Correction to scaling analysis of diffusion-limited aggregation / E. Somfai, R.C. Ball, N.E. Bowler, L.M. Sander // Physica A 2003. - 325. - C. 19.

51. Turkevich L.A. Occupancy-Probability Scaling in Diffusion-Limited Aggregation / L.A. Turkevich and H. Scher // Phys. Rev. Lett. 1985. - 55. - 1026.

52. Witten T.A. Diffusion-Limited Aggregation, a Kinetic Critical Phenomenon / T.A. Witten, L.M. Sander // Phys. Rev. Lett. 1981. - 47. - C. 1400.