О некоторых свойствах Н-выпуклых множеств тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ

, 7 г < Ч «

ИНСТИТУТ КИБЕРНЕТИКИ АН АЗЕРБАЙДЖАНА

На правах рукописи

Сербский Евгений Викторович

О НЕКОТОРЫХ СВОЙСТВАХ /-/-ВЫПУКЛЫХ МНОЖЕСТВ

01.01.09 - Математическая кибернетика. 01.01.01 - Математический анализ.

Автореферат дисйорташи на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

г. Баку- 1991 г.

Работа выполнена на кафедре математический анализ Тверского государственного университета НАУЧНЫЙ РУКОВОДИТЕЛЬ доктор физико-математических наук, доцент А.М.Рубинов ОФИЦИАЛЬНЫЕ 0Ш10НЕН1Ы

доктор фазико-магешгическях наук, профессор В.В.Гороховик доктор физико-математических наук,_ профессор Гусейнов Ф,

НЕДЛаАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ Саккт-Петербургсклй государственный университет

Защита состоится С-п0ОЛ.\ 199^, г. в Щ' чао, на

заседании специализированного совета К 004.21.02 по присуждению, учёной степени каадидата физико-математических наук в Институте кибернетики Академии Наук Азербайджана по адресу: 370141, г.Баку, ул.Ф.Агаева, 9 Отзывы на автореферат просим высылать в двух экземплярах с заверенными подписями.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института кибернетики Академии Наук Азербайджана.

Автореферат разослан - 199£. г.

Учёным секретарь специализированного совета

кандидат фаэкгсо-катвкатлчоских наук М.Багиров.

■ t Общая характеристика работы.

Актуальность теми. Работа посвящена исследованию /У-шпук-• лых множеств, которые введены в рассмотрение Кутателадэе С.С. и Рубиновым A.M. в 1971 году в связи с их исследованиями по двойственности Мшковского. //-выпуклые множества полностью определяются своой паретовской границей и поэтому служат удобной моделью для многих задач многокритериальной оптимизации. Они находят применение во всех областях, где используется двойственность Минковского: выпуклы!! анализ, некоторые разделы теории упорядоченных пространств к др. Из сказанного вытекает актуальность теми диссертационной работы.

Цель работа заключается в описании свойств //-Еипуклых множеств в следующих случаях:

1. И - подпространство в конечномерном арифметическом пространстве /Ял , упорядоченном естественны.) образом;

2. И подпространство, натянутое па чзбшёвскую систему из трех функ1Ий в пространстве нопрэривннх'функций ССС&, £j) ( упорядоченном естественным образом.

Научная новизна. В работе дано описание //-выпуклых множеств для случая, когда И бсть майорантная гиперплоскость; указана система линейных уравнений и неравенств, которой удовлетворяет паретовскал граница //-выпуклого множества в случае, когда H есть подпространство, являютееся супремалькнм генератором; с помощью этой системы дано описание паретовской граниш для случая, когда размерность И равна тр-зм. Для подпространств малой раэмораосгя полностью выяснен вопрос о возможности внутреннего описания //-выпуклых множеств. Определён и изучен координатный образ //-выпуклого множества.

Дано описание : Н-выпуклых множеств для случая, когда Н подпространство пространства С (Со, ¿2), натянутого на систему Чебышёва из трёх функций. Кроме того, рассмотрен случай, когда

Н ~ подпространство квадратных трехчленов в пространстве дважды непрерывно дифференцируемых функций ССО-, ¿3).

Методика исследования. Прк работе над диссертацией использованы методы и результаты линейного программирования, теории линейных неравенств, теории приближений,'некоторых разделов теории упорядоченных пространств.

Практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Её результаты могут быть использованы при исследовании ряда задач многокритериальной оптимизации, а также при изучении суп-ремальных генераторов.

Апробация -работы. Результаты работы докладывались на семинарах Тверского государственного университета, оэминаре по мате-г матической экономике и смежным вопросам ШЭП АН СССР, семинарах Института математики и механики АН Азербайджана и Института кибернетики АН Азербайджана.

Публикации. Основные результаты диссертационной работы опубликованы в шести печатных работах.

Структура и объем работы.' Диссертация состоит из введения, трёх глав, содержит 104 страницы машинописного текста, 12 рисунков, список литературы из 37 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ,

Во введении даётся мотивация и постановка решаемых задач, отмечены возможны© связи //-выпуклых множеств с теорией многокритериальной оптимизации, с комбинаторной теорией многогранников, приводится краткое содержание работы.

§ I " И-выпуклые множества" носит вспомогательный характер. В нем приведено ряд определений и утверждений, используемых далее.

Сформулируем определение //-выпуклого множества. Пусть Н -подмножество пространства С (О) непрерывных функций, определённых на топологическом пространства О . Для X. 6 С(О) рассмотрим множество ~У~ос ~ ^ 6 //А б сс[. Множество 1/с. // называется //-выпуклым, если существует такой ОС £ , что Если О — , Н - подпространство линейных функций в С((?), то множество V /-/-выпукло тогда и только тогда, когда оно выпукло и замкнуто. При О - { 1,2.,... I получим определение //-выпуклых множеств в .

Б § 2 "Паретовская гранит //-выпуклого множества" показано, что //-выпуклые множества восстанавливаются по своей парето-вской границе.

Пусть Дп есть Л-маркое арифметическое пространство, упорядоченное естественным образом, ЪГс Шл . Обозначил через Р( ЪГ) паретовскую границу множества 7У , т.о. множество его • максимальных элементов.

Теорема I: Для //-выпуклого множества V справедливо равенство V = ( РСУ) - /21) XI //.

В § 3 "Координатные образы //-выпуклых множеств" вводится понятие координатного образа и изучается его связь с //-выпуклыми множествами.

Подпространство Н называется минорантнкм, если Ф ф для каждого ОС 6 /Л Л . Пусть Я,Ат есть базис минорант лого подпространства И . Рассмотрим /У-выпуклое множество V из И , 1Т~ У^х , где Множеству V соответствует множество V* координат векторов множества V при данном базисе Я,..... А : <*сАс 4 ОС/,

с-г

называемое координатным образом множества V при данном базисе й/ . • • •. Я/п. • Будем считать вектор Я^ базиса равным сектору

-1 , где -1 = (-1.....-I) из

Рассмотрим пространство ¿4 п ( л'>л ) и дополним базисные /¿-мерине векторы А; = ( Я/,..., /¡¿п). подпространс-

тва // каким-либо образок до /г'-мерных векторов Яс- = ( Я' . Л/2" ..... Л£а'), . При этом вектор Д.,

из /?п дополняется до вектора Я, •=-£ ё Мп, Пусть /V* есть

оператор проектирования, сопоставляющий вектору ¿С = ( ОС,'.....

ссп.....я:"' ) из /?"' вектор я:= ( ос'.....Хл) из Лл .

Линейная оболочка векторов Я^ , ¿-¿Ж в пространстве даёт некоторое кинорантное подпространство И' . Проекция Рг/~/' подпространства И' совпадает с исходным подпространством М . Рассмотрим //'-выпуклые подмножества \и соответствующие им координатные образы = { Ы = ( Ы/ Ы/п ) 6 /¡¿т 6 • Поставим следующий вопрос. Каким образом следует дополнить векторы , С-8, гп до векторов

Д; , С- £, ГП , чтобы каждый координатный образ при йс

из !/7п совпадал бы с координатным образом при некотором

, для которого /V Й- Лб . Справедлива следующая Теорема 2: Для того, чтобы каждая координатный образ (асе Щп) совпадал 1 координатным образом при некотором

¿2- , дая которого Рг ос~ X. , необходимо, а в случае £ и достаточно, чтобы т-Сл Ц, </' <. А!* (г* О, &

у' «. П 1 * /Iе'

Теорема 2 позволяет в некоторых случаях описать /У-выпуклыэ множества большей размерности с помощью //-выпуклых множеств ма-лоЬ размерности. В § 3 приведён пример, иллюстрирующий »то утверждение,

[1 § 4 " //-отрезки, //-многогранники" сформулирована зада-ч.ч о внутреннем описании //-выпуклого множества; она {«йена в дьух случаях.

Рассмотрим подмножество Н пространства С(0) непрерывных функций, определённых иа топологическом пространства О . //-выпуклое множество вида {Л С И ■ А 6 А> / , где 6 // будем называть Н-точкой, определяемой функцией /Ь £ Н и обозначать символом //-выпуклое множество

где , ({п будем называть //-многогранником, определяемым

функциями Я, ,..., Яп и обозначать стволом

с А,,.

Если Л = 2, то //-многогранник назовём ^--отрезком. В случае, когда Н - подпространство линейных функций в пространство С(Кп) , понятие Н-точки, Н-отрезка и //-многогранника совпадают с обь'чкыми понятиями точки, отрезка и многогранника. 1'меем

Теорема 3: Пусть О - компакт и множество // обладает следующим свойством: если йе И , то функция для всех с/ У О . Если замкнутое множество с// с кадиют /I своими функциями Й,йа содержит и //-многогранник ,... • Я л ) • то множество _ О. будет //-выпуклым. при этом р = - непрерывная функция.

Представляет интерес вняснить, когда вштуглоб замкнутое множество, содержащее с каждой своей точкой Я? соответствующую //точку С , будет содержгть и кажды;! //-многогранник, порождении? его элементами и тем самим, в силу тооремн 3, будет Н~ выпуклым.

Рассмотрены простейшие ситуации. В случао, когда О-{■/,..., Л¡; т.е. и И есть одномерное подпространство в /Р.п , до-

казане возможность представления //-отрезка в впдз выпуклой оболочки двух произвольных //-точек. Для случал, когда подпространство И с йл натянуто на два линейно независимых: вектора и

, проблема решалась поэтапно. Сначала внясрилч при каг' ; условиях линеиная комбинация свекторов \\ ^ входит в выпугло» оболочку ь» ] //-точек и

Л

У', & -

\ £ £ Я, / £ 03.

С ) . Очевидно, что включение эквивалентно совместности следующей системы

V ...(а) + Ягг$г ...(в) ...(I)

а + = ЪЮ, ¿ = ...(с)

= А" ...(«О

относительно неизвестных О-с , , гдо' ¿,у - , Справедлива

Деша I: Пусть о/, и ^ суть некоторые действительные числа, причём Ц. ■+ - / 0 . Система (I) совместна тогда и только тогда, когда определители

$><!' №

имеют одинаковый знак, а знак выражения о1, + Ьц - / противоположен знаку этих определителей. ( Здесь У/ — I с = .' },

0г = / 1-Сп. : I , Ь-И-^Тг •'//'<).

Лемма I даёт необходимое и достаточное условие соотношения

Далее доказано необходимое к достаточное'условие того, что неравенство с// -V- еО - /Ч <2 является'следствием системы

* ¿-'У1- • •• ы

Предложение I: Необходимое и достаточное условие того, что неравенство с(¿—У^О является следствием системы (2) за-

ключается в совместности системы

(Г^* - =

^•дклйчителышй этап исследования привел к такому результату:

Теорема 4: Если справедливы условия: 1. Неравенство вида с*/ V- - / есть следствие системы (2); ?.. Определители

£ 6 '(/ ^ ^ положителыш, то имеет место следующее равенство

Следствие I: Пусть даны такие векторы ^ и ^ , что: I Все определители & , ^г) положительны; 2. Множество М ~ = 3/ и % = { С - Л ' I содержит не моное двух индек-

сов; 3. Существует такой индекс Со С , что

О . Тогда

тлеет место равенство

В § 5 "Описание //-выпуклых множеств для случая, когда множество Н есть майорантная гиперплоскость" исследуется задача, указанная в названии параграф. Обозначит через ^ ,..., £пч некоторый базис рассматриваемой гиперплоскости И . Для произвольного ос £ описание множества 1ГХ ={ /I £ // : Д £ ее I сводится 15 решения системы лилейных неравенств

Ну Г/ ^ ¿¿с < ссй\ ¿=/77?.. ... (з)

Известно, что решением системы (3) является алгебраическая сумма двух множеств, первым из которых является многогранник решений Ли Л) , а второе есть конус, не зависящий от точки х. . Пусть // = { ({ : £ (А) = О / , где £ = (у, ,..., /

/I I — линейный функционал на , т.е. £ (Ос) -• Занумеруем подсистемы системы (3), определяющие воркипы многогранника решений /ИСХ) , присвоив каддой подсистеме номер того неравенства системы (3), которое не вопию в подсистему. Если кзкая-та вершина входит , в многогранник У}7 ('.X.) , соответствующий точке ОС , то присвоил ей номер /с пореждяшеи её подсистемы. Множество // -•= {!,?.,.., , /1} номеров <С разобьём на дта класса - и П где = { I = ¿Л : ^ > О / , а /- - { С ~ : J¿ < <9/,

Го = { С = f/i ; ¿t а о I . Положим Н+ = {ОС £ fln \ f(*J>£>( и - I сс6Ма : < С>1. Била доказана

Теорема 5: Для любого X£tt~ множество вершин ынсгогран-т лика JH(x) совпадает с классом /I , а для любого е Н* множество вуршин многогранника -Miсовпадает с классом /7 .

Таким образом, номер ¿ершины многогранника Mix.) решений систем» (3) зависит не от самой точки X , а лишь от полупространства И~ или Н * , которому принадлежит данная точка X.

Из теоремы 5, привлекая одну теорему Ю.А.Шашкнча, легко получить критерий того, когда гиперплоскость Н является супрема-льним генератором в проотранства &п в терминах //-выпуклых множеств, Напомним, что ыинорантное подпространство И в пространстве JRn называется супремалышм генератором, если для любого X из выполняется Х = -iHtpifteН: diX}* Итак, справедлива

Теорема 6: Следующие условия эквивалентны: I. Гиперплоскость И является супремальным генератором. 2. Класо Г+ содержит по крайней мере два элемента. 3. Класс П. содержит по крайней мере два элемента.

Приведены пршеры, иллюстрирующие эту теорему. Во второй главе приведено описание паретовской границу /А выпуклых множеств в конечномерном арифметическом пространстве (¿а.

В § I "Паретовсгая гранича в случае, когда множество И есть супремальний генератор" излагается описание //-выпуклых устойчивых ограииченкых сверху замкнутых подмножеств U минорантного подпространства Н , являющегося оупремальным генератором пространства Яп . Положим X = -U'/> V и рассмотрим подмножества 1/^= = / Я 6 У : X * f , В- fji , а также подмножество U^, -= {RtH : Я 6 St/. Была доказана следующая

Теорема У: Устойчивое замкяугое ограниченное сверху подаио-я'еегьо Ус // будет //-выпукл™ тогда и только тогда, когда ра-

- II -

аенство ХГ^-У^ выполняется для всякого В.

Было доказано, что изучение максимальных элементов ^ множества "окно свости к изучению максимальных элементов £ множества ^, где /¡И. Далее было доказано следующее

Предложение 2: Если ^ есть максимальный элемент подмножества Т/*^ супремального генератора Н с , то существует такая координата р £ Е , что

Рассмотрим подмножества V Vе I Я 6 Vе: Я/ - рф ¿¡> тдв р а - элементы множества (1,2,.... /г] . Справедлива Теорема 8: Пусть подпространство И с Я.*1 есть супремалышй генератор. Устойчивое ограниченное сверху множество Ъгс // будет //-выпуклым Т01'да и только тогда, когда справедливо равенство Vе'и£>Рдля любых р- Р- Я/1 , где рфЯ и

ос = Аир V.

Используя теорему 8, мы описание максимальных элементов множества свели к рассмотрению множества ^. Это рав-

носильно рассмотрению системы

' Я,1^ +А/ ыг + ... + = ос1

Я,ры< + Я/ыг + ... ■+ Ап?** =

Я,йл, А/ Ыг + ... * ¿г ос£, С е /Тл \ {

Выразим неизвестные с/, и через о/^,..., ит из первых двух уравнений смешанной системы, и, подставив их новые значения в последние неравенства смешанной системы, № задачу описания максимальных элементов £ 6 сведём к решении системы /1-Я линейных неравенств относительно АХ - 2 неизвестных.

В § 2 "Паретовская граница в случае, когда множество /У -супремальны^ генератор, натянутый на три образующие" бил рассмотрен случай, когда такая система может быть решена до конца: Конечный суиремальный генератор /■/ натянут на систему из трЗх линейно независимых векторов Яг - ( ..., Я,-*), - 3.

Обозначим а,1 я/ ос/

I1 л? V и/ я/ а,- А/

с > л/ я/ > А/

Введен следующие множества, независящие от элемента зс

Я,

Было доказано следующее

Предложение 3: Для любого х 6 !Яп следующие условия эквивалентны: а) Либо множество ^г* , либо множество А/г~ пусто, б) Существует наибольший элемент Я, у ёАгт множества

а ^ • определяемый решениями о/, , ¿г - £ , ^ С системы

¿/л, -

/А + й/^ + й/ ^ = ^

+ /?/«<,*• ¿/^ = ...(4)

311« ^ . соответствующим наибольшему значению отношению ~7Г7 ,

/вс ^

если /(^ = (р и наименьшему значению 'д^ , если /У^ — ф.

Получен также следующий результат.

Теорема Для того, чтобы элемент С) множества Ц^. был максимальным необходимо и достаточно, чтобы либо элемент £ был наибольшим в множестве V(если наибольший элемент в мнсжест-

существует), либо £ есть произвольный элемент из мио-

ве

жества Р (еели наибольший элемент не существует). Поставленную задачу решает следующая

Теорема 10: Дня того, чтобы замкнутое усгойчивсе ограниченное сверху множество Т/ супремального генератора И , натянутого на три образующие било /-/-выпуклым, необходимо и достаточно,

чтобы множества не пусты для любых неравных координат

¿ и р ; при этом максимальными элементами множества V являются - либо наибольшие элементы множества (если они существуют), либо люоне элементы множества ТТ^'Р (если наибольшего в множества

VbP элемента не суиеотвует).

В условиях предложения 3 максимальные элементы определяются системой (4) как двухпараметричсское семейство элементов множества ~U~x • 3то обстоятельство позволяет существенно упростить отыскание максимальных элементов.

Приведён пример при /1-4. Пусть И - подпространство, натянутое на систему /г, - (1,1,1,1), f(¿ = (а,0,0,0), Ц^ - (0,/3 , 0,0). Этот супремальный генератор обладает тем свойством, что для любых элементов ни одно из множеств и /V¿ не пусто. Если же в качестве образующих подпространства Н взять систему Д, = = (1,1,1,1), Яг = (в,0,0,0), Яг = ( Ы. , $ ), то супрем-

альный генератор обладает тем свойством, что существует такой йс , что либо Лу , либо А// пусто.

В третьей главе приведено описание паретовской границы //-выпуклых множеств в пространстве

С(са, éj) непрерывных на отрезке

СО, ¿J функций. -

. В § I "Случай чебншопского пространства" приведено описание //-внпуклнх множеств для случая, когда подпространство И натянуто на систему Чебышёва, состоящую из трэх функций

3

н ---• I Я е Cica, ¿3) : A^TZ d¿ #¿ i

L-J

Рассмотрим множество SI =U¿/¡ t3, ir)*- C'l éJ h 4 ¿S ' /у /

и отображение </> ; С (Cñ, ¿j) —* Су ( S~¿) , где Су (S2) - пространство непрерывных и ограниченных фунющй, отображающих множество

SI в К. . Обозначим через СР множество, состоящее из .Цушидай видя frOt) ~ ( ОС ( i,) , X.Í l¿) ,CCC¿3) , X¿ ¿Y) ),

где ОС С Понятно, что ф является подпространством

в пространстве Су (Л, 4 2) . Рассмотрим п с. ср , где и множество . Для описания максимальных

элементов множества. 7/^ отметим,, что неравенство Я £ X равносильно системе 3

Ц. ...(5)

Система (5) представляет собой систему линейных неравенств относительно неизвестных о1( , Ыг , с матрицей

я,ш лгш /¡3 (

Я, Ut) &гаг) Я3 (¿г)

Я,ш Лгш я3и>) кя<ш Лг(и) я3 а,) /

Чэрез А; обозначай определители третьего порядка, полученные вычёркиванием t-ой строки из данной матрицы. В главе I било показано, что И = (О) , где jz (})= А/ït- АцЪ+^зЪ - Ây }f. Тек как Tl представляет собой гиперплоскость в R ^ , то здесь применимы результаты § 5 главы I. Обозначим через - ff,

Разобьём множество на классы: (Г* - {т £ £2 : £

Символом V; ( т, ос) обозначим вершину многогранника С X) решений састемы (5) при определителе A¿ , а черьз êcCç) - произвольную точку на одном из ребер конуса fC^i^t) этой же подсистемы. Положим

Г+ : V£u, х.) 6/И^ esc) €

Г.1 - \L~iji: y ¿il, X) e /Л^ссс) Vï € j,

Го - { С = : Ус (V, зЬеМг £*) Г- г\ Г+ = ф.

Била доказана следующая

Теорема II: Для любой иектор-^нкпии X. найдётся та ко о разбиение множества Л ла классы , Т^ , , что, если элемент К_ из , то он представим следующим образом

С б; с Т) Уг (Т, Ос) 4- С ¿X СО (V), Ъ £ Т* , ¿Ы+ ii.ro г_

О, ¿V (V = /,

К СО*

< ИГ 6£ со \/сСс, х) ^ С £с сс)££

В£ т >, о, сю --- У,

V Ст, я) С ¿£ (а¿¿сг), т €

С с

где ( С, 2) , , т € . Наоборот, если Лб

и представим в указанном выше виде, то имеет место включение элемента Л. в множество

Дальнейшие исследования привели к следующему утверждению. Предложение 4: Пусть функция X такова, что система функций Я/ , , , Эс является чебышёвеной системой, то множество Йи одно из множеств Й* или пусто. Тогда, если, например, Й^- - пусто, то формула предыдущей те ере.!/,и примет ВИД * С? Э,- С Г) V¿ (<с, ОС.) + ЕЗ £С С Г) ¿¡¿(п, <с е £1.

В § 2 "Чебшёвская система, состоящая из функций I, I, приведено описание //-выпуклых множеств в случае, когда чебншёв-ская спстема состоит из функций I, -Ь , ¿г . В Сл (ГЛ, В]) ^ао-смотрш конус и^[Яе Сг(со, ¿Л : Л = о ¿г ■+ 61 -+ с, а * ¿>/

множество 7/$ = { Я £ Н х А И) ** V ¿€ ¿4/3] для $ £

е Cj.Ua. Зз)},

множество ЪГ/'х^еЦ : ¿Ш - it6.il. Положим Ц = У. [ Щ " : £ з! и рассмотрим множество

и = {Яс N : 3 £ <? У^ такая, что . Справедлива

Теорема 12: Множество V С Н является //-выпуклым в том и только том случае, когда совокупность всех максимальных элементов этого множества представляется однопараметрическим семейством парабол вида = рСС} + р'юИ ~ V + & (4 - V) г,

л к. ■ / РШ-РЮ-Р'юи-гУ I

где рбСгСы,р7 и -^Р-

При доказательстве теоремы 12 существенную роль играла не пустота множества У.^ = / $ € Щ : ^С'О-^сс)]. Предположение о том, что 6 СгЕо/,р] понадобилось только для того, чтобы гарантировать эту непустоту. Было доказано следующее

Предложение 5: Пусть ре С, С^р] и £ . Всякое

однопараметрическое семейство функций вида

РиЫ)= рсео) + У-а-ъ*)*,

где = теп 10, ц _ с0)г }

описывает //-выпуклое множество: если Я € ~1Гр , то существует таком параметр Т , что Я £ .

Показали, что имеет место и обратное

Предложение 6: Всякое //-выпуклое множество описывается однопараметрическим семейством парабол,

И было доказано следующее корректирующее Предложение 7: Необходимым и достаточным условием непустоты множества является соотношение г

То & ~

Основное содержание диссертации в следующих публикациях:

I. Сербский ВоВ, Описание //-внпуклых множеств, определяемых

гиперплоскостью // Применение функционального анализа в теории приближений.- Калинин, 1974,- Вш.2,- С.112-120.

2. Сербский Е.В. Описание //-выпуклых множеств для подпространства Н , натянутого на чебышёззскую систему // Применение функционального анализа в теории приближений,- Калинин, 1974.-Вып.4,- С.110-115.

3. Сербский Е.В. О некоторых свойствах /-/-выпуклых множеств // Применение функционального анализа в теории приближений,- Калинин, 1977,- С.125-132,

4. Сербский Е.В, Описание //-выпуклых множеств в одном случае // Применение функционального анализа в теории приближений.-Калинин, 1979.- С.123-128.

5. Сербский Е.В. Максимальные элементы //-выпуклых множеств в пространстве // Применение функционального анализа в теории приближений,- Калинин, 1981.- С.89-99.

6. Сербский Е.В. Координатные образы //-выпуклых множеств // Применение функционального анализа в теории приближений.-Тверь, 1990.- С.109-116.

Подписано в печать 19.II.91. Усл.печ.л. 1,0. Уч.-изд.л. 0,7.

Тира:« 100 экз. Заказ ¿У5У_____

Отпечатано на ротапринте ТвГУ.