О непрерывных, двоичных мультивсплесковых преобразованиях и мультивсплесках Алперта тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

СЕВЕРОВ ПАВЕЛ ГРИГОРЬЕВИЧ

О НЕПРЕРЫВНЫХ, ДВОИЧНЫХ

МУЛЬТИВСПЛЕСКОВЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЯХ

И МУЛЬТИВСПЛЕСКАХ АЛПЕРТА

01.01.01 — вещественный, комплексный и функциональный анализ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 2 Р.НВ 1Ш

Воронеж — 2011

005007625

Работа выполнена в Воронежском государственном университете.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук с.н.с. Новиков Игорь Яковлевич

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук профессор Черных Николай Иванович

Защита состоится 17 января 2012 года в 15:10 на заседании диссертационного совета Д 212.038.22 при Воронежском государственном университете, 394006, г. Воронеж, Университетская пл., 1, ауд. 335.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Воронежского государственного университета.

IX

Автореферат разослан « » декабря 2011 г.

доктор физико-математических наук профессор Баскаков Анатолий Григорьевич

Ведущая организация:

Санкт-Петербургский государственный

университет

диссертационного совета

Ученый секретарь

Ю. Е. Гликлих.

Общая характеристика работы

Актуальность темы.

В рамках развития теории bciijicckob в 90-х годах зародилась теория мультивсплесков. Для классического (скалярного) случая используется од-па функция ф, которая порождает ортонормнрованный базис пространства i2(R) своими сжатиями и сдвигами {2^2ф(2^ - к) : j,k £ Z}. Для муль-тислучая ортонормнрованный базис пространства L2(Е) образуют функцин - к) : 0 < i < г - 1 ,j,k е Z}, получающиеся сжатиями и сдвигами конечного набора функций {^¿К^о1, гДе г называют размерностью мультивсилеска. Большой вклад в развитие мультивсплесков сделали Alport В., Geronimo J., Hardin D., Kcinert F., Massopust P., Strcla V. Одно из преимуществ мультивсплесков состоит в возможности построения порождающих функций, которые обладают более хорошими свойствами по сравнению со скалярным случаем, например: локализованное^ по времени и частоте, симметрия, гладкость, количество нулевых моментов.

Несмотря на активное развитие теории мультивсплесков и наличия большого числа зарубежных публикаций, в данной теории не рассматривались непрерывное и двоичное мультивсплесковые преобразования. Актуальным является определение и исследование непрерывного и двоичного мульти-всилесковых преобразований. Также представляет интерес с точки зрения анализа особенностей функций построение «алгоритма с дырами» двоичного мультивснлескового преобразования. Для мультислучая появляется возможность построения из кусочно-полиномиальных функций мультивсплесков с компактным носителем, что для скалярного случая невозможно. Примерами таких мультивсплесков являются мультивсплески, которые ввел в рассмотрение Алиерт. Представляет интерес исследование временной локализован-ности этих мультивсплесков, а также их аипроксимационпых характеристик.

Цели работы.

• определить непрерывное и двоичное мультивсплесковые преобразования. Исследовать представления функций при помощи этих преобразований. Построить «алгоритм с дырами» двоичного мультивснлескового

преобразования;

• найти радиусы мультимасштабирующих функций и мультивсплесков Алперта и изучить их аппроксимацнонныс характеристики.

Методика исследования. В диссертации использовались методы теории функций и функционального анализа.

Научная новизна.

• Определены понятия непрерывного и двоичного мультивсплесковых преобразований.

• Доказаны теоремы о представлении функций при помощи непрерывного и двоичного мультивсплесковых преобразований.

• Доказано, что ортогональный мултивсплсск порождает разбиение единицы.

• Разработан «алгоритм с дырами» двоичного мультивсплсскового преобразования.

• Найдены радиусы мультимасштабирующих функций и мультивсплесков Алперта.

• Изучены аипроксимациоппые характеристики мультивсплесков Алперта любой размерности.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы для дальнейшего исследования мультивсплесков, в частности для изучения аппрокси-мациопиых свойств и свойств локализованности.

Аппробация работы. Результаты данной работы докладывались на конференциях: International Conference «Wavelets and Applications», St. Pctcrburg, Russia (2009); Саратовская зимняя математическая школа «Современные проблемы теории функций п их приложения», посвященная 125-летию со дня рождения В.В. Голубева и 100-летию СГУ, Саратов (2010); International Conference «Banach Spaces Geometry», St. Petcrburg, Russia

(2010); Воронежская зимняя математическая школа «Современные методы теории функций и смежные проблемы», Воронеж (2011); Казанская летняя научная школа-копферсиция «Теория функций, ее приложения и смежные вопросы», Казань (2011).

Публикации. Основные результаты опубликованы в работах [1]-(7]. Из совместной работы [3] в диссертацию включены только результаты автора. Работа [4] соответствует списку ВАК РФ.

Структура и объем работы. Диссертация объемом 101 страница состоит из введения, трех глав, разделенных на параграфы, и списка литературы, содержащего 63 источника.

Основное содержание работы.

Работа организована следующим образом. В главе 1 содержатся обозначения и вспомогательные результаты из теории мультивсплссков, необходимые для изложения основного материала. Определение 1.2.1 Вектор-функция

<Р= (<А), ^ь > <А--1)Г (1-2-1)

называется мулътимасштабирующей, если она удовлетворяет матричному мультимасштабирующему уравнению

где функции

¥>(4) = #£<р(2£ — к),

кеж

<Р0, Ч>!>•••, Фг-1 € ¿1

(1.2.3)

1 шх ¥>1(*)

\Pr-lit);

ке1

/ и(к) гг00

Н(к} п10

■Лк)

\ (г—1)0 "(7—1)1

Ч(к) ^01 и(к)

(к)

■ ■■и

I Лк) г0(г-1) ■ (к) \г-1)

(к)

(г-1)(г-1)/

МЫ - к)

^Рг-1(24 - к)^

где Нь называются коэффициентами мулътимасштабирующего уравнения. Определение 1.2.3 Маской лщлътимасштабирующего уравнения назовем

матрицу, состоящую из тригонометрических полиномов

1 fc,

В образах Фурье мультимасштабирующее уравнение (1.2.3) принимает вид

= н{ттт. (1.2.5)

Определение 1.3.1 Кратномасштабпъш анализом (КМА) размерности г называется последовательность вложенных замкнутых подпространств L2(R)

• • ■ С V-! С V0 С Vi С V2 С • • • ,

удовлетворяющая следующим свойствам

ОС

1. и VJ = L2(R);

j=-00 j

3. f(t) EVjt* f(2t) e Vj+i для всех j 6 Z; 4- f(t) е^о /(< - ir) для всех j, k G Z;

5. существует вектор функция ip = (щ, <p\, ••• , </?r_i)T такая, что функции

- k) : I = О, ...,r-l, £eZ} (1.3.1)

образуют базис Рисса в пространстве Vo, что по определению означает, выполнение двойного неравенства

А\\с\\1{гу <

для любой последовательности с G i2(Z)г, где А и В константы и О < Л < В < 00.

Вектор-ф)ункция (р называется мулътимасшт,абируюгцей для данного КМА. Если функции

{ipi(--k) :/ = 0, ...,r-l, fceZ}

г— 1

*ez ¿=о

< ^INliV

«ЛЯП

образуют ортогональный базис, rno tp называется ортогональной. Из определения 1.3.1 следует, что

Vj = span {2J/2ipi(2i ■ -к) : 0 < г < г - 1, к £ Z}.

Обозначим ортогональное дополнение Vn до Vn+\ как Wn, тогда пространство Vn+i будет прямой суммой V,, и Wn

Vn+i = V„ © Wn. Из свойств 1 и 2 определения 1.3.1 следует

71-1

К = 0 Wk-

¿=—00

Теорема 1.3.1 Для ортогональной мулътимасштпабирующей вектор-функции ip порожденной КМА размерности г ср = (tpo, ipi, ■ ■ ■ , <рг-\)Т имеют место следующие свойства

1. @ЙО = £2(К); i

2. Wk-LWj если k ^ п;

3. f(t) £ Wj f{2t) е Wj+1 для всех j е Z;

4. f(t) € Wj Ф» f{t Wj для всех j, ке Z;

5. Существует вектор-функция ф = (фо, Фг, ••• , Фт-i)T £ L2 ортогональная ip такая, что

{ф1{- - k) : I = 0, ..., г - 1, к € Z} (1.3.2)

образуют базис Рисса в пространстве Wq.

Определение 1.3.2 Вектор-функцию ф из теоремы 1.3.1 назовем R-мулътивсплеском. Если же система функций (1.3.2) образует ортонорми-рованный базис, тогда вектор-функцию ф назовем О-мультивсплеском. Из того, что ф1 € Vi, справедливы соотношения

= (1.3.4)

к

Определение 1.3.3 Вектор-функцию ф, удовлетворяющую равенству (1.3.4) назовем, Б-мулътивсплеском. Глава 2 состоит из трех параграфов.

В первом параграфе вводится понятие непрерывного мультивсплескового преобразования.

Введем обозначение

и'</(£, *) := (/*Ш) = щ! <11,

где 5 ф 0, / 6 Ьг и = =±).

Определение 2.1.1 Непрерывным мультивсплеековым преобразованием назовем вектор-функцию

Теорема 2.1.1 Пусть вектор-функция ф € ¿2(®)г, такая что

00, (2.1.2)

к

тогда для любой / € Ь2(К) справедливы равенства

м-»

К М '-и у

и

г—1

/ |/(0!2Л = ¿//Е I(2-1-4)

Предположение

м к ,_0

называется условием допустимости.

Второй параграф посвящен определению и изучению двоичного мультивсплескового преобразования.

Масштабный параметр в из определения 2.1.1 иоложем равным двоичной последовательности Обозначим

щт, := (/ * фГко = ¡т л.

к

Определение 2.2.3 Последовательность вектор-функций IV/(£, 2"') = (Ио/(£, 2~')... ГСг-х/К, 2^))

назовем двоичным мультивсплеековым преобразованием.

Определение 2.2.3 Вектор-функцию гр е будем называть дво-

ичным мулътивсплеском, если существуют две константы А и В, такие, что 0<А<В<оои

оо г—1

^ < Е Е Ш2~'и)\2 < В. (2.2.9)

Условие (2.2.9) будем называть условием устойчивости. Следующая теорема показывает, что двоичный мультпвснлсск удовлетворяет условию допустимости.

Теорема 2.2.2 Пусть ф — двоичный мультивеплеск, тогда

А]п2 < [ ¿М^<В1п2 (2.2.10)

о Ш

и

V л — п ^

/ _1

А\п2<

¡=0

Определение 2.2.4 Вектор-функцию ф = (ф0, фг,...,6 £2(К)Г назовем двоичным двойственным двоичного мультивсплеска ф = (Фо, Фи ■ ■ ■ ,Фг~\), если для любой функции / € Ь2(Щ выполняется равенство

00 Г_1 °Г

/(*) = ЕЕ/

3=~ оо 1=0 ^

Теорема 2.2.5 Если — двоичный мулътивсплеск, тогда

00 г —1

т\12{Щ < Е E2JI2"J')iiLm ^ ßii/uW (2.2.18)

j=-oo ¡=0

Если ~ф ■удовлетворяет соотношению

00 г —1 л

= 1, (2.2.19)

оо г—О

то

ос г-1 о?

/(*) = Е Е / - (2-2.20)

j=-00 _00

Пусть уз — мультимасштабирующая вектор-функция и ?/> — S-мультивсплеск.

Теорема 2.2.7 Если выполняется равенство

Н*{ф)Н(ф) + G*(£/2)G(£/2) = (2.2.31)

тогда

$*(05К0 + = (2.2.32)

Теорема 2.2.8 Пусть ортогональная мультимасштабирующая вектор-функция ip и 0-мулътивс.плеск ф ортогональны, а соответствующие матричные коэффициенты вещественны, тогда

00

Е &(2kL0)$(2kLj) = 1. (2.2.39)

k=—oo

В третьем параграфе рассматривается «алгоритм с дырами» двоичного мультивснлескового преобразования.

Пусть гр — двоичный S-мультнвсплеск, двойственный к S-мультнвснлеску

■ф.

Теорема 2.3.9 Если

тогда

00 л £ $ {У иЩУ и) = 1.

¿=-00

Пусть л;[п] некоторая числовая последовательность. Последовательность гг-^т] получается из х[п\ подстановкой 2-' — 1 нулей между каждыми двумя значениями последовательности, т.е.

¡х\п], а = О,

(2.3.49)

О, 9=1,...,2^-1

Днскретпое преобразование Фурье последовательности х3[т] выглядит следующим образом

хЦш) = х{2'ш).

Пусть \нп = Г/г'"') } — набор матричных коэффициентов муль-I \ / i,m-OJ п=щ

тнмасштабирующего уравнения, а (сп = (д^^) } — соответствую-

I V / г,т=0-* т(—т/ц щне матричные коэффициенты уравнения для З-мультнвсплесков.

Обозначим последовательности

/ /„->N"1

h,m ■■= (hj"J) ' ; gim := (д%>)

\ / П=П о v / п—щ

Обозначим

а?[п] :=< f(t),ipi(t - п) >= J /(t)<ft(i - n)dt,

R

aftn] :=< f(t),ípf'(t — п) >, (2.3.51)

где j > 0 и

Под двоичными мультивсилесковыми коэффициентами будем понимать d¡[n) := WJ(n, У) =< f(t),r[)f(t -п)>. (2.3.52)

Теорема 2.3.10 Для любого j > 0 справедливы формулы разложения

г—1

= v^aj,*/^"]. (2.3.53)

m=0 11

г-1

m—O

и восстановления

= (2-3.54)

т=О

= + (2-3.55)

Двоичное ыультивсилссковое представление последовательности определяется как множество мультивсилесковых коэффициентов масштаба, вплоть ДО плюс коэффициенты (а/)^ :

(2.3.G5)

Глава 3 посвящена изучению некоторых характеристик конструкции Ал-нерта. В частности рассматриваются непрерывные и дискретные моменты, радиусы, порядок аппроксимации.

Опредление 3.1.1 Для вектор-функции

f = иО, /ь • • ■ > /г-\)Т, /о, • ' ■ , /г-1 € центры ее компонентов определяются по формуле

%ь = тшт'

Л

а соответствующие радиусы по формуле

д2 = к_

л !\1М2м '

к

Теорема 3.1.1 Яусгпъ <р — мулътимасштабирующая вектор-функция Алперта. г — ее размерность, тогда

4(2г 4- 3)(2г + 1) 4(4г2 — 1)' откуда следует, что

lim Д^. = -т=. г-юо д/8

Следствие 3.1.3 Для любого п € М, для полиномов Лежандра, справедливы следующие интегральные соотношения

I . / 1 ч 2

I адол = ^уд/ ьрп№

' 1 \2

(2п + 3) , 1

1 '

Следствие 3.1.4 Для любого п е М, для полиномов Лежандра, справедливо соотношение

1

2 п

4п2 - Г

Следствие 3.1.5 Для любого пбМ, для полиномов Лежандра, справед-

ние 1

ливо соотношение

I_/ п2 (п + I)2

(2п + I)2 ( 2п - 1 + 2п + 3 -1 4

Определение 1.4.1 Определим к-ый непрерывный момент вектор-функции :

/** = У Хкф)йх. (1.4.1)

Непрерывные моменты представляют собой вектора размерности г. Следующие соотношения показывают взаимосвязь между непрерывными моментами и преобразованиями Фурье вектор-функциями :

= %/2тгг*£*0(О). (1.4.2)

Определение 1.4.5 Матричные коэффициенты мультимасштабирую-гцего уравнения {Нк}ке1. удовлетворяют правилу сумм порядка р, если существуют вектора у0,..., ур_1; где у0 ф О, для которых выполнено

/п\ , , „ I У*„, дляв = О

£ ]2 (—г) г/(£> Я(7гй) = { Уа' (1.4.11)

<=о ^ (О*, для.5=1.

для п = 0,... ,р — 1.

Вектора у1 называются аппроксимациоииыми векторами. Теорема 3.2.2 Пусть имеет размерность г, тогда если первые г его непрерывных моментов представить в виде столбцов матрицы, тогда получившиеся матрица будет верхнетреугольной и первый элемент г-ого

непрерывного момента равен ±

/

\

О ап

«1(г-1)

(3.2.23)

^ 0 0 • • • а(г_1)(г_1) I

Теорема 3.2.4 Пусть <р имеет размерность г, тогда если аппроксима-ционные вектора для правила сумм представить в виде столбцов матрицы, тогда

1. получившиеся матрица будет верхнетреугольной

Аг =

Я(ю ао1 О ац

О О

а0(г—1) «1(г-1)

\

(3.2.30)

^ " и ■ • ■ а(г_1)(г_1)

2. если рассмотреть матрицу, составленную из первых к строк и к столбцов матрицы (3.2.30), тогда столбцы получившейся матрицы будут аппроксимационными векторами соответствующими правилу сумм порядка к для масштабирующих коэффициентов мультимас-штабиру7ощего уравнения (1.2.3).

Список публикаций по теме диссертации

[1] Severov P. G. Dyadic Multiwavclct Transforms / P. G. Scverov // Wavelets and Applications : abstr., International Confcrcnce, Junc 14-20. 2009, St. Petcrburg, Russia . - СПб, 2009 . - С. 55.

[2] Северов П. Г. Условие Кальдсрона для мультивсплесков / П.Г. Северов // Современные проблемы теории функций и их приложения : материалы 15 Саратов, зим. шк, посвященной 125-летию со дня рождения В.В. Голубева и 100-летию СГУ, Саратов, 27 янв. — 3 февр. 2010 г. — Саратов, 2010 . - С. 155-156.

[3] Северов П. Г. О мультивсилесковых преобразованиях / И.Я. Новиков, П.Г. Северов // Вестник Воронежского государственного университета. Сер. : Физика. Математика . — Воронеж, 2009 . — № 2. — С. 96-100.

[4] Северов П. Г. О двоичном мультивсплссковом преобразовании / П.Г. Северов // Вестник Самарского государственного университета. — Самара, 2010 . — (Естественнонаучная серия) . — № 2 (76). — С. 57-71

[5] Severov P. G. Calderon Condition for Multiwavelets / P. G. Severov // International Confcrcnce Banach Spaces Geometry : Septcmber 5-11. 2010, St. Pctersburg, Russia, abstr. — СПб, 2010 . - P. 39-40.

[6] Северов П. Г. Быстрый алгоритм для мультивсплесков / П.Г. Северов // Современные методы теории функций и смежные проблемы : материалы Воронеж, зим. мат. шк. — Воронеж, 2011 . — С. 305-306.

[7] Северов П. Г. О константах неопределенности для мультивсплесков / П.Г. Северов // Теория функций, се приложения и смежные вопросы. Сер. Труды математического центра им. Н.И. Лобачевского : материалы 10 междунар. Казанской летней науч. шк.-конф. (Казань, 1-7 июля 2011 г.) . — Казань, 2011 . — Т. 43. — С . 288-289.

Работа [4] соответствует списку ВАК РФ.

Подписано в печать 07.12.11. Формат 60*84 !/16. Усл. печ. л. 0,93. Тираж 100 экз. Заказ 1563.

Отпечатано с готового оригинал-макета в типографии Издателъско-полиграфического центра Воронежского государственного университета. 394000, Воронеж, ул. Пушкинская, 3

Введение 2

I Вспомогательные сведения 17

§1 Обозначения .17

§2 Мультимасштабирующая вектор-функция .20

§3 Кратномасштабный анализ и мультивсплески.23

§4 Некоторые характеристики вектор-функций. 30

4.1 Моменты .30

4.2 Порядок аппроксимации. 31

§5 Конструкция Алперта. 33

5.1 Построение мультимасштабирующей вектор-функции Алперта.33

5.2 Построение О-мультивсплесков Алперта .38

II Мультивсплесковые преобразования 44

§1 Непрерывное мультивсплесковое преобразование.45

§2 Двоичное мультивсплесковое преобразование.47

2.1 Определение двоичного мультивсплескового преобразования и условие устойчивости.47

2.2 Двойственные двоичные мультивсплески.50

2.3 Разбиение единицы.55

§3 «Алгоритм с дырами» для Э-мультивсплесков.62

3.1 Двойственные двоичные 8-мультивсплески.63

3.2 «Алгоритм с дырами».66

III Характеристики конструкции Алперта 73

§1 Радиусы.73

§2 Моменты и порядок аппроксимации.83

Актуальность темы.

Теория всплесков - интенсивно развивающееся направление, которое возникло в 80-х и лежит на стыке теоретической математики, прикладной математики и информатики. У истоков этой теории стоят Grossmann A., Morlet J., Meyer Y., Daubechies I., Chui C., Mallat S. и т.д. В России данной тематикой занимаются Новиков И.Я., Осколков К.И., Петухов А.П., Протасов В.Ю., Скопина М.А., Фарков Ю.А. Существуют несколько сотен тысяч англоязычных публикаций по теории всплесков. Среди этих работ большинство носит прикладной характер. Количество русскоязычных статей слишком мало. В то же время существует ряд переводных монографий [47, 48, 53, 62, 63]. Первой монографией, написанной российскими авторами, является [54]. Имеются также работы обзорного характера: статьи [43, 44, 49, 55] и работы предназначенные для специалистов в области прикладной математики и обработки функций, сигналов и изображений. Например в книгах [50, 61] уделено внимание применению всплесков в системах компьютерной математики (Matlab, Mathcad, Mathematica).

В рамках развития теории всплесков в 90-х годах зародилась теория мультивсплесков. Для классического (скалярного) случая используется одна функция ф, которая порождает ортонормированный базис пространства Ь2(Ж) своими сжатиями и сдвигами {2^2ф{2^и> — к) : j, к G Z}. Для мультислучая ортонормированный базис пространства L2(M) образуют функции {2:'/"2ф{(2^со - к) : 0 < г < г — l,j, к € Z}, получающиеся сжатиями и сдвигами конечного набора функций {V>¿K=o, где г называют размерностью мультивсплеска. Когда размерность мудьти-всплеска равна единице, мультивсплеск становится обычным всплеском, имеющим одну масштабирующую функцию и одну всплеск функцию. Мультивслеск имеет две или более масштабирующих функции и всплеск функций. Мультивсплески являются естественным обобщением скалярного случая. Однако, если для скалярного случая построение всплеска для соответствующей масштабирующей функции осуществляется с точностью до фазового множителя, то для мультислучая задача построения мультивсплеска по соответствующей мультимасштабирующей функции, задача не тривиальная, более того и неоднозначная. Общие рекомендации по построению мультивсплесков можно найти в [26]. Изучение муль-тивсплесков было инициированно Goodman, Lee и Tang. Затем Goodman и Lee исследовали характеризацию масштабирующих функций всплесков. Ими было введено понятие кратномасштабного анализа размерности г [19]. Jia сконструировал класс непрерывных ортогональных мультивсплесков размерности 2, имеющих симметрию, короткий носитель и ортогональность. Специальный случай мультивсплесков размерности 2 и носителем (0, 2) был изучен Chui и Lian. Большой вклад в развитие мультивсплесков сделали Alpert В., Geronimo J., Hardin D., Keinert F., Massopust P., Plonka G., Strela V. Одно из преимуществ мультивсплесков состоит в возможности построения порождающих функций, которые обладают более хорошими свойствами, а именно мультивсплески могут комбинировать в себе ортогональность, симметрию, высокий порядок аппроксимации, большое количество нулевых моментов, в то время как для скалярного случая это невозможно. Эти свойства желательны в приложениях, поэтому мультивсплески используются для решения многих прикладных задач [21, 23, 30].

Несмотря на активное развитие теории мультивсплесков, в России работ по данной тематике нет, за исключением нескольких источников в которых дана справочная информация, либо основные положения. Например в [46, глава 8] даны основы данной теории с позиции обработки сигналов. Несмотря на наличие большого числа зарубежных публикаций, в данной теории не рассматривались непрерывное и двоичное муль-тивсплесковые преобразования. Актуальным является определение и исследование непрерывного и двоичного мультивсплесковых преобразований. Также представляет интерес с точки зрения анализа особенностей функций построение быстрого алгоритма двоичного мультивсплескового преобразования. Для мультислучая появляется возможность построения из кусочно-полиномиальных функций мультивсплесков с компактным носителем, что для скалярного случая невыполнимо. Примерами таких мультивсплесков являются, мультивсплески, которые рассмартивались Алпертом и рядом других авторов [1, 2, 3, 7]. Мультивсплески Алпер-та являются обобщением всплеска Хаара [33, 51] заменой единственной масштабирующей функции г масштабирующими функциями. Каждая из этих функций получается из соответствующих полиномов Лежандра, путем их перенормировки, масштабирования и сдвига. Соответствующие мультивсплески Алперта строятся путем применения несколько раз процедуры ортогонализации Грамма-Шмидта. Данный способ построения характерен только для конструкции Алперта и может быть найден в работах [1, 3]. Представляет интерес исследование временной локализо-ванности этих мультивсплесков, а также их аппроксимационных характеристик.

Цели работы.

• определить непрерывное и двоичное мультивсплесковые преобразования. Исследовать представления функций при помощи этих преобразований. Построить «алгоритм с дырами» двоичного мультивсплескового преобразования;

• найти радиусы мультимасштабирующих функций и мультивсплесков Алперта и изучить их аппроксимационные характеристики.

Методика исследования. В диссертации использовались методы теории функций и функционального анализа.

Научная новизна.

• Определены понятия непрерывного и двоичного мультивсплесковых преобразований.

• Доказаны теоремы о представлении функций при помощи непрерывного и двоичного мультивсплесковых преобразований.

• Доказано, что ортогональный мультивсплеск порождает разбиение единицы.

• Разработан «алгоритм с дырами» двоичного мультивсплескового преобразования.

• Найдены радиусы мультимасштабирующих функций и мульти-всплесков Алперта.

• Изучены аппроксимационные характеристики мультивсплесков Алперта любой размерности.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы для дальнейшего исследования мультивсплесков, в частности для изучения аппроксимациоиных свойств и свойств локализованное™.

Аппробация работы. Результаты данной работы докладывались на конференциях: International Conference «Wavelets and Applications», St. Peterburg, Russia (2009); Саратовская зимняя математическая школа «Современные проблемы теории функций и их приложения», посвященной 125-летию со дня рождения В.В. Голубева и 100-летию СГУ, Саратов (2010); International Conference «Banach Spaces Geometry», St. Peterburg,

Russia (2010); Воронежская зимняя математическая школа «Современные методы теории функций и смежные проблемы», Воронеж (2011); Казанской летней научной школе-конференции «Теория функций, ее приложения и смежные вопросы», Казань (2011).

Публикации. Основные результаты опубликованы в работах [36, 37, 56, 57, 58, 59, 60]. Из совместной работы [57] в диссертацию включены только результаты автора. Работа [58] соответствует списку ВАК РФ.

Структура и объем работы. Диссертация объемом 101 страница состоит из введения, трех глав, разделенных на параграфы, и списка литературы, содержащего 63 источника.

1. Alport B. K. A class of bases in L2 for the sparse representation of integral operators / B. K. Alpert // S1.M Journal on Mathematical Analysis. - 1993. - № 24. - P. 246-262.

2. Alpert B. K. Adaptive Solution of Partial Differential Equations in Multiwavelet Bases / B. K. Alpert, G. Beylkin, D. Gines, L. Vozovoi // Journal of Computational Physics. — 2002. — Vol. 182. — Issue 1. — P. 149-190.

3. Alpert B. K. Wavelets and Other Bases for Fast Numerical Linear Algebra / B. K. Alpert // Wavelets: A Tutorial in Theory and Applications. — C. K. Chui, editor. — Academic Press, New York. — 1992. P. 181-216.

4. Alpert B. K. A Fast Algorithm for the Evaluation of Legendre Expansions / B. K. Alpert, V. Rokhlin // SIAM Journal on Scientific and Statistical Computing. — Jan. 1991. — Vol. 12. — Issue 1. — P. 158-179.

5. Antonini M. Image coding using the wavelet transform / M. Antonini, M. Barlaud, P. Mathieu, I. Daubechies // Image Processing, IEEE Transactions on. — Apr 1992. Vol. 1 — Issue 2. — P. 205-220.

6. Beylkin G. Fast wavelet transforms and numerical algorithms / G. Beylkin, R. Coifman, V. Rokhlin // Comm. in Pure and Applied Math. 1991. - Vol 44. - P. 141-183. - doi: 10.1002/cpa.3160440202.

7. Blyth W. F., Stacey A. J. A variational method using Alpert multiwavelets / W. F. Blyth, A. J. Stacey // CTAC2006, ANZIAM J. 2008. - Vol. 48 P. C820-836. - URL: http://anziamj .austms.org.au/ojs/index.php / ANZIAM J / article/ view/73.

8. Cheng L. Riesz Multiwavelet of Multiplicity r and Multiresolution Analysis / L. Cheng, F. Sun, S. Dang // International Journal of Nonlinear Science. — 2008. — Vol. 6. — No.2. — P. 118-123.

9. Chui C. K. A Study of Orthonormal Multiwavelets / C. K. Chui, J. A. // Lian J. Appl. Numer. Math. 1996. - Vol. 20. - P. 272-298.

10. Chui C. K. Construction of orthonormal multi-wavelets with additional vanishing moments / C. K. Chui, Jian-ao Lian // Advances in Computational Mathematics. — 2006. — Vol. 24. — No 1-4. — P. 239-262.

11. Cotronei M. Multiwavelet Analysis and Signal Processing / Mariantonia Cotronei, Laura B. Montefusco, Luigia Puccio // IEEE Trans, on Circuits and Systems II. — Aug 1998. — Vol. 45. — P. 970-987.

12. Donovan G. Construction of orthogonal wavelets using fractal interpolation functions / G. Donovan, J. Geronimo, D. Hardin, P. Massopust // SIAM J. of Math. Anal. — 1996. Vol. 27. — Issue 4. - P. 1158-1192.

13. Donovan G. Intertwining multiresolution analyses and the construction of piecewise polynomial wavelets / G. Donovan, J. Geronimo, D. Hardin // SIAM J. Math. Anal. 1996. — Vol. 27. - Issue 6. - P. 1791-1815.

14. Fleet P.J. Multiwavelets and Integer Transforms / Patrick Van Fleet // Journal of Computational Analysis and Applications. — January 2003.- Vol. 5. No 1. - P. 161-178. - doi: 10.1023/A:1021438424658.

15. Geronimo J. Fractal functions and wavelet expansions based on several functions / J. Geronimo, D. Hardin, and P. R. Massopust // J. Approx. Theory. 1994,- Vol. 78. - Issue 3. - P. 373-401. - doi: 10.1006/jath. 1994.1085.

16. Geronimo J. S. Design of prefilters for discrete multiwavelet transforms / J. S. Geronimo, X.-G. Xia, D. P. Hardin, B. W. .Suter // Signal Processing, IEEE Transactions on. — Jan. 1996. — Vol. 44. — Issue 1. P. 25-35.

17. Geronimo J. Computations of multiwavelet transforms / J. Geronimo, D. Hardin, B. Suter, X. G. Xia // Proc. SPIE 2569. July 1995. - Vol. 27. - doi:10.1117/12.217578.

18. Goodman T.N.T. Wavelets of multiplicity r / T.N.T. Goodman, S. L. Lee // Trans. Amer. Math. Soc. March 1994. — Vol. 342. — No. 1. P. 307-324.

19. Heil C. Approximation By Translates Of Refinable Functions / C. Heil, G. Strang, V. Strela // Numerische Mathematik. — 1996. — Vol. 73. — No. 1. P. 075-094.

20. Heil C. The application of multiwavelet filterbanks to image processing / C. Heil, V. Strela, P.N. Heller, G. Strang, P. Topiwala // Image Processing, IEEE Transactions on. — Apr. 1999. — Vol. 8. — Issue 4.- P. 548-563. dot: 10.1109/83.753742.

21. Hong D. Orthogonal Multiwavelcts of Multiplicity Four / D. Hong, A. D. Wu // Computers & Mathematics with Applications. — 2000. — Vol. 40 No. 10-11. P. 1153-1169.

22. Sudhakar R. Fingerprint Compression Using Multiwavelets / R. Sudhakar, S. Jayaraman // International Journal of Signal processing, A Publication of World academy of science Engineering and Technology.- Spring 2006. Vol.2. - No. 2. - P. 78-87.

23. Jiang Q. Orthogonal Multiwavelets with Optimum Time-Frequency Resolution / Qingtang Jiang // Signal Processing, IEEE Transactions on. April 1998. — Vol. 46. — No. 4. — P. 830-844.

24. Keinert F. Raising Multiwavelet Approximation Order Through Lifting / F. Keinert // Society for Industrial and Applied Mathematics J. MATH. ANAL. 2001. - Vol. 32. - Issue 5. - P. 1032-1049.

25. Keinert F. Wavelet and Multiwavelet / F. Keinert. — Boca Raton, London, New York, Washington D.C. : Chapman & Hall/CRC, 2004.- 288 c.

26. Lawton W. An algorithm for matrix extension and wavelet construction / W. Lawton, S. L. Lee, Z. Shen // Math. Comp. — Apr. 1996. — Vol. 65. No. 214. - P. 723-737.

27. Lee S. L. A General Approach for Analysis and Application of Discrete Multiwavelet Transforms / S. L. Lee, L. Shen, H. H. Tan, J. Y. Tham // Signal Processing, IEEE Transactions on. — Feb. 2000. — Vol. 48. — No. 2. — P. 457-464.

28. Lebrun J. Balanced multiwavelets: Theory and design / J. Lebrun, M.Vetterli // Signal Processing, IEEE Transactions on. — Apr. 1998.- Vol. 46. P. 1119-1125.

29. Mallat S. A theory for multiresolution signal decomposition: the wavelet representation / S. Mallat // Pattern Analysis and Machine Intelligence, IEEE Transactions on. 1989. - Vol. 11. - Issue 7. - P. 674-693.

30. Mallat S. Multiresolution Approximations and Wavelet Orthonormal Bases of / S. Mallat // Transactions of the American Mathematical Society. — 1989. — Vol. 315. — No. 1. — P. 69-87.

31. Mohlenkamp Martin J. Wavelets, their friends, and what they can do for you / Martin J. Mohlenkamp, Mari'a Cristina Pereyra. — European Mathematical Society, 2008. — 119 p.

32. Novikov I. Haar Series and Linear Operators / I. Novikov, E. Semenov.Dordrecht : Kluwer Academic Publishers, 1997. — 218 p.

33. Plonka G. Construction of multiscaling functions with approximation and symmetry / G. Plonka, V. Strela // SIAM J. Math. Anal. — 1998.- Vol. 29. Issue 2. - P. 481-510.

34. Plonka G. From wavelets to multiwavelets, in Mathematical methods for curves and surfaces / G. Plonka, V. Strela // Proceedings of the international conference on Mathematical methods for curves and surfaces II Lillehammer, 1997. — pp. 375-399.

35. Severov P. G. Calderon Condition for Multiwavelets / P. G. Severov // International Conference Banach Spaces Geometry : September 5-11. 2010, St. Petersburg, Russia, abstr. — СПб., 2010 . — P. 39-40.

36. Severov P. G. Dyadic Multiwavelet Transforms / P. G. Severov // Wavelets and Applications : abstr., International Conference, June 1420. 2009, St. Peterburg, Russia . СПб., 2009. - С. 55.

37. Strang G. Orthogonal multiwavelets with vanishing moments / G.Strang, V. Strela // Proc. SPIE Conference on Mathematics of Imaging, J. Optical Eng. 1994. - Vol. 33. - P. 2104-2107.

38. Multiwavelets: Regularity, Orthogonality, and Symmetry via Two-Scale Similarity Transform / V. Strela // Studies in Applied Mathematics. — 1997. Vol. 98. - P. 335-354. - doi: 10.1111/1467-9590.00052.

39. Strela V. Multiwavelets: theory and applications / V. Strela // Ph.D. thesis, Massachusetts Institute of Technology. — 1996.

40. Xia X. G. A newprefilter design for discrete multiwavelet transforms / X. G. Xia // IEEE Trans. Signal Processing. — 1998. Vol. 46. — P. 1558-1570.

41. Арбузов С. M. Цифровая обработка сигналов. Моделирование в MATLAB : учеб. пособие / С. М. Арбузов, А. И. Солонина. — СПб. : БХВ-Петербург, 2008. — 816 с.

42. Астафьева Н. М. Вейвлет-анализ: основы теории и примеры применения / Н. М. Астафьева // Успехи физических наук. 1998. - Т.166. - N. 11. - С. 1145-1170. - doi: 10.3367/UFNr.0166.199611а. 1145.

43. Астафьева Н. М. Вейвлет-преобразование: основные свойства и примеры применения / Н. М. Астафьева // ИКИ РАН. — 1994. — No. 1891. С. 56.

44. Блаттер К. Вейвлет-анализ. Основы теории / К. Блаттер. — пер. с нем. Т. Э. Кренкеля. — М. : Техносфера, 2006. — 272 с.

45. Воробьев В.И. Теория и практика вейвлет-преобразования / В.И. Воробьев, Грибунин В.Г. СПб. : ВУС, 1999. - 204 с.

46. ДеРоуз Т. Вейвлеты в компьютерной графике / Т. ДеРоуз, Д. Са-лезин, Э. Столниц. — Ижевск : НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2002. — 272 с.

47. Добеши И. Десять лекций по вейвлетам / И. Добеши. — перевод с англ. — Ижевск : НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001.- 464 с.

48. Дремин И.М. Вейвлеты и их применение / И.М. Дремин, О.В. Иванов, В.А. Нечитайло // Успехи физических наук. — 2001. — №5, С. 465-501.

49. Дьяконов В.П. Вейвлеты. От теории к практике / В. П. Дьяконов.- М. : СОЛОН-Р, 2002. 448 с.

50. Кашин Б. С. Ортогональные ряды / Б. С. Кашин, А. А. Саакян. — 2-е изд., доп. — М. : АФЦ, 1999. — 560 с.

51. Колмогоров А. Н. Элементы теории функций и функционального анализа / А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин. — 2-е изд., перераб. и доп. — М. : Наука, 1968. — 496 с.

52. Малла С. Вэйвлеты в обработке сигналов / С. Малла. — М. : Мир, 2005. 671 с.

53. Новиков И. Я. Теория всплесков / И. Я. Новиков,'В. Ю. Протасов, М. А. Скопина. — М. : Физматлит, 2005. — 616 с.

54. Новиков И. Я. Основы теории всплесков / И. Я. Новиков, С. Б. Стечкин // УМН. 1998. - Вып. 53. - №6(324). - С. 53-128.

55. Северов П. Г. О мультивсплесковых преобразованиях / И.Я. Новиков, П.Г. Северов // Вестник Воронежского государственного университета. Сер. : Физика. Математика . — Воронеж, 2009 № 2. -С. 96-100.

56. Северов П. Г. О двоичном мультивсплесковом преобразовании / П.Г. Северов // Вестник Самарского государственного университета . — Самара, 2010 . — (Естественнонаучная серия) . — № 2 (76). — С. 57-71

57. Северов П. Г. Быстрый алгоритм для мультивсплесков / П.Г. Северов // Современные методы теории функций и смежные проблемы : материалы Воронеж, зим. мат. шк. — Воронеж, 2011 . — С. 305-306.

58. Смоленцев Н. К. Основы теории вейвлетов. Вейвлеты в МАТЬАВ / Н. К. Смоленцев. — М. : ДМК Пресс, 2005. 304 с.

59. Фрейзер М. Введение в вэйвлеты в свете линейной алгебры / М. Фрейзер. — М. : БИНОМ, Лаборатория знаний, — 2008. — 487 с.

60. Чуй Ч. Введение в вэйвлеты / Ч. Чуй. — перевод с англ. — М. : Мир, 2001. 412 с. ~