О подгруппах в группах крашеных кос и группах Артина конечного типа тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

• ' На правах рукописи

Р ,-6 МАЯ 1ЯЯ7

ДОБРЫНИНА Ирина Васильевна

О ПОДГРУППАХ В ГРУППАХ КРАШЕНЫХ КОС И ГРУППАХ АРТИНА КОНЕЧНОГО ТИПА

Специальность 01.01.06 - Математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 1997

Работа выполнена в Тульском государственном педагогическом университете имени Л.Н. Толстого на кафедре алгебры.

Научный руководитель:

кандидат физико-математических наук, профессор БЕЗВЕРХНИЙ В.Н.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор ШМЕЛЬКИН АЛ.,

кандидат физико-математических наук, доцент ЧЕБОТАРЬ АА.

Ведущая организация - Ивановский государственный университет.

Защита состоится «.-¿Ж..»...¿к&А...... 1997 г. в часов на

заседании диссертационного Совета К 053.01.02 в Московском педагогическом государственном университете имени В.И. Ленина по адресу: 107140, Москва, ул. Краснопрудная, д. 14„ аудитория 301.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МПГУ имени В.И. Ленина по адресу: 119435, Москва, Малая Пироговская ул., д. 1.

Автореферат разослан года.

Ученый секретарь диссертационного Совета

КАРАСЕВ ГА.

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Предметом математического изучения косы стали в 1925 г., после того как Э.Артип ввел в рассмотрение группу кос. Правда, впоследствии выяснилось, что близкие группы встречались ранее в работах Гурвица [34], Фрике и Клейна [33]. После работ Артина группы кос и их различные обобщения привлекли большое внимание. В настоящее время библиография работ по косам содержит сотни наименований [15]. В основополагающих работах Артина [27], [28] косы определяются чисто геометрически и выступают как естественные и довольно наглядные объекты трехмерной топологии, сходные с узлами и зацеплениями.

Полученное впервые Артином [27] копредставление групп кос 5п+1

(<т1з ..., <т„; ст,ст1+1а,- = амсг,а,ч1 (i = l/i-l), ст,а; = (i,j = \,n, ¡¡'-у, >!)}

позволило сводить геометрические задачи к алгоритмическим проблемам теории групп. В частности, проблема эквивалентности геометрических кос равносильна проблеме тождества слов в группе кос Артина, а проблема эквивалентности замыканий геометрических кос равносильна проблеме сопряженности в Вп+1 (см. [27], [14]).

Проблема тождества слов в группе 5л+1 была решена Артином в работах [27], [28].

Проблема сопряженности в группе кос Вп+] была решена Г.С.Ма-каниным [18] и Гарсайдом [9], что явилось важным событием после работ Артина.

Центр группы кос B„-, t был найден Чжоу [31]: при (п+1) > 3 он совпадает с бесконечной циклической подгруппой группы кос Bn+i, порожденной элементом (ст]Г5"2 • • • сг„)п+1.

Коммутанты B'nJrl групп кос Вп, были изучены Гориным и Лином [11]-

В [27] Артин поставил вопрос об описании всех кос, коммутирую-пщх в Вп +1 с данной косой, то есть об описании централизатора данной косы в Вп+ j. В 1971 г. Г.С.Маканин [19] доказал, что нормализатор любого элемента группы кос 5л+1 конечно порожден и указал алгоритм построения образующих этого нормализатора. Г.Гурзо [12], путем обобщения метода, описанного в [19], получила алгоритм для нахождения

образующих централизатора конечного множества элементов группы кос Вп+1.

.Ядро естественного гомоморфизма группы кос Вп+Х в симметрическую группу ¿"„4-1, переводящего каждую образующую о(г -1, п) группы £п+1 в транспозицию (г, г + 1), называется группой крашеных кос Вп+1.

В.Бурау [30] доказал, что элементы

яи = °]-1а]-г—ама*ам......°11-2°?-х О 2 I < у <; л + 1)

порождают группу крашеных кос 7?лН и нашел систему определяющих соотношений этой группы. Э.Артин [28] доказал, что подгруппа +1) -чистых кос Щ из Л„+1, порожденная элементами 52,/н» -•• /н.

является свободной, сами элементы ¿¡./и, ^2,7+ь ••• ^/н - свободными образующими группы Ц, а всякая крашеная коса из КпП однозначно представима в виде произведения чистых кос

__Е\Е2-Еп>

где Е1 е и] (/ = 1, п).

A.Г.Савушкина [24] описала центр гругшы крашеных кос Я„+1. Выяснилось, что он совпадает с центром группы ВпЛ,.

B.Бардаков [2] доказал, что извлечение корней в группе крашеных кос однозначно, откуда следует, что в 7?„+1 только единичная коса сопряжена со своей обратной.

В 1972 г. Брискорн и Сайто [7] рассмотрели интересный класс групп, названный ими группами Артина. Группа Артина - это группа С7, заданная копредставлением с системой образующих ^, / е / и соотношениями

а,-щ ... = йу а, а}... , /, ] е / , где слова, стоящие слева и справа, состоят каждое из т,у чередующихся букв а,- и а,-; при этом /и,- у - элементы некоторой матрицы Коксетера М = (гПу), г, _/ е / , типа /. Так определенные группы являются естественным обобщением групп кос.

Добавляя к определяющим соотношениям группы Артина б еще соотношения а} = 1, I е I, получим копредставление группы Коксетера С. Таким образом, группа Коксетера естественно представляется как некоторая фактор-группа группы Артина. Из группы кос таким способом получается симметрическая группа, что, конечно, давно и хорошо известно.

Группы Коксетера, со времени их введения Коксетером в 1935 г., были подробно изучены. Обстоятельное изложение полученных результатов имеется у Бурбаки [8].

Усовершенствовав метод Гарсайда [9], Брискорн и Сайто [7] доказали разрешимость проблем тождества и сопряженности в группах Артина конечного типа, то есть в тех группах Артина, для которых соответствующие группы Коксетера конечны. Одновременно (и независимо) аналогичные результаты получил Делинь [32]. Кроме того, в [7], [32] описан центр групп Артина (7 конечного типа. Зинде [13] нашла и исследовала копредставление коммутантов в группах Артина конечного типа. В.Гринблат [10], используя результат Маканина [19], доказал алгоритмическую вычислимость нормализатора элемента в группах Артина конечного типа. Ю.Трубицын [26], используя [10], получил алгоритм построения образующих нормализатора конечного множества элементов в группах Артина конечного типа.

Исследования показывают, что группы Артина конечного типа по своим алгебраическим свойствам весьма похожи на группы кос Вп+1, и в этом смысле, возможно, являются более близкими их "родственниками", чем группы кос многообразий.

Методы исследования. В работе применяются комбинаторные методы.

Цель диссертационного исследования - продолжение изучения групп кос, крашеных кос и групп Артина конечного типа:

1. Решение обобщенной проблемы сопряженности слов в группах крашеных кос .

2. Изучение проблемы сопряженности подгрупп в

3. Описание нормализаторов специальных классов подгрупп в группе крашеных кос Я5.

4. Решение проблемы построения нормализатора конечно порожденной подполугруппы в группах Артина конечного типа.

Новизна результатов.

1. Решена обобщенная проблема сопряженности слов в Яп

2. Показана разрешимость проблемы сопряженности подгрупп в группе крашеных кос й3 и неразрешимость этой проблемы для У?„+1 (п > 4).

3. Доказано, что если две подгруппы из Вп сопряжены в Вр{р> п), то они сопряжены и в В„.

4. Установлена конечная порожденность нормализатора конечно порожденной подгруппы в прямом произведении двух свободных групп ранга 2 и описаны нормализаторы некоторых классов подгрупп из прямого произведения двух свободных групп ранга 2 в И5.

5. Указан алгоритм для вычисления нормализатора конечно порожденной подполугруппы в группах Артина конечного типа.

6. Доказана конечная порожденность пересечения нормализаторов конечного числа конечных множеств (конечно порожденных подполугрупп) в группах Артина конечного типа, указан алгоритм построения образующих такого пересечения.

Все полученные результаты являются новыми.

Теоретическое и практическое значение. Работа имеет теоретический характер, ее результаты могут найти применение при исследовании различных вопросов теории групп.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на:

1) Х-й Всесоюзной конференции по математической логике (Алма-Ата, 1990 г.);

2) Ш-й Международной конференции "Современные проблемы теории чисел и ее применения" (Тула, 1996 г.);

3) алгебраическом семинаре А.Л.Шмелькина, АЛО.Ольшанского (МГУ, 1996 г.);

4) семинаре под руководством М.М.Лесохина (ЛГУ, 1991 г.);

5) Тульском городском семинаре по теории групп под руководством В.Н.Безверхнего (1991-1996 гг.).

Публикации. Основное содержание диссертации отражено в семи публикациях. Их список приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, девяти параграфов и списка литературы из 41 наименования. Диссертация содержит 70 страниц машинописного текста.

Обзор содержания диссертации

Во введении даны основные определения, сформулированы результаты, полученные ранее другими авторами, кратко изложено содержание диссертации.

В первой главе диссертации решается обобщенная проблема сопряженности слов в группах крашеных кос Лп+1, то есть проблема построения алгоритма, позволяющего для любых двух наборов слов

установить, существует ли слово хеЛл) ), являющееся решением системы уравнений:

В первом параграфе вводятся определения групп кос, крашеных кос, (/+1) - чистых кос, сообщается об единственности представления всякой крашеной косы в виде произведения чистых кос, выписываются соотношения Бурау.

Используя введенные понятия, во втором параграфе доказывается

Теорема 1. Пусть Н - конечно порожденная подгруппа группы кос Вп+1. Тогда можно эффективно построить подгруппу Н г\ Кп+1.

Из этой теоремы получается ряд важных следствий.

1. В группе крашеных кос /?3 разрешима проблема сопряженности подгрупп.

Доказательство опирается на результат В.Н.Безверхнего [5], где показано, что в свободном произведении двух свободных групп, объединенных по циклической подгруппе, разрешима проблема сопряженности подгрупп, откуда следует разрешимость этой проблемы для группы В у

2. Централизатор конечного множества элементов из -/?л+] конечно порожден в Существует алгоритм, строящий образующие этого централизатора.

3. В группах крашеных кос разрешима обобщенная проблема сопряженности слов. Более того, если Г есть решение системы

{<*/}, №■}, 1 = 1, и,

в то множество всех решений I) этой системы в Яп+] записывается в виде:

В доказательстве используется результат Т.Маканиной [20] о разрешимости обобщенной проблемы сопряженности слов в группе кос Вп+1.

4. Нормализатор конечного множества слов из Яп+[ конечно порожден в Существует алгоритм, строящий образующие этого нормализатора.

Вторая глава посвящена изучению проблемы сопряженности подгрупп в группах крашеных кос.

В первом параграфе доказывается

Теорема 3. Если две подгруппы и Н2 из В„ сопряжены е Вр{р> п), то Нх и Н2 сопряжены и е группе Вп.

Данная.теорема является обобщением результата В.Стышнева [25], сделанного им для элементов из Вп.

Как следствие из теоремы 3 получаем, что: если две подгруппы Нх и Н2 из Вп сопряжены элементом I & Вр в Вр{р> и), то существует г'е-^д такое, что Нх£ = ?НгъВп.

Используя это следствие и результаты работ [3], [22], доказывается Теорема 4. В группах /?„+1 (п > 5) неразрешима проблема сопряженности подгрупп.

Во втором параграфе получаем усиление теоремы 4:

Теорема 7. В группе неразрешима проблема сопряженности подгрупп.

В доказательстве выделяются специальные подгруппы из прямого произведения двух свободных групп ранга 2 и показывается, что эти подгруппы сопряжены в Л-,, тогда и только тогда, когда существует слово из упомянутого прямого произведения, которое их сопрягает. Данное слово строится в теореме 6.

где См+\ в Я„+1 .

Вопрос о решении проблемы сопряженности подгрупп в группе крашеных кос остается открытым.

В третьей главе изучаются нормализаторы некоторых классов подгрупп в

В первом параграфе доказывается конечная порожденность нормализатора конечно порожденной подгруппы в прямом произведении двух свободных групп ранга 2. Во втором - описываются нормализаторы некоторых классов подгрупп из прямого произведения двух свободных групп ранга 2 в Для этого используется единственность представления всякого слова из группы крашеных кос в виде произведения чистых кос и решаются специальные системы. В третьем параграфе доказывается, что нормализатор подгруппы Н с Вт в Вп (п> т) является расширением централизатора подгруппы Н в Вп с помощью факторгруппы МВт (Н) / СВт (И).

В четвертой главе рассматриваются нормализаторы в группах Ар-тина конечного типа.

В первом параграфе вводятся понятия грз'пп Артина, Коксетера, групп Артина конечного типа, полугруппы фундаментального элемента, формулируются теоремы Гарсайда и Артина.

Во втором параграфе получены следующие результаты:

1. Нормализатор конечно порожденной подполугруппы в группе Артина конечного типа конечно порожден. Существует алгоритм, строящий образующие этого нормализатора.

2. Существует алгоритм, позволяющий установить, сопряжены или нет две конечно порожденные подполугруппы из группы Артина конечного типа в

(Л

3. Пересечение нормализаторов конечного числа конечно порожденных подполугрупп в группах Артина конечного типа конечно порождено. Существует алгоритм, строящий образующие этого пересечения.

4. Пересечение нормализаторов конечного числа конечных множеств в группах Артина конечного типа конечно порождено. Существует алгоритм, строящий образующие этого пересечения.

Литература

1. Акименков А.М.. О подгруппах группы кос Вл II Математические заметки. 1991. 50. № 6. 3-13.

2. Бардаков В.Г. К теории групп кос // Математический сборник. 1992. 183. №6. 3-42.

3. Безверхний В.Н. Неразрешимость проблемы сопряженности подгрупп для свободного произведения свободных групп с объединением // Сборник научных трудов кафедры высшей математики. Тула, 1975. № 3. 90-94.

4. Безверхний В.Н. Решение проблемы вхождения в некотором классе групп, I // Вопросы теории групп и гомологической алгебры. Ярославль, 1990. 40-52.

5. Безверхний В.Н. Решение проблемы сопряженности для одного класса групп. I, II // Современная алгебра. J1., 1977. № 6. 16-32.

6. Безверхняя И.С. О сопряженности конечных множеств в свободном произведении групп II Алгоритмические проблемы теории групп и полугрупп. Тула, 1981.102-106.

7. Брискорн Э., Сайто К. Группы Артина и группы Коксегера // Математика: Сб. переводов. 1974. № 6. 56-79.

8. Бурбаки Н. Группы и алгебры Ли. М., Мир. 1972.

9. Гарсайд Ф. Группа кос и другие группы И Математика: Сб. переводов. 1970. №4. 113-132.

10. Гринблат В.А. О нормализаторах групп Артина // Алгоритмические проблемы теории групп и полугрупп. Тула, 1981. 82-94.

11. Горин Е.А., Лин В .Я. Алгебраические уравнения с непрерывными коэффициентами и некоторые вопросы алгебраической теории кос И Математический сборник. 1969. 79. № 4. 579-610.

12. Гурзо Г.Г. О централизаторах конечных множеств элементов группы кос Н Математические заметки. 1985. 37. № 1. 3-6.

13. Зинде В.М. Коммутанты групп Артина // Успехи математических наук. 1975. 30. № 5. 207-208.

14. Клейн Ф. Высшая геометрия. М.-Л. ГОНТИ. 1939.

15. Лин В.Я. Косы Артина и связанные с ними группы и пространства//Алгебра, топология, геометрия. М., 1979. 17. 159-227.

16. Линдон Р., Шупп П. Комбинаторная теория групп. М., Мир. 1980.

17. Магнус В., Каррас А., Солитер Д. Комбинаторная теория групп. М„ Наука. 1974.

18. Маканин Г.С. Проблема сопряженности в группе кос // Доклады АН СССР. 1968. 182. № 3. 495-496.

19. Маканин Г.С. О нормализаторах группы кос // Математический сборник. 1971. 86. № 2. 171-179.

20. Маканина Т.А. Об одной системе уравнений в группе кос // Известия высших учебных заведений: Математика. 1986. № 9. 58-62.

21. Марков A.A. Основы алгебраической теории кос // Труды Математического института АН СССР. 1945. 16.

22. Михайлова К.А. Проблема вхождения для прямых произведений групп// Математический сборник. 1966. 70. № 2. 241-251.

23. Новиков П.С. Об алгоритмической неразрешимости проблемы тождества слов в теории групп // Труды Математического института АН СССР. 1955.

24. Савушкина А. Г. Центр группы крашеных кос // Вестник Московского университета. Серия 1, Математика. Механика. 1996. № 1. 32-36.

25. Стышнев В.Б. К вопросу о сопряженности кос // Математические заметки. 1990. 47. №2. 108-114.

26. Трубицын Ю.Э. О нормализаторах конечных множеств в группах Артина конечного типа // Алгоритмические проблемы теории групп и полугрупп. Тула, 1986. 62-65.

27. Artin Е. Theorie der Zöpfe // Abh. math. Semin. Univ. Hamburg. 1925. 4. 47-72.

28. Artin E. Theory of braids// Ann. Math. 1947. 48. 101-126.

29. Birmann J.S. Braids, links and mapping class groups // Ann. Math. Stud. 1974. №82.

30. Burau W. Über Zopfmvarianten // Abh. math. Seim. Univ. Hamburg. 1932.9. 117-124.

31. Chow W.L. On the algebraical braid group // Ann. Math. 1948. 49. № 3. 654-658.

32. Delinge P. Les immeubles des groupes de tresses generalisses // Invent, math. 1972. 17. №4. 273-302.

33. Fricke R., Klein E. Vorlessungen über die Theorie der automorphen Function. Bd I. Die gruppentheoretichen Grundlagen. Teubner. Leipzig, 1897 //Johnson Repr. Copr. № 4. 1965.

34. Hurwitz A. Über Riemannsche Fläshen mit gegebenen Verzweigunds-punkten // Math. Ann., 1891. 39. 1-61.

Публикации автора по теме диссертации

1. Добрынина И.В. О нормализаторах в группах Артина конечного типа // Тезисы докладов X Всесоюзной конференции по математической логике. Алма-Ата, 1990. 61.

2. Добрынина И.В. О нормализаторах в группах Артина конечного типа II Алгоритмические проблемы теории групп и полугрупп. Тула, 1990. 156-163.

3. Добрынина И.В. О нормализаторах подгрупп в группе кос II Алгоритмические проблемы теории групп и полугрупп. Тула, 1991, 138-

4. Добрынина И.В. О сопряженности подгрупп в группах кос // Тезисы докладов III Международной конференции по алгебре. Красноярск. 1993. 111.

5. Добрынина И.В. О неразрешимости проблемы сопряженности подгрупп в группе крашеных кос ifa+i (и>5) // Алгоритмические проблемы теории групп и полугрупп. Тула, 1994. 62-70.

6. Безверхний В.Н., Добрынина И.В. О нормализаторах некоторых классов подгрупп в группах кос // Известия Тульского государственного университета. Серия Математика. Механика. Информатика. 1995. 1. №1. 5-20.

7. Безверхний В.Н., Добрынина И.В. О неразрешимости проблемы сопряженности подгрупп в группе крашеных кос И Тезисы докладов III Международной конференции "Современные проблемы теории чисел и ее приложения". Тула, 1996. 18.

Автор выражает искреннюю благодарность научному руководителю кандидату физико-математических наук профессору В.Н.Безверхнему за руководство и помощь при работе над диссертацией.

144.

* * * * *