Некоторые алгоритмические проблемы в группе КОС тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М. В. ЛОМОНОСОВА механико-математический факультет

На правах рукописи УДК 519. 4

АКИМЕНКОВ Андрей Михайлович НЕКОТОРЫЕ АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛШЫ В ГРУППЕ КОС

01.01.06 - математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 1992

Работа выполнена на кафедре математической логики механпко математического факультета Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова

Научный руководитель: член-корр. РАН,

доктор физико-математических наук С. И. Адян

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

Ведущая организация: математический факультет

Ярославского государственного университета

в 16 час. 05 мин. на заседании специализированного Совета № 2 по математике при Московском государственном университете (Д.053.05.05) по адресу: 119899, ГСП. Москва, Ленинские горы, МГУ, механико-математическиП факультет, ауд. 14-08.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж).

Г. С. Маканин,

кандидат физико-математических наук А. Б. Сосинский

Защита диссертации состоится

/

Автореферат разослан

Ученый секретарь специализированного Совета

Д. 053. 05. 05. при МГУ

доктор физико-математических наук

В. Н. ЧуОариков

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы: Термины "коса" и "группа кос" были введены Е. Артином в 1925 году в работе V В этой работе косы определяются как геометрические об'екты, при этой множество кос с одинаковым числом нитей является группой с естественной операцией умножения. Группа кос на m нитях обозначается через Вт.

Несколькими авторами (В. Магнус 2), A.A. Марков Зь Ф. Бо-ненбласт 4), В. Л. Чжоу 5)) независимо было доказано, что группа Вп+1 кос на п+1 нитях имеет следующее задание с помошью образу- . ющих и определяющих соотношений:

< ; + + (j=i----n-1) .

c^c j =0" j ( I k-j I >1) >

Одним из приложений теории кос является теория узлов и зацеплений. Отождествляя конечные и начальные точки нитей косы, мы получаем некоторое зацепление или узел. Полученное зацепление

1) Artin Е. Theorie der Zopfe, Abh. Math. Semin., 4 (1925),

47 - 42.

2

) Magnus W. Uber Automorphismen von Fundamentalgruppen berandeter Flachen, Ann. Math., 109 (1934), 617 - 646.

) Марков A.A. Основы алгебраической теории кос. Труды Матем. ин-та им. В. А. Стеклова, 16 (1945).

4

) Bohnenblust F. The algebraical braid group, Ann. Math., (2)

48 (1947), 127 - 136.

5

) Chow W.L. On the algebraical braid group, Ann. Math., (2) 49 (1948), 654 - 658.

или узел называется замыканием этой косы (точное определение замыкания см. в 6)). Как доказал Д. Александер 7), любое (ручное) ориентированное зацепление или узел изотопно некоторой замкнутой косе. Связь между косами, замыкания которых являются изотопными ориентированными зацеплениями (узлами) описывается теоремой A.A. Маркова 8).

Теорема А. А. Маркова утверждает, что замыкания двух кос ЕеВп+1 и FeBm+1 являются изотопными ориентированными зацеплениями (узлами), если и только если существует соединяющая их последовательность преобразований кос

E=Q1 ... -> Qi -» ... -><2k=F (1)

где каждое преобразование q.^ -> Qi+1 есть либо сопряжение, либо преобразование одного из следующих двух видов:

а) Набрасывание петли: если Q^eB^ +1, то Qi+1=QiCTn.+ieBn.+2' где c=±i.

б) Сбрасывание петли: преобразование, обратное набрасыванию петли.

Преобразования кос в последовательности (1) называются марковскими.

Теорема А.А. Маркова позволяет переформулировать известную проблему классификации зацеплений и узлов как чисто алгебраическую задачу об элементах групп кос.

6) Crowell R.H., Fox R.H. Introduction to knot theory, (1963) .

7

) Alexander J.W. A lemma on systems of knotted curves, Proc. Nat. Acad. Sei. USA, 9 (1923), 93 - 95.

8) MarKoff A.A. Uber die freie Äquivalenz geschlossener Zopfe, Recueil Math. Moscou, 1 (1935), 73 - 78.

Коса геВп+1 называется сводимой, если она сопряжена в Вп+1

некоторой косе, с которой можно сбросить петлю, т. е. некоторой

косе вида е<т^ где с=+1, ЕеВ .

п п

Известной задачей является задача распознавания сводимости кос. Д. Маккул опубликовал в 9) решение этой задачи, основанное на одной лемме Д. С. Бирман из 10), которая, как выяснилось позднее, являлась ошибочной (см. 1Х)). Сейчас вопрос в общем виде остается открытым (см. 12)).

В диссертации получено решение задачи распознавания сводимости для кос группы В4 (для группы В3 решение данной задачи несложно и было отмечено в 13). Для группы В2 задача тривиальна).

Одной из известных алгоритмически:: ■ "чч теории групп является проблема вхождения. Нетрудно показать, что проблема вхождения для групп кос Вп+1 при п<з разрешима. С другой стороны, в работе 14) было доказано, что при п>з для групп Вп+1 проблема

о

) McCool J. On reducible braids, Word Problems || - The Oxford Book, 95 (1980), 261 - 296.

10) Birman J.S. Knots, links, and mapping class groups, Ann. Math. Stud., 82 (1974).

Birman J.S. Errata: On the conjugasy problem in the braid group. Can. J. Math., 34, N% 6 (1982), 1396 - 1397.

12

) McCool J. On reducible braids: Errata, Can. J. Math., 34, N% 6 (1982), 1398.

13) Маканина Т. А. Сводимость замкнутых 3-кос, 19-я Всесоюзная алгебраическая конференция. Тез. докл.. Львов (1987).

14) Маканина Т. А. О проблеме вхождения в группе кос В n+i>5,

з

вхождения является неразрешимой. Группа В4 остается единственной группой кос, для которой проблема вхождения пока остается нерешенной.

В работе 14) было установлено, что группы кос Вп+1 при п>з содержат подгруппы, изоморфные прямому произведению свободных групп ранга два. Отсюда неразрешимость проблемы вхождения для групп Вп+1 при п>з следует по известной теореме К.А. Михайловой

В диссертации доказано, что группа В4 не содержит подгруппы, изоморфной прямому произведению свободных групп ранга два, т.е. использованный в 14) подход при п=з неприменим.

Пусть р обозначает гомоморфизм группы Вп+1 в группу подстановок п+1 элементов, при котором образующие отображаются в транспозиции (э,}+1), ¿=1,..,п-1. Подстановкой, реализуемой косой РеВп+1, называется подстановка р(Г). Коса называется крашеной, если она реализует единичную подстановку. Коса называется х-чисжой, если она является крашеной и превращается в единичную при удалении 1-ой нити.

В работе 16) Е. Артин дал некоторый список открытых вопросов в теории кос. Четвертым в списке был вопрос об описании кос. коммутирующих с заданной косой. Как известно, Г. С. Маканнн 17) дока-

Мат. заметки, 29 n% i (i98i), 3i - зз.

15> Михайлова К.А. Проблема вхождения для прямых произведений

групп. Матем. сб-к, 70 n% г (1966), 241 - 251.

16) Artin Е. Theory of braids, Ann. Math., 48 (1947), 101 - 126.

17) Маканин Г. С. О нормализаторах группы кос, Матем. сб-к, 86

n% 10 (1971), 171 - 179.

зал, что нормализатор всякой косы конечно порожден и построил переборный алгоритм, который по заданной косе выписывает все образующие ее нормализатора. Однако явный вид образующих нормализатора известен лишь для кос некоторых специальных видов. Нормализаторы чистых кос в подгруппе крашеных кос были описаны

1 Й 1 Я ? О

Г. Бурде в работе ). В работах ). ) Г. Г. Гурзо были найдены в явном виде образующие нормализаторов для кос некоторых классов. В том числе для некоторых чистых кос специального вида, а также для некоторых кос, не являющихся крашеными (в частности, для образующих а1,.. ,<т ).

В диссертации изучаются нормализаторы крашеных кос.

В пункте з.1 доказано, что если А - крашеная коса, то при любом целом числе т * о нормализаторы кос А и а™ совпадают. Доказательство основывается на теореме з. утверждающей, что в группе крашеных кос уравнение извлечения корня хт = а (а -заданная крашеная коса, т - заданное натуральное число, х - неизвестная крашеная коса) имеет не более одного решения. Теорема з дает положительный ответ на вопрос и.55 Г. С. Маканина из

1S) Bürde G. Uber Normalizatoren der Zopfgruppen, Abh. Math.

Sera., bd. 27, N% 1 - 2 (1964), 97 - 115.

19) Гурзо Г. Г. Системы образующих для нормализаторов некоторых

элементов группы кос, Изв. АН СССР, Сер. Мат.. 48, n% з (1984),

476 - 519.

20) Гурзо Г. Г. Системы образующих для централизаторов жестких элементов группы кос, Изв. АН СССР. Сер. Мат., si, n% s (i987),

915 - 935.

Коуровской тетради 21).

В пункте з.2. дано описание нормализаторов для чистых кос некоторого класса.

Структура диссертации-. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка цитированной литературы (28 наименований). Общий оО'ем диссертации 76 страниц.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора [1 - 4], приведенных в конце автореферата. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут применяться в теории кос и теории узлов и зацеплений.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении перечислены основные результаты работы, дан краткий исторический обзор, описано содержание диссертации по ♦ главам.

Основным результатом первой главы является

ТЕОРЕМА 1. Проблема распознавания сводимости для кос группы В4 разрешима.

Построение в главе 1 алгоритма, распознающего сводимость, опирается на одно утверждение (сформулированное в лемме 1.2) о свойствах кос некоторого специального вида из группы В4. Все утверждения главы 1, кроме леммы 1.2. могут быть доказаны аналогично для произвольной группы кос. Поэтому если будет доказано утверждение леммы 1.2 для некоторой группы В 1, то для этой группы будет разрешима проблема распознавания сводимости. Однако

21

) Коуровская тетрадь. Новосибирск, изд-во Ин-та математики СО АН СССР (1990).

автору не удалось доказать или опровергнуть лемму 1. 2 для групп кос Вт+1 при т>3.

Во второй главе доказывается

ТЕОРЕМА 2. Группа кос В4 не содержит подгруппы, изоморфной прялому произведению свободных групп ранга 66а.

Из теоремы 2 следует, что группа В4 не удовлетворяет достаточному условию К. А. Михайловой для неразрешимости проблемы вхождения.

Третья глава посвящена изучению нормализаторов кос. Подгруппу крашеных кос в группе Вп+1 обозначим через Кп+1. Нормализатор косы А в группе Вп+1 обозначим через N(A)..

В пункте 3. 1 главы 3 доказана

ТЕОРЕМА 3. Уравнение

Xm = Ат

(АеКп+1 - заданная носа, mel, т*о - заданное число, х - неизвестная коса) имеет в группе Кп+1 единственное решение.

На теореме 3 основывается также доказанная в пункте 3.1

ТЕОРЕМА 4. Бели А - крашеная коса, то для любого целого числа j * о

N(А) = N(A]) .

В пункте 3.2. главы 3 содержится описание нормализаторов чистых кос некоторого класса.

Обозначим циклическую подгруппу, порожденную косой Н. через <Н>. Коса o-j.. .о- о^.. ,сг .. .с о- о- в группе Вп+1 обозначается через Д. Как известно 22). подгруппа <д2> является-центром В

22

) Chow W.L. On the algebraical braid group, Ann. Math., 151, N% 2 (1963), 101 - 107.

Если А - i-чистая коса, то через [А] обозначим циклическую подгруппу i-чистых кос, коммутирующих с А.

Пусть А - некоторая i-чистая коса. Удаляя из А все нити,

кроме i-ой и некоторой k-ой (k*i), получим некоторую косу из группы В2. Число s будем называть степенью к-ой нити относительно i-oü в косе А и обозначать сА(i, к). В пункте 3. 2 доказана

ТЕОРЕМА 5. Пусть а е Вп+1 - i-чистая коса, степени

cA(i,l),.., cA(i,i-l), cA(i,i+l),cA(i,n+l)

являшея попарно различными ненулевыми числами. Тогда

N(А) = [А]<Д2> .

Теорема 5 дает явное описание нормализаторов для достаточно широкого класса чистых кос.

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Акименков А. М. Решение задачи сводимости для кос групп Вп+1 при п<з, 10-я Всесоюзная конференция по математической логике. Тез. докл., Алма-Ата (1990).

2. Akimenkov A.M. Solution of the reducibility problem for 4-string braids. Int. J. Algebra and Computation, 1, N% 2 (1991), 185 - 200.

3. Акименков A.M. О подгруппах группы кос B4, Маг. заметки,

50. N% 6 (1991), 3 - 13.

1

4. Акименков A.M. О нормализаторах крашеных кос. Мат. заметки. 51, n% 5 (1992), 3-11.