О покрытиях выпуклыми множествами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ

Введение

Некоторые обозначения

1 О трансверсалях семейства транслятов двумерного выпуклого компакта

1.1 Формулировка результата

1.2 Вспомогательные факты.

1.3 Доказательство основной теоремы.

2 М-сильная выпуклость и порождающие множества

2.1 Введение

2.2 Вспомогательные факты.

2.3 Доказательство теоремы 2.3.

2.4 Применение теоремы 2.

2.5 Эквивалентность М-сильноЙ выпуклости и М-выпуклости

2.6 Доказательство аналога теоремы Каратеодори

2.6.1 Сведение доказательства к лемме 2.23.

2.6.2 Доказательство леммы 2.

2.7 Тела постоянной ширины.

2.7.1 Основные понятия и результаты.

2.7.2 Доказательства

3 О назначении точек гиперграням многогранника

3.1 Введение

3.2 Формулировка основных результатов.

3.3 Вспомогательные утверждения.

3.4 Доказательства основных результатов.

3.5 Следствия доказанных теорем.

Интерес к исследованиям в области дискретной геометрии и выпуклого анализа в последние десятилетия вызван значительным прогрессом в развитии вычислительной техники, который сделал возможным решение разнообразных задач геометрической оптимизации и управления и привел к постановке многих новых задач в этой области. Классическими задачами оптимизации в дискретной геометрии являются покрытия, упаковки и выпуклые разбиения, несколько результатов в этой области приведены в данной работе.

Задачи управляемости и наблюдаемости в математической теории оптимального управления сводятся к изучению "множеств достижимости", которые для некоторых классов задач являются выпуклыми множествами. В частности, некоторые задачи математической теории оптимального управления и теории дифференциальных игр требуют изучения свойств выпуклых множеств (выпуклый анализ) и возможных усилений понятия выпуклого множества. Последнему вопросу посвящена глава 2 данной работы.

Одним из фундаментальных результатов выпуклого анализа является теорема Хелли (см. [2]). Она утверждает, что конечное семейство выпуклых множеств в имеет непустое пересечение тогда и только тогда, когда любое подсемейство из не более чем п + 1 множества имеет непустое пересечение. В книге Л. Данцера, Б. Грюнбаума и В. Кли [2] содержатся разные приложения теоремы Хелли и ее обобщения, в частности, топологическая теорема Хелли, которая утверждает, что в теореме Хелли достаточно вместо выпуклости требовать гомологической тривиальности всех множеств семейства и всех их непустых пересечений.

Один из путей обобщения теоремы Хелли связан с понятием к-транс-версали семейства множеств — такого множества из к точек, которое пересекается с любым множеством семейства. Теорема Хелли утверждает, что конечное семейство выпуклых множеств имеет 1-трансвер-саль тогда и только тогда, когда 1-трансверсаль имеет любое подсемейство из не более чем п 1 элемента.

Однако, для /с-трансверсалей при к > 2 аналог теоремы Хелли не верен ни при какой константе вместо п +1. Тем не менее (см. обзор [4]) при рассмотрении других классов семейств аналогичные результаты могут быть установлены. Кроме того, в аналогах теоремы Хелли можно требовать выполнение более сильных условий, чем существование к-трансверсали достаточно малых подсемейств. В частности, Б. Грюнбау-мом была сформулирована гипотеза о том, что семейство транслятов выпуклого компакта на плоскости имеет 3-трансверсаль, если любые два множества из этого семейства пересекаются.

Ранее в литературе приводились частичные доказательства этой гипотезы в случае евклидовых кругов [5, 6], треугольников [7], центрально симметричных множеств [8] или множеств постоянной ширины [9].

1. Danzer, L., В. Griinbaum, V. Klee. Helly's theorem and its relatives // Convexity, Proc. of Symposia in Pure Math. Amer. Math. Soc. — Providence, R1. 1963. — V. 7. — P. 101-180.

2. Данцер Л., В. Грюнбаум, В. Кли. Теорема Хелли и ее применения.М.: Мир, 1968.

3. Грюнбаум В. Этюды по комбинаторной геометрии и теории выпуклых тел. — М.: Наука, 1971.

4. Хадвигер Г., Г. Дебруннер. Комбинаторная геометрия на плоскости. — М.: Наука, 1965.

5. Chakerian, G.D., S.K. Stein. Some intersection properties of convex bodies // Proc. Amer. Math. Soc. — 1967. — V. 18. — P. 109-112.

6. Griinbaum, B. On intersection of similar sets // Portugal Math. — 1959. — V. 18. — P. 155-164.

7. Chakerian, G.D., G.T. Sallee. An intersection theorem for sets of constant width // Duke Math. — 1969. — V. 36. — P. 165-170.

8. Болтянский В.Г., И.Ц. Гохберг. Разбиение фигур на меньшие части. — М.: Наука, 1971.

9. Maehara, Н. A remark on certain completition of a convex set j j Math. Japonica. — 1991. — No. 1. — P. 47-49.

10. Иванов Г.Е., Е.С. Половинки». Сильно выпуклые дифференциальные игры // Дифференциальные уравнения. — 1995. — Т. 31.С. 1641-1648.

11. Половинкин Е.С. Сильно выпуклый анализ // Математический сборник. — 1996. — Т. 187, No. 2. — С. 103-130.

12. Балашов М.В. Некоторые вопросы сильно выпуклого анализа. Дисс. на соискание уч. ст. к.ф.-м.н. по спец. 01.01.09. — М.: МФТИ, 1998.

13. Половинкин Е.С., М.В. Балашов. М-сильно выпуклые подмножества и их порождающие множества j j Математический сборник.2000. — Т. 191, No. 1. — С. 27-64.

14. Frankowska Н., С. Olech. й-convexity of the integral of the set-valued functions // Contributions to analysis and geometry. — Baltimore, MD: John Hopkins Univ. Press, 1981. — P. 117-129.

15. Wieacker, J.A. Helly-type decomposition theorems for convex sets // Arch. Math. — 1988. — V. 50. — P. 59-67.

16. Geivaerts, M. Enkele eigenschappen van de relatie "homothetisch aanpasselijk" in de ruimte der konvexelichamen // Med. Konink. Acad. Wetensch. — Ве1^ё, 1972. — V. 34. — P. 3-19.

17. McMullen, P., R. Schneider, G.C. Shepherd. Monotypic polytopes and their intersection properties // Geom. Dedicata. — 1974. — V. 3. — P. 99-129.

18. Рудин У. Функциональный анализ. — M.: Мир, 1975.

19. Рокафеллар Р.Т. Выпуклый анализ. — М.: Мир, 1973.

20. Chakerian, G.D., Н. Groemer. Convex Bodies of Constant Width // Convexity and its Applications, ed. by P.M. Gruber and J.M. Wills. — Basel-Boston-Stuttgart: Birkhauser, 1983.

21. Bonnesen, Т., W. Fenchel. Theorie der konvexen Korper // Ergebn. d. Math. u. ihrer Grenzgeb. — Berlin: Springer Verl., 1934. — V. 8, No. 3. — P. 77.

22. Eggleston, H.G. Sets of constant width in finite dimensional Banach spaces // Israel J. Math. — 1965. — V. 3. — P. 163-172.

23. Meissner, E. Uber Punktmengen konstanter Breite // Vierteljahresschr. naturforsch. Ges. — Zurich, 1911. — V. 56.P. 42-50.

24. Фоменко А. Т., Д.Б. Фукс. Курс гомотопической топологии.—М.: Наука, 1989.