О полноте и распределении значений функций, составляющих ортонормированную систему тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I. ОСОБЕННОСТИ ТИПА КАРЛЕМАНА И ВЕЙЛЯ

§ I. Особенности Карлемана и Вейля для функций непрерывных в заданной точке,

§ 2. Особенности Кэрлемана и Вейля для функций, непрерывных хотя бы в одной точке.

ГЛАВА П. О ПОЛНОТЕ ПОДСИСТЕМ ФУНКЦИЙ УОЛША 4б

§ Ь Пространство Ц. Система Уолша (определения, вспомогательные результаты).

§ 2. Полные подсистемы Уолша.

§ 3. Неполные подсистемы Уолша.

ГЛАВА Ш. О НОСИТЕЛЯХ ФУНКЦИЙ, ОБРАЗУЮЩИХ ПОЛНУЮ

ОРТОНОРМИРОВАННУЮ СИСТЕМУ

УКАЗАТЕЛЬ СТРАНИЦ ОПРЕДЕЛЕНИЙ И УТВЕРЖДЕНИЙ

Работа состоит из трех глав. Первая глава посвящена построению некоторых полных ортонормированных систем в , относительно которых некоторый заданный класс функций обладает особенностью Карлемана или Вейля.

Пусть {ч„(х)\ - ортонормальная система в £ [Р-О и li[o,i] . Тогда коэффициенты Фурье функции по системе удовлетворяют условию оо

Sc-<o°- (i)

Спрашивается, можно ли утверждать что-нибудь большее относительно скорости убывания коэффициентов , нежели выполнение (i) хотя бы для "хороших!1 функций, скажем для непрерывных?

Постановка вопроса восходит к Карлеману, который впервые установил (см./I/, с.311) существование непрерывной функции, коэффициенты Фурье которой по тригонометрической системе удовлетворяют условию оо

2|с*(Р=со при всех р<2. (П) n=i

В связи с этим возникло следующее определение (сп./2/,с.270; /3/, с.5): функция ^х*) обладает особенностью Карлемана относительно системы » если ее коэффициенты Фурье

JjfCxy^Mclx удовлетворяют условию (П). о

Теорема Карлемана означает существование непрерывной функции, обладающей особенностью Карлемана по отношению к тригонометрической системе. Теорема Карлемана в дальнейшем обобщалась различными авторами (Палей, Банах, Орлич, Стечкин, Махмудов и др.), работы которых относятся к тригонометрической системе,здесь наиболее важный результат принадлежит С.Б.Стечкину /V» а также к системам, ограниченным в совокупности.

Существование непрерывной функции, обладающей особенностью Карлемана относительно системы Хаара, установил Орлич /5/. Аналогичный вопрос для произвольных полных систем был поставлен А.М.Олевским в работе /6/, где для любой полной ортонормальной системы было установлено существование непрерывной функции, обладающей особенностью Карлемвна. Там же был получен аналогичный результат и для особенностей типа Вейля. Именно в /6/ доказано, что для произвольной полной ортонормальной системы jqjx)^ и для любой последовательности + найдется непрерывная функция , коэффициенты Фурье которой удовлетворяют следующему соотношению:

2c^aj(a)=oo . (ш) п-J.

Общий смысл сформулированных результатов состоит в том, что какова бы ни была полная ортонормальная система, коэффициенты Фурье непрерывных функций по этой системе могут убывать как угодно медленно, в рамках выполнения условия (I). Разумеется, окончательным результатом такого рода явился бы следующий:для любой полной системы и для любой последовательности ов

Ьк^ , » найдется непрерывная функция ^(х) с коэффициентами cn , (c*|<|&nl • Однако такой результат несправедлив уже для системы Хаара. Тем не менее оказывается верным несколько более слабый результат /7/. Именно, в приведенной выше формулировке следует заменить с„ на где |кп) - некоторая фиксированная последовательность номеров, зависящая только от системы {^„(х)} (но не от ). В той же работе /7/ доказано, что если фиксирована полная орто-нормальная система {^(х^ и на некотором замкнутом множеств ве положительной меры Ее[o,ll задана непрерывная функция <^(>0 , то не всегда можно продолжить эту функцию на весь отрезок [ол] так, чтобы полученная функция имела достаточно хорошие коэффициенты Фурье по системе • А именно, оказывается верным следующее утверждение: для произвольной ор-тонормальной системы в li[o.iJ и произвольного множества положительной меры Е с [оа] существует дифференцируемая функция F(x) такая, что всякая функция ^(x^g LICo.l] » совпадающая с F(x) на Е , обладает особенностью Карлемана по отношению к {^С*^ .

Иными словами, особенности можно локализовать в сколь угодно малой окрестности. Более того, в работе /8/ А.М.Олевским было показано, что особенность Карлемана локализуется на компактах меры нуль.

Из вышеприведенного утверждения вытекает, что каковы бы ни были полная ортонормальная система {ч^С*^ и множество 11 , рЦ< 1 , исправлением нэ множестве 11 произвольной непрерывной функции F , заданной на [од] , вообще говоря, нельзя добиться сколько-нибудь быстрого убывания коэффициентов Фурье, т.е. устранения кврлемановской особенности. Вместе с тем оказывается, что если разрешить множеству И зависеть от функции F , то положение меняется. Именно, из теоремы А.А.Талаляна (/9/,с.720) вытекает существование полной орто-нормальной системы {^-00} , обладающей тем свойством,что каждая непрерывная функция F(x) может быть исправлена на множестве сколь угодно малой меры таким образом, чтобы полученная в результате функция имела коэффициента Фурье по системе » удовлетворяющие следующему условию оо

ZM<bo . h = i

Но для системы Хаара такое исправление не всегда возможно.Как показал Ю.С.Фридлянд /10/ существует функция ^Сх^еСоо такая, что для любого измеримого множества Ec[o<i] , >о* любая функция FCx^e L![o,i] , совпадающая с на множестве Е , обладает особенностью Карлемана по отношению к системе Хаара.

В работе /7/ А.М.Олевский показэл существование полных ор-тонормальных систем, для которых коэффициенты Фурье любой нетривиальной непрерывной функции убывают достаточно медленно. А именно в работе /7/ доказана следующая теорема.

Теорема А. Существует полная ортонормальная система функций {4L(>0) такая, что каждая непрерывная функция £00 за исключением ) обладает особенностью Карлемана относительно

Там же (/7/, с.822) был получен аналогичный результат и для особенности типа Вейля.

Теорема В. Для любой последовательности ar(ri)-> + ee существует полная ортонормальная система {ч>п(>0] такая,что для любой непрерывной функции ^Мт^о коэффициенты Фурье удовлетворяют условию (Ш).

В первой главе настоящей работы содержатся некоторые результаты, относящиеся к этому кругу вопросов, а именно, доказываются следующие утверждения.

Теорема I. Для произвольной точки х0е[о,1] существует в Е[од] полная ортонормальная система функций , непрерывных в любой точке отрезка [o,i] , за исключением точки Хо , такая, что любая функция ($<700) непрерывная в точке х0 , обладает особенностью Карлемана относительно этой системы.

Заметим попутно, что ни одна из функций этой системы не может быть непрерывной в точке х„ , так как такая функция не обладала бы особенностью Карлемана, являясь в то же время непрерывной в точке х<, .

Аналогичный результат получен и для особенностей типа Вейля.

Теорема 2. Для любой последовательности or (а)-*-«-©© и точки хое[о.0 существует в 1Л[од] полная ортонормальная система функций » непрерывных в любой точке отрезка од] , за исключением точки х«, , такая, что коэффициенты Фурье произвольной функции $(х)е£[од1 , непрерывной в точке Хо , удовлетворяют условию (Ш).

Теорема 3. В пространстве [о,i] существует такая полная ортонормальная система функций {ЧпСх}) » что каждая функция £[o,i] (£06 о) , непрерывная хотя бы в одной точке отрезка [Ъд] , обладает особенностью Карлемана относительно {чи*^ •

Теорема Для произвольной последовательности сагОО-*+«> существует такая полная ортонормальная система функций в li[o,{] , что коэффициенты Фурье любой функции ^Сх)е11СоД] непрерывной хотя бы в одной точке отрезка [од]» удовлетворяют условию Ш .

При построении систем указанных в теоремах 1-4 используются идеи А.М.Олевского, разработанные в работе /7/.

Как известно, система функций » заданная на отрезке [ct.b] , называется системой представления в классе измеримых, почти везде конечных на [cub] функций, если для произвольной, почти везде конечной, измеримой функции F(x) существует ряд

2 м», оо п=1 который почти всюду на отрезке сходится к F(x). Вопрос, является ли тригонометрическая система системой представления в классе почти везде конечных, измеримых функций, был положительно решен Д.Е.Меньшовым /12/.

Для системы Уолша этот вопрос рассматривался Р.С.Давтяном /13/, Ф.Г.Арутюняном /IV- Последним, в статье /14/ был предложен метод, позволяющий доказать теорему представления для широкого класса систем функций, в который входят почти все классические полные ортонормированные системы, и все ранее рассмотренные системы представления. Кроме того, в указанный класс входят все базисы пространства CCo.i] и все перестановки системы Уолша. В этой статье, в частности, доказано,что подсистема Уолша, составленная из любой последовательности "полных естественных пачек" системы Уолша, является системой представления в классе измеримых почти везде конечных на функций. Отметим, что при доказательстве этого факта существенным являлось не то, что брались полные пачки, а лишь то, что длины пачек неограниченно возрастали. Точнее, если для системы {ФлСх)^ , следующую ее подсистему: {tyn + и.^ L,2, , где ru<-t- m.K< ак+4 и условиться называть подсистемой типа С , то любая подсистема Уолша типа С является системой представления.

В статье /15/ доказано, что любая подсистема типа С три гонометрической системы является системой представления, в классе почти везде конечных измеримых функций. Но оказывается, что если отказаться от условия неограниченного увеличения длин берущихся лачек, то последнее утверждение может быть неверным, а именно, В.И.Ивановым и В.А.Юдиным в статье /16/ было доказано, что если из тригонометрической системы выбросить функции, номера которых составляют арифметическую прогрессию, то оставшаяся подсистема функций не полна в любом LP , o<p<i Тем не менее в одной неопубликованной работе Ф.Г.Арутюняна доказывается, что если тригонометрическую систему разбить на лачки, каждая из которых содержит одинаковое число элементов, то из каждой пачки можно выбрать по одной функции так, что выбранная подсистема является системой представления.

Целью главы П является перенесение последних двух результатов на систему Уолша. Система Уолша, наряду с тригонометрической системой и системами Радемахера и Хаара, является одной из самых употребительных в теории ортогональных рядов.

В математике она была введена Уолшем в 1923 году (см./17/). Однако в технике связи она, наряду с системой Радемахера, была известна и использовалась уже с 1900 года (см.,например,/18/, /19/).

В математической литературе под названием "система Уолша" фигурируют три полные ортонормировэнные системы. Это подлинная система Уолша {ч>к} и» введенные позже, система Уолша-Пэли

1932 г., см./20/) и система Уолша-Качмажа {ф*} (1948 г., см., например, /21/), которые отличаются друг от друга нумерацией внутри "пачек".

Все эти системы нашли широкое применение в теории связи (а также в вычислительной математике, см./21/), причем там предн почтение отдается подлинной системе Уолша.

В § I главы П вводятся некоторые определения и доказываются некоторые вспомогательные леммы, В частности дается определение пространства LP (см., например, /22/-/27/) и приводятся (без доказательств) некоторые свойства этого пространства, которые легко проверить стандартными приемами (см., например, /28/, /29/д

В § 2 главы П доказывается следующее утверждение: Теорема 5. Если систему Уолша последовательно разбить на лачки, содержащие по n элементов (где п любое наперед заданное натуральное число), то, выбирая из каждой пачки по одному элементу, можно составить такую подсистему Уолша, что для произвольной функции F(x)e L4[o,i] существует ряд, составленный из элементов этой подсистемы, который и в пространстве L4[o.i] , и почти всюду на [o,i] сходится к £(х) .

При доказательстве этой теоремы используются методы, разработанные в работах /14/ и /30/.

В § 3 главы П доказывается следующее утверждение: Теорема б. Если систему Уолша разбить на пачки, содержащие по ri (n->i) элементов, то из каждой пачки можно выбрать по одной функции так, чтобы и выбранная подсистема Уолша, и оставшаяся подсистема будут незамкнуты в пространстве Sjp.O Как было показано Орличем в работе /32/, для полной ортооо нормированной системы ряд (*) почти всюду расходитrtei ся. Однако доказательство Орлича не давало возможности оценить распределение положительных и отрицательных значений для функций, образующих полную ортонормированную систему. Этот вопрос был решен В.Я.Козловым в работе /33/.

Пусть {Ч^С*")} -ортонормированная на [од] система функций из li . Положим если Ц^ОО^О,

Л / N п \ О , если О •

Теорема В.Я.Козлова гласит:

Если система функций {^К(У)\ полна, то ряды

Оо оо и ZfcMr расходятся почти всюду.

В дальнейшем оказалось /34/» что теорема В.Я.Козлова верна и для безусловных базисов пространства LP

Из теоремы В.Я.Козлова непосредственно следует, что для полных ортонормированных систем ряд ^ расхоп=1 № fc Л дится почти всюду. Ф.Г.Арутюняном в работе /54/ показано, что оо для произвольных положительных чисел oi*. , если , то можно построить на отрезке Сод] такую полную ортонормиг + рованную систему функций, у которых

Ел

Из теоремы Орлича следует, что

2. м.Е„=^° CE--E.UE;).

Как известно, существуют полные ортонормированные системы, для которых Еп.-*о . Например, для системы Хаара Еа=о(~) Возникает вопрос, что можно сказать о скорости убывания En. для полных ортонормированных систем, оставаясь, конечно, в рамсо ках вышеуказанного соотношения ( = 0 )•

П»1

В этом направлении в Ш главе получен следующий результат. Теорема 7. Для любой последовательности положительных чи~ оо сел €>а Са = 1.2,.Л , где 2» = ^ * существует на отрезке nal o,i] такая полная ортонормированная система функций {^(х)} » что juEn.^&n. asi.2f.

В заключении выражаю благодарность Ф.Г.Арутюняну за поста новку задач и постоянное внимание к работе.

1. Бари Н.К., Тригонометрические ряды. М., Физматгиз, 1961.

2. Качмаж С., Штейнгауз Г., Теория ортогональных рядов, М., Физматгиз, 1958.

3. Ульянов П.Л., Решенные и нерешенные проблемы теории тригонометрических и ортогональных рядов.Успехи матем.наук,19, вып.1, 1964, 3-69.Стечкин С.Б., О коэффициентах Фурье непрерывных функций. Изв.АН СССР, серия матем., 21, № I, 1957, 93-116.

4. Orbi* W., TkeoxXe det О blkogoоа^гелкеа , divietruxb.AcolcL. ScA., Pofcorx., J^bA (192?). ""5.

5. Олевский A.M., О расходимости ортогональных рядов и о коэффициентах Фурье непрерывных функций по полным системам. Сиб.матем.ж., 1У, № 3, 1963, 647-656.

6. Олевский A.M., Об особенностях типа Карлемана для полных ортонормзльных систем. Сиб.матем.ж.,УШ, Ш 4, 1967,807-826.

7. Олевский A.M., О локализации особенностей Карлемана на компактах меры нуль. ДАН СССР 202, № I, 1972, 30-34.

8. Талалян А.А., Полные системы безусловной сходимости в слабом смысле. Изв.АН СССР, серия матем.,28, №3,1964,<713-720.

9. Фридлянд Ю.С., 0 неустранимой особенности Карлемэна для системы Хаара. Мат.заметки, т.14, № 6,1973, 799-807.

10. ЬЬ.ар1ъо U.S., On.compC.e'tc. o^tkoc^oaad ^amities cur\cl ^eXoctedc\ue,stix>a on. an matu* , Mlcklgcuv.'J., ii,cN-si, (1964), i5-i&.

11. Меньшов Д.Е., Svxt. to* ^e^eseivtafto n скъь ^oacti-ons те5>и.ъз.(эUs рал. des. 5ег 1еь tti^oaom&w^ueb, Нолем. об". , 9(55} (1941V

12. Давтян P.O.,О представлении измеримых функций рядами по полным ортонормированным системам сходимости. Изв. АН Арм.ССР, серия физ.-мат.наук У1, № I, 1971, 3-20.

13. Арутюнян Ф.Г.,Представление измеримых функций почти всюду сходящимися рядами. Мат.сб.,т.9(132):4, 1973, 483-520.

14. Арутюнян Ф.Г.,Представление функций кратными рядами, ДАН Арм.ССР, Х1У, № 2, 1977, 72-75.

15. Иванов В.И., Юдин В.А., О тригонометрической системе в Ц ,Мат.заметки, т.28, № 6,1980, 889-903.

16. WaCs.fl 3-Ь.; А сЬоьеА set noxmcxt o^o^oaoi. J{uj*ctU>nA,MoAJv. , (i923\ 45, 5-24.

17. Хармут Х.Ф., Передача информации ортогональными функциями. М.: Связь, 1975, 267 с.

18. Хармут Х.Ф., Теория секвентного анализа. Основы и применения. М.: Мир, 1980, -574 с.20. (ЪЦ Я., A ^maT-koufefes^bUm o^tkogoruol £u.n.c.tLoas,Реве. UorucLorv Hcdfc. Soc., (19Ь2\34. 241-2?9.

19. Балашов Л.А., Рубинштейн А.И., Ряды по системе Уолша и ихобобщения, в сб.: Итоги науки, сер.мат., Математический анализ, 1970; М.: ВИНИТИ, 1971, 147-202.

20. Красносельский М.А., Рутицкий Я.Б., Выпуклые функции и пространства Орлича, М., Физматгиз, 1958.

21. Оъ&лъ W., U&e*. едла. ^ewUse. \г&хъъг von. vom "Т^р^ь Ь,bu.ee. AcoudL.p0e«n., А, Gago^ (1^2),20^-220.

22. Ma±us*ewsfca W., Oa §eaeta£lied OtXtca Spaces, ba^. AcaoLPoeon., se*. mccttk. 8-.6 (i960), 349-35b.

23. Maia^mk W., W. , A огч ^ of S-aoWQ>pax&s oV ^-WfojwAk ^илейопв, bW10?-115.

24. Ульянов П.Л., Представление функций класса рядами. Труды мат.ин-та им.В.А.Стеклова, 112:1, 1971, 372-384.

25. Ульянов П.Л., Представление функций рядами и классы , Успехи мат.наук, т.ХХУП, вып.2(164), 1978, 3-52.

26. Натансон И.П., Теория функций вещественной переменной. М.,

27. Колмогоров А.Н., Фомин С.В., Элементы теории функций и функционального анализа. М., Наука, 1972. 496 с.

28. Талалян А.А., Представление функций классов Lf>o,i. , о<.р<1, ортогональными рядами, Acta. АсоДет. £>сл. Ци.л21, № 1-2, 1970, 1-9.

29. Невё Ж., Математические основы теории вероятностей. М.,Мир, 1969, 309 с.

30. ОгЛсс* Ж , ТКео^е dex Mi. Acad.Ровоruu.se (i92?), 81-115.

31. Козлов В.Я., 0 распределении положительных и отрицательных значений ортогональных и нормированных функций, образующих полную систему. Мат.сб.23, 1948, 475-480.

32. Арутюнян Ф.Г.,0 распределении положительных и отрицательных значений функций, образующих безусловный базис в пространстве LPo,i. . изв. АН Арм.ССР, серия матем.,ХУШ, fe I, 1966.

33. Манукян В.М., Особенность Карлемэна для одного класса функций, ДАН Арм.ССР, ХЭШ , № 5, 1981, 263-268

34. Манукян В.М., Особенность Карлемана для функций, непрерывных хотя бы в одной точке. Изв.АН Арм.ССР, серия мэтем., ХУ1, № 6, 1981, 444-455.

35. Мэнукян B.M. О подсистеме функций Уолша являющейся системой представления. Докл. АН Арм.ССР, т. XXIX, № 4, 1984, с.147-151.