О положительной обратимости разнопорядковых задач на графах

Белоглазова, Татьяна Владимировна

О положительной обратимости разнопорядковых задач на графах тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Белоглазова, Татьяна Владимировна АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Воронеж МЕСТО ЗАЩИТЫ

2003 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.02 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «О положительной обратимости разнопорядковых задач на графах»

Автореферат диссертации на тему "О положительной обратимости разнопорядковых задач на графах"

На правах рукописи

Белоглазова Татьяна Владимировна

О ПОЛОЖИТЕЛЬНОЙ ОБРАТИМОСТИ РАЗНОПОРЯДКОВЫХ ЗАДАЧ НА ГРАФАХ

Специальность 01.01.02 - дифференциальные уравнения

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико - математических наук

ВОРОНЕЖ - 2003

Работа выполнена на кафедре математического анализа Воронежского государственного университета

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

заслуженный деятель науки РФ доктор физико-математических наук, профессор Покорный Юлий Витальевич

доктор физико-математических наук, профессор Перов Анатолий Иванович

доктор физико-математических наук, профессор Хромов Август Петрович

Владимирский государственный педагогический университет

Защита диссертации состоится " 28 " октября 2003 года в 1540 час. на заседании диссертационного совета КР212.038.16 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук в Воронежском государственном университете по адресу: 394693, г. Воронеж, Университетская пл., 1, ВГУ, математический факультет.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Воронежского государственного университета.

Автореферат разослан ££ сентября 2003 года.

Ученый секретарь диссертационного совета

Гликлих Ю.Е.

ОШ

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность темы. В последние годы интенсивное развитие получила теория дифференциальных уравнений на графах и стратифицированных множествах. Отметим только некоторых ученых и научные группы, которые занимались этими задачами: Ю.В. Покорный и участники его семинара в Воронеже, В.В. Жиков, B.C. Павлов, М.Д. Фаддеев, А.Н. Покровский, С.П. Новиков, С.А. Назаров, группа Nicaise, von Below J., Lumer G. и др.

Основные продвижения сделаны для линейных уравнений второго порядка на графе и задач Штурма -Лиувилля для этих уравнений. Воро-нежцами здесь изучены условия разрешимости широких классов краевых задач, установлены точные аналоги теорем сравнения Штурма, доказаны существование функции Грина и ее положительность, построена теория неосцилляции и получены оценки геометрической кратности собственных значений, найдены общие условия справедливости точного аналога теории Штурма - Лиувилля.

Для уравнений четвертого порядка на графе работ существенно меньше. Различные системы стержней с условиями шарнирного и упруго -шарнирного закрепления изучали в работах Ю.В. Покорный, A.B. Боровских, Р. Мустафокулов, К.П. Лазарев, Ali Mehmeti F., Dekoninck В., Nicaise S., Lagnese J.E., Leugering G., Schmidt E.J.P.G. Несмотря на внешнее небольшое различие с уравнениями второго порядка такие модели оказываются существенно более трудными для анализа, что вызвано и разнообразием условий согласования. Первые результаты для таких задач были получены для уравнений с постоянными коэффициентами на графах простейшей структуры (пучок, дерево). Более общие классы рассматривались в работе Боровских A.B., Мустафокулов Р., Лазарев К.П., Покорный Ю.В. (Доклады РАН. 1995. Т. 345, N 6. С. 730-732).

Разнопорядковые краевые задачи на графах ранее практически не были исследованы. В этом направлении известны литпь результаты К.П. Лазарева, Ю.В. Покорного для растянутой цепочкг из с'щ^^етазжн^'

С. Петербург

оэ II________ .

и Ю.В. Покорного, E.H. Провоторовой для пучка из одинаковых струн и одинаковых стержней.

Цель работы.

Анализ краевых задач на графе для разнопорядковых дифференциальных уравнений, охватывающих модели деформаций струнно - стержневых систем. Поиск условий усиленной положительности обратных операторов, исследование соответствующих спектральных задач. Полигоном анализа качественных свойств служат две канонические модели:

- "струнно - стержневой крест" (две струны и два стержня, взаимодействующих в одной точке),

- "стержневой треугольник, растянутый струнами".

Эти модели выделены по следующим причинам:

- они содержательны и нетривиальны, имея ясную физическую природу,

- они достаточно просты для проведения исчерпывающего анализа принципиально новых ситуаций, выявления новых свойств, не связанных с обилием ребер,

- они содержат главные особенности, порождающие существенные дополнительные проблемы в задачах на графах, а именно: сложные стыковки во внутренних вершинах и присутствие циклов.

Методика исследования.

В работе используются классические методы теории обыкновенных дифференциальных уравнений на отрезке, а также качественные методы задачи Штурма - Лиувилля на графе, методы теории операторов в пространствах с конусом.

Научная новизна.

Перечисленные ниже основные результаты являются новыми.

- Установлена однозначная разрешимость краевой задачи для общей струнно - стержневой модели. Показано, что это свойство равносильно выполнению принципа максимума для однородной задачи без условий на границе.

- Для рассматриваемых моделей осуществлено построение функций Грина, понимаемой как ядро интегрального оператора, обращающего задачу.

- Изучены регулярные свойства функции Грина (в частности, непрерывность, гладкость, симметричность).

- Установлена положительная обратимость обоих типов задач.

- Показана строгая положительность функции Грина первой модели и получены ее двусторонние оценки.

- Дано описание множества нулей и зон положительности функции Грина второй модели.

- Показана строгая положительность второго итерированного ядра -функции Грина второй модели.

- Установлена позитивная простота ведущего собственного значения, в соответствующих спектральных задачах обеих моделей.

Теоретическая и практическая значимость.

Основные результаты работы носят теоретический характер.

Апробация работы и публикации.

Основные результаты диссертации, опубликованные в работах [1] - [8|, докладывались и обсуждались на Воронежских весенних математических школах "Современные методы в теории краевых задач"в 2002г., 2003г. и на Воронежской зимней математической школе 2003 г., на научных сессиях Воронежского госуниверситета в 2002 - 2003 гг.. на семинарах Ю.В. Покорного, А.И. Перова.

Структура и объем работы работы.

Диссертация состоит из введения, 4 глав, объединяющих в общей сложности 15 пунктов, и списка литературы. Общий объем диссертации 128 стр. Библиография содержит 83 наименования.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Введение содержит обзор состояния вопроса и далее близко к автореферату.

В первой главе дается точное физическое описание общей струнно -

стержневой системы, обосновывается соответствующая математическая модель.

Мы используем ниже следующие обозначения: 1

Г - связный геометрический граф из R3, у которого его ребра обозначаются через тг = 1,г, множество внутренних вершин - J (Г), а граничных вершин - <9Г, объединение всех ребер - Л (Г). Для каждой а £ Г Г(а) означает множество всех примыкающих к а ребер (вместе с а).

Рассматривается сеть из г струн и стержней, положение равновесия которой совпадает с графом Г. Отклонение точек системы от положения равновесия описывается функцией ы(-) : Г —> К.

Пусть Г]: и Г2 - множества точек ребер, соответствующих стержням и струнам соответственно. Функция р[х) описывает локальную жесткость стержней в точках х € Г}, a q(x) описывает упругость струн в точках х € Г2. Удобно считать, что функции р(х), q(x) заданы на всем графе так, что q(x) = 0 при х € Гь р(х) = 0 при х G Гг. При этом inf (g(x)} >

х€Г2

О, и inf (p(z)} > 0.

Введем пространства:

С(#(Г)) - множество функций «(•) : Я (Г) —>■ R, для которых сужение v7(*) равномерно непрерывны на 7 для каждого ребра 7 С Я(Г);

Ск(Г,) (г = 1,2) - множество функций v(-) : Г,- —> Е, для которых ij-Д*) равномерно непрерывны вместе с производными о порядка к на 7 для каждого ребра 7 С /¿(Г);

Т = {v(.)| »(•) G С(Я(Г)), «г,(-) G СПГ,), !*,(•) € С2(Г2)}.

Будем предполагать, что плотность внешней нагрузки, действующей на систему, задается функцией /(•) £ С(Я(Г)), соответствующее отклонение «(•) € Т, функции р(.) е С2(Г), q(.) G С1 (Г).

Введенные параметры позволяют описать потенциальную энергию, откуда классическая вариационная схема Лагранжа для реальной деф-

' См. Покорный К).В. О неосцилляции обыкновенных дифференциальных уравнений и неравенств на пространственных сетях // Дифференц. уравнения. 2001. Т. 37, N 5. С. 661-672.

ормации приводит к системе разнопорядковых уравнений

(ри")" - (ди'У = /,/е С(Д(Г}) (1)

на Д(Г). Для гг(-) выполнены условия непрерывности

и7(а) - им(а) = О, 7, ц С Г(а), а е 7(Г). (2)

Вариационные соображения приводят и к условиям шарнира

(р7<) (а + 0) = 0, 7 С ^ П Г (а), J(Г) и дГ (3)

и к условиям трансмиссии для внутренних вершин

£ ((р^У - 9ти0 (а + 0) = 0, а € 7(Г). (4)

7СГ(а)

Закрепление системы в граничных вершинах дает аналог условий Дирихле

и (а) = 0, а € дГ. (5)

Во второй главе изучается вопрос о разрешимости однородных и неоднородных задач и строятся функции Грина, доказывается, что разрешимость общей задачи эквивалентна принципу максимума.

Обозначим через Ь оператор, действующий на функции из Т по правилу

Ьи = (ри")" - (ди'у. (6)

Тогда, уравнение (2) запишется в виде Ьи = /.

Введем в классе Т функционалы ¿^ {к — 1,т), определяемые левыми частями формул (2) - (5), и задачу (1) - (5) запишем в виде:

Ьи = /, /€С(Я(Г))

__(7)

4(«) = 0, к = 1,тп. Называем задачу невырожденной, если соответствующая однородная задача имеет только нулевое решение в классе 7". Однозначная разрешимость этой задачи эквивалентна невырожденности.

Подграфом Го называется любое открытое связное подмножество Г.

Теорема 1 Задача (7) наверняка вырождена, если существует подграф Го графа Г такой, что

1) Го содержит только целые ребра графа Г,

2) Го состоит не менее чем из двух ребер,

3) ко всем вершинам а € ЭГд примыкают в Го только ребра ^ С Гх (на этих ребрах порядок уравнения равен четырем).

Теорема 2 Задача (7) невырождена, если любую вершину а £ J(Г) можно соединить с дТ путем, состоящим только из целых ребер, принадлежащих Г2 (на этих ребрах порядок уравнения равен двум).

Теорема 3 Следующие условия 1° и 2° эквивалентны.

1° Существует вершина а £ ./(Г), которую нельзя соединить с дТ путем, состоящим только из целых ребер, принадлежащих Г2. 2° Существует подграф Го графа Г такой, что

1) Го содержит только целые ребра графа Г,

2) Го состоит не менее чем из двух ребер,

3) ко всем вершинам а 6 <ЭГо примыкают в Го только ребра С Г1.

Будем говорить, что для однородной задачи (7) без условий на границе выполнен принцип максимума, если для любого решения и(-) этой

задачи эири(-) и т£и(-) достигаются на 9Г. г г

Трпрема 4 Принцип максиму.на эквивалентен невырожденности задачи (7).

Для аналогичной (7) задачи

с неоднородными условиями верны следующие утверждения.

Теорема 5 Невырожденная задача (8) имеет в классе Т единственное решение при любых правых частях.

(8)

Следствие 1. Невырожденная задача (8) при аь = 0, к — 1,т имеет единственное решение в классе Т для любой / £ С(Д(Г)).

Следствие 2. Пусть любую вершину а 6 «/(Г) можно соединить с дТ путем, состоящим только из целых ребер, принадлежащих Гг. Тогда задана (8) имеет единственное решение в классе Т при любых правых частях а*, к = 1, т и / € С(Д(Г)).

Следствие 3. Пусть не существует подграфа Го графа Г такого, что

1) Тц содержит только целые ребра графа Г,

2) Го состоит из не менее чем двух ребер,

3) ко всем вершинам а 6 дГо примыкают в Го только ребра 7;- С Г1. Тогда задача (8) имеет единственное решение в классе Т при любых

правых частях а*, к = 1, т и / 6 С(Я(Г)).

Следствие 4. Пусть М - количество граничных вершин графа Г. Тогда множество решений невырожденной однородной задачи без условий на границе в классе Т имеет размерность М.

В частности, размерность пространства решений однородной задачи без условий на границе для модели "струнно - стержневой крест" равна четырем, а для модели "стержневой треугольник со струнами" равна трем.

Для невырожденной общей задачи установлено существование аналога функции Грина и получен ре явный вид.

Теорема 6 Для невырожденной задачи (7) существует определенная на Г х Г функция С(х, я) такая, что решение задачи может быть записано в виде

и{х) = ! С(х,з)/(я)с1з. (9)

Мы называем далее С?(х, я) функцией Грина.

В работе построено "явное" представление функции Грина, позволяющее воочию убедиться в ее непрерывности везде, где она склеена из

регулярных кусков.

Рассмотрим задачу в классе Т

(ри»Г-(диГ)' = /, /(-)€С(Д(Г)), и7(а) - и^(а) = 0, 7, д С Г(а), а е ./(Г), (р74)(а + 0) = 0, о е .ДГ) и ЭТ, 7 е Гх П Г (а), (10)

£ ((Р^О' ~ 37"') (а + 0) = 0, а £ 7(Г),

7СГ(а)

и(а) = <р(а), а 6 ЭГ.

Эта задача отличается от задачи (1) - (5) тем, что неоднородные граничные условия (5) заданы значениями некоторой функции <р : дГ —> К.

Теорема 7 Решение невырожденной задачи (10) может быть записано в виде

«(&) = I С{х, в)/(я)с1я + £ (И)

Р аеЭГ

где иа(х) - это решение задачи (10), когда <р(а) = 1 в (р{Ъ) — 0 при Ьфа.

Следствие 1. Решение невырожденной задачи (10) при /(ж) = 0 на Г может быть записано в виде

Ф) = ^(«ни- (12)

оеаг

В главе 3 изучены регулярные свойства функции Грина модельных задач.

Теорема 8 Функция Грина й(х, в) второй модели обладает следующими свойствами:

1. С?(ж, я) равномерно непрерывна по совокупности переменных на ГхГ.

2. При фиксированном в £ 7(Г) и дГ

2.1 к = 1,2 равномерно непрерывны по совокупности пере-

менных на каждом множестве 7,- х 7,-, г = ТТЗ, 3 = Т~6/

2 2 , fc = 3,4 равномерно непрерывны по совокупности пере-

менных на каждом множестве 7¿ X 7;, i ф j, i = 1,3, j = 1,6 и на треугольниках, получаемых из цх 7,-, ¿ = 1,3 удалением diag (7,- х 7,);

2.3 g^f, ¿ = 1,2 равномерно непрерывны по совокупности переменных на каждом множестве 7¿ х 7^, г ф j, i = 4,6, j = 1,6 и на треугольниках, получаемых изцх 7,-, г = 4,6 удалением diag (7; х 7;);

2.4 Если s £ 7¿, i= 1,3 с вершинами a,b £, ./(Г), то

G(s - О, s) = G(s + О, s)

а2 а2

где производные берутся в направлении от а к Ь; 2.5 Если s (Ел, г — 4,6 с вершинами a,b £ </(Г), то

G{s - О, s) = G(s + О, s)

= 1,

1=4-0

= -1,

i=«-0

где производные берутся в направлении от а к Ь;

2.6 С(х, в) удовлетворяет по х уравнению Ьи - 0 при х ф в;

2.7 С{х, в) удовлетворяет условиям (2) - (5).

3. При фиксированном з € ЭГ 6(1, я) = О для всех х Е Г.

4. При фиксированном = а £ ./(Г)

4.1 в{-,а + 0) £ Г;

4.2 £?(•, а + 0) удовлетворяет однородному уравнению Ьи = 0;

4.3 <3(-,а + 0) удовлетворяет условиям (2), (3), (5);

4.4 а+О) удовлетворяет условиям (4), не содержащим вершину а и условию, которое получается из (4) в вершине а заменой правой части на 1.

Аналогичное утверждение справедливо и для первой модели. Для первой модели доказана положительность функции Грина и получены ее оценки.

Теорема 9 Пусть С(х, в) функция Грина задачи (1) ищ-решение этой задачи при /(х) = 1. Тогда щ(х) > 0 на Г и существуют непрерывные положительные суммируемые на Г функции а(в) и /3(я) такие, что

а(в)«о(«) < С(х, в) < Р(в)щ(х). (13)

Оценки (13) создают основу для применения теории щ - положительных и мо - вогнутых операторов.

Для второй модели справедливы следующие утверждения.

Теорема 10 Пусть и(х) - решение задачи (7) и /(х) > 0 на Г. Тогда 1° Если /(х) ф 0 для некоторой струны, т.е. на некотором (у — 4,6) и /(х) = 0 на всех остальных ребрах 7,- (г = 1,6) при г ф то и(х) > 0 на всех ребрах, примыкающих к вершине а;_з и в самой вершине а}-з, а на остальных ребрах и в остальных вершинах и(х) = 0. 2° Если /(х) ф. 0 для некоторого стержня, т.е. на некотором У] (^ = 1,3) и /(х) = 0 на всех остальных ребрах 7; (г = 1,6) при г ф з, то и(х) > 0 на всех ребрах, примыкающих к вершинам ребра у^, и в вершинах ребра т,, а на оставшемся ребре и в остальных вершинах и(х) = 0. 3° Если /(х) = 0 для некоторой струны, т.е. на некотором 7;- (_;' = 4,6) и на всех стержнях, т.е. на л (г = 1,3), f(x) ф 0 на каждом из оставшихся двух ребер уи то и(х) = 0 на и ЗГ и {а^_з}, а на остальных ребрах и в остальных вершинах и(х) > 0 .

4° Если /(х) ф 0 для некоторого стержня, т.е. на некотором у, {з -~ 1,3) и на одном из примыкающих к нему струн, т.е. на 7,- (г = 4,6) и /(х) = 0 на остальных ребрах, то и(х) > 0 на всех ребрах, примыкающих к вершинам ребра уи в вершинах ребра у,, а на ребре, не примыкающем к ребру и в остальных вершинах и(х) = 0.

5° Если /(х) 'ф. 0 для некоторого стержня, т.е. на некотором ц (у — 1,3) и на каждом из двух ребер ц (г = 4,6), примыкающих к вершинам ребра f{x) = О на остальных ребрах 7Д г = 1,6), то и(х) > О на всех ребрах, примыкающих к вершинам ребра у, и в вершинах ребра 7.-, а на ребре не примыкающем к ребру у и в остальных вершинах и(х) = О. 6° Если /(х) ф О на каждом из не менее, нем двух ребер 7;- и 7,-, исключая рассмотренные случаи 3° — 5°, и /(х) = О ка всех остальных ребрах, то и(х) > О на Г.

Следствие. Если / > О ка Г, то и(х) > О на Г при этом, если / > О на Г, то и(х) > О на Г.

Теорема 11 Пусть фиксирована точка «6Г.

1° Если з € 7, {) = 173), то б (ж, я) > О на всех ребрах, примыкающих к вершинам ребра ц, и в вершинах ребра у, ¿7(х, я) = О на ребре не примыкающем к вершинах ребра 7^ и в остальных вершинах. 2° Если в € 7,- (.7 = 4,6), то С(х, я) > О на всех ребрах примыкающих к вершине и в вершине а7_з, в) = О на остальных ребрах и в остальных вершинах.

3° Если я = а} (;? = 1,3), то С{х, в) > О на всех ребрах, примыкающих к вершине а;-, и в вершине aj, я) = О на остальных ребрах и в остальных вершинах.

Бне описанных зон функция Грина есть тождественный нуль. Установлена положительность второго итерированного ядра для модели "стержневой треугольник со струнами".

Теорема 12 Пусть в) - функция Грина задачи (1) - (5), тогда

второе итерированное ядро 61 (х, я) = /С?(х, <)(?(£, 5)<Й строго полож-

ительно на Г х Г.

В главе 4 изучены свойства интегрального оператора, порожденного функцией Грина. Установлено, что этот интегральный оператор вполне

непрерывен и неотрицателен в конусе неотрицательных функций. Доказана простота ведущего собственного значения и положительность соответствующей собственной функции. Рассмотрим интегральный оператор

с равномерно непрерывным на Г х Г ядром С?(х, я) и непрерывным ограниченным весом р(х) > 0 при х б Г.

Будем называть ядро С(х,в) существенно положительным, если оно неотрицательно на Г х Г и положительно при всех х = в.

Следующая теорема переносит на случай графа классический результат М.Г. Крейна, установленный для Г — [а, Ь] С К.

Теорема 13 Пусть оператор (Ц) имеет существенно положительное ядро. Тогда этот оператор имеет простое положительное ведущее собственное значение А, строго большее абсолютной величины других собственных значений. Собственная функция и{х) оператора Кр, отвечающая А, строго положительна на V и не имеет присоединенных функций.

Теорема доказывается с помощью следующей леммы о расширении носителя неотрицательной функции.

Лемма 1 Пусть оператор (14) имеет существенно положителапос ядро. Тогда всякой неотрицательной и(-) 6 Т (и(х) ф 0) и каждой точке во 6 вирр и \ дГ функция (Кри) (во) > 0, (т.е. при действии оператора Кр на неотрицательную функцию и(-) ее носитель расширяется, причем существенно).

.„Следствие. Равенство зирр Кри — яирр и возможно либо если эирр и = 0 (т.е. «(•) = 0), либо если вирр и = Г (и тогда (Ки)(-) > 0 на

(14)

П.

Рассмотрены спектральные задачи для первой и второй моделей ibu = Х<ш, __ i hu — 0, к = 1,т, где оператор L определены формулой (6), а функционалы ¿к определены условиями непрерывности, согласования и закрепления, р{х) > 0 равномерно непрерывная на Г функция, А - спектральный параметр.

Теорема 14 Задача (15) имеет простое положительное собственное значение Ао, меньшее по модулю всех остальных собственных значений. Значению Ао соответствует собственная функция, не имеющая нулей в Г.

Автор выражает искреннюю благодарность научным руководителям Покорному Ю.В. и Лазареву К.П. за постановку задачи и постоянную помощь.

Публикации автора по теме диссертации.

1. Белоглазова Т.В. Свойства функции Грина для разнопорядковых дифференциальных уравнений на графе. / Т.В. Белоглазова; Воронеж, гос. ун-т. - Воронеж, 2002. - 20 с. - Деп. в ВИНИТИ 07.08.02, Ж452-В2002.

2. Белоглазова Т.В. Непрерывность функции Грина одного класса разнопорядковых дифференциальных уравнений на графе. / Т.В. Белоглазова // Понтрягинские чтения XIII, Воронеж, 3-9 мая. 2002 г.: Тез.докл.

- Воронеж, 2002. - С. 17-18.

3. Белоглазова Т.В. Разрешимость одного класса разнопорядковых дифференциальных уравнений на графе. / Т.В. Белоглазова// Вестник Воронеж, ун-та. Сер. Физика, математика. - 2002. - №1. - С. 95-98.

4. Белоглазова Т.В. Краевая задача для разнопорядковых дифференциальных уравнений на геометрическом графе. / Т.В. Белоглазова // Поиск. Опыт. Мастерство. Сборнике статей. Выпуск №6. Воронеж. 2002.

- С. 99-107;

5. Белоглазова Т.В. О знакорегулярности функции Грина разнопорядковой задачи на графе / Т.В. Белоглазова // Современные методы

. .о^^«« 1 5 0 6 9

теории функций и смежные проблемы, 26 янв. - 2 февр. 2003 г.: Тез. докл. - Воронеж, 2003. - С. 32-33;

6. Белоглазова Т.В. Об одной системе локально взаимодействующих обыкновенных дифференциальных уравнений /Т.В. Белоглазова, Т.В. Перловская // Понтрягинские чтения - XIV, 3-9 мая. 2003 г.: Тез.докл. - Воронеж, 2003. - С. 20;

7. Белоглазова Т.В. Об одном классе разнопорядковых обыкновенных дифференциальных уравнений на графе /Ю.В. Покорный, Т.В. Белоглазова, К.П. Лазарев // Математические заметки. - 2003. - Т.73, №3. - С. 469-470;

8. Белоглазова Т.В. О функции Грина для локально взаимодействующей системы обыкновенных уравнений разного порядка /Ю.В. Покорный, Т.В. Белоглазова, Е.В. Дикарева, Т.В. Перловская // Математические заметки, - 2003. Т.74, №1. - С. 146-149.

Заказ № 552 от 18 09.2003 г. Тираж 100 экз. Лаборатория оперативной полиграфии ВГУ

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Белоглазова, Татьяна Владимировна

Введение.

1 Обоснование постановки рассматриваемых задач

1.1 Основные понятия теории краевых задач на графах

1.2 Сетеподобные струнно - стержневые системы. Общая модель

1.3 Описание первой канонической модели - "струнно - стержневого креста"

1.4 Описание второй канонической модели - "стержневого треугольника со струнами"

2 Начальный анализ краевых задач

2.1 Исследование общей однородной задачи.

2.2 Принцип максимума.

2.3 Построение функции Грина.

3 Свойства функций Грина модельных задач

3.1 Непрерывность функции Грина для обеих моделей.

3.2 Неотрицательность и оценки функции Грина для первой модели.

3.3 Неотрицательность функции Грина для второй модели

3.4 Положительность второго итерированного ядра для второй модели.

3.5 Симметричность функций Грина.

4 Спектральная задача

4.1 Спектральные свойства интегрального оператора с сущест

• венно положительным ядром.

4.2 Спектральная задача для первой модели.

4.3 Спектральная задача для второй модели.

Введение диссертация по математике, на тему "О положительной обратимости разнопорядковых задач на графах"

Дифференциальные уравнения на геометрических графах (сетях) и стратифицированных множествах - один из относительно новых разделов теории дифференциальных уравнений. Такие задачи возникают в различных разделах естествознания, техники, а также при исследовании некоторых математических проблем.

Приведем постановки некоторых задач.

1. Сетки из струн [9, 10, 11]. Каждая струна может смещаться параллельно некоторой прямой, под действием нагрузки параллельной этой прямой. Движение и смещение описывается уравнениями второго порядка. В узлах сетки задаются условия непрерывности, баланса натяжений, на границе сетка может быть закреплена, что выражается условиями Дирихле.

2. Решетки из стержней [12, 13]. Поперечные смещения решетки из стержней описываются уравнениями четвертого порядка, в узлах сетки задаются условия сочленения стержней. Эти условия более разнообразны, чем для струн.

3. Гидросеть. Здесь на каждом ребре сети описывается движение жидкости с помощью уравнения Навье - Стокса, в узлах сети задаются условия непрерывности давлений, условия баланса расхода жидкости [14].

4. Электрическая сеть. Здесь на каждом ребре сети могут рассматриваться потенциалы, токи. В узлах сети задаются условия непрерывности потенциалов и баланса токов. Аналогичные модели используются для описания нейронных сетей [15, 16, 17].

5. Теплопроводность. Здесь на каждом ребре задаются уравнения теплопроводности, а в узлах формируются условия непрерывности температур и баланса тепловых потоков. Аналогичные модели используются при описании процессов диффузии [18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25].

6. Состояние электронов в молекуле. Стационарная модель описывается спектральной задачей на графе для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с условиями непрерывности и баг ланса потоков в узлах, а также условиями Неймана на границе [26, 27], здесь рассматривалась и дискретная модель [28, 29].

7. Оператор Лапласа на двумерной области заменяется на локально одномерный на сетке, аппроксимирующей эту область [30, 31, 32, 33]. Предельный переход в таких задачах при шаге сетки стремящемся к нулю и в моделях перфорированных областей [34] имеет общие черты.

8. Бифуркация в модели турбулентных течений в несжимаемой жидкости [35].

9. Нелинейные задачи [36, 37, 38].

10. Системы дифференциальных уравнений на графе [39].

11. Восстановление потенциала по известным спектрам в задаче Штурма - Лиувилля (обратная задача) [40].

12. Модели, в которых отдельные элементы имеют различные размерности и соответственно описываются уравнениями различного типа [41, 42, 43, 44, 45, 46, 75].

Для рассматриваемых систем изучаются как динамические задачи, описываемые уравнениями в частных производных, так и стационарные (статические), описываемые обыкновенными дифференциальными уравнениями.

Применение метода Фурье, как и задача о собственных колебаниях, приводят к спектральным задачам на графах [9, 16, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 65] и др.

Помимо этого рассматривались задачи граничной управляемости [12, 36, 53, 68, 72, 81] и др.

Приведем обзор результатов непосредственно предшествующих данной работе.

По дифференциальным уравнениям второго порядка на сетях имеются сотни работ (см., например, [9, 10, 11, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53,

54, 30, 31, 32, 33, 37, 38, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 80]). Отметим только некоторых ученых и научные группы, которые занимались этими и подобными задачами: Ю.В. Покорный и участники его семинара в Воронеже, В.В. Жиков, B.C. Павлов, М.Д. Фаддеев, А.Н. Покровский, С.П. Новиков, С.А. Назаров, группа Nicaise, von Below J., Lumer G. и др.

Основные продвижения сделаны для линейных уравнений второго порядка и задач Штурма -Лиувилля для этих уравнений. Воронежцами здесь изучены условия разрешимости широких классов краевых задач, установлены точные аналоги теорем сравнения Штурма, доказаны существование функции Грина и ее положительность, получены двусторонние оценки функции Грина, обеспечивающие щ - положительность соответствующего интегрального оператора. Использование результатов М.Г. Крейна, М. А. Красносельского и других авторов для положительных операторов позволило получить существование, положительность, простоту ведущего собственного значения, положительность соответствующей собственной функции и отсутствие у нее присоединенных функций.

В работах Ю.В. Покорного и его учеников [54, 60] построена теория неосцилляции для линейных уравнений второго порядка и получены оценки геометрической кратности собственных значений.

Гораздо менее изучены обыкновенные дифференциальные уравнения четвертого порядка на графе (см., например, [13, 69, 70, 71, 53, 72, 52, 73, 12, 74, 82]).

В этих работах рассматриваются различные системы стержней с условиями шарнирного и упруго - шарнирного закрепления. Несмотря на внешние малые различая с уравнениями второго порядка, такие модели оказываются трудными для анализа. Например, изучение асимптотики спектра в [53] сделано в предположении постоянства коэффициентов. Первые результаты для цепочки стержней [82] были также получены в предположении постоянства части коэффициентов. Имеются результаты в задачах граничного управления [12, 81], с помощью методов, которые фактически не используют особенности графа. В работах [13, 69, 70] изучена разрешимость некоторых классов краевых задач, доказано существование положительной функции Грина и получены ее оценки.

До настоящего времени практически не исследованными являются разнопорядковые краевые задачи на графах, для которых на различных ребрах рассматриваются уравнения различных порядков. В этом направлении известны лишь результаты Ю.В. Покорного, К.П. Лазарева для растянутой цепочки из струн и стержней [82, 74] и Ю.В. Покорного, Е.Н. Провоторовой для пучка из одинаковых струн и одинаковых стержней [80, 83]. Здесь были получены осцилляционные свойства спектра.

Цель данной работы - изучение струнно - стержневой модели при наличии в конфигурации цикла.

При изучении подобных задач обычно обсуждаются следующие проблемы: построение математической модели, изучение корректности (существование, единственность решения, наличие удобного представления решения, например, в интегральной форме, непрерывная зависимость решения от параметров), изучение качественных свойств решений (наг пример, знакорегулярность), исследование функции Грина (гладкость, знакорегулярность, симметричность), изучение свойств решений интегральных неравенств, исследование кратности собственных значений и свойств соответствующих собственных функций и т.д.

Диссертация посвящена изучению краевых задач для разнопорядковых дифференциальных уравнений на графе. В работе исследован вопрос о разрешимости задачи для общего графа, когда уравнения на разных ребрах графа имеют второй или четвертый порядок. Полигоном анализа качественных свойств служат две модели:

- "струнно - стержневой крест" (две струны и два стержня, соединенных в одной вершине),

- "стержневой треугольник со струнами" (треугольник, состоящий из стержней, растянутый за вершины струнами).

Эти модели выделены по следующим причинам: во - первых, они содержательны и нетривиальны, имеют ясную физическую природу, во - вторых, они достаточно просты для проведения исчерпывающего анализа принципиально новых ситуаций, для выявления новых свойств, не связанных с обилием ребер, в - третьих, они несут главные особенности, порождающие проблемы в уравнениях на графах - а именно: сложные стыковки во внутренних вершинах и наличие циклов.

Основные результаты, полученные в работе:

- Для каждой модели осуществлено построение функции Грина.

- Изучены регулярные свойства функции Грина (в частности, непрерывность и гладкость).

- Доказана симметричность функций Грина обеих моделей.

- Установлена положительная обратимость обоих типов задач.

- Показана строгая положительность функции Грина первой модели и получены ее двусторонние оценки.

- Дано описание множества нулей и зон положительности функции Грина второй модели.

- Показана строгая положительность второго итерированного ядра -функции Грина второй модели.

Перейдем к описанию результатов диссертации, которая состоит из четырех глав.

1. В первой главе проводится описание общей модели и вывод краевой задачи для нее.

Мы используем далее терминологию семинара Ю.В. Покорного (см. [13, 55]).

Считается заданным связный геометрический граф Г из К3, его ребра обозначаются через 7», г = 1,г, совокупность его внутренних вершин обозначается через J(Г), а граничных вершин через 9Г. Обозначим объединение всех ребер - Я(Г). Тогда Г = Л(Г) U «/(Г). Для каждой а Е «/(Г) U дТ введем множество Г (а) состоящее из а и всех примыкающих к а ребер.

Топология на Г индуцирована из М3. Сужение функции и : Г —>■ R на множество ш обозначается иш{х).

На каждом ребре ji считается введенной натуральная параметризация х = (pi(t). Производной функции и{х) на графе называется функция, определяемая как Аналогично определяются производные высших порядков и^(х) = При формулировании условий согласования в вершине а будем использовать ориентацию "от вершины" а и записывать производные в виде и® (а + 0).

Через Cn(R(T)) обозначим множество определенных на R(Г) функций, для которых иъ равномерно непрерывны на 7j вместе с производными до порядка п для каждого ребра 7i £ R(Г). Аналогичный смысл имеет обозначение Cn(ri) для какого-либо множества Г15 образованного одним или несколькими ребрами графа Г.

В п. 1.2 описана струнно-стержневая модель и для нее вариационным методом получена краевая задача.

Рассматривается механическая система, состоящая из г струн и стержней, положение равновесия которой совпадает с графом Г.

Отклонение и(-) : С(Д(Г)) —у R точек системы от положения равновесия определяется натяжением струн, изгибной жесткостью стержней и плотностью внешних сил.

Предполагается, что деформация стержней вызвана только лишь чистым изгибом в главной изгибающей плоскости, т.е. считаем, что сдвигом, кручением и растяжением стержней можно пренебречь.

Введем обозначения Ti - все ребра, соответствующие стержням, а Г2 - ребра, соответствующие струнам.

Пусть функция р(х) описывает жесткость стержней в точках х £ Г1, a q{x) описывает силу натяжения струн в точках х € Г2. Удобно считать, что функции р(х), q(x) заданы на всем графе так, что q{x) = 0 на Г1, р(х) = 0 на Г2, при этом inf {q(x)} > 0, g(-) € С1 (Г) и inf {р(х)} > О, х€Т2 х€Г1 р(-) € С2(Г).

Функция /(•) G С(#(Г)) задает плотность внешней нагрузки, действующей на систему.

Будем предполагать, что отклонение и(-) принадлежит классу функций Т= {и(-)| «(•) £ С(Д(Г)), «Г1(0 е С4(Г1), «г.(-) € С2(Г2)}.

Минимизация потенциальной энергии системы приводит к задаче риТ - W = /, (1) щ(а + 0) - иц(а + 0) = 0, 7, // С Г(а), а £ J(r), (2) р^)(а + 0) = 0, 7 С Гх П Г(а), а Е J (Г) U дГ, (3)

Y, - (« + 0) = 0, aeJ(T), (4)

7СГ(о) и(а + 0) = 0, а Е дТ. (5)

Здесь (2) - это условия непрерывной стыковки во внутренних вершинах, (3) - условия шарнира, (4) - условия трансмиссии (баланса взаимодействий), (5) - аналог условий Дирихле.

Решением поставленной задачи называем функцию и(-) £ Т, удовлетворяющую уравнению (1) на R(T) и всем условиям (2) - (5).

Обозначим через L оператор, действующий на функции из класса Т по правилу

Lu = {pa")" - (,qu'Y. (6)

Тогда уравнение (1) запишется в виде Lu = /. Этот набор дифференциальных связей, вместе с условиями согласования и закрепления можно рассматривать как краевую задачу.

В п. 1.3 рассматривается модель "струнно - стержневой крест".

Здесь граф Г состоит из вершины а и четырех ребер ^ = (а, а*), г = 1~4. При этом дТ = {аь а2, а3, а4}, J(T) = {а}, = 71U 72, Г2 = 73 U 74.

Механическая система имеет форму креста. Она образована двумя стержнями и двумя струнами, соединенными в вершине о. Предполагается, что стержни 7i, 72 соединены шарниром в точке а, а струны совпадают с ребрами 7з, 74. Концы струн аз, а4 закреплены, концы стержней ai, a2 закреплены шарнирно.

Отклонение и(-) точек системы от положения равновесия удовлетворяет задаче (1) - (5).

Аналогично, в п. 1.4 рассматривается модель "стержневой треугольник со струнами".

Здесь Г - геометрический граф, состоящий из шести ребер 71 = («1 ,а2), 72 = (02,03), 7з = («3,ai), 74 = («1,04), 75 = (02, а5), 7е = (аз,аб) и трех вершин J (Г) = {ai,a2,a3}. При этом дГ = {а4,а5,аб}, Г1 = 7i U 72 U 7з, Г2 = 74 U 75 U 76.

Механическая система образована треугольником из шарнирно - сочлененных стержней, растянутым за вершины тремя струнами и имеет положение равновесия Г так, что стержни совпадают с 71, 72, 73, а струны - 74, 75, 7б, причем концы струн закреплены в <14, 05, oq.

Отклонение и(-) точек системы от положения равновесия удовлетворяет задаче (1) - (5).

2. Во второй главе для рассматриваемых моделей изучается разрешимость однородных и неоднородных задач и строятся функции Грина, доказывается, что разрешимость общей задачи эквивалентна принципу максимума.

Введем в классе Т функционалы (к = 1, га), определяемые левыми частями формул (2) - (5), и задачу (1) - (5) запишем в виде: Lu = f, / €Е С(Д(Г)) {') к(и) = 0, к = l,m.

Мы называем задачу (7) невырожденной, если соответствующая однородная задача имеет только нулевое решение в классе Т.

Очевидно, что однозначная разрешимость задачи (7) эквивалентна невырожденности.

В п. 2.1 доказана невырожденность краевых задач для обеих моделей "струнно - стержневой крест" и "стержневой треугольник со струнами".

Здесь же вводится фундаментальная система решений Zj(x), j = 1, т однородного уравнения Lu = 0 на Г. Очевидно, что задача (7) невырождена тогда и только тогда, когда определитель Л = \ik(zj{'))\ Ф 0, k,j = 1,771.

Подграфом Го называем любое открытое связное подмножество Г. Наиболее важными в этом пункте являются следующие утверждения.

Теорема 1 Задача (7) вырождена, если существует подграф Го графа Г такой, что

1) Го содержит только целые ребра графа Г,

2) Го состоит не менее чем из двух ребер,

3) ко всем вершинам а € дГо примыкают в Го только ребра jj С Гх (на этих ребрах порядок уравнения равен четырем).

Теорема 2 Задача (7) невырождена, если любую вершину а Е «/(Г) можно соединить с с?Г путем, состоящим только из целых ребер, принадлежащих Гг (на этих ребрах порядок уравнения равен двум).

Теорема 3 Следующие условия 1° и 2° эквивалентны.

1° Существует вершина а € «/(Г), которую нельзя соединить с дГ путем, состоящим только из целых ребер, принадлежащих Г2. 2° Существует подграф Го графа Г такой, что

1) Го содержит только целые ребра графа Г,

2) Го состоит не менее чем из двух ребер,

3) ко всем вершинам a G дГо примыкают в Го только ребра 7j С Гi. В п. 2.2 для задачи ри'У - (quj = О, щ{а + 0) - + 0) = 0, 7, у, С Г (а), а <Е J( Г), (р7^)(а + 0) = 0, а £ 7(Г) U аГ, 7 С Г1 П Г(а), Е ((р7<)'- <?7<) (а + 0) = О, aeJ(r)

7СГ(а)

8) без условий на границе) обсуждается принцип максимума.

Будем говорить, что для задачи (8) выполнен принцип максимума, если для любого решения и(-) этой задачи sup w(-) и inf и(-) достигаются г г на дГ.

Теорема 4 Принцип максимума эквивалентен невырожденности задачи (7).

В п. 2.3, в частности, исследуется неоднородная задача Lu = f, /€С(Д(Г)),

4(w) = ak, ak G M, /с = 1, га, для которой справедливы утверждения.

Теорема 5 Невырожденная задача (9) имеет в классе Т единственное решение при любых правых частях.

Следствие 1. Невырожденная задача (7) имеет единственное решение в классе Т для любой f £ С(Д(Г)).

Следствие 2. Пусть любую вершину а £ J (Г) можно соединить с дТ путем, состоящим только из целых ребер, принадлежащих Г2. Тогда задача (9) имеет единственное решение в классе Т при любых

Следствие 3. Пусть не существует подграфа Го графа Г такого, что

1) Го содержит только целые ребра графа Г,

2) Го состоит из не менее чем двух ребер,

3) ко всем вершинам a £ дГо примыкают в Го только ребра 7j С Г1 (на этих ребрах порядок уравнения равен четырем).

Тогда задача (9) имеет единственное решение в классе Т при любых правых частях at k = 1,т и f £ C(i?(r)).

Следствие 4. Пусть М - количество граничных вершин графа Г. Тогда множество решений невырожденной задачи (8) в классе Т имеет размерность М.

В частности, размерность пространства решений задачи (8) для модели "струнно - стержневой крест" равна четырем, а для модели "ст-рержневой треугольник со струнами" равна трем.

Для невырожденной задачи (7) установлено существование аналога функции Грина и получен ее явный вид.

Теорема 6 Для невырожденной задачи (7) существует функция G(x, s) на Г х Г такая, что решение задачи может быть записано в виде правых частях c*fc, к = 1,т и f G C(R(Г)).

10) Г

Мы называем далее G(x, s) функцией Грина.

Следствие 1. Функция Грина, определяемая по формуле

Н{х, s) zi{x) z2(x) ••• zm(x)

••• £i(zm)

G(x, s) = ^ £2(H{s)) i2(zi) e2(z2) • ■ - i2{zm) m(H(s)) lm{z2) • • ' tm{zm)

И) где

H{x, s) =

Gk(x, s), x,s£ykxjk, k = 1, r, О, в остальных случаях,

12) и Gk{x, s) - функции Грина двухточечных краевых задач на ребрах является равномерно непрерывной по совокупности переменных на каждом

И х 7?J hj = l,r.

Следовательно, для модельных задач функции Грина существуют и также обладают равномерной непрерывностью на каждом 7, х 7j. Рассмотрим задачу в классе Т pa*)" - (quj = /, /(■) 6 С(Д(Г)), г/7(о + 0) - «Да + 0) = 0, 7, ц С Г(а), а 6 J(r), (руи';)(а + 0) = 0, а е J(Г) U ЭГ, 7 С Га П Г(а), (13) £ (Ь^У - (а + 0) = о, aeJ(T), тег (а) гг(а + 0) = <р(а), а <Е ЯГ.

В этой задаче неоднородные условия на дГ заданы с помощью функции (р : дТ Е.

Теорема 7 Решение невырожденной задачи (13) может быть записано в виде и х)= / G(x,s)f(s)ds+ <р(а)иа{х), г аедг

14)

J 1, x = a, где ua(x) - это решение задачи (13) при f(x) = 0 и ip(x) = <

О, х ф а.

Следствие 1. Решение невырожденной задачи (13) при f(x) = 0 на Г может быть записано в виде и(х) = (15) а€д Г

3. В главе 3 изучаются регулярные свойства функции Грина модельных задач.

В п. 3.1 доказаны следующие факты о непрерывности, гладкости функций Грина.

Теорема 8 Функция Грина G(x, s) первой модели, определяемая формулой (11), обладает следующими свойствами:

1. G(x,s) равномерно непрерывна по совокупности переменных на Г х Г.

2. При фиксированном s £ {a} U 0Г

2.1 для всех х £ R{Г) существуют производные 9 gffi^, к = 1,2 равномерно непрерывные по совокупности переменных на каждом множестве 7i X 7j, г = 1, 2, j = 1,4;

2.2 для всея х (Е -К(Г), х ф s существуют производные 9 , к = 3,4 равномерно непрерывные по совокупности переменных на каждом множестве Ji х Jj, % ф j, i = 1,2, j = 1,4 и на треугольниках, получаемых из ji X 7*, г = 1,2 удалением diag (7^ х 7*), где diag(A х А) = {(я;, € Л, 5 G А, х = s};

2.3 для всех х £ R(Г), х ф s существуют производные 9 к =

1,2 равномерно непрерывные по совокупности переменных на каждом множестве у* х 7j, i Ф j, г = 3,4, j = 1,4 и на треугольниках, получаемых из 7^ х 7i, г = 3,4 удалением diag (7, х 7$);

2.4 Если s £ 7i, г = 1,2 с вершинами а\, а , аг, то . * dx:G(s- 0,5) = G(S + 0,S), j = 0,2, i •>) L -1 •>) L=11 где производные вычислены при параметризации ребер в направлении от а к а\ и а,2 соответственно;

2.5 Если s G 7i, % = 3,4 с вершинами аз, а , то

G(s - 0, в) = G(s + 0,s), -1, x=s—0

Х=8+О где производные вычислены при параметризации ребер в направлении от а к аз и а^ соответственно;

2.6 G(x, s) по х удовлетворяет уравнению Lu = О при х ф s;

2.7 G(x, s) удовлетворяет условиям (2) - (5).

3. При фиксированном s £ дТ G(x, s) = О для всех х G Г.

4. При s = а, а £ «/(Г) 4.1G(-,a)eT;

4.2 а) удовлетворяет однородному уравнению Lu = О;

4.3 G(-,a) удовлетворяет условиям (2), (8), (5);

4.4 G(-,a) удовлетворяет условиям (4), не содержащим вершину а, и условию, которое получается из (4) в вершине а заменой правой части на 1.

Теорема 9 Функция Грина G{x, s) второй модели, определяемая формулой (11), обладает следующими свойствами:

1. G{x, s) равномерно непрерывна по совокупности переменных на Г х Г.

2. При фиксированном s J(Г) U дГ

2.1 для всех х G R(Г) существуют производные 9 > k = 1, 2 равномерно непрерывные по совокупности переменных на каждом множестве тi х i = 1,3, j = 1,6;

2.2 длл ecea; ж G -Й(Г), х ф s существуют производные 9 , А; = 3,4 равномерно непрерывные по совокупности переменных на каждом множестве л xjj, 1ф j, г = 1,3, j = 1,6 и на треугольниках, получаемых из 7i х 7i, г = 1,3 удалением diag (7* х 7^);

2.3 длл всех ж € -Й(Г), ж ф s существуют производные 9 д^'^, А; = 1,2 равномерно непрерывные по совокупности переменных на каждом множестве 7* х 7^, г ф j, i = 4,6, j = 1,6 и на треугольниках, получаемых из 7j х 7j, г = 4,6 удалением diag (7* х 7$);

2.4 #сли 5 Е 7г, г = 1,3 с вершинами а, Ь, то

G(s — 0, s) = G(s + 0, я), ж=в+0 1, x=a—О -1,

Х=8—О где производные берутся в направлении от а к Ь;

2.5 Если s Е 7i, г = 4,6 с вершинами а, Ь, то

G(s-0,s) = G(s + 0, s), где производные берутся в направлении от а к Ь;

2.6 G(x, s) no re удовлетворяет уравнению Lu = О при х ф s;

2.7 G(x,s) удовлетворяет условиям (2) - (5).

3. При фиксированном s £ дГ G(x,s) — О для всех х Е Г.

4. При s = а Е J(r)

4.1 G(-,a) <ЕГ;

4.2 G(-,a) удовлетворяет однородному уравнению Lu = О;

4.3 G(-,a) удовлетворяет условиям (2), (3), (5);

Справедливо также следующее утверждение.

Теорема 10 Непрерывная на Г х Г функция Грина задачи (9) единственна.

В п. 3.2 и 3.3 установлены различные условия неотрицательности и положительности решений модельных задач и их функций Грина, а также получены двухсторонние оценки функции Грина для первой модели.

Для решения и(х) задачи (7) и функции Грина G(x, s) в первой модели справедливы следующие утверждения.

Теорема 11 Пусть f(x) ^ 0 на Г. Если f(x) ф 0 на графе Г; то и(х) > О при х Е Г и и(х) — 0 при х € дГ.

Следствие. Если / ^ 0 на Г, то и(х) ^ О на Г.

Теорема 12

Если s € Г, то G(x, s) > 0 при х G Г и G(x, s) = 0 при х £ дГ.

Теорема 13 Пусть G(x,s) функция Грина задачи (7) и щ - решение этой задачи при f(x) = 1. Тогда щ(х) > 0 на Г и существуют непрерывные положительные суммируемые на Г функции a(s) и f3(s) такие, что при всех x,s £ Г выполнены неравенства a(s)u0(x) < G(x, s) < (3(s)uo(x) (16)

Для решения и(х) задачи (7) и функции Грина G(x, s) во второй модели справедливы следующие утверждения.

Теорема 14 Пусть f(x) ^ 0 на Г.

1° Если f(x) ф. О на некотором 7у, j — 4,6 (т.е. для некоторой струны) и f{x) = 0 на всех остальных 7i, i = 1,6 при г ф j, то и[х) > О на всех ребрах, примыкающих к вершине а;з и в самой вершине а^-з, а на остальных ребрах и в остальных вершинах и(х) = 0.

2° Если f(x) ф 0 на некотором jj, j = 1,3 (т.е. для некоторого стержня) и f(x) = О на всех остальных уг = 1, 6 при г ф j, то и(х) > О на всех ребрах, примыкающих к вершинам ребра jj и в вершинах ребра 7j, а на оставшемся ребре и в остальных вершинах и{х) = О.

3° Если f{x) = О на некотором jj, j = 4,6 (т.е. для некоторой струны) и на всех 7i = 1,3 (т.е. на всех стержнях), f(x) ф О на каждом из оставшихся двух ребер ji, тои(х) = О на т7 и^Ги{а<7з}, а на остальных ребрах и в остальных вершинах и{х) > О.

4° Если f(x) ф О на некотором 7j, j = 1,3 (т.е. на для некоторого стержня) и на одном из примыкающих к нему ребер 7*, i = 4,6 (т.е. на примыкающей струне) и f{x) = 0 на остальных ребрах, то и{х) > О на всех ребрах, примыкающих к вершинам ребра 7j, ив вершинах ребра jj, а на ребре, не примыкающем к ребру jj и в остальных вершинах и{х) = О.

5° Если f(x) фО на некотором 7у, j = 1,3 (т.е. для некоторого стержня) и на каждом из двух ребер 7$, г = 4,6, примыкающих к вершинам ребра "fj (т.е. на двух примыкающих струнах), f(x) = О на остальных ребрах тi, i = 1,6, то и(х) > О на всех ребрах, примыкающих к вершинам ребра тj, ив вершинах ребра jj, а на ребре не примыкающем к ребру тj и в остальных вершинах и{х) = О.

6° Если f{x) ф О на каждом из не менее, чем двух ребер 7j и 7исключая рассмотренные случаи 3° — 5°, и f(x) = О на всех остальных ребрах, то и (ж) > О на Г.

Следствие. Если /(•) ^ О на Г, то и(-) ^ О на Г при этом, если /(•) > О на Г, то и(-) > О на Г.

Теорема 15 Пусть фиксирована точка s € Г.

1° Если s £ 7j, j = 1,3, то G(x, s) > О на всех ребрах, примыкающих к вершинам ребра 7j, ив вершинах ребра 7j, G(x,s) = О на ребре не примыкающем к вершинам ребра ц и в остальных вершинах.

2° Если s G 7j = 476, то G(x, s) > 0 на всех ребрах примыкающих к вершине aj-3, и в вершине aj-з, G(x, s) = О на остальных ребрах и в остальных вершинах.

3° Если s = aj, j = 1,3, то G(x, s) > О на всех ребрах, примыкающих к вершине aj, и в вершине aj, G(x,s) = О на остальных ребрах и в остальных вершинах.

В п. 3.4 была установлена положительность второго итерированного ядра для модели "стержневой треугольник со струнами".

Теорема 16 Пусть G(x,s) - функция Грина задачи (1) - (5), тогда второе итерированное ядро Gi(x, s) = f G(x,t)G(t,s)dt строго положг ительно наТ х Г.

В п. 3.5 доказана симметричность функций Грина для моделей "струнно - стержневой крест" и "стержневой треугольник со струнами".

4. В четвертой главе были изучены свойства интегрального оператора, с существенно положительным ядром и положительным весом. Установлено, что этот интегральный оператор неотрицателен и вполне непрерывен в конусе неотрицательных функций. Для модели "струнно - стержневой крест" такой оператор, порожденный функцией Грина, является •uo-положительным, что дает возможность применить методы развитые М.Г. Крейном и М.А. Красносельским для доказательства существования простого положительного ведущего собственного значения и строго положительной собственной функции. Для модели "стержневой треугольник со струнами" из результатов главы 3 следует, что такой же оператор не является щ-положительным. Это потребовало модернизации известных методов. Здесь результаты, полученные в работах [76, 77, 78] для функций, заданных на отрезке, переносится на функции, заданные на графе. Доказывается свойство расширения носителя неотрицательной на графе функции и с помощью этого свойства устанавливается геометрическая простота ведущего собственного значения интегрального оператора, положительной ведущей собственной функции и отсутствие у нее присоединенных функций.

Рассмотрим интегральный оператор г с равномерно непрерывным на Г х Г ядром s) и непрерывным ограниченным весом р{х) > 0 при х G Г.

Лемма 1 Оператор (17) вполне непрерывен в пространстве С(Г) с нормой = таххег\и{х)\

Будем называть ядро G(x, s) существенно положительным, если оно неотрицательно на Г х Г и положительно при всех х = s.

Лемма 2 Пусть оператор (17) имеет существенно положительное ядро. Тогда всякой неотрицательной it(-) G С7(Г) {и(х) ф 0) и каждой точке «о £ supp и \ дТ функция (Kpu)(so) > 0; (т.е. при действии оператора Кр на неотрицательную функцию и(-) ее носитель расширяется, причем существенно).

Следствие. Равенство supp Кри = supp и возможно либо если supp и = 0 (т.е. и(-) = 0), либо если supp и = Г (и тогда (.Йлг)(-) > 0 на

Теорема 17 Пусть оператор (17) имеет существенно положительное ядро. Тогда этот оператор имеет простое положительное ведущее собственное значение А, строго большее абсолютной величины других собственных значений. Собственная функция и(х) оператора Кр, отвечающая А, строго положительна на Г.

17)

Г)

В п. 4.2, 4.3 рассмотрены спектральные задачи для моделей "струнно - стержневой крест" и "стержневой треугольник со струнами" (18) k ikU = 0, к = 1,771, где оператор L определен формулой (б), а функционалы £k определены условиями непрерывности, согласования и закрепления, р(х) > 0 непрерывная ограниченная на Г функция, Л - спектральный параметр.

Показано, что спектр этой задачи состоит из собственных значений конечной кратности.

Теорема 18 Задача (18) имеет простое положительное собственное значение Ао меньшее по модулю всех остальных собственных значений. Этому собственному значению Ао соответствует собственная функция, не имеющая нулей в Г.

Апробация работы.

Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на Воронежских весенних математических школах "Современные методы в теории краевых задач" в 2002г., 2003г. и на Воронежской зимней математической школе 2003 г., на научных сессиях Воронежского госуниверситета в 2002 - 2003 гг., на семинарах Ю.В. Покорного.

Публикации.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8]. Из совместных работ [6, 8] в диссертацию включены результаты, полученные лично Белоглазовой Т.В. В работе [7] научным руководителям принадлежит постановка задачи, обоснование результатов проведено диссертантом в работах [1, 2, 3, 4, 5].

Автор выражает искреннюю благодарность научным руководителям Покорному Ю.В. и Лазареву К.П. за постановку задачи, постоянное внимание к работе, важные советы и замечания.

Список источников диссертации и автореферата по математике, кандидата физико-математических наук, Белоглазова, Татьяна Владимировна, Воронеж

1. Белоглазова Т.В. Свойства функции Грина для разнопорядковых дифференциальных уравнений на графе. /Т.В. Белоглазова; Воронеж. гос. ун-т. - Воронеж, 2002. - 20 с. - Деп. в ВИНИТИ 07.08.02, ДО1452-В2002.

5. Белоглазова Т.В. О знакорегулярности функции Грина разнопорядковой задачи на графе /Т.В. Белоглазова // Современные методы теории функций и смежные проблемы, 26 янв. 2 февр. 2003 г.: Тез. докл. - Воронеж, 2003. - С. 32-33.

6. Белоглазова Т.В. Об одной системе локально взаимодействующих обыкновенных дифференциальных уравнений /Т.В. Белоглазова,Т.В. Перловская // Понтрягинские чтения XIV, 3-9 мая. 2003 г.: Тез .докл. - Воронеж, 2003. - С. 20.

9. Пенкин О.М., Покорный Ю.В., Провоторова Е.Н. Об одной векторной краевой задаче // Краевые задачи. Пермь, 1983. С. 64-70.

10. Покорный Ю.В. Теоремы Штурма для уравнений на графах / Ю.В. Покорный, О.М. Пенкин // ДАН СССР. 1989. - Т.309, N6.- С. 13061308.

11. Ali-Mehmeti F. Regular solutions of transmission and interaction problems for wave equation/ F. Ali-Mehmeti // Math. Methods Appl. Sci.-1989. V. 11. P. 665-685.

12. Lagnese J.E. Control of planar networks of Timoshenko beams / J.E. Lagnese, G. Leugering, E.J.P.G. Schmidt // SIAM J. Control Optim. -1993. V. 31. P. 780-811.

13. Боровских А.В. Об одном классе дифференциальных уравнений четвертого порядка на пространственной сети / А.В. Боровских, Р. Мустафокулов, К.П. Лазарев, Ю.В. Покорный // Доклады РАН. -1995. Т. 345, N 6.- С. 730-732.

14. Колдоба А.В. Математическое моделирование течения жидкости в разветвленных гидравлических системах / А.В. Колдоба, Ю.А. Повещенко, П.П.Матус, М.М.Чуйко // Матем. моделирование.- 1992. -Т. 4, JV® 6. С. 643-650.

15. Nicaise S. Some results on spectral theory over networks, applied to nerve impuls transmission / S. Nicaise// Lect.Notes Math. N 1771. Springer-Verlag, 1985. P. 532-541.

16. Покровский A.H. Процессы управления в нервных клетках/ А.Н. Покровский // JL: Изд-во Лениградского ун-та. 1987. - С.85.

17. Lumer G. Connecting of local operators and evolution equations on network / G. Lumer// Lect. Notes Math. 1980. V. 787. Springer, Berlin.- P. 219-234.

18. Nicaise S. Diffusion sur les espaces гапийёв / S. Nicaise// Thesis. University de Mons, 1986. fini // C.R.Acad.Sc.Paris. 1986. t. 303, вёпе 1. N 8. P. 343-346.

19. Каменский М.И. О полугруппе в задаче диффузии на пространственной сети / М.И. Каменский, О.М.Пенкин, Ю.В. Покорный // Доклады РАН. 1999. - Т. 368, N 2, - С. 157-159.

20. Павлов Б.С. Модель свободных электронов и задача рассеяния / Б.С. Павлов , М.Д. Фаддеев // ТМФ. 1983. - Т. 55, N 2. - С. 257269.

21. Герасименко Н.И. Задача рассеяния на некомпактных графах / Н.И. Герасименко, Б.С. Павлов // ТМФ. 1988. - Т. 74, N 3. - С. 345-359.

22. Новиков С.П. Дискретный оператор Шредингера / С.П. Новиков// Труды Математического ин-та им. В.А.Стеклова. Москва, 1999. -Т. 224, - С. 275-290.

23. Новиков С.П. Уравнение Шредингера и симплектическая геометрия / С.П. Новиков // Студенческие чтения МК НМУ. С. 210-217.

24. Roth J.-P. Spectre du laplacien sur un graph / J.-P. Roth// C.R.Acad.Sc. Paris. 1983. - T. 296, - P. 783-795.

25. Roth J.-P. Le spectre du laplasien sur un graphe / J.-P. Roth // Lect. Notes Math. Springer-Verlag, 1984. - P. 521-539.

26. Пенкин O.M. Некоторые вопросы качественной теории краевых задач на графах: Дисс. . канд. физ.-мат. наук. / О.М. Пенкин. -Воронеж, 1988. 88 с.

27. Комаров А.В. О спектре равномерной сетки из струн / А.В. Комаров, О.М. Пенкин, Ю.В. Покорный// Известия вузов. 2000. - Т. 463, N 4. - С. 23-27.

28. Связность и усреднение. Примеры фрактальной проводимости / В.В. Жиков // Матем. сборник. 1996. - Т. 187, N 8. - С. 3-40.

29. Шафаревич А.И. Дифференциальные уравнения на графах, описывающие локализованные асимптотические решения уравнений Навье-Стокса и вытянутые вихри в несжимаемой жидкости / А.И. Шафаревич// Препринт N 604 Ин-та проблем механики РАН. 1997.- С. 1-41.

30. Ali-Mehmeti F. Nonlinear waves in networks / F. Ali-Mehmeti// Mathematical Research, 1994. V. 80.

31. Прядиев В.Jl. О структуре спектра одного класса нелинейных краевых задач второго порядка / B.J1. Прядиев// Дифференц. уравнения.- 1999. Т. 35, N 11. - С. 1575.

32. Покорный Ю.В. О нелинейной краевой задаче на графе / Ю.В. Покорный, О.М. Пенкин, B.J1. Прядиев // Дифференц. уравнения. -1998. Т. 34, N 5. - С. 629-637.

33. Пенкин О.М. О слабом принципе максимума для эллиптического уравнения на двумерном клеточном комплексе / О.М. Пенкин// Дифференц. уравнения. 1997. - Т. 33, N 10. - С. 1404-1409.

34. Пенкин О.М. О принципе максимума для эллиптического уравнения на стратифицированных множествах /О.М. Пенкин// Дифференц. уравнения. 1998. - Т. 34, N 10. - С. 1433-1434.

35. Nicaise S. Le laplacien sur les reseaux deux-dimensionnels polygonaux topologiques / S. Nicaise // J.-Math.-Pures-Appl. (9). 67 1988. №. 2,- P. 93-113.

36. Ali-Mehmeti F. Some realizations of interaction problems. / F. Ali-Mehmeti, S. Nicaise// Lecture Notes in Pure and Appl. Math., 1991. V. 135, - P. 15-27.

37. Nicaise S. Estimees du spectre du laplasien sur un reseau topologique fini / S. Nicaise // C.R.Acad.Sc.Paris. 1986. - T. 303, s6rie 1. N 8.- P. 343-346.

38. Покорный Ю.В. О спектре некоторых задач на графах / Ю.В. Покорный// Успехи мат.наук. 1987. - Т. 42, N 4. - С. 128-129.50. von Below J. Sturm-Liouville eigenvalue problems on networks / J. von Below// Math. Meth. Appl. Sc. 1988. V. 10. - P. 383-395.

39. Завгородний М.Г. О спектре краевых задач второго порядка на пространственных сетях / М.Г. Завгородний, Ю.В. Покорный// Успехи мат.наук. 1989. - Т. 44, N 4. - С. 220-221.

40. Dekoninck В. Spectre des гёвеаих de poutres / В. Dekoninck, S. Nicaise// C.R. Acad. Sci. Paris, 1998. - T. 326, S<*rie 1. - P. 12491254.

41. Dekoninck B. The eigenvalue problem for networks of beams / B. Dekoninck , S. Nicaise // Generalized Functions, Operator Theory and Dymnamical Systems, Chapman and Hall Research in Math. 1999. -P. 335-344.

42. Покорный Ю.В. Об осцилляционных свойствах спектра краевой задачи на графе / Ю.В. Покорный, B.JI. Прядиев, А. Аль-Обейд // Матем.заметки. 1996. - Т. 60. - С. 468-469.

43. Пенкин О.М. О краевой задаче на графе / О.М. Пенкин, Ю.В. Покорный// Дифференциальные уравнения. 1988. - Т. 24, N 4. - С. 701-703.

44. Покорный Ю.В. О теоремах сравнения для уравнений на графах / Ю.В. Покорный , О.М. Пенкин// Дифференц.уравнения. 1989. - Т. 25, N 7. - С. 1141-1150.

45. Покорный Ю.В. О неосцилляции на графах / Ю.В. Покорный // Докл. расшир. засед. семинара Ин-та прикл. математики им. И.Н.Векуа. 1988. Т.З, N 3. С. 139-142.

46. Пенкин О.М. О некоторых качественных свойствах уравнений на одномерном клеточном комплексе / О.М. Пенкин, Ю.В. Покорный // Известия вузов. Математика. 1996. N 11. - С. 57-64.

47. Пенкин О.М. О некоторых качественных свойствах уравнений на одномерном клеточном комплексе /О.М. Пенкин, Ю.В. Покорный// Матем.заметки. 1997. - Т. 59, N 5. - С. 777-780.

48. Покорный Ю.В. О неосцилляции обыкновенных дифференциальных уравнений и неравенств на пространственных сетях /Ю.В. Покорный// Дифференц. уравнения. 2001. - Т. 37, N 5. - С. 661-672.

49. Покорный Ю.В. Нелинейные теоремы сравнения на графах / Ю.В. Покорный, И.Г. Карелина // Матем. заметки. 1991. - Т. 50, N 2. -С. 149-151.

50. Покорный Ю.В. О функции Грина задачи Дирихле на графе / Ю.В. Покорный, И.Г. Карелина // ДАН СССР. 1991. - Т. 318, N 3. - С. 942-944.

51. Покорный Ю.В. Нелинейные теоремы сравнения на графах / Ю.В. Покорный, И.Г. Карелина // Украинский мат.журнал. 1991. - Т. 43, N 4. - С. 525-529.

52. Карелина И.Г. О функции Грина краевой задачи на графе / И.Г. Карелина, Ю.В. Покорный // Дифференц.уравнения. 1994. - Т. 30, N 1. - С. 41-47.

53. Завгородний М.Г. Спектральная полнота корневых функций краевой задачи на графе / М.Г. Завгородний // Доклады РАН. 1994. -Т. 335, N 3. - С. 281-283.

54. Покорный Ю.В. О распределении нулей собственных функций задачи Штурма-Лиувилля на пространственной сети /Ю.В. Покорный, В.Л. Прядиев // Докл. РАН. 1999. - Т. 364, N 3, - С. 316-318.

55. Schmidt E.J.P.G. On the modelling and exact controlability of networks of vibrating strings / E.J.P.G. Schmidt // SIAM J. Control Optim. -1992. V. 30. P.229-245.

56. Lagnese J.E. Modelling and controlability of Plate-Beam systems / J.E. Lagnese// J. Math. Systems, Estimation and Control. 1995. V. 5. - P. 141-187.

57. Покорный Ю.В. О позитивной обратимости некоторых краевых задач для уравнений четвертого порядка / Ю.В. Покорный, Р. Мустафокулов// Дифференциальные уравнения. 1997. - Т. 33, N 10. - С. 1358-1365.

58. Покорный Ю.В. О положительности функции Грина линейных краг евых задач для уравнений четвертого порядка на графе /Ю.В. Покорный, Р. Мустафокулов // Известия вузов. Математика. 1999. - Т 441, N 2. - С. 75-82.

59. Dekoninck B. Control of network of Euler-Bernoulli beams / B. Dekoninck, S. Nicaise // ESAIM-COCV. 1999. V. 4. - P. 57-82.

60. Lagnese J.E. Modelling of dynamic networks of thin thermoelastic beams / J.E. Lagnese, G. Leugering, E.J.P.G. Schmidt// Math. Meth. Appl. Sci. 1993. V. 16. - P. 327-358.

61. Лазарев К.П. О спектре некоторых негладких многоточечных задач: диссертация . канд.физ.- мат. наук. / К.П. Лазарев Воронеж, 1988. - 105с.

62. Назаров С.А. Соединения сингулярно вырождающихся областей различных предельных размерностей / С.А. Назаров // Труды сем. им. И.Г. Петровского, Вып. 18, С. 3-78.

63. Покорный Ю. В. О теории Келлога для разрывных функций Грина / Ю. В. Покорный,А.В. Боровских // Матем. заметки. 1993. Т.53, вып. 1, С. 151-153.

64. Боровских А.В. Системы Чебышева-Хаара в теории разрывных ядер Келлога / А.В. Боровских, Ю.В. Покорный // Успехи математических наук. -1994. -Т.49, вып.3(297), С.3-42.

65. Боровских А.В. О ядрах Келлога в разрывных задачах / А.В. Боровских, К.П. Лазарев, Ю.В. Покорный // Труды Матем. ин-та РАН. 1995. Т.211, -С.102-120.

66. Красносельский М.А. Позитивные линейные системы: метод положительных операторов / М.А. Красносельский, Е.А. Лифш-иц, А.В. Соболев// Москва: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1985.- 256 с.

67. Покорный Ю.В. О спектре некоторых краевых задач / Ю.В. Покорный, Е.Н. Провоторова, О.М. Пенкин // Вопросы качественной теории дифференциальных уравнений. Новосибирск, 1988. - С. 109113.

68. Modelling, analysis and control of dynamic elastic multi-link structures. / J.E. Lagnese, G. Leugering, E.J.P.G. Schmidt // Birkh "auser, Boston, 1994.

69. Покорный Ю.В. Некоторые осцилляционные теоремы для многоточечных задач / Ю.В. Покорный, К. П. Лазарев // Дифференц.уравнения.- 1987. Т.23, N 4. -С. 658-670.

70. Провоторова Е.Н. О векторных краевых задачах, порождаемых скалярным дифференциальным оператором / Е.Н. Провоторова // Дифференц.уравнения.- 1987. Т.23, N10.- С. 1711-1715.