О распространении геомагнитных флуктуаций через мантию тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.12 ВАК РФ

АКАДЕМИЯ НАУК РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ОБЪЕДИНЕННЫЙ ИНСТИТУТ ФИЗИКИ ЗЕМЛИ им.О.Ю.Шмидта

О д

На правах рукописи

I Ь ;'::.;!

ЗИНЧЕНКО Борис Геннадиевич

УДК 550.383

О РАСПРОСТРАНЕНИИ ГЕОМАГНИТНЫХ ФЛУКТУАЦИЙ ЧЕРЕЗ МАНТИЮ

01.04.12 геофизика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 1995

Работн выполнена в Объединенном институте физики Земли им. О.Ю.Шмидта РАН

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Д.Д.Соколов Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук В.П.Голопков

кандидат физико-математических наук М. П. Курганский

Ведущая организация:

Санкт-Потербургское отделение Института немного магнетизма, ионосфе])ы и распространения радиоволн РАН

Защита диссертации состоится 'У^ "¿¿/-¿>/4*' 1995 г. п /Г часов на заседании специализированного совета К ООЗ. 08. О2. в Объединенном институте физики Земли им. О.Ю.Шмидта РАН по адресу: 123810, Москва, Большая Грузинская 10.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ОИФЗ РАН Автореферат разослан " 1995 г.

ученый секретарь Специализированного совета доктор физ.-мат. наук

В.А.Дубровский

Общая характеристика работы

Актуальность проблемы. Считается, что главное геомагнитное поле возникает под действием некоторого динамо-механизма в конвективной проводящей среде внешнего ядра Земли. Большие значения числа Рей-нольдса, характеризующие конвекцию в ядре, предполагают неустойчивую природу конвективных течений и наличие всевозможных флуктуации геомагнитного поля, связанных с этой неустойчивостью. Широкий спектр наблюдаемых изменений геомагнитного поля с характерными временами от ~ 10 до 101 лет интерпретируют как проявление иерархически упорядоченноГгспстемы движений в среде с развитой турбулентной конвекцией (Головков, Коломпйцева и Ротанова, 1989). Уточнение деталей этой сложной картины п их адекватное описание является актуальной задачей геофизики.

В настоящей работе основное вннмание'уделяется пространственному распределению региональных геомагнитных флуктуацнй. Как показывают простейшие оценки (например, Головков, 1983), спонтанные локальные возмущения главного геомагнитного поля могут иметь характерные времена в диапазоне от десятков до нескольких сотен лет. Такие изменения геомагнитного поля относят к вековому ходу. Имеются подробные карты векового хода на земной поверхности в историческое время, начиная с XVII века. Обширная литература посвящена ана.тпу и физической интерпретации этих эмпирических данных. В частности, достаточно хорошо исследована морфология короткопериодных вариации геомагнитного поля. Например, установлено (см., например, Калугин, Ротанова и Головков, 1984), что 60-летняя вариация (одна из наиболее интенсивных) представляет собой систему региональных особенностей с источниками на границе ядро-мантия. Подобная структура, возможно, свойственна и вариациям с более короткими периодами (например, Филиппин и Рота-

нома. inS.S). Особый интерес n настоящее в])омя представляет спнтеч n;i копленных ismiipinfcKnx данных н последних достижений теории reo магнитного динамо.

Среди теоретических моделей короткопернодных региональных пари anmi определенное распространение в последнее премя получили модели трактующие исковой ход в различных точках чгмноп поверхности кш случайное поле, непосредственно связанное с действием турбулентное динамо (см.. например, Ручмайкин. Соколов и Шукурои. 19S9). Такое по ле в ядре удобно характеризовать его пространственной атггокорреляпи онноп функцией. С' другой стороны, твестна форма автокорреляцнон ных функций векового хода магнитного поля на поверхности Земли [5] Интересно выяснить, какая форма корреляционных функций на земно] поверхности соответствует теоретически построенным модельным кор реляторам в ядре и затем сравнить теоретически оцененные коррелято ры с -эмпирическими. Чтобы решить чту задачу. необходимо располагал подходящей моделью, адекватно описывающей ис кажения корреляцион ных функций геомагнитного поля в мантии.

Такая модель была предложена Пплипенко п Соколовым (1991). ко торые исследовали корреляционную функцию нормальной компоненть геомагнитного поля. В настоящей работе аналогичный подход испольчо ван для исследования корреляторов тангенциального поля и для анализ; корреляции между нормальным и тангенциальным полем.

Научная новизна. В диссертации рассмотрены некоторые вопросы, свя занные со статистическим описанием случайного геомагнитного поля i мантии. В частности, впервые исследованы следующие аспекты проблем мы:

- Исследовано изменение в мантии корреляторов тангенциального reo

магнитной» поля. Получены интегральные выражения этих корреляторов на земной поверхности при произвольной форме коррелятора исходного поля в ядре. Оценен корреляционный .масштаб флуктуацпонного поля у поверхности Земли и'указана наиболее вероятная форма фокусов тангенциальной ii нормальной компонент векового хода.

- Рассмотрен корреляционный тензор геомагнитных флуктуации в мантии II найдена система координат, в .которой он имеет диагональную форму.

- Показано, что в результате распространения через маитню нормально компонента мелкомасштабного геомагнитного поля с произвольным распределением в ядре приобретает на земной поверхности асимптотически нормальное статистическое распределение, а распределение тангенциальной компоненты поля всюду в мантии существенно не гауссово.

Практическая ценность. В работе продемонстрированы некоторые возможности описания вековой вариации с помощью пространственных автокорреляционных функций. Результаты, изложенные в диссертации, могут оказаться полезными при решении обратных задач для корреляционной функции геомагнитного поля в мантии и при оценке коррелятора магнитного поля в ядре.

Апробация работы. Основные результаты работы неоднократно докладывались на Общемосковском геомагнитном коллоквиуме ОИФЗ РАН, на семинаре по Магнитной гидродинамике и теории динамо НШЗЦ МГУ, в Международном институте теории предсказания землетрясений и .математической геофизики, на конференции "Solar and Planetary Dynamos" в г. Кембридж, Англия, 1992 г., на симпозиуме Европейского геофизического сообщества, 1994 г.; некоторые теоретические аспекты проблемы были изложены также в докладе на конференцшш "Нелинейные эффекты

в галактиках" в г. Пулково, 1992 г.

Публикации: По теме диссертации опубликовано 6 работ.

Объем работы: Диссертация состоит из введения, пяти глав и заключения. Она содержит 118 страниц текста, в том числе 1G рисунков, 2 та блицы и библиографию 84 наименования.

Автор выражает глубокую благодарность Д.Д.Соколову за руководство работой, а также В.И. Багину, В.П. Головкову, Т.Н. Зверевой, Г.Н Петровой, О.В. Пилипенко, Н.М. Ротановон, М.Ю. Решетняку, A.M. Шу-курову и всемхотрудникам лаборатории "Главного магнитного поля Земли" ОИФЗ РАН за полезные обсуждения.

Содержание работы

Первая глава диссертации носит вводный характер и в ней приведем обзор некоторых результатов относительно изменений магнитного поля наблюдаемого на земной поверхности, а также природы его источников i жидком ядре Земли. Особое внимание уделяется возможным механизмам возникновения локальных короткопериодных флуктуаций геомагнитного поля в ядре, вносящим, вероятно* основной вклад в наблюдаемую морфологию векового хода на земной поверхности. Отдельно рассмотрена модель флуктуационного динамо как доступный и, возможно, типичный пример описания геомагнитных флуктуаций в ядре с помощью корреляционных функций.

Наглядное представление о действии флуктуационного динамо дает механизм усиления магнитного поля в проводящей жидкости, известный под названием восьмерки Зельдовича. Эффективность генерации опреде-

ляется магнитным числом Рейнольдса

Ят = 10У0/ит

где г>о - характерная скорость среды, /о - характерный масштаб течений, а ит обозначает магнитную вязкость среды. Согласно стандартным оценкам, условиям земного ядра соответствует Ят ~ 102 — 103. Как показывает численное моделирование и асимптотический анализ при значениях Ят > 20 -г-100 в жидком ядре Земли возможен рост мелкомасштабных магнитных полей под действием турбулентного динамо. Так как среднее значение; таких полей равно нулю, нх простейшей нетривиальной характеристикой служит корреляционная функция. Уравнение роста корреляционной функции флуктуации магнтного поля с нулевым средним в неограниченном случайном потоке проводящей жидкости с заданной пространственной корреляцией было получено Казанцевым (1907).

Используя уравнение Казанцева, можно получить представление о форме корреляционной функции "Но спонтанных геомагнитных флукту-аций вблизи границы ядра и мантии. В простейшем приближении 'Но совпадает с поперечной корреляцией флуктуационного поля в неограниченном случайном течении. В главе 1 построен график функции 'Но при различных значениях Ят в ядре. Решение имеет два характерных масштаба. Первый характерный масштаб порядка ¡оЯиГ1!1 представляет из себя среднюю толщину жгутов силовых линий, возникающих под действием механизма флуктуационного динамо, и для Ят ~ 1000 составляет порядка 100 км. Второй характерный масштаб решения соответствует масштаб}' конвективных движений в ядре, оцененному Рузмайкнным и др. (1989) как /ц = 1700 км. На расстояниях меньше ¡цЯнГ1/'2 корреляционная функция монотонно убывает; при /цЛш"1'2 < р < /ц график функции проходит через ноль и возникает область антнкорреляцпи; при

р > /о имеется экспоненциально затухающий антикорреляционный хвост.

Пространственная автокорреляционная функция гоомагнтных флуктуации при малых расстояниях между точками отражает осредненное поперечное распределение поля в рамках локального возмущения на ядре, а хвост коррелятора отражает корреляцию индивидуальных особенностей. Ясно поэтому, что при любой модели локальных флуктуации магнитного поля на ядре график их коррелятора, должен включать ограниченную область большой амплитуды, соответствующую размеру интенсивных всплесков, и длинный, быстро убывающий хвост, описывающий слабую корреляцию удаленных особенностей. Поэтому описанную выше форму автокорреляционной функции в модели флуктуационного динамо надс рассматривать как во многом типичную. Можно ожидать, что при более детальном исследовании других механизмов локальных псточниког получатся корреляционные функции похожей формы.

Флуктуационное геомагнитное поле проникает к земной поверхности через толстый слой мантии. Толщина мантии составляет Ь = 2900 км что сопоставимо с радиусом ядра (?о = 3470 км) и существенно больше ожидаемого размера мелкомасштабных геомагнитных флуктуации е ядре. Поэтому экранирование геомагнитных флуктуации в мантии приводит к существенному изменению формы их корреляционных функций Наиболее заметное отличие ожидаемого коррелятора в ядре от эмпирически построенного коррелятора векового хода на земной поверхности (см [5]) состоит в огромной разнице корреляционных масштабов поля (более, чем на порядок). Пилипенко и Соколов (1991) исследовали изменения в мантии корреляционной функции нормальной компоненты геомагнитного поля и установили, что что решающую роль в искажении формы одновременных пространственных корреляторов играет геометрическое ослабление и "размывание"' за счет удаления точки наблюдения поля от его

источников. Правильного описания этого эффекта, как оказалось, можно добиться уже в простейшем приближении, считая мантпю плоским непроводящим слоем. В настоящей работе аналогичный подход использован при исследовании корреляционных функций тангенциальной компоненты поля, а также для изучения корреляции между нормальным и тангенциальным полем. Отметим, что попытки решить задачу в сферическом слое (Ахметьев, 1993) не обнаруживают новых качественных особенностей в поведении корреляторов и наталкиваются на серьезные математические трудности.

Проводимость большей части мантии (за исключением, быть может, узкой области у границы с ядром) довольно мала. Поэтому п первом приближении ей можно пренебречь по крайней мере для вариаций I: периодом более 11) лет и считать мантию изолятором. В этом предположении нз ядра в мантпю проникает преимущественно нормальное к поверхности раздела магнитное поле. Магнитное поле в непроводящей мантии удовлетворяет уравнению Лапласа:

АН = 0. (1)

Обозначим через 5 границу ядра. Граничные условия на-ядре имеют вид:

Я„(г)|., = Я0(г'), Нт(г)|5 = 0, (2)

где через Я„ н Нг обозначены нормальная и тангенциальная компоненты поля соответственно, г' — точка на плоскости 5, а Яц(г') случайное геомагнитное поле на 5, которое мы предполагаем статистически однородным. В главе 3 установлено, что в декартовой системе координат (х,у,г) с осью г, направленной перпендикулярно границе ядро-мантпя, и плоскостью г = 0, взятой в качестве этой границы, решение краевоп

задачи (1), (2) можно представить в виде:

где Нг, Ну п Hz - компоненты вектора Н; г = (rT, ry, rz) н г' = (г'х, г'у, г'.) -точки на высоте z = L над ядром и награнице ядра .г = Г) соответственно: da - элемент площади S.

Рассмотрим пространственные корреляционные функции случайного поля Н(г) в мантии:

Щ = (Н,Лj), i,j = x,!/,z,

где (...) означает среднее значение по ансамблю. Чтобы выписать их в явном виде, используем явные выражения (3) компонент поля и заметим, что при условии эргодичности пространственный интеграл коммутирует с оператором статистического осреднения. Тогда получим:

№)¥)) = ¿ [I ^l^IrfaoVmP)) da-

= (4)

где г' и F £ S, а (На(г')Но(г'))— корреляционная функция поля Но на поверхности ядра. В предположении, что нормальное поле на ядре однородно, его коррелятор имеет вид:

(Яо(г')Яо(?'))=^о(р), (5)

где р = |г' — г'| - расстояние между г' и г'. Выражения (3) — это компоненты псевдовектора Н. Их осреднснные произведения (4) составляют тензор второго ранга. Этот тензор симметричен [1]. Как известно, всякий симметричный тензор второго ранга можно привести к диагональному виду. В главе 3 показано, что при условии (5) 'Нху = 0, если выбрать

направление вектора а = г — г между точками, в которых вычисляется корреляция, параллельным оси т.. В главе 4 установлено, что' в этом случае также Цхг = 0 и Нуг = П. Таким образом, в выбранной системе координат корреляционный тензор 'Н флуктуационного геомагнитного поля в мантии приобретает диагональную форму:

СИ« 0 0 \

. П =

О О

V О О П„)

(6)

где обозначено Щ = (НТНГ), П±. = (Н.,11,,) и Н„ = (Н:11:). Функция Щ является продольной корреляционной функцией двумерного случайного поля (IIг, Я,,) на плоскости г = Ь, а 'Н^ - поперечная корреляционная функция что го поля. Компонента 'Н„ является корреляционной функцией но])мального поля Н:. В главе 3 показано, что

Ц\+П± = н7,. * (7)

Таким образом, для описания корреляционных свойств поля Н в мантии достаточно использовать лишь два его коррелятора.

Предположение о статистической симметрии флуктуационного поля позволяет получить уравнения для его корреляционных функций в мантии. В главе 3 показано, что корреляционная функция Ли удовлетворяет уравнению:

да2 а да 4 дЬ2 Выражения (4) формально определяют компоненты корреляционного тензора ~Н в мантии, однако ими нельзя непосредственно воспользоваться для расчета соответствующих корреляционных функций, так как интегралы сходятся очень медленно. Для преобразования интегралов (4) к более простому виду в главе 3 введена специальная система координат и использована статистическая симметрия (5)'флуктуационного поля. Это

позволяет- получить для корреляционных функций Ип и Н- = 'Лц — 'Их следующие выражения:

■иг т \ - 1 [ П° (Р)Р^)<11Р Н"{а'Ь) .-77(^ + 4^)3/2«

где Я'^ = р1 + а'2 — 2ра сои р.

Выражения (9) можно разложить в ряд по малому параметру и/Ь. Тогда для коррелятора нормального поля получается асимптотика (Пн-лнпенко н Соколов, 1991):

где

С^-/р'П[)(р)11р^1-ЯпГ^10. (И)

- ■ ' 0

Аналогичные асимптотики для корреляторов тангенциального поля получены в третьей главе диссертации:

««-г

На основании асимптотик (10) и (12) в диссертации оценен корреляционный масштаб флуктуационного ноля на поверхности Земли. Оценки совпадают по порядку величины с соответствующими характеристиками 'эмпирических корреляторов векового хода. Как следует из (10), (12), форма корреляционных функций на поверхности Земли малочувствительна

к виду корреляционной функции На на поверхности ядра. Это означает, что корреляционный масштаб геомагнитных флуктуации на поверхности Земли определяется преимущественно экранированием ноля в мантии.

С помощью выражений (10) и (12) в диссертации вычислена также амплитуда кореляторов флуктуацпонного ноля на земной поверхности. Например, при ^/Тт^О) — 1Гс и Вт = 10:! среднеквадратичная амплитуда нормальной компоненты флуктуацпонного поля на земной поверхности составляет \JTtJfi) = 2.5 • 10~:®Ге, что хорошо согласуется с наблюдениями. Амплитуда флуктуацпонного поля на. земной поверхности определяется величиной С в (11). Поэтому она зависит от формы коррелятора И» на поверхности ядра и,Особенно от "хвоста" распределения поля.

Асимптотическая форма (10) и (12) корреляторов при малых расстояниях между точками позволяет оценить также наиболее" вероятную форму фокусов Сокового хода. Такой анализ проведен по второй главе., исходя из общих соображений о статистической симметрии поля, а затем уточнен с использованием результатов главы 3. Он основан на том факте, что случайное поле в окрестности высоких пиков следует форме своего корреляционного тензора. (Носко, 1969). Другими словами, если мы рассматриваем случайное геомагнитное поле на поверхности Земли в окрестности его интенсивного всплеска как функцию пространственных координат, то поверхность, представляющая график этой функции, напоминает своей формой поверхность, образованную диагональными компонентами корреляционного тензора при всевозможных орнентациях координатных осей.

Согласно (10) и (12), соответствующая поверхность вблизи начала, координат представляет собой параболоид. Используя (12), можно показать, что фокусы векового хода тангенциального поля вблизи точки максимума должны иметь форму эллипса с отношением осей 1.7. Фоку-

сы векового хода нормального поля должны быть круглыми. Анализ карт ' векового хода для эпохи 1980 по-видимому укалывает на существование такой тенденции. Сравнение с эмпирическими корреляторами [5] также подтверждает этот результат.

Чтобы дополнить исследование вторых моментов, выполненное во второй,, третьей и четвертой главах, в пятой главе рассмотрено непосредственно статистическое распределение флуктуационного поля в мантии. Показано, что при распространении через мантию нормальная компонента флуктуационного поля приобретает асимптотически гауссово статистическое распределение. Для тангенциального поля сходимости к гауссову распределению не возникает.

Сходимость нормального флуктуационного поля к гауссову легко нро-• иллюстрировать. Для этого достаточно заметить, что в широком диапазоне возможных физических условий в мантии нормальное магнитное поле на земной поверхности может быть выражено через его значения на ядре с помощью следующего интегрального преобразования:

Я,Дг) = /С(г,г')Я0(г>г, (13)

н

где 17 - сферическая граница ядра и мантии, Лег - элемент этой границы, а С(г, г') - некоторая функция Грина. Этот интеграл можно представить как предел интегральных сумм:

Яи(г)^-ЕС(г,г',)Яо(г',)а,, .(14)

»

, Слагаемые суммы представляют собой случайные величины Яо(г',), помноженные на детерминированные весовые множители С(г, г',). Предположим, что корреляция ноля Яц(г') существенна лишь в пределах его корреляционного радиуса:

ад-0, (>>1й. (15)

Если толщина мантии Ь много больше этого расстояния (// Iо), то интегральная сумма, нормального магнитного поля на земной поверхности состоит т множества случайных слагаемых с нулевым средним и сравнимой дисперсией. Как известно, такая сумма сходится к гауссовой случайной величине.

Оценим корреляционный масштаб на ядре, необходимый для наличия сходимости к гауссову распределению. Согласно известному правилу статистики, в сумме должно присутствовать порядка 30 случайных слагаемых, чтобы ее отклонения от гауссова распределе ния были невелики. Примем условно, что около четверти площади ядра (я* 3.7-10' км) вносит сопоставимые вклады в интегральную сумму нормального поля на поверхности Земли. Эту площадь можно разделить на 30 квадратов со сторонами и 1100 км каждый. Итак, мы видим, что корреляционный масштаб флуктуационного поля на ядре должен превышать 10'1 км, чтобы отклонения от гауссова распределения были заметны на земной поверхности. Сопоставляя это значение г радиусом ядра (гц и 3500 км), заключаем, что практически любое мелкомасштабное поле в ядре должно давать на поверхности Земли гауссово статистическое распределение нормального поля. Отметим, тем не менее, что сходимость к гауссову распределению может и не возникнуть, если исходное поле на ядре сильно перемежаемо. В главе 5 приведено строгое обоснование сходимости нормального поля к гауссову. Поскольку гауссово случайное поле полностью характеризуется своим средним и корреляционной функцией, анализ искажений в мантии нормальной компоненты поля на. языке корреляционных функций является исчерпывающим.

С другой стороны оказывается, что, в отличие от нормального поля, тангенциальное поле не может быть гауссовым. Это следует из равенства нулю корреляции между нормальным и тангенциальным полем, до-

казанного в главе 4. Если бы оба поля были гауссовыми, то из равенства нулю корреляции между ними следовало бы, что они независимы. Однако, в главе 3 показано, что тангенциальное поле образуется в мантии из нормального ц поэтому не может быть независимым от него. В главе 5 установлено, что отсутствие сходимости к гауссову распределению у тангенциального поля объясняется большим радиусом зависимости этого поля вблизи границы ядра. В связи с этим соотношение, аналогичное (15), для тангенциального поля вблизи ядра не справедливо. 1

На основании полученных результатов в Заключении делаются следу- . ющие выводы:

1. Впрнближешш плоской непроводящей мантии получены интегральные выражения для всех компонент одновременного автокорреляционного тензора флуктуаццонного геомагнитного поля на поверхности Земли. Показано, что этот тензор в случае пространственно 'однородного н изотропного поля имеет диагональную форму в системе координат, ориентированной таким образом, что одна пз осей направлена по нормали к поверхности Земли, а другая - параллельно отрезку между точками, в которых вычисляется корреляция. Установлено, что пз девяти пространственных автокорреляционных функций флуктуаццонного геомагнитного поля лишь две являются лпненнр независимыми.

2. Построены асимптотики'всех ненулевых компонент корреляционного тензора на поверхности Земли в пределе небольших расстояний между точками и показано, что характерный масштаб геомагнитных флуктуации"на земной поверхности определяется преимущественно толщиной мантии и мало зависит от конкретной модели происхождения флуктуаццонного поля в ядре. В то же время, амплитуда кор-

релятороп на поверхности чувствительна к форме корреляционно!! функции на поверхности ядра и, особенно, к корреляции отдельных геомагнитных возмущении п удаленных точках ядра.

•']. Оценен корреляционный масштаб флуктуациопного поля на поверхности le i in а также амплитуда корреляционных функппп п проведено сопоставление чтпх оценок с '!\llilfpi!4e< кимп данными о вековой вариации геомагнитного ноля. .

1. Получена теоретическая оценка типичной формы .фокусом векового хода нормального и тангенциального ноля. Vriаповлено. что >та оценка согласуется с наблюдениями.

■). Исследовано статистическое распределение геомагнитных флуктуации на поверхности Земли. Покачано, что и рел-.тьтаче ткранпро-вания в мантии вековой ход нормальной компоненты геомагнитного ноля от внутренних источников приобретет на земной поверхности гауссово статистическое распределение. В то же время, распределение тангенциального поля не становится гауссовым.

Основные результат ы опубликованы п следующих работах:

1. Sokoloif D.D. and Zinchenko B.C.. "On diffusion of (lie tangential fluctuations of the geomagnetic field through the mantle", Astron. Nachr., 313, 115-123 (1992)

2. Зпнчснко Б.Г., Соколов Д.Д. "О корреляции нормальной и тангенциальной составляющих флуктуацнонного геомагнитного поля". Магнитная гидродинамика, N3, 3-10 (1992)

3. Piiipenko О., Zinchenko В., Sokoloif D.D. "Turbulent dynamo and the geomagnetic secular variation" in: Solar and. Planetary Dynamos■ (ed.

I M. Proctor, P.C. Matthews, A.M. Rucklidge), Cambridge Univ. Press, 1993, pp.229-231

4. Pilipenko O., Shukurov A., Sokoloff D., Zinchenko B. "Turbulent dynamo and GO-yrs geomagnetic secular variation", in: Theory of Solar and Planetary Dynamos, NATO ASI, Cambridge, 1993, p.59

5. Решетняк М.Ю., Пилппенко О.В., Зннченко Б.Г., Зверева Т.И. "Корреляционная функция вековых вариаций геомагнитного поля", Гео-магн. Аэронм., 34, 145-157 (1994)

С. Reshetnyak М., Zinchenko В. "Stochastic model of the geomagnetic secular variation", Annates Geophysicae (supplement 1 to 12), p.172, 1994