О разрешимости фукнционально-дифференциальных уравнений второго порядка с неограниченными операторными коэффициентами в гильбертовом пространстве тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

и л; ..

•■! У щ о ^

ростовским ордена трудового красного знамени государственный университет

Специализированный совет К 063.52.13 по физико-математическим наукам

На правах рукописи

Лсила Мустафа

О РАЗРЕШИМОСТИ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА С НЕОГРАНИЧЕННЫМИ ОПЕРАТОРНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ

01.01.02 дифференциальные уравнения

автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ростов-на-Дону / : - Л 1991

' - / . у/ >•

. - / ' (■ *

Работа выполнена с Дагестанском ордена Дружбы народов государственном университете.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор Р. Г. Алиев.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических паук, профессор 3. Б. Цалюк, кандидат физико-математических паук, старший научный сотрудник Г. П. Пелюх.

Ведущая организация: Институт прикладной математики при Тбилисском государственном университете.

Защита диссертации состоится «_»____199 г.

в «__» на заседании специализированного совета К 003.52.03

по физико-математическим наукам в РГУ по адресу: 344104. г. Рос-тов-иа-Дону, ул. Зорге, 5, мехмат.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке РГУ (ул. Пушкинская, 148). ___

Автореферат разослан «_»___19 г.

Ученый секретарь специализированного совета доцент

О. В. Епифанов

! 0 - -1 ОНДАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Е2££1£цип I,

—¡Актуальность темы. Бурное развитие теории функционально-дифференциальных уравнений (ФДУ) связано с обилием многих при-лохешй в сложных системах автоматического управления, моделях экономической динамики, экологических и биологических системах.

Впервые дифференциально-разностное уравнение вида у'(Х) - у (2-1)

было рассмотрено в 1771 году Кондорсе в связи с геометрической задачей, рассмотренной ещё в 1740 году Эйлером! найти линию, подобную своей эволюте.

Изучением скалярных дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом занимались А.Д.Мышкис, С.Б.Норкин, Л.Э.Эльс-гольц, Р.Беллман, К.Кук, Н.В.Азбелев, З.Б.Цамон, Л.Ф.Рохма-тулина и др. В последние десятилетия ученые занимались изучением абстрактных дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом в банаховых пространствах. Много результатов в этом направлении получены Дж.Хейлом, Р.Г.Алиевым, С.Я.Якубовым и др., которые в основном занимались изучением уравнений первого порядка.

В настоящей диссертации исследованы вопросы однозначной разрешмости абстрактных уравнений второго порядка па всей осп п.на полуоси, а такае вопросы нормальной разрешимости ко вссй осп.

Наличие отклонения аргумента требует наложения дополнительных условий на то коэффициенты уравнения, при которых прясутст-

вует в уравнении оператор сдвига. Независимо от этого теория ФДУ представляет самостоятельный интерес.

Целью работы являются:

1) получение необходимых и достаточных условий однозначной разрешимости уравнения с постоянными оператор1шми коэффициентами и отклонениями аргумента на всей оси и на полуоси;

2) выяснение достаточных условий однозначной разрешимости "шло" возмущенного уравнения;

3) выяснение однозначной и нормальной разрешимости в общем случае.

Методика исследования. Результаты настоящей диссертации получены с помощью методов функционального анализа и применения преобразования Фурье.

Научная новизна. Получены условия на резольвенту, отклонения аргумента и коэффициенты уравнения второго порядка, обеспечивающие однозначную и нормальную разрешимость уравнения.

- доказана теорема о необходишх и достаточных условиях однозначной разрешимости уравнения с постоянными коэффициентами и отклонениями аргумента;

- доказаны теоремы о достаточных условиях однозначной разрешимости в общем случае;

- доказана теорема о нормальной разрешимости.

Теоретическая и практическая ценность. Полученные в диссертации результаты, дополняют теорию абстрактных ФЛУ высших порядков и могут быть применены в тех областях, в которых возникают уравнения порядка выпе первого.

; Апробация- работ«. Результаты диссертационной работы доложены на республиканской научно-практической конференции мало-

дых ученых и специалистов Дагестана "Молодость и научно-технический прогресс" (ФАН СССР, 1988), на П Северо-Кавказской региональной конференции "Функционально-дифференциальные уравнения и их приложения" (Махачкала, 1988), на семинарах кафедры математического анализа ДЕУ (1986-1990 гг.). на ежегодных научно-практических конференциях профессорско-преподавательского состава Д1У (1987-1989 гг.).

'Публикации. По теме диссертации опубликовано три р .н.

Объем и структура работы. Диссертационная работа изложена на 110 страницах машинописного текста и состоит из введения, трех глав и списка литературы, включающего 29 . наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Настоящая диссертация посвящена вопросам разрешимости ФДУ второго порядка с неограниченными операторными коэффициентами в гильбертовом пространстве.

Во введении дается краткий обзор работ, примыкающих к теме диссертации, обосновывается актуальность тематики^ приводятся некоторые результаты диссертации.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ *

В работе доказаны следующие основные

1) Теорем об однозначной разрешимости уравнения второго порядка о постоянными коэффициентами и отклонениями аргумента.

2) Теорема о достаточных условиях однозначной разрешмос-ти уравнения второго порядка о переменным:! коэффициентам.

3) Теорема о коночномерности ядра и коядра оператора р0 .

4) Теорема о нормальной разрешимости.

5) Теорема о разрешимости уравнения в полупространстве.

В диссертации приводятся следующие обозначения: X, У - абстрактные гильбертовы пространства с нормами ¡¡'I и |у соответственно; - гильбертово пространство функций с нормой

о л

Y 'i.

М- ¡exp(2ut)(lucti lx+ 1и'а){/ )dh

io - со ;

- гильбертово пространство функций с нормой

со

1М1*= iexp(2d-t)lua)¡*clé} {о>-оо;-

Sk и и) = uíi-h);

i т

da

k~0 j*Q 4 '

f m

i m

Lt e í -2.2 s •

c kpü jfza, 4

4l

Н (3) - множество-абсолютно-непрерывных функций ,

обладающих свойством:- Л'(^г) / ;

°С(Е1г Ег)- множество ограниченных операторов из Я» в В2; г^о (Еи £2) - множество замкнутых операторов из в Е2 >

Им (Еи -множество вполне непрерывных операторов из

в Е2;

К =о J

FfjF^) - множество фредгольмовых операторов из Ff в ; Условие ) : ест/} Фтулхо^фОУ), ЦлйЩ-- Oft) ,

ВЩ^ОО), IM-* о(.

Постановка задачи» Требуется на языке йц (I),

ktj, ktj (£) выяснить условия, обеспечивающие непрерывную обратимость операторов

Г . ' ч- *V 0,*

и условия 'фредгольмовости оператор L„n : X ~ У „ .

г" к т

Первая глава диссертации содержит три параграфа и посвящена вопросам разрешимости уравнения

В первом параграфе доказываются вспомогательные леммы. В § 1.2 доказаны теоремы существования и единственности решения урзвнения

Ц u(t) - jtt) - (2)

с постоянными коэффициентами Ц<s X (% Y) и пос?оя:-:ж.~ отклонениями аргутлента Ajty

Приведем основные теоремы этого параграфа.

Теорема 1.2.1. Выполнение условия для резоль-

венты :недбходимо и достаточно для непрерывной обрати-

мости оператора У^Ь »

Теорема 1.2.2. Пусть для (Л) выполнено условие Я? и Ь ¿/(¿/У),

Тогда существует единственное рещение уравнения (2) такое, что при Ь^Ье.

В § 1.3 доказаны основная лемма и теоремы, в которых получены достаточные условия существования и единственности -решения уравнения XI) для случая малых в некотором смысле Ац Ш„ к = 0,1, /-= Д /,..., т.

Теорема 1.3.1. Пусть выполнены условия:

а) 4- е (У, У) ЛЯ.«, (ХМ, 1=0,1, ¿-1.2,т;

б) для резольвенты Кр (А) выполнены условия

Тогда существует С? О такое, что если ¡(¡ц (-)

/ Ц'СО| * £, ге^, (Ю, к = 0,1, ¡-0,1,../л;

то оператор 1р0' X д У^0 > =

непрерывно обрат;;:.!.

Теорема 1.3.2. Пусть выполнена условия: 2) /I с; г ¿0 (V. У) П сГго а. у;, с* 0,к =1,2,..., т; '£) рсге.ЕТ<згн7н *?.> Ц) нылслнеко условие >

в) jw-o, /Шву/': 4S

г) khj (0 € Н(Я), к-0,1, j=C,(,..., rn.

Тогда существует £ У О • такое, что если

lktjli)¡*£, teR, к=0,1, j'0,i,...,tn,

то уравнение (I) имеет 'единственное решение U(ir) , обладающее свойством U (i) = О, Ь í t0.

Вторая глава посвящена вопросам фредгольмовости оператора о'

и

2 di. 0U

I . V V

ро & IR и У0^103®1 равенства нулю индекса оператора

В § 2.1 доказаны теоремы о конечномерности ядра и коядра оператора Lpe

Теорема 2.2.1. Пусть выполнены условия:

а) hjeJoCY.YWX.oMY),k = 0,f, j=t,2,...,m;

существуют пределы

tim ¡1 /L- (t) f = о, Um I /L (t)I = 0,

IiiJ Y /<■/-«> J

hkj Ш e H Ш), k-0,1, j =

й) для ßpU) выполнено условие

' ' / . У vA* Тогда ядро оператора Lр0 • Л ^ > g конечномерно.

Taoncvn 2.2.2. Пусть выполнены условия:

•■ = 2,..., 'У; су^ествткт псе челн 4.. • 's) !■ v = L\

с

Ж —oo J J ■

непрерывно зависят от i <= <к , с-l--»>, j - w.,,. ■■, •>>,

б) для резольвент f?p (А) и в (^E'íj к[Ако-Ако (ti]) '

к"о 0 °

для любого фиксированного £ £ £ выполнено условие £ f

I м2^

Тогда коядро оператора Lp0: д^ Yg конечномерно.

Следствие 2.2.1. Пусть выполнены условия:

а) Не tf, Ду + /1ц(1)е&(У.У)ПХво(Х,У), k=0,1, j=1.2,...tm;

Ün UkM^0, tm.hk¡(t)-0, hk-(i)eHm, hkitt)

Щ-reQ 1 Itl+co J J J J

непрерывно зависят от te ¡SI, k=0,í, j**0,(,..., m;

б) резольвенты &pQ) и RQl,t)e (}*£-¿ ) k[üko-dko(tí]) '

oC'

при любом фиксированном f G й удовлетворяют условию /? ; °

в)

Тогда оператор "L^-e , j •

В § 2.2 доказана теорема о равенстве нулю ядра и коядра оперзтора

Теорема 2.2.1. Пусть выполнены условия:

а) kj е ¿Г0 (V, Y)f¡ (X, Y), 'к=0, i, /= /.2,.. •, т;

счтцествуют пределы (irя ИД^/ iY = ^> ^írrL =

/Н-оо J Ш —7

hыМе HUI), k=0,i, j-0,1,..т:

б) -я резольвенты n 5 (tf-itfE- kJ)

Р ' Ч fc-o /=С *

выполнено условие $(?рСЛ>?)1 -О, Зт} =°с ■

V г X

<г -»оо

Тогда ядро оператора; (Ьр0~(-<Г): Х^ Уд при достаточно больших значениях $ равно нулю.

Теорема 2.2.2. Пусть выполнены условия:

к=0,1, ]=(>2, ■ ■■, ту

существуют пределы йт |/?ь-Ш| =0, Н^Ц) = 0„

Ц1-»оо 'V Г Ц-1-^оо 1

К\ М е Н СЮ, к=0,1, }- 0,1,.,. у т\ (Ь)

непрерывно зависят от ¿в й, Ь =0,1, ]-0,1,...,пг;;

б) для рззольвент = ((Хг-1Х)Е - 2 2ДЛкеМч)

~ 1

и

выполнено условие

' ^оо г х *

в) ¿60с У**.

Тогда коядро оператора (.Ьро'М)'. при достаточно

больших значениях # равно нулю.

Следствие 2.2.2. Пусть выполнены условия:

а) \fizR, (\ч+1\к]ИШ0(У,У)Моо(ХУ))

существуют пределы НД^ШЦу^О, йт кк-И)-0,

Ш—со 1 Щ—оо 1 1

{¡^1 ({) непрерывно зависят от Ь^к, к=0,1, ¡-0,1, •••> т;

6) для резольвент fyU,^), выполнено

условие к At

йт ЦРрСХ*)! iim -O.'fefl,

оо Г * f-«-«

I V 2>А ч /

Тогда индекс оператора '■ Л ^ — у^ равен нулю.

Следствие 2.2.2. В условиях следствия 2.2.1 из единственности решения уравнения (I) в пространстве Хд' следует его существование.

Третья глава посвящена уравнениям в полупространство. В § 3.1 доказаны вспомогательные леммы. В § 3.2 для уравнения

L0utt) -Jet), ь>и щ (3) '

доказано ./ " теорема,

Теорема 3.2.1. Пусть выполнены условия: о) k'0,1,j-1,2.....т-, 4у (t)

сильно равномерно непрешвны по "f, к =0,1,

j* 0,1.....m; f ^ ' ^

б) для резольвенты J?e (A.iJ a (Лг£ -S 2

A«e y=o J '

выполнено условие R* , 4 I

fl, ot -l

B) f CO - £?, btto, /«Je Ул , К '

г) Юе'ИМ, htjttM, k/rjtf) равномерна)непрерывно зависит от I, i>to, k*"0>1> j=0,1, "72-Тигд^ уравнение (3) имеет единственное решение «(f) та-

- 13 -

о

кое, что и (-£) = 0 при £ £

Перечень публикаций автора по теме диссертации:

1. Асила М. К вопросу о разрешимости функционально-дифференциальных уравнений второго порядка. Материалы ХП республиканской научно-практической конференции молодых ученых и специалистов Дагестана. Махачкала, 1988, с.290.

2. Асила М. О нормальной разрешимости функционально-дифференциальных уравнений второго порядка. Материалы Второй Северо-Кавказской региональной конференции по функционально-дифференциальным уравнениям и их приложениям. Махачкала, 1989, с.19-20.

3. Ас;ила М. К вопросу о разрешимости функционально-дифференциальных уравнений второго порядка в полупространстве.

- В сб.: Интегральные и дифференциальные уравнения. Краснодар, 1990.