О разрешимости функционально-дифференциальных уравнений в гильбертовом пространстве с произвольным степенным весом тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Алиев Ислам Рзаханович

О РАЗРЕШИМОСТИ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ С ПРОИЗВОЛЬНЫМ СТЕПЕННЫМ ВЕСОМ

Специальность 01.01.02-дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Алиев Ислам Рзаханович

О РАЗРЕШИМОСТИ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ С ПРОИЗВОЛЬНЫМ СТЕПЕННЫМ ВЕСОМ

Специальность 01.01.02-дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

из ы^г-

Работа выполнена на кафедре прикладной математики Дагестанского государственного университета

Научный руководитель — доктор физико-математических наук,

профессор Кадиев Рамазан Исмаилович

Официальные оппоненты - доктор физико-математических наук,

профессор Кондратьев Владимир Александрович

доктор физико-математических наук, профессор Елеев Владимир Абдурахманович

Ведущая организация - Кубанский государственный университет

Защита состоится « .2005 года в 14 часов на заседании

диссертационного совета 212.053.11 в Дагестанском государственном университете (367025, г. Махачкала, ул. Дзержинского, д. 12, математический факультет, аудитория 3-70).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Дагестанского государственного университета по адресу г. Махачкала, ул. Батырая,2.

Автореферат разослан « ¿У» ииМС-ъш года.

Ученый секретарь специализированного совета, кандидат физико-математических наук, доцент 1 Э.И. Абдурагимов

РОС

Общая характеристика работы

Объект исследования. Под абстракцией в математике понимается мысленное отвлечение, представляющее собой существенную составную часть мыслительной деятельности. Мысленный акт отвлечения состоит в том, что наше внимание фиксируется на определенных (существенных для нас) свойствах исходных объектов рассмотрения и отношениях между этими объектами, в то время как другие свойства и отношения, рассматриваемые нами как несущественные, нашим сознанием не принимаются. Другими словами, различные задачи могут быть записаны в виде уравнения Ьи = /, изучая которое мы отвлекаемся от специфических и частных трудностей, присущих каждой конкретной задаче и можем сосредоточить внимание на наиболее общих закономерностях. В этом, собственно говоря, и суть абстрактной теории функционально-дифференциальных уравнений, охватывающих скалярные уравнения любых порядков, конечные и бесконечные системы их и уравнения в частных производных.

Основными объектами исследования диссертации являются функционально-дифференциальные уравнения с постоянными неограниченными операторными коэффициентами А1 и отклонениями аргумента Ау

в гильбертовом пространстве с произвольным степенным весом

(2)

Здесь Aj,Aj(t)-Y ->Y - линейные неограниченные замкнутые операторы, A^A^t) X ^Y - ограниченные операторы, X,Y- гильбертовы пространства, X с Y, ||• |д, > |■ Ц^, hj= const,h1 (/)- переменные отклонения аргумента, h'j(t)< г < 1, teR = (-ю,оо), 7 = 0,1, ,,т, Ао(/)=й0 =0

Чтобы полученные результаты были применимы к простейшим уравнениям без отклонения аргумента

dt dt сдвиг аргумента в уравнениях (1) и (2) полагаем равным нулю при j = 0 так, например,

Z,n(r).D,u(t)~A0u(i)-fjAlSl,u{f)= f(f) .

У-I

Так как коэффициенты уравнений являются неограниченные операторы как операторы из Y в У, то сужая область определения Y до подпространства X, мы будем иметь дело с ограниченными операторами, действующими из X в Y. Естественно, что при сужении области определения оператора расширяется его норма.

Уравнения (1), (2) исследуют как в случае всей оси t е R, так и полуоси t е = (/„, да), ta > -00, то есть когда решение считается известным для t < t0 (начальная задача). Задачу

Lu{t)=M t>tо, (3)

'¿'о. "('o+0)=g('o), (4)

где L = L или L = Lpo всегда можно свести к задаче с однородным начальным условием u{t)=0,t<,t0 Оператор L, порождаемый уравнениями (1), (2) рассматривается как оператор L ■ Х'^ -> , где

= {«(<),«(')=о,/</0, \\u{tf=](i+и2- )(КС +1 иЩ )dt <

Yg =|«(0, u(t)=0, tit,, IK'f = ](l + |'f ) ИОЕ Л < »J, 0 < or < i.

В определении этих пространств учтено, что задачу (3), (4) можно свести к задаче с однородным начальным условием u(t) = 0,t<to, что и сделано в диссертации.

В известных раннее работах, посвященных вопросам разрешимости уравнений типа (1), (2) и задачи (3), (4) рассматривали пространства ,

с экспоненциальным весом ехр(аг) или с целым степенным весом I + t2". В этих случаях при исследованиях имели дело с обычными производными. Рассмотрение случая произвольной степени \t\a привело к привлечению дробных производных и связанные с ними преобразования Фурье дробных производных.

Уравнения (1), (2) охватывают обыкновенные дифференциальные уравнения, уравнения с отклоняющимся аргументом и бесконечные системы дифференциальных уравнений, а также уравнения с частными производными в силу неограниченности операторных коэффициентов Aj3 A;(t), j = \,..,m, teR. Отклонения аргумента ЛД/) полагаются абсолютно непрерывными функциями, растущими не быстрее /, что является естественным условием в теории уравнений с отклоняющимся аргументом, особенно при исследовании на устойчивость и асимптотическое поведение решений.

Рассматриваются два частных случая переменных операторных коэффициентов A^t) и отклонений аргумента А (г):

2. снимая условия «малости».

Во втором случае, используя разбиение единицы, уравнение (2) сводится к бесконечной системе «маловозмущенных» уравнений.

Под решением уравнения понимается функция к(/), сильно непрерывная в У, имеющая сильную производную при почти всех t в Y и удовлетворяющая уравнению.

Приведенные в диссертации примеры скалярных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных параболического типа хорошо иллюстрируют полученные результаты.

Актуальность темы. Неограниченно расширяющийся круг приложений теории функционально-дифференциальных уравнений (ФДУ) к самым разнообразным разделам науки и техники стимулировал её бурное развитие. ФДУ привлекали к себе внимание огромного числа исследователей, интересующихся как самими ФДУ, так и её приложениями.

Разработка теории таких уравнений начата во второй половине 20 века под влиянием запросов техники и естествознания. Многообразия прикладных задач, поставленных с учетом запаздывания, возрастает из года в год. Такие задачи возникают в небесной механике, физике, биологии, экологии, в ряде экономических проблем и других науках. Особенно эта теория нашла свое применение в современной технике, где имеются колебательные процессы в системах последействия и в системах с запаздывающими связями, в теории автоколебательных систем.

Основы ФДУ были заложены в работах Э. Хилле, Р. Филиппе, К. Иосиды, Т. Като. Этим вопросам посвящены целый ряд монографий отечественных и зарубежных математиков таких, как Э. Пини, Р. Беллман, К. Кук, Дж. Хейл, Мышкис А.Д. и другие. Систематическим изучением уравнений с отклоняющимся аргументом занимались Азбелев Н. В., Беллман Р., Березанский JT. М., Власов В.В., Колмоновский В.Б., Красовский H.H., Кук K.JL, Курбатов В.Г., Максимов В.П., Мышкис А.Д., Норкин С.Б., Рахматуллина Л.Ф., Рехлицкий З.И., Эльсгольц А.Э. и другие.

Основы функционально- дифференциальных уравнений с неограниченными операторными коэффициентами в абстрактном гильбертовом пространстве были заложены в работах Алиева Р.Г. и его учеников Керимова К.Г., Алейдарова С.М., Чан Рортх, Алиевой Л.М., Эмировой И.С., Аджиевой Х.И., Асил Мустафа, Умар Халед и так далее.

Многие из работ этих авторов посвящены проблемам существования и

единственности решений, нормальной разрешимости уравнений, устойчивости и асимптотического поведения решений, о росте решений уравнений первого и высшего порядков, уравнений с сосредоточенными и распределёнными запаздываниями, уравнений с почти периодическими и периодическими коэффициентами и отклонениями аргумента.

Тем более актуальным является исследование уравнений в гильбертовом пространстве с произвольным степенным весом, требующее привлечение теории дробных производных. Полученные в работе результаты о необходимых и достаточных условиях однозначной разрешимости уравнений, нормальной разрешимости уравнений служит лишь началом общей теории уравнений в пространствах с произвольным степенным весом, уравнений содержащих производные дробного порядка. Полученные результаты могут служить в дальнейшем ориентиром для более общих теорий.

Цель работы. В работе поставлена задача получения необходимых и достаточных условий непрерывной обратимости оператора Ьр :Х^

нормальной разрешимости уравнения (2) в пространстве Х[/ и достаточных условий непрерывной обратимости оператора : , и получение

на языке резольвентных операторов соответствующих уравнений, А], А1 (/) и Л, (') 7 = 0,1.....т.

Установить связь перечисленных вопросов с теорией дробных производных порядка а е (0,1)

Методы исследования. Мы используем преобразование Фурье функций из Ьг(Я,Х)- гильбертово пространство функций со значениями в абстрактном пространстве X, функций со сдвинутым аргументом, их обычных и дробных производных. Пользуемся методами функционального анализа, теории функций комплексного переменного, теорией дробных производных и теорией линейных операторов.

Полученные результаты абстрактной теории подтверждаются иллюстрацией на конкретных примерах скалярных обыкновенных и в частных производных параболического типа уравнений.

Научная новизна полученных результатов. Одним из основных результатов диссертации являются необходимые и достаточные условия непрерывной обратимости оператора Ьр : Х^ -> , <0>_о°- Эти условия

получены в виде регулярности и поведений резольвентного оператора на бесконечно удалённых точках в некотором смысле.

Получены достаточные условия фредгольмовости оператора ¿^ на всей оси I е Я, то есть как оператора : X1/" -» УЦ'".

Получены достаточные условия непрерывной обратимости мало возмущенного оператора Ь^ : -» .

Доказана непрерывная обратимость оператора 1ро на полуоси, снимая условие малости А) (г) и йД/), / > /0, ] = 0,1,...,«.

Новизна заключается ещё в том, что эти результаты обобщают известные результаты, относящиеся к уравнениям в пространствах с целым степенным весом и открывают новые возможности применения теории дробных производных, исследования уравнений, содержащих дробные производные. Теоретическая и практическая значимость. Основные результаты диссертационной работы имеют теоретический характер, а тем более абстрактный характер.

Теоретические достижения работы заключаются в получении необходимых и достаточных условий непрерывной обратимости оператора Ьр из (1) и достаточных условий непрерывной обратимости оператора 1р0 из (2).

Практическое значение автор видит в том, что результаты работы можно использовать в случае конкретных операторов, например, как показано в работе, применить к уравнению теплопроводности с

запаздыванием в младшем члене к скалярным уравнениям первого порядка. Работа может быть также использована в преподавании специального курса по дифференциальным уравнениям в абстрактных пространствах.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на годичных сессиях профессорско-преподавательского состава ДГУ, на первой международной конференции «Функционально-дифференциальные уравнения и их приложения» (2003г.), на заседаниях научно-исследовательского семинара кафедры дифференциальных уравнений, на годичных научных конференциях кафедры математического анализа ДГУ, на научном семинаре кафедры дифференциальных уравнений ДГУ под руководством профессора Алиева Р.Г.

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в б работах, список которых приведен в конце автореферата, из них 4 работы без соавторства.

В совместных научных работах получение конкретных результатов принадлежит соискателю, а соавторам принадлежит постановка задач.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Общий объем работы составляет 85 страниц. Библиография содержит 47 наименований работ российских и зарубежных авторов.

Содержание и основные результаты работы.

Во введении дается описание предмета исследования, обосновывается актуальность темы исследования, определяется цель работы, делается обзор основных результатов других авторов в данной области. Излагаются основные результаты диссертации и проводится анализ их новизны.

Перед изложением основных результатов диссертации приведены следующие обозначения, используемые в диссертации

Х,У- гильбертовы пространства, ЛГсУ, ||-||А,

¿„(г,К), ь(Х,У), ¿Г(Х,У)- множество линейных замкнутых, ограниченных и вполне непрерывных операторов соответственно,

пополнение множества сильно непрерывных функций с компактными носителями и со значениями в К по норме

'о

Х'к" - пополнение множества функций «(/), и(/)=0,/</0, с компактными носителями, имеющих сильно непрерывные производные в Г по норме

'о

У°;а - пополнение множества функций и(/), и(г)= 0, / </„, с компактными носителями в и со значениями в У по норме

Хл(е)- характеристическая функция оператора А:Х-уУ, определяемая неравенством ЦЛиЦ,, ¿^На- +Хл{еЪ4г п0 заДанномУ £ > 0 и для любого и е X с К, имеющим место для оператора А е 10(У,У)Г\Ьх(х,У)

/=О

В первой главе диссертации изучено уравнение с постоянными операторными коэффициентами и отклонениями аргумента (1), а также частично уравнение (2).

В начале параграфа 1.1 приведены и доказаны вспомогательные леммы 1.1.1-1.1.5, относящиеся к вопросам преобразования Фурье и оценкам

решений. Доказана лемма 1.1.1 о том, что преобразование Фурье дробной производной

£)«„(,) =-!-V ¿з, 0<а<1,

функция и(I) {б"и(())= Я"и(Л).

Что касается дробной производной от преобразования Фурье £>"к(г), то доказана лемма 1.1.2, устанавливающая равенство

Оаи(Л) = — Гехр(-Ш)(г1)" и{?)с11. >/2ж I

Также показано, что преобразование Фурье дробной производной со сдвинутым аргументом (х4б"и(г))= Г ехр (~1Щи(л).

Применяя к уравнению (1) преобразование Фурье, получена резольвента

АЕ-^Лу ехр(- Му) 1 :У-»Х

У-0

т

для оператора Ар = .

№

Так как X является подпространством пространства У, то имеет смысл и норма ЦяДд! ^, = кроме естественной нормы ЦлДя^^ * .

Основным результатом этой главы является следующая

Теорема1.1.1 Выполнение условий: яДя) регулярна,

V =0(1), р, =0(1), И->«>, ЬпЯ = 0, ¿ = 0,1 необходимой

I! ^ II* II II

достаточно для непрерывной обратимости оператора Ьр • Х'/->Уя°°,0<а <~

В конце § 1.1 приведены примеры скалярного обыкновенного дифференциального уравнения «'(/) +и(') = /(/) для иллюстрации абстрактной теоремы 1.1.1.

Решаем данное уравнение и в общем решении выбираем произвольную константу таким образом, чтобы полученное частное решение обладало свойством

j(l +|/|2" \u(t)fdt < оо для любой функции /(/), принадлежащей Ьг (/„,«>) с весом

-<о

(l+jil^)^ Доказываем единственность полученного таким образом решения. Если A^t) и hj(t), j = 0,1,..., т, малы в некотором смысле и AjtLoiX,y)fU„(*,y), j = \,2,...,m, то в §1.2 доказаны леммы 1.2.1, 1.2.2 о свойствах вполне непрерывных операторов и теорема о достаточных условиях непрерывной обратимости мало возмущенного оператора L^:

Существенным моментом в этом случае является то, что хорошо известная теорема из функционального анализа о том, что если оператор А

обратим, а норма оператора В не превосходит число ||л~'|то есть

и< ИТ' то опеРатоР Л + тоже обратим, не переносится очевидным образом на случай оператора Lp из - за наличия двух пространств X и У, где подпространство X с У выбирают так, чтобы операторные коэффициенты стали ограниченными как операторы из X в У. Кроме того это существенно зависит от наличия в уравнении отклонений аргументов, то есть операторов Sh. Таким образом, здесь появляется специфика функционально — дифференциального уравнения. Для выявления этой специфики уравнение

Lpu(t) = D,u{th Ek + AJ (/)Кч<о"(') = /(')

перепишем в виде (¿,+L,)/(0 = /(0,

где L,

J-О

Второе слагаемое можно сделать «малым» за счет малости At (t): \А,(1)\г <,s, t<s R, j = 0,l,...,m. Что касается первого слагаемого в квадратных

скобках, то его нельзя сделать малым за счет малости (г), ибо при непосредственной оценке обязательно появится производная и'(0 в пространстве X, что, вообще говоря может не всегда иметь место и\<) е X, так каки'(')е У как это следует из уравнения.

Выход был найден накладыванием на операторные коэффициенты А условие вполне непрерывности, ^ = 1,2, ,т. При этом дополнительном условии доказана

Лемма 1.2.2 Если А У ->У - замкнутый оператор, АХ->У - вполне непрерывный оператор, то для любого у > 0 существует е > Отакое, что при выполнении условия |Л(/)| <е, / е Я справедливо неравенство

|Л|->оо, 1тЛ = 0, А = 0,1.

Тогда существует £->0 такое, что если |ЛУ (< ^ < е, (/)| й е, / е И, ] = 0,1,. ,т,то оператор Ьр0: Х'ка -> УЦ* непрерывно обратим.

Во второй главе, снимая малость переменных составляющих операторных коэффициентов (г) и отклонений аргумента исследуется вопрос нормальной разрешимости уравнения ¿ром(/)= /(<) в гильбертовом пространстве Х„" в следующем смысле: оператор Ь:В1 -> Я2, В,, В2 банаховы пространства, называется нормально разрешимым, если выполнены условия:

1) уравнение ¿« = 0 имеет конечное число а линейно - независимых решений в 5,; 2) его область значений ¿5, замкнута в В2; 3) фактор пространство В2ДВ, имеет конечную размерность р.

И^МСМКС-

1Г-

Теорема 1.2.1. Пусть выполнены условия:

а) А е ф,У)[Мх{х,У\ ) = 1,2,..,/»;

б) резольвента ЛР(Л) регулярна,

Предполагается компактное вложение пространства X в пространство У. В § 2.1 доказана следующая теорема о конечномерности ядра оператора ¿^ Теорема 2.1.1. Пусть выполнены условия:

а) Ау:У-*У - замкнутые операторы, у>0, Ау ■ X У - вполне непрерывные операторы, у и существуют пределы =0, Нп1|Лу (г)| = 0,

Л,'(0£г<1, } = 0,1,...,т, геЯ;

б) резольвента Л, (Л): У X регулярна, |я, (Д)^ = 0( 1), ||АЯр (1)\у = 0(1), |я| -> оо, 1тЯ = 0. Тогда ядро оператора ¿^ : X'/" -» У^" конечномерно.

В § 2.2 доказана

Теорема 2.2.1. Пусть выполнены условия:

а) А^А^-У - замкнутые, у = 0,1, ,,т, А1 + А1 (г)\ X У - вполне непрерывные, у = 1,2,...,от, ? е /?; существуют пределы 1™ (0|г = 0,(0 = 0> ^ Ц)<,г<\, А}(I) непрерывно зависит от ¡в И, У = 0,1,.. л»;

б) резольвенты Л, (Л) и У X для любого / ей регулярны, ||Л,(Я4 =0(1), \Шр(Х)1 =0(1), 1Л(Я,0||Х =0(1), И(Я,01Г =0(1), |Я| 0, 1тЯ = 0,

Тогда коядро оператора : -»■ конечномерно. Из теорем 2.2.1 и 2.2.2 вытекает

Следствие 2.2.1 Пусть выполнены условия:

а) А/ + А^)еЬ0(Х,У)Ш„(Х,У), '«Л, У = 1,211ш|^Дг)||г = О.КтЛ,« = 0,

I

(0 й г < 1 и ЛД/) непрерывно зависит от I е Л, у = 1,2,.,.,/я;

б) резольвенты ЯД Я) и Л(Я, г) = (Я£ - Л0 (())"' регулярны, =0(1), ¡ЯЛДЯ)||г=0(1), ЩЩх=0(\), ||ЯЛ(Я,01г=О(1), |Я|->оо, 1шЯ = 0;

в) адеУГ.

Тогда оператор L^ -» - фредгольмовый. В конце приведен пример уравнения, содержащий как запаздывание, так опережение аргумента и с переменным коэффициентом, являющейся периодической функцией

Lu{t) = u'(t) - p'(t)[u(t -1) + u(t +1)] = 0, t 6 R, где p(t) продолженная на всю ось с периодом W> 4 функция p'(t), построенная с выполнением условий: p\t) е С", p'{t) = 1 для 0 < t < 1, р' (t) = О

[цг— I Ч ( w + l} —-—,2jul 2,—-—I и p*(i-l)+p*(i + l) = l, -1 ^(<2. Это уравнение

имеет своим решением функцию u(t) = pit) и все функции , полученные ее сдвигами. Условие а) следствия 2.2.1 hm|p'(O| = 0 не выполняется. Уравнение

имеет бесконечные множества решений, то есть KerL = да.

В конце параграфа приведен пример уравнения теплопроводности с запаздыванием и исследован оператор, порождаемый задачей для этого оператора с граничными условиями и без начальных условий.

В § 2.3 главы II рассмотрен вопрос об индексе оператора L^. Доказаны теоремы 2.3.1 и 2.3.2 о равенстве нулю ядра и коядра оператора [L - iy) при достаточно больших значениях у и вытекающие из этих теорем следствие 2.3.1.

Теорема 2.3.1 Пусть выполнены условия: a) Aj-.Y-*Y - замкнутые операторы, j = 1,2,..,m, Aj.X->Y- вполне

непрерывные операторы, у = 0,1,..,от; существуют пределы НтЦлД/)^ =0,

К(А,у)||х =0(1), \\ARpU,y)\\r=0(l), lim\\R{l,y%x = 0, |Я|->=о, 1тЯ = 0;

б) резольвента

регулярна,

Тогда ядро оператора {l^ - /"/): УЦ,а при достаточно больших значениях у равно нулю.

Теорема 2.3.2 Пусть выполнены условия:

а) Aj + Aj(t) : Y Y - замкнутые операторы, j = 0,1,...,m, A; +Aj(t)\X -> Y -вполне непрерывные операторы, y = 1,2,...,m, (ей; существуют пределы Пт||лД0||г =0, Um hj (0 = 0, hj(t)S.r<\, ЛДО непрерывно зависит от t е R, j = 0,1,.. m ;

б) резольвенты Rp(À,y) и R(Z, t, y) = ((Л - iy)E -A0-A0 (/))"' для любого te R регулярны, |Лр(Я,г4 =0(1), =0(1)' ИЯ,^ =0(1), \AR{X,t,r)\\r = 0(1), |Л|-»0, =0,lim||^,r,/)|r =0, ImA = 0, teR.

Тогда коядро оператора (l^ -iy)\X\a -> УЦ'а при достаточно больших значениях у равно нулю.

Следствие 2.3.1 Пусть выполнены условия:

а) Aj + Ay(t): Y Y - замкнутые операторы, j = 0,1,...,m, Aj+Aj(t):X ->Y -вполне непрерывные операторы, у = 1,2,...,m, г е Л; существуют пределы НшУдоИ =0, lim А,(/) = 0, h,(t)£r< 1, Ait) непрерывно зависит от /ей,

|/|-Мо" «Г И-+00

j = 0,1,.. ;

б) резольвенты Rp(A,y) и /?(Л, г, у) -регулярны, ЦяДЛ,/)]^ =0(1), |К(Я,Г4=0(1), 1^,^,^=0(1), ||ЛЛ(Я,г,г4=0(1), |Л| -> 0, 1|ш]|^(Я,/4 =0,1|ш||Л(Я,Г,г)||г =0, 1шА = а, teR.

Тогда индекс оператора L^ : Х'я° Ул0 в равен нулю.

Третья глава посвящена уравнениям на полуоси t > t0, то есть только начальной задаче:

L0u{t)=f('), <><„»

В § 3.1 доказаны вспомогательные леммы.

Лемма 3.1.1. Если u(t) е X'«, то С1 -н |/)2" ^ <С<да, 0<а<Д.

Лемма 3.2.2. Если (<)|| < С0 < оо, \[hJ (/)| < С, < ®, hJ (t) < г < 1, t > t0, у = 0,1, ,m, |(1 + |/|2")^/(о| e ¿2(е0,сс), м(/) - решение уравнения L0u(t) = f(i) такое, что (1 + |i|2"ы(0 е Z.2inf(г - (г»)>т0 (1 + |/|2"У%(/)||г<С<со, t>t0.

Лемма 3.1.3. Для а е jV-^J справедливо равенство

В § 3.2 доказаны следующие

Теорема 3.2.1 Пусть выполнены условия: лДя) регулярна,

IfifXWll ||й?*(ЯЛ„(Я))|| . .

-г-н =0(1), 1 =0(1), Л-+00, 1тЯ<0, £ = 0,1 Тогда для любой

II II г II II

f(t)eY°" существует единственное решение уравнения Lpu(t)=/(/), принадлежащее пространству что означает непрерывная обратимость оператора Lp

Теорема 3.2.2 Пусть выполнены условия: a) A У -> У - замкнутые операторы, j = 0,1, ,т, A1 X ->• Y - вполне непрерывные операторы, j = 1,2, ,т, AJ (t) сильно равномерно непрерывны в R';, j = 0,1,.,.,т;

б) резольвента Rn(Aj) =

||я/гдя,0|к = 0(1), |Я| со, Im Я < 0, 16 R': ;

17

ЯЯ-£л,(0ехрНЯЛД0) регулярна, ||Я0(Я,г)||Л. =0(1),

J-0 У

в) ДОеКГ, ДсЛ1»;

I

г) (/) < г < 1, (?) > О, Ау(г) равномерно непрерывно зависит от 1е , ] = 1,2,...,/я.

Тогда уравнение ¿„«(г) = /(г) имеет единственное решение и(г) такое, что и(0 = 0 при г <г0.

Параграф 3.3 третьей главы посвящен некоторым замечаниям по уравнениям с линейным отклонением аргумента, которые занимают особое ^

место в теории функционально - дифференциальных уравнений особым статусом типа запаздывания.

Публикации по теме диссертации

1. Алиев И.Р. О разрешимости функционально- дифференциальных уравнений в гильбертовом пространстве с произвольным степенным весом || Межвузовский научно-тематический сборник Функционально-дифференциальные уравнения и их приложения, Махачкала, выпуск 1, 1991, 27-23.

2. Алейдаров С.М., Алиев И.Р. О разрешимости функционально-дифференциального уравнения с неограниченными операторными коэффициентами в гильбертовом пространстве с произвольным степенным весом || Межвузовский научно-тематический сборник Функционально-дифференциальные уравнения и их приложения, Махачкала, выпуск 2, 1994, 14-16.

3. Алейдаров С.М., Алиев И.Р. Об асимптотическом разложении решений функционально-дифференциальных уравнений в гильбертовом пространстве с произвольным степенным весом || Межвузовский научно-тематический сборник Функционально- дифференциальные уравнения и их приложения, Махачкала, выпуск 3,1997,23-26.

4. Алиев Р.Г., Алиев И.Р. О разрешимости функционально- дифференциальных уравнений в гильбертовом пространствах с произвольным степенным весом, Махачкала, Вестник ДГУ, естеств. науки, выпуск 2, 1999, 41-43.

5. Алиев И.Р. Критерий непрерывной обратимости оператора, порождаемого функционально-дифференциальным уравнением в гильбертовом пространстве с произвольным степенным весом || Материалы первой Международной научной конференции Функционально- дифференциальные уравнения и их приложения, Махачкала, 2003,18-20.

Алиев И.Р. О нормальной разрешимости функционально-дифференциальных уравнений в пространстве с произвольным степенным весом || Вестник ДГУ, выпуск 1, Махачкала, 2005,18-2.

РНБ Русский фонд

2007-4 6796

19 МАЙ 2005

Введение.

Краткое содержание работы.

ГЛАВА I. Теоремы существования и единственности.

§ 1.1. Уравнение с постоянными операторными коэффициентами и отклонениями аргумента.

§1.2 Случай маловозмущенного уравнения.

ГЛАВА II. О нормальной разрешимости уравнения.

§2.1. Конечномерность ядра оператора Lpo.

§2.2 Конечномерность коядра оператора Lp0.

§ 2.3 Индекс оператора Lpo.

ГЛАВА III. Уравнение в полупространстве.

§ 3.1 Вспомогательные леммы.

§ 3.2 Случай начальной задачи.

§3.3 Некоторые замечания по уравнениям с линейным отклонением аргумента.

Характерной особенностью современной теории дифференциальных уравнений состоит в использовании абстрактной теории операторов в гильбертовом пространстве. Это можно объяснить тем, что различные задачи могут быть записаны в виде уравнения Lu = f, изучение которого позволяет отвлекаться от специфических и частных трудностей, присущих каждой конкретной задаче, сосредоточив внимание на наиболее общих закономерностях. Другим преимуществом этой теории является то, что уравнения с неограниченными операторными коэффициентами охватывают как частный случай уравнения с частными производными, изученными не достаточно.

Дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом появились еще в XVIII веке в связи с решением задачи Эйлера о разыскании общего вида линии, подобной своей эволюте. Основные теоремы общей теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом и постановка начальной задачи были даны в диссертации А.Д. Мышкиса «Дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом» (1950).

Разработка теории таких уравнений начата, в основном, во второй половине 20 - века под влиянием запросов техники и естествознания. Теория этих уравнений стала применяться в самых разнообразных областях механики, физики, биологии, техники и экономики. Особенно эта теория нашла свое применение в современной технике, где имеет дело с колебательными процессами в системах с последствием и в системах с запаздывающими связями, в автоматике и телемеханике, электросвязи, радиолокации и т.д. Наличие запаздывания в авторегулируемой системе может высказать появление самовозбуждающихся колебаний, увеличение перерегулирования и даже неустойчивость систем.

Причиной неустойчивости горения в жидкостных ракетных двигателях является, как принято считать, наличие времени запаздывания, времени, необходимого для превращения топливной смеси в продукты сгорания. Все это объясняет значительное усиление внимания к уравнениям с запаздывающим аргументом в последнее время.

Дифференциальное уравнение с отклоняющимся аргументом определяется как уравнение, в которое, кроме аргумента t, входит искомая функция и её производные, взятые вообще говоря при различных значениях аргумента t. Такое уравнение имеет запаздывающий тип, если значения старшей производной при любом значении t = /0 определяются через младшие производные при t<t0. Такие уравнения описывают процессы, скорость которых определяется их предшествующим состоянием.

Переход от обычного уравнения *'(/) = /(/,*(/)) к уравнению с отклоняющимся аргументом означает, что вместо *(/) в правой части рассматривается функция x(t - h(t)), где h(t) - заданная функция. Уравнение с сосредоточенным запаздыванием т 1 d Lu{t) = Dlu{t)-YJAJ{t)u{t-hj{t)) = f{t), D, = ~у (1) у=о i dt является частным случаем уравнения с распределенным запаздыванием оо

Lu{t) = D,u{t) - \u{t - T)dxr{t,г) = /(/), (2) i

Г 0-00 < t < о, когда r(t, г) = £ Aj (/)/(r - hj (0), /(0 = 1 ' ро { 1,0 </<00.

Если решение уравнения (1) или (2) находится на участке |/0,оо), то при подстановке u{t) в уравнение появляются значения u{t) при значениях аргумента, меньших /0, т. е. там, где эта функция не определена. Поэтому эти значения надо задавать дополнительно. Задавая u{t) = g(t) при t <t0, решение уравнения u(t) для t > t0 рассматривается как бы продолжение начальной функции g(0- Если mf(t-h/t))"=h, то начальную функцию g(t) достаточно задать на участке [/М0].

Таким образом, получается естественное обобщение задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения. Последним обобщением уравнения (1) является переход от уравнения (2) к системе уравнений вида (2), а также рассмотрение (1) в более общих пространствах.

Различные задачи могут быть записаны в виде уравнения (1) и в зависимости от дополнительных условий (начальных, граничных) появляются различные пространства в качестве области определения оператора L.

Операторному уравнению в случае, когда iA(t) - производящий оператор полугруппы или ограниченный оператор, посвящены многочисленные работы. Без этих предположений уравнение (3) с постоянным оператором изучено в работе Ш. Агмона и JI. Нирегберга [1]. В частности, в той статье выведены асимптотические формулы для решения экспоненциального типа при условии, что спектр оператора А состоит из нормальных собственных значений, расположенных (за исключением быть может конечного числа) в некотором двойном угле радиуса меньше ж. Эти результаты были распространены А.Пази [46] на уравнения, коэффициенты которых отличаются от постоянных на экспоненциально убывающие слагаемые. При условии, что оператор A(t) стремится при t -»оо в некотором слабом смысле к оператору А, М.А. Евграфовым [24] была получена асимптотика при t -> оо решения уравнения (3). где A(t) - собственное число оператора А(/), стремящееся при t —»оо к простому собственному числу Л оператора А, ф(1) - соответствующий собственный элемент.

D,u(t)-A{t)u(t) = Q

3)

Следующим шагом в этом направлении явилось работа А. Пази [46] , в которой получена асимптотика решения u(t) уравнения

1-A{t)u(t) = f(t) (4) at в банаховом пространстве X для случая т=I t t где А0 - замкнутый линейный оператор с плотной в X областью определения.

Дальнейшие исследования были посвящены уравнения (1) и принадлежат Р.Г.Алиеву [13]. Особое внимание было обращено на вопросы существования, единственности, устойчивости и асимптотического поведения решений. В работах Р.Г.Алиева рассмотрены линейные, нелинейные уравнения как первого так и высших порядков я-1 т

D"u{t) -YZA;{t)Shkj №!u(t) = ДО,

0 7=0 уравнения с периодическими коэффициентами, а также с распределенным запаздыванием типа (2).

В отличие от работ Р.Г. Алиева, в которых уравнения рассматривались в пространствах с экспоненциальным весом, дальнейшие исследования проводились в пространствах со степенным весом вида (l + [4, 5, 6].

В настоящей работе продолжаются исследования уравнения (1) в пространствах с произвольным степенным весом вида (l + |/|2ar), 2а = п + 0,

0</?<1, п> 0.

Для изучения рассматриваемых уравнений используются известные методы из теории дифференциальных уравнений, функционального анализа, теории функции комплексного переменного, так и методы, подсказанные спецификой уравнений с отклоняющимся аргументом.

Изучая уравнения в гильбертовом пространстве, мы все время имели в виду применение полученных результатов к уравнениям в частных производных, к бесконечным системам, хотя в равной степени эта теория может быть использована и к системам обыкновенных дифференциальных уравнений, которыми занимаются многие.

Существенным моментом применяемого метода является преобразование дифференциального уравнения в алгебраическое уравнение (уравнения в частных производных в обыкновенное уравнение) с помощью преобразования Фурье, чем преодолеваются определенные трудности и обходят встречаемые препятствия. Однако после решения «облегченной» задачи для получения решения первоначальной задачи надо применить обратное преобразование Фурье, где существенную роль играет хорошо известная теорема Планшереля (Парсеваля), связывающая решения этих двух задач.

Когда уравнения рассматриваются в пространствах с экспоненциальным весом exp(ctf), а = const е R, то теорему Планшереля [13] применяем к равенству гt(t) = -jL= J e'Mu{X)dX = е'* —}= JV^m"^ + ia)dcr,

Л/2Л- 1тя=аг лШг.оо т. е. пользуемся равенством ехрМкЮЦ Ч1ЭДЦ

L'{R.X) II 4 'Hi (1тЯ=аг,А')

Если весовая функция степенного вида целой степени п, то применяя теорему Планшереля к равенству с/"и(Л) 1 dX"

-1= Гехр(-/Д/)(-/0" u(t)dt л/2 я-4, имеем утверждение d"u{X)

И" "(О

V(R,X) dX"

Г (ImA=0,X)

Существенно меняется положение, когда весовая функция имеет форму произвольной степени 1/1", 0 < а < 1.

Чтобы применить известные и использованные в предыдущих случаях методы здесь обходится применение дробного дифференцирования по Лиувиллю [35]

Основные обозначения и определения

Приведем сначала наиболее часто встречающиеся в работе обозначения и определения, а также некоторые к ним пояснения. X, Y - гильбертовы пространства, X с У , ||-|| (|||г) - норма в пространстве

X(y), II > II . Последнее неравенство предлагается выполненным.

ЬХ(ЕХ,Е2) - множество вполне непрерывных операторов из Ех в Е2.

L(Ex,E2) - множество ограниченных операторов из Е1 в Ег.

Z0(£,,£2) - множество замкнутых операторов из в Ег.

F(E],E2) - множество фредгольмовых операторов из £, в Ег.

Ех, Е2 - линейные нормированные пространства. u(t), а = О,

Г(ог) - гамма функция. А - равно по определению.

АСХ - множество абсолютно непрерывных скалярных функций с интервалом определения I.

Suppu{t) = {t,u(t) * 0}n(? - носитель определенной и непрерывной на открытом множестве GaR функции. С - плоскость комплексного переменного.

Cq(G) - множество бесконечно дифференцируемых на открытом множестве G функций с компактными в G носителями.

Говорят, что / на Е имеет порядок ср или / есть О большое от (р на Е и пишут при этом /(/) = 0(<p(t)) на Е, если ||/(0||£ ^ Е на Е, где С -не зависящая от t положительная константа. В частности, /(/) = 0(l) на Е означает тот факт, что / на Е ограничено.

I}(r'°,x) - пополнение множества сильно непрерывных функций u(t) с компактными носителями в R+' и со значениями X по норме г \|/2

00

V"

0>- СО.

Х1£ - пополнение множества функций u{t), u(t) = 0, t < t0, с компактными носителями и со значениями в X, имеющих сильно непрерывные производные в Y по норме кон ]о+и2в)(|«(о1^+иоГк^

V'2 а = const, /0 > -оо.

Ч'» пополнение множества функций w(/), и(/) = 0, /</0, с компактными носителями и со значениями в У по норме \

1/2

1К')1= /о+гжмсл ч

IHII? ДЩх'-Г ' M^My»" • а = const, /0 > -оо.

HR': = \h(t)ACR,:, ,h\t) < г < 1,/0 < t < О)}.

Smu(t)Au(t-h(t)).

XA (т) - характеристическая функция оператора A. Она вводится для вполне непрерывных операторов и по заданному s определяется из неравенства \\Аи\\у <4и\\х+хАф\\у Vs, VueXaY. w(A)A(w(/)) - преобразование Фурье функции u{t).

Са - постоянная, зависящая от а.

Под решением уравнения (1), коэффициенты которого принадлежат пространству L(X,Y), понимается функция u(t) сильно непрерывная в Y, имеющая сильную производную при почти всех / в Y и удовлетворяющая уравнению.

Линейный оператор А:Х ->Y называется непрерывно обратимым, если выполнены условия:

1) область значений Im А = Y,

2) оператор Л обратим,

3) А'1 ограничен. т j=о

Обозначения для операторов: т 7=0 т т

Lp s А - I> Lo=£>,-H A J {t)Shj (/),

J=0 J=0 m j=0 v1

-b » V

V У

ЯЯ(0 = (Л£-А(ОГ.

Во всех рассмотренных выражениях Aj,Aj(t) - ограниченные операторы, области определения которых принадлежат пространству X, а области значений - пространству Y.

Как операторы из У в 7 их полагают неограниченными замкнутыми операторами.

Если при Л = Л0 область значений 1т(1р(Л0)) операторного квазипучка

Lp (Л) = ЛЕ-^ Aj ехр(-/Л/?7) плотна в пространстве X и оператор Ьр (Л0) у=о обладает непрерывным обратным оператором Яр{Л0), то говорят, что комплексное число \ принадлежит резольвентному множеству р(Ар) оператора Ар :Х Г.

Оператор Яр(Л0) называется резольвентой оператора Ар в точке Л = Л0. Совокупность всех комплексных чисел Л, не принадлежащих резольвентному множеству р(Ар), называется спектром оператора Ар и обозначается сг(Ар). Спектр бывает трех типов: 1) точечный спектр Ра -множество таких значений Л = Л0, при котором обратный оператор Яр(Л) не существует. Другими словами, уравнение т

1р(л0)р0 = Л0(р0 -^Aj exp(-U0hj)(p0 =0 имеет ненулевое решение <р0 с j=о

1Ы1*

2) Непрерывный спектр Са - множество таких значений Л = Л0, для которых существует обратный оператор Лр(Л0), но он не является непрерывным. Другими словами Lp(Л0) обладает обратным оператором Яр(Л0) с плотной в Y областью определения, но существует последовательность срп е X, Цд- =1,такая, что 6п =||^(Д0)^л|| 0 при п->со.

3) Остаточный спектр Ra - множество таких значений Л = Л0, для которых существует обратный оператор Яр(Л0), область определения которого не плотна в Y, т.е. существует элемент (р е Y такой, что для любого элемента \fj е X имеет место равенство = 0.

КегА - ядро оператора А: Ех -»£2, то есть совокупность всех решений уравнения Ах = 0, хеЕ,. КегА - замкнутое подпространство (как образ точки при непрерывном отображении).

Im А - образ оператора А: Е, -»Е2, то есть совокупность тех уеЕ2, для которых разрешимо уравнение Ах = у. Множество 1ш А не всегда замкнуто. Со ker А - коядро оператора А: -»Е2 определяется как фактор пространство Е2/1тЛ. i(A) - индекс определяется как разность dim КегА-dim Со ker A = a(A)-jff(A). Числа а(А) и /3{А) являются конечными для фредгольмового оператора.

Некоторые сведения из теории функций и функционального анализа

В этом пункте дается краткое изложение некоторых математических понятий и утверждений, используемых в дальнейшем.

Преобразование Фурье функций из L2(R,H), где Я - гильбертово пространство. преобразованием Фурье функции /(/), где под lim понимается предел по L2(R,H) норме. Преобразованием Фурье для всякой функции L2(R,H) определяется по формуле

Если 12(/?,Я), то функция называется

Если f{t) е l}(R" ,Н), то /(Л) = (2л-)"5 {exp(-UO/W,

Л" *=' и

Функция /(/) = (2л-) 2 |ехр(Ш)/(Д)£/Я называется обратным

R" преобразованием Фурье функции fit).

Теорема Планшереля. Преобразование Фурье переводит функции из L2iR,H) в LziR,H). Более точно, если fit)eL2iR",H), то функция /(Л) существует и fit) е L2 (Л, Я). При этом

7(Л)||2Я</Л = ]||/(0|>, /(0 = ]ехр(аг)7(Я)с/Д .

-ОО -СО V

Из этой теоремы следует, что если JmX -аФ 0, то / it) = |ехр(/ЯО/(^)^ = ~т= |ехр(/(ст + ia)t)/(cr + ia)da =

1 °° ~ ехр(-а/) ,— Jexp(/of)/(cr + ia)dcr, откуда

V2;r oo

1 00 ~ exp(etf)/(/) = —j== jexpiiot)ficx + ia)d<7 и по классической теореме Планшереля oo+/ar 2 i pi 2 00 °°

J |7(Я)||я^ = 11ехР(^)/(0|Гяdt ^ Jexp(af)||/(/fydt

-<x>+ia Im Л=а -co -oo обобщенная теорема Планшереля.

Непрерывность, дифференцируемость, регулярность.

Функция w(/) е Я называется непрерывной в точке г0, если |и(/)-«(/0)|я -> 0 при / -» /0 и непрерывной на [от, 6], если она непрерывна в каждой точке отрезка [а, Ь]. Норма непрерывной на [а,Ь] функции есть скалярная непрерывная функция.

Функция u(t) называется дифференцируемой в точке /0, если и(/0+Д/)-и(/0) существует элемент иеН такой, что

At

-v при At -» 0. и

Функция дифференцируема на отрезке (интервале, полуинтервале), если она дифференцируема в каждой точке отрезка (интервала, полуинтервала).

Функция м(0 называется регулярной в области G с С, если она имеет в каждой точке этой области производную.

Аналитическая функция в окрестности каждой точки t0 е G разлагается вряд 1 "(') = 1Х('-'оГ, где an=-/n\t0)eH.

А=0 л!

Ограниченный линейный оператор - функция К(Л) называется peiy лярной функцией Л в некоторой области D, если в каждой точке этой

- R(A + h)-R(A) области отношение —----сходится по норме пространства X к h некоторому пределу /?'(Я). Для имеет место теорема Коши об обращении в нуль интеграла по замкнутому контуру. В окрестности со изолированной особой точки имеет место разложение Я(Л) = ]ГВЯ(Л-Л0)", со сходящиеся по норме локально равномерно относительно Л . Особая точка Л0 есть полюс, если последнее содержит лишь конечное число членов с отрицательными степенями Л-Л0. Если К(Л) в области D имеет в качестве особых точек лишь полюса, то R(X) называется мероморфной функцией.

Линейный оператор A-.X-+Y называется замкнутым, если из х„ е D(A) и {х„,Ахп} (х,у) следует, что x е D(A) и у = АХ. С оператором А замкнут или не замкнут и оператор ЛЕ- А (с областью определения D(A)). Поэтому, если существует ограниченный обратный оператор (ЛЕ-А)~то оператор А замкнут.

Если Vm е X выполнено неравенство \Аи\ < С\и\ , то оператор А называется ограниченным, а наименьшее значение константы С называется нормой ЦлЦ = ||л||г оператора А. Ограниченный оператор непрерывен.

Обратно, определенный на всем пространстве X непрерывный линейный оператор ограничен.

Линейный оператор называется вполне непрерывным, если он определен на всем пространстве X и отображает каждое ограниченное в X множество в компактное множество в У.

Ограниченный линейный оператор A(t) называется сильно непрерывным, если ||A(t -h)- A(t)\ О при h -» 0.

Теорема Арцеля. Пусть Я, компактно вложено в Я2. Если семейство функций (м(/)}, определенных на компакте [а,Ь\, равномерно ограниченно по норме пространства Я, и равномерно непрерывно по норме пространства Я2, то есть ||и(/)||я ^С» \u(t + h)-u(t)\H <s, \h\ < £(£•),то это семейство функций компактно в Я2.

Теорема о голоморфной оператор функции. Известно, что, если Т(Л): X -» Y голоморфна и существует Т~х (Л): Y X, то Т~\Л) -голоморфная оператор - функция. Это является следствием теоремы об устойчивости ограниченной обратимости.

Теорема Пели — Винера. Для того, чтобы функция /(х) (-00 < х < оо) ь допускала представление /О) = Jexp(ц/(Л) е L2 (a, b)), необходимо а и достаточно, чтобы функция f(x) имела интегрируемый квадрат на всей числовой оси и могла быть доопределена в плоскости как целая функция конечной степени. При этом, если интервал (а,Ь) не может быть заменен меньшим интервалом, то отрезок [ia, ib\ мнимой оси совпадает с сопряженной диаграммой функции /(г).

Неравенство для вполне непрерывных операторов. [13] Если А\Х -> Г вполне непрерывный оператор, то для любого е > О существует константа XA(s), что имеет место неравенство

Ли\\у < фЦ^ + Ха (*)|М1к Для любого ueXczY. Разбиение единицы.

Пусть G- открытое множество в пространстве R1. Допустим, что семейство открытых множеств {G,: / е /} покрывает G, то есть G = U . iel

Тогда система функций {0,-(f):/е/} класса Cq(r) такая, что для любого /е/ носитель suppOjit) содержится в некотором множестве Gn 0 < 6,(t)< 1 для п всех iel, для всех называется разбиением единицы, 1 соответствующим покрытию {Gi : i е /}. Альтернатива Фредгольма.

Пусть Т - вполне непрерывный оператор в банаховом пространстве В и Я - фиксированное и отличное от нуля число. При этих условиях неоднородные уравнения

ЛЕ-Т)х = у, (5)

IE-Г У = у (6) при любых у е В и у* е В' имеют единственные решения тогда и только тогда, когда однородные уравнения

ЛЕ-Т)х = 0, (7)

ЛЕ-Т'У=0 (8) имеют лишь нулевые решения. Кроме того, если одно из однородных уравнений имеет ненулевое решение, то они оба имеют одно и тоже число независимых решений. В этом случае уравнения (5) и (6) имеют решение тогда и только тогда, когда векторы у и у ортогональны ко всем решениям уравнений (7) и (8) соответственно.

Компактное вложение.

Тождественный оператор А: Я, -»Н2, ставящий в соответствие элементу хеЯ, тот же элемент как элемент пространства Н2, называется оператором вложения пространства Нх в пространство Н2. Если оператор вложения есть вполне непрерывный оператор, то вложение называется компактным.

Краткое содержание работы

Диссертация состоит из трех глав, разделенных на 10 параграфов. Первая глава посвящена вопросам разрешимости уравнения

Lpou(t) ^ D,u(t)-±[Aj + AJ (ф„ h </)u(t) = /М (>to^ (9) j=о и его частных случаев.

Первый параграф посвящен частному случаю уравнению (9) т

Pu(t)= Dlu(t)~YdAJShu(t)= f(t), (10)

7=0 с постоянными неограниченными замкнутыми операторными коэффициентами А} : Y У и постоянными отклонениями hj аргумента произвольного знака в случае всей оси - со < / < оо и положительного знака в случае полуоси -oo<t0<t <<х>, у = 0,1,., т. Кроме того получается h0 = Ос тем, чтобы уравнения (9) и (10) содержали в себе как частные случае уравнения без отклонений аргумента D,u(t) ~ Au(t) = 0 и D,u(t) - A(t)u{t) = 0.

В начале §1.1 доказаны вспомогательные леммы 1.1.1 - 1.1.5 о преобразовании Фурье дробной производной, о дробной производной преобразования Фурье, преобразования Фурье дробной производной со сдвинутым аргументом, об оценках норм решений уравнений и их производных в пространствах с произвольным степенным весом.

Основным утверждением этого параграфа является следующая Теорема 1.1.1 Выполнение условий: Rp(X) регулярна, dkR(Z) dXk 0( 1), dk{XRp(X)) dlk O(l), \Л\ -> оо, \тЛ = О, Л: = 0,1, необходимо и достаточно для обратимости оператора Lp : Х\а -» Y%'a., О < а < ^.

В конце §1.1 приведен пример скалярного обыкновенного дифференциального уравнения для иллюстрации абстрактной теоремы 1.1.1. Если Aj(t) и hj(t), j = 0,\,.,m, малы в некотором смысле и

Aj eL 0 (X, 7) о L и (X, 7), j = 1,2,., т, то в § 1.2 доказаны леммы 1.2.1 и 1.2.2 о свойствах вполне непрерывных операторов и теорема 1.2.1 о достаточных условиях непрерывной обратимости маловозмущенного оператора гО.а

Теорема 1.2.1 Пусть выполнены условия: a) Aj.:Y->Y - замкнутые операторы, j = 0,\,.,m, Aj-.X->Y - вполне непрерывные операторы, j = 1,2,., m; dkRp{X) d'(jLRp(A)) б) резольвента R (Л) регулярна, dЛк

0(1), dAk 0( 1), i| —»оо, 1шЯ = 0, к = 0,1.

Тогда существует е>0 такое, что если ||^у(/)|| < s, |/гу ^ £, t е R, j = 0,1,., т, то оператор L : Х\а Y^a непрерывно обратим.

Приведен пример скалярного уравнения первого порядка для иллюстрации абстрактной теории.

В главе И, снимая малость переменных составляющих операторных коэффициентов Aj(t) и отклонений аргумента hj(t), исследуется вопрос о нормальной разрешимости уравнения Lpou(t) = fit) в гильбертовом пространстве .

В §2.1 доказана следующая о конечномерности ядра оператора L

Теорема 2.1.1 Пусть выполнены условия: a) Aj-.Y-^Y - замкнутые операторы , у = 0,1,.,/я, Aj-.X-^Y - вполне непрерывные операторы, у = 1,2,.,т и существуют пределы lim 1.4,(01 =0,

-»оо11 J ПК

Ит|/г, (0| = 0, hj (0 ^ г < 1, у = 0,1,., m,teR; б) резольвента R АЛ) регулярна, dkRPW с1Л 0(1), dk^RM)) алк о( 1),

Л|->а>, 1тЛ = 0, * = 0,1.

Тогда ядро оператора Lpo: X]Ra -> Y°,a конечномерно. В §2.2 доказана

Теорема 2.2.1 Пусть выполнены условия: а) Aj +Aj(t):Y ->Y - замкнутые операторы, у = 0,1,.,/и, Aj + А}(0: X Y вполне непрерывные операторы, у = l,2,.,w,/ е R; существуют пределы limlU (0|1 = 0, limh.(0 = 0, h. (t)<r<\, у = 0,1,.,m; А.(0 непрерывно j "У И-»00 зависит от teR,j = 0,1,.,/л; б) резольвенты R А Л) и i?(A,0 = (ЛЕ -А0- A0(t))~' : Y -» X регулярны, dkR,(X) dAk 0{ 1), dk(AR(A)) dAk 0( 1), dkR(A,t) dAk 0(1), dk{AR(Ajj) dAk 0(1),

Л|->оо,1тЛ = 0, teR.

Тогда коядро оператора Lpo \Хх£ -» конечномерно.

В конце параграфа приведен пример уравнения теплопроводности с запаздыванием и исследован оператор, порождаемый задачей для этого оператора с граничными условиями без начальных условий. В параграфе 2.3 доказаны теоремы об индексе оператора

Теорема 2.3.1 Пусть выполнены условия: a) Aj-.Y-^Y - замкнутые операторы, j = 0,1,., т, Aj-.X-^Y- вполне непрерывные операторы, у = 1,2,.,/и; существуют пределы Нт|Л (0|| =0,

->-оо1 j iiк

Hm|/*,(0] = 0, hj\t) < г < 1, j = 0,1,., т; т б) резольвента Rp (Я, у) = (Я - iy)E - Aj exp(-/ЛЛ.)

7=0 регулярна, dkRAA,y) dAk 0( 1), dk{AR(A,y)) dA 0(1), Нт||7?(Я,/)||д, = 0, \А\ -> оо, Im А = 0;

Тогда ядро оператора (bpo - iy): X)f -» Y^,a при достаточно больших значениях / равно нулю.

Теорема 2.3.2 Пусть выполнены условия: а) Aj+Aj(t):Y->Y - замкнутые операторы, j = 0,1,., m, Aj+Aj(t):X^>Y вполне непрерывные операторы, у = 1,2,.,га, teR\ существуют пределы Нт|л,(/)|| =0, НтЛДО = 0, h,(t)<r< 1, A At) непрерывно зависит от teR,

-»»1 ' Н К И"*00 j = 0,1,.т; б) резольвенты R А А,у) и R(A,t,y) = ((A-iy)E- А0- A0(t))~' для любого teR регулярны, dk(XR(A,t,yj) dkRM>7) dK 0(1), dk(AR{l,yj) dK 0( 1), dkRM^r) dxk 0(1), 0(1), |Я| -» О, 1тЛ = 0,

00" dXk teR, Л = 0,1.

Тогда коядро оператора (bpo -iy): при достаточно больших значениях у равно нулю.

Следствие 2.3.1 Пусть выполнены условия: a) Aj + Aj(t):Y Y - замкнутые операторы, j = 0,1,.,/я, Aj + Aj(t): X -> Y вполне непрерывные операторы, y' = l,2,.,m, /еЛ; существуют пределы lim|U,(/)| =0, \imhAt) = 0, hAt)<r<\, ЛД/) непрерывно зависит от /ei?,

-*»ll II к И-»00 j = 0,1,.т; б) резольвенты и Л(Я,/,/) -регулярны,

Я,Г) 0(1), dk(XR(A,yj) dAk 0( 1), dkR(A,t,y) dAk 0(1), dk(AR(A,t,y)) dAk dAk 0(1), |Я| -» 0,

Нт^ДЯ,^ =0,1|т[Л(Я,/,у)||у =0, 1тЯ = a, t еЛ, к = 0,1.

00

Тогда индекс оператора : -> равен нулю. Глава III посвящена уравнениям на полуоси t>t0, то есть начальным задачам:

Lpu(t) = f(t), t>t0, (11) u(0 = g(0, t<tQ, и(/„+0) = £(/0). (12)

В §3.1 доказывается вспомогательные леммы З.1.1., 3.1.2 и 3.1.3. В §3.2 доказаны следующие

Теорема 3.2.1 Пусть выполнены условия: резольвента R (X) регулярна, dkRAX) d% 0(1), dk(ARp(X)) dXk 0(1), |я|—>со, 1тЛ<0, Аг = 0,1.

Тогда для любой /(/) е уравнение имеет единственное решение, принадлежащее пространству^^, что означает непрерывная обратимость оператора Lp : XxRa„ Y°f и равенство нулю решения u(t) для t <t0.

Теорема 3.2.2 Пусть выполнены условия a) Aj(t):Y->Y - замкнутые операторы, j = 0,l,.,m, Aj(t):X->Y - вполне непрерывные операторы, j = 1,2,., т, Aj (t) сильно равномерно непрерывны в R':, у = 0,1,.,/я; т , • б) Резольвента RQ(X,t) = /LE - Aj (/)ехр(- iXhj (t)) регулярна, dkR0M dXk 0(1), dk(AR0M) dXk 0(l), |Д|->оо, 1шД<0, teR':, k = 0,1; в) f(t)eY° \ AczR':; r) hj(t)eHR, hj(t)> 0, hj(t) равномерно непрерывно зависит от tsR'0, У = 1,2,.,/я.

Тогда уравнение L0u(t) = /(/)имеет единственное решение u(t) такое, что u(t) = 0 при t<t0.

1. Agmon S., Nirenberg L. Properties of solutions of ordinary differential equations in Banacush Space, Comm. Pure and appl. Math., 16, №2, 1963, p.-121-239.

2. Азбелев H.B., Рахматулина Л.Ф. Функционально-дифференциальные уравнения, ДУ, т.14, №5, 1978.

3. Азбелев Н.В. и др. Введение в теорию функционально-дифференциальных уравнений, М.: Наука, 1991.

4. Алейдаров С.М. О единственности решения уравнения с отклоняющимся аргументом в пространствах со степенным весом. Дифф. Уравнения, 1986, т.ХХП, №12.

5. Алейдаров С.М. Достаточные условия разрешимости уравнения с малыми коэффициентами в пространствах со степенным весом. Межвуз. сб. «ФДУ и их приложения», 2001.

6. Алейдаров С.М. Нормальная разрешимость ФДУ в пространствах со степенным весом. Вестник ДГУ. Есгес. Науки, Вып.4.,2003.

7. Алиев И.Р. О нормальной разрешимости функционально-дифференциальных уравнений в пространстве с произвольным степенным весом, Вестник ДГУ, выпуск 1, Махачкала, 2005, 18-25.

8. З.Алиев Р.Г. Функционально-дифференциальные уравнения в гильбертовом пространстве, Махачкала, 2001.

9. Атагишиева Г.С. К вопросу о существовании решений функционально-дифференциальных уравнений, убывающих быстрее экспоненты, Вестник ДГУ, вып-1. 1999.

10. Белман Р., Кук К. Дифференциально-разностные уравнения М.: Мир, 1967.

11. Бесов О.В. Ильин В.А., Никольский С.М. Интегральные представления функций и теоремы вложения, М.: Наука 1975.

12. Блехнер П.М. Об операторах, зависящих мероморфно от параметра, Вестник МГУ, №5, 1965.

13. Валеев К.Г. Линейные дифференциальные уравнения с запаздыванием, линейно зависящим от аргумента, Сиб. мат. жур., т.5, 1964.

14. Винер Н., Пели Р., Преобразование Фурье в комплексной области, М.: наука, 1964.

15. Власов В.В. Разрешимость одного класса функционально-дифференциальных уравнений в гильбертовом пространстве, материалы третьей Северо-Кавказской региональной конференции, Махачкала, 1991.

16. Вольтерра В. Математическая теория борьбы за существования, М.: Наука, 1976.

17. Гохберг И.Ц., Крейн М.Г. Основные положения о дефектных числах, корневых числах и индексах линейных операторов, УМН, т. 12, вып. 2(27), 1957.

18. Далецкий Ю.Л., Крейн М.Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банановом пространстве, М.: Наука, 1970.

19. Евграфов М.А. Структура решений экспоненциального роста для некоторых операторных уравнений, труды мат. института им. АН СССР, 60, 1961.

20. Иосида К. Функциональный анализ, М.: Мир, 1967.

21. Като Т. Теория возмущения линейных операторов, М.: Мир, 1972.2727. Кондратьев В.А. Краевые задачи для параболических уравненийв замкнутых областях, тр. Моск. мат. общ., 15,1966.

22. Крейн С.Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве, М.: Наука, 1967.

23. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: наука, 1972.

24. Морен К. Методы гильбертова пространства, М: Мир, 1965.

25. Мышкис А. Д. Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом, М.: Наука, 1972.

26. Мышкис А.Д. общая теория дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом, УМЖ, 4:5, 1949, доп. библиогр., УМЖ, 5:2,1950.

27. Мышкис А.Д. Линейные дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом, М.: Наука, 1972.

28. Пинни Э. Обыкновенные дифференциально-разностные уравнения, Ил., 1961.

29. Самко С.Г., Кильбас А.А., Маричев О.И., Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения, Минск, «Наука и техника», 1987.

30. Смирнов В.И. Курс вышей математики, т.5, 1959.

31. Солодов А.В., Солодова Е.В. Системы с переменным запаздыванием, М.: Наука, 1980.

32. Тихонов А.Н. Теории единственности для уравнения теплопроводности, Мат. сб. т. 42:2, 1935.

33. Тихонов А.Н. О функциональных уравнениях типа Volterra и их применениях к некоторым задачам математической физики, Бюл. МГУ(А), 1:8, 1938.

34. Халанай А. Системы с запаздыванием. Результаты и проблемы (сб. переводов «Математика», 10:5, 1966.

35. Хан В. Обзор теории дифференциально-разностных уравнений с постоянными и . переменными запаздываниями, сб. перевод, «Математика», 5:6,1967.

36. Харди Г., Литльвод Д., Полио Г., Неравенства, ИНЛ,1948.

37. Хейл Д. Теория функционально-дифференциальных уравнений, М.: Мир, 1984.

38. Шилов Г.Е. Математический анализ, Физмагиз, 1960.

39. Carr J., Duson J. The functional differential equation = + ЬУ(ХУ>> Proc. Roy. Soc., Edinburgh, A74 (1976).

40. Cooke K.L., College P. Some recent word on functional- differential equations. Proc United States-Japan seminar of differential eq. 1967.

41. Pazy A. Asymptotic behavior of the Solutions of an Abstract Evolution Equations and some Appl. J. of diff eqat., 4. 1968.