О разрешимости функционально-дифференциальных уравнений второго порядка в гильбертовом пространстве на полуоси тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ДАГЕСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ДЫДЫМОВА ХАЛЖАТ ГОБУЛЛАЕВНА

О РАЗРЕШИМОСТИ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ НА ПОЛУОСИ

01.01.02 - "Дифференциальные уравнения" Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор Алиев Р.Г.

Махачкала -

1998

Содержание

Введение ...............................................................................................3

Основные обозначения и определения...............................................6

Некоторые сведения из теории функций и функционального

анализа....................................................................................................9

Краткое содержание..............................................................................13

ГЛАВА 1. Теоремы существования и единственности решения

на полуоси .........................................................................20

1.1. Вспомогательные леммы...............................................................20

1.2. Теорема об однозначной разрешимости уравнения в общем случае..............................................................................................23

1.3. Теорема об однозначной разрешимости при условиях на резольвенту главной части оператора Ь0 ...................................29

ГЛАВА 2. Устойчивость и оценки характеристических

показателей решений. Оценки решений начальных задач ....................................................................................35

2.1. Однозначная разрешимость и устойчивость решений. Оценка характеристического показателя....................................38

2.2. Оценки решений начальных задач и вытекающие из них следствия об асимптотической устойчивости решений............52

ГЛАВА 3. Уравнения с линейным отклонением аргумента.......60

3.1. Случай уравнения с экспоненциально убывающими коэффициентами....................................................................................61

3.2. Теорема об однозначной разрешимости в случае уравнения с линейным отклонением аргумента......................................................65

3.3. Примеры иллюстрации абстрактной теории...............................70

Литература

87

Введение

Главная задача науки - это описание и предсказание. Во многих важных случаях удобно задавать состояние системы в данный момент времени I при помощи конечно-мерного вектора х(/). Таким образом, мы придем к дифференциальному уравнению

^ = х(0) = с.

т 9

Несмотря на весьма удовлетворительное состояние теории дифференциальных уравнений, возникает необходимость в изучении более сложных уравнений. Нужно принять во внимание тот факт, что скорость изменения в физических системах зависит не только от их состояния в настоящий момент времени, но и от их предыстории. Так возникла теория дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом, принадлежащих к числу сравнительно молодых и бурно развивающихся разделов теории обыкновенных дифференциальных уравнений.

Дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом, описывающие процессы с последействием, находят много приложений: в теории автоматического управления, в теории автоколебательных систем, ряда экономических проблем, биофизических проблем и многих других.

Дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом появились в литературе еще в XVIII в. в связи с решением задачи Эйлера о разыскании общего вида линии, подобной своей эволюте. Однако еще до совсем недавнего времени не были сформулированы основные теоремы общей теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом, в литературе не было даже четкой постановки начальной задачи. Это впервые сделано в диссертации А.Д.Мышкиса "Дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом" (1949-1950).

Изучением скалярных дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом, кроме А.Д.Мышкиса, занимались С.Б.Норкин, Л.Э.Эльсгольц,

Р.Беллман, К.Кук, Н.В.Азбелев, А.М.Зверкин, Г.А.Каменский, В.Хан и др. Для линейных дифференциальных уравнений с постоянным запаздыванием оказываются весьма эффективными операционные методы (преобразование Лапласа) и метод шагов. Именно эффективность применения этих методов привела к тому, что линейные уравнения с постоянными коэффициентами и постоянными запаздываниями особенно часто встречаются в прикладных работах.

Следующим этапом в развитии теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом стали исследования по операторно-дифференциальным уравнениям вида

*'(*)=4'МО» (1)

где А({) - переменный неограниченный оператор, и

т

=/('), т>1 (2)

в различных пространствах.

Изучением уравнения (1) занимались многие авторы, в числе которых мы укажем на работы [28], [31], [19]. Существенных результатов в исследовании уравнения (2) достигли Э.Хилле, Р.Филлипс, К.Иосида, Т.Като. В этом уравнении А. - неограниченные операторы в банаховом пространстве. Для

уравнений такого вида были получены теоремы существования задачи Коши (т = /).

Обобщением вышеуказанных уравнений является дифференциально-операторное уравнение с отклоняющимся аргументом с неограниченными операторными коэффициентами в гильбертовом пространстве вида

-мо)=/(о, в< (3)

I СИ

Систематическим изучением этого уравнения занимался Р.Г.Алиев в работах [1]-[4].

Были исследованы вопросы существования, единственности решения уравнения (3), а также устойчивость и асимптотическое поведение решения при t —> go . Успешное применение к решению метода преобразования Фурье, методов функционального анализа и методов, возникших в результате исследования уравнения (3), позволило углубиться в изучение перечисленных вопросов.

Условия непрерывной обратимости оператора Lp0, которым порождается уравнение

п—1 т р ,

+AAtphkj+hkj{t]Diu{t) = f{t), (4)

к-0]=0

когда Ащ (t) и hkj (t) "малые" в некотором смысле, рассмотрены в [5]-[8] при

п = 2 и в [24]-[26] в случае произвольного п. Здесь существенно была использована теорема из функционального анализа об обратимости оператора, "мало" отличающегося от обратимого.

Оставался открытым вопрос о снятии условия "малости" на переменные составляющие операторных коэффициентов Akj(t) и отклонений аргумента

hkj (?). Другими словами оставался открытым вопрос о разрешимости уравнения

п-1 т.

АЧЫ £ Akj it)Shkj{t)D^u(t) = fit), (5)

к=0j=0

в случае произвольно отличающихся от постоянных Akj и hkj операторных

коэффициентов Akj(t) и отклонений аргумента hkj(t).

В настоящей работе исследуется уравнение (5) при п = 2, а также уравнение с линейным отклонением вида

Im , V

Lu{t) = D?u(t)-XI A, (OAMv) = / W •

к=0j=0

Основные обозначения и определения

X, Y - гильбертовы пространства, X с Y, ||| >

X2r"- пополнение множества функций u(t), vit) = 0, t < t0, с компактными

носителями и со значениями в X, имеющих почти всюду сильно непрерывные производные и" (О в Y по норме

+00

, ,п , м2

+

- ' II 1 ' ПА

h

а = const е R.

+00 J.

\u(tj\ = ( \exp(2at)(\u(t)fx +\\u'(t)\\2x +\и"(t)fY)dt,

- пополнение множества сильно непрерывных функций и(г), = О, t <t0, с компактными носителями и со значениями в 7 по норме

+00 у

\и(1)\ = ( \ехр(2ш)\и^)\2у^У2 .

к

4(Х,У)~ множество линейных замкнутых операторов \i3XBY. ЬЮ(Х,У) - множество линейных вполне непрерывных операторов из Хв Y. Ь2 (, X) - пополнение множества сильно непрерывных функций с компактными носителями и со значениями в X по норме

+00 у

\и(1)\ = ( ЩиГ^а/2.

Iо

Носителем определенной и непрерывной на открытом множестве (7 с Я функции и(¿) называется множество : и{$) Ф 0)П С •

Со ((?) - множество бесконечно дифференцируемых на открытом множестве

<7 функций с компактными в О носителями. Ь2 (/) - пространство суммируемых с квадратом на множестве I а Я скалярных функций.

Говорят, что / на Е имеет порядок ф или / есть О большое от ф на Е и пишут при этом /(/)= 0(ф(/)) на Е, если < Cfl<p(/| , где С - кон-

станта не зависящая от t, причем положительная.

В частности, /(/)= 0(l) на Е означает ограниченность / на Е.

и(к) = (и it)) - преобразование Фурье функции u(t). Са - постоянная, зависящая от а . С - плоскость комплексного переменного.

Под решением уравнения L0u(t) = fit) понимается функция u(t), имеющая сильно абсолютно непрерывную первую производную в Г и удовлетворяющая уравнению.

HI - множество абсолютно непрерывных в /ci? скалярных функций h(t), у которых в точках существования производной h'(t)< г < 1, tel. %A(s) - характеристическая функция оператора А. Она вводится для А е L0iY,Y)C\L^(X,Y) и определяется из неравенства \\Аи\\у < г\и\х + %А (в|м|у, Ve >0, иеХ с: Y.

Sh^(t)u{t)=u{t - hkj(t)), Pakju(t)=u(akjt), 0<akj <1. 1 m 1 Ик

h - Dt -1 SXVD-' D' h«> = hi° =0>

k=0j=0 1 at

1 m r

LP0 = A2 - Z Z К + Ahf , h00(t) = hl0 (t) = h00 = hJ0 - 0,

k-0j=0

1 jn

Lo * A'-ZZM^Ka^' h00it)^h10{t) = 0.

k=0j=0

1 m

L^Dt ~YLAkjit)Pa^ , a00=a10=l, 0<akj<l, к - 0,1,

k=0j=0

j -1,2,...,m. Оператор

1 т к=0у=0

будем называть основным оператором. Для любых фиксированных значений I е Я, X е С определим оператор

( I т Л''

V к=0М )

называемый резольвентой основного оператора А0 (?).

1т 1 т ■-

Для операторов Ар = ЕХЛЧА" и ЕЕК+

резольвентами будут

к] 1 ~~ ~ро\'/ и -к; ■ /су V /г- Ъщ+кф)

к=0 у'=0 ¿=0 у=0

/ т

V'

/ \

я, (х) = л/ )

I к=()Н)

1 т

Операторы Ьр, и Ьа можно записать выделяя члены, не содержащие отклонений аргумента. Например, Ь0 = Ь1 - Ь2, где

/и от

Оператор будем называть главной частью оператора Ь0.

Некоторые сведения из теории функций и функционального анализа

П.0.0.1.

В этом пункте дается краткое изложение некоторых понятий и утверждений, которые будут использованы в дальнейшем.

Преобразование Фурье [18] функции f(t)e L2(R,H), где Н - гильбертово пространство, определяется как

1 N

/(А,) = l.i.m .— Гехр{- ikt)f (t)dt .

N-*>О у12% Jn

Под l.i.m. понимается предел по норме пространства Ь2[Я,Н). Преобразование Фурье для всякой функции f(t) е L2(R,H) определяется формулой

/ 00

f(X) = -== \ехр{- ikt)f(t)dt.

v 2%

Теорема Планшереля [18]. Преобразование Фурье переводит функции из Ь2{Я,Н) в Ь2(Я,Н), а именно: если Ь2(Я,Н), то функция

/(А,) = l.i.m.—¡= \ехр{- i\t)f(t)dt

N

N-»оО

^2% _N

существует и /(А,) е L2 (Я,Н). При этом

_t-rr\ ^ -i~т

N

\\f{tfHdt, f{t) = li.m.1T \exp{ikt)f(\)dX

-00 -00 "\l ¿71 _дг

Из этой теоремы следует, что если Im X = а Ф 0, то

2

1тХ=а

Непрерывность, дифферен цируемость, регулярность. Функция и(г)еЯ называется непрерывной в точке если ||г/(/)-м(/0|я 0 при

£ -»¿0, и непрерывной на \а,Ь\, если она непрерывна в каждой точке отрезка [а,Ь\. Норма непрерывной на [а,Ь] функции есть скалярная непрерывная функция.

Функция и(/) называется дифференцируемой в точке 10, если существует такой элемент иеЯ, что &

Функция дифференцируема на отрезке (интервале, полуинтервале), если она дифференцируема в каждой точке отрезка (интервала, полуинтервала).

Функция и{{) называется регулярной в области (7 с С, если она имеет в каждой точке этой области производную. Аналитическая функция в окрестности каждой точки t0 е С разлагается в ряд

00 у

и(0:= Ъап('-ЧУ , где

п=о п!

Ограниченный линейный оператор Я(Х) называется регулярной функцией X в некоторой области £>, если в каждой точке этой области отношение Я(Х + 1г)-11(Х)

—1---— сходится по норме пространства Н к некоторому пределу

А

Я'(Х). В окрестности изолированной особой точки имеет место разложение

00

Я{Х) = ^Вп(Х-Х0)п , сходящееся по норме локально равномерно относи-

П=- 00

тельно X. Особая точка Х0 есть полюс, если последнее разложение содержит лишь конечное число членов с отрицательными степенями Х-Х0. Если в области I) Я(Х) имеет в качестве особых точек лишь полюса, то Я(Х) называется мероморфной функцией.

Линейные операторы. Замкнутость. Ограниченность.

Оператор A:X->Y называется замкнутым, если из хп —> х, хп el, Ахп -> у следует, что х е X, Ах = у.

С оператором А замкнут или не замкнут и оператор ХЕ- А (с областью определения D(a)). Поэтому, если существует ограниченный оператор

(ХЕ - А)"' , то оператор А замкнут.

Если е Hj выполнено неравенство < С||м(?|я , то опера-

тор называется ограниченным, а наименьшее значение константы С - нормой 1И1я/Ч>#2 оператора А. Ограниченный оператор непрерывен. Обратно, определенный на всем пространстве Н1 непрерывный линейный оператор ограничен.

Ограниченный линейный оператор A(t) называется сильно непрерывным, если IA(t + h)~ -» 0 при h-^-0.

Линейный оператор называется вполне непрерывным, если он определен на всем пространстве Н1 и отображает каждое ограниченное в И1 множество в компактное множество в Н2.

П.0.0.2.

В этом пункте мы приводим известные результаты, относящиеся к исследуемому нами уравнению (5) при п = 2.

Теорема 1.2.1. [8]. Условия: резольвента Rp{X) регулярна,

К ML=IK^L=\x2rpHy=N 00 > ImX=а

(ImX < а) необходимы и достаточны для непрерывной обратимости операто-pa Lp : Х^ -> , t0=- со, {t0>- со).

Теорема 1.3.1. [8]. Пусть выполнены условия: a) Akj eL0(Y,Y)f]LjX,Y), k = 0,l, j>J;

б) для резольвенты Яр (X) выполнены условия:

¡Х2Яр(х}\у=0(1), 1тХ = а, (1тХ< а) и М регулярна, кк] + кк] (/) > 0, у > 1, к = 0,1; Тогда существует е>0 такое, что если Аш(п| <8, \кш(/1 < е, I

К (0 е Ш, то оператор 1рои(<) ■ X2* 10 = -со > -оо)

Теорема 1.3.2. [8]. Пусть выполнены условия:

а) к = 0,1, ]>1;

б) для резольвенты выполнены условия: 1^(^=0(4 1^(^=0(7), N->00, 1тХ< а и Яр(Х) регулярна;

в) АаЯ'°, кц (/) е НЯ^, к = 0,1, ]>0.

Тогда существует г>0 такое, что если < е, / еЯ,

к = 0,1, то уравнение Ьрои^)= /(/) имеет единственное решение и(/),

обладающее свойством: и{{) = 0, / < .

Лемма 2.1. [4]. Если ,4 е ¿ДУ^ПАо^,^), то V8 > 03хА(е), что имеет место неравенство

\\Au\l < в\\и\\х + г А (Ф11г

Краткое содержание

Первая глава диссертации содержит три параграфа и посвящена вопросам разрешимости уравнения L0u{t) = fit).

В первом параграфе доказываются вспомогательные леммы. В § 1.2. доказана теорема об однозначной разрешимости уравнения L0u(t) = fit) при

I т

условиях на резольвенту основного оператора А0 (/) = Ц Akj (t)Shk.^D^.

к=0 j=0 kJ

Теорема 1.2.1. Пусть выполнены условия:

а) Akj(t)<E L0{Y ,Y)f\ЬЖ(Х ,Y), j>l, к = 0,1; Akj (t) сильно равномерно непрерывны no t eR*°, j>0, к = 0,1;

б) резольвенты R0(X,t) регулярны, ЦдДА,,*)^ = ||Ai?o0u)||x = |а,2Л0(М)|| = 0(l), ImX < a, t > t0, |A,| -> oo;

в) fit)€ 7д'а, A a R(+°, hkj(/)e HRl°, hkj(t)>0, hkj(t) равномерно непрерывно

зависят от t е Rl°, j >1, к = 0,1.

Тогда уравнение L0u{t) = fit) имеет единственное решение u{t) такое,

что u^k\t)- 0 при t<t0, к = 0,1.

В §1.3. доказана теорема об однозначной разрешимости уравнения L0u(t) = fit) при условиях на резольвенту главной части оператора L0.

Теорема 1.3.1. Пусть выполнены условия: a) VteR Akj{t)eL0(Y,Y)riL„(X,Y), j>l, к = 0,1;

4ю(0> сильно рав-

номерно непрерывны на Rl°;

б) Vi > t0 резольвенты R} (t) = {x2E - A00 (t) - XA10 (/)) 1 регулярны, l^L = \\ЫМх = °V)> = 0{1), ImX < a, Щ oo;

в) f{t)eV£\Ac:Ri,hkJ(t)eHRl\0<hkJ{t)<M,t>t0, j>l,k = 0,l.

Тогда уравнение L0u(t)= f(t) имеет единственное решение u{t) такое, что u(-k\t) = 0, t<t0, к = 0,1.

Вторая глава посвящена вопросам существования, единственности и асимптотической устойчивости решения уравнения L0u(t) = f(t).

В §2.1. доказаны теорема об однозначной разрешимости уравнения L0u(t) = f{t) с получением интегральной оценки для решения и его производной и два следствия об устойчивости и оценке характеристического показателя.

Теорема 2.1.1. Пусть выполнены условия: a) \ft>t0 Akj(it)eL0(Y,Г)f|Lm(X,Y), j>l,k = 0,1; Akj(t) сильно равномерно

непрерывны, существуют сильные производные

dAkJ{t)

dAkjit)

—-—, t>t0 sup

di t>tn

dt

<5, 5>0, j>0, к = 0,1 \

б) резольвенты Я0{Хл) регулярны для 1тХ<а<со, /существуют постоянные с0, С0 и целое положительное число р, что V* > 10 и 1тХ = а < а выполняется неравенство

в) , 0<Ьк^)<Ь°, кк] (?) равномерно непрерывны в

R[0,j>l, к = 0,1.

Тогда для Ve>0 3C5(s) и единственное решение u(t) уравнения Lou{t) = /(0 такое, что u^k\t) =gk{t), k = 0,l,t<t0 и имеет место оценка

Г 1 ^ --б

ехр- а-С8{г)б1+р >[u(t) + u'(t)]

где постоянные С, С8(е) не зависят от решения причем С8(в) ограничена константой С(е) на каждом конечном отрезке изменения 8.

Следствие 2.1.1. В условиях теоремы 2.1.1 для характеристического показателя x(MW) решения u(t) уравнения L0u{t) = fit) справедливо неравенст-

во

Xiuit))=lm-tln\u{t\ +И01 J< -a + C,{z)b1+p~\ t >0.

Следствие 2.1.2. Пусть выполнены условия теоремы 2.1.1, а>0 и = 0, у > 1, к = 0,1. Тогда тривиальное решение уравнения

Ь0и^) = 0 асимптотически устойчиво.

В §2.2. доказаны теоремы о непрерывной обратимости оператора Ь0 и следствия об асимптотической устойчивости решений.

lim\\Akj (t

г-W J

Теорема 2.2.1. Пусть выполнены условия: а) V/ > ¡0 Ак] (?) е 10 (У, У) П (X, У), у > 7, к = 0,1, Ак] (/) сильно равномерно

непрерывны в , ] > 0, к = 0,1;

б) \/t>t0 резольвенты R0(X,t) регулярны и , X2R0(X,t) y равномерно ограничены в полуплоскости ImX<a = const;

в) /(/) е ; hkj (t) е HR'+°, 0 < hkj (t)<h°, t>t0, hkj (t) равномерно непрерывны в R'+°, j>l, к = 0,1.

Тогда существует число ц и единственное решение u(t) уравнения L0u{t)= f{t), что имеет место: u{k\t) = gk{t), t<t0,k = 0,l,Vgk{t)t X(t"hoJgy

Г, , 2 \

где постоянная С не зависит от решения u(t) и его производной u'(t).

Теорема 2.2.2. Пусть выполнены условия:

а) Vf > t0 Akj(t)e L0(Y,Y)f|Lm(X,Y), j>l, к = 0,1, Akj(?) сильно равномерно

непрерывны в \t0, Т\, j >0, к = 0,1, для некоторого T>t0 3limAkj{t)=Akj,

t-> 00

limhkj(t) = hkj, j>0, к = 0,1;

/->00 J J

б) \/t g [t0,T] резольвенты R0(X,t) регулярны и v > jjX2R0 (A,,?!^ равномерно ограничены в полуплоскости ImX< а = const;

в) f(t) е , hkj (?) e HRi, 0 < hkj {t) < h°, t > t0, j > 1, к = 0,1.

Тогда существует единственное решение u(t) уравнения L0u(t) = fit), обладающее свойством: и

= Sk (О ПРИ t£t0i к = 0,1, Vgk (jt) е X^_ho toy

М*Ы<)|\ 1, (6)

1 к=0 L%-h°,t0\x) J

где постоянная С не зависит от решения u(t) и его производной u'{t).

Следствие 2.2.1. Пусть выполнены условия теоремы 2.2.2 и а > 0. Тогда нулевое решение уравнения L0u(t) = 0 асимптотически устойчиво.

Следствие 2.2.2. Пусть выполнены условия теоремы 2.2.2 и резольвента Rp (А,) равномерно ограничена по А, в полуплоскости 1тХ< а. Тогда любое

решение u(t) уравнения L0u(t) = /(/) обладает свойством (6).

Третья глава посвящена вопросам однозначной разрешимости уравнения с линейным отклонением аргумента вида

( I т Л

Lu{t) = D] -YY,AkM)PakjDt "M =/('),

V k=0j=0 )

где Ako(t) = Ako = const, ako = 1, 0 <akj < 1, j = l,m, к = 0,1, Akj(t):X^Y-

Д / s

линейные операторы, Pa^u(t)=u[akjt).

В §3.1, используя условия на операторные коэффициенты Akj (/) <8 ехр[- a