О среднем значении тернарной функции делителей на редких последовательностях тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

од

Московский Государственный Университет имени М. В. Ломоносова

Механико-математический факультет

На правах рукописи

СОЛИБА ХОЛЕМ МАНСУР

О СРЕДНЕМ ЗНАЧЕНИИ ТЕРНАРНОЙ ФУНКЦИИ ДЕЛИТЕЛЕЙ НА РЕДКИХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЯХ

Специальность 01.01.06 — математическая логика, алгебра, теория чисел

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научные руководители доктора физико-математических наук, профессора Г.И.Архипов, В.Н.Чубариков

Москва - 1997

Работа выполнена на кафедре математического анализа механико -математического факультета Московского Государстенного Университета имени М. В. Ломоносова.

Научные руководители:

доктора физико - математических наук,

профессора Г. И. Архипов, В. Н. Чубариков

Официальные оппоненты:

доктор физико - математических наук,

профессор Н. М. Тимофеев

кандидат физико - математических наук,

доцент О. В. Тырина

Ведущая организация: Математический институт им. В. А. Стеклова РАН

Защита диссертации состоится 23 мая 1997 г. в 16 час. 05 мин. на заседании специализированного совета №2 по математике (Д 053.05.05) при Московском государственном университете имени М. В. Ломоносова по адресу: 119899, Москва, Воробьевы горы, МГУ, механико -математический факультет, аудитория 1408.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико - математического факультета МГУ.

Автореферат разослан 23 апреля 1997 г .

И-0.Ученый секретарь

специалиризованного совета Д 053.05.05 при МГУ, профессор

В.Ц. So-^luJe-ß

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Предмет исследования. В диссертации получена асимптотическая формула среднего значения тернарной функции делителей на последовательности целых частей нецелой степени натурального ряда чисел. Обычно стремятся получить такого рода формулы при возможно больших значениях степени1,2,3 Д5,6,7,8,9,10,11,12,13.

Актуальность темы. В настоящее время задачи нахождения асимптотической формулы для среднего значения ряда арифметических функций изучаются с помощью тригонометрических сумм. Первые основополагающие исследования в рассматриваемой области аналитической теории чисел выполнили Г. Ф. Вороной14, Г. Вейль15, И. М. Ви-

1Пятецкий-Шапиро И. И. О распределении простых чисел в последовательности вида [/(п)]. Матем. сб., 1953, т.ЗЗ, с. 559-566

2Колесник Г. А.Распределение простых в последовательности вида [пс] Матем. зам. 1972, т. 2, с. 117-128

3Deshouillers J. M. Nombres premiers de la forme [пс]. C. R. Acad. Sei. Par., 1976, v. 282 p. 131-133

4 Heath-Brown D. R. The Pjatecki-Shapiro Prime Number Theorem. Number Theory, 1983, v. 16, p. 242-246

5Сегал Б. И. Об одной теореме аналогичной проблема Варинга. Докл. АН СССР, нов. сер., 1933, №2, р. 47-49.

6Kolesnik G. Primes of the form [nc]. Pacific Journal of the Math., 1985, v. 118, №2 p. 437-447 .

7Абуд X. M. О наибольшем простом делителе последовательности [пс]. Диссертация на соиск. ... канд. физ. - матем. наук МГУ, 1989, р. 1-57.

8Буриев К. Аддитивные задачи с простыми числами. Диссертация на соиск. ... каид. фиэ. - матем. наук МГУ. 1989, р. 1-108.

93акзак А.Проблема делителей Дирихле в редких последовательностях. Диссертация на соиск. ... канд. физ. - матем. наук. 1993, р. 1-80.

10Nordon D.Nombres premiers de la forme [rec]. Arch, Math., 1977, v.28, p. 727-740

11Архипов Г.И., Житков A. H. О проблеме Варинга с нецелыми показателями. Изв. АН СССР., сер. матем. 1984, v. 48, №6, р. 1138-1150

12Буриев К. Об исключительном множестве в проблеме Харди - Литтлвуда для нецелых степеней. Матем. заметки, 1989, т.46, с. 127-128

13Гриценко С. А. Об одной задаче И.М.Виноградова. Матем.заметки, 1986, т.39, с. 625-640

14Вороной Г. Ф. Sur un problème du calcul des fonctions asymptotiques. Fur die reine und angewandte math., 1903, v.126, p. 241-282.

15Weyl H. Uber die Gleichverteilung von Zahlen Mod. Ein. Math. Ann., 1916, v.77, p. 313-352.

ноградов16,17,18, Г. Харди и Д. Лнттлвуд19, Ван дер Корпут20,21,22, Р. О. Кузьмин23, Э. Ландау24 и др.

В литературе метод исследования задач подобного вида получил название метода Ван дер Корпута. Последние результаты, получаемые методом Ван дер Корпута изложены а монографиях С. В. Грэма и Г. Колесника25, А. Ивича26, Е. Кретцеля27, и в статье М. Н. Хаксли28.

В настоящее время появился ряд работ после принципиально нового подхода к этим задачам, возникшего в 80-х годах в работе А. А. Ка-рацубы29, и затем в работах Э. Бомбьери и Г. Иванца30,31.

Отметим также, что поведение тригонометрических сумм типа Ван дер Корпута исследовалось Ж .М .Дезуйе32 с помощью компьютеров.

16Виноградов И. М. О среднем значении числа классов чисто коренных форм отрицательного определителя. Харьков, Зап. матем. о-ва (2), 1918, т. 16, с. 10-38

17Виноградов И. М. Метод тригонометрических сумм в теории чисел. М., Наука, 1980.

18Виноградов И. М.Особые варианты метода тригонометрических сумм. М., Наука, 1976.

l9Hardy G. Н., Littlewood J. Е. The trigonometrical series associated with the elliptic 0-function. Acta Math., 1914, v.37, p. 193-239

20Corput J. G. Van der Zahlentheoretische Abschatzungen. Math. Ann., 1921, v.85, p. 53-79.

21Corput J. G. Van der. Verschärfung der Abschätzungen beim Teilerproblem. Math. Ann., 1922, v.87, p.39-65.

22Corput J. G. Van der. Zum Teilerproblem. Math. Ann.,1928, v.98, p. 697-716.

23Кузьмин Р. О. О некоторых тригонометрических неравенствах. Ж. физ.-мат. о-ва, Ленинград, 1927, №1, с. 233- 239.

24Landau Е. Über eine trigonometrische Summen. Nachr. Ges. Wiss. Göttingen, 1928, S. 21-24

2SGraham S. W.,KoIesnik G. Van der Corput's Method for Exponential Sums. Cambridge University Press, 1991, 1-119.

26Ivic A. Riemann Zeta-function. Wiley,New-York, 1985.

"Krätzel E. Lattice Points. D.V.W., Berlin, 1988.

28Huxley M. N. Exponential Sums after Bombieri and Iwaniec. Asterisque,Paris, 1991, v. 198-199-200, p. 165-175.

29Карацуба А. А. Основы аналитической теории чисел. М., Наука, 1983.

30Bombieri Е., Iwaniec Н. On the order of C(| + it). Ann.sur Pisa Norm. Sc., 1S86, v,14(4), p. 449-472

31 Bombieri E., Iwaniec H. Some mean value theorems for exponential sums. Ann.sur Pisa Norm. Sc., 1986, v. 14(4), p. 473-486.

32Deshouillers J. M. Geometric aspect of Weyl Sums. Elementary and Analytic Theory of Numbers. Banach Center Pub. (Polish Sei. Pub. Warzsawa) 1985, v.17, p. 75-82.

Наиболее близким объектом исследования к нашей работе была задача, решенная в диссертации А. Закзака 9. Он нашел асимптотическую формулу для среднего значения функции делителей Дирихле. Другими словами, при 1 < с < ^ он получил асимптотическую формулу

г(И) = сТ 1пТ + 2уТ - сТ + О ,

п<Т ^ '

где 7 - постоянная Эйлера.

Другая задача связана с асимптотической формулой для количества простых чисел в последовательности [тгс] 1-13. Наилучший результат в этой задаче принадлежит Г. Колеснику 6. Он получил асимптотику при 1 < с < §|.

Отметим еще одну близкую задачу о распределении последовательности вида [пс] в арифметической прогрессии с растущей разностью. Наилучшие результаты здесь получены Дезуйе 3 и X. М. Абудом 7. Их подход к решению задач, подобной рассматриваемой здесь, к сожалению, ничего не дает из - за наличия в асимптотиках достаточно большого остатка. С другой стороны, в нашей задаче необходимо знать распределение этих остатков в среднем по арифметическим прогрессиям.

Цель исследования. Найти асимптотическую формулу для среднего значения тернарной функции делителей на последовательности нецелых степеней натурального ряда чисел.

Общая методика исследования. В диссертации применяется метод сглаживания двойных тригонометрических сумм, принадлежащий И. М. Виноградову, неравенство Г. Вейля - Ван дер Корпута и формула обращения для тригонометричесих сумм И. М. Виноградова - Ван дер Корпута.

Приложения. Работа носит теоретический характер. Результаты диссертации и методика исследования могут быть использованы в различных задачах аналитической теории чисел, связанных с оценками тригонометрических сумм, в частности, по простым числам.

Апробация. Результаты диссертации докладывались на Международных научных чтениях, посвященных 60 -летию со дня рождения А. А. Карацубы, семинарах по теории чисел в МГУ под руководством Г. И. Архипова и В. Н. Чубарикова.

Еаучнал новизна. Основные результаты диссертации являются новыми.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения и трех глав. Обьем работы 60 компьютерных страниц, список литературы включает 55 названий.

Содержание диссертации. Основным результатом диссертации является следующая

Теорема. При 1 < с < | и при Т —»• оо справедлива асимптотическая -формула

л = Е (И) = Т ■ Р2(\П.Т) + О ,

где тз(тп) — количество решений в натуральных числах уравнения х у г = тп, Р-1{%) — многочлен второй степени от переменной х.

Величина И представляет собой число целых точек (х, у, г) в трехмерной области гиперболического типа: хуг = [пс], п < Т.

В первой главе диссертации с помощью леммы Фогелса мы сводим последнюю задачу к нахождению асимптотики числа решений в целых числах х,у,г, неравенства

{(*у*)7} >1-5,

где

5 = (хуг + I)7 — (хуг)1, хуг < Тс, -ус = 1.

Затем с помощью элементарного метода мы выделяем главный член асимптотики.

Во второй главе мы оцениваем остаточный член в асимптотической формуле. Для этого нам необходимо получить оценки тригонометрических сумм вида

д _ у^ е2т'п(гуг+а)1 хуг<Тс

где п < Тс-11п5Т, 7С = 1, а — постоянная, принимающая значения либо 0, либо 1.

Отметим, что для искомой асимптотики достаточно доказать, что

< ёт-

Оценки таких сумм разбиваются на несколько случаев. Наибольшую трудность представляют кратные суммы, в которых переменные суммирования x,y,z в промежутках с длинами одного и того же порядка. Здесь мы применяем формулу И. М. Виноградова - Ван дер Корпута обращения двойных тригонометрических сумм, что и позволяет получить требуемую оценку суммы.

В главе III мы оцениваем тригонометрическую сумму специального вида, возникшую в данной задаче. По-видимому, эта оценка может привести к распространению асимптотической формулы, в рассматриваемой нами здесь задаче, на большие значения параметра с.

В заключание автор выражает глубокую благодарность своим научным руководителям докторам физико - математических наук, профессорам Г. И. Архипову, В. Н. Чубарикову за постоянное внимание и помощь при работе над диссертацией.

По теме диссертации опубликована одна работа автора: Солиба X. М., О среднем значении тернарной функции делителей на последовательности нецелых степеней натуральных чисел, Материалы Международной Конференции по аналитической теории чисел,Москва,МГУ 1 (1997), 30.