О свойствах типа нормальности и счётной компактности в топологических пространствах и группах тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

005010674

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ М. В. ЛОМОНОСОВА МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

На правах рукописи УДК 515.12

Павлов Олег Иванович

О свойствах типа нормальности и счётной компактности в топологических пространствах и группах

01.01.04 - геометрия и топология

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

2 ОЕЗ 2Ш

Москва - 2012

005010674

Работа выполнена на кафедре общей топологии и геометрии механико- математического факультета Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор

Архангельский Александр Владимирович Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор

Семёнов Павел Владимирович, кандидат физико-математических наук Лейбо Илья Михайлович

Ведущая организация; Московский государственный технологический уни-

верситет «СТАНКИН»

Защита состоится 17 февраля 2012 года в 16 ч. 45 мин. на заседаний диссерт ционного совета Д.501.001.84 при Московском государственном университете им ни М. В, Ломоносова по адресу: Российская Федерация, 119991, Москва, ГСП-Ленинские горы, д. 1, МГУ имени М. В. Ломоносова, механико-математически факультет, аудитория 14-08. '

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математическо факультета МГУ имени М. В. Ломоносова (Главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан 17 января 2012 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д.501.001.84 при МГУ, доктор физико-математических наук, профессор

А. О. Иван

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Известно, что многие свойства типа компактности и свойства Линделёфа влекут компактность в присутствии псевдокомпактности. Например, паралинделёфовое псевдокомпактное пространство компактно1 (Теорема 9.7). Скотт2 и Ватсон3 независимо показали, что каждое метакомпактное псевдокомпактное пространство является компактом. В.В. Успенский4 доказал, что всякое псевдокомпактное пространство с ст-точечно конечной базой метризуемо, следовательно, является компактом. С другой стороны, металинделёфозо псевдокомпактное не компактное пространство было построено Яном Три5. Более сильные (и также весьма сложные технически) примеры принадлежат Ватсону6 и Д.Б. Шахматову7. Ватсон сконструировал псевдокомпактное пространство с точечно-счётной базой (последнее условие автоматически влечёт металинделёфовость), не являющееся компактом. Шахматов усилил этот результат, показав, что любое тихоновское пространство, обладающее точечно-счётной базой из открыто-замкнутых множеств может быть вложено в качестве замкнутого подмножества в псевдокомпактное пространство с точечно-счётной базой.

Для каждого кардинала г, такого, что г" = г, Е.А. Резниченко8 построил G/r

1Burke D., Covering properties // Handbook of set-theoretic topology / ed. K. Kunen я J. Vaughan. Amsterdam: North-Holland Publishing, 1984. pp. 347-422.

2Scott B., Pseudocompact, metacoznpact spaces are compact // Topology Proceedings. 1979. v. 4 № 2. pp. 577-587.

3Watson S., Pseudocompact metacompact spaces are compact // Proc. Amer. Math. Soc. 1981. v. 81. № 1. pp. 151-152.

4Успенский B.E., Pseudnrompact spaces with a pomt-finite base are metrizable // Commenationes Math. Univ. Carolinae. 1984. v. 25. .Yi 2. pp. 261-264.

5 It ее I., Constructing regular 2-starcompact spaces that are not strongly 2-star-Lindelof // Topology and its Applications. 1992. v. 47. № 2. pp. 129-132.

6Wat£on S., A pseudocompact meta-Lindelof space which is not compact // Tbpology and its Applications. 1985. v. 211. № 3. pp. 237-243.

7Шахматов Д.Б., Псевдокомпактные пространства с точечно-счетной базой // Докл. Акад.

наук СССР. 1984. Вып. 279. № 4. С. 825-829.

8Резниченко Е.А., Псевдокомпактное пространство в котором только множества полной мощ-

плотное в тихоновском кубе Г (следовательно, псездокомпактное и связное) подпространство ХГ} в котором любое подмножество мощности меньшей т дискретно и замкнуто.

В §1 главы 1 показано, что пример Резниченко металинделёфов. Более, того, имеет место аналог теоремы Шахматова о вложении (наследственно) металинделе-фова пространства в псевдокомпактное наследственно металинделефово пространство в качестве замкнутого подмножества. В §2 главы 1 этот результат переносится на случай нульмерных пространств.

Многие свойства типа компактности можно определить в терминах звёзд покрытий. Например, хаусдорфово пространство X счётно-компактно если и только если для каждого открытого покрытия U существует такое конечное подмножество F С X, что St(F,U) = Xя. М. В. Матвеев10 ввёл понятие абсолютно счётно-компактного пространства: пространство X называется абсолютно счётнокомпактным, если дня любого открытого покрытия U пространства X и любого всюду плотного множества F с X существует конечное подмножество G С F такое, что St{G,U) = X. Было доказано10, что в классе всех хауедорфовых пространств абсолютная счётная компактность заключена строго между компактностью и счётной компактностью. В начале 1990-х годов А.В. Архангельский10 сформулировал вопрос (повторен в п, 12 и 13), который заметное время оставался открытым:

Вопрос. Существует ли нормальное счётно-компактное не абсолютно счётнокомпактное пространство?

ности не дискретны и замкнуты // Вестник МГУ, Сер. I: Матем. Мех. 1989. Вып. 44. № 6. С. 70-71.

8Fleischman W. М. A new extension of countable compactness // Fund. Math. 1970, v. 67, pp. 1-9.

10Michael V. Matveev Absolutely countably compact spaces //Topology Appl. 1994, v. 58, pp. 81-92.

“Winfried Just, Michael V. Matveev, and Paul J. Szeptycki Some results on property (а), препринт.

12Маху Ellen Rudin, Ian S. Stares and Jerry E. Vaughan From countable compactness to absolute

countable compactness // Proc. Amer. Math. Soc, 1897, v. 125, pp. 927-934.

13Jerry E. Vaughan On the product of a compact space with an absolutely countably compact space // Proceedings of the Papers on General Topology and Applications, New York Academy of Sciences, 1993, v. 788, pp. 203-208.

Главный результат второй главы - положительное решение этого вопроса в предположении аксиом ZFC. В некоторую противоположность, показано, что каждое наследственно нормальное счётно-компактное пространство является абсолютно счётно-компактным (этот результат был ранее доказан Паком14 в предположении PFA). Кроме того, построена серия новых примеров (наследственно) нормальных пространств, не обладающих свойством (о).

Третья глава диссертации посвящена исследованию вопроса о нормальности свободной топологической группы F(X). Следующее важное свойство свободных топологических групп было установлено А.В. Архангельским15 (так же см.16): для каждого натурального числа п, F(X) содержит замкнутую копию Хп. В частности, необходимым условием нормальности свободной группы F{X) является нормальность всех конечных степеней пространства X. Естественным является вопрос: является ли данное необходимое условие достаточным? О.Г. Окунев заметил, что данный вопрос решается отрицательно, если существует счётно компактное пространство X такое, что все конечные степени X нормальны, а квадрат X2 не псевдоком-пактен. В главе 3 такой пример построен в предположении континуум-гипотезы.

Для каждого лбы, Fn(X) обозначает множество всех несократимых слов длины, не превосходящей < п. Известно17, что каждое множество Fn(X) замкнуто в F(X). Усилив результат Граева17, Ткаченко18 доказал, что для псевдокомпактно-го пространства X свободная группа F(X) является индуктивным пределом множеств {Fn(X): п € ш} тогда и только тогда, когда степени Хп счётно-компактны и строго коллективно нормальны для каждого натурального п и поставил вопрос о существенности условия счётной компактности конечных степеней. В силу указан-

14Absolutely countably compact topological groups, препринт.

'’Архангельский А. В., 05 отображениях, связанных с топологическими группами // ДАН

СССР, 1968, V. 181, № 6, pp. 1303-1306.

l6B. Thomas, Free topological groups // General Topology and Appl., 1974, № 4, pp. 51-72.

1ТГраез М. И., Свободные топологические группы // Изв. АН СССР. Сер. матем., 1948, v. 12, pp. 279-324.

18Michael G. Tkachenko, Free topological groups and inductive limits // Topology Appl., 1994, v. 60, pp. 1-12.

ного выше результата18, пример, построенный в главе 3, даёт отрицательный ответ и на этот вопрос Ткаченко.

В. В. Ткачук определил19 некоторую топологическую игру ЯАР^К") на подмножестве А евклидова пространства Л" и доказал ряд условий, которые гарантируют наличие выигрышной стратегии у Первого или Второго игрока в этой игре. В главе 4 мы усиливаем данные результаты В.В. Ткачука и доказываем критерий существования выигрышной стратегии у Первого и Второго в игре НАРх(В.п), п 6 IV, а также приводим примеры множеств Ап с И.", п £ N. на которых игра Л/1-Рд^ (й.п) не детерминирована. Тем самым даны ответы на несколько вопросов В.В. Ткачука.

Цель работы. Работа посвящена изучению свойств типа счётной компактности и их взаимосвязи с нормальностью в хауодорфовых топологических пространствах и свободных топологических группах.

Научная новизна. Результаты работы являются новыми и заключаются в следующем:

• Показано, что пространство, построенное Резниченко, металинделёфово. Предложена конструкция для вложения произвольного (наследственно) ме-талинделёфова пространства в псевдокомпактное (наследственно) металинделёфово пространство. (Если исходное пространство нульмерно, таким же можно сделать и объемлющее пространство.)

• Построен пример нормального счётно-компактного не абсолютно счётнокомпактного пространства. Средствами гРС доказано, что каждое наследственно нормальное счётно-компактно пространство является абсолютно счётно-компактным. Разработан метод построения примеров (наследственно) нормальных пространств, не обладающих свойством (а).

• В предположении СН построен пример счётно-компактного пространства,

Ткачук В.В., Тэпологические приложения теории игр. М., 1932.

счётная степень которого строго коллективно нормальна, а квадрат не псевдо-компактен. Как следствие, нормальность Хп для каждого п € N, не влечёт нормальности F(X), а также F(X) не обязательно является дедуктивным пределом множеств F„(X) для счётно-компактного пространства X, все конечные степени которого строго коллективно нормальны.

• Доказано, что Первый игрок имеет выигрышную стратегию в игре RAPaCR) тогда и только тогда, когда множество А не вполне несовершенно, а Второй игрок имеет выигрышную стратегию в игре RAPa{R") тогда и только тогда, когда множество А содержится в счётном объединении гиперплоскостей пространства R".

Методы исследования. В работе применяются методы общей теории топологических пространств, теории кардинальных инвариантов, топологической алгебры и дескриптивной теории множеств.

Теоретическая и практическая ценность работы. Диссертация имеет теоретический характер. Результаты диссертации могут найти применение в теоретико-множественной топологии, топологической алгебре, Ср-теории и топологической теории игр.

Апробация работы. Результаты диссертации неоднократно докладывались на кафедральном семинаре под руководством В.В. Федорчука, а так же на Весенней конференции 1998 г. по топологии и динамическим системам (12-14 марта 1998г., округ Фэрфакс, штат Виргиния, США), Специальной сессии Американского математического общества #936 (9-10 октября 1998г., г. Винстон-Салем, штат Северная Каролина, США) и Весенней конференции 2005 г. по топологии и динамическим системам (17-19 марта 2005 г., г. Маунт Берри, штат Джорджия, США).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 4 работах, список которых приведен в конце автореферата

Структура н объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 4 глав основной части и списка литературы. Текст диссертации содержит 54 страницы,

библиография включает 35 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении приведён обзор основных результатов, связанных с темой диссертации, формулируются цели работы, дается краткое изложение основных результатов полученных в диссертации.

В первой главе рассматриваются металинделёфовость и наследственная мета-линделёфовость в классе псевдокомпактных пространств. Напомним, что пространство называется металинделёфовым, если в любое его открытое покрытие можно вписать точечно счётное открытое подпокрытие. Частным случаем мегалинделё-фовости (и более сильным свойством, чем просто металииделёфовость) является наличие у пространства ст-точечно конечной базы.

Основными свойствами примера Е.А. Резниченко8 Хт являются:

(1) Хт С{-плотно в 1Г (следовательно, Хт псевдокомпактно и связно),

и

(и) любое подмножество Хт мощности меньшей т дискретно и замкнуто в Хт (следовательно, Хг в очень сильной степени не счётно-компактно).

Мы показываем в первой главе, что пример Резниченко является наследственно металинделёфовым. Кроме того, верен аналог теоремы Шахматова о вложении:

Теорема 7. Пусть г" = т. Если Хт С 1Т есть пространство Резниченко веса г, а К является тихоновским (наследственно) металинделефовым пространством веса (I < г, то У может быть вложен в Г \ Хт так, что ХгиУ является тихоновским (наследственно) металинделефовым псевдокомпактным подпространством 1Т и содержит У в качестве замкнутого подмножества. Если, кроме того, 2>1 < т, то У С'-вложено в Хг и У.

Следствие 8. Каждое тихоновское (наследственно) металинделефово пространство может быть вложено в качестве замкнутого подмножества в псевдоком-пактное связное тихоновское (наследственно) металинделефово пространство.

Следствие 9. Пример Резниченко наследственно металинделефов.

Пример Резниченко Хг построен таким образом, что множество {0,1}ТПХТ плотно в {0,1}т, где {0,1}г есть канторовский куб - подпространство тихоновского куба 1Т. Обозначим {0,1}т П X, через Ст. Пространство Ст обладает такими же свойствами (!) и (и) как и Хг, за исключением того, Ст Сгплотно в {0,1}т, а не в Г, и Ст нульмерно, а не связно. В §2 доказательство Теоремы 7 переносится на нульмерный случай:

Теорема 10. Пусть т" = г. Если Ст С Г есть нульмерное пространство Резниченко веса г, а У является нульмерным (наследственно) металинделёфовым пространством веса /2 < т, то У может быть вложен в {0,1}г \ Ст так, что Ст и У является нульмерным (наследственно) металинделёфовым псевдокомпактным подпространством {0,1}т и содержит У в качестве замкнутого подмножества. Если, кроме того, 2^ < т, то У С*-вложено в С, и У.

Следствие 11. Каждое нульмерное (наследственно) металинделефово пространство может быть вложено в качестве замкнутого подмножества в псевдоком-пактное нульмерное (наследственно) металинделефово пространство.

Следствие 12. Пусть т" = т. Существует С?а-плотное (следовательно, псевдо-компактное) подмножество Ст канторовского куба {0,1}т в котором любое подмножество мощности меньшей г дискретно и замкнуто в Хт.

Отметим, что в настоящее время неизвестно, можно ли вложить каждое нульмерное пространство с точечно-счётной базой в псевдокомпактное нульмерное пространство с точечно-счётной базой. Как заметил Резниченко8, его пример в каждой

точке имеет псевдохарактер поэтому не является пространством с первой аксиомой счётности и тем более с точечно-счётной базой.

Во второй главе рассматривается абсолютная счётная компактность в классе (наследственно) нормальных пространств. В §1 построен пример нормального счётно-компактного не абсолютно счётно-компактного пространства. Этим дано положительное решение основного вопроса теории абсолютно счётно-компактных пространств — Вопроса 2. Ценность данного примера заключается в том, что во многих случаях нормальность сама по себе (без присутствия счётной компактности) влечёт слабую форму асс, называемую свойством (а). Пространство X обладает свойством (а), если для каждого открытого покрытия и и каждого плотного подмножества Г С X существует дискретное (и замкнутое) подмножество в С X такое, что С С ? и = X. Единственный известный пример нормально-

го (но не счётно-компактного) пространства, не обладающего свойством (а) был построен11 в предположении существования (^-множества.

В §2 доказано, что каждое наследственно нормальное счётно-компактное пространство является абсолютно счётно-компактным:

Теорема 12. Наследственно нормальное счётно-компактное пространство абсолютно счётно-компактно.

Так же, приведена схема построения (наследственно) нормальных пространств, обладающих свойством (а):

Теорема 13. Пусть т будет бесконечным кардиналом, 1(Х) > т, и предположим, что X содержит всюду плотное подмножество (7, которое удовлетворяет одному из следующих условий:

|С|<т.

|С| = г и для каждого Я С б, |Я| = т =*> Я имеет точку полного накопления в X.

Тогда существует объемлющее пространство М D X, ке обладающее свойством (а) и такое, что все точки дополнения М \ X изолированы. Если, кроме того, X (наследственно) нормально, то таковым является и М.

В третьей главе изучается нормальность свободных топологических групп. Согласно теореме 3 из 15, из нормальности свободной топологической группы F(X) следует нормальность всех конечных степеней пространства X. Естественным является вопрос об обратимости данного утверждения:

Вопрос 4. Следует ли нормальность свободной группы F(X) из нормальности всех конечных степеней топологического пространства Х7

О.Г. Окунез предложил подход к решению Вопроса 4. Он заметил, что для счётно компактного пространства X, нормальность свободной группы F(X) влечёт нормальность и счётпую компактность всех конечных степеней X. Таким образом, Вопрос 4 решается отрицательно, если положительно решается следующий вопрос или его версия (которые были поставлены в связи с Вопросом 4 О.Г. Окуневым и О.В. Сипачёвой):

Вопрос 5. Существует ли счётно компактное пространство X такое, что все конечные степени пространства X нормальны, а квадрат X2 не псевдокомпактен?

(Заметим, что так как пространство X2 нормально, оно не псездокомпактио если и только если не счётно-компактно.)

Версия Вопроса 5. Что если также Xй нормально? Коллективно нормально? Строго коллективно нормально?20

Именно такой пример построен в главе 3 в предположении континуум-гипотезы.

20Простравство X является строго коллективно нормальным, если универсальная равшомер-ность X содержит все окрестности диагонали. Конечно, каждое строго коллективно нормальное пространство коллективно нормально.

Теорема Граева17 утверждает, что для компакта X свободная группа Р(Х) является индуктивным пределом множеств {Рп(Х) :в£и} (то есть, подмножество (7 группы Р(Х) замкнуто в F(.X') если и только если множество в Г) Рп(Х) замкнуто для каждого »5и). Ткаченко18 ослабил требование на компактность X до нормальности и счётной компактности всех конечных степеней X и поставил следующий вопрос:

Вопрос б. Является ли свободная группа Р(Х) счётно-компактного пространства X индуктивным пределом множеств {Рп(Х) : п е и>}, если все конечные степени Хп строго коллективно нормальны?

Согласно 18, Вопрос 6 эквивалентен следующему вопросу: предположим, что все конечные степени счётно-компактного пространства X строго коллективно нормальны. Будут ли обязательно все конечные степени Хп псевдокомпактны-ми? Таким образом, результат главы 3 даёт отрицательный ответ и на Вопрос 6.

В четвёртой главе исследуется топологическая игра ЯЛРд(11п). Игра ведётся двумя игроками, которых мы будем называть Первый и Второй, на подмножестве А вещественной прямой К. На к-ом шаге, Первый выбирает любую точку х* 6 Н, а Второй — луч, Н/, с вершиной в хк. Игра завершается после и шагов, при этом в партии {хк, Нк : к € 14} побеждает Второй, если А С и{Я* : к £ ]\}. В противном случае побеждает Первый. Аналогично определяется игра ЯЛРа(11п) на подмножестве А евклидова пространства И" (в этом случае Второй выбирает замкнутое полупространство, граница которой содержит точку х/,). Следующие утверждения были доказаны В.В. Ткачуком19:

Утверждение 0.4. Если множество А счётно, то в игре ЯАРа(Щ Второй имеет выигрышную стратегию.

Утверждение 0.6. Если множество А содержит хотя бы один несчётный компакт, то в игре ДЛЯл(Я) Первый имеет выигрышную стратегию.

Утверждение 0.6. Существует множество Л С И такое, что игра ЛЛРд(Г1) не детерминирована.

Утверждение 0.7. Пусть А С И и \А\ < 2", тогда Первый не имеет выигрышной стратегии в игре НАРа(Е1).

Нами получены критерии существования выигрышной стратегии у каждого из игроков в игре 11АРа{Кп) и критерий недетерминированности игры ЯЛРа(Ы). Эти результаты усиливают приведённые выше Утверждения 0.4-0.7 отвечают на несколько вопросов В.В. Ткачука.

Теорема 14. Первый имеет выигрышную стратегию в игре ЛЛРл(И) тогда и только тогда, когда множество А не вполне несовершенно21.

Теорема 15. Второй имеет выигрышную стратегию в игре йЛРл(Н.п) тогда и

ОС

только тогда, когда множество А содержится в счётном объединении и гипер-

к=1

плоскостей пространства Я".

Теорема 16. Игра НАРа(К) не детерминирована тогда и только тогда, когда \А\> и а множество А вполне несовершенно.

Теорема 17. Первый имеет выигрышную стратегию в игре ЯЛРахв(Кп+”)I где А С К", В с Нт, тогда и только тогда он имеет выигрышные стратегии в играх НАРл(Кп) и ЛАРв(Пт).

Отметим, что никакое топологическое свойство множества А не может гарантировать критерия существования выигрышной стратегии у Первого игрока в игре ДАРа(11") при п > 2 так как Первый кмеет выигрышную стратегию в игре ПАРс (И") (где С С К обозначает Канторово совершенное множество) и не имеет выигрышной стратегии в игре /?АРсх{о}х...х{0)(й-п), в то время как множества Сп и С х {0} х ... х {0} гомоморфны.

21 То есть, содержит копию Канторова совершенного множества.

Благодарности. Автор выражает глубокую и искреннюю благодарность научному руководителю профессору Александру Владимировичу Архангельскому за постановку задач, многочисленные плодотворные обсуждения и помощь в работе. Автор благодарен профессору В.В. Федорчуку, профессору В.И. Пономарёву и участникам семинара по топологической алгебре О.В. Сипачёвой, Р.З. Вузяковой, K.JI. Козлову, М.М. Матвееву, О.Г. Окуневу, Е.А, Резниченко, М.Г. Ткаченко и В.В Ткачуку за поддержку и ценные советы.

ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

[X] Павлов О.И. Об одной топологической игре // Вестник МГУ, Сер. I: Матем. Мех. 1993. № 5. С. 11-14.

[2] Pavlov О. A normal countably compact not absolutely countably compact space // Proc. Amer. Math. Soc. 2001. v. 129. № 9. pp. 2271-2275.

[3] Павлов О.И. Пример Резяиченко металинделёфов // Вестник Самарского Государственного Университета - Естественнонаучная серия, 2009. № 2. С. 61-66.

[4] Нормальность в свободных топологических группах, депонировано в ВИНИТИ 30.05.2011, № 257-В2011.

Отпечатано в отделе оперативной печати Геологического ф-та МГУ Тираж 100 эта. Заказ № 4