О вычетах в дополнениях к наборам координатных плоскостей в Cd тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

КРАСНОЯРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

ЩУПЛЕВ АЛЕКСЕЙ ВАЛЕРЬЕВИЧ

О ВЫЧЕТАХ В ДОПОЛНЕНИЯХ К НАБОРАМ КООРДИНАТНЫХ ПЛОСКОСТЕЙ В С

01.01.01 — математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Красноярск-2005

Работа выполнена в Красноярском государственном университете

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Цих А.К. Официальные оппоненты доктор физико-математических наук,

профессор Кытманов А.М.; кандидат физико-математических наук, доцент Знаменская О.В.

Ведущая организация: Московский государственный университет

Защита состоится " 20 " сентября 2005 г. в 14 часов на заседании диссертационного совета Д.212.099.02 в Красноярском государственном университете по адресу: 660041, г. Красноярск, пр. Свободный, 79.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Красноярского государственного университета.

Автореферат разослан августа 2005 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета

кандидат физ.-мат. наук

Голованов М.И.

looe-r W557

л/лр&у

Общая характеристика работы

Актуальность темы

Наборы плоскостей в евклидовых пространствах, как вещественных, так и комплексных, играют большую роль в комбинаторике и анализе ([27], [21], [14], [11], [1]). Комбинаторная задача изучения наборов плоскостей в Cd по сложности совпадает с задачей изучения симплициальных комплексов с d вершинами (см. [13, Prop. 8.6] или [11]).

В своей классической работе Брискорн [12] показал, что наборы гиперплоскостей служат модельной ситуацией в теории сингулярностей при исследовании вопросов монодромии. Во всех этих исследованиях первостепенное внимание отводилось описанию групп гомологий дополнений к указанным наборам. Самым общим результатом в этом направлении является формула Горески-Макфсрсона [19].

С точки зрения теории особенностей и их разрешений наборы плоскостей служат модельной ситуацией более сложных наборов комплексных аналитических множеств. В настоящей диссертации такая модельность рассматривается в рамках теории многомерных вычетов, а именно, в задаче конструирования ядер — эталонных дифференциальных форм с предписанными сингу-лярностями в виде наборов комплексных аналитических множеств. Мы сосредоточимся на типичной ситуации теории вычетов, когда максимальномерная нетривиальная группа гомологий дополнения к заданному набору порождена одним элементом. Следующее определение было дано А.К. Цихом [25].

Определение 0.1. Конечный набор плоскостей {Zv} vE_\r в Cd называется атомарным, если максимальномерная нетривиальная группа гомологий дополнения Cd \ Uj, Zv однопорождена, то ргтъ ргпп гутрггрлурт, ирлпр ко С N

РОС. НАЦИОНАЛЬНАЯ БИБЛИОТЕКА

нк zj =

такое, что

Z для к = ко, О для к > ко.

Порождающий элемент Г] двойственного класса когомологий де Рама (cd \ и Z,)j называется ядром для атомарного набора

Примерами атомарных наборов координатных плоскостей могут служить особенности дифференциальных форм Коши и Бохнера-Мартинелли — основных интегральных ядер многомерного комплексного анализа, являющихся исходным нунктом для построения других интегральных формул, таких как формулы Бергмана-Вейля, Коши-Фантаппье [2], [8] или специальных формул в полиэдральных областях [4] Действительно, ядро Коши в cd

Vc(C) = А • • • А —,

определено в дополнении к набору всех координатных гиперплоскостей Zc в Cd, а это множество гомотопичсски эквивалентно вещественному тору, и поэтому его максимальномерная нетривиальная группа гомологий однопо-рождена:

5, если k = d,

С d\zc^slx-yxs\ и hk(cd\zc,z) =

d рал

(i)

О, если к > d.

Ядро БохнерагМартинелли в С'

„ гп EtiC-ir'ärfCwA dt

т1вмш- (|Cl|2 + ... + )Ci|2)d не определено только в начале координат zbm = {0}, поэтому

С \ zbm — s и hk(cd\zbm,z) =

Z, если к = 2d - 1, 0, если к > 2d — 1.

(2)

Наборы плоскостей и 2вм являются крайними в семействе наборов Я« = {&>}, р = 0, 1,..., п - 1, где

= {г е С: = - • • = г„_р _1 = = 0}, I/ = п - р,..., п,

поскольку = и гвм = 2°. Все наборы 7М атомарные, и они

являются сингулярными множествами для ядер интегральных представлений Сорани [23]. Такие ядра были получены при реализации схемы Майера-Виеториса, позволяющей перейти от ядра Бохнера-Мартинелли к ядру Копш.

После работ Д. Кокса [15], [16] и В. Батырева [10] в области торической геометрии стало ясно, что существует еще один класс атомарных наборов, связанных с конструкцией торических многообразий. Такие многообразия являются обобщением как аффинных, так и проективных пространств, сохраняющим мономиальность соотношений соседства между координатными окрестностями. Впервые точное определение торического многообразия было дано М Демазюром при описании алгебраических подгрупп максимального ранга групп Кремоны [17]. Торическос многообразие размерности п было определено как многообразие, содержащее алгебраический тор ТГ1 = (С \ {0})" в виде открытого всюду плотного подмножества так, что естественное действие этого тора на себе (покомпонентным умножением) продолжается до действия на всем многообразии. Каждое п-мерное торическое многообразие связано с веером Е в К" полиэдральным разбиением К" на конусы различных размерностей. Пусть <1 - число одномерных конусов в веере, связанном с многообразием X, тогда оно представляется в виде фактор-пространства [15]

*Я = С\2(Е)/С, (3)

где 2(У?) нулевое множество построенного по вееру Е мономиального идеала, а С группа, действующая на Сё\И(У]). Если веер Е полный и симпли-

5

циальный, то набор координатных плоскостей Z(E) является атомарным [25]. Не все координатные наборы являются атомарными. Например, в С4 набор

^ = {<1 = <2 = 0} и {0 = Сз = 0} и {Ci = <4 = 0}и

и {С2 = Сз = 0} и (с2 = Z4 = о} и {Сз = = о},

не является таковым: вычисления по формуле из [19, стр. 238, Theorem А] показывают, что максимальномерная нетривиальная группа гомологий его дополнения Я5(С4 \ Z') изоморфна Z3. Этот набор "не происходит" от веера (или торического многообразия), однако он возникает при построении торического предмногообразия [28].

Цель диссертации

Построение ядерных форм для атомарных наборов Z(E), связанных с торическими многообразиями, и применение их к получению новых формул интегральных представлений для голоморфных функций, а также в теории локальных вычетов.

Методика исследования

При построении новых ядер многомерной теории вычетов использовались методы теории торических многообразий, в том числе результат ЦихагИжера о подклеивании торических многообразий к евклидову пространству Cd. В доказательстве формулы интегрального представления для голоморфных функций, формулы логарифмического вычета, а также интегральной реализации вычета Гротендика применялись гомотопические методы и свойства собственных отображений.

Научная новизна

Основные результаты диссертации являются новыми. В частности, получены новые воспроизводящие ядра многомерной теории вычетов и формулы интегральных представлений для голоморфных функций.

Практическая и теоретическая ценность

Результаты представляют теоретический интерес и могут быть применены в комплексном анализе, алгебраической геометрии и математической физике.

Апробация работы

По материалам диссертации делались доклады

— на международной конференции "Многомерный комплексный анализ" (Красноярск, 5 10 августа 2002);

— на международной школе-конференции "Геометрический анализ и его применения" (Волгоград, 24 - 30 мая 2004);

— на школе-семинаре по многомерному комплексному анализу для молодых математиков (Киото, Япония, 15 19 ноября 2004)

на городском научном семинаре по многомерному комплексному анализу при Красноярском государственном университете (Красноярск, 2003 - 2005),

— на семинаре по многомерному комплексному анализу в г. Стокгольме (Швеция, 2004).

Публикации

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [28] [31].

7

Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения, двух глав основного содержания, заключения и приложения. Список литературы содержит 44 наименования Работа изложена на 84 страницах.

Содержание работы

Основным результатом первой главы диссертации является новая конструкция ядра для атомарного набора Z{T,), связанного с компактным проективным симплициальным торическим многообразием Ху. Сопоставим каждому одномерному конусу vt переменную Пространство С в представлении (3) такого многообразия играет роль пространства однородных координат для торического многообразия XПусть форма объема на записанная в его однородных координатах (см. раздел 114). Для п-мерного конуса а е Е через (¿- мы обозначим произведение всех координат вектора С € Cd за исключением тех, что соответствуют образующим конуса а. Обозначим также через det а определитель матрицы из образующих конуса er е S. С торическим многообразием Х-£ (или с веером Е в Кп с d одномерными образующими) мы свяжем следующую дифференциальную (d, п)-форму

В предположении, что веер Е содержит примитивный конус, верна следующая

Теорема 1. Дифференциальная форма (4) не зависит от выбора конуса <у £ Е. Она регулярна в С.'1 \ Z{Е), замкнута и является ядром для набора Z(E) С Cd.

Одним из основных компонентов доказательства теоремы является результат А К Циха и А. Ижера о подклейке к С* виде "остова бесконечности" в некотором компактном торическом многообразии, анонсированный в [25] и [26]. Полное доказательство этого результата включено в подготовленную к печати совместную статью А.К. Циха, А. Ижера и автора настоящей диссертации. Для полноты изложения его доказательство приведено в Приложении к основному тексту диссертации.

Кроме представления (3) компактные проективные торические многообразия допускают представление в виде

= ц-Чр)/ол,

где Сц - вещественная часть группы (7, ¡л — моментнос отображение, ассоциированное с действием на С^ \ Z(T,), а вектор р выбирается из конуса Кэлера К с многообразия Х^. В Теореме 1 утверждается также, что цикл р~1{р) является двойственным по де Раму циклом к форме т].

Форма объема ш непосредственно участвует в определении ядра т], ив разделе 2.1.3 второй главы диссертации приведена естественная конструкция формы объема компактного проективного торического многообразия, относительно которой его объем может быть точно вычислен. А именно, пус'1ь Д «-мерный целочисленный многогранник в К", двойственный к вееру Обозначим элементы Д П Ж" через »о, ■.., о,у и определим вложение тора /: Т" —> Рдг формулой

с неотрицательными параметрами cU] такими, что многогранник Ньютона полинома Лорана

n

р(х) =

J=о

совпадает с Д. Оказывается, замыкание /(Т") С Рд? изоморфно торическо-му многообразию XОбозначим через ups форму метрики Фубини-Штуди 1 на Рлг- v

Форму и> = -¡/*(и>р8) назовем формой объема симплициального проективного торического многообразия индуцированнной метрикой Фубини-Штуди. Эта форма есть ни что иное, как сужение на торическое подмногообразие /(Т") ~ формы объема в метрике Фубини-Штуди в Рд', измеряющей объемы n-мерных комплексных подмногообразий. При помощи полинома Р{х) форма и> выражается формулой

ir(ddW(|z1|2l...>|zB|2))n,

П!

а объем торического многообразия - формулой

Vol(XE) =[ и. (5)

J т»

Точное значение объема дает

Теорема 3. г

Vol(Xs) = тгпУо1(Д).

Фактически, в полярной системе координат дифференциальная форма в (5) может быть легко проинтегрирована по угловым координатам, что приводит к формуле

гт,'\j\ , dct2(АЛса ...са ttt>«+ +а'" К?

где сумма берется по всем возрастающим последовательностям индексов О < ,7о < • • • < Зп < ЛГ, а А] — матрица из векторов (1, ал),(1, а]п). Таким образом, Теорема 3 дает новое доказательство формулы М. Пассарс (6), вычисляющей объем многогранника при помощи интеграла от рациональной формы по положительному ортанту М™ [22].

Кроме этого, в диссертации найден ряд применений полученных новых ядер в теории интегральных представлений голоморфных функций и теории локальных вычетов.

Обозначим через ир примыкающий к циклу р.'1{р) специальный полиэдр Рейнхардта в С1, задаваемый системой неравенств

оц|Сг|2 +----Ь аы|С*12 < Р\1

< ......................................................(7)

апЮР + • • • + аг<||С<г|2 < Рг, и через Ир — подобласть в нем, которая описывается системой неравенств

по всем примитивным наборам / веера £; здесь 1/(р) - линейные формы, задающие грани конуса Кэлера многообразия В этих обозначениях дифференциальная форма г/, связанная с торическим многообразием Ху^ выступает ядром интегрального представления для голоморфных функций:

Теорема 2. Пусть / € 0(ир)ПС(ир), где ир полная область Рейнхардта с остовом 7 = ц~1{р), р е Кх- Тогда для произвольной точку г 6 Ор с 11р

верно интегральное представление

= (8)

7

Теорема 3 позволяет переформулировать Теорему 2 в следующем виде: Теорема 2'. Пусть / 6 ö(Up)riC(Up), где Up полная область Реинхардтл с остовом 7 = /i~l(p), р 6 Кг. Тогда для произвольной точки z £ Dp С Up верно интегральное представление

Hz) = (2i)'Jv«d(A) //(С)7?(С ~

7

Отметим, что задача о ядрах для атомарных наборов также рассматривалась в статье A.A. Кытманова [5]. Приведенная в [5] конструкция формы объема основана на других идеях и реализована при дополнительных ограничениях на веер, таких как примитивность и выпуклость

В разделе 2 3, как следствие Теоремы 1, получена версия формулы логарифмического вычета -- интегральная формула для суммы значений голоморфной функции в нулях голоморфного отображения Эта версия обобщает известные ранее формулы Каччиопполли-Мартинелли Сорани и Южакова Руса (см. [2]).

Зафиксируем в R" веер X, удовлетворяющий условиям Теоремы 1. Пусть в области G пространства Cd переменных С задано голоморфное отображение /• G —> С'1. Будем предполагать, что / имеет конечный тип над полиэдром Up, р € К^., определенном формулой (7), то есть что полиэдр Wp = f~l(Up) относительно компактен в G. Обозначим через Г = остов этого

полиэдра. В указанных условиях множество нулей Е системы /(£) = 0 в Wp конечно, и справедлива

Теорема 4. Для любой функции <р € ö{Wp) верна формула

В алгебраической геометрии важную роль играет понятие локального вычета (вычета Гротендика), являющееся непосредственным обобщением вычета Коши мероморфной функции одного комплексного переменного. Известно несколько интегральных реализаций локального вычета ([24], [3], [6]). В работе [7] был предложен рецепт интегральной реализации, связанной с произвольным воспроизводящим ядром. Следуя этому рецепту, мы с помощью Теоремы 1 и Теоремы 2 получаем следующий результат.

Теорема 5. Пусть т](т) - ядро для атомарного набора в С'1. Тогда в обозначении тр(т) —- Г](и1)/<1и) локальный вычет, ассоциированный с регулярной последовательностью / = (Д,..., в точке а £ С1, реализуется интегралом

1-4-1)

где 7 = /у 1(р), причем р выбрано достаточно близким к нулю в конусе Кэлера К у,.

Основные результаты

1. Построены новые ядра в теории многомерных вычетов, имеющие сингулярности на наборах координатных плоскостей в С1.

2. Доказано, что построенные ядра обладают воспроизводящим свойством для голоморфных функций в специальных полиэдрах Рейнхардта.

3. Приведен новый класс интегральных реализаций вычета Гротендика

Список литературы

[1] Арнольд В.И. Кольцо когомологий крашеных групп кос//M атом, заметки. 1969. Т. 5, №2. С. 227 - 231.

[2] Айзенберг Л.А., Южаков А.П. Интегральные представления и вычеты в многомерном комплексном анализе. Новосибирск: Наука, 1979. 368 с.

[3] Гриффите Ф., Харрис Дж. Принципы алгебраической геометрии М.: Мир, 1982. 860 с.

[4] Кривоколеско В.П., Цих А.К. Интегральные представления в линейно выпуклых полиэдрах//Сиб. матем. журнал. 2005. Т. 46, №3. С. 579 593.

[5] Кытманов A.A. Об аналоге формы Фубини-Штуди для двумерных тори-чееких многообразий//Сиб. матем. журнал. 2003. Т. 44, №2. С. 358 - 371.

[6] Цих А.К. Многомерные вычеты и их применения. Новосибирск: Наука, 1988. 241 с.

[7] Цих А.К., Шаимкулов Б.А. Интегральные реализации вычета Гротеи-дика и его преобразование при композициях//Всстнкк КрасГУ. Физ.-мат. науки. Красноярск, 2005. Вып. 1. С. 151 155.

[8] Шабат Б.В Введение в комплексный анализ. Ч 2 Функции нескольких переменных. М.: Наука, 1985. 400 с.

[9] Audin M. The topology of torus actions on symplectic manifolds/Progress in Mathematics, 93. Birkhâuser Verlag, Basel, 1991.

[10] Batyrev V.V. Quantum cohomology ring of tone manifolds//Journées de Géométrie Algébrique d'Orsay (Orsay, 1992). Astérisque №218. 1993. P. 9 - 34.

[11] Bjôrner A. Subspace arrangements//Proc. of the First European Congress of Mathematics (Paris, 1992), A. Joseph et al., eds, Progress in Mathematics 119, Birkhâuser, Basel, 1994, Vol. 1. P 321 370.

[12] Brieskorn E. Sur les groupes de tresses (d'après V.I. Arnold)//Séminaire Bourbaki 1971/72, Springer Lecture Notes in Mathematics. Vol. 317. Springer-Verlag. 1973

[13] Buchstaber V M . Panov Т.Е. Torus actions and their applications in topology and combinatorics. Uni. Lecture Ser. Vol. 24. AMS, Providence. 2002.

[14] Cartier P Arrangements d'hyperplans. un chapitre de géometrie combmatoire//Séminaire Bourbaki (1980/1981), exp. 561.

[15j Cox D.A. The homogeneous coordinate ring of a toric variety//i. Algebraic geometry. 1995. №4. P. 17 - 50.

[16] Cox D.A. Recent developments in tone geometry//Algebraic geometry -Santa Cruz, 1995. Proc. Sympos. Pure Math., 62, Part 2, AMS, Providence, RI. 1997. P. 389 436.

[17] Deinazure M. Sous-groupes algébriques de rang maximum du groupe de Cremona//Ann. Sci École Norm Sup 1970. Vol. 3. P. 507- 588.

16

[18] Fulton W. Introduction to tone varieties. Annals of Mathematics Studies, 131. Princeton University Pre&s, Princeton, NJ, 1993.

[19] Goresky M., MacPherson R. Stratified Morse Theory. Ergeb. Math. Grenzgeb. 3. Folge, Bd. 14, Springer-Verlag, Berlin, 1988.

[20] Oda T. Convex Bodies and Algebraic Geometry. Ergeb. Math. Grenzgeb. 3. Folge, Bd. 15, Springer-Verlag, Berlin, 1988.

[21] Orlik P., Solomon L. Combinatorics and topology of complements of hyper-planes/ /Inv. Math. 1980. Vol. 56. P. 167 - 189.

[22] Passare M. Amoebas, convexity and the volume of integer polyto-pes//Advanced Studies in Pure Mathematics 42. 2004. P. 263 - 268.

[23] Sorani G. Integral representations of holomorphic functions//Amer. J. of Math. 1966. Vol. 88. №4. P. 737 - 746.

[24] Tong T.L. Integral representation formulae and Grotendieck residue symbol//Amer. J. Math. 1973. V. 4. P 904 917.

[25] Tsikh A. Toriska residyer//Proceedings of the conf. "Nordan 3"(1999). Stockholm. P. 16.

[26] Tsikh A. Some kernels in residue theory//Workshop "Singularities in Geometry and Analysis". St. Marienthal, Uni. Cottbus, Germany, 2002. P. 19.

[27] Zaslavsky T. Facing up to arrangement: face-count formulas for partitions of space by hyperplanes. Amer. Math. Soc. Memoir. 154, 1975.

Работы автора по теме диссертации

[28] Щуилев А.В. О двумерных тпоричсских предмногообразиях//Вестник КрасГУ. Физ.-мат. науки. 2004. Вып. 1. С. 93 - 98.

[29] Щуплев А.В. О формах объема торических многообразий и ядрах интегральных представлений/ ¡vГеометрический анализ и его приложения": сб. тезисов междунар. школы-конференции. Волгоградский гос. ун-т. Волгоград, 2004. С. 203 205.

[30] Shchuplev A.V. Integral representation formulas associated with toric varieties. Preprint. Stockholm University, Department of Mathematics, Research Report №1, 2005.

[31] Щуплев А.В О воспроизводящих ядрах в Cd и формах объема гпориче-ских многообразий//Успехи мат. наук. 2005. Т. 60, №2. С. 179 - 180.

Подписано в печать 10.08.2005

Усл. печ. л. 1.25 Тираж 100

Формат 60 х 84 / 16 Печать офсетная Усл. изд. л. 1.0 Заказ № (6 о

Издательский центр КрасГУ

660041, г. Красноярск, пр. Свободный, 79.

«s 14 6 93

РНБ Русский фонд

2006-4 10252

Введение

1. Порождающие ядра групп когомологий в Cd \ Z(Е)

1.1 Торические многообразия.

1.1.1 Однородные координаты торического многообразия

1.1.2 Проективные торические многообразия.

1.1.3 Конус Кэлера.

1.1.4 Торические компактификации пространства Сп и теорема Циха-Ижера.

1.2 Конструкция ядра и формулировка основной теоремы о ядрах.

1.3 Доказательство основной теоремы о ядрах.

2. Применения к интегральным представлениям и реализации вычета Гротендика

2.1 Формула интегрального представления.

2.1.1 Воспроизводящее свойство ядра.

2.1.2 Интегральное представление в области.

2.1.3 Форма объема проективного торического многообразия, индуцированная метрикой Фубини-Штуди

2.2 Примеры

2.3 Формула логарифмического вычета.

2.4 Интегральная реализация вычета Гротендика.

Наборы плоскостей в евклидовых пространствах, как вещественных, так и комплексных, играют большую роль в комбинаторике и анализе ([40], [33], [23], [20], [1]). Комбинаторная задача изучения наборов плоскостей в Cd по сложности совпадает с задачей изучения симплици-альных комплексов с d вершинами (см. [22, Prop. 8.6] или [20]).

В своей классической работе Брискорн [21] показал, что наборы гиперплоскостей служат модельной ситуацией в теории сингулярностей при исследовании вопросов монодромии. Во всех этих исследованиях первостепенное внимание отводилось описанию групп гомологий дополнений к указанным наборам. Самым общим результатом в этом направлении является формула Горески-Макферсона [29].

С точки зрения теории особенностей и их разрешений наборы плоскостей служат модельной ситуацией более сложных наборов комплексных аналитических множеств. В настоящей диссертации такая модельность рассматривается в рамках теории многомерных вычетов, а именно, в задаче конструирования ядер — эталонных дифференциальных форм с предписанными сингулярностями в виде наборов комплексных аналитических множеств. Мы сосредоточимся на типичной ситуации теории вычетов, когда максимальномерная нетривиальная группа гомологий до

Hk(cd\\Jzu, z^j пол нения к заданному набору порождена одним элементом. Следующее определение было дано А.К. Цихом [38].

Определение 0.1. Конечный набор плоскостей {Z^„еЛА в Cd называется атомарным, если максималъномерная нетривиальная группа го-мологий дополнения C^XU^ Zv однопорождена, то есть если существует целое ко G N такое, что г

Z для к — ко, 0 для к > ко.

Порождающий элемент rj двойственного класса когомологий де Рама Я*0 \ (J zjj называется ядром для атомарного набора {Z

Примерами атомарных наборов координатных плоскостей могут служить особенности дифференциальных форм Коши и Бохнера-Мартинел-ли — основных интегральных ядер многомерного комплексного анализа, являющихся исходным пунктом для построения других интегральных формул, таких как формулы Бергмана-Вейля, Коши-Фантаппье [2], [14] или специальных формул в полиэдральных областях [6]. Действительно, ядро Коши в С* dCi д А dCd ~сГ ~сГ' определено в дополнении к набору всех координатных гиперплоскостей Zc в Cd, а это множество гомотопически эквивалентно вещественному тору, и поэтому его максимальномерная нетривиальная группа гомоло-гий однопорождена:

Z, если k = d,

С \Zp ~ S х • у х S\ и Hk{Cd\Zc, Z) = I (0.1) d раз I 0, если к > d.

Ядро Бохнера-Мартинелли в Cd г)вм{о- (|Ci|2 + . + jCi|2)d не определено только в начале координат Zbm — {0}, поэтому

Z, если к = 2d — 1,

0.2)

0, если к > 2d - 1.

Наборы плоскостей Zq и Zbm являются крайними в семействе наборов Z&) = {Z^}, р = 0, 1,., п-1, где

Zf> = {z G Cd: = • • • = zn-.p-i = z„ = 0}, v = n - p,., n, поскольку = Z^71-1^ и Zbm = Все наборы атомарные, и они являются сингулярными множествами для ядер интегральных представлений Сорани [36]. Такие ядра были получены при реализации схемы Майера-Виеториса, позволяющей перейти от ядра Бохнера-Мартинелли к ядру Коши.

После работ Д. Кокса [24], [25] и В. Батырева [19] в области торической геометрии стало ясно, что существует еще один класс атомарных наборов, связанных с конструкцией торических многообразий. Такие многообразия являются обобщением как аффинных, так и проективных пространств, сохраняющим мономиальность соотношений соседства между координатными окрестностями. Впервые точное определение торическо-го многообразия было дано М. Демазюром при описании алгебраических подгрупп максимального ранга групп Кремоны [27]. Торическое многообразие размерности п было определено как многообразие, содержащее алгебраический тор ТГ1 = (С \ {0})™ в виде открытого всюду плотного подмножества так, что естественное действие этого тора на себе (покомпонентным умножением) продолжается до действия на всем многообразии. Каждое n-мерное торическое многообразие связано с веером £ в Rn — полиэдральным разбиением Rn на конусы различных размерностей. Пусть d — число одномерных конусов в веере, связанном с многообразием X, тогда оно представляется в виде фактор-пространства [24] Cd \ Z(£)jG% (0.3) где Z(£) — нулевое множество построенного по вееру £ мономиального идеала, a G — группа, действующая на Cd \ Z(T,). Если веер £ полный и симплициальный, то набор координатных плоскостей Z(E) является атомарным [38].

Не все координатные наборы являются атомарными. Например, в С4 набор = (Ci = С2 = 0} и {Ci = Сз = 0} и {Ci = <4 = 0}U и {С2 = Сз = о} и {С2 = ^4 = о} и {Сз = 2г4 = о}, не является таковым: вычисления по формуле из [29, стр. 238, Theorem А] показывают, что максимальномерная нетривиальная группа гомологий его дополнения Щ(С4 \ Z') изоморфна Z3. Этот набор "не происходит" от веера (или торического многообразия), однако он возникает при построении торического предмногообразия [41].

Целью диссертации является построение ядерных форм для атомарных наборов Z(Е), связанных с торическими многообразиями, и применение их к получению новых формул интегральных представлений для голоморфных функций, а также в теории локальных вычетов.

Основным результатом первой главы диссертации является новая конструкция ядра для атомарного набора Z(E), связанного с компактным проективным симплициальным торическим многообразием Сопоставим каждому одномерному конусу V{ переменную Q. Пространство Cd в представлении (0.3) такого многообразия играет роль пространства однородных координат для торического многообразия Пусть to (С) — форма объема на Х-%, записанная в его однородных координатах (см. раздел 1.1.4). Для n-мерного конуса а Е Е через мы обозначим произведение всех координат вектора С £ Crf за исключением тех, что соответствуют образующим конуса а. Обозначим также через det <т определитель матрицы из образующих конуса a G £. С торическим многообразием Хъ (или с веером £ в Кп с d одномерными образующими) мы свяжем следующую дифференциальную (d, п)-форму '

В предположении, что веер £ содержит примитивный конус, верна

Теорема 1. Дифференциальная форма (0.4) не зависит от выбора конуса a £ Е. Она регулярна в Cd \ Z{£), замкнута и является ядром для набора Z(£) С С*.

Одним из основных компонентов доказательства теоремы является результат А.К. Циха и А. Ижера о подклеивании к евклидову пространству Cd в виде "остова бесконечности" (см. раздел 1.1.4) в некотором компактном торическом многообразии, анонсированный в [38] и [39]. Полное доказательство этого результата включено в подготовленную к печати совместную статью А.К. Циха, А. Ижера и автора настоящей диссертации. Для полноты изложения его доказательство приведено в Приложении к основному тексту диссертации.

Кроме представления (0.3) компактные проективные торические многообразия допускают представление в виде где Gr — вещественная часть группы G, // — моментное отображение, ассоциированное с действием Gr. на Cd\ Z(E), а вектор р выбирается из конуса Кэлера К С R+~n (подробно описанного в разделе 1.1.3) многообразия Х-£. В Теореме 1 утверждается также, что цикл уи1(р) является двойственным по де Раму циклом к форме г).

Форма объема ш непосредственно участвует в определении ядра 77, и в разделе 2.1.3 второй главы диссертации приведена естественная конструкция формы объема компактного проективного торического многообразия, относительно которой его объем VoI(Xe) может быть точно вычислен. А именно, пусть Д — n-мерный целочисленный многогранник в Rn, двойственный к вееру Обозначим элементы А П Zn через ао,., и определим вложение тора /: Тп —»• Fn формулой с неотрицательными параметрами са. такими, что многогранник Ньютона полинома Лорана

N 3=о совпадает с Д. Оказывается, замыкание f(Tn) С Рлг изоморфно ториче-скому многообразию Х-£. Обозначим через ufs форму метрики Фубини-Штуди на

Определение 2.1. Форму из = будем называть формой объема симплициалъного проективного торического многообразия Х-z, индуцированной метрикой Фубини-Штуди.

Форма объема и есть ни что иное, как сужение на торическое подмногообразие /(Tn) ~ Х-£ формы объема в метрике Фубини-Штуди в Рдг, измеряющей объемы n-мерных комплексных подмногообразий. Эта форма выражается при помощи указанного полинома Р(х) формулой п! а объем торического многообразия — формулой

VolpsTE)= [ ш. (0.5)

J тп

Точное значение объема дает Теорема 3.

VoI(Xe) = 7rnVol(A).

Фактически, в полярной системе координат дифференциальная форма в (0.5) может быть легко проинтегрирована по угловым координатам, что приводит к формуле

Г Е'| 71-1det2(Aj)ca. . Со- tai Vol(A) = J " tlXp{ty+" -dtl-'•dtn' (0'6) где сумма берется по всем возрастающим последовательностям индексов 0 < jo < • • • < jn < Ny a Aj — матрица из векторов (1, orj0),., (1, aJn). Таким образом, Теорема 3 дает новое доказательство формулы М. Пас-саре (0.6), вычисляющей объем многогранника при помощи интеграла от рациональной формы по положительному ортанту М" [34].

Кроме этого, в диссертации найден ряд применений полученных новых ядер в теории интегральных представлений голоморфных функций и теории локальных вычетов.

Обозначим через Up примыкающий к циклу /х-1(/э) специальный полиэдр Рейнхардта в Cd, задаваемый системой неравенств eii|Ci|2 + --- + Oid|Cf|2 <Ръ < .(0.7) rllCll2 +----\-ard\Cd\2 < Рту V и через Dp — подобласть в нем, которая описывается системой неравенств

ICnl2 + --- + KiJ2<i/W по всем примитивным наборам / веера здесь 1г(р) — линейные формы, задающие грани конуса Кэлера многообразия Хе- В этих обозначениях дифференциальная форма 77, связанная с торическим многообразием Xj], выступает ядром интегрального представления для голоморфных функций:

Теорема 2. Пусть f G 0(UP) П C{UP), где Up — полная область Рейнхардта с остовом 7 = рГ1{р), р е К-£,- Тогда для произвольной точки z € Dp с Up верно интегральное представление 7

Теорема 3 позволяет переформулировать Теорему 2 в следующем виде:

Теорема 2'. Пусть f € 0(UP) П C{Uр), где Up — полная область Рейнхардта с остовом 7 = fi~l(p), р € К^. Тогда для произвольной точки z G Dp С Up верно интегральное представление fiz) = (vyJvom ffi0vic ~z)■ 7

Отметим, что задача о ядрах для атомарных наборов также рассматривалась в статье А.А. Кытманова [8]. Приведенная в [8] конструкция формы объема основана на других идеях и реализована при дополнительных ограничениях на веер, таких как примитивность и выпуклость.

В разделе 2.3, как следствие Теоремы 1, получена версия формулы логарифмического вычета — интегральная формула для суммы значений голоморфной функции в нулях голоморфного отображения. Эта версия обобщает известные ранее формулы Каччиопполи-Мартинелли-Сорани и Южакова-Руса (см. [2]).

Зафиксируем в Rn веер £, удовлетворяющий условиям Теоремы 1. Пусть в области G пространства Cd переменных £ задано голоморфное отображение /: G —► Cd. Будем предполагать, что / имеет конечный тип над полиэдром Up, определенном формулой (0.7), то есть что полиэдр Wp = /-1(Up) относительно компактен в G. Согласно (0.7) этот полиэдр задается системой неравенств au|/i(C)|2 + - < • • + ald\fd(0\2 < Ри an\fi(0\2 +' —1- a>rd\fd(C)\2 < Рг, причем мы предполагаем, что р взято из конуса Кэлера многообразия Обозначим через Г = /-1(/х-1(р)) остов этого полиэдра. В указанных условиях множество нулей Е системы /((") = 0 в Wp конечно, и справедлива

Теорема 4. Для любой функции G G(WP) верна формула

2i)r7rdVol(A) Jг 1

JT аеЕ

В алгебраической геометрии важную роль играет понятие локального вычета (вычета Гротендика), являющееся непосредственным обобщением вычета Коши мероморфной функции одного комплексного переменного. Известно несколько интегральных реализаций локального вычета ([37], [4], [12]). В работе [13] был предложен рецепт интегральной реализации, связанной с произвольным воспроизводящим ядром. Следуя этому рецепту, мы с помощью Теоремы 1 и Предложения 2.1 получаем следующий результат.

Теорема 5. Пусть r]{w) — ядро для атомарного набора Z(T,) в <Cd. Тогда в обозначении ф(и>) = r}{w)/dw локальный вычет, ассоциированный с регулярной последовательностью f = (/!,., fd) в точке а Е <Cd, реализуется интегралом где. 7 = ц 1(р), причем р выбрано достаточно близким к нулю в конусе Кэлера

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [41] - [44]. По материалам диссертации делались доклады на международной конференции "Многомерный комплексный анализ" (Красноярск, 5-10 августа 2002);

-ч7)

- 14— на международной школе-конференции "Геометрический анализ и его применения" (Волгоград, 24 - 30 мая 2004); на школе-семинаре по многомерному комплексному анализу для молодых математиков (Киото, Япония, 15 - 19 ноября 2004) — на городском научном семинаре по многомерному комплексному анализу при Красноярском государственном университете (Красноярск, 2003 - 2005), на семинаре по многомерному комплексному анализу в г. Стокгольме (Швеция, 2004).

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю Августу Карловичу Циху за постановку задачи и внимание к работе. Автор признателен профессору Стокгольмского университета Ми-каэлю Пассаре, а также постоянным участникам городского научного семинара по многомерному комплексному анализу при КрасГУ за многократные полезные обсуждения и замечания о результатах диссертации.

Основные результаты диссертации состоят в следующем: построены новые ядра в теории многомерных вычетов, имеющие сингулярности на наборах координатных плоскостей в доказано, что построенные ядра обладают воспроизводящим свойством для голоморфных функций в специальных полиэдрах Рейнхардта; приведен новый класс интегральных реализаций вычета Гротендика.

Все полученные результаты являются новыми, снабжены полными доказательствами и могут быть использованы в комплексном анализе, в алгебраической геометрии, а также в математической физике.

Заключение

1. Арнольд В.И. Кольцо когомологий крашеных групп гсос//Матем. заметки. 1969. Т. 5, №2. С. 227 - 231.

2. Айзенберг JT.A., Южаков А.П. Интегральные представления и вычеты в многомерном комплексном анализе. Новосибирск: Наука, 1979. 368 с.

3. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1967. 575 с.

4. Гриффите Ф., Харрис Дж. Принципы алгебраической геометрии. М.: Мир, 1982. 860 с.

5. Данилов В.И. Геометрия торических многообразий//Успехи мат. наук. 1978. Т. 33, №2. С. 85 134.

6. Кривоколеско В.П., Цих А.К. Интегральные представления в линейно выпуклых полиэдрах//Сиб. матем. журнал. 2005. Т. 46, №3. С. 579 593.

7. Кушниренко А.Г. Многогранник Ньютона и число решений системы к уравнений с к неизвестными//Успехи мат. наук. 1975. Т. 30, №2. С. 266 267.

8. Кытманов А.А. Об аналоге формы Фубини-Штуди для двумерных торических многообразий//Сиб. матем. журнал. 2003. Т. 44, №2. С. 358 371.

9. Кытманов A.M. Интеграл Бохнера-Мартинелли и его применения. Новосибирск: Наука, 1992. 240 с.

10. Милнор Д. Особые точки комплексных гиперповерхностей. М.: Наука, 1972. 127 с.

11. Хованский А.Г. Многогранники Ньютона (разрешение особенностей) //Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. М.: ВИНИТИ, 1983. Т. 22. С. 207 239.

12. Цих А.К. Многомерные вычеты и их применения. Новосибирск: Наука, 1988. 241 с.

13. Цих А.К., Шаимкулов Б.А. Интегральные реализации вычета Гротендика и его преобразование при композициях//Вестник КрасГУ. Физ.-мат. науки. Красноярск, 2005. Вып. 1. С. 151 155.

14. Шабат Б.В. Введение в комплексный анализ. Ч. 2.: Функции нескольких переменных. М.: Наука, 1985. 400 с.

15. Южаков А.П, Куприков А.В. О логарифмическом вычете//В кн.: "Некоторые свойства голоморфных функций многих комплексных переменных". Красноярск, ИФ СО АН СССР. 1973. С. 181 191.

16. Яковлева (Знаменская) О.В. О штейновости дополнения алгебраической гиперповерхности в торическом многообразии//Сиб. матем. журнал. 1998. Т. 39, №3. С. 714 720.

17. Aspinwall P.S., Greene B.R., and Morrison D.R. The monomial-divisor mirror map//Intern. Math. Res. Notices. 1993. №12. P. 319 337.

18. Audin M. The topology of torus actions on symplectic mani-/oMs/Progress in Mathematics, 93. Birkhauser Verlag, Basel, 1991.

19. Batyrev V.V. Quantum cohomology ring of toric manifolds//Journees de Geometrie Algebrique d'Orsay (Orsay, 1992). Asterisque №218. 1993. P. 9 34.

20. Bjorner A. Subspace arrangements//Proc. of the First European Congress of Mathematics (Paris, 1992), A. Joseph et al., eds, Progress in Mathematics 119, Birkhauser, Basel, 1994, Vol. 1. P. 321 370.

21. Brieskorn E. Sur les groupes de tresses (d'apres V.I. Arnold)//Seminaire Bourbaki 1971/72, Springer Lecture Notes in Mathematics. Vol. 317. Springer-Verlag. 1973

22. Buchstaber V.M., Panov Т.Е. Torus actions and their applications in topology and combinatorics. Uni. Lecture Ser. Vol. 24. AMS, Providence. 2002.

23. Cartier P. Arrangements d'hyperplans: un chapitre de geometrie combinatoire//Seminaire Bourbaki (1980/1981), exp. 561.

24. Cox D.A. The homogeneous coordinate ring of a toric variety//3. Algebraic geometry. 1995. №4. P. 17 50.

25. Cox D.A. Recent developments in toric geometry//Algebraic geometry Santa Cruz, 1995. Proc. Sympos. Pure Math., 62, Part 2, AMS, Providence, RI. 1997. P. 389 - 436.

26. Cox D.A. Toric Residues//Ark. Mat. 34(1996), №1. P. 73 96.

27. Demazure M. Sous-groupes algebriques de rang maximum du groupe de Cremona//Ann. Sci. Ecole Norm. Sup. 1970. Vol. 3. P. 507 588.

28. Fulton W. Introduction to toric varieties. Annals of Mathematics Studies, 131. Princeton University Press, Princeton, NJ, 1993.

29. Goresky M., MacPherson R. Stratified Morse Theory. Ergeb. Math. Grenzgeb. 3. Folge, Bd. 14, Springer-Verlag, Berlin, 1988.

30. Kirwan F. Cohomology of quotients in symplectic and algebraic geometry. Math. Notes 31, Princeton University Press, 1984.

31. Mumford D. Algebraic geometry. I. Complex projective varieties. Grund-lehren der Mathematischen Wissenschaften, №221. Springer-Verlag, Berlin-New York, 1976.

32. Oda T. Convex Bodies and Algebraic Geometry. Ergeb. Math. Grenzgeb. 3. Folge, Bd. 15, Springer-Verlag, Berlin, 1988.

33. Orlik P., Solomon L. Combinatorics and topology of complements of hy-perplanes//Inv. Math. 1980. Vol. 56. P. 167 189.

34. Passare M. Amoebas, convexity and the volume of integer polyto-pes//Advanced Studies in Pure Mathematics 42. 2004. P. 263 268.

35. Sangwine-Yager J.R. Mixed volumes. Handbook of convex geometry. Vol. A. North-Holland, Amsterdam, 1993. P. 43-71.

36. Sorani G. Integral representations of holomorphic functions//Amer. J. of Math. 1966. Vol. 88. №. P. 737 746.

37. Tong T.L. Integral representation formulae and Grotendieck residue symbol//Amer. J. Math. 1973. V. 4. P. 904 -917.

38. Tsikh A. Toriska residyer//Proceedings of the conf. "Nordan 3"(1999). Stockholm. P. 16.

39. Tsikh A. Some kernels in residue theory)Workshop "Singularities in Geometry and Analysis". St. Marienthal, Uni. Cottbus, Germany, 2002. P. 19.

40. Zaslavsky T. Facing up to arrangement: face-count formulas for partitions of space by hyperplanes. Amer. Math. Soc. Memoir. 154, 1975.

41. Работы автора по теме диссертации

42. Щуплев А.В. О двумерных торических предмногообрази-ях//Вестник КрасГУ. Физ.-мат. науки. 2004. Вып. 1. С. 93 98.

43. Щуплев А.В. О формах объема торических многообразий и ядрах интегральных представлений/ /п Геометрический анализ и его приложения": сб. тезисов междунар. школы-конференции. Волгоградский гос. ун-т. Волгоград, 2004. С. 203 205.

44. Shchuplev A.V. Integral representation formulas associated with toric varieties. Preprint. Stockholm University, Department of Mathematics, Research Report №1, 2005.

45. Щуплев А.В. О воспроизводящих ядрах в Cd и формах объема торических многообразий//Успехи мат. наук. 2005. Т. 60, №2. С. 179 -180.