Об арифметических свойствах значений некоторых аналитических функций тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

^ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

имени М. В. ЛОМОНОСОВА

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

4853

775

На правах рукописи УДК 511

Рочев Игорь Петрович

ОБ АРИФМЕТИЧЕСКИХ СВОЙСТВАХ ЗНАЧЕНИЙ НЕКОТОРЫХ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

01.01.06 - математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Л ? Л:?

У ^ ^ии ¿л]

Москва 2011

4853775

Работа выполнена на кафедре теории чисел Механико-математического факультета Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова.

Научные руководители: кандидат физико-математических наук,

доцент Зудилин Вадим Валентинович

доктор физико-математических наук, профессор Мощевитин Николай Германович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Салихов Владислав Хасанович

Защита диссертации состоится 18 февраля 2011 г. в 16 ч. 45 м. на заседании диссертационного совета Д.501.001.84 при Московском государственном университете имени М.В. Ломоносова по адресу: 119991, Российская Федерация, Москва, ГСП-1, Ленинские горы, МГУ, д. 1, Механико-математический факультет, аудитория 14-08.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан 18 января 2011 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

доктор физико-математических наук, профессор Сорокин Владимир Николаевич

Ведущая организация: Московский педагогический государственный

университет

Д.501.001.84 при МГУ,

доктор физико-математических нау1

профессор

А. О. Иванов

Общая характеристика работы

Диссертация посвящена двум вопросам в теории трансцендентных чисел. Один из них связан с обобщением классической теоремы Пойа о целознач-ных целых функциях. Другой — с доказательством линейной независимости значений д-рядов определённого вида.

Актуальность темы

Для целой функции /(г) будем обозначать через |/|д максимум |/(г)| на круге Ва = {г € С | \г\ ^ Я}: \}\я = тахгбВд |/(г)|. В 1915 году Пойа1 доказал следующий результат.

Пусть /(г) — целая трансцендентная функция. Тогда справедливы следующие утверждения.

1. Если /(Z^o) Ç Z, то

limsuP^>0.

R-ï+oc 2я

2. Если /(Z) С Z, то

limsup

Я->+оо ^З+у/5 j

Как показывают примеры 2г и ((^г^) — (н^) )' постоянные 2

и ^у12 в теореме Пойа нельзя улучшить.

Этот результат уточнялся и обобщался в работах Харди2 (см. также работу Ландау3), Пойа4, Карлсона5, Ицумие, Сельберга7, Пизо8, Бака9, Ро-

1 G. PÖLYA, Über ganzwertige ganze Funktionen, Rend. Cire. Mat. Palermo 40:1 (1915), 1-16.

2 G. H. Hardy, On a theorem of Mr G. Pölya, Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 19 (1917), CO 63.

3 E. Landau, Note on Mr Hardy's extension of a theorem of Mr Pölya. Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 20 (1920), 14-15.

4 G. pölya, Über ganze ganzwertige Funktionen, Nachr. Ges. Wiss. Göttingen Math.-Phys. Kl. (1920),

1-10.

5 F. Carlson. Über ganzwertige Funktionen, Math. Z. 11:1-2 (1921), 1-23.

6 Sil. Izu.vn, Über die ganzwertige ganze Funktion, Jpn. J. Math. 5 (1928), 5-22.

7 A. SelberC, Uber ganzwertige ganze transzendente Funktionen. I, II, Arch. Math. Naturvid. 44 (1941), 45-52, 171-181.

8 Ch. Pisot, Über ganzwertige ganze Funktionen. Jahresbcr. Deutseh. Math.-Vercin. 52 (1942), 95 102. Ch. Pisot, Sur les fonctions arithmétiques analytiques à croissance exponentielle, C. K. Acad. Sei. Paris

222 (1946), 988-990.

Cit. PlSOT, Sur les fonctions analytiques arithmétiques et presque arithmétiques, C. R. Acad. Sei Paris 222 (1946), 1027-1028.

9 R. C. Buck, A class of entire functions, Duke Math. J. 13:4 (1946), 541-559.

R. C. BUCK, Integral valued entire functions, Duke Math. J. 15:4 (1948), 879-891.

бинсона10.

В литературе часто встречается более слабая формулировка теоремы Пойа: если /(г) — целая трансцендентная функция с С Ъ, то

Д-»+оо П

В 1929 году Гельфонд11 доказал следующее обобщение этой версии теоремы Пойа.

Пусть /(г) — целая трансцендентная функция такая, что для некоторого в £ о выполнено С Ъ при <г = 0,1,.... в — 1. Тогда

В-1+ПП К \ У

Результат Гельфонда улучшался в работах Сельберга12, Бундшу и Зуди-лина13. Вельтера14. В работе Бундшу и Зудилина также было доказано, что для любого s € Z>o существует трансцендентная целая функция f{z) такая, что /(""'(Z) С Z при а = 0,1,..., s — 1 и при R ^ 1 выполнено

( (^R lnß

I Л/t + ~ + c

где с — некоторая абсолютная постоянная.

В 1978 году Вальдшмидт15 доказал следующее утверждение. Пусть П С Z, причём

. #(nnBr)

lim inf---= и > О,

Д->+оо К

К — конечное расширение Q степени я, а ^ 0. Допустим, что f(z) — трансцендентная целая функция такая, что /(fi) С К, причём для а Е Q выполнено

10 R. M. Robinson, Integer-valued entire functions. Tram. Amer. Math. Soc. 153 (1971), 451-468.

11 A. O. gelfond, Sur un théorème de M. g. Pôlya, Atti Accad. Naz. Lined 10 (1929), 569-574.

12 A. Selberg, Über einen Satz von A. Geifond, Arch. Math. Katurvid. 44 (1941), 159-170.

13 P. Bundschuh, W. Zudilin, On theorems of Geifond and Sclberg concerning integral-valued entire functions, J. Appwx. Theory 130:2 (2004), 162-176.

14 M. Welter, Sur un théorème de Gel'fond-Selberg et une conjecture de Bundschuh-Shiokawa, Acta Arith. 116:4 (2005), 363-385.

15 m. waldschmidt, Pôlya's theorem by Schneider's method, Acta Math. Acad. Set. Hungar. 31:1-2 (1978), 21-25.

где — максимум модулей сопряжённых алгебраического числа f, d(£) — ■наименьшее d € Z>o такое, что число целое алгебраическое. Тогда

limsup—— ^ 7о,

й-»+00 К

где 7о — некоторая (эффективная) положительная постоянная, зависящая только от и, я, а.

В диссертации доказано обобщение теоремы Вальдшмидта, аналогичное обобщению Гельфонда теоремы Пойа.

Существует много работ об арифметических свойствах значений функций

вида

/(z)==5n¿w)

(i)

где Р(у) — непостоянный многочлен, а число q € С с |<j| > 1 таково, что P{qn) + 0 при п е Z>0.

В работах Бернштайна и Caca16 и Caca17 была доказана иррациональность значений функции 69(z) = п г" Для <7i г е Q* ПРИ определённых

ограничениях на q (а именно: если q = q\/q2, где qi, q2 £ Z \ {0}, (qi, 92) = 1, то отношение In \q¡\f ln должно быть достаточно мало).

Обобщая метод Caca, Чакалов18 доказал для функции

оо

п=0

qn(n+ 1)/2'

соответствующей многочлену Р(у) = у, линейную независимость над (0> чисел 1, Тч{ах),..., Тч(ат) при определённых ограничениях на q £ 0>, где аз 6 О* удовлетворяют условиям а^а^1 ^ = ^п | п 6 Щ при 1 < j,k ^ т, ] ф к. Функция Тд(г) сегодня известна как функция (или ряд) Чакалова. Впоследствии Сколем19 доказал аналогичное утверждение, содержащее также производные функции Т5(г).

Количественные версии результатов Чакалова и Сколема (с оценками снизу для линейных форм от рассматриваемых чисел) были получены в

16 F. Bernstein, 0. Szasz, Über Irrationalität unendlicher Kettenbrüche mit einer Anwendung auf die Reihe Eo^VV, Math. Ann. 76:2-3 (1915), 295-300.

17 O. Szasz, Über Irrationalität gewisser unendlicher Reihen, Math. Ann. 76:4 (1915), 485-489.

18 L. tschakaloff, Arithmetische Eigenschaften der unendlichen Reihe SS.o'"0"1'^' ,at^ ^nn■ 80:1 (1919), 62-74.

l. tschakaloff, Arithmetische Eigenschaften der unendlichen Reihe x"a ^^ ■ (2- Abhandlung), Math. Ann. 84:1-2 (1921), 100-114.

14 Th. Skolem, Some theorems ori irrationality and linear independence, Den llte Skandinaviske Matcmatikcrkongress, Trondheim (1949). 77-98.

работах Бундшу и Шиокавы20 и Катсурады21 соответственно; р-адический аналог последнего результата был доказан Ваананеном и Валлиссером22.

Обобщение результата Бундшу-Шиокавы для функции (1) было получено Штилем23, который доказал в количественной форме линейную независимость над мнимым квадратичным полем К чисел

1, f{ajqk) (l^j^m,Q^k<deg Р(у))

при определённых ограничениях на g 6 К, где числа ocj 6 К* удовлетворяют тем же условиям, что и выше, а многочлен Р{у) € К[у] раскладывается на линейные множители над К, причём Р(0) = 0.

Поскольку функция f(z) удовлетворяет g-разностному уравнению

P(J) (/(z)) = P(l) + z/(z), Jf(z) := f(qz).

порядка deg P{y), этот результат является в некотором смысле наилучшим возможным с качественной точки зрения.

Катсурада24 при тех же ограничениях, что у Штиля, доказал аналогичное утверждение, содержащее производные функции f(z). Обобщение последнего результата для произвольного конечного расширения поля Q, в том числе и в р-адическом случае, было получено в работе Санкилампи и Ваананена25 (для функции Чакалова соответствующее обобщение чуть ранее доказали Коивула, Санкилампи и Ваананен26).

В случае, когда для многочлена Р(у) в (1) выполнено Р(0) 0, первый результат был получен Лотоцким27, который рассматривал функцию

(последнее равенство следует из уравнения Eq{qz) = (1 + z)Eq(z)), известную как ^-экспоненциальная функция. Лотоцкий доказал, что если q — целое число

20 Р. bundschuh, I. ShiOKAWA. A measure for the linear independence of certain numbers, Results Math. 7:2 (1984), 130-144.

21 M. Katsurada, Linear independence measures for certain numbers, Results Math. 14:3-4 (1988), 318-329.

22 K. VAÄnAnen, R. WallisSER, Zu einem Satz von Skolem über lineare Unabhängigkeit von Werten gewisser Thetareihen, Manuscripta Math. 65:2 (1S89), 199-212.

23 Tll. Stiiil, Arithmetische Eigenschaften spezieller Heinescher Reihen. Math. Ann. 268:1 (1984), 21 41.

24 M. Katsurada, Linear indcpcndcncc measures for values of Heine scries, Math. Ann. 284:3 (1989), 449-460.

25 O. Sankilampi, K. VÄÄNÄNEN, On the values of Heine series at algebraic points, Results Math. 50:1-2 (2007), 141-153.

26 L. koivula, O. Sankilampi, K. väänänen, A linear independence measure for the values of Tschakaloff function and an application, .IP J. Algebra Number Theory Appl. 6:1 (2006), 85-101.

27 A.V. Lototsky, Sur rirrationnalité d'un produit infini, Ree. Math. [Mat. SbomikJ N.S. 12(54):2 (1943), 262-272.

мнимого квадратичного поля К, > 1, а € К*, а ф. —дг>а, то Еч(а) £ К. (В работе Потоцкого предполагалось, что К = д > 1, однако рассуждения легко переносятся на общий случай28.) Количественная версия этого результата была получена Бундшу29.

В работах Безивана30 был предложен новый метод для доказательства линейной независимости значений функций вида

где А(п) — линейная рекуррентная последовательность. Результаты Безивана обобщались в работах Андре31, Амоу и Ваананена32.

В работах Дюверпе'*3 было доказано, что при q € Ъ \ {0, ±1} числа

не являются квадратичными иррациональностями. Безиван34, используя новый вариант своего метода, значительно обобщил этот результат; в частности, ему удалось доказать неквадратичность значений функций Чакалова Tq(a) при q € Z \ {0, ±1} (и даже при q G Q с определёнными ограничениями) и a £ Q*. Дальнейшие улучшения были получены в работах Шуле35, Краттен-талера, Рочева, Ваананена и Зудилина36.

Стоит отметить, что все упомянутые результаты, полученные с использованием того или иного варианта метода Безивана, являются качественными;

28 Н. И. Фельдман, Седьмая проблема Гчлъберта, изд-во МГУ, М., 1982, § 3.3.

23 р. Bundschuh, Arithmetische Untersuchungen unendlicher Produkte, Invent. Math. 0:4 (19g9),

30 J.-P. bézivin, Indépendance linéaire des valeurs des solutions transcendantes de certaines équations fonctionnelles, Manuscripta Math. 61:1 (19S8), 103-129.

J.-P. bézivin, Indépendance linéaire des valeurs des solutions transcendantes de certaines équations fonctionnelles II. Acta Arith. 55:3 (1990), 233-240.

31 Y. André, Séries Gevrey de type arithmétique, II. Transcendance sans transcendance, Ann. of Math. (2) 151:2 (2000), 741-756.

32 M. Amou, K. VâAnAnen, Linear independence of the values of ij-hypergeometric series and related functions, Rarnanujan J. 9:3 (2005). 317-339.

33 D. DuvernEY, Propriétés arithmétique* d'une série liée aux fonctions thêta, Acta Arith. 64:2 (1993), 170-188.

D. Duvf.rney, Sommes de deux carrés et irrationalité de valeurs de fonctions thêta, C. R. Acad. Sri. Paris Sir. i Math. 320:9 (1995), 1011-1044.

34 J.-P. bézivin, Sur les propriétés arithmétiques d'une fonction entière, Math. Nac)ir. 190:1 (1998),

31-42.

35 R. Choulet, Des résultats d'irrationalité pour deux fonctions particulières, Collect. Math. 52:1 (2001),

1-2 0.

36 Ch. KrattENTHALER, I. Rochev, K. VAAnânEN, W. Zudilin, On the non-quadrat.¡city of values of tVic ^-exponential function and related q-scries, Acta Arith. 136:3 (2009), 243-269.

ос ос

= T,(l) = Y^q~n{n+l)l2

275-295.

получить количественный вариант метода долгое время не удавалось. Множество работ различных авторов посвящено доказательству количественных результатов в разных частных случаях с помощью совершенно других методов; помимо указанных выше работ стоит упомянуть работы Ваананена37, Ваананена и Зудилина®.

В диссертации с помощью количественного варианта метода Безивана. разработанного автором, доказаны оценки снизу для линейных форм от значений функций вида (1) (а также функций чуть более общего вида) и их производных.

Цель работы

Целью настоящей диссертации является изучение аналитических свойств целых функций с определёнными арифметическими ограничениями для их значений, а также получение оценок меры линейной независимости значений g-рядов достаточно общего вида.

Научная новизна

Основные результаты диссертации являются новыми и заключаются в следующем:

1. Получено новое обобщение теоремы Пойа о целозначных целых функциях.

2. Доказана линейная независимость значений g-рядов достаточно общего вида в количественной форме, причем оценка меры линейной независимости в настолько общей ситуации получена впервые.

Методы исследования

В диссертации используются методы теории функций действительного и комплексного переменного и теории трансцендентных чисел.

Теоретическая и практическая ценность

Диссертация имеет теоретический характер. Результаты диссертации могут найти применение при изучении задач, связанных с оценками мер линейной независимости значений специальных функций.

37 К. VÄÄNÄNEN, On linear independence of the values of generalized Heine series, Math. Ann. 325:1 (2003), 123-136.

33 K. Väänänen, W. Zudilin, Baker-type estimates for linear forms in the values of ^-series, Canad. Math. Bull. 48:1 (2005), 147-160.

Апробация работы

Результаты диссертации докладывались на следующих научных семинарах и конференциях:

1. Научно-исследовательский семинар по теории чисел под руководством чл.-корр. РАН Ю. В. Нестеренко, проф. Н. Г. Мощевитина.

2. Семинар "Арифметика и геометрия" под руководством проф. Н. Г. Мощевитина, доц. А. М. Райгородского, асс. О. Н. Германа.

3. Семинар "Аналитическая теория чисел" под руководством проф. А. А. Ка-рацубы.

4. Семинар по теории чисел Института прикладной математики ДВО РАН (г. Хабаровск) под руководством чл.-корр. РАН В. А. Быковского, д. ф.-м. н. А. В. Устинова.

5. Международная конференция "Диофантовы и аналитические проблемы теории чисел", посвященная 100-летию А. О. Гсльфонда (Россия, г. Москва, МГУ им. М. В. Ломоносова, 29 января - 2 февраля 2007 г.).

Публикации

Основные результаты диссертации опубликованы в трех работах автора, список которых приведен в конце автореферата [1-3].

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, двух глав и списка литературы. Полный объем диссертации — 119 страниц. Синеок литературы включает 69 наименований.

Краткое содержание работы

Во введении изложена краткая история исследуемых вопросов и сформулированы основные результаты диссертации.

В первой главе доказаны оценки для минимальной скорости роста трансцендентной целой функции при определённых ограничениях арифметического характера на её значения и значения её производных.

При Я ^ 0 положим ¿?д = {х € С | |г| < Я}. Для целой функции /(г) определим |/|д = тахг€вн |/(г)|. Далее, для ПС2 будем обозначать Од =

П п Вй, ВД =

Пусть П С Z, причём

ш := 1шнп£ —> О,

Д-»+оо К

з € Z>o, а 6 [О, +оо), К — конечное расширение (]), — кольцо целых чисел поля К. Положим

([К :<£»], К С К, _ : О] иначе.

Обозначим через ъ((7; К; а) точную нижнюю грань чисел 7 > 0, для которых существует целая трансцендентная функция /(г) со следующими свойствами.

1. При а € П найдутся числа (¿а € 2к \ {0}, удовлетворяющие условиям:

а. 4/(а,(а) € при 0 < а < в - 1,

б. й=0(еаН),

в. если к > 1, то

k/M(a)| = 0(eaW).

max

2. f(2) = 0(е7'г').

Первые два основных результата главы 1 содержат оценки снизу для величины т4(П;К; а).

Теорема 1. Для любых s, Q, К, а справедливо неравенство 7S (f2; К; а) ^ max (s + 1 - г)и1+к/гх

re{i,2,....i}

( (г + \)ха н\п 15(г + 2) \

х exp —г-^—-------- - 3 .

V (s + 1 - r)ru> г J

Более того,

. с7.(ЦК; а) ^ 1п((^ + 1)/{29)) liminf —^-- ^ max—^---- = 0.1912____

s-> 00 0JS e>i 0

В случае, когда х = 1 (то есть К — мнимое квадратичное поле или Q), а = 0, будем вместо 7s(fl; К; 0) писать 7S(0).

Теорема 2. При произвольном s и ui < 0.01 справедливо неравенство %.(Q) ^ 0.01sw(ln(l/w))-1.

Третий основной результат первой главы посвящен оценкам сверху для величины 7„(П; (ф; а).

Теорема 3. Пусть множество П С Z таково, что существует предел

Иш = и > 0. Я-юо Я

Тогда для любых в £ Z>o и а ^ 0 справедливо неравенство

[ш5 1п4 —а, а<а>з1п2,

—we In (1-е "«j, ws In 2.

Более того, если существуют равные пределы

Um —^ =w/2.

Я-юо Я

где обозначено = П Z>o, = П П Z<o, то при любых s £ Z>o ua^O имеем

Ъ{П\ Q; а) ^ ws arcsin /2) .

Вторая глава посвящена доказательству линейной независимости значений функций определённого вида.

Пусть К — конечное расширение поля Q степени н = [К : Q], — множество всех нетривиальных нормирований поля К. Для v € Л4к нормируем абсолютное значение | • |„ следующим образом:

1- |р|г) = Ресли

2. \x\v = |х| при х € Q (где \х\ означает модуль числа х), если и|оо. Тогда для любого а £ К* имеет место формула произведения

П И* =

v€Mk

где xv = [К„ : Qu] — соответствующие локальные степени.

Для а £ К будем обозначать через Н(а) абсолютную (мультипликативную) высоту числа а,

Я(а) = J] тах{|а|^/х, 1}.

иеЛ^к

Далее, для произвольного вектора а = (ащ,..., ап) € К1+п будем обозначать

|а|„ = maxflaol«, ■ • •, |an|B} (v € Мк),

H{s) = П И»,/х

(в частности, Я((1,а)) = Н(а)).

Пусть q £ К и w е Л^к таковы, что > 1. Положим

Х = (2)

Заметим, что А ^ 1, причём Л = 1 тогда и только тогда, когда для всех v € .Мк \ выполняется неравенство |g|„ ^ 1.

Пусть многочлены Р(х, у) 6 у\ и Q(x) € К[а;] удовлетворяют условиям d := degj, Р ^ 1 и P(n. qn)Q(ri) =f 0 при n = 1, 2,3,____Рассмотрим целую

функцию

°° z"

/(г) = §п ир^шк)" гес-

где Сш — пополнение алгебраического замыкания Кш. Важный частный случай — ^-экспоненциальная функция

ОО п ОС * ч

= (3)

Наконец, введём обозначение

Z(a,b) =7r-2^Lan + 6J-2; (4)

n;sO

в частности, если а,6 £ Z>o; то Z(a,b) = (а7г)~2£(2,6/а), где C,(s,a) = + а) * — дзета-функция Гурвица. В первом основном результате второй главы рассматривается случай, когда degj. Р(х, у) = deg Q(x) = 0.

Теорема 4. Допустим, что многочлены Р(х, у) = Р(у) и Q(x) = 1 не зависят от х. Пусть числа ai,...,am € К* удовлетворяют следующим двум условиям:

(i) ajOc^1 ^ при 1 < j, к ^ т, j ф к,

(ii) aj Р{0)gz>° при 1 ^ j ^ т.

Пусть ..., ят е 2>о- Положим в =

если рь/) = «Л р е к*>

1 ^ иначе, а = /ЩГЙП. *

I еми ¿0 := ОГ(1,=0 РЫ > о.

Далее, если Р(1) ^ 0, то обозначим

у = прит = 2,з1 = з2 = 2,

|^(т + 2,я + 1) + ^(ш + 2,5 + 2) иначе,-

если осе ¿1 := огс1у=1 Р(у) > 0, то положим

7 = /3+/г-зЙ* яриг1 = 1) т = 1, Я1=2,

\2Z(m+X|&\,s-\-\) иначе.

@(а,Ь) определено в (А).) Тогда если выполнено

2ф + а

где А определено в (2), то числа

1, ¡(а){а}дк) (1 ^ з < т, 0 < к < й, 0 < а < вД

линейно независимы над К. Более того, для любого е > 0 существует (эффективная) постоянная Но = Ho(P,q,\o,m,aj,Sj,£) > 0 такая, что для любого вектора т} = (щ, г/^.а) € К1+<г* \ {0} выполнено

т (¿-1 «>-1

Мшехр (-(С0 + £)(1пЯ)3^2) ,

;=1 к=0 <^=0 где Я = тах{Я(тт). Я0},

ё\3?2(2с1/3 + а + (сг2 - 1)(2^/3 - 7)А) 1п |9|„

Со

((2!1/3 + а-(2(1/3--у)Л)ЫН^))312 Для д-экспоненциальной функции (3) получаем следующее следствие.

Следствие 2.1. Пусть q = р/с € Q, где р, а € Ъ \ {0}. (р, о) = 1, |р| > |ст|, а £ Q*, а ^ —qz>a. Обозначим ■у = In |сг|/ In |р|. ТогЛг если 7 < 7/12, то число Eq(a) иррационально. Более того, для любого е > 0 существует положительная постоянная So = aiе) такая, что для любого рационального числа r/s (где rgZ, sS справедливо неравенство

|Я,(а) - г/л| ехр (-(Ci + e)(lnSf2) , где S = max{s, So},

Ci= 24л/3(1-7)

(7_ 127)3/2(1п|р|)1/2-

Кроме того, если 7 < 1/6, то Е9(а) не является квадратичной иррациональностью и для любого е > 0 существует положительная постоянная Ьд = Ьо(<7, а, г) такая, что для любого многочлена А(г) € второй степени справедливо неравенство

| А(Ея{а)) | > ехр (-(С2 + е)(Ь Ь)г'2) ,

где Ь = тах{£(Л), Ь0}, — длина многочлена А (сумма модулей коэф-

фициентов),

6^6(1-7)

2 (1-67)3/2(1ПН)1/2-

В качестве ещё одного следствия теоремы 4 для Еч(г) получаем следующий результат для так называемого ^-логарифма

2-

Следствие 2.2. Допустим, что

где Л определено в (2). ТогЛг при любом а е К*, а ^ 92>0, имеем Ьч{а) £ К. Более того, для любого е > 0 существует положительная постоянная Щ = Яо(д, Ао: такая, что для любого числа в е К справедливо неравенство

\Ья(а) - в\ш ^ ехр (-(Со + г)(1пЯ)3/2) ,

где Н = тах{Я(6>), Я0},

180тг3Л3/21п|д|„

Со =

((ЗОтг2 - (14тг2 + 41)Л) In H{q)) 12

3/2'

Следствие 2.2 даёт следующий результат для определённых рядов с линейными рекуррентными последовательностями.

Следствие 2.3. Пусть r,i£Z \ {0} таковы, что D := г2 + 4s > 0. Пусть последовательность ип является решением рекуррентного соотношения

Ип+2 = run+i + sun

с начальными условиями щ = 0, щ = и . Положим

f(r2.s). если \[D £ Ъ,

ecAuSDtZ,

(здесь (а,Ь) — наибольший общий делитель чисел a,b € Z). Если для г' := |r\/Vd, s' := s/d выполнено неравенство

1^7г2

г' > |s'|a - s'l\s'\a; где а = _ = 1.2662 .. , то при любых k € Z>o, 6 € Q(VD)*, |6| < ((|r| + y/D)/2)k, имеем

00 АП Tl= 1

Более того, для любого е > 0 существуют положительные постоянные Со = Co(r,s) и Я0 = Я0(г, s,k,u,b, е) такие, что для любого числа

в е 0(>/Я)

справедливо неравенство

х ип

Е—

^ exp (-(C0fc"1/2 + е)(1п Я)3/2) ,

где Н = тах{Я(0), Я0}.

Предположим теперь, что max{degx Р(х, г/), degQ(i)} > 0. Пусть

i

Р(х,у) =

i/=0

Введём обозначения h = degQ(a;),

oi == max < rnax y lis^d

{

deg Pi-V

M M 'dj

deg p y(x)

и

J 0, если po{x) — 0, 11. если po{x) ф 0, d

T) = d + max{/i, degp0(#)} + degp„(a:)

(степень нулевого многочлена считаем равной 0).

Теорема 5. Допустим, что А = 1, где А определено в (2), и многочлены Р(х,у) и Q(x) удовлетворяют (по крайней мере) одному из следующих двух условий:

(а) Pd(x) не зависит от х,

(б) Q(x) и ро(х) не зависят отх.

Пусть т € Z>o, do € Z^d и числа а^...., ат £ К* и Sj^ € Z>o (1 ^ j < т, 0 ^ k < da) удовлетворяют следующим трём условиям:

(i) aja^1 qz при 1 < j. к < т, j ф к,

(ii) при l^j^mud^k<do выполнено неравенство Sjtk ^ deg ра(х),

(iii) если degpo(a^) = dcgQ(i). то а_, ^ (a/b)qz>" при 1 ^ j ^ т, где а и Ъ — старшие коэффициенты многочленов ро(х) и Q(x) соответственно.

Тогда числа

1, f{"\mk) (l^j^m,0^k<d0,Q^(T< sjik)

линейно независимы над К. Более того, если обозначить

иначе,

если ро{х) и Q(x) не зависят от х, иначе,

если pd(х) не зависит от х,

Со =

2с©3 In \q\w

Щс1 + с2)ЪН(д))2"

2'

то для любого е > 0 существует (эффективная) положительная постоянная Но = Но(Р, <2, <?, ш, ¿о, ау, в) такая, что для произвольного вектора г} = (г/о, € 5м \ {б} выполнено

т (¿о-1

%+ЕЕ Е

к=О С=0

где Н = тах{Н(т]), Но}.

В частности, для функции

\ff\w ехр (-(С0 + е)(1пЯ)2) ,

вд = Е

П|9П(П+1)/2

получаем следующий результат.

Следствие 2.4. Пусть q — целое число мнимого квадратичного поля |д| > 1, € Ъ>о и числа ах,..., ат 6 К* удовлетворяют условию

-1 а „г

Тогда числа

а}ак 4- ч пРи 1 ^ Ь к ^ т> 3 Ф к.

1 (!<.;< то, 0

линейно независимы над К. Более того, для любого е > 0 существует постоятшя Но = Но{^,т,а^,Зо,£) > 0 такая, что для любого вектора т] = (т/о, т]^а) € Я^"0"1 \ {0} выполнено

т «о — 1

3 = 1 <х=0

>ехр(-(С0 + е)(1пЯ)2),

где Н — тгх{Н(г(), Но}, Со =

75 т

81п|9|'

В последней теореме второй главы рассматривается целая функция

Теорема 6. Пусть а\,...,ат £ К — различные числа, удовлетворяющие следующим двум условиям:

(1) ф ±2 при 1 ^ j ^ тп,

(¡1) - ак)(акдп - а,) ^ (92" - I)2 при {0}.

Пусть 5ь..., Бт £ 2>о- Положим в = ^Г^ &}, а = "^рг";

7=при т = 1, в! = 2, |щ|^ + 2(2т + 2125 + 1) + 2(2т + 2!28 + 2) иначе,

где Е(а,Ь) определено в (4). Тогда если выполнено

2/3-7

где А определено в (2), то числа

линейно независимы над К. Более того, для любого е > 0 существует (эффективная) постоянная Но — Яо(<г, Ао,т, а.рй^е) > О такая, что для любого вектора т] = гц,о) € К1+'' \ {0} выполнено

т

j=l <7=0

|тЯгоехр(-(С0 + £)(1пЯ)3/2),

где Н = та#о}>

(2/3 + а)А3/21п|9|и

Сп =

((2/3 + а-(2/3-7)А)1пЯ(«7))3/2' В частности, для мероморфной функции

ш-Ш-Ь. '

М2) + Чпг + 1

получаем следующий результат.

Следствие 2.5. Допустим, что выполнено неравенство

_ 5475тг2

Л ^ А° < 31477т2 + 2312 + 7200^(4,1) ~ °144''"!

где А определено в (2). Тогда для любого а 6 К такого, что при всех целых п выполнено

qna2^(qn + I)2,

имеем Sq(a) f. К. Более того, для любого е > 0 существует положительная постоянная Но = Ho{q,Xo.,a,e) такая, что для любого числа в € К справедливо неравенство

1ЗД - 0U > ехр (-(Со + е)(1пЯ)3'2) ,

где Я = тах{#(0), Н0},

с =_1314(50тг2Л)3/2 _

° ((5475тг2 - (3147тг2 + 2312 + 7200тг2£(4,1))А) 1пЯ(9))3/2'

Автор выражает благодарность своим научным руководителям к. ф.-м. н.. доц. В. В. Зудилину и д. ф.-м. п., проф. Н. Г. Мощевитину за постановки задач и помощь в подготовке диссертации, а также коллективу кафедры теории чисел во главе с чл.-корр. РАН, проф. Ю. В. Нестеренко за создание творческой атмосферы.

Список публикаций по теме диссертации

[1] И. П. РОЧЕВ, Об одном обобщении теоремы Полиа, Матем. заметки 81:2 (2007), 280-293.

[2] Сн. Krattenthaler, I. Rochev, К. Vaananen, W. Zudilin, On the non-quadrat icity of values of the q-exponential function and related g-series. Acta Arith. 136:3 (2009). 243-269. (И. Рочеву принадлежат доказательства лемм 1-3 и предложений 1-4.)

[3] И. П. РОЧЕВ, О линейной независимости значений некоторых ¿/-рядов. Изв. РАН. Сер. матем. 75:1 (2011), 181-224.

Подписано в печать 15.01.2011 Формат 60x88 1/16. Объем 1.0 п.л. Тираж 100 экз. Заказ № 1072 Отпечатано в ООО «Соцветие красок» 119991 г.Москва, Ленинские горы, д.1 Главное здание МГУ, к. А-102

Введение

Глава 1. Обобщение теорем Гельфонда и Вальдшмидта о целых функциях.

1.1. Основные результаты.

1.2. Вспомогательные утверждения.

1.3. Доказательство теоремы 1.

1.4. Доказательство теоремы 2.

1.5. Доказательство теоремы 3.

Глава 2. Линейная независимость значений (/-рядов.

2.1. Основные результаты.

2.2. Разностные операторы.

2.3. Определение вспомогательных многочленов.

2.4. Оценка

2.5. Факторизация Уп I.

2.6. Факторизация Уп II.

2.7. Лемма о необнулении.

2.8. Аппроксимационная лемма.

2.9. Доказательства основных результатов

В работе рассматриваются две задачи об арифметических свойствах значений некоторых аналитических функций. Первая из них связана с оценкой снизу роста целой трансцендентной функции, которая вместе со своими производными вплоть до (з — 1)-го порядка принимает на заданном множестве значения из фиксированного конечного расширения поля рациональных чисел с определёнными ограничениями на знаменатели и размер значений. Вторая задача связана с исследованием линейной независимости значений одного (достаточно обширного) класса д-рядов. Соответственно, диссертация состоит из двух глав.

В главе 1 рассматривается обобщение теорем Гельфоида и Вальдшмидта, обобщающих теорему Пойа о целозначных целых функциях.

Для целой функции f(z) будем обозначать через |/|д максимум на круге ВЕ = {г е С | ^ Я}, |/|л = твхг€Вл |/(*)|. В 1915 году Пойа [40] доказал следующий результат.

Пусть /(г) — целая трансцендентная функция. Тогда справедливы следующие утверждения.

1. Если ¡(1>0) С Ъ, то оо

2. Если ¡(1) С й, то

Как показывают примеры 2* и ■ — () ), постоянные 2 и ^^ в теореме Пойа нельзя улучшить.

Этот результат уточнялся и обобщался в работах Харди [26] (см. также [32]), Пойа [41], Карлсона [15], Фукасавы [21, 22], Ицуми [27], Сельберга [46], Пизо [37-39], Бака [9, 10], Робинсона [43].

Так, Фукасава рассматривал целые функции с условием /(П) С Z для произвольного множества С Z. Введём обозначения

ПЕ = П П ВЕ, ЩЯ) =

В частности, Фукасава показал, что если множество Г2 С Z>o, то для любой целой трансцендентной функции /(г) с условием /(Г2) С Ъ выполнено

Цтвир1П|П|^>ЦтМ^. (0.1) д^+оо 1п Я Д—>+оо Я

Стоит отметить, что используемые методы нашли приложения и в теории трансцендентных чисел, например в частичном решении знаменитой седьмой проблемы Гильберта о трансцендентности чисел а^ при алгебраических а {0,1} и ¡3 ^ (0> (см. [67]); в частности, Гельфонд [23] доказал трансцендентность числа еж = которое впоследствии получило название постоянной Гельфонда. Более подробную информацию о различных обобщениях и аналогах теоремы Пойа и богатую библиографию можно найти в [42, 45, 58, 59].

В литературе часто встречается более слабая формулировка теоремы Пойа: если /(г) — целая трансцендентная функция с Я: то

Д-»+оо Я

В 1929 году Гельфонд [24] доказал следующее обобщение этой версии теоремы Пойа.

Пусть /(л) — целая трансцендентная функция такая, что для некоторого s € Z>o выполнено /^(Z^o) Q % при a = 0,1,. ,s — 1. Тогда

HmSUpgin Л+е^/Л. r-t+oo К \ J

Для Q С Z и s G Z>o обозначим через 75(П) точную нижнюю грань чисел 7, для которых существует целая трансцендентная функция f(z) такая, что С^при0<(т<5и r lnl/U lim sup —= 7. i?->+00 -К

Так, согласно теореме Пойа, справедливы равенства 7i(Z^o) = In 2, 71 (Z) = ln^.

В этих терминах теорему Гельфонда можно сформулировать в виде

7s(Z>0) > sin (i + е*1"*^) > sln(l + 1/е) = s ■ 0.3132 .

В отличие от теоремы Пойа, оценка в теореме Гельфонда при 5 > 1 не является оптимальной (более того, ни для одного значения 5 > 1 оптимальная оценка сегодня не известна). Результат Гельфонда был слегка улучшен (при больших s) Сельбергом [47] до

7s(Z^o) ^ 8Ъ Ь(1 + у/4/е2 + 1/е4 + 1/е2) = s ■ 0.3165 .

Zi

Важным элементом доказательства Сельберга было многомерное обобщение интеграла Эйлера первого рода, известное сегодня как интеграл Сельберга (см. [20]).

В работе Бундшу-Зудилина [14] эта оценка была ещё немного улучшена до 7s(Z^o) ^ s • 0.3276В этой же работе была также доказана оценка сверху ts(Z) ^ 7ts/3 (которая улучшает тривиальную оценку 7S(Z) < 7rs, как показывает пример функции f(z) = (sin7rz)s).

Доказательства Гельфонда, Сельберга, Бундшу и Зудилина были основаны на технике интерполяционных рядов. Используя методы теории трансцендентных чисел (такие как метод Лорана интерполяционных определителей и построение вспомогательной функции с помощью леммы Зигеля), Вельтер [58] получил значительное улучшение этих оценок при больших я: . г ъ(%>о) (292 - 1) 1п в - (О2 - 1) 1п(02 - 1)

Иш ^ 1зК ^ ' > тах ^->--ь--—^-= 0.7859., (0.2) в->оо в в>1 в , 7.(2) ^ (в2 + 1) 1п(02 + 1) - 092 - 1) Ы(в2 - 1) - 21п(26») пт тг ^ ^ тах--—-----—-—-—-----—- =

5->оо 5 в>1 в 0.9905. (0.3)

Для дальнейшего введём ряд обозначений. Пусть П С причём

Г ■ гВД п

О) := ' > 0,

Д—Я-оо Я в 6 Z>o, а € [0, +оо), К — конечное расширение О, Ъ^ — кольцо целых чисел поля Ж. Положим

- ([К: (ОД, К С К, х = <{ (0.4)

Ц[К:(2] иначе.

Обозначим через 75(Г2; К; а) точную нижнюю грань чисел 7 > 0, для которых существует целая трансцендентная функция /(г) со следующими свойствами.

1. При а е найдутся числа с1а €%к\ {0}, удовлетворяющие условиям: а. йа№{а) е при 0 ^ о < 5, б. И = 0(еа'а1) ( как обычно, через £ обозначается максимум модулей сопряжённых алгебраического числа £), в. если х > 1, то тах

4/(<т)(«) =0(е«Н).

2. /(*) = 0(е^1).

В частности, величина 7Й(П; О; 0) совпадает с введённой выше величиной 75(П). Более того, равенство 76.(Г2;К; 0) = справедливо и в случае; когда К — мнимое квадратичное поле. Действительно, если К = <1])(л/0), то достаточно вместо /(г) рассмотреть функции /(.г) -+- /(г) и

Конечность величины 75(Г2; К; а) следует из очевидного неравенства

7в(П;К;о!) < и сказанного выше. С другой стороны, в 1978 году Вальдшмидт [56] доказал, что для любых (с ш > 0), К и а справедливо неравенство 71(0; К; а) > 0 (и следовательно, также неравенство 75(Г2;К;а) > 0 при любом в ^ 1). В частности, отсюда следует слабая версия теоремы Пойа в форме 71(2^0) > О, а также значительное усиление упомянутого выше результата Фукасавы (0.1).

Более точно, Вальдшмидт показал, что 71(^5 К; а) ^ 70 для некоторой (эффективной) постоянной 70 > 0, зависящей лишь от о;, ж и а. Точное значение 70 в работе вычислено не было (лишь было указано, что в условиях теоремы Пойа получается неравенство 71 ^^о) > 1/283). В 1994 году Вальдшмидт [57] передоказал слабую версию теоремы Пойа (с оценкой 71(2^0) > 1/165) с помощью метода интерполяционных определителей. Используя последний метод (точнее вариант этого метода, приведённый в [58]), в 2007 году автор [64] получил оценки

71^>о;К; а) ^ ехр(—2на — х1п4), 71 (й; К; а) ^ ехр(-ха - х1п\/б/75 - 0.1477).

В [64] предполагалось, что числа <1а из определения величины 75(П; К; а) являются целыми рациональными, однако рассуждения остаются в силе и в общем случае. Кроме того, вместо (0.4) предполагалось, что к = [К : <0>], поскольку в [64] использовалась слабая версия неравенства Лиувилля (см. лемму 1.8 ниже).)

С другой стороны, если х, N € Z>o, то, как показывает пример /(г) = где £ = (1 + ДГ-*)1/", для поля К = <Щ£) и а-= + 1) справедливо неравенство

71 (Ж; К; а) < -- 1п(1 -х

Одним из основных результатов главы 1 является следующая теорема, доказываемая с помощью методов работы [58], в которой содержатся общие оценки для величины К; ее).

Теорема 1. Для любых в, Г2, Ж, се справедливо неравенство 7ДО; К; а) > шах (в + 1 - г)и1+х/г х (s + 1 — r)rou г ,

Более того, lim mi —--^ max —----- = 0.1912 (0.5) s—>оо U)S в>1 в

Замечательно то, что оценка (0.5) не зависит от поля К и се. Более того, эту оценку можно улучшить, применяя чуть более аккуратные рассуждения, аналогичные содержащимся в работе [58]. В частности, можно показать, что оценка (0.2) останется в силе, если величину 7s(Z^o) заменить на 76.(Г2;К; а) с произвольными Г2 С Z^o с ш = 1, Ж и а. Аналогичное замечание справедливо и для оценки (0.3).

Для величины js(0) при фиксированном «ишч 4-0 теорема 1 даёт оценку 7S (Г2) Небольшому уточнению этой оценки посвящена теорема 2 главы 1, которая доказывается с помощью методов работ [57, 58].

Теорема 2. При произвольном s и со ^ 0.01 справедливо неравенство

7в(П) ^ 0.01sw(ln(l/o;))1.

Последний основной результат главы 1 посвящён оценкам сверху для величины 7S(П; Q; а), обобщающим упомянутый выше результат Бундшу-Зуди-лина.

Теорема 3. Пусть множество Г2 С Ъ таково, что существует предел lim —=üj>0. r—юо R

Тогда для любых s Е Z>o и а ^ 0 справедливо неравенство ujs In 4 — а, а ^ us In 2, e cos In (l — , а. ^ ujs In 2. Более того, если существуют равные пределы lim —=£j/2, где обозначено Г2+ = О, П Z>0; О- =ПП Z<o, то при любых s Е Z>o и а ^ О имеем

7s(Q; Q; а) ^ ojs aresin /2) .

Глава 2 посвящена доказательству линейной независимости значений функций определённого вида.

Один из основных результатов главы относится к функции вида оо п аб) где Р(у) — непостоянный многочлен, а число q Е С, \q\ > 1, таково, что P(qn) ^ 0 при пЕ Z>0.

Первыми работами об арифметической природе значений функций такого вида являются работы Бернштайна-Саса [4] и Саса [50], в которых доказывается иррациональность значений функции ©q(z) = (Гп2zU Для q, z Е Q* = Q \ {0} при определённых ограничениях на q (а именно: если 9

Q — Qi/Q2, где qi, q2 € Z \ {0}, (q1} q2) = 1, то отношение ln \q2\¡ ln ¡q^ должно быть достаточно мало).

Обобщая метод работы [50], Чакалов [51, 52] доказал для функции соответствующей многочлену Р(у) = у, линейную независимость над (¡5 чисел 1,Тд(а{),. ,Тя(ат) при определённых ограничениях на д 6 где аз е удовлетворяют условиям о^а^1 ^ = ^71 | п е Z} при 1 ^ у, к ^ т, 3 ^ к. Функция Тд(г) сегодня известна как функция (или ряд) Чакалова. Впоследствии Сколем [48] доказал аналогичное утверждение, содержащее также производные функции Тч{г).

Количественные версии результатов Чакалова и Сколсма (с оценками снизу для линейных форм от рассматриваемых чисел) были получены в работах Бундшу-Шиокавы [12] и Катсурады [28] соответственно; р-адический аналог последнего результата был доказан Ваананеном и Валлисссром [54].

Обобщение результата Бундшу-Шиокавы для функции (0.6) было получено Штилем [49], который доказал в количественной форме линейную независимость над мнимым квадратичным полем К чисел при определённых ограничениях на д 6 К, где числа aj € К* удовлетворяют тем же условиям, что и выше, а многочлен Р(у) £ К [у] раскладывается на линейные множители над К, причём Р(0) = 0.

Поскольку функция удовлетворяет д-разностному уравнению порядка с^ Р(у), этот результат является в некотором смысле наилучшим возможным с качественной точки зрения. оо п=0

1, f(ajqk) deg Р(у))

P(J)(f(z)) = P(l) + zf(z), Jf(z) := f(qz),

Катсурада [29] при тех же ограничениях, что у Штиля, доказал аналогичное утверждение, содержащее производные функции f(z). Обобщение последнего результата для произвольного конечного расширения поля (Q) было получено в [44] (для функции Чакалова соответствующее обобщение было доказано чуть ранее в [30]); кроме того, в [44] был также рассмотрен р-адический случай.

Сформулируем результат [44]. Для этого введём ряд обозначений, которые потребуются и в дальнейшем.

Пусть К — конечное расширение Q степени к = [К : Q], Л4& ~ множество всех нетривиальных нормирований поля К. Для t) 6 нормируем абсолютное значение | • следующим образом: p\v=p~1, если г>|р, x\v = |ж| при х Е Q, если г>|оо, где |а;| означает модуль числа х. Тогда для любого а Е К* имеет место формула произведения v где >cv = [К.„ : Qv] — соответствующие локальные степени.

Для а Е К будем обозначать через Н(а) абсолютную (мультипликативную) высоту числа а,

Н(а) = Птах{Н£"/х,1}. v

Отметим равенство H(c¿) = M(a)1//degQ, где М(а) — мера Малера числа а. В частности, если а = a/b Е Q, где a,b Е Z, (а, Ь) = 1, то Н(а) = max{|a|, \Ь\}.

Если а G К*, то при любом v Е ЛЛк справедливо фундаментальное неравенство

Н(а)~1 < < #(<*). И

Далее, для произвольного вектора а — (ао,., ап) Е К1+п будем обозначать max{|ao|u,., |a„[w} (v е Мк),

Н(а) = J] I I |ог|£"/х в частности, Н(( 1, а)) = Н(а)).

Пусть q е К и w 6 Л4к таковы, что |g|w > 1. Положим

А = (0.7)

In

Заметим, что Л ^ 1, причём А = 1 тогда и только тогда, когда для всех v € Мк \ выполняется неравенство \q\v ^ 1.

Теперь результат [44] можно сформулировать следующим образом. Пусть 0 ^ N ^ п < d — целые числа, fix,., Ду е 1,., Ъп Е

К \ qz>0. Определим функцию f(z) (для z € CW) где Cw — пополнение алгебраического замыкания K^J с помощью (0.6) для

Р(у) = yd~n(y - <ГА) ■■■{у- q'Plf)(y - bn+i) ■ • ■ (у - м

Пусть D,U е Z>o; ai,., old £ причём aja^1 £ qz при 1 ^ j, k < D, j ф k. Положим

M = (n + n2DU -N -df + 4(d - n)( 1 + dDU)(n2DU - N)+ Ad2D2U2{d — n)2,

M = ((1 + 2 dDU)(d ~n) + n2DU -N+ Vm^ .

Допустим, что для величины (0.7) выполнено неравенство М

А <

М- 1

Тогда числа 1,/^(о;^) е Кш (0 ^ р < с1, 1 ^ t ^ О, 0 ^ и < и) линейно независимы над К. Более того, для любого е > 0 существует постоянная Но — Но(и1, д, а, с?, И, [7, /, е) > О такая, что для любого вектора V — (А, е к1+£ШС/ \ {0} выполнено неравенство ¿-г о и-1

Л + > шах{1, |ПЛ,

Р=о ¿=1 и=0 ™ где Н = т&х{Н(У), Н0}, е= нМ (М — 1)Л)'

В случае, когда для многочлена -Р(у) в (0.6) выполнено Р(0) Ф 0, первый результат был получен Лотоцким [33], который рассматривал функцию

ОО п последнее равенство следует из уравнения Ед(дг) = (1 + г)Ея(г)), известную как д-экспоненциальная функция. Лотоцкий доказал, что если К — мнимое квадратичное поле, д Е |д| > 1, а € К*, а ф — д2>0, то Еч{а) ф К. (В работе [33] предполагалось, что К = <0>(1), д > 1, однако рассуждения легко переносятся на общий случай; см. [67, § 3.3].) Количественная версия этого результата была получена Бундшу [11].

В 1988 году Безиван [5] предложил новый метод для доказательства линейной независимости значений функций из довольно широкого класса (содержащего функции вида (0.6)). Пусть Ах,., Ад е А* (где А — поле алгебраических чисел), 01,., 0д € ^а \ {0}, К — мнимое квадратичное поле. Определим последовательность

А(п) = А!0? + . + АН01 (0.8)

Предположим, что выполнены следующие условия:

1. А(п) <E К* при n e z>0.

2. \6i\ > \62\ > . > \6h\ > 1, причём если \dh\ = 1, то \6h^\ > 1 = 6h. Рассмотрим целую функцию z™

П=0Ш= гЛ(кУ

Обозначим через G мультипликативную группу, порождённую числами 6j. Безиван доказал линейную независимость чисел если числа aj G Ж* удовлетворяют условиям: i) aja^1 ф G при 1 < j, к < m, j ^ к, ii) если 0h = 1, то A/^aJ1 ^ G при 1 ^ j ^ m.

Более общо, пусть L D Q — конечное нормальное расширение, KCL. Для элемента а группы Галуа Gal(L/Q) определим функцию zn ф*(г)=5ттиш-

Поскольку при п G Z>o выполнено А(п) е К, то имеем \А(п)а\ = \А(п)|, откуда следует, что все функции $a(z) являются целыми. Безиван показал, что если числа aj G L* удовлетворяют приведённым выше условиям, то для любого К 6 Z>o и любого вектора {А, BjG \ {0} по меньшей мере одно из выражений тп К-1 Е Е Ю е Gal(L/Q)) j=\ k=o отлично от нуля.

Также в работе [5] был приведён пример применения метода в р-адическом случае. Результаты Безивана были обобщены в работах Андре [3] (для функций Tq(z) и Eq(z)) и Амоу-Ваананена [2] (в общем случае).

В 1990 году Безиван [6] в случае L = К видоизменил свой метод, распространив его на случай более общих, чем в (0.8), линейных рекуррентных последовательностей

А(п) = pi(n)eT{ + . +ph(n)dl Pj(x) G АДО \ {0}.

В работах [17, 18] Дюверне удалось показать, что при g е Z \ {0, ±1} числа оо оо

ТАq) = £ q-n\ Tq( 1) = £ n=0 n=0 не являются квадратичными иррациональностями. В 1998 году Безиван [7] предложил новый вариант своего метода; в частности, ему удалось доказать неквадратичность значений функций Чакалова Tq(a) при q G Z \ {0, ±1} (и даже при q G Q с определёнными ограничениями) и a G Q*. В 2001 году Шуле [16], используя аналитические соображения, распространил новый метод Безивана на случай g-экспоненциальной функции. Ему не удалось доказать для Eq{z) аналогичный результат о неквадратичности значений, однако он значительно ослабил условия на g G Q в предыдущих утверждениях об иррациональности значений функций Tq(z) и Eq(z) и в результате Безивана о неквадратичности. В 2009 году в совместной работе автора [31] был предложен элементарный аналог метода Шуле, близкий по духу к работе [7], однако содержащий дополнительные соображения, отсутствующие у Безивана и Шуле; в частности, результат Безивана о неквадратичности был распространён на функцию (0.6) с произвольным многочленом Р(у) G Q[y] первой степени, в том числе на Eq(z).

Стоит отметить, что все приведённые результаты, полученные с использованием того или иного варианта метода Безивана, являются качественными; получить количественный вариант метода долгое время не удавалось. Множество работ различных авторов посвящено доказательству количественных результатов в разных частных случаях с помощью совершенно других методов; помимо указанных выше работ стоит упомянуть [53, 55].

В работе [65] было предложено количественное обобщение варианта метода Безивана из совместной статьи [31], с помощью которого удалось также уточнить ряд известных результатов. Изложению результатов [65] посвящена глава 2 диссертации.

Мы сохраняем обозначения, введённые выше для формулировки результата Санкилампи-Ваананена [44].

Пусть многочлены Р(х,у) € и Е К[ж] удовлетворяют условиям (1 := degyP ^ 1 и Р(п:дп)С2(п) ф 0 при п = 1, 2, 3,. . Рассмотрим функцию

00 Xй г) = 5 Пм'Ч*. «*)/<?(*)' гбС"" где Сш — пополнение алгебраического замыкания К№.

Функция является целой. Действительно, в обозначении л

Р(х}у) = ^РЛх)у1/ (0-9) г/=0 при всех достаточно больших п Е Z>o выполнено

Ып)\ш > Н(Р(1(п))~^ ^ п~с с некоторой постоянной с; следовательно, при больших п имеем откуда получаем требуемое. Введём обозначение г{а,Ь) = 7Г2^[атг + г>]-2 (0.10) О в частности, если а,Ъ £ Ж>0, то Z(a,b) = (атг) 2С(2,6/а), где С(й!а) = £п>0(н + — дзета-функция Гурвица).

Теорема 4. Допустим, что многочлены Р(х:у) = Р{у) и <2(ж) = 1 не зависят от х. Пусть числа а\,., ат 6 К* удовлетворяют следующим двум условиям:

1) а^-а^1 ф при 1 ^ j,k ^т, j ^ к, (и) щ £ Р{0)дж>° при 1 ^ 2 < т. Пусть вх,., £ 2>о. Положим

ТП

3 = 1 а = если Р^) = иД р е К*; иначе,

0 = , з(5Т!)' Р(°) ^ О,

Далее, если Р( 1) ф 07 то обозначим а [¿"эет-^4'1) прит = 2, 31 = 32 = 2,

I г(т + 2, в + 1) + г{т + 2, в + 2) иначе; если же ¿1 огс1у=1 > 0, то положим

Ц - да при 51 = 1, т = 1, = 2,

7 = <

I + 1/<51, в + 1) иначе.

Z(a,b) определено в (0.10).^ Тогда если выполнено

2с1/3 + а

А ^ Л0 <

2(1/3 — 7' 17 где а определено в (0.7), то числа

1, з ^ т, 0 < к < 0 < а < линейно независимы над К. Более того, для любого е > 0 существует (эффективная) постоянная Но — Но(Р, д, Ло, гп, оSj, е) > 0 такая, что для любого вектора Т] = £ К1+сгв \ {0} выполнено

ТП (1—1 —1 + е е е > и» ехр (-(со + е)(1пя)3/2) ,

•=1 к=0 а=0 ™ где Н — тах{я(^), Щ}, л3/2 {2(1/2, + ос+(<12- 1)(2б*/3 - 7)л) 1п \д\ги

С0 =

2d/3 + а - (2d/3 - 7)А) ln#(g))3/2 Для g-экспоненциальной функции Eq(z) получаем следующее следствие, уточняющее соответствующие результаты работы [31]. следствие 2.1. Пусть q — р/а £ q, где р,а ez \ {0}, (р, а) = 1, |р| > |<т|, а £ q*, а ф —gz>0. Обозначим 7 = 1п|<т|/1п |р|. Тогда если 7 < 7/12, то число Eq(a) иррационально. Более того, для любого £ > 0 существует положительная постоянная So = So(q,a,e) такая, что для любого рационального числа r/s (где г £ Z, s £ Z>o) справедливо неравенство

Eq(a) - r/s\ ^ exp (-(Ci + е)(1п, где S — max{s, So}; с 24\/3 (1 — 7)

7-127)3/2(1п|р|)1/2-Кроме того, если 7 < 1/6, то Еч(а) не является квадратичной иррациональностью и для любого £ > 0 существует полоэ/сительная постоянная Б0 = Ьо(д,а,е:) такая, что для любого многочлена А(г) £ Z[z] второй степени справедливо неравенство

А(Ед(а))\ > ехр (-(с2 + е)(ЫЬ)3^ , где Ь = тах{Ь(А), Ьо}, Ь(А) — длина многочлена А (сумма модулей коэффициентов),

6л/б(1-7)

О2 =

1 — 6-у)3/2(1п|^|)1/2'

В качестве ещё одного следствия теоремы 4 для Е(] (г) получаем следующий результат для так называемого ^-логарифма (см. [35]) ь{,)=(о.п) Следствие 2.2. Допустим, что

А^Ло< 1/,32°7]"2,1 = 1.6525.,

1471-2 + 41 где Л определено в (0.7). Тогда при любом а е К*; о; ^ имеем Ьд(а) £ К. Более того, для любого е > 0 существует положительная постоянная Яо = Яо(д, Ло, ск, е:) такая, что для любого числа в Е К справедливо неравенство

Ьч{а) - 01«, ^ ехр (-(Со + е)(1пЯ)3/2) , гдеЯ = тах{Я(0),Яо}; с 1807г3А3/2 1п \q\yj ((ЗОтт2- (14тг2 + 41)Л)1пЯ(д))3/2'

Следствие 2.2 качественно усиливает теорему 3 работы [35], где соответствующий результат доказан при условии А < 1.3394. (в [35] оно не сформулировано явно; это область определения функции т{—А) работы [35]) и дополнительном требовании, чтобы ф 1 при всех г>|оо. Однако в количественном аспекте следствие 2.2 слабее, чем [35, теорема 3], где оценка для |Ья(а) — 0\ш степенная по Я; см. также [36], где получены лучшие количественные результаты при

Следствие 2.2 даёт следующий результат для определённых рядов с линейными рекуррентными последовательностями.

Следствие 2.3. Пусть г, 5 € Ъ \ {0} таковы, что И := г2 + 45 > 0. Пусть последовательность ип является решением рекуррентного соотношения ип+2 = гип+1 + зип с начальными условиями щ = 0; щ = и е О (\[Т)) *. Положим г2,5), если \/Т5 £ Ъ, г| + \/£)2/4,в), если ^ВеЪ, здесь (а,6) — наибольший общий делитель чисел а,Ь € Если для г' := |г|/\/5; в' \= з/<1 выполнено неравенство

1 5-тг2 г' > |8'|" - в'/!*?, где а := ^ ^ = 1.2662. d = то при любых к G Z>0, b G Q(y/D)*, |Ь| < ((\r\ + VD)/2) , к имеем б" п=1 ^ .

Более того, для любого е > 0 существуют положительные постоянные Со = Со(г, й) и #о = #о(г, и, 6, е) такие, что для любого числа 9 Е (^^л/!)) справедливо неравенство 00 Ьп

-в > ехр (-(Со^+^апя)3/2), п=1 Ukn где Н = max{ii(0), Но}.

В работе [35] соответствующий качественный результат доказан при условии, что

И > Ы"1-s/кГ, где ai:=-Д= = 1.9730., (0.12)

11,1 п 1 А 3 - V5 + 12/тг2 V У и 6 = 1 (см. [35, доказательство теоремы 5]). Требование (0.12) было ослаблено в [34], где постоянная а\ была заменена на

7Г2 а2 := —-- = 1.4367---

7tz — ö

20

В формулировке теоремы 5 используется представление (0.9). При этом мы будем предполагать, что тах{с^а; Р(х, у), с^ С^(х)} > 0. Введём предварительно обозначения h = deg Q(x),

0.13) gi = max <

I l<i/<d

1 V

0.14)

0.15)

I 0, если po(x) = 0, = <

I 1, если po(x) ф 0,

0.16) d

D = d + max{h, degpo(^)} + ^ degpu(x)

0.17) степень нулевого многочлена считаем равной 0).

Теорема 5. Допустим, что А = 1; где А определено в (0.7), и многочлены Р(х,у) и Q(x) удовлетворяют (по крайней мере) одному из следующих двух условий: а) Pd{x) не зависит от х, б) Q(x) и ро(х) не зависят от х.

Пусть m G Z>o, do G Z^d и числа ai,., am G К* и Sj^ G Z>o (1 ^ j ^ m, 0 ^ k < do) удовлетворяют следующим условиям: i) aja^1 g qz при 1 < j, k < m, j ф k, ii) при l^j^mud^kK do выполнено неравенство Sj^ ^ degpd(x), iii) если degpo(x) = degQ(a:); то aj ф (a/b)qz>0 при 1 ^ j ^ m, где a и b — старшие коэффициенты многочленов po(x) и Q(x) соответственно.

Тогда числа

1, f{a\otjqk) (1 < j < m, 0 ^ к < d0, О ^ а < s,-*) линейно независимы над К. Более того, если обозначить если Pd{x) не зависит от х, если Ро{х) и Q(x) не зависят от х, иначе,

2аШ3 ln\q\w

Сп =

3((С1 + С2)1ПЯ(9))2 величины д\, д2, £о «53 определены выше в (0.13)—(0.17)), то для любого г > О существует (эффективная) постоянная Но — Н0(Р, q, т, с/о, > 0 такая, что для любого вектора т/ = (щ, £ \ {0} выполнено

ТП £¡0 — 1 + £ е е > и» ехР (-(Со + е)(1п Я)2) ,

3=1 к=О о-=0 w где Я = тах{//(г/), Я0}.

Теорема 5 позволяет дать полное описание всех линейных соотношений (над полем К.) между значениями функции ф(г) и её производных в точках поля К (в случае, когда Р(х,у), С}{х) и q удовлетворяют условиям теоремы).

Действительно, функция /(г) удовлетворяет уравнению

Р = Р(°'(°18) напомним, что Jf(z) := /^г)), из которого следует, что при любых а £ К* иО degpd(x) значение /^(а) линейно (над К) выражается через 1, /^(а)

22

О < а < с^Рй{х)) и /^(д^ск) (1 < V ^ д, а ^ 0). Следовательно, каковы бы ни были числа ., Д € К*, б е Z>o, найдутся числа с^- и для которых выполнены условия теоремы 5, что /^(/3^) (1 ^ 3 ^ 0 ^ а ^ б) линейно выражаются через 1, (1 ^ ] ^ т, 0 ^ к < (¿о, 0 ^ а < Sj¡k). Тогда соотношение

I б

1 <7=0 можно переписать в виде т £¿0—1

ЕЕ =

7=1 А;=0 где являются определёнными линейными комбинациями 770, Поэтому из теоремы 5 следует, что коэффициенты щ, гдолжны удовлетворять системе линейных уравнений щ = ту^о- — 0- Другими словами, все нетривиальные линейные соотношения между значениями функции /(г) и её производных в точках поля К являются следствиями уравнения (0.18). В частности, для функции г71 п\ п{п+1)/2' п=0 4 введённой в [25], получаем следующий результат.

Следствие 2.4. Пусть д — целое число мнимого квадратичного поля |д| > 1, во е и числа ах,., ат £ К* удовлетворяют условию ф при 1 ^ j,k ^ т, j ф к.

Тогда числа

1, Ща\оц) (0.19) линейно независимы над К. Более того, для любого £ > 0 существует постоянная Щ = Но(д,т,щ,зо,£) > 0 такая, что для любого вектора

V = £ \ {6} выполнено т 5о—1 + > ехР (-(О, + е)(ЬЯ)2) ,

1 <т=0 где Я - - тах{Я(т/), Яо};

75 т

Со =

81п |д|

Из теоремы 5 следует линейная независимость большего, чем в (0.19), множества чисел: при любом ¿о Е к набору (0.19) можно добавить числа

Нд(сх#к) (1 < з ^ т, к <

Однако случай с1о > 1 легко сводится к ¿¿о — 1 с помощью функционального уравнения дЩ(дг) = Нд(г) достаточно применить следствие 2.4 к числам ajqdo~1).

Хаас [25] доказал чуть более сильный, чем в следствии 2.4, количественный результат в случае К = <0>, однако при некоторых дополнительных ограничениях арифметического характера на числа аКачественная часть следствия 2.4 была также доказана в работе [1] для К = (О) при условии ф и Ф к).

Далее, рассмотрим целую функцию г Е С«,.

Используя свой общий результат 1988 года [5], Безиван [8] доказал утверждение о линейной независимости над О значений функции и её производных при € > 1. Количественные обобщения (для произвольного поля К) результата Безивана были получены в [13] и — другим методом — в [65]. В [65] было доказано следующее утверждение.

Теорема 6. Пусть а,1,.,ат € К — различные числа, удовлетворяющие следующим двум условиям:

1) aj ф ±2 при 1 ^ у ^ ш, и) Чп{а^п - ак){акцп - а,-) ф - I)2 при 1 ^ з, к < т и п е £ \ {0}. Пусть 51, . . . , вт € Положим

5 =

7=1 а =

45 + 1 24в2 '

551 289 7

2400 ЭООтг2 4з+3

- 1) при гп = 1; 5] = 2, г {2т + 2,+ 1) + z{2m + 2,2в + 2) ипа-че, где Z(a,b) определено в (0.10). Тогда если выполнено

2/3 + а

А < А0 <

2/3-7' где А определено в (0.7)7 то числа линейно независимы над К. Более того, для любого е > 0 существует (эффективная) постоянная До = Ао, т, а^, 5^-, е) > 0 такая, что для любого вектора г] = (г)о, 6 \ {0} выполнено т

3=1 сг=0 ехр (-(Со + £)(1пЯ)3/2), где Н = т&х{Н(г]),Но},

Со

2/3 + а)А3/21п |д|ш

2/3 + а-(2/3-7)А) 1п #(<?)) 25

3/2'

Результат работы [13] лучше в количественном отношении (со степенной оценкой по Я для линейной формы), однако доказан при более сильных ограничениях на д (с меньшей границей сверху для величины Л). Заметим, что Безиван и Бундшу и Ваананен вместо функции рассматривали функцию Ня(г)/Нд(0), поэтому в их работах на числа накладывается дополнительное ограничение % Ф 0; более точно, в работе Бундшу-Ваананена предполагается (в наших обозначениях), что одно из чисел равно нулю, скажем, а\ — 0, но при этом 81 = 1.

Наконец, рассмотрим мероморфную функцию Я п

Из теоремы 6 получаем следующий результат.

Следствие 2.5. Допустим, что выполнено неравенство

5475-7г2

Л ^ Л° < 3147^ + 23!2 + 7200^(4,1) = 13144 " ' ^ где А определено в (0.7). Тогда для любого а £ К такого, что при п 6 2 выполнено

Чпа2ф (<зп+ 1)2, имеем Бч{а) ф К. Более того, для любого е > 0 существует положительная постоянная Яо — -ЙГо(<75 Ао, а, е) такая, что для любого числа в 6 К справедливо неравенство

- 01«, ^ ехр (-(Со + £)(1пЯ)3/2) , где Н = тах{#(0), Яо}, Со

1314(50тг2Л)3/2 1п

5475тг2 - (3147тг2 + 2312 + 7200тг2£(4, 1))Л) 1пЯ(д))

3/2'

Заметим, что функция выражается через д-логарифм (0.11): 1/*)) = -^(ЗД " £*(!/*)), поэтому если д удовлетворяет условию (0.20), то при любом а € К* таком, что а2 ^ имеем

Ьв(а) - £ К.

Стоит отметить, что из результатов Нестеренко [62] следует трансцендентность чисел 5д(0), 2) при алгебраическом д с |д| > 1 (см. [19]).

Автор выражает благодарность своим научным руководителям к. ф.-м. н., доц. В. В. Зудилину ид. ф.-м. н., проф. Н. Г. Мощевитину за постановки задач и помощь в подготовке диссертации, а также коллективу кафедры теории чисел во главе с чл.-корр. РАН, проф. Ю. В. Нестеренко за создание творческой атмосферы.

1. M. Amou, M. Katsurada, 1.rationality results for values of generalized Tschakaloff series II, J. Number Theory 104:1 (2004), 132-155.

2. M. Amou, K. VÄÄnanen, Linear independence of the values of q-hypergeometric series and related functions, Ramanujan J. 9:3 (2005), 317-339.

3. Y. André, Séries Gevrey de type arithmétique, II. Transcendance sans transcendance, Ann. of Math. (2) 151:2 (2000), 741-756.

4. F. Bernstein, O. Szâsz, Über Irrationalität unendlicher Kettenbrüche mit einer Anwendung auf die Reihe qu2xv, Math. Ann. 76:2-3 (1915), 295-300.

5. J.-P. BÉZIVIN, Indépendance linéaire des valeurs des solutions transcendantes de certaines équations fonctionnelles, Manuscripta Math. 61:1 (1988), 103-129.

6. J.-P. BÉZIVIN, Indépendance linéaire des valeurs des solutions transcendantes de certaines équations fonctionnelles II, Acta Arith. 55:3 (1990), 233-240.

7. J.-P. BÉZIVIN, Sur les propriétés arithmétiques d'une fonction entière, Math. Nachr. 190:1 (1998), 31-42.

8. J.-P. BÉZIVIN, Irrationalité de certaines sommes de séries, Manuscripta Math. 126:1 (2008), 41-47.

9. R. C. BUCK, A class of entire functions, Duke Math. J. 13:4 (1946), 541559.

10. R. C. Buck, Integral valued entire functions, Duke Math. J. 15:4 (1948), 879-891.

11. P. Bundschuh, Arithmetische Untersuchungen unendlicher Produkte, Invent. Math. 6:4 (1969), 275-295.

12. P. bundschuh, I. Shiokawa, A measure for the linear independence of certain numbers, Results Math. 7:2 (1984), 130-144.

13. P. Bundschuh, K. Vaanänen, Quantitative linear independence of an infinite product and its derivatives, Manuscripta Math. 129:4 (2009), 423-436.

14. P. Bundschuh, W. Zudilin, On theorems of Gelfond and Sclberg concerning integral-valued entire functions, J. Approx. Theory 130:2 (2004), 162-176.

15. F. Carlson, Über ganzwertige Funktionen, Math. Z. 11:1-2 (1921), 1-23.

16. R. Choulet, Des résultats d'irrationalité pour deux fonctions particulières, Collect. Math. 52:1 (2001), 1-20.

17. D. Duverney, Propriétés arithmétiques d'une série liée aux fonctions thêta, Acta Arith. 64:2 (1993), 175 -188.

18. D. Duverney, Sommes de deux carrés et irrationalité de valeurs de fonctions thêta, C. R. Acad. Sei. Paris Sér. I Math. 320:9 (1995), 10411044.

19. D. Duverney, Ke. Nishioka, Ku. Nishioka, I. Shiokawa, Transcendence of Rogers-Ramanujan continued fraction and reciprocal sums of Fibonacci numbers, Proc. Japan Acad. Ser. A Math. Sei. 73:7 (1997), 140-142.

20. P.J. Forrester, S.O. Warnaar, The importance of the Selberg integral, Bull. Amer. Math. Soc. (N. S.) 45:4 (2008), 489-534.

21. S. Fukasawa, Über ganzwertige ganze Funktionen, Tôhoku Math. J. 27 (1926), 41-52.

22. S. Fukasawa, Über ganzwertige ganze Funktionen, Tôhoku Math. J. 29 (1928), 131-144.

23. A. O. Gelfond, Sur les nombres transcendants, C. R. Acad. Sei. Paris 189 (1929), 1224-1228.

24. A. O. Gelfond, Sur un théorème de M. G. Pölya, Atti Accad. Naz. Lincei 10 (1929), 569-574.

25. M. HAAS, Uber die lineare Unabhängigkeit von Werten einer speziellen Reihe, Arch. Math. (Basel) 56:2 (1991), 148-162.

26. G.H. Hardy, On a theorem of Mr G. Pölya, Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 19 (1917), 60-63.

27. Sh. Izumi, Über die ganzwertige ganze Funktion, Jpn. J. Math. 5 (1928), 5-22.

28. M. Katsurada, Linear independence measures for certain numbers, Results Math. 14:3-4 (1988), 318-329.

29. M. Katsurada, Linear independence measures for values of Heine series, Math. Ann. 284:3 (1989), 449-460.

30. L. Koivula, O. Sankilampi, K. Väänänen, A linear independence measure for the values of Tschakaloff function and an application, JP J. Algebra Number Theory Appl. 6:1 (2006), 85-101.

31. Ch. Krattenthaler, I. Rochev, K. Väänänen, W. Zudilin, On the non-quadraticity of values of the ¿/-exponential function and related g-series, Acta Arith. 136:3 (2009), 243-269.

32. E. Landau, Note on Mr Hardy's extension of a theorem of Mr Pölya, Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 20 (1920), 14-15.

33. A. V. LOTOTSKY, Sur l'irrationnalité d'un produit infini, Ree. Math. Mat. Sbornik] N.S. 12(54):2 (1943), 262-272.

34. T. matala-aho, M. Prévost, Irrationality measures for the series of reciprocals from recurrence sequences, J. Number Theory 96:2 (2002), 275-292.

35. T. MATALA-AHO, K. Väänänen, Oll approximation measures of q-logarithms, Bull. Austral. Math. Soc. 58:1 (1998), 15-31.

36. T. Matala-aho, K. Väänänen, W. Zudilin, New irrationality measures for ç-logarithms, Math. Comp. 75 (2006), 879-889.

37. Ch. Pisot, Uber ganzwertige ganze Funktionen, Jahresber. Deutsch. Math.-Verein. 52 (1942), 95-102.

38. Ch. Pisot, Sur les fonctions arithmétiques analytiques à croissance exponentielle, C. R. Acad. Sei. Paris 222 (1946), 988-990.

39. Ch. Pisot, Sur les fonctions analytiques arithmétiques et presque arithmétiques, C. R. Acad. Sei. Paris 222 (1946), 1027-1028.

40. G. pölya, Uber ganzwertige ganze Funktionen, Rend. Cire. Mat. Palermo 40:1 (1915), 1-16.

41. G. Pölya, Uber ganze ganzwertige Funktionen, Nachr. Ges. Wiss. Göttingen Math.-Phys. Kl. (1920), 1-10.

42. T. Rivoal, M. Welter, Sur les fonctions arithmétiques non entières, Israel J. Math. 169:1 (2009), 155-179.

43. R. M. Robinson, Integer-valued entire functions, Trans. Amer. Math. Soc. 153 (1971), 451-468.

44. O. Sankilampi, K. VaÄNÄNEN, On the values of Heine series at algebraic points, Results Math. 50:1-2 (2007), 141-153.

45. D. Sato, Utterly integer valued entire functions (I), Pacific J. Math. 118:2 (1985), 523-530.

46. A. Selberg, Uber ganzwertige ganze transzendente Funktionen. I, II, Arch. Math. Naturvid. 44 (1941), 45-52, 171-181.

47. A. Selberg, Über einen Satz von A. Gelfond, Arch. Math. Naturvid. 44 (1941), 159-170.

48. Th. SkoleM, Some theorems on irrationality and linear independence, Den lite Skandinaviske Matematikerkongress, Trondheim (1949), 77-98.

49. Th. Stihl, Arithmetische Eigenschaften spezieller Heinescher Reihen, Math. Ann. 268:1 (1984), 21-41.

50. O. SZÄSZ, Uber Irrationalität gewisser unendlicher Reihen, Math. Ann. 76:4 (1915), 485-489.

51. L. tschakaloff, Arithmetische Eigenschaften der unendlichen ReiheESLo^0"^' Math■ Ann■ 80:1 (1919)> 62~74

52. L. Tschakaloff, Arithmetische Eigenschaften der unendlichen Reihe E^Lo^-^- (2- Abhandlung), Math. Ann. 84:1-2 (1921), 100-114.

53. К. VÄÄNÄNEN, On linear independence of the values of generalized Heine series, Math. Ann. 325:1 (2003), 123-136.

54. K. väänänen, R. Wallisser, Zu einem Satz von Skolem über lineare Unabhängigkeit von Werten gewisser Thetareihen, Manuscripta Math. 65:2 (1989), 199-212.

55. K. VÄÄNÄNEN, W. ZUDILIN, Baker-type estimates for linear forms in the values of ç-series, Canad. Math. Bull. 48:1 (2005), 147-160.

56. M. WALDSCHMIDT, Pölya's theorem by Schneider's method. Acta Math. Acad. Sei. Hungar. 31:1-2 (1978), 21-25.

57. M. WALDSCHMIDT, Extrapolation et alternants, Groupe d'études sur les problèmes diophantiens 1992-1993, Publ. Math. Univ. Pierre Marie Curie 108 (1994), №11.

58. M. Welter, Sur un théorème de Gel'fond-Selberg et une conjecture de Bunclschuh-Shiokawa, Acta Arith. 116:4 (2005), 363-385.

59. JI. ВИБЕРБАХ, Аналитическое продолжение, Наука, M., 1967.

60. M. БОХЕР, Введение в высшую алгебру, ГТТИ, М.-Л., 1933.

61. М. Вальдшмидт, Ю. В. Нестеренко, О приближении алгебраическими числами значений экспоненциальной функции и логарифма, Диофан-товы приближения, сборник, посвящённый памяти проф. Н. И. Фельдмана, Матсм. записки 2 (1996), 23-42.

62. Ю. В. НЕСТЕРЕНКО, Модулярные функции и вопросы трансцендентности, Матем. сб. 187:9 (1996), 65-96.

63. Г. ПОЛНА, Г. СЕГЁ, Задачи и теоремы из анализа, ч. I—II, 3-е изд., Наука, М., 1978.

64. И. П. РОЧЕВ, Об одном обобщении теоремы Полиа, Матем. заметки 81:2 (2007), 280-293.

65. И. П. Рочев, О линейной независимости значений некоторых д-рядов, Изв. РАН. Сер. матем. 75:1 (2011), 181-224.

66. Р. стенли, Перечислительная комбинаторика, Мир, М., 1990.

67. Н. И. фельдман, Седьмая проблема Гильберта, изд-во МГУ, М., 1982.

68. Г. Г. Харди, Д. Е. Литтльвуд, Г. Полиа, Неравенства, ИЛ, М., 1948.

69. А. Б. ШИДЛОВСКИЙ, Трансцендентные числа, Наука, М., 1987.