Об асимптотических свойствах последовательностей статистических экспериментов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

>

I I) 0

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ имени В.А. СТЕКЛОВА

На правах рукописи

АФАНАСЬЕВ АНДРЕЙ АНАТОЛЬЕВИЧ

ОБ АСИМПТОТИЧЕСКИХ СВОЙСТВАХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ СТАТИСТИЧЕСКИХ ЭКСПЕРИМЕНТОВ

(01.01.05 - теория вероятностен и матемаотчесхая статнстига)

Автореферат диссертации на соискание ученой степени агакрвдата фгонко-матзмапчесзгазс наух

МОСКВА 1992

Работа выполнена в ¿Математическом институте имени ВА Стеклова Российской Академии Наук

Научный руководитель; доктор фазико-матсматичеосхсс ааук, профессор АЛ. Ширяев

Официальные одпонентьс доктор ¿изшсо'математнчесхпз; наук Кабанов Ю-М К2НДЯД2Т фпзпко-матемзтичесюп заух Бузалъсюш. АА

Ведущая организация; 4 ^кханико-матеттическиЗ факультет МГУ

(кафедра теории зероятзостеЩ

. &

- Защита диссертации состоится 10 июня 1933 г. в^Й; часов на заседании специализированного ученого совета Д 0C2.SS.03 прк ^тематическом Ннсппуте'пме-ка ВА Стеклова Российское Академия Наук по адресу, 117966, .Москва, ул. Вавилова, 42.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке института. Автооеайрат сазослан 10 мая 1933 г.

Но. ученого секретаря совета

доктор физико-математических наук АСЛеляковский

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В рамхах общей теории статистич естих решений проблема определения эгсповеацнаяъной схороств убывания минимаксного риска была решена Червовым ([1], 1952) в случае , когда наблюдается последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин.

С точки зрения общей теории статистических экспериментов эта задача эквивалентна определению скорости сходимости последовательности статистических экспериментов к наиболее информативному эксперименту и рассматривалась Торгенсеном [2].

В последующие годы этой тематике было посвящено большое количество исследовании, в которых докалывались варианты теоремы Чернова для различных классов последовательностей случайных величия. Однако, неисследованным оставался, таг называемый "фильтрованный случай", когда наблюдения являются траекториями случайных процессов.

Цель работы. Цель предлагаемой работы состоит в том, чтобы распо-страннть ряд классических реоультатов теория статистических экспериментов на случай фильтрованных экспериментов в рамках семимартин-гальнсй схемы, то есть на те статистические задачи, в которых наблюдения есть траектории случайных процессов, являющихся семимартин-галами.

Методика исследования. При р&сиостранении реоультатов статистики случайных последовательностей на статистику случайных процессов основная ио возникающих трудностей состоят в том, чтобы подучить ответ в терминах предсказуемых характеристик процессов, гах наиболее естественных и просто вычисляемых. В данной работе для формулировки и доказательства реоультатов сходимости фильтрованных экспериментов используются триплет предсказуемых характеристик семкмартннга-ла н предсказуемый процесс Хеллингера (см. [3]).

Научная новизна. Все основные результаты работы являются новыми.

Теоретическая и практическая ценность. Полученные в работе результаты могут быть использованы в асимптотической теории статистических выводов. В частности для построения асимптотически оптимальных тестов в задаче различения разделяющихся гнлотео для фильтрованных моделей.

Апробация результатов и публикации. Результаты работы догладывались ва семинаре по статистикг случайных процессов в Мат ~иати-ческом институте им. В.А. Стехлова,

По тепе диссертация опубликовано 4 работы.

Струхтура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения и трех глав, каждая из которых разделена ва разделы. Текст работы изложен &а 72 страницах. Слисок литературы содержит 32 наименовгнил.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Остановимся подробнее ва содержании диссертации. Пусть £ — (fl, F = (,^i)ix>',(Pi) 6 9) фильтрованный статистический ¡эксперимент. Наиболее ъмфорлияпъакым экспериментом. будем называть эксперимент, в которой меры Pi при различных значениях в являются сингулярными (

Вопросы, связанные со схолимостыо последовательности бинарных фильтрованных экспериментов г наиболее информативному эксперименту рассмотрены в Гладе 1. Пусть при n > 1 задан бинарный фильтрованный эксперимент £* = (Q", F1, F"; Р?, Будем предполагать, что наблюдения начинаются в нулевой момент времени и продолжаются момента времена Т„. Пусть h.n{a) = Ci?(ct))t>o процесс Хеллингера порядка а € (0,1) между мерами JFJ1 и Р?, и положим

of = argsnpkija;!?,!?)

а

ТЬорема 1.2.2 Пусть Sn последовательность -Недетерминированных экспериментов такая, что S(££ , £") — 0. Пусть также процессы Хеллингера Л™(ог) непрерывны по t при каждом а 6 1) и выполнены следующие условна с

5_ а3/»?», ---|а=а?

On —► со, п —» со,

—'^х.(ао) — п —со,

а»

«-со,

4

Тогда

Дуст» £ = 2?, О; Д фильтрованный эксперимент, в котором меры Р], а Р-_ таковы, что канонический процесс X является точечным процессом относительно мер Р1 я Р2 с компенсаторами

(1) Ак = ^ / = [ Л

Уо ¿о

где Л детерминированная функция. Рассмотри!! задач}- различения гано-тео относительно мер Р1 и Яг- При увеличении интервала наблюдения вероятности ошибок первого и второго рода стремятся к нулю. Следующая теорема дает опенку момента времени, с которого вероятности ошибок первого а второго рода не превосходят заданного оначения. Особенное значение этот вопрос приобретает при наличии платы за дополнительные наблюдения.

Теорема 1.4.2 Пусть выполнено (1). Тогда справедливо неравенство

¡(£т,€г+л:г) < ^{у/р-ХЦ ¡\,ds

где

,-г-дг, .

I, Л,lis £>= -.

Jo

Отдельное научение сходимости бинарных статистических .экспериментов оправдано той ролью, которую они играют при изучении сходимости s. наиболее информатяз юму эксперименту последовательности статистических экспериментов с конечным парам трпчесхим множеством 9 (|в| = к ). Окапывается, что дефект эксперимента с конечным параметрическим множеством аетмптоттшчесхи эквивалентен дефекту "наименее благоприятного'' бинарного подъэксперимента. Рассмотрению этих вопросов, а также изучению статистических свойств последовательностей экспериментов, сходящихся к наиболее информативному эксперименту, посвяшена Глава 2.

Теорема 2.1.1 Пусть для галсдого бинарного подъзхсперпмеита эхепернмгята (Г* с ганечным параметрическим множествам выполнены условия теоремы 1.2.1. Пусть im« при некоторых Ö, 7 6 6 имеет место неравенство

hinfggg.(a)r. v . .

~ amíaiíyajr.

где интеграл Хелляигера порядга a межлу мерами и

(^Т)г.. Тогда

1 > " ™ lutea Яг,(а)т. ~ '

«

' Кроме ухе упоминавшегося поуосода. Бдэквслгга-Де Кама с сравнению статнстнчесгах »спериментов, в работах Шеннона, Кульбага, Ленбле-ра, -Тин i »■■ (ос-, например, работы [4], [5]} был раоавт аят.тернативньш подход с сравнению вхшеримеитов. Согласно атому подходу для хаадо-го априорного распределения р — (pi,...,p¡,) параметра 0 на Ö вводятся фухкцих Шааюна Гр(£), нвлаюшавса мерой информации, получаемой зря проверенна агеперимента для данного распределенм р. Статнсги-гу, имеющему педыо изучение природы, предлагается следующие правило проведенга агеперимента: вхспернмогг став ига прн априорной распределении, дающем махеимглькутэ янформаххшэ о состоянии природа. Магсамальное значение фунхпиа Шеннона называют емкостью Шеюима. сглояаиятмчеспого эксперимента. Саеауюшая теорема содержит неоаси-гаиную связь г тих двух подходов.

Теорема 2-2.1 Пусть для последовательности экспериментов £** имеет место (2). 1Ьгда

lim , . ,—. . —= 1, »-<» Ь.т£аВрч(а)тт

где £7(^}-емхосгь Шеннона статистнчесгого агеперимента.

В раадеэе 3 главы 2 рассматриваются вопросы существования мннн-««тшг адаптивных тестов. Пусть прн глжлпм п > 1 задано семейство бинарных эхахернментов ¿7 = (П", Я\ F"; Jf, QJ), где 0 € в(1©| = fe) Tauu, что

lim i-lninf[cM(p") V A(v7n)] = -Я«,

»—«в СЦ, V*

б

где числовая последовательность а„ —«• эо, а Я«в-положите.тьные числа. ( Например, если есть n-кратное прямое произведение эксперимента £в, то ап = п и Не s = — In infa Л (а; Рв, Qe)-) Тогда это соотношение может быть испольоованно как критерий асимптотической оптимальности для последовательности тестов <fge ~ Veef^) в задаче различения простых пшотез относительно мер а Qg при каждом фиксированном в. А именно, последовательность гестов ф$в будем называть асимптотически оптимальной для последовательности экспериментов n > 1, если для этой последовательности тестов достигается равенство в (3). Если же на начальном этапе случайным образом выбирается значение параметра 9 и статистику неизвестно при каком значении параметра ставится последовательность экспериментов то в этой ситуации желательно иметь последовательность тестов асимптотически оптимальную при любом значении параметра. Неоависищая от $ последовательность тестов фп называется адаптивной в минимаксном смысле для семейства n > 1, 0 6 Ö, если при всех значениях в £ 0 для этой последовательности тестов достигается равенство в (3). Данное определение лвляется новым. В традиционном определении адаптивной последовательности тестов (см. [6JJ за основу берется асимптотика ошибок второго рода при фиксировало.1.! уровне ошибки первого рода.

ТЬорема 2.3.1 Пусть для последовательности экспериментов имеет место соотношение

lim а"1 In ш!'а^п) V Зв(ч>п)] = -Hnt при всех в,г) S в

Т»—.QO

i) Если существует минимаксная адаптивная последовательность тестов, то

Н)$ Л Лт < Я,в при всех в, г/ е 9

ii) Если выполнено условие

Яss V Я,,, < Я,в при всех 0, -jj е 0,

то существует минимаксная адаптивная последовательность тестов.

Заметим, что минимаксной адаптивной последовательностью тестов будет последовательность тестов Неймана-Пирсона для мер Рп п Q™, которые есть взвешенная сумма соответствено мер Р" п

Перейдем к содержанию ГЬааы 3. При рассмотрении бинарных фильтрованных экспериментов £ = (О, Р; Р, С}) и £ = {$.,3-, Я; Р ,<3), у которых одна из альтернативных мер общая, вообше говоря не обязательно РиР абсолютно непрерывны относительно (2, возникает необходимость введения процесса Хелливгера в форме отличной от общепринятой.

Процессом Хеллпчгера — (/1д(а)«)|>0 поргдка а £ (0,1) меж-

ду семействами мер (Р£) а (Р() относительно произвольного семейства (<2() называется неотрипательный вооратаюпгай процесс кд(се)) = 0 такой, что

• Мд(а) = гаг'1~а + (г^г'1—)- • Нд(а)

является <Э мартингалом, где г = (г1)1>о и: = (г,)4>о производные Лебега пер Р и Р относительно меры Q.

Пусть при каждом п > 1 задан бинарный статистический эксперимент £п = (Пп,Згг,Рг;Рг',Рп). Иллюстрацией целесообразности введения пропесса Ьд(а) служит следующая функциональная теорема для последовательности процессов = г'"/гя.

ТЪорема 3.1.2 Пусть имеет место контигуальность последовательностей мер {Рп) <з (С?")- Пусть так же ( -» (7( неубывающая непрерывная функция, Со = 0 и Л(а) = а ¿/-непрерывный мартингал, Ма — 0

и < М,М >г= Ct. Определим условие

[Ц - В] Лд(а)4 Ь{а)1 для всех t 6 О

a) Если ^-плотное аогивожестпо г?д., то следующие утверждения .эквивалентны

£(/**) г

1) гп -- г = ехр(М - •£) (означающее 2" -- 2 = ехр(ДГ +

?))•

и) С»д — -О] выполнено для всех а € (0,1).

С'д — Щ выполнено для а = = ¡3,а = 1 — ¡3, при некотором ^ € (0, |)

b) Пусть — £)] выполнено для а = = 0, а = 1 —/3 при некотором /3 6 (0, Тогда

£(В|Р") ,„ 1(0\р")

2?*-- г, I -- X .

Вопросу различения гипотео а бинарных частично-определенных статистических экспериментах посвящен раоцел 2 главы 3. Пусть на измеримом пространстве с фильтрацией (П, 3-, Я) задан согласованный процесс-статистика X и два набора объектов — триплеты предсказуемых характеристик Т = (В, С, и) я Т = (В , С ). Определим два семейства вероятностных мер

V - {Р : X семимартивгал на (П, Т, Р, Р) и Тр = Г}

V = {Р : X семвмартингал на (0, .?",Р, Р ) и Гр = Т }

Предположим, что ставится статистический эксперимент £ = (П, Т-, Р\Р,Р) с неизвестными мерами Рб'РиР 6 "Р, и требуется по наблюдениям траектории процесса X различить гипотезы

И (Г) : истинная мера принадлежит V,

ЩТ ) : истинная мера принадлежит ~Р .

Тах как в достаточно общей ситуации вопрос о построения оптимального теста является довольно сложным, то было бы желательно построить такой эксперимент £, который бы мажорировал исходный в следующем смысле: если р(Р, Р ) риск для мер Р 6 73 и Р ЕР,ар риск эксперимента £, то

Р(Р,Р )<Р для всех РЕ'Р.Р'е'Р'.

В данной работе для построения эксперимента £ используется частично-определенный процесс отношения правдоподобия V, определяемый только по заданным наборам предсказуемых характеристик Г и Т семнмар-тингала X.

Итак, пусть задана последовательность статистических экспериментов £п = (Пп, Р^Р1), п > 1, соответствующих частично-определенной

модели. Предположим, что тривиальная (г-алгебра и выполнены условия

где Л"(а)-пропесс Хеллингера порядка а между мерами Р" а Р Н(а) детерминированный непрерывный по { процесс Хеллингера порядка а

между' мерами Р в Р предельного эксперимента £ = (П.Т, (уГ1)(>о;Р, Р )• Заметим, что в силу теоремы 4.1 в [3] на условия [На — следует слабая

и7-?

функциональная сходимость экспериментов £"-■ £. Пусть также при

всех и выполнено

[Яа-Я+] 0,1),г>0,

где кп[а) частично-определенный процесс Хеллпнгера порядка а между мерами Р " и Рп, к(а) детерминированный непрерывный по < процесс Хеллпнгера предельного эксперимента £ = (П, {Т)г>ц\Р, Р ).

Теорема 3.2.2 Пусть выполнены условия [На — Я+], [Яа — и условие

ДГ["(ш) = Дгр(и) на множестве {(и, {) : ДУ?(и) ф 0}

Тогда эксперимент £ информативнее эксперимента £.

В разделе 3 главы 3 рассматривается задача оценивания параметра для систем с физическим белым шумом. Пусть ^-неизвестный параметр, в 6 Н. Хорошо изучена задача оценивания параметра 9 для модели диффузионного процесса

(4) Х( = В ['а(Х.)Ь + ЯГ„

Jо

где \У = (1{'.){>о-стандартный винеровский процесс. Однако во многих статпстичесгих задачах модель (4) имеет место с гой оговоркой, что '^"¡»оо не является винеровскиде шгаиессом, а имеет распределение, ;:о-торое может быть в некотором смысле адпроксимлроваяно эинерозским процессом. Более точно, вместо модели (4) естественно рассматривать следующую модель в схеме серий (л = 1,2...)

Л? = б [ а(Х?) ¿з т »7,

где И''" = (^',п)1>о-последовательность случайных процессов [К.п = /0' \\г£ ¿8 являющихся при каждом 71 моделью физического белого шума. Идя последовательности [И1"1] предполагаются выполнеными следующие два условия: 1) при каждом п траектории процессов {И,71){>о дифференцируемы по С, 2) имеет место сходимость

У/п — И', л — оо.

Для модели (4) опеяха максимального праилопобозия

_ ¿2.

параметра в при выполнении ряда условии, например см.[7], является состоятельной ж асимптотически аффективной при t оо.

В данной работе научаются свойства оценги 0" = [в?)^ параметра 8, которая по наблюдениям траегторвн процесса (Л"")|>о до момента времени £ строится следзтзшим образом

. ; - Л - >-

Появление дополнительного члена —^/¡а (Х™}£* в опенге #** по сравнению с оценкой 0 связано с качественным различием между допредельными и предельным экспериментом: процесс X является процессом неограниченной вариации и $а{Х,)4Х, есть стохасвгческнн интеграл в форме Ито, в то время гак процессы Х~2 при всех п > 1 являются процессами с ограниченной вариацией н /„' есть интеграл Лебега.

• Теорема 3.3.1 Пусть непрерывно дифференцируемая функция а(г) удовлетворяет условию Липшица я линейного роста, ее производная л (г) условию Липшица. Пусть кроме того дяя любого 1 > 0 выполнено уезоаие

(5)

Тогда.имеет место совместная сходимость распределений при п. — оо

где X = (.ЛГ«)»>о процесс, определяемый уравнением (4), в = (0О«>о оценка максимального правдоподобия.

Теорема, 3.3.3 Пусть а(х) = х я выполиеа условие (5). Тогда оценка (¿Г)»>о да> всех отрицательных 9 из некоторого компакта 9 является асимптотически состоятельной

Р-^Ьа^Ша «1р)в?-0|= О 11

ЛИТЕРАТУРА

1. Chernoff, Н. A measure of asymptocic efficiency for tests of ahypotesis based on the sum of observations.-Ann. Math. Statist., 1952, v. 233,

p. 493-307

2. Torgersen S.N. Measures of information based on comparison with total information and total ignorance // Ann. Statist., 1981, v. 9, N 3, p. 633-657.

3. Jacod J., Shiryaev A..\". Limit theorems for stochastic processes, Springer: 1987, p. 60i.

4. Кульбак С. Тгория информации а статистика,, Пер. с аягл. М.: Наука, 1967.

5. Lindley D.V. On a Measure of Information provided by ал Experiment// Ann. Math. Stat. 27, 1956, 986- 1005.

6. Luchgy E., Ruckin A.L. Adaptive tests for stochastic processes in the ег-godic case// Preprint.

7. Кутоянп Ю.А. Оценивание параметров случайных процессор Ереван: Пзд-во АН Арм. ССР, 1980.

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Аеаяасьез A.A. О процессе Хел.тянгера хтя бпнаояых экспериментов // Ус-ахл математических заук. 1991, r.4tj, зьш. 4, 139-140.

2. Афанасьев A.A. К вопросу о различении гипотез в бинарных частично-onDеделенных статистических экспериментах // Успехи математических на>т. 1992, т. 47, зьш. 5, 163-164.

3. Афанасьев A.A. Об оценивании параметра зля систем с физическим бельем zr/MC'.i // Стати стиха п управление случайными процессами: сб. статей под. ред. A.A. Новикова ц А.Н. Ширяева, М. Наука: 1992* 4-11.

4. Афанасьев л.А. Об одном обобщении теоремы Чернова// Успехи математических наук, 1992. т. 47, зьш. б, -