Об асимптотическом поведениии дисперсии среднеарифметической оценки неизвестного среднего однородных случайных полей дискретного аргумента тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

КИЕВСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА И ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени Т. Г. ШЕВЧЕНКО

На правах рукописи ШИЛО Людмила Владимировна

ОБ АСИМПТОТИЧЕСКОМ ПОВЕДЕНИИ ДИСПЕРСИИ СРЕДНЕАРИФМЕТИЧЕСКОЙ ОЦЕНКИ НЕИЗВЕСТНОГО СРЕДНЕГО ОДНОРОДНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ПОЛЕЙ ДИСКРЕТНОГО АРГУМЕНТА

(01.01.05 — Теория вероятностей и математическая статистика)

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

КИЕВ - 1991

Работа выполнена на кафедре теории вероятностей и математической статистики механико-математического факультета Киевского государственного университета им. Т. Г. Шевченко.

Научный руководитель — член-корреспондент ЛН УССР, доктор физико-математических наук, профессор М. И. Ядренко.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук Турбин А. Ф.; кандидат физико-математических наук Клесов О. И.

Ведущая организация — Институт кибернетики АН УССР.

Защита состоятся «_»_199 года

в «_» часов на заседании специализированного совета

К.068.18.11 в Киевском ордена Ленина и ордена Октябрьской Революции государственном университете им. Т. Г. Шевченко (252127, г. Киев, проспект акад. Глушкова, 6, механико-математический факультет).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Киевского государственного университета им. Т. Г. Шевченко (ул. Владимирская, 58).

Отзыв на автореферат в 2-х экземплярах, заверенный печатью, просим направить в адрес университета (252017, Кнев-17, ул. Владимирская, 64, Киевский госуниверситет, научная часть).

Автореферат разослан «_»_1991 г.

Ученый секретарь специализированного совета

В. И. СУЩАНСКИИ

VfCTSe«'ff.\

,'r i'ctt

ОБЩАЯ XAP/iSTFP'liClI:KA РАБОТЫ

".«.ууУлдькость тс:.;ы<. При pscsinra акгуа.глккх шсблгк css.7-.i-стпчесхой ргуугофзо;ш:г, Г15дрсг:5хлч:п-л-, ггофязихя, кэтгоролопчг. ЗГрСК01Ш 8 ЭЧОНОМККК сельского гсзяГютаа, яря кссяелованяк иерохоаат5.к поверхностей в тегнж», а такгз в сегркк aassvas:--чссзого упраздзния, теория спязя л других областях науки и юпся в какзстзе 1'атеглтпческю: кодалей сд^-таПнес флукгуаакй часто пржодитсл рассматривать однорогого сдуча&тиз поля.

В паа?ояс;зэ грая патгкгтпчэскоя теорз'л однородных случайте: нолей жггеисивно развивается. Однако вопросы стгткстихи такте полей изучены ещч недостаточно, хотя жккно они ярэдета.ч-лявт наибольший ютерес для приложений. Де;:о в тем, »сто ггои практическом использовании результатов теории случайных пел?. часто приходится сталкиваться о тем обстоятельством, что x«»f.t:-теристики рассматриваемых полей неизвестны, и их надо оценит;*, используя результаты наблюдений.

Наиболее ваяной характеристикой случайного ролл кплгетег его математическое оявдаше.

Кик следует из работ Ибрагимова И.А., Розанова У.,-.., Нглста A.M., Дденстэцта Р.К., Грендндсра У. а класс0 линеЛкы:: иесиачениых оценок (ШО) математического ояздгяяя сбродного случайного поля при довольно обгло: предположениях суггеству^т наилучший оценки, т.е. оценки о минимальной дьспарсиэй. Однако их вычисление в большинстве случаев является слоотоЯ и трудеаи-кой задачей, требующей к тому детальной кнформашп о спектра процесса, что весьма затруднено в прикладных задачах, ого— пирувцих эмпирически^ даккьми. С -этой точки зрения представляет интерес кахоздеиае линейных несмещенных оценок достаточно простой структуры, но в то а© еремя сбладаэда:, если ке наллул-вшш, то достаточно хороша« статистическими свойствами.

TaivK.ni качества«! обладают сценки нагагеньпж: квадратов (ОКК). Для сяфокого класса спектральных плотностей QHK язлкзт-ся асимптотически эЁфзктивнкш, нэсксп;еннм<и к состоятелькиии. Простота Ев применения сделаха их одним из наиболее топудярпы

z

статистических методов оценивания £ приложениях.

Диссертационная работа посвящена изучению асимптотического поведения дисперсии ОНК неизвестного математического ожэдания по наблюдениям однородного случайного поля

$(t)=Q,* Ч i-i) а)

на некотором множестве Т значений дискретного параметра "L.

Впервые систематическое исследование ОНК параметров регрессии стационарных случайных процессов появилось в работах Гренаядера У. и Розенблатта Ц.. Позхе первоначальные результаты гтж авторов были существенно обобщены и развиты б различных направлениях. Так, исследовании среднеарифметической оценки неизвестного среднего стационарной последовательности посвящены работы Ибрагимова И.А., Линника Ю.В., Болконского В.А., Розанова Ю.А., Леонова В.II., Расулова Н.П., Робинсона Е.} Бриллин-джера Д. Случай однородного поля непрерывного аргумента подробно рассмотрен для различных семейств расшрясцихся областей в работах Виленхина С.Я., Дубенко Т.К., Кнопова П.С., Касиц-кой E.H., Гапсшсина Б.Ф., Ядренко М.И., Данг Дкк Хау, Бекташо-ва С., Урясьевой О.М.

Существенным моментом диссертационной работы является то, что изучение асимптотического поведения дисперсии СШК неизвестного (X в модели (I) ведется в предположении, что спектральная плотность поля 1(i.) б начале координат либо неограничен либо обращается в куль. Такие поля представляют определенный интерес с точки зрения "приложений. Известно, что в задачах статистики процессов случай обращения спектральной плотности в нуль в начале координат или ее неограниченности в этой точке качественно отличается от обычно рассматриваемой ситуации, когда спектральная плотность всюду положительна и ограничена. Невыполнение вышеупомянутого условия существенно влияет на асимптотическую эффективность ОНК. Так, Гренавдер У. рассмотрел асимптотическую эффективность ОНК относительно наилучшей ЛНО (НЛНО) и в терминах модели (1) при Т - L - п,п 2 показал, что при п обе НЛНО и ОНК имеют асимптотических

дисперсию <-ufr-5 СО") ■■ /1 , как только (Л) - по-

аоэжехьт и нэпрерызна. Позже Леонов В.Л., ИЗрагкиов И.А., Д,~л.пар:щзз К.О., Расулоз Н.П. рассмотрели случай, когда спектральная плотность 5г(л у пслоясте-сьна л яепрэршо. исключая начало координат и убедились, что тогда ОНК остается э;4эк-тзшноП ив всегда. Примеры, лсдтзерздржцпе этот факт лрелло/'гны 1^>екащероч У., Cere- Г., ¿реборгерон ?>., РооС-пблаттом Ц., Битали Р.

Как ведет себя дтеперси? СЕК в cnyvae обрзценкя олсте-рзяжоЯ иложсети в нуль в ггатало кооеданаг ала нсогра!"!':?:-0;'~~ с?к спектральной плотности з этой тсггсс? "Л'з^у аотросу zvr.a настояоая дясезргацяогагая работа. Ткаиг образом

Цель заботы: взучпть генютотиздеко?; поведение дкспе?«да ОШ неизвестного магешгячзского «пвддашяг огородного

поля дискретного аргумента для рзалачких семо-!стз расэир-»».......-\<т

областей з случае, когда спектральная яярскость сбрап:ает.?.~ ? нуль влк иесграничзна з начале координат.

Метод гссследовзяк.т. !«етод иссл«цо5РШ!<* зсяокш; на "ог-Лл •• -ванин теории однородных случайных полей, изучения асикггсп":: .*• повэдвнк? интегралов, зазле.^трг:: ст паяшвтра.

Научная новизна заботы. Зое оенэикыв результат« prvi ля»ср човкии. В работе дли некоторых сС'КэЯстя р о - ••

ластеЯ изучено асимптотическое поведение дпсперс:"! меткческсй оценки неизвестного математического о .гл.. едггеродного случайного поля дискретного аргумента. Особое зжии»;« уделено случаю, когда спектральная плотность гголя обра-гр..?тсл в нулл-в начале координат или неоградатаена в этой точке.

, Теоретическая и практическая ценность. Диссертационная работа носит в основном теоретический характер, Полученные результаты могут быть использованы в статистической практике для егшктел средних значений однородных случайных полей.

Апробация работы. Основные результата диссертации докладывались на конференциях молодых ученья Киевского университета, на Республиканском семинаре по теории вероятностей и математической статистике при Киевском университете.

Публтсацэдг. Основные результаты диссертации опубликована з работах f I "] - [ 7 ] .

Структура ;t объем дис.сбртшлта. Работа состоит :сз введения, дзух глав осиобного текста 'общ:м объемом 114 страниц кп^нс—

ч

нксиого спьа:а. ;;с 165 но:с;зко&аь:4Я.

Сод^р^онмй раСс:':;

Во а^едснп:! шпнедсл йрйтий обзор ксысдоэакиЛ го тс;.:о дйсссррк'йЬ I: излагавФся ойнокшс рОзуЗь^алты диссер'!здронкой работы.

Первая глава "Ога^иййУ^гЖве кеи'авбеч'кого среднего

стационарной последовательности" б&ДО&ЭД но й&раграфоз.

Рассмотри« колзшжснозначнув бДучайнуй йбУЗдГёдОЁатеяьность " ^ > ,г£ А/которая является суккой постоянной средней величины & и отклонение- г , где 1 л - стационарная в широком смысле комллекснсзначная последовательность с нулевым математическим ожиданием и спектральной плотностью § (Л) г С [ ■■ 71,11 ].

Б главе рассматривается среднеарифметическая сценка параметра (X. ■

-а ^ Т

^ Т ~ т £ г,

В § I первоР. главы с помощью формулы для дисперсии оценки: •щ ЛТ

Т ' -1С т

для ряда конкретных спектральных плотностей получены явные выражения Д) 0_ ■ .

Б § 2 первой главы рассматривается асимптотическое поведение дисперсии оценки ¿¿^ , когда область наблюдения расширяется.

Доказаны следующие утверждения.

Обозначим

Yoop-yn. I.I. iîyc-'Ь

Je"/.) - /•'•! ' , - -/ ,ís

I".-,"t::Ü\*ÍÍ Q{À ) - кэгргр;:',!.1;! з А = О к :;/■■■

ру\;:,п С-Ti, И'У , 1/гД~ !ГГ::Г Т'

JOâ„ -à. 9СО)Т"1"' + сг(т

taciH!,:: случас-?.- Toop^j-i I.X прп л.» О -лгге-гс-? Toop¿r:a Ляд-гресна (ort. Ллдерсоп Ï.

грс:;с:'ль"с рлдоо: Пор, с "нгм. - Li.: "ир, 1976. - 755 с). Лнллэ-ги"и:й реауяьгз-г дт.т езгупая копрерхззиого врздшп по^гтчи -!îos;"î d.ïl

Трор.т-ла Т.2. Пусгь

• / Л

т(. Л ) - лш т ч(А) J -и <= у1 и ,

гдэ í'V С Л ) - суп.труега га L- и. 7í ,¡ ■jyiryzv.*.''. Тогда

тс

luv T"\.Oil-r -f ) 'JC.-iKi/* Г - -- ' ^ -тг 6

}\ai - ¡л \ С: ^ > i -ïï-Л-Я:. !

где ( ^ - ограшпгояяая на <1- Я, Л J fi>ïcnç:~.

Тогда

... ' ? Кл) .

Í//Í7 I "7 ~~~Г"Г J-И,

1 -i

Результат следствия 1.2.1 сравнивается с выводами, сделанными Леоновым В.П. (ал. Леонов В.П. О дисперсии временных средних стационарного случайного процесса // Теория вероятн. к ее примен. - 1961. - Т. 6 - Вып. I. - С. 93-101).

На основании статьи Аденетедта Р.К. (ид. С1ги-,. ^глт- 1974. -,:2. - А'< 6. - ?, 1095 - 1107) приходим к заключению, сто при

- 1 - л ' дисперсия среднеарифметической оценки имеет тот же порядок, что и дисперсия ШЗНО. В случае те ■<• '"> среднего ифмет те екая оценка имеет кулевую эффективность.

Вторая глава "Статистические оценки неизвестного среднего однородных случайных полей дискретного аргумента" состоит из четырех параграфов.

Пусть комллекснозначное случайное поле

является сушой неизвесткой постояшой средней величины Си и отклонения ¡,п , где 1 сн.и - однородное случайное поле иа с нулевым математически?" ожиданием и спектральной

плотностью СЛ,, •

Ь глазе изучается асимптотическое поведение дисперсии среднеарифметической оценки среднего а. для различных семейств расширяющихся областей.

В § I второй главк поле £ т,п рассматривается на прямоугольнике.

Тогда

Л__1 Г е

- среднеарифметическая оценка Неизвестного Си и

. -тг тг ■ аЛ,<ХТ, + 1) , £ л,&ТА+1) ря - \ \ л1п _" Л1Г> л. г,л Л нл

Используя зту формулу, в ряде конкретных спектральных плотностей дисперсия среднеарифметической оценки вычислена в ясном ьиде.

Получены следующие утверждения.

?

Теорема 2.1. Пусть

/\„ Л, е ¿1 -77,711

Л) Л '

причем функция непрерывна в начале координат и ~г-

раничена на [- 71, П ]".

Тогда

Г 1 £ О

СГ £.- '£ // .

т. Л

Следствие 2.1.1. Пусть ^ А ^, ) ' , с £-" непрерывна в начале координат и ограничена на .7

Тогда ^

{ип Цт + дат - _ - чп-ио,О).

-г _ 1 ' -1' 'д.

Следствие 2.1.1 является аналогом т. Андерсона для стац;г,-нарного процесса рассматриваемого ка плоскости. Следствие 2.1.2. Пусть

5М,, - (Л,/10 , ЛиАЛе С-71. п.; ,

я, , <

причем функция ^¿/Ц.^л) непрерывна в начале координат и ограничена на L-TL.nl1' • Тогда

1ш И*1"1 (¿7,+ 1)30. -¿тг^ д(С. О).

Теорема 2.2. Пусть

причем 0 (Л 1. /и ) суммиру емая на С - тг, Ъ J ^ функция. Тогда

Т Т 7 4 - ^

с О

Схслс7тг.:с 2,2. Пуст-;

5 (л,, ^) - / /\ j1; л А 0 а,. л); л,, е с- т., п j t

причем ЯIЛ.(,//.) - огрглкчешкш на L- 72, 77 J функция;

ГГ *

Тогда „ я

iim Ul, + ifdL +1) У) а._ т

■г л __ ' "" '-111.

п к

и J J л 1-ЛЛ< 1

Теорема 2.3. Пусть

1

причем функция ¿j ,- непрерывна ка f-Я, П J ~ . Тогда f

ixm ЦТ, + if (AT, + 1 «3 a _ T =

V I Л

= тГ —тЧ— Q(A<,0)CLAa. * Ai д л> '

Следствие 2.3. Пусть

причем функция Ц (Л1, Л^) непрерывна на L ~ Я , 77 3 _ . Тогда

71' .

imi .„■ J

X„V~ " г- -71 _ А

В i 2 главы П рассматривается асимптотическое поведение дисперсии оценки ¿1 ^ _ . когда поле fmn наблюдается на "кресте":

!\тт ¡m}±\n-Oju{(ni,H): т-О, T.J .

Тогда среднеарифметическая оценка неизвестного CL имеет

ВВД - 1 Т €

ТГ п

, ■

«л ~~

Рассмотрены пргслзры ввзксязнкг т в яенсн эдс.з

для ряда■ конкретных сггеетральняг плотностей. '' ~ Получвкы слздукгре результаты.. Те орет 2.4. Пусть

пршкзи фугаяри огрззгзчека ка С-Ж.иЗ .

Тогда . ^

Теорт/а 2.5. Пусть

причем функция С^СА^, - огркгкчзгса на С~сЯ~ПЗе~ к -шпрс-

рывка на отрезке д, » О , И, £ [-71,71]. Тогда ' , '

V,— г,

ю

Теорема 2.6. Пусть

H^Ú'i^^g^M/^AeC-^, ¿i,

причем функция (J (Л л, ограничена на L-'¡~l , nj* и непре-

рывна на осях Л, ^ 0 и = 0

Тогда, если ц /Tj, С гфи Т-, , Тх ~ , то

tu» UT^íTt+V^'jDár т -т^-,-. Ч

U 7Г

"i -ТЕ. d

В § 3 главы П рассматривается асимптотическое поведение дисперсии среднеарифметической оценки неизвестного Сь , когда поло £ наблюдается на области К_-jOn,ri) : ¡rnI * ¡пI Т].

Тогда среднеарифметическая оценка неизвестного ¿1 имеет ВЙД Л 1 г £

f\T

дисперсия ("L вычисляется по формуле

' («í I * АI f и -71 -Л !

где

< . оааб7У0.Д,1 - ¿¿гнТУ т ГО^ТА... - сооТЛч /¡оч; еизака следующая тгОрема.

-и

Теорема 2.7. Пусть

Í (Л,,^) = Ли/ /ил/ ß(A„A,\

где О (Л 1, A¿) - суммируемая на L~ /Г, ^ функция. Тогда

СJ Tí iL.

Г Ч J 1

В § 4 главы Г! рассматривается асимптотическое поведение дисперсии среднеарифметической оценки среднего Cl , когд.-, поле J )а IL наблюдается на системе отрезков.

Вначале рассматривается ситуация, когда поле £^ п рассматривается на отрезке tri" т, ^ ¡n¡ -¿Г.

Тогда среднеарифметическая оценка неизвестного Cl имеет вид ~ __ у с

и ее диспепсия равна , . _

ч * , к <1 ■ X AjiU-it+'l)

Получены следустцие результаты.' Теоаема 2.8. Пусть

причем функция ^М^, Ид) - ограничена на f-TZ-. И-Л^и непрерывна на отрезке A¿ ~ О , л, Q Г-"Я . Тогда ^ 1 ч

1ш,(ПИ)

Следствие 2.8. Пусть 5 ) ограничена на . Ti J

и непрерывна на отрезке = С , , G L- Tí, il j'. Тогда -ir

Um UJ* ¡Waт -Лтг í $64 .

1 -К

Теорема 2.9. Пусть /О = MJ Л,, ЛА ^

»(■>),

причем функция - ограничена на £- 7Г, 71 J¿ .

Тогда j. д-

-im, - X 3 I

7-*~ 1 . -r-í Ai И

гЬсгс'лько ¡.у. vcr^rib. x,с

nojit: ь'охш^а-о^с:}; i;?. Ci-CTÎ.MO стргохсо:

m - "Ц л- <- X,,

m - í, - t - 11л

t:n - m- _ - 'ь « >,-; « "П..

ety^o Kïoat sxi,;;

/s

-----:----- Y" \ Я

¿.'Г.* .. i X, )-hti cs -

" Iir -T^

a ее дасяерсая ььг-шсляется по формуле

Шг т ----í——-й cfrfJA<^-rKí)

АШ ------zr---- Мп---j---- , , . , ч ,

__----.......

Ш -f Ain -f

г —

Дальнейшие исследования ведутся а практически вааном частном еду-гае Ï,, - TL = ,, - T-, = Г 1оГдч

—í— ( !

... Л A J

Iii

Получены следующие результат«.

Теорема 2.10. Пусть

f t-Uruy-i^l'^Vu, h) j л,,Алё C-nrni}

-í - / ,

Т/утс,::':;: ^'б'Ч, Л .О- ограгетг-Т.^ ;п Гг'И,пУ" <" кгзр-.-

¿¿-м/* - 4 | д(Ал,0У1А,.

" : Л

Пу«'-» '[г) -егрелетоп:: Р ;

» нспрсргска >:а сареаггв „ о, Ли (?1~7Г,7[1 Тогда

тс I Л.^

йт №1)5)1 -¿тг [ - ^

Тесре^_2Л1. Пусть $ /V) = Мл | ИО.. Ад. е £-7Г,71Л1

фичем функция б М.?, Ад^) - ограничена на 71, 72 J Тогда

-х-?: 2. сип Чг лт ■

• <Я-

Автор благодари? своего научного руководителя, профессора .¡.И. Ядренко за постоянную помощь и подчеркну, оназатдаз ярз написании настоящей работы.

Осдобйш результаты диссоргацш опубликованы е следувщах .работав:

I. Шило £оВ. АсЕЛпзонгсзеггсо поааденйо дисперсия среднеа-ряфшиягской оценки сгадяонарнсй случайной послздоаг гсльности.

- К.,' 1534. - 17 с. - Дои. п УгфКйИКТй 21.01.85, ¡Г- 16!5Ук-8оДеп (РЖ., Натекавший - 1935. - 5325оДЩ1).

(,£е Егш> 05 аеткоггтзеком поведении дисперсии ерзд-йзаргфкгвчзской оцс:ь;и однородного случайного поля» каблвдаэ-шга прямоугольнике, при надают нулей в спектре процосса.

1983. - 23 с о " Деп. ь ЗгцрОВШХИ 15.05.85, № 1274 - Ук (Рг. Ьгзеюткса. ~ 1936. - НВЗООДЕП),

3. Дант Д«ас Хау, Ядрзнко П.К., Едло Л.В. Об аскототяче» окон поведений дисперсии среднеарифметической оценки среднего аначенкя однородного случайного поля, наблюдаемого на "кресте".

- К., 1935, 20с. - Доп. в УкрШИШК 30.06.85, Р 1437 ~ Ук (Раи Йат«жкаа. - Ю86. - ИЕЗО-ЩЛ).

4. !1!ллп Я. В. Аазатготическио свойства среднеарифметической оцзхлги стационарной случайной последовательности // Теория веро-ш, ь наг. стат. »• 1589. - Вип„ 40« - С„ 125-132.

Ьо Вило Л.В., Ядрснко Ы.И. Об оценке неизвестного сродного однородного случайного поля дискретного аргумента // Теория ьерояаи и кг». сто/г.. - 1963,, - Вып. 40. - С. 132-140.

6< Шую 0 влаяакм кулей в спектре на поведение дис-псрска среднеарифметической оценки однородного случайного поля // и пршел. кат. - 1900. - Вып. 70. - С, 137-144.

7, -П1кло Л.В. Одна теореыа об оценке среднего стационарного случайного поля /' Теория вероятн. и мат. стат. - 1591. - Вып. АА. - С» 135-140