Об ошибке прогноза стационарного случайного процесса тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. НЕКОТОРЫЕ МЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ОГРАНИЧЕННЫХ- МНОЖЕСТВ НА ПЛОСКОСТИ.

§1.'. .Полиномы Чебышева и трансфинитный диаметр ограниченного замкнутого множества

§2. Функция Грина и емкость ограниченного множества.

ГЛАВА П7 АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ ОШИБКИ ПРОГНОЗА.

ДИСКРЕТНОЕ ВРЕМЯ.

§1. Постановка задачи.

§2. Условия экспоненциального убывания ошибки прогноза.

§3. Условия степенного убывания ошибки прогноза

§4. Асимптотическое поведение дисперсии наилучшей несмещенной линейной' оценки.

ГЛАВА Ш. АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ ОШИБКИ ПРОГНОЗА СТАЦИОНАРНОГО ОБОБЩЕННОГО ГАУССОВСКОГО ПРОЦЕССА.

§1. Постановка задачи

§2. Целые функции экспоненциального типа.

§3. Функции, аналитические в полосе. Пространства

Харди.

§4. Одна теорема об асимптотике наилучших приближений.

§5. Некоторые результаты М.Г. Крейна

§6. Доказательство теоремы 3.2.

Диссертационная работа посвящена исследованию двух задач спектральной теории стационарных в широком смысле процессов. Первая из них касается асимптотического поведения ошибки наилучшего линейного прогноза по конечному прошлому, когда длина отрезка, по которому ведется прогнозирование, стремится к бесконечности, вторая - асимптотического поведения дисперсии наилучшей несмещенной линейной оценки (НЛНО) для среднего процесса.

Работа состоит из настоящего введения и трех глав.

Здесь во введении мы приводим постановку задач, краткий обзор связанных с этой тематикой результатов различных авторов и формулируем основные результаты диссертации.

Глава I носит вспомагательный характер. В ней собраны необходимые в дальнейшем результаты, каксающиеся таких понятий, как емкость, трансфинитный диаметр, функция Грина и некоторых других, связанных с ограниченным подмножеством комплексной плоскости.

Пусть Р - ограниченное замкнутое множество на плоскости комплексного переменного л многочлен Чеоышева для множества f~* , т.е. многочлен наименее уклоняющийся от нуля на множестве F в равномерной метрике:

U ? UP 1 где Cj^t^) - произвольный многочлен степени W, с единичным старшим коэффициентом.

Предел последовательности чисел ^ WL^CF^ » который, как известно (см. [бр, существует и конечен, называется трансфинитным диаметром или емкостью множества F"* (понятие емкости ограниченного множества первоначально определялось иначе, но,как показал Г.Сеге, оно тождественно понятию трансфинитного диаметра)

- которую мы оудем ооозначать : t ^ - W-xlryiJPT

YV -^Оо отметим, что емкость прямолинейного отрезка равна четверти его длины, емкость окружности равна ее радиусу. и;сли Е ~ произвольное ограниченное множество на плоско-от* £ то Число fcW^F} где точная верхняя грань оерется по всем замкнутым подмножествам f множества ^ , называется внутренней емкостью, а число

- . где ц - замыкание , называется внешней емкостью множест-. Ясно, что ва < АО

А1-^ ^ " (0.2) и если в. этом неравенстве достигается равенство, то соответствующее множество Н называется ^-измеримым.

Примерами f-измеримых множеств служат открытый прямолинейный отрезок и открытый круг, а также открытая дуга окружности. Объединение конечного числа % -измеримых множеств снова ^-измеримо (см. лемму 1.9), в частности, множество, состоящее из объединения конечного числа открытых дуг единичной окружности 'С-измеримо .

Полиа [3l\ доказал, что если емкость линейного множества равна нулю, то линейная мера его тоже равна нулю. Обратное, однако, неверно; известно (см. , ), что среди подмножеств прямолинейного отрезка существуют подмножества меры нуль и положительной емкости. В главе I доказывается существование такого множества на единичной окружности.

Ш1Ш I.Iu. На единичнои окружности существует ^-измеримое множество меры нуль, емкость которого равна емкости окружности .

Далее, известно , что емкость - функция множества, непрерывная снизу: если F? С Р0 С Г! С . - последовательность ограниченных замкнутых множеств и - ограниченное множество, то п

Г

К, —->■ ©о

Это свойство емкости легко переносится на последовательность 'С-измеримых множеств.

ЛЕММА 1.13. Если гс . - последовательность

1 О QO ограниченных t -измеримых множеств и Е = f - ограниченное множество, то hM ^^^

Г

0.3)

Пусть р1 - замкнутое ограниченное множество на плоскости, граница которого состоит из конечного числа жордановых кривых. Дополнение на плоскости к множеству f-"* состоит из конечного или счетного числа областей без общих точек, и пусть р - та из этих областей, которая содержит бесконечно удаленную точку. Тогда, как известно, существует функция Грина G^^ ~ гармоническая всюду в области, за исключением точки <=*=> , непре

P4L я на Г рывная, включая границу \ =0Ьу и на \ равная нулю, а в окрестности же точки Х- имеет представление где 'М; (х) - гармоническая в окрестниити тички 00 функция.

Если граница Г* области^ р не удовлетворяет ранее наложенным условиям, то, следуя, Винеру , функцию Грина fc) определяют как предел последовательности функции , где

G^W*) ~ функшя Грина подобласти , аппроксимирующей изнутри область Np и граница которой уже состоит из конечного числа жордановых кривых. дующим образом:

Если ОС £ , то полагаем

С* - iuvvu Г [ft , %.<L% х r

Если же точка ОС не принадлежит замкнутой области , то полагаем . Таким образом, функция ЦДТчГ) определена и неотрицательна во всей плоскости 7+

Если Ej - произвольное ограниченное множество на плоскости, то, следуя Коровкину jj^ , определим функцию Грина елеt Fee v где точная верхняя грань берется по всем замкнутым множествам Р из £ .

Функция Грина (jr^C^Q гармонична и положительна всюду в области - той из дополнительных к замыканию ^ областей, которой содержит точку оо . Во внутренних точках £ значение Gg(^) равно нулю. Что же касается границы ^ • . то на ней GetX) может принимать как нулевые, так и положительные значения. Б связи с этим вводится понятие регулярной точки.

ОПРЕЩЕЛЕНИЕ 1.2. Точка (не обязательно принадлежащая множеству £ ) называется регулярной точкой множества Е1 . если ~ ^ • Все точки, не являющиеся регулярными точками, называются иррегулярными.

Известно ^ , , что множество иррегулярных точек замкнутого ограниченного множества ^ , принадлежащих границе этого множества, представляет собой множество типа FV с нулевой внутренней емкостью.

Результаты главы I существенно используются в главе 2.

В главе 2 рассматривается задача линейного прогнозирования стационарной случайной последовательности на один шаг вперед.

Пусть ., , > »•••"" стационарная в широком смысле последовательность с нулевым средним и спектральной плотностью (с.п.) ^сД . Таким образом, корреляционная функция равна

Пусть - пространство значений процесса, т.е. гильбертово пространство, являющееся замыканием в смысле сходимости в сред

VC /

-SC нем квадратичном величин Xv- < VC'< <=«=> . со скалярным произведением

Через обозначим подпространство пространства > порожденное величинами X* , ^ ^ ^ ^ Ь . Таким образом '^L-'jf, ^

Наилучшим линейным прогнозом величины Хь0 по прошлому длины называется проекция в пространстве элемента Хо на- подпространство ^"M/^vv . Длина соответствующего перпендикуляра, опущенного из точки Х.0 на подпространство "jL.^ называется ошибкой прогноза (в дальнейшем мы под прогнозом подразумеваем о о о \ наилучшии линеиныи прогноз) на один шаг вперед по прошлому длины W . Таким образом, обозначив эту ошибку прогноза через , будая иметь: vv . - аок И X. - ? \ - гмА Хо- Itr Х-, 1

Ясно, что - последовательность невозрастающих неотрицательных чисел, поэтому существует предел

В 1939 году А.Н. Колмогоров доказал, чТ0 , если

0.5) где - среднее геометрическое с.п, если ^

0.6)

-я

Процессы, с.п. которых удовлетворяют условию (0.5), называются сингулярными, а процессы, с.п. которых удовлетворяют условию (0.6) - регулярными.

Положим ' 0чевиДно> ^ и ^ —о при

VV —«=*=> . Изучению асимптотики величины ^ в случае регулярного процесса посвящено много работ (см. напр. [э\ , (ioj , (22\ , , и, как выясняется, в этом случае скорость убывания величины определяется свойствами гладкости с.п. ^(.Х) • Приведем здесь два результата, касающихся регулярного случая.

ТЕОРЕМА. 0.1, [э\ . Для того , чтобы

Kf О (Л ^ П — , f ^ 2 , р -нецелое, необходимо и достаточно, чтобы с .п. совпадала п.в. с непрерывной строго положительной функцией, имеющей непрерывную производную {У) , LP1 , S-ю производную \ (Д^ , принадлежащую и удовлетворяющую там условию Гельдера порядка (Ь ; последнее означает, что^ i\

Более жесткое условие гладкости накладывает. „ на с.п. ^(.V) экспоненциальное убывание . Это условие заключается в том, что с.п. ^"C^ аналитичес1Ш продолжается в некоторую полосу значений комплексного аргумента.

ТЕОРЕМА 0.2, [28\. Для того, чтобы необходимо и достаточно, чтобы с.п.^О^) совпадала п.в. со строго положительной непрерывной функцией и функция допускала аналитическое продолжение в полосу < значений комплексного аргумента

Wi

В сингулярном случае скорость убывания ошибки прогноза 6V ( ^со ~ 0 ) определяется, разумеется, уже не дифференциальными свойствами с.п. ^ СХ^ , и в этом случае асимптотика величины изучена значительно слабее. Нам известна лишь одна работа [зс| Розенблатта, относящаяся сюда. В ней показано, что если с.п. непрерывна и положительна на отрезке - и равна нулю вне него, то / л vj или ^f (0.7)

Таким образом, если cL<<lo , т.е. с.п. обращается в нуль на целой дуге, то ошибка прогноза убывает экспоненциально быстро. Отметим, что в правой части соотношения (0.7) -суть величина емкости дуги длиной 2cL единичной окружности, т.е. множества Е = '. ^СЛт»©*^

Как выясняется из приводимых ниже теорем, соотношение (0.7) справедливо и при значительно менее ограничительных, чем это тре-оуетоя в jso\ , уило.вилх на с.п.

Прежде чем привести соответствующий результат главы 2, условимся через tyl^^T) обозначать линейную меру множества , а через - симметрическую разность множеств Е. и Е0 :

ТЕОРЕМ 2.2. Пусть ^ =■ \ е!^ ^CV) > 6\ - спектр последоV вательности . Тогда имеют место следующие утверждения: а).

У\ —ixo где L0 - любое множество, удовлетворяющее условию: tV\,(][L - 0 (0.8) б). Если существует множество , удовлетворяющее условию (0.8) и состоящее из конечного числа дуг единичной окружности, то последовательность сходится и

V* —*s» гв). Соотношение (0.9) остаётся в силе, если множество t-c -открыто и ^ -измеримо.

Из этой теоремы непосредственно выводится

СЛЕДСТВИЕ 2.1. Для того, чтобы б* Cf) убывала с экспоненциальной скоррстыо, g. ^^ = ^ ^— необходимо, чтобы с.п. % О^ обращалась в нуль на множестве положительной меры. заметим, что из соотношения (и.о) не следует, вообще говоря, что (t^ X-ito), так как в силу леммы 1.10 существуют множества меры нуль и емкости единица. Поэтому удобнее рассматривать не сам спектр , а множество ^^ его точек Лебега, т.е. точек единичной плотности.

ТЕОРЕМА. 2.3. Если каждая точка замыкания множества является регулярной точкой , то множество - t-измеримо и D \—-v г- \

Vi —> до

В работе кроме приведенного результата (0.7) показано также, что если с.п. равна

Дс-W- ^ (одо) где ^ (Д4^ , то пМ iiiN

Имеем: кЛЪ) ^ е"1^ Ц/ / и из общих соображений ясно, что для любой другой с.п. имеющей нуль такого же характера, что и , ошибка прогноза будет иметь порядок YV . Однако метод доказательства соотношения

0.11) в использующий свойства многочленов, ортогональных на окружности с весом (0.10), не переносится на другие с.п. с тем же характером нуля.

В §3 главы 2 изучается асимптотика отношения б^^А^/б^), где ^СХ^ ~ некоторая функция такая, что произведение ^^ является плотностью, т.е. интегрируемо. Имеет место

ТЕОРЕМ 2.4. Пусть где

4 У (Л\ неотрицательные тригонометрические полиномы, а КЛ К) - интегрируемая по Риману и отделенная от нуля и бесконечности функция.Тогда, если последовательность медленно меняющаяся, т.е.

ТО

Ж ----

W,

6.4ft где ~ среднее геометрическое функции

Из этой теоремы и соотношения (O.II) непосредственно вытекает ТЕОРЕМА 2.7. Если с .п. ^J^Y ^ Ой , где определяется соотношением (0.10), а &С V) удовлетворяет условиям теоремы 2.4, то

В §4 главы 2 рассматривается следующая регрессионная задача.

Пусть NJ

V пи (0#12) где стационарная в широком смысле случайная последовательность с нулевым средним и с.п. (Д^ , а С -неизвестное среднее значение процесса . Л

Рассматриваются линейные несмещенные оценки С^ среднего С вида w, vv

V (0.13) вида

0.13)

Известно что среди оценок вида (0.13) существует наилучшая линейная несмещенная оценка (НЛНО), дисперсия которой минимальна. Так как, как правило, нахождение НЛНО или ее дисперсии очень затруднено, то необходима соответствующая апрокси-мация с помощью других, легче вычисляемых оценок. Существует обширная литература (см. напр. (23^» > Й , )» посвященная сравнению НЛНО с другими оценками, в частности с оценкой наименьших квадратов (ОНК)

Приведем некоторые, относящиеся сюда результаты. У. Гренандер показал , что если с.п. положительна и непрерывна, то как ОНК,так и НЛНО имеют асимптотическую дисперсию . Таким образом ОНК асимптотически эффективна.

Более поздний результат состоит в том, что если с.п. непрерывна и положительна везде, кроме нуля, и то ~ I Vv и оценка (0.13) с коэффициентами асимптотически эффективна, в то время, как ОНК этим свойством не обладает.

Наиболее общие результаты в этом направлении получены Аден-штедтом [24^ .

Пусть —' * где 0 <: С. ^ точки из числа. N ✓ I' / М ' \ \ "1 различные отрезка ^-ЗС , ^г- неотрицательные

ТЕОРЕМА 0.3, • Если с.п. ^Оч) процесса равна где определяется из (0.14), то где

Таким образом, если с.п. имеет в начале координат нуль порядка

Спрашивается, можно ли устроить столь высокий порядок нуля с.п. ^ в начале координат, чтобы он обеспечивал экпоненциаль-ное убывание S^lV4) . итвет на этот вопрос отрицательный, приведем соответствующий результат главы kJ.

ТЕОРЕМ 2.7. Если с. п. "^О^ почти всюду положительна в некоторой окрестности нуля, то Ц .--т-г-л

Если же с.п. обращается в нуль п.в. при I'XV^S , то имеет место по крайней мере экспоненциальная сходимость к нулю:

Таким образом, для экспоненциальной сходимости к нулю необходимо, чтобы с.п. ^tV) обращалась в нуль на множестве положительной меры в любой окрестности нуля.

Глава 3 посвящена нахождению условий экспоненциального убывания ошибки прогноза гауссовского стационарного обобщенного процесса.

Пусть - стационарный обобщенный гауссовский процесс со с.п. ^О^ ' удовлетворяющей условиям

IvjAlTb € Of-oo,^ (0.15) -V V"

Пусть ^ - гильбертово пространство, порожденное величинами Х^4) ' 00 скалярным произведением f it

Примем обозначение для подпространства пространства порожденного величинами с носителем ^ , содержащимся в пусть м. - два подпространства, пространства а. и ^ - ортопроекторы в на и ''Isl--- соответственно.

Введем функционал (см. И) гл оценивающий близость подпространств , к взаимно ортогональным. Ясно, ЧТО ~ ^ L

Положим , цО *

W - t C^l До4) Uwi ^

Величина ? (/Ц^ служит естественной мерой точности прогноза случайных величин ^ € по прошлому длины \ , т. е. по величинам , по сравнению с их прогнозом по всему прошлому, т.е. по величинам • Естественно также назвать величину ^{S) ошибкой прогноза по прошлому длины \

Условия степенного убывания при изучались в Там показано, что эти условия вполне аналогичны условиям степенного убывания ошибки прогноза для регулярной стационарной последовательности (теорема 0.1). Именно справедлива

ТЕОРЕМА 0.4, . Пусть с.п.-^О^ стационарного обобщенного гауссовского процесса удовлетворяет условиям (0.15).

Тогда для того, чтобы выполнялось условие

- нецелое,

Ч/-» оо С необходимо и достаточно, чтобы -jO^ п.в. совпадала с непрерывной, отделенной от нуля и бесконечности функцией, и чтобы функция 'Mf ^ :1мела абсолютно непрерывную (jo-A4) -ю производную, S -ю производную, принадлежащую пространству (-с* и удовлетворяющую там условию Гельдера порядка cJ^ ^ - ; последнее означает следующее: fi^yWktf''= О'U4

В главе 3 получены необходимые и достаточные условия для экспоненциального убывания Sll} при Х-^оо , которые мы сейчас приведем.

ТЕОРЕМ 3.2. Пусть с.п. ^(.V) стационарного обобщенного гауссовского процесса удовлетворяет условиям (0.1b). Тогда для того, чтобы выполнялось условие необходимо и достаточно, чтобы с.п. (Д^ п.в. совпадала с непрерывной, отделенной от нуля и бесконечности функцией и функция if ^(Х) допускала представление: M^CV)— \ + СХ^ , где ^(Х) аналитическая в полосе функция, удовлетворяющая условию: 'Vp*^Vi = ^ С £ Y-Д-с* оо^ при любом U, , г г

Таким образом, условия экспоненциального убывания также аналогичны соответствующим условиям для регулярной последовательности, полученным Гренандером и Розенблаттом (см. теорему U.2).

1. Ахиезер Н.И. Лекции по теории аппроксимации.-М.: Наука, 1965, 407 с.

2. Винер Н., Пэли Р. Преобразование Фурье в комплексной области.-М.: Наука, 1964, 267 с.

3. ГельфащСЛ.М., Яглом A.M. Овычислении количества информацииU U V и О (J Vо случайной функции, содержащейся в другой такой функции.-Успехи матем. наук, 1957, т.12, вып. 1(73), с. 3-52.

4. Геронимус Я.Л. Онекоторых асимптотических свойствах полиномов. -Матем. сб., 1948, т. 23, Jfc I.

5. Голинский Б.Л. Об асимптотическом поведении ошибки прогноза.-Теор. вероятн. и ее примен., 1974, т. 19, № 4, с. 724-739.

6. Голузин Г.М. Геометрическая теория функций комплексного перемениого.-М.: Наука, 1966, 648 с.

7. Гофман К. Банаховы пространства аналитических функций.-М.: Физматгиз, 1963, 311 с.

8. Гренандер У., Gere Г. Теплицевы формы и их приложения.-М.: Ин. лит., 1961, 308 с.

9. Ибрагимов И.А. Об асимптотическом поведении ошибки прогноза.-Теор. вероятн. и ее примен., 1964, 9, л» 4, с. 695-703.

10. Ибрагимов И.А., Солев В.И. Асимптотическое поведение ошибки прогноза.-Теор. вероятн. и ее примен., 1968, т. 13, № 4,с.

11. Келдыш М.В. Оразрешимости и устойчивости задачи Дирихле.-Успехи матем. наук, 1940, вып. 8, с. 171-231.

12. Коровкин П.II. Емкость множества и полиномы, минимизирующие интеграл.-Ученые зап. Калинингр. пед. инст., 1958, вып. 5, с.

13. Коровкин П.П Множества сходимости рядов полиномов.-Дис. . доктора физ,.-мат. наук .-Ленинград, 1947.

14. Коровкин П.П. 0 росте функций.-Докл. АН СССР, 1951, т. 78, jfe 6, с.

15. Крейн М.Г. Континуальные аналоги предложений о многочленах ортогональных на единичной окружности.-Докл. АН СССР, 1955, т. 105, JS 4, с. 637-640.

16. Крейн М.Г. Об основной аппроксимативной задаче теории экстраполяции и фильтрации стационарных случайных процессов.-Докл. АН СССР, 1954, т. 94, гё 1, с. 13-16.

17. Месропян Н.Х. Некоторые задачи спектральной теории случайных процессов.-Дис. .аканд. физ.-мат. наук.-Ленинград, 1980,-64 с.

18. Неванлинна Р. Однозначные аналитические функции.-М.: Гостехиздат, 1941,

19. Расулов H.ii., Холево А.С. Одна задача регрессии для процессов с непрерывным временем.-Теор. вероятн. и ее примен., 1978,т. 23, № 4, с. 762-772.

20. Розанов Ю.А. Стационарные случайные процессы.-М.: физматгиз, 1963, 284 с.

21. Сеге Г. Ортогональные многочлены.-М.: Физматгиз, 1962, ЬОО с.

22. Солев Б.Н. Некоторые задачи спектральной теории стационарных в широком смысле процессов.-Дис. .канд. физ.-мат. наук.-Ленинград, 1972,

23. Q. i/Ьл e/nut /он. McMi-Teii.}M. J?.В. ufb QMf ItitbCAwL -offttiejii o&ictyiaAz-ih, -кш. S&ue* анЛЬия.-. T^uvut (X/^.WaA.csЖ4, к 3. d

24. Бабаян H.M. Об асимптотическом поведении ошибки прогноза.-Зап. науч. семин. ЛОМИ, 1933, т. 130, с. 11-24.

25. Бабаян Н.М. Об асимптотическом поведении ошибки прогноза в сингулярном случае.-Теор. вероятн. и ее примен.- 1984, т. 29, № I, с. 147-150.