Характеристики самоподобия случайных процессов и трафика радиосистем при наличии повторных сигналов тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.03 ВАК РФ

На правах рукописи

ЗЮЛЬКОВ Илья Александрович

ХАРАКТЕРИСТИКИ САМОПОДОБИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ И ТРАФИКА РАДИОСИСТЕМ ПРИ НАЛИЧИИ ПОВТОРНЫХ

СИГНАЛОВ

Специальность 01.04.03 - "Радиофизика"

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Воронеж - 2004

Работа выполнена в Воронежском государственном университете.

Научный руководитель - доктор физико-математических наук,

доцент ПАРФЕНОВ Владимир Иванович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор ЛУКИН Александр Николаевич

кандидат физико-математических наук, доцент КОНОНОВ Александр Давыдович

Ведущая организация - федеральное государственное унитарное предприятие

"Воронежский научно-исследовательский институт связи"

Защита состоится 23 декабря 2004г. в 15 часов 40 минут на заседании диссертационного совета Д 212.038.10 при Воронежском государственном университете по адресу: 394693, г. Воронеж, Университетская пл.1, ВГУ, конференц-зал.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Воронежского государственного университета.

Автореферат разослан 22 ноября 2004г.

Ученый секретарь

диссертационного совета , /у МАРШАКОВ В.К.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность темы. Современная радиофизика для описания различных явлений, таких как рассеяние электромагнитных полей шероховатыми поверхностями, трафик систем передачи информации, фликкер-шум и др. широко использует математические модели самоподобных случайных процессов (СП)1. Характеристики самоподобия (фрактальные размерности и показатель Херста), определяют важнейшие свойства рассматриваемых явлений. Они с одной стороны, описывают локальные свойства реализаций СП, а с другой - задают некоторые удобные для анализа величины в тех ситуациях, когда распространенные параметры, например вероятностные моменты, могут не существовать. Кроме того, эти характеристики используются при фрактальном анализе сигналов и для определения потенциальных возможностей сжатия многомерных данных. Однако, способы их расчета для различных СП развиты недостаточно.

Результаты, полученные при исследовании характеристик самоподобия различных СП, используются при анализе трафика систем передачи информации. Свойства трафика, его различные модели и характеристики активно исследуются в зарубежной научной печати.2Эти исследования привели к установлению его самоподобной структуры, возможному наличию долговременной зависимости и утяжеленных хвостов в распределении связанных с трафиком СП и величин. Перечисленные свойства в существенной мере определяют пропускные способности и размеры накопителей систем передачи информации, в частности радиосистем. Современные радиосистемы передачи информации представляют собой сложные многофункциональные комплексы, предназначенные для решения широкого круга задач. Как правило, они состоят из совокупности систем первичной и вторичной обработки сигналов. Вероятностно - временные свойства трафика радиосистем определяются характеристиками работы систем вторичной обработки, причем важнейшим фактором, определяющим их пропускную способность, является наличие повторных сигналов, возникающих ввиду различных причин. Повторные сигналы вызывают пульсации трафика и приводят к существенному возрастанию пиковой нагрузки радиосистем Поэтому ввиду высокой практической важности, представляет интерес исследование самоподобных свойств трафика радиосистем с повторными сигналами.

Таким образом, актуальность темы диссертационной работы обусловлена необходимостью разработки способов расчета и анализа самоподобных и вероятностно - временных характеристик СП и трафика радиосистем. Цель и задачи работы. Цель диссертационной работы - анализ характеристик самоподобия СП и трафика радиосистем при наличии повторных сигналов. В соответствии с этим в работе рассмотрены следующие основные задачи: - исследование вероятностно - временных характеристик функционирования радиосистем при наличии повторных сигналов в стационарном и нестацио-

1 Потапов, A.A. Фракталы в радиофизике и радиолокации. / А.А Потапов - М.: Логос, 2002г. - 664с.

2

Из отечественных книг по этому вопросу можно отметить лишь книгу Шелухин, О И Фрактальные процессы в телекоммуникациях./ О И Шелухин, А М Тенякшев, A.B. Осин -М.: Радиотехника, 2003 - 480с.

РОС. HAH ОчНЛЛЬНАЯ БИЬ. .b'J'FKA C.llric|)»ijpr

«обрк

нарном режимах;

- разработка методов расчета характеристик самоподобия достаточно широкого класса СП, используемых, в том числе, и в качестве моделей трафика систем передачи информации;

- исследование и анализ вероятностно-временных характеристик и самоподобной структуры трафика радиосистем при наличии повторных сигналов;

- оценка параметров самоподобия различных СП и трафика систем при наличии повторных сигналов по результатам имитационного моделирования.

Методы исследования. Исследования базируются на использовании методов статистической радиофизики, теории вероятностей и математической статистики, теории массового обслуживания и имитационного моделирования. Научная новизна. На защиту выносятся следующие результаты, впервые достаточно подробно развитые или впервые полученные в данной работе: 1 Точные аналитические выражения для вероятностных характеристик функционирования одноканальной системы с повторными сигналами в стационарном режиме и их интерпретация.

2. Точные аналитические выражения для первых двух вероятностных моментов трафика одноканальной системы с повторами в нестационарном режиме и анализ процессов установления его стационарного состояния по среднему значению и дисперсии.

3. Способы расчета и результаты расчета для конкретных примеров фрактальных размерностей линейных случайных процессов. Выражения для характеристик самоподобия и установление факта их зависимости от вероятностных и временных свойств случайных процессов.

4. Точные выражения для одномерной характеристической функции и фрактальной размерности трафика рассматриваемой системы в стационарном режиме.

5. Установление фактов мультифрактальности на всех и монофрактальности на больших масштабах в стационарном режиме у трафика рассматриваемой системы, а также отсутствия утяжеленных хвостов в одномерном распределении связанных с трафиком случайных величин.

Практическая ценность. Практическая значимость результатов работы состоит в расчете характерного времени установления стационарного состояния трафика по среднему значению и дисперсии а также его характеристик самоподобия и других величин для обоснованного выбора параметров радиосистем при наличии повторных сигналов.

Апробаиия результатов работы. Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на 5 Международных и Всероссийских научных конференциях: VI,VII,VIII и X Международные конференции "Радиолокация, навигация и связь", Воронеж, 2000г., 2001г., 2002г., 2004г.; Всероссийской научно-практической конференции "Современные проблемы борьбы с преступностью", Воронеж, 2003г.

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 10 печатных работ. Структура и объем работы. Диссертационная работа изложена на 162 страницах основного текста, включающего 40 рисунков на 15 страницах, состоит из

введения, четырех глав, заключения и списка литературы из 144 наименований, а также содержит три приложения на 16 страницах.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Во введении обоснована актуальность диссертационного исследования, сформулированы цель и задачи работы, показана научная новизна и практическая значимость полученных результатов, дана краткая аннотация работы. В первом разделе кратко рассмотрена классификация радиосистем и их подсистем. Приведены причины возникновения повторных сигналов.

,_, В качестве модели подсистемы

1— ,—I—, радиосистемы рассматривается

одноканальная система с повторными сигналами (рис. 1). Здесь 1,2- источник и 'Рис 1 приемник первичных сигналов, 3 -

одноканальное устройство их обработки.

Ввиду наличия шумов в радиоканале, возможны ошибки приема сигналов. Их вероятность определяется отношением сигнал-шум и принятым способом кодирования сигнала. Другая причина возникновения ошибок связана с возможным совпадением сигналов во времени (блокированием канала). Наличие ошибок передачи является причиной появления повторных сигналов в системе. Повторные сигналы появляются также в связи с занятостью одноканаль-ного устройства их обработки (блок 3).

Описанная схема возникновения повторных сигналов свойственна системам передачи информации и другим радиосистемам, так что рассмотренная структура обладает достаточной общностью. В литературе высказано предположение, о возможности самоподобия трафика подобных систем.

Различные определения самоподобия (а -1) и самоафинности (а * 1) СП связаны с тем, какие их статистические характеристики являются однородными

функциями, т.е. удовлетворяют условию /(Л/) = Лаf (г). Естественно понятия самоподобия (самоафинности) и фрактальности множеств не эквивалентны. Однако в литературе сформировалась терминология в соответствии с которой, самоподобными называются СП с фрактальными реализациями. Аналогичной терминологии в дальнейшем будет придерживаться и автор.

Можно ввести понятия самоподобия СП в узком и широком смысле. В любом случае одной из его характеристик является фрактальная размерность (показатель Херста) реализаций СП. Существует множество видов фрактальных размерностей. Применительно к графикам функций они во многом близки между собой. Часто используется размерность Хаусдорфа-Безиковича (РХБ), которая для множества X определяется следующим образом. Введем 5 - покрытие X - К(8) = ,./' - 1,2...| такое, что X ^ и 0<<Иат{Х¿)<8 для всех ], где <¡1ат(Ххарактерный размер множества X.. Тогда 5- мера Ха-усдорфа определяется как

КЯ(Х)= Ьт { и* т&ат{Х )*)]}. (1;

5-*О К{5) ] 7

Критическое значение величины .V такое, при котором К<.(х) изменяет значение от нуля до бесконечности и называется РХБ £>// множества X.

Из литературы известен способ вычисления РХБ реализаций коррелированного гауссовского СП Х{{) ■ Он связан с вычислением меры Хаусдорфа реализации СП - 51-длины и дальнейшим нахождением такого при котором среднее значение найденной меры изменяет свою величину от нуля до бесконечности. Для множеств в виде графика реализаиии СП РХБ и клеточная размерности совпадают, т.е. тот же, что и в (1) результат получается при использовании прямоугольного покрытия кривой.

Характерный размер прямоугольников покрытия можно выбирать не только так, как в рассматриваемой литературе <1шт(Ху) =| ) - А^г^) ]. Необходимо учитывать то, что для самоафинного СП приращения по различным осям неравноправны. Таким образом, возникают самоподобная и самоафинная РХБ, для которых характерный размер множества покрытия вычисляется по

приведенной формуле или как diam(XJ) = yJ\X(tj)-X(tJ_l)f<s fj_.il соответственно Отсутствие необходимости поиска нижней границы в (1) и возможность расчета самоафичной РХБ позволяют обобщить и правильно интерпретировать полученные в литературе результаты.

В первом разделе также приведены методы расчета характеристик самоподобия по экспериментальным данным и модели трафика систем передачи информации.

Во втором разделе рассмотрены стационарный и нестационарный режимы функционирования системы с повторными сигналами (рис 1). Считается, что источник генерирует пуассоновский поток первичных сигналов с интенсивностью Л, которые обслуживаются в порядке поступления устройством регистрации случайное время, распределенное по экспоненциальному закону с параметром равным единице (// = 1), что соответствует дальнейшему использованию нормированных величин. Если устройство регистрации занято, то возникают повторные сигналы. Для описания поведения абонента при отказе в обслуживании используется модель абсолютно настойчивого пользователя, повторяющего требование до тех пор, пока оно не будет обслужено. Каждый отклоненный первичный сигнал порождает пуассоновский поток повторных сигналов с интенсивностью V.

Поток повторных требований представляет собой сумму случайного числа К пуассоновских потоков, поэтому он не является пуассоновским. Следует отметить, что аналогичная модель возникает при исследовании пропускной способности протокола «АЛОХА» систем случайного множественного доступа

В стационарном состоянии в отсутствии ошибок радиотехнической подсистемы (блоки 1,3 рис 1) найдены производящие функции

= р(1,к) / = 0,1 и вероятности р(г,к);1 = ОД;А: = 0,1.. занятости г

каналов обработки сигналов системы и наличия к источников повторных сигналов ад = (1 - Л)[{\ - Я)/(1 - Лг)]^, = А[(1 - А)/( 1 - Лг)]л/"+1,

,«>,*) = + _ (и) + * + _ л/у+1 к > ь

^ ; *! Г(Я/у) *! Г(Я/у)

Приведенные соотношения значительно проще, используемых в литературе и допускают следующую интерпретацию.

Найдем производящую функцию и вероятность Р^ = р(0,к) + р(1,к-1) наличия в системе к источников повторных сигналов

^(г) = Г0(г) + 2^(г) = [(1-Я)/(1-Я2)]Я/у+1 Л * = ......(2)

Здесь число сочетаний из т элементов по п \ г = Я/к +1; = 1 — Я,

^ = 1 - р = Х. Соотношения (2), задают отрицательно-биномиальное распределение. Таким образом распределенная случайная величина интерпретируется как число неудач до г-ого успеха в биномиальной схеме. Отрицательно-биномиальная случайная величина является безгранично-делимой, что позволяет ввести понятие отрицательно - биномиального потока и соответствующего СП, имеющего независимые приращения. Однородный отрицательно-биномиальный поток можно интерпретировать как условно - пуассоновский с

интенсивностью имеющей гамма распределение (центральное распределение с г степенями свободы при целых г). Таким образом, при целых г рассматриваемый поток есть сумма г независимых геометрических (отрицательно-биномиальное распределение с г = 1) потоков. Все линейные функционалы, построенные на основе числа повторных сигналов в рассматриваемой системе являются линейными случайными процессами. Следует отметить, что отрицательно-биномиальные потоки фотоотсчетов возникают при описании регистрации слабого оптического г-модового гауссовского случайного сигнала в полуклассическом приближении.

Полученные соотношения при V оо переходят в характеристики системы М | М113 в стационарном состоянии. Действительно, V —» эз соответствует тому, что требование на повторное обслуживание может быть обработано сразу при освобождении устройства обслуживания. При V —>■ оо г —> 1 и соотношения (2) переписываются в виде

/•(7) = (1-А)/0-Яг), Рк=РЧк, * = 0,1,..., р = \-Я, Ч = А. (3) Эти соотношения задают характеристики длины очереди в системе М \ М \ 1. Производящая функция и распределение (2) являются результатами г = Я/и +1 кратной свертки соответствующих функций (3).

Приведем результаты расчета по полученным соотношениям. На рис.2 приведены зависимости среднеквадратичного отклонения числа источников повторных сигналов, от Я при у -1 (верхняя кривая) и V = 5 (нижняя кривая). Медленное возрастание среднеквадратичного отклонения числа источников повторных сигналов при малых Я сменяется быстрым при Я ~ 0.6-0.7. На рис.3

3 Система с одним обслуживающим прибором при наличии буфера (очереди) с бесконечным числом мест для ожидания при пуассоновском входном потоке с интенсивностью Я и экспоненциальном времени обслуживания со средним 1 / /л.

приведены зависимости флуктуаций (нормированного среднеквадратичного отклонения ^Щ)/< К >) числа источников повторных сигналов от 2(V = 1 -нижняя кривая, V = 5 - верхняя). Хотя флуктуации быстро ослабевают с увеличением Я, тем не менее, они все еще остаются значительными (~ 1) при Я ~ 1. Поэтому, реализация соответствующего СП имеет большой размах относительно среднего значения и убывает в некоторые моменты времени практически до нуля. Таким образом, трафик рассматриваемых систем имеет резкие перепады интенсивности, что качественно совпадает с результатами экспериментального измерения трафика в локальных сетях передачи данных.

а (К) ст(К)/<К>

Рис.2 Рис.3

Рассмотрим характеристики нестационарного режима функционирования одноканальной системы при наличии повторных сигналов. Полное вероятностное описание, задаваемое вероятностями /?(/,£;?), в данном случае получить не удается. Поэтому получим аналитические соотношения для усредненных характеристик трафика. В литературе получено соотношение для преобразований

Лапласа среднего числа обслуженных = и повторных

УЮ^^ь-о^^-окрО'к'1) сигналов в одноканальной системе

= (4)

Используя преобразования Лапласа вероятностей р(г,&;/)<=> /?*(;',/:; у), и их производящие функции г =1,2, для первоначально пустой системы из

уравнений для вероятностей получим

I (Я + 5)^0(2,5) + уг^оСг.б') -1 = О, .у)

[(А+ 5 +1)^0,5) = Яг/1 (г,«) + УГо(г^) + с условием нормировки 7*0(1,.$) + = I/5 • Штрихом обозначено дифференцирование по г. Поскольку Х(я) = /^(1,5), У(.ч) = /"оП.л') + ^ (!,.?), то, используя соотношение (4), из (5) при г = 1 с учетом условия нормировки, получим квадратное уравнение для нахождения ^ (1,5). Поэтому для среднего числа обслуженных сигналов в зависимости от времени получим

(5)

Fx (l,s) о /(1,0 = x(t) = ХГ=о Р(1к>1) = Ait) - x!y + B(t)>

(6)

W-

f/i V J

t

'гЛ*

v(t-x)~ax/v

dx

Bit):

J

v

\

x/vdx

/

■ 00 /

-

где а = XV + V-г 2Я, Л(л + у)(у + \) При у-ж (6) переходит в соответствующую формулу для системы М | М 11, а в стационарном состоянии (при ? —> оо ) получим х(оо) = /I, что совпадает с известными результатами. 1:

40 60

Рис.5

100

На рис.4,5 приведен типичный вид временных зависимостей среднего значения (рис.4) и дисперсий (рис.5) числа обслуженных сигналов (кривая 1) и числа источников повторных сигналов (кривая 2) и их стационарные значения. Рисунок построен для А = 0 75.v = 4.5 Анализ приведенных соотношений показал, что характерное время установления стационарного состояния потока обслуженных сигналов мало, и уменьшается с увеличением v . В противоположность этому, характерное время сходимости к стационарному состоянию в потоке повторных сигналов велико и медленно уменьшается с увеличением v. Эти времена могут различаться на 2-3 порядка. Ошибки приема служебной информации из-за шумов (блок 2 рис 1) изменяют интенсивности потока первичных и повторных сигналов При малых вероятностях ошибки характерные времена установления стационарных состояний системы практически не меняются по сравнению с приведенными результатами. В третьем разделе результаты предыдущих использованы для исследования самоподобных свойств трафика рассматриваемой системы Вначале рассмотрим способы расчета РХБ различных СП.

При малых приращениях времени 5 расчет среднего значения s - длины для коррелированного гауссовского СП X(t) со структурной функцией

*¥(t,t + S) = A(t)Sa A(t)<M-const., 0<а<2, (7)

показывает, что оно зависит от 4,s' 2 и " соответственно для самоподобной и самоафинной РХБ Т е расчет размерностей связан с нахождением дробного абсолютного момента приращений СП, что для гауссовского СП позволяет получить Вцс = 2¡а, D/ja = 2 - а/2. Для обобщенного броуновского движения

9 "У J4

< (АХ) >~ S , поэтому Оцс = 1 /Я, DHa - 2 - Н, где Н - параметр Херста.

Приведенный способ расчета РХБ можно распространить на линейные СП4. Это обусловлено возможностью получения в общем виде характеристической функции их приращения и анализа зависимости от 8 дробного абсолютного момента с использованием полученного выражения.

Линейные СП Х({) получаются как линейные функционалы, построенные на основе однородных случайных процессов с независимыми приращениями ц{х) с характеристической функцией /(и,г) = ехр[г^(м)], г > 0

X(t)= J <p(T,t)dri(T), fie^-l- iUX

dU{x). (8)

j

2 4 1 + x2

-00 -004 ITA,

Функция g{u) задает каноническое представление характеристической функции безгранично делимой случайной величины в форме Леви.

Частный случай линейных - СП, построенные на основе устойчивых случайных величин. Симметричная устойчивая случайная величина имеет характеристическую функцию /(«) = ехр(ги ц-с\и\а), [л е (~эо,оо), с>0,ае(0,2], является гауссовской при а = 2; Коши - при а = 1; имеет утяжеленные хвосты распределения при а <2, т.е. не имеет моментов порядка выше а.

Для линейного СП в диссертации записана характеристическая функция приращений h{z,8;u), через которую абсолютный момент порядка 1/2 выражается с помощью соотношения ßiß = - Re{h{t,8;n))]u~^2du j(2-j2n;). Если при малых 8 ß\j2 ~ 8Р, то

DHa=2-2p. (9)

Рассмотрим некоторые примеры.

9 Pf о /

Обобщенное броуновское движение. Поскольку g{8,u) = — \5\ (сти) /2, то

ßl/2~ {сг8^и)2¡2)]и~^2du. Выполнив замену переменной

.г = 8Ни, получим /?;/2 ~ сУ^2, р = Ii¡2 и поэтому из (9) - 2 - Н.

Симметричный однородный устойчивый процесс. Поскольку g{8,u) = -с8 \и\а,

8> 0, поэтому А/2 ~ J^°[l~exP(~c8ua)]u -У 2 du. После замены переменной

X = uSX!a получим ßij2 ~ sllaa), р =■ У {2а) и поэтому (9) DHa =2-1/а. Симметричный неоднородный устойчивый процесс. При неоднородности такого же вида, как и у фрактального гауссова шума g{tt,5) ~ -cS2^ \и f, 8> О аналогично предыдущему

DHa=2-2H/a. ч (10)

Из этого соотношения следует, что фрактальные размерности определяются как

4 Марченко, Б Г. Метод стохастических интегральных представлений и его приложения в радиотехнике / Б Г Марченко - Киев' Наукова думка. 1973. - 192 с.

поведением сглаживающей функции (p{r,t) - величина Н, так и вероятностными свойствами порождающего процесса - величина а.

Исследуем характеристики трафика одноканальной системы с повторными сигналами (раздел 2). Число повторных сигналов в момент времени t можно записать в следующем виде

ох)

где K{t)- число источников повторных сигналов, а N¿(1)- пуассоновский процесс, соответствующий потоку /'- ого источника сигналов. В простейшем случае, рассматриваемом далее, процессы Лг,(?) стационарны и имеют равные интенсивности v. Под трафиком системы понимается число повторных (или обработанных) сигналов в единицу времени. Для числа повторных сигналов поступающих на систему за время 8, Y(t,8) = Y(t + 8) - Y(t) = У](t,8) + ¥2(1,8)

Yi(t,S)^^[N(t + S)-N(t)l Y2(t,8)^fJ^N(t + 8). (12)

При малых величинах 8 слагаемым Yi{t,8) можно пренебречь, поскольку интенсивность потока повторных сигналов (процесс Nt(t)) обычно существенно больше интенсивности потока их источников (процесс K(t) ).

Используем полученные в диссертации соотношения, связывающие характеристические и производящие функции сложных случайных величин. Тогда для производящей функции Y(t) (11), среднего значения и дисперсии числа

повторных сигналов получим соответственно Y*(t,8;z) = AT*(/,exp[vi(z -1)]),

<Y(t,8)>=<K(t)>v8, D[Y(t,8)] = D[K(t)](v8)2+<K(t)>v8, (13)

*

где К (t,z)- производящая функция СП К(1).

При анализе пропускной способности систем со случайным множественным доступом (протокол «АЛОХА») СП Y(t) (11) приближенно считается пу-ассоновским. В литературе условия выполнимости этого приближения находятся на основе имитационного моделирования и формулируются в виде v «1. Очевидно, что приближение справедливо, если

vS «(< К >)/D(K). (14)

Условие (14) существенно обобщает и уточняет используемое в литературе и переходит в него для пуассоновского потока и единичного времени наблюдения.

Соотношения (13), (14) имеют достаточно общий характер, хотя и являются приближенными. При исследовании одноканальной системы с повторными сигналами в стационарном состоянии можно получить значительно более глубокие результаты по анализу трафика. Это связано с тем, что в стационарном режиме одноканальной системы число источников повторных сигналов является отрицательно-биномиальным однородным случайным процессом. Поскольку это процесс с независимыми приращениями, как и пуассоновский, то полученный сложный процесс (трафик) тоже является однородным процессом с независимыми приращениями Таким образом, трафик Y(t,8) (12) является ча-

стным случаем линейного СП и для него можно использовать разработанный метод вычисления фрактальной размерности

В диссертации доказаны приведенные утверждения. СП (11) для повторных сигналов одноканальной системы является однородным СП с независимыми приращениями. Это следует из того, что сумма безгранично делимого числа независимых одинаково распределенных величин безгранично делима и того, что для одноканальной системы в стационарном режиме процесс K(t) отрицательно биномиальный (2), т.е. безгранично делимый.

Поскольку трафик Y(t,S), как приращение случайного процесса (11) с независимыми приращениями, безгранично делим, то для характеристических функций слагаемых получим при 8 > 0, г > О

Л (/,*;„)=j--1 y2(t,S;u)4-£----1 (15)

В стационарном режиме K(t) = К и для однородного потока повторных сигналов от каждого источника N(t) имеем Yi(t,8) = 0 и зависимость от t в (12), (15) исчезает. Поэтому из (15) получим начальные моменты трафика одноканальной системы при наличии повторных сигналов

< Y(5) >= iy'u(8-,0) = гдЩ 1 - q)~l, (16)

D[Y(8)] = -у"и(8;0) + b>;0)]2 = rql8{\ -q + Я8)( 1 - д)~2. (17)

Для расчета фрактальной самоподобной размерности трафика повторных сигналов в стационарном состоянии необходимо исследовать поведение при малых 8 дисперсии его приращений. Характеристическую функцию этих приращений можно было бы найти точно так же, как это уже сделано Однако проще воспользоваться тем известным из литературы фактом, что фрактальные размерности процесса и его приращения совпадают. Таким образом, фрактальная размерность трафика Y(t,8) (12), совпадает с фрактальной размерностью СП Y{t) (11), структурная функция которого (дисперсия приращений) задается соотношением (17), т.е. линейна при малых 8 и поэтому Djja = 3/2. В четвертом разделе описан метод построения, структура, алгоритмы функционирования, результаты тестирования и применения различного разработанного автором программного обеспечения. В диссертационной работе были разработаны и реализованы следующие программные продукты:

- программа имитационного моделирования функционирования одноканальной радиосистемы при наличии повторных сигналов;

- программы статистического моделирования обобщенного броуновского движения и однородного симметричного устойчивого СП;

- программы оценки фрактальной размерности и показателя Херста. Программа имитационного моделирования выполнена в виде консольного приложения для Delphi. Использовался событийный подход. Календарь событий представлял собой однонаправленный список записей, реализованный с помощью динамических переменных. Программы статистического моделирования СП использовали метод последовательных случайных сложений и датчик

устойчивых случайных величин из библиотеки Ranval.dll. Программы оценки фрактальной размерности и показателя Херста использовали описанные в литературе алгоритмы. На рис 6,7 приведены выборочное среднее трафика повторных и обслуженных сигналов системы при Я = 0.5, г = 1, ц-1 по 150000 реализаций в зависимости от безразмерного времени Совпадение результатов моделирования и расчета (рис 4) очевидно, что подтверждается вычислениями.

На рис. 8-10 приведены реализации обобщенного броуновского движения для значений параметра Херста Я = 0,3; 0,5; 0,8 соответственно. Рисунок 9 соответствуют винеровскому процессу. Все приводимые реализации СП были построены с использованием одной и той же последовательности равномерных

Полученные при моделировании реализации данных использовались для тестирования, проверки и сравнения программ измерения фрактальной размерности и показателя Херста. Все алгоритмы продемонстрировали схожие удовлетворительные результаты. Для тестового примера с Я = 0.4 оценка по методу Хигучи дает Н = 0.401, по метод}' абсолютных значений - Я = 0.421, а по методу абсолютных моментов - Я = 0.374. Некоторое преимущество показала программа, работающая в соответствии с алгоритмом Хигучи.

На рис.11 приведена реализация стационарного симметричного устойчивого СП с Я = 1/2, а = 1.9. Процесс был бы винеровским при а- 2. Различия между реализациями винеровского процесса и приведенного, близкого к винеровскому наглядно видно из сравнения рис 9 и рис. 11. В районе 2000 отсчета реализации рис. 11 произошел выброс, согласующийся с тем, что а < 2, т.е одномерное распределение отсчетов процесса имеет более тяжелый хвост, чем га-уссовское. Оценка фрактальной самоподобной размерности процесса дает значение близкое к рассчитанному по формуле (10) Оца = 2 - 2Н/а -1.474.

На рис.12, 13 приведены результаты имитационного моделирования трафика повторных сигналов одноканальной системы при Я - 0.75, V = 1, ц = 1 с масштабами по оси времени, различающимися в 100 раз. Рисунки наглядно демонстрируют самоподобие трафика и его существенную неравномерность. Качественный вид кривых совпадает с зависимостями, приведенными в литературе. Оценки показателя Херста по методу Хигучи дают следующие значения Я: Я = 0.71 (Я = 0.85, // = 1, V-4.5)и Я = 0.793 (Я = 0.75, ц~\, V = 10), показы-

О 840 1680 2520 3360 4200

Рис.8

0 840 1680 2520 3360 4200

Рис.9

840 1680 2520 3360

Рис. 10

Г(гд00)/100

4200

1680 2520 3360

Рис. 11

0 5*10' 105 1 5*10! 2*105

Рис. 12

2 5*10' 3*10=

О 5*'О3 103 1 5*103 2*103

Рис. 13

2 5*10

3*103

вающие, что трафик повторных сигналов имеет самоподобные свойства такие же как, трафик рассматриваемых в литературе систем передачи информации. В заключении подведены итоги по диссертации и сформулированы основные результаты, которые сводятся к следующему

1. Показано, что распределение трафика и числа К источников повторных сигналов одноканальной системы в стационарном режиме безгранично делимо. Распределение величины К можно интерпретировать как условно -пуассоновское со случайной интенсивностью, имеющей гамма распределение (центральное ^2 с г = Л/V +1 степенями свободы при целых г).

2. Трафик повторных сигналов рассматриваемой системы в стационарном состоянии носит пульсирующий, сильно флуктуирующий характер.

3. Времена и характер установления стационарных состояний в потоках повторных и обслуженных сигналов существенно различаются.

4. Фрактальная размерность устойчивого СП задается соотношением (10). Размерность зависит как от вероятностных свойств СП так и от временных свойств его реализации.

5. Точный расчет вероятностных характеристик и фрактальной размерности трафика повторных сигналов одноканальной системы в стационарном режиме позволяет сделать вывод об отсутствии утяжеленных хвостов у распределения и аномальных (Н # 1/2) самоподобных свойств. Для временных масштабов больше длительности переходного периода измеренная фрактальная размерность совпадает с теоретически рассчитанной для стационарного режима (£>//а = 3/2).

6. Различающиеся результаты измерения фрактальной размерности трафика повторных сигналов одноканальной системы для различных минимальных временных масштабов показывают, что

- соответствующие данные мультифрактальны;

- самоподобные свойства трафика определяются временем установления стационарного режима работы системы.

Оценка показателя Херста, полученная для всех характерных временных масштабов системы, дает Н ~ 0.7 - 0.9 (в зависимости от значений параметров), что совпадает с литературными данными для систем передачи информации. Таким образом, достаточно простая система при классических предположениях демонстрирует сложное поведение.

Полученные в работе результаты имеют достаточно общий характер и могут быть использованы для обоснованного выбора параметров и характеристик современных систем передачи информации при их разработке и модификации.

Основное содержание диссертации <

1. Зюльков, И.А. Фрактальные размерно И.А.Зюльков, В.И.Парфенов // Радио нар.науч.-техн.конф.,25-27 апр.2000 г.—Б

2. Зюльков, И.А. Фрактальная размерно И.А.Зюльков // Радиолокация, навигащ конф., 24-26 апр. 2001 г.—Б.м.— 2001.—1

3. Зюльков, И.А. Самоподобные свойств.

вами / И.А.Зюльков//Вестн. Воронеж, пх „ .......... ...

Б.м.—2002,—№ 1,— С. 20-26.

4. Зюльков, A.B. Самоподобные свойства трафика радиосистем в условиях высокой нагрузки при наличии повторных вызовов / A.B.Зюльков, И.А.Зюльков // Радиолокация, навигация и связь: VIII междунар. науч.-техн. конф.—Б.м.— 2002.—Т. 1,—С. 115-119.

5. Зюльков, И.А. Характеристики трафика систем случайного множественного доступа / И.А.Зюльков // Сборник материалов Всероссийской научно-практической конференции "Современные проблемы борьбы с преступностью'', г.Воронеж, 14-15 мая 2003 г. /ВИМВД России.—Б.м.— 2003.—Ч. 2.— С. 57-58.

6. Зюльков, И.А. Вероятностные характеристики системы с повторными сигналами / И.А.Зюльков^В.И.Парфенов // Вестник Воронежского колледжа Минюста России,—Б.м.— 2003.—Вып. 1.— С. 149-153.

7. Зюльков, И.А. Вероятностные характеристики стационарного режима функционирования одноканальной системы с повторными сигналами / И.А.Зюльков // Вестник Воронежского института МВД России.—Б.м.— 2003.—Вып. 3(15).— С. 62-66.

8 Зюльков, И.А. Вероятностные характеристики нестационарного режима функционирования одноканальной радиосистемы при учете повторных сигналов / И.А.Зюльков II Промышленная информатика: Межвуз. сб. науч. тр.—С. 143-148.—Б.м., 2003.

9. Зюльков, A.B. Модель и вероятностные характеристики трафика радиосистемы со случайным множественным доступом / А.В.Зюльков, И.А.Зюльков // Радиолокация, навигация, связь: X междунар. науч.-техн. конф., 13-15 апр. 2004 г.—Б.м.— 2004.—'Т. 2,—С. 1250-1254.

10.Зюльков, А. В. Трафик радиосистем со случайным множественным доступом/ А. В. Зюльков, И. А. Зюльков // Физика волновых процессов и радиотехнические системы т.7 №2 2004г. С. 59-63.

Заказ №725 от 15 11 2004 г Тираж 100 экз Лаборатория оперативной полиграфии ВГУ

РНБ Русский фонд

2006-4 6123

г ,1 in It 11. 1У1Л I Г.1МИ I И К И -

1 О К 1».

1

ВВЕДЕНИЕ.-

1. ПРИНЦИПЫ ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ РАДИОСИСТЕМ И САМОПОДОБНЫЕ МОДЕЛИ ИХ ТРАФИКА.

1.1. Структура и принципы функционирования радиосистем.

1.2. Определения и основные свойства самоподобных случайных процессов.

1.3. Характеристики самоподобия и способы их вычисления.

1.4. Модели и самоподобные свойства трафика систем передачи информации

1.5. Выводы.

2. ВЕРОЯТНОСТНО-ВРЕМЕННЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ РАДИОСИСТЕМ.

2.1. Модель подсистем обработки служебных сигналов радиосистемы.

2.2. Вероятностно - временные характеристики стационарного режима функционирования радиосистем.

2.3. Вероятностно - временные характеристики нестационарного режима функционирования радиосистем.

2.4. Выводы.

3. ХАРАКТЕРИСТИКИ САМОПОДОБИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ И ТРАФИКА РАДИОСИСТЕМ.

3.1. Характеристики самоподобия коррелированного гауссовского случайного процесса.

3.2. Характеристики самоподобия линейных случайных процессов.

3.3. Характеристики самоподобия трафика одноканальной системы с повторными сигналами.

3.4. Выводы.

4. МОДЕЛИРОВАНИЕ РАДИОСИСТЕМ И ИХ ТРАФИКА ПРИ НАЛИЧИИ ПОВТОРНЫХ СИГНАЛОВ.

4.1. Методы моделирования радиосистем и их трафика.

4.2. Имитационное моделирование радиосистем при наличии повторных сигналов .

4.3. Оценка характеристик самоподобия трафика и его моделей.

4.4. Выводы.,.

Современные радиосистемы представляют собой сложные многофункциональные комплексы, предназначенные для решения широкого круга задач. В соответствие со своим предназначением, радиосистемы делятся [1,32, 38, 42,43, 60, 73,78 и др.] на измерительные или информационные, управляющие, системы связи (передачи информации) и др. Как правило, сложные радиосистемы состоят из совокупности систем первичной и вторичной обработки сигналов [1,42,43, 73 и др.].

Тенденции, связанные с непрерывным усложнением задач, стоящих перед радиосистемами, приводят к тому, что их функционирование все чаще связано с обработкой не одиночных сигналов, а их потоков [2,6,7,41,42, 62 и др.] достаточно большой интенсивности, наблюдаемых на фоне помех и шумов. В этих условиях описание систем должно быть комплексным, учитывающим как характеристики радиосистемы первичной обработки сигналов, так и характеристики системы вторичной обработки сигналов, а также их взаимовлияние и взаимодействие при функционировании. Это относится к радиолокационным комплексам, системам связи и передачи информации [1, 32, 73 и др.], широко использующим различные методы управления трафиком и дисциплиной обработки сигналов. При проектировании подобных комплексов, исходя из того, что они являются сложными многофункциональными системами, включающими различные составляющие, широко используется системный подход [12,41, 42, 43 и др.].

Исследованию радиосистем приема потока сигналов посвящена достаточно обширная литература [6, 7, 42, 43, 62 и др.] в которой рассматриваются вопросы оптимального и квазиоптимального анализа и синтеза приемных устройств, и, частично [6,7, 62 и др.], устройств управления. С другой стороны, радиосистемы необходимо рассматривать с учетом функционирования их подсистем массового обслуживания [1, 32, 63, 73 и др.], поскольку часто большая интенсивность воздействующего потока сигналов обусловлена наличием повторных сигналов [26 и др.], не обслуженных при первичном поступлении. Они вызывают пульсации трафика радиосистем и приводят к возрастанию пиковой нагрузки, что существенно ограничивает пропускную способность, которая является важнейшим показателем качества их функционирования. Поэтому исследование вероятностно - временных характеристик систем с повторными сигналами и свойств их трафика является важнейшей задачей. Несмотря на это в настоящее время известны лишь приближенные аналитические соотношения для вероятностных характеристик систем с повторными требованиями в стационарном режиме [70-72, 87 и др.]. В то время как оказалось, что самоподобные свойства трафика определяются именно процессами установления равновесия.

Изучение сильно флуктуирующего трафика в сетях передачи информации привело к установлению его самоподобной структуры, наличия долговременной зависимости и утяжеленных хвостов в распределенияусвязанных с ним случайных величин. Свойства трафика, его различные модели и характеристики самоподобия активно исследуются в зарубежной научной печати. Число работ, посвященных различным аспектам свойств трафика и его моделям в системах и сетях передачи информации очень велико и быстро растет. Достаточно сказать, что обзор [140], опубликованный в 1996 году, содержит 420 ссылок. Возрастающая активность в этом вопросе появляется и в отечественной научной печати. Так, в 2003 году появилась монография [85]. Активное изучение свойств трафика связано с тем, что они не соответствуют классическим результатам теории массового обслуживания, согласно рекомендациям которой рассчитывались пропускные способности и размеры накопителей систем передачи информации со свободным доступом. В частности трафик систем демонстрирует долговременную зависимость, что связано с показательным (а не экспоненциальным) убыванием его коэффициента корреляции. Поэтому, как впервые было установлено с помощью измерений [119], при увеличении размера буфера на входе канала вероятность потерь падает значительно медленнее, чем по экспоненциальному закону, свойственному широко используемым классическим моделям телетрафика. Следовательно, таким образом рассчитанные накопители не обеспечивают достижение предполагаемой вероятности потерь.

Есть основания предполагать, что подобными самоподобными свойствами обладает и трафик систем с повторными сигналами. В этой связи представляет интерес исследование их простейших моделей. Кроме того, исследование систем с повторными сигналами позволяет получить строгие результаты при анализе пропускной способности радиосистем со свободным множественным доступом (протокол «Алоха»).

Самоподобные модели процессов и полей широко используются в современном естествознании, что связано с самоподобием различных структур, существующих в природе.

Наряду с детерминированными, широкое распространение получили и модели с использованием самоподобных случайных процессов. Один из примеров таких процессов - винеровский процесс (броуновское движение). В последнее время активно используется обобщенное броуновское движение и другие модели случайных процессов, применяемые для описания различных процессов и явлений в физике и радиофизике.

Важнейшим параметром детерминированных и случайных самоподобных процессов является фрактальная размерность, характеризующая локальные свойства изрезанности траектории процесса и являющаяся мерой сложности реализаций процесса. Ее различные виды и способы определения обсуждаются в разделе 1.3. Здесь же более подробно остановимся на необходимости введения этого параметра.

Современный этап развития науки характеризуется широким использованием новых геометрических фрактальных моделей. Причиной этого является нелинейность всех явлений природы, а

- фракталы являются предельными множествами (аттракторами) многих нелинейных (сложных, хаотических) динамических систем;

- фракталы возникают там, где существенны степенные законы, описывающие явления, не имеющие собственного характерного размера (масштаба).

Последние возникают [74,75] как следствие общего неспецифического закона эволюции сложных нелинейных динамических систем - возникновения эффекта перемежаемости в ходе эволюции.

Фрактальные размерности идентифицируют фрактальные структуры и являются основной характеристикой новых геометрических моделей [4, 5, 47, 64, 105, 127 и др.]. Она позволяет выделить самоподобные (детерминированные и случайные) структуры среди всех остальных и различать их между собой. Фрактальная размерность и другие характеристики самоподобия отражает симметрию геометрических структур относительно масштабных преобразований и в силу своей универсальности может служить характеристикой изучаемых систем.

В [74,75] фрактальные размерности реализации эволюции сложной динамической системы предлагается использовать в качестве характеристик свойств динамической системы (например динамических систем, порождающих фликер-шум). Тогда по изменению фрактальной размерности во времени можно судить об изменении состояния системы и разрабатывать методики прогноза ее эволюции. Это относится и к динамическим системам реализующим состояния «самоорганизованной критичности» и «стохастического резонанса».

Фрактальная размерность может использоваться при несостоятельности или малой эффективности выборочных оценок моментов процессов для их характери-зации, в том числе и для процессов, описывающихся распределениями с утяжеленными хвостами.

Предложен метод статистического анализа многомерных данных, основанный на определении их фрактальной размерности. Она характеризует внутреннюю размерность многомерных данных и предсказывает возможность анализа и сжатия данных. Таким образом, знание фрактальной размерности необходимо при решении широкого круга задач современной радиофизики.

Вычисление фрактальной размерности для рекурентного фрактала, когда задан его способ построения, не представляет особых затруднений. В литературе приведено множество примеров расчета фрактальных размерностей искусственных структур с заданными правилами построения (снежинка Кох, ковер Серпинского и т.д.). Иное дело для случайных процессов, задаваемых лишь своими вероятностными характеристиками.

В настоящее время активно разрабатываются методы расчета характеристик самоподобия случайных процессов, широко используемых в качестве моделей в различных областях радиофизики и теории телетрафика [83, 85, 91, 93, 96, 100, 102, 103, 110, 120, 121, 123, 124, 130, 133 и др.]. Однако в известной автору литературе рассматривается достаточно ограниченный класс случайных процессов.

Такие величины, как показатель Херста, фрактальные размерности и др., с одной стороны, характеризуют локальное поведение (изрезанность) реализаций случайных процессов на основе их вероятностных свойств, а с другой - задают некоторые удобные для анализа параметры в тех ситуациях, когда распространенные характеристики (например вероятностные моменты) могут не существовать. Последнее относится, например, к активно используемым в последнее время в радиофизике моделям на основе устойчивых случайных процессов.

Таким образом, актуальность темы диссертационной работы обусловлена необходимостью разработки методов расчета характеристик самоподобия широкого класса случайных процессов и анализа самоподобных и вероятностно - временных характеристик трафика радиосистем при наличии повторных сигналов.

В соответствии с этим в работе рассмотрены следующие задачи

- исследование вероятностно - временных характеристик функционирования радиосистем при наличии повторных сигналов в стационарном и нестационарном режимах;

- разработка методов расчета характеристик самоподобия достаточно широкого класса случайных процессов, используемых, в том числе, и в качестве моделей трафика систем передачи информации;

- исследование и анализ вероятностно-временных характеристик и самоподобной структуры трафика радиосистем при наличии повторных сигналов;

- оценка параметров самоподобия различных СП и трафика систем при наличии повторных сигналов по результатам имитационного моделирования.

Учет повторных сигналов (требований на обслуживание) в системах передачи информации представляет собой актуальную задачу [28, 29, 30, 31,70,71,72, 90, 87, 115 и др.], которая в настоящее время решается различными численными и приближенными способами. При этом применяются методы теории массового обслуживания, использующие полное вероятностное описание системы. К сожалению, подобный подход обычно приводит к соотношениям не позволяющим найти точное решение полученной системы уравнений даже в стационарном состоянии.

В диссертации получены новые более простые аналитические соотношения для вероятностей, характеризующих функционирование одноканальной системы с повторными сигналами. С их использованием установлено, что поток источников повторных сигналов является отрицительно-биномиальным. Дана интерпретация этого потока как условно-пуассоновского.

Для нестационарного режима работы получены точные аналитические соотношения для первых двух статистических моментов интенсивностей обслуженной и повторной нагрузок в одноканальной системе с повторами. Проанализированы процессы установления стационарного режима. Исследованы флуктуации нагрузок и трафика в стационарном и нестационарном режимах работы рассматриваемой системы. Разработаны способы расчета самоподобной и самоафинной фрактальных размерностей гауссовского и линейного случайного процессов и рассмотрены различные примеры, в том числе устойчивых случайных процессов. С использованием разработанной методики рассчитана фрактальная размерность трафика повторных сигналов одноканальной системы.

Все основные полученные в работе результаты верифицировались посредством имитационного и статистического моделирования. Разработанный набор программ позволял

- осуществлять имитационное моделирование одноканальной системы с повторами;

- рассчитывать характеристики самоподобия трафика систем по результатам моделирования;

- моделировать случайные процессы с заданными характеристиками самоподобия и вычислять их фрактальные размерности.

Практическая значимость результатов работы состоит в расчете характерного времени установления стационарного состояния по среднему значению и дисперсии трафика, его флуктуаций, показателя Херста и других величин для обоснованного выбора параметров радиосистем при наличии повторных сигналов;

Диссертационная работа состоит из введения, четырех разделов, заключения, списка литературы и приложений.

4.4. Выводы

Результатом исследований, проведенных в данном разделе, является разработка и реализация программ моделирования обобщенного броуновского движения и однородного симметричного устойчивого случайного процессов, а также оценки фрактальной размерности и показателя Херста. Рассмотрен также способ построения, структура и функционирование программы имитационного моделирования одноканальной системы с повторными сигналами. Программа реализована в виде консолыюго приложения для Delphi и протестирована. Проведенный вычислительный эксперимент позволил получить зависимость трафика повторных и обслуженных сигналов от времени и вероятностно-временные характеристики работы системы. Сравнение полученных данных с точными теоретическими соотношениями выявило их полную идентичность. Кроме того

- приводятся результаты моделирования обобщенного броуновского движения и обобщенного белого гауссовского щума.

- Осуществлено тестирование и сравнение между собой программ оценки фрактальной размерности по экспериментальным данным. Из рассмотренных пяти алгоритмов для дальнейшего использования был выбран один метод оценки, устойчивый к структуре наблюдаемых данных.

- Приведены результаты моделирования и оценки фрактальной размерности обобщенного симметричного устойчивого случайного процесса и соответствующего устойчивого белого шума.

- Приведены результаты моделирования трафика повторных сигналов в однока-нальной системе для различных временных масштабов.

- По данным имитационного моделирования получены оценки фрактальной размерности трафика повторных сигналов для различных временных масштабов и проведено сравнение с теоретическими результатами.

На основе полученных результатов можно сделать следующие выводы.

- Выборочные средние значения трафика, приведенные на рис.3,4 демонстрируют сильные флуктуации, несмотря на то, что число выборок велико. Тем не менее, такие значения соответствуют приведенным в разделе 2.3 теоретическим результатам расчета дисперсии трафика и убыванию выборочной дисперсии обратно пропорционально числу элементов выборки.

- Результаты моделирования подтверждают теоретические выводы раздела 2.3 о соотношении характерных времен установления стационарного состояния в потоках повторных и обслуженных сигналов.

- Результаты моделирования подтверждают теоретические выводы раздела 2.3 относительно влияния вероятности ошибки радиотехнической подсистемы на характеристики нестационарного режима функционирования подсистемы массового обслуживания радиосистемы.

- 127- Подтвердился теоретический вывод раздела 1.4 о наилучшей устойчивости оценки фрактальной размерности по методу Хигучи и непосредственно по определению. При соответствующей доработке последнего алгоритма, он может составить конкуренцию методу Хигучи и по точности. Однако рассмотренным методам свойственны все недостатки непараметрических алгоритмов.

- Результаты моделирования и оценки фрактальной размерности обобщенного симметричного устойчивого случайного процесса и устойчивого белого шума подтверждают правильность работы соответствующего программного обеспечения.

- Результаты моделирования трафика повторных сигналов в одноканальной системе для различных временных масштабов показывают, что он обладает пульсирующей структурой и, наряду с другими соображениями, качественно подтверждают его самоподобие.

- Различные оценки фрактальной размерности трафика для различных минимальных временных масштабов показывают, чтосоответствующие данные мультиф-рактальны; самоподобные свойства трафика определяются временем установления стационарного режима работы системы.

- Для временных масштабов больше длительности переходного периода измеренная фрактальная размерность совпадает с теоретически рассчитанной для стационарного режима.

- Оценка показателя Херста, полученная для всех характерных временных масштабов системы, дает Н ~ 0.8 -0.9 (в зависимости от значений параметров), что совпадает с литературными данными для систем передачи информации.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Диссертационная работа посвящена анализу характеристик самоподобия случайных процессов и трафика радиосистем при наличии повторных сигналов. Цель диссертационной работы состояла в

- разработке методов расчета характеристик самоподобия широкого класса случайных процессов;

- анализу на их основе вероятностно-временных характеристик функционирования и трафика одноканальной радиосистемы при наличии повторных сигналов в стационарном и нестационарном режимах;

- установлению области применимости теоретических соотношений и исследованию свойств трафика по результатам имитационного моделирования. В соответствии с этим в работе рассмотрены следующие основные задачи

- анализ методов описания самоподобных случайных процессов, способов расчета и оценки по экспериментальным данным их характеристик самоподобия;

- исследование вероятностно - временных характеристик функционирования радиосистем при наличии повторных сигналов в стационарном и нестационарном режимах;

- разработка методов расчета характеристик самоподобия достаточно широкого класса случайных процессов, используемых, в том числе, и в качестве моделей трафика систем передачи информации;

- исследование и анализ вероятностно-временных характеристик и самоподобной структуры трафика радиосистем при наличии повторных сигналов;

- оценка параметров самоподобия различных случайных процессов и трафика систем при наличии повторных сигналов по результатам имитационного моделирования.

В работе в обзорном плане рассмотрена структура, модели и способы описания функционирования радиосистем при наличии повторных сигналов. Рассматриваются взаимодействующие и взаимовлияющие подсистемы радиосистемы, функционирующие при наличии шумов, и повторных сигналов при высокой интенсивности их потока. В этих условиях их трафик может иметь самоподобную структуру. Приведены основные определения, примеры и области использования фрактальных случайных процессов, а также виды фрактальных размерностей их характеризующих. Подробно рассмотрены самоподобная и самоафинная размерности Хаусдорфа-Безиковича. Обоснована необходимость определения фрактальных размерностей случайных процессов и рассмотрены известные методы ее расчета и оценки по экспериментальным данным. Приведены основные понятия теории телетрафика и используемые модели трафика. Обсуждаются затруднения, с которыми теория телетрафика сталкивается при описании современных систем передачи информации. Уточнено определение нагрузки и установлено ее соотношение с трафиком системы.

На основе проведенного обзора литературы критически рассмотрены известные методы расчета характеристик самоподобия случайных процессов.

Приведенные результаты позволяют выделить объект исследования -одноканальную подсистему массового обслуживания радиосистемы при наличии повторных сигналов функционирующую в стационарном и нестационарном режимах. Рассмотренная вероятностная модель системы активно используется в литературе для анализа систем с повторными сигналами и систем передачи информации со свободным доступом. Тем не менее, эта модель не достаточно глубоко исследована не только в нестационарном, но и в стационарном случае. В диссертации упрощены известные соотношения для вероятностей в одноканальной системе с повторными вызовами. Это позволило:

- получить простое явное выражение для распределения числа источников повторных сигналов и дать этому соотношению полезную интерпретацию;

- сравнить полученные соотношения с характеристиками длины очереди в системе М\М\\ и на основе этого сопоставить показатели функционирования систем;

- установить факт безграничной делимости распределения числа источников повторных сигналов в одноканальной системе с повторами.

Полученные соотношения позволили изучить вероятностную структуру стационарного потока источников повторных сигналов и трафика повторных сигналов в одноканальной системе.

Дальнейшие аналитические исследования позволили установить справедливость соотношения (2.3.2) для стационарного и нестационарного случаев. С использованием этого соотношения решены системы уравнений для значений производящих функций преобразования Лапласа вероятностей числа источников повторных сигналов в одноканальной системе в нестационарном случае. Получены точные аналитические выражения для математического ожидания и дисперсии числа источников повторных сигналов. Найденные соотношения сравнивались с численным решением системы нелинейных дифференциальных уравнений, которая известна для средних значений.

Рассмотрены понятия самоподобной и самоафинной размерностей и способ расчета соответствующих хаусдорфовых размерностей для коррелированного гауссовского случайного процесса. Проведено сравнение с известными результатами и обоснованы преимущества предлагаемого метода. С использованием полученных соотношений рассчитаны размерности различных широко используемых коррелированных гауссовских случайных процессов.

Рассмотрены симметричный однородный устойчивый и линейный случайные процессы. Получена одномерная характеристическая функция приращений* линейного случайного процесса и найдена кумулянтная функция приращения произвольного порядка. Предложено несколько модификаций метода расчета самоподобной и самоафинной фрактальных размерностей линейного случайного процесса (на основе асимптотического поведения структурной функции, дробного абсолютного момента и кумулянтных функций приращения). Поскольку методов расчета размерностей линейного случайного процесса автору не известно, то для частного случая линейного случайного процесса - процесса Леви проведено сравнение с известными результатами и обоснованы преимущества предлагаемого метода. С использованием полученных соотношений рассчитаны размерности различных широко используемых случайных процессов в частности симметричного устойчивого однородного и неоднородного процессов.

Получены соотношения описывающие связь вероятностных характеристик числа повторных сигналов и их источников в стационарном и нестационарном случаях и приведены соображения по возможности их обобщения. Выведены приближенные соотношения для средних значений, дисперсий и флуктуаций трафика повторных сигналов и обсуждается их интерпретация. Приведены условия применимости приближенного подхода анализа пропускной способности протокола передачи данных со случайным множественным доступом, известного из литературы. Доказано, что трафик одноканальной системы с повторными сигналами является случайным процессом с независимыми приращениями. Получены точные выражения для одномерной характеристической функции и начальных моментов трафика повторных сигналов одноканальной системы. Точно рассчитана хаусдорфова самоафинная размерность трафика повторных сигналов одноканальной системы в стационарном режиме. Предпринята попытка объяснения свойств трафика повторных сигналов одноканальной системы в нестационарном режиме.

В работе осуществлена разработка и реализация программ моделирования обобщенного броуновского движения и однородного симметричного устойчивого случайного процессов, а также оценки фрактальной размерности и показателя Херста.

Рассмотрен способ построения, структура и функционирование программы имитационного моделирования одноканальной системы с повторными сигналами. Программа реализована в виде консольного приложения для Delphi и протестирована. Проведенный вычислительный эксперимент позволил получить зависимость трафика повторных и обслуженных сигналов от времени и вероятностно-временные характеристики работы системы. Сравнение полученных данных с точными теоретическими соотношениями выявило их полную идентичность. Кроме того

- приводятся результаты моделирования обобщенного броуновского движения и обобщенного белого гауссовского щума.

- Осуществлено тестирование и сравнение между собой программ оценки фрактальной размерности по экспериментальным данным.

- Приведены результаты моделирования и оценки фрактальной размерности обобщенного симметричного устойчивого случайного процесса и соответствующего устойчивого белого шума.

- Приведены результаты моделирования трафика повторных сигналов в одноканальной системе для различных временных масштабов.

- 132- По данным имитационного моделирования получены оценки фрактальной размерности трафика повторных сигналов для различных временных масштабов и проведено сравнение с теоретическими результатами. Из полученных результатов можно сделать следующие выводы:

1. Характеристическая функция числа источников повторных сигналов одноканальной системы при абсолютной настойчивости пользователя является (при целых г) г - ой степенью характеристической функции системы М\М\\. Соответствующее распределение представляется в виде свертки, а число источников повторных сигналов является условно - пуассоновский случайной величиной со случайной интенсивностью имеющей гамма распределение 2 центральное х распределение с г степенями свободы при целых г).

2. Характерные времена установления стационарных состояний в потоках повторных и обслуженных сигналов существенно различаются. Наличие ошибок приема служебной информации (блок 2 в схеме рис. 1.2) из-за шумов приводит к уменьшению интенсивности первичной нагрузки и увеличению интенсивности повторной. При малых вероятностях ошибки в радиоканале р, характерные времена установления стационарных состояний системы практически не изменяются по сравнению со случаем р=0.

3. Выражение йца=2—2Н/а для фрактальной размерности неоднородного симметричного устойчивого случайного процесса показывает, что она определяется как временными сглаживающими свойствами ядра интегрального преобразования, так и вероятностными свойствами процесса.

4. Для справедливости используемого в литературе приближенного метода анализа пропускной способности протокола «АЛОХА» достаточно, чтобы выполнялось условие (3.3.13). Оно существенно обобщает и уточняет используемое в литературе ограничение и переходит в него для пуассоновского потока и единичного времени наблюдения.

5. Точный расчет вероятностных характеристик и фрактальной размерности трафика повторных сигналов одноканальной системы в стационарном режиме позволяет сделать вывод об отсутствии утяжеленных хвостов у распределения и аномальных (Н Ф1/2) самоподобных свойств.

- 1336. Различные оценки фрактальной размерности трафика для различных минимальных временных масштабов показывают, что

- соответствующие данные мультифрактальны;

- самоподобные свойства трафика определяются временем установления стационарного режима работы системы.

7. Для временных масштабов больше длительности переходного периода измеренная фрактальная размерность совпадает с теоретически рассчитанной для стационарного режима /)//а = 3/2.

8. Оценка показателя Херста, полученная для всех характерных временных масштабов системы, дает //-0.8-0.9 (в зависимости от значений параметров), что совпадает с литературными данными для систем передачи информации. Таким образом, достаточно простая система при классических предположениях демонстрирует сложное поведение.

Предложенный в диссертации метод расчета фрактальных размерностей линейных случайных процессов позволяет исследовать широкий набор конкретных моделей. Использованные методы теоретического исследования свойств трафика без особых затруднений могут быть обобщены для пользователя с произвольной функцией настойчивости и, возможно, для многоканальных систем. Полученные в работе результаты имеют достаточно общий характер и могут быть использованы для обоснованного выбора параметров и характеристик современных систем передачи информации при их разработке и модификации.

1. Андрианов, В.И. Средства мобильной связи / В.И. Андрианов, А.В.Соколов -СПб.: BHV, 1998.- 256с.

2. Бакут, П.А. Обнаружение движущихся объектов / П.А. Бакут, Ю.В. Жулина, Н.А Иванчук. М.: Советское радио, 1980.- 288с.

3. Башарин, Г.П. Анализ очередей в вычислительных сетях. Теория и методы расчета / Г.П. Башарин, П.П. Бочаров, Я.А. Коган М. : Наука, 1989. - 336 с.

4. Берже, П. Порядок в хаосе. О детерминистском подходе к турбулентности./ П. Берже, И. Помо, К. Видаль M . : Мир, 1991. -368 с.

5. Божокин, C.B. Введение в теорию фракталов./ C.B. Божокин, Д.А. Паршин -Ижевск.: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2001. 128с.

6. Большаков, И.А. Статистические проблемы выделения потока сигналов из шума./ И.А. Большаков М.: Советское радио, 1969. - 464с.

7. Большаков, И.А. Прикладная теория случайных потоков / И.А. Большаков, B.C. Ракошиц М.: Советское радио, 1978. - 248с.

8. Вопросы перспективной радиолокации./Под ред. A.B. Соколова. -М.: Радиотехника, 2003. 508с.

9. Гальярди, P.M. Оптическая связь. / P.M. Гальярди, Ш. Карп Пер. с англ. под ред. А.Г. Шереметьева - М.: Связь, 1978. - 424с.

10. Гардинер, К.В. Стохастические методы в естественных науках./ К.В. Гардинер Пер. с англ. - М.: Мир, 1986. - 528с.

11. Гилмор, Р. Прикладная теория катастроф./ Р. Гилмор В 2-х книгах. Кн. 1. М.: Мир,1984.- 350с.

12. Дружинин, В.В. Системотехника. / В.В. Дружинин, Д.С. Конторов М.: Радио и связь, 1985.- 200с.

13. Зеленый, JI.M. Фрактальная топология и странная кинетика: от теории перколяции к проблемам космической электродинамики. / JI.M. Зеленый, A.B. Милованов // УФН, т. 174 (2004), №8, с. 809 852.

14. Золотарев, В.М. Преобразования Меллина-Стилтьеса в теории вероятностей./ В.М. Золотарев // Теория вероятностей и ее применения 1957,2,4,444-469.

15. Зюльков, A.B. Модель радиосистемы в условиях высокой нагрузки./ A.B. Зюльков, Ю.В. Сидоров //Радиотехника №11, 2002, с.

16. Зюльков, А. В. Самоподобные свойства трафика систем передачи информации. / А.В.Зюльков, Ю.В.Сидоров // Радиолокация, навигация и связь: IV междунар. науч.-техн. конф.—Б.м.— 1998—Т. 2 — С. 412-416.

17. Зюльков, И.А. Фрактальные размерности гауссовских случайных процессов/

18. И.А.Зюльков,В.И.Парфенов // Радиолокация, навигация,связь:У1междунар.науч.-техн.конф.,25-27 апр.2000 г.—Б.м.—2000.—Т. 1.—С.261-266.

19. Зюльков, И.А. Фрактальная размерность линейных случайных процессов / И.А.Зюльков // Радиолокация, навигация, связь: VII междунар. науч.-техн. конф., 24-26 апр. 2001 г.—Б.м.—2001.—Т. 1.—С. 58-63.

20. Зюльков, A.B. Самоподобные свойства трафика радиосистем в условиях высокой нагрузки при наличии повторных вызовов / А.В.Зюльков, И.А.Зюльков // Радиолокация, навигация и связь: VIII междунар. науч.-техн. конф.—Б.м.— 2002.—Т. 1.—С. 115-119.

21. Зюльков, И.А. Самоподобные свойства трафика систем с повторными вызовами / И.А.Зюльков // Вестн. Воронеж, гос. ун-та. Сер. Физика. Математика.—Б.м.— 2002.—№ 1.— С. 20-26.

22. Зюльков, И.А. Вероятностные характеристики системы с повторными сигналами / И.А.Зюльков^В.И.Парфенов // Вестник Воронежского колледжа Минюста России.—Б.м — 2003.—Вып. 1.—С. 149-153.

23. Зюльков, И.А. Вероятностные характеристики стационарного режима функционирования одноканальной системы с повторными сигналами / И.А.Зюльков // Вестник Воронежского института МВД России.—Б.м.— 2003.— Вып. 3(15).—С. 62-66.

24. Зюльков, И.А. Вероятностные характеристики нестационарного режима функционирования одноканальной радиосистемы при учете повторных сигналов / И.А.Зюльков // Промышленная информатика: Межвуз. сб. науч. тр.—С. 143-148.—Б.м., 2003.

25. Зюльков, A.B. Модель и вероятностные характеристики трафика радиосистемы со случайным множественным доступом / A.B.Зюльков, И.А.Зюльков // Радиолокация, навигация, связь: X междунар. науч.-техн. конф., 13-15 апр. 2004 г.—Б.м.—2004.—Т. 2.—С. 1250-1254.

26. Зюльков, А. В. Трафик радиосистем со случайным множественным доступом/ А. В. Зюльков, И. А. Зюльков // Физика волновых процессов и радиотехнические системы т.7 №2 2004г. С. 59-63.

27. Иванов, И.Е. Анализ результатов измерения нагрузки в сотовых сетях./ И.Е. Иванов// Электросвязь, 1997, №7.

28. Ионин, Г. Л. Теория телетрафика./ Г. Л. Ионин Рига: РПИ, 1975. - 212с.

29. Ионин, Г.Л. Оценка вероятностных характеристик полнодоступной схемы с повторными вызовами при наличии внутренней связи. / Г. Л. Ионин В кн. Методы и структуры систем телетрафика. - М.: Наука, 1979, с. 32-43.

30. Ионин, Г.Л. Исследование полнодоступной схемы с повторными вызовами и предварительным обслуживанием. / Г. Л. Ионин, Я.Я. Седол В кн.: Методы теории телетрафика в системах распределения информации. М., 1975, с. 75-84.

31. Ионин, Г.Л. Таблицы вероятности потерь на полнодоступном пучке при повторных вызовах./ Г. Л. Ионин, Я.Я. Седол М.: Наука, 1970. - 154с.

32. Карташевский, В.Г. Сети подвижной связи. / В.Г. Карташевский, С.Н. Семенов, Т.В. Фирстова- М.:ЭКО-ТРЕНДЗ, 2001. 300с.

33. Кенинг, Д. Методы теории массового обслуживания./ Д. Кенинг, Д. Штойян -Пер.с нем.-М.:Радио и связь, 1981. 128с.

34. Киндлер, Е. Языки моделирования./ Е. Киндлер Пер.с чеш.-М.: Энергоатомиздат, 1985. - 288с.

35. Клейнрок, Л. Теория массового обслуживания./ Клейнрок Л. М.: Машиностроение, 1979. - 432с.

36. Коростелев, A.A. Пространственно временная теория радиосистем./ A.A. Коростелев - М.: Радио и связь, 1987. - 320с.

37. Кофман, А. Массовое обслуживание. Теория и приложения. / А. Кофман, Р. Крюон М.: Мир, 1965. - 436с.

38. Кроновер, Ричард М. Фракталы и хаос в динамических системах. Основы теории/ Ричард М. Кроновер; Пер. с англ. Т. Э. Кренкеля, A. JI. Соловейчика под ред. Т. Э. Кренкеля.- М.: Постмаркет, 2000.-350 с.

39. Кузнецов, В.И. Системное проектирование радиосвязи. Методы и обеспечение. /В.И. Кузнецов-Воронеж.: ВНИИС, 1994.- 342с.

40. Кузьмин, С.З. Основы проектирования систем цифровой обработки радиолокационной информации. / С.З. Кузьмин М.: Радио и связь, 1986. -348с.

41. Кузьмин, С.З. Основы теории цифровой обработки радиолокационной информации. / С.З. Кузьмин М.: Радио и связь, 1974. - 432с.

42. Лившиц, Б.С. Теория телетрафика. / Б.С. Лившиц, А.П. Пшеничников, А.Д. Харкевич М.: Связь, 1979. - 224с.

43. Лукач, Е. Характеристические функции./ Е. Лукач Пер.с англ. - М.: Наука, 1979. - 424с.

44. Малахов, А.Н. Кумулянтный анализ случайных негауссовских процессов и их преобразований. / А.Н. Малахов М.: Советское радио, 1978. - 376с.

45. Малинецкий, Г.Г. Самоорганизованная критичность/ Г.Г. Малинецкий, H.A. Митин// Журнал физической химии, 1995, т.69, №8, с. 1513-1518.

46. Мандельброт Б. "Самоафинные фрактальные множества" ч.1-3 в кн. Фракталы в физике, М.:Мир, 1988. -618с.

47. Марченко, Б.Г. Метод стохастических интегральных представлений и его приложения в радиотехнике. / Б.Г. Марченко Киев: Наукова думка, 1973. - 192 с.

48. Марченко, Б.Г. Линейные случайные процессы и их приложения. / Б.Г. Марченко, Л.Н. Щербак Киев.: Наукова думка, 1975.- 144с.

49. Математическая энциклопедия, т.5, М.: Советская энциклопедия, 1985. -1248с.

50. Морозов, А.Д. Введение в теорию фракталов./ А.Д. Морозов -Ижевск.: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2002. 162с.

51. Мун, Ф. Хаотические колебания./ Ф. Мун Пер. с англ. -М.: Мир, 1990. -312с.

52. Николис, Г. Познание сложного. Введение./ Г. Николис, И. Пригожин Пер. с англ. - М.: Мир, 1990. - 344с.

53. Пинскер, М.С. Теория кривых в гильбертовом пространстве со стационарными n-ми приращениями. / М.С. Пинскер// Изв. АН СССР, Сер. Математическая, 1955, т. 19, №5, с. 319-345.

54. Помехоустойчивость и эффективность систем передачи информации /А.Г. Зюко, А.И. Фалько, И.П.Панфилов, В.Л. Банкет, П.В. Иващенко; Под ред. А.Г. Зюко. М.: Радио и связь, 1985. - 272с.

55. Постон, Т. Теория катастроф и ее приложения. / Т. Постон, Й. Стюарт М.: Мир, 1980. - 608с.

56. Потапов, A.A. Фракталы в радиофизике и радиолокации. / A.A. Потапов М.: Логос, 2002г. - 664с.

57. Прицкер, М.А. Введение в имитационное моделирование и язык С ЛАМ II. / М.А. Прицкер М.: Мир, 1987. - 646с.

58. Пространственно временная обработка сигналов/И.Я. Кремер, А.И. Кремер, В.М. Петров и др.; Под ред. И.Я. Кремера. - М.: Радио и связь, 1984. - 224с.

59. Прудников, А. П. Интегралы и ряды. / А. П. Прудников, Ю.А. Брычков, О.И. Маричев М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы. 1981.- 800с.

60. Радзиевский, В.Г. Информационное обеспечение радиоэлектронных систем в условиях конфликта./ В.Г. Радзиевский, A.A. Сирота М.: ИПРЖР, 2001. -456с.

61. Ратынский, В.М. Сотовая связь как система массового обслуживания./ В.М. Ратынский // Мобильные системы, 1987, №2, с. 16-18.-13964. Рюэль, Д. Случайность и хаос. / Д. Рюэль Ижевск.: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2001. - 192с.

62. Саати, Т.Л. Элементы теории массового обслуживания и ее применения./ М

63. Саати М.: Сов. радио, 1971. - 520с.

64. Саичев, А.И. Модели дробной диффузии. / А.И. Саичев, С.Г. Уткин // Актуальные проблемы статистической радиофизики т. 1 (2002),№1, с.5-43.

65. Секей, Г. Парадоксы в теории вероятностей и математической статистике./ Г. Секей Пер.с англ. - М.: Мир, 1990. - 240с.

66. Синай, Я.Г. Автомодельные распределения вероятностей./ Я.Г. Синай // Теория вероятностей и ее применения, 1976, т. 21, вып.1, с. 63-80.

67. Советов, Б.Я. Моделирование систем. Практикум. / Б.Я. Советов, С.А. Яковлев-М.: Высш. шк., 1999. 224с.

68. Степанов, С.Н. Моменты избыточной нагрузки однолинейной системы с повторными вызовами. / С.Н. Степанов// Изв. АН СССР. Техническая кибернетика, 1977, №1, с. 55-64.

69. Степанов, С.Н. Приближенный расчет вероятностных характеристик полнодоступного пучка. / С.Н. Степанов// Изв. АН СССР. Техническая кибернетика, 1982, №3, с. 120-127.

70. Степанов, С.Н. Численные методы расчета систем с повторными вызовами. / С.Н. Степанов М.: Наука, 1983,230с.

71. Сухопутная подвижная радиосвязь: в 2 кн. Кн.1. Основы теории/ И.М. Пышкин, И.И. Дежурный, Р.Т. Панкитян и др. Под ред. B.C. Семенихина и И.М. Пышкина М.: Радио и связь, 1990. - 432с.

72. Тимашев, С.Ф. О законе эволюции природных систем. / С.Ф. Тимашев //Журнал физической химии, 1994, т.68, №12, с. 2216-2223.

73. Тимашев, С.Ф Проявление макрофлуктуаций в динамике нелинейных систем. / С.Ф. Тимашев //Журнал физической химии, 1995, т.69, №8, с. 1349-1996.

74. Тихонов, В.И. Статистическая радиотехника. / В.И. Тихонов М.: Советское радио, 1966. - 678с.

75. Тихонов, В.И. Марковские процессы. / В.И. Тихонов, М.А. Миронов М.: Радио и связь, 1985. - 272с.-14078. Фалькович, С.Е. Статистическая теория измерительных радиосистем./ С.Е. Фалькович, Э.Н. Хомяков М.: Радио и связь, 1981. - 288с.

76. Федер, Е. Фракталы. / Е. Федер Пер. с англ. - М.: Мир, 1991. - 254с.

77. Феллер, В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. / В. Феллер В 2-х томах. Т.2. Пер. с англ. М.: Мир, 1984. - 738 с.

78. Хакен, Г. Информация и самоорганизация. Макроскопический подход к сложным системам. / Г. Хакен М.: Мир, 1991. - 200с.

79. Цыбаков, Б.С. Модель телетрафика на основе самоподобного случайного процесса. / Б.С. Цыбаков //Радиотехника, 1999,N5, с.24-31.

80. Учайкин, В.В. Автомодельная аномальная диффузия и устойчивые законы. / В.В. Учайкин // УФН, 173 (2003), №8, с.847 876.

81. Шварц, М. Сети связи протоколы, моделирование и анализ. В 2 ч./ М. Шварц -Пер.с англ.В.И.Неймана. Ч.2.-1992.-272с.

82. Шелухин, О.И. Фрактальные процессы в телекоммуникациях./ О.И. Шелухин, A.M. Тенякшев, А.В. Осин М.: Радиотехника, 2003. - 480с.

83. Шеннон, Р. Имитационное моделирование искусство и наука. / Р. Шеннон -М.: Мир, 1978. - 302с.

84. Шнепс, М.А. Системы распределения информации. Методы расчета: Справочное пособие. / М.А. Шнепс М.: Связь, 1979. - 344с.

85. Шрайбер, Г.Дж. Моделирование на GPSS. / Г.Дж. Шрайбер. Перевод с англ. -М.: Машиностроение, 1980. 592с.

86. Шредер, М. Фракталы, хаос, степенные законы / М. Шредер Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2001. - 528с.

87. Asrom, Karl J. Evolution of continuous-time modeling and simulation. / Karl J. Asrom, Hilding Elmqvist, Sven E. Mattson. // The 12th European Simulation Multiconference ESM'98. Manchester, UK, June 16-18, 1998.-Manchester, 1998

88. Beran, J. Statistics for Long-Memory Processes. / J.Beran -Chapman & Hall, New York, USA, 1994. New York, 1994.

89. Blumental, R. Sample functions of stochastics processes with stationary independent increments. / R.Blumental, R.Getoor // J. Math. Mech. -1961. -vol.10, -P. 493-516.

90. Boes, D.C. Schemes exhibiting Hurst behavior. / D.C.Boes In J.N. Srivastava, editor, A Bibliographical Guide 9 Probability and Statistics: Essays in honor of Franklin A. Graybill, The Netherlands, Elsevier Science Publishers B.V., 1988. -P.21-36.

91. Boch, G. Object-Oriented Desing / G.Boch -Redwood City, Calif. : Benjamin/Cammings, 1991.

92. Brockwell, P.J. Time Series: Theory and Methods / P.J.Brockwell, R.A.Davis -New York : Springer Verlag, 1991.

93. Carmona, P. Fractional brownian motion and the Markov property / P.Carmona, L.Coutin // Electronic communications in probability. -1998. -№3. -P.95-107.

94. Chechkin, A.V. Fractional Brownian motion approximation based on fractional integration of a white noise / A.V.Chechkin, V.Yu.Gonnchar // Chaos, Solitons and Fractals. -2001. -vol.12, №6. -P.391-398.

95. Cohen, J.W. Basic problems of telephone traffic theory and influence of repeated calls / J.W.Cohen // Phillips Telecommunication Review. -1957. -vol.18, №2. -P.49-100.

96. Cox, D.R. Long-range dependence: A review / D. R.Cox // Statistics -IA: Iowa State Univ. Press. -1984. -P. 55-74.

97. Cheridito, P. Fractional ornstein-uhlenbeck processes / P.Cheridito, H.Kawaguchi, M.Maejima // Electronic journal of probability. -2003. -№8. -P.l-14.

98. Dawson, D.A. State dependent multitype spatial branching processes and their longtime behavior / D.A.Dawson, A.Greeven // Electronic journal of probability. -2003. -№8. -P. 1-93.

99. Denisov, S. Some new aspects of Levy walks and flights: directed transport,manipulation through flights and population exchange / S.Denisov, J.Klafter, M.Urbakh // Physica D. -2004. -№187. -P.89-99.

100. Denisov, S.I. Fractal dimension of random processes / S.I.Denisov / Chaos,Solitons and Fractals. -1998. -vol.9, №9. -P.1491-1496.

101. Egolf, D.A., Greenside H.S. Stochastic to deterministic crossover of fractal dimension for a Langevin equation / D.A.Egolf, H.S.Greenside // Phys. Rev. E. -1993. -vol.47, №5. -P.3753-3756.

102. Falconer, K.J. The Geometry of Fractal Sets / K.J.Falconer. -Cambrige, 1985.- 142106. Falconer, K.J. Dimensions and measures of quasi self-similar sets / K.J.Falconer // Proceedings of the AMS. -1989. -vol.106, June №2. -P.543-554.

103. Flandrin, P. Wavelet analysis and synthesis of Fractional Brownian motion / P.Flandrin // IEEE Transactions on Information Theory. -1992. -vol.38. -P.910-917.

104. Giraitis, L. A generalized fractionally differencing approach in long-memory modelling / L.Giraitis, R.Leipus // Lithuanian Mathematical Journal. -1995. -vol.35. -P.53-65.

105. Giraitis, L. Long memory shot noises and limit theorems with application to Burgers' equation / L.Giraitis, S.A.Molchanov, D.Surgailis // New Directions in Time Series Analysis. -1992. -Part II. -P.153-176.

106. Granger, C.W.J. An introduction to long-memory time series and fractional differencing / C.W.J.Granger, RJoyeux // Journal of Time Series Analysis. -1980. -vol.1.-P. 15-30.

107. Hosking, J.R.M. Fractional differencing / J.R.M. Hosking // Biometrika. -1981. -vol.1, №68.-P. 165-176.

108. Hosking, J.R M. Modeling persistence in hydrological time series using fractional differencing / J.R M. Hosking // Water Resources Research. -1984. -vol.20. -P.1898-1908.

109. Jaffard, S. The multifractal nature of Levy processes / S.Jaffard // Chaos,Solitons and Fractals. -1999. -vol.1, №7. -P. 132-149.

110. Jonin, G.L. Telephone systems with repeated calls / G.L.Jonin, J.J.Sedol // ITC-6, Munich, 1970. Munich, 1970. -P.435/1 -435/5.

111. Khoshnevisan, D. Levy classes and self-normalization / D.Khoshnevisan // Electronic communications in probability. -1996. -№1. -P.l-18.

112. Leland, W.E. On the Self-Similar Nature of Ethernet Traffic / W.E.Leland, M.S.Taqqu, W.Willinger, D.W.Wilson // Proc. ACM SIGCOMM'93, USA, San Fransisco, CA, 1993. San Fransisco, 1993. -P.183-193.

113. Levy, J. On renewal processes having stable inter-renewal intervals and stable rewards / J.Levy, M.S.Taqqu // Les Annales des Sciences Mathematiques du Quebec. -1987. -vol.11. -P.95-110.

114. Losa, J.L. Fractal dimension for Gaussian colored processes / J.L.Losa, J.Masoliver // Phys. Rev. A. -1990. -vol.42, №8. -P.5011-5014.

115. Lowen, S.B. Doubly stochastic Poisson point process driven by fractal shot noise / S.B.Lowen, M.C.Teich // Physical Review A. -1991. -vol.43. -P.4192-4215.

116. Lowen, S.B. Fractal renewal processes generate 1/f noise / S.B.Lowen, M.C.Teich // Physical Review E. -1993. -vol.47 -P.992-1001.

117. Lowen, S.B. Power-law shot noise / S.B.Lowen, M.C.Teich // IEEE Transactions on Information Theory. -1990. -vol.6, №36. -P. 1302-1318.

118. Mandelbrot, B.B. Long-Run Linearity, Locally Gaussian Processes, H-spectra, and Infinite Variance / B.B.Mandelbrot // Int. Econ. Rev. -1969. -vol.10. -P.82-113.

119. Mandelbrot, B.B. The Fractal Geometry of Nature / B.B.Mandelbrot // -Freeman. -1983.

120. Masry, E. The wavelet transform of stochastic processes with stationary increments and its application to fractional Brownian motion / E.Masry // IEEE Transactions on Information Theory. -1993. -vol.1, №39. -P.260-264.

121. Prutt, W. The grown of random walks and Levy processes / W.Prutt // Annals of Probability 9.-1981. -№6. -P.948-956.-144130. Resnic, S.I. Heavy tail modeling and teletraffic data / S.I.Resnie // Cornell University. -1996.

122. Ryu, B.K. Modeling self-similar traffic using the fractal- shot-noise-driven-poisson-process / B.K.Ryu, S.B.Lowen // -Preprint. -1994.

123. Samarov, A. On the efficiency of the sample mean in long memory noise / A.Samarov, M.S.Taqqu// Journal of Time Series Analysis. -1988. №9. -P.191-200.

124. Taqqu, M.S. Is network traffic self-simular or multifractal? / M.S.Taqqu, V.Teverovsky, W.Willinger//Fractals. -1996. -P.l-15.

125. Taqqu, M.S. Proof of Fundamental Results in Self-Simmilar Traffic Modelling / M.S.Taqqu, W.Willinger, R.Sherman // Computer Communication Review. -1997. -№27. -P.5-23.

126. Taqqu, M.S. On estimation on intensity of long range depency in finit and infinit variance time series / M.S.Taqqu, V.Teverovsky // Preprint. -1996.

127. Taqqu, M.S. Estimators for long-range dependence: an empirical study / M.S.Taqqu, V.Teverovsky, W.Willinger// Fractals. -1995. vol.3, №4. -P.785-788.

128. Tsybakov, B. Self-similar process in Communication Networks / B.Tsybakov, N.D.Georganas // IEEE Trans, on Information Theory. -1998. -vol.44, №5. -P. 17131725.

129. Willinger, W. Self-similarity through high-variability: statistical analysis of Ethernet LAN traffic at the source level (Extended Version) / W.Willinger, M. S.Taqqu, R.Sherman, Wilson D.V.// Preprint.

130. Willinger, W. Self-similarity through high-variability: statistical analysis of Ethernet LAN traffic at the source level / W.Willinger, M.S.Taqqu, RSherman, D.V.Wilson // Computer Communications Review. -1995. -vol.25. -P.100-113.

131. Willinger, W. A bibliographical Guide to Self-Simmilar Traffic and Performance Modelling for Morden High-Speed Networks / W.Willinger, M.S.Taqqu, A.Errmilli // Stohastic Networks: Theory and Applications. -1996. №3. -P.339-366.

132. Willinger, W. Self-simmulary throught high-variability: statistical analysis of Ethernet LAN traffic and the sourse level / W.Willinger, M.S.Taqqu, R.Sherman, D.V.Wilson // Boston University. -1995. Preprint.