Об учете пространственно-временной локализации фотонов в процессах взаимодействия излучения с веществом тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.03 ВАК РФ

Введение.

Глава 1. Задача об однофотонном волновом пакете.

§1.1 Модель.

§1.2 Вычисление векторного потенциала.

§1.3. Векторный потенциал электромагнитного поля и плотность энергии для ансамбля параллельно движущихся фотонов.

Глава 2. О рассеянии ансамбля фотонов.

§2.1 Рассеяние гармонической системой ансамбля фотонов.

§2.2 Сечения рассеяния ансамбля фотонов.

§2.3 Об учете пространственно-временной локализации фотонов в процессах люминесценции.

Глава 3. Кинетика заселенности уровней энергии гармонического осциллятора и моделирование временной зависимости стоимости валют.

§3.1 Введение.

§3.2 Модель.

§3.3 Вычисление функции Y(t).

§3.4 Обсуждение.

Во многих экспериментах, связанных с исследованием процессов взаимодействия внешнего электромагнитного излучения с веществом, потоки излучения могут соответствовать такой плотности фотонов п h ~ w/ SchQ, что векторный потенциал этого излучения, необходимый для теоретических расчетов ряда экспериментально измеряемых величин, не может считаться классическим [1]. Здесь w- мощность электромагнитного излучения, S- площадь поперечного сечения потока фотонов, с - скорость света в вакууме, Q- частота фотона.

В самом деле, конкретные примеры показывают, что критерий классичности [1]

VF » 4hc l{c At)2 ~ 4hc /(c/Q)2 где среднеквадратичное значение электрического вектора, At некоторый характерный интервал времени^ может не выполняться. Так, например, для используемого в экспериментах гелий-неонового лазера со значением параметров Ю~1э5, w~10~3 Вт и S~ 0,01 см2 величина nph ~107 см~3 недостаточно велика, чтобы значение VF соответствовало критерию классичности, поскольку величина 4hc /(c/Q)2~0,01 В/м. Аналогичная ситуация имеет место в экспериментах с Х-лучами [2-9], где энергия квантов Ю~104 эВ и плотность мощности излучения w/S ~ Ю-7 Вт/см2. Здесь ~ 10~3 см~3 и величина

VF ^hQnph ~ 10 6 В/м мала по сравнению с величиной 4hc/{c!Q)2 ~ 106

В/м.

Итак, в реальной ситуации встречаются случаи взаимодействия с веществом электромагнитного излучения достаточно малой интенсивности, когда по существу следует рассматривать взаимодействие одной частицы вещества с одним фотоном. При этом с одной стороны 4 векторный потенциал фотона нельзя считать квазиклассическим, а с другой стороны нельзя использовать в виде плоской волны, локализованной во всем пространстве, поскольку в некоторых задачах это приводит, как будет показано ниже, к физически бессмысленным результатам.

Тем не менее, обычно при решении задачи о взаимодействии отдельного фотона с атомом векторный потенциал электромагнитного поля этого фотона принимается в виде плоской волны, существующей во всем бесконечном пространстве /1,10,11/.

Несмотря на то, что для целого ряда расчетов такое представление о векторном потенциале фотона не сказывается на результатах, тем не менее, остается вопрос о том, какой в действительности вид имеет векторный потенциал фотона. Тем более что, как отмечалось, существуют задачи, где представление векторного потенциала одного фотона в виде плоской волны неприемлемо. Одной из таких задач является задача о вычислении среднего значения чисел заполнения уровней энергии квантовой системы, состоящей из одного атома или одной молекулы, взаимодействующих с квантованным электромагнитным полем и возбуждаемых одним внешним фотоном или редкой по времени последовательностью внешних фотонов.

Физически понятно, что среднее значение указанной величины в течение конечного отрезка времени должно быть конечным. В то же время, если принять векторный потенциал фотона в виде плоской волны, нормированной на объем пространства, стремящийся к бесконечности, то среднее значение интересующей нас величины равно нулю. В случае же, если бы векторный потенциал фотона представлял собой волновой пакет, локализованный в ограниченных областях пространства и времени, то значение интересующей нас величины было бы конечным.

Понимание того, что в упомянутой выше задаче векторный потенциал 5 фотона должен представляться не плоской волной, а некоторым волновым пакетом, очевидно, локализованным в пространстве и не расплывающимся во времени, нашло свое отражение, например, в употреблении термина однофотонный волновой пакет /12/, размер области локализации которого не может быть меньше длины волны фотона [13].

Однако, явного выражения для такого однофотонного волнового пакета, насколько известно автору, не было получено. В настоящей диссертационной работе предпринята попытка получить такое выражение.

Отметим, что задача о вычислении векторного потенциала фотона интересна и с точки зрения того, как математически реализуется синтез волновых и корпускулярных свойств фотона.

Заметим, что в последние десятилетия бурно развивались нанотехнологии в различных областях науки и производства, в частности, в физики, химии, биологии, микроэлектроники [14] и т.д. В связи с этим постоянно возрастал и будет возрастать интерес к дальнейшему экспериментальному и теоретическому исследованиям процессов взаимодействия электромагнитного излучения с малыми объектами, в том числе с такими объектами как отдельные атом или молекула [15-25]. При этом особый интерес представляют как теоретические, так и экспериментальные исследования процессов взаимодействия отдельных атомов или молекул с единичными фотонами. Это позволило бы выяснить ряд важных деталей в указанных процессах [26-38], тем более, что в настоящее время экспериментальная база приближается к такому уровню развития, что позволяет надеяться на реализацию такого рода исследований [39-45].

Таким образом, с точки зрения расчета ряда экспериментально измеряемых величин представляется интересным рассмотреть, хотя бы в 6 рамках простой модели, задачу о вычислении векторного потенциала электромагнитного поля для одного фотона.

Соответствующий результат для ансамбля фотонов будет представлять собой сумму векторов электромагнитных полей для отдельных фотонов. Рассматриваемая в диссертационной работе модель состоит в том, что частица вещества полагается нерелятивистским одномерным гармоническим осциллятором. В результате решения поставленной задачи необходимо получить выражение для векторного потенциала единичного внешнего фотона Aph(r,t), который должен быть таков, что векторAph(r,t) представляет собой однофотонный волновой пакет, удовлетворяющий уравнению Даламбера и описывающий распространение по некоторой прямой образования, локализованного в пространстве и не расплывающегося во времени. При этом объемный интеграл по всему пространству от плотности энергии, вычисленной с помощью выражения Aph(r,t) представляет собой конечную не зависящую от времени величину, очевидно, равную энергии Ю.

Отметим, что основным моментом в диссертации, позволяющим получить ряд новых результатов, является представление вектора Aph(r,t) в виде однофотонного волнового пакета, то есть учет конечности области локализации фотона.

В диссертационной работе представлен расчет для среднего значения чисел заполнения энергетических уровней частицы вещества как функции времени при воздействии на нее одного фотона. Такой расчет представляет собой пример задачи, которая не может быть решена без учета пространсвенно-временной локализации фотона.

Далее в настоящей диссертации в рамках принятой модели проведены расчеты средних значений векторного потенциала электромагнитного поля и величины *Е2 пропорциональной интенсивности излучения (плотности энергии) для ансамбля параллельно 7 движущихся фотонов, ансамбля фотонов рассеянных веществом, а также сечений рассеяния.

Полученные результаты описывают ситуацию как для малых потоков фотонов, так и для достаточно больших, при которых электромагнитные поля можно считать классическими [1]. При этом соответствующие выражения позволяют, в частности, в деталях выяснить каким образом и каков точный критерий, когда из ансамбля фотонов возникает классическое электромагнитное поле, кроме того, уточняют ряд параметров-, полученных ранее другими авторами. Так, например, оказывается более сложной частотная зависимость сечений упругого и неупругого рассеяния фотонов веществом и, указанные сечения, вообще говоря, зависят от плотности потока фотонов, в частности, уточняются выражения для сечений рассеяния фотонов в условиях близких к резонансу.

Отметим, что полученные в диссертации результаты могут оказаться полезными при изучении некоторых задач, связанных с когерентностью и статистикой фотонов [1<£], поскольку позволяет учесть в этих задачах эффекты, связанные с пространственно-временной локализацией фотонов.

Наконец, в диссертации получены результаты представляющие интерес с точки зрения их использования при исследовании кинетики некоторых химических реакций, выход продуктов которых определяется концентрацией возбужденных частиц вещества при воздействии потока фотонов, а также кинетики люминисценции примесных частиц вещества в различных матрицах и кинетики стоимости валют. Кинетике люминисценции посвящено большое количество экспериментальных и теоретических работ [46-62] и, тем не менее, остается целый ряд нерешенных до конца вопросов, например, вопрос о приготовлении начальных состояний системы, возбуждаемых внешним излучением [638

67].

Использование физических идей для описания кинетики стоимости валют основано на аналогии этого процесса с кинетикой заселенности уровней энергии гармонического осциллятора, взаимодействующего с квантованным электромагнитным полем и потоком внешних фотонов. Следует отметить, что в последнее время весьма интенсивно идет привлечение физики в финансовый анализ [68].

Диссертация состоит из трех глав. Первая глава диссертационной работы посвящена решению задачи о векторном потенциале электромагнитного поля одного фотона, учитывающего пространственнорезультгатавременную локализацию фотона, вычислению с помощью этого^ векторного потенциала ансамбля параллельно движущихся фтонов и детальному выяснению условий, при которых электромагнитное поле ансамбля фотонов можно считать классическим.

Вторая глава диссертации посвящена рассмотрению процесса рассеяния ансамбля фотонов веществом, выявлению условий, при которых электромагнитное поле рассеянных фотонов представляет собой поле убывающее обратно пропорционально расстоянию от центра рассеивающей системы, вычислению сечений упругого и неупругого рассеяния ансамбля фотонов с учетом их пространственно-временной локализации, а также учета этой локализации в процессах люминисценции примесных молекул в матрице вещества.

Третья глава диссертации посвящена применению физических результатов, полученных в первых двух главах к проблеме математического описания временной зависимости стоимости той или иной валюты.

Наконец, диссертационная работа содержит раздел "Выводы", где перечислены основные результаты работ. 9

Выводы

Полученные в диссертации результаты показывают, что учет пространственно-временной локализации фотонов в процессах взаимодействия излучения с веществом приводит в рамках рассматриваемой модели к следующему.

1. Позволяет установить точные критерии классичности электромагнитного поля и проследить в деталях как из ансамбля фотонов, описываемых нерасплывающимися во времени и пространстве волновыми пакетами, возникает классическая электромагнитная волна.

2. Устанавливает особенности частотной зависимости сечений рассеяния электромагнитного излучения веществом в области резонанса.

3. Устанавливает наличие в сечениях рассеяния электромагнитного излучения веществом поправок, зависящих от плотности потока, падающих на вещество фотонов.

4. Позволяет понять каким образом и при каких условиях из рассеянных веществом фотонов, которые описываются локализованными во времени и пространстве волновыми пакетами, образуется электромагнитное поле, величина которого обратно пропорциональна расстоянию от центра вещества, рассеивающего падающий на него ансамбль фотонов.

5. Дает возможность расчета детальной кинетики интенсивности рассеянного веществом электромагнитного излучения, включая как упругое, так и неупругое рассеяние.

6. Дает возможность расчета подробной картины кинетики люминесценции примесной молекулы в матрице вещества.

7. Позволяет при решении некоторых задач, связанных с

72 когерентностью и статистикой фотонов, учесть в этих задачах эффекты, обусловленные пространственно-временной локализацией фотонов.

8. Позволяет привлечь кинетику заселенности уровней энергии осциллятора, взаимодейтсвующего с квантованным электромагнитным полем и ансамблем падающих на осциллятор внешних фотонов, к описанию кинетики стоимости валют на финансовых рынках.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю профессору Нилу Ниловичу Беклемишеву за постоянное внимание и помощь в работе над диссертацией.

73

§3.5 Заключение

В работе была предложена модель, позволяющая на конечных временных отрезках сравнительно неплохо аппроксимировать реальную временную зависимость стоимости валют. Определяя на данном временном отрезке из сравнения теоретической и реальной временной зависимостей стоимости валюты, параметры модели, можно предсказывать динамику стоимости валюты, то есть делать, по крайней мере, краткосрочный прогноз. Отметим, что рассмотренная модель допускает дальнейшее усовершенствование. Например, если на небольших конечных отрезках времени параметры модели, в частности, частоту осциллятора, соответствующего данной валюте, можно считать не зависящей от времени, то на достаточно больших интервалах времени это может быть не так. В этом направлении можно провести соответствующее обобщение предложенной модели, что позволит увеличить временной интервал прогноза и более глубоко понять динамику стоимости валют. Однако, как было показано выше, и уже полученные результаты могут быть полезны для детального изучения временной зависимости стоимости валют.

68

0,004124 0,003704 Y

0.003284

0,002864

0,002444

0,002024

0,001604

0,001184 t«

0 22 44 66 88 110 132 154 176 198 !220 рис.3.1

Рис. 3.1. График функции Y = Y(t) в случае резонанса Ц. Q, уг -» / ,

Q)., -» Q , xi-' -> / ПРИ значениях параметров: N=1, Q =0,2 1/день, у -1,5-Ю-21/день, =5,56-Ю-3 1/день, аг=1=а = ОД, Д.=1 = р, А=2266 у.в., В=0; JV'=1, Q'= 0,4 1/день, /=6-10~3 1/день, ^,=|=Ю"3 1/день, аг.=1=а =0,1 Рг<=\=Р' > Л'= 4,08• 105 у.в., 5'=0,714 у.в.

69

0,008222 Y Л л2

0,007992 0,007762 ГЛ U

Mjv ч, л, \Tv\

0,007532 u\ J\j~Y i A-'

0,007302 - ft

0,007072 | *

0,006842 ; I t(<

0 12 24 36 48 60 !72 84 ;96 108 ;120 рис.3.2.

Рис. 3.2. Графики функции Y = Y(t) временной зависимости стоимости японской йены, выраженной в долларах США, соответствующие первым 120 дням в 1998 году. 1 - реальная зависимость Y = Y(t). 2 - теоретическая зависимость Y = Y(t), полученная из выражения (5), при следующих значениях параметров: N =3, Q = 0,2 1/день, Q^^H 0,45, 0,4, 1,18 г" 1/день, / =5-10"3 1/день, у 0,12, 0,12, 0,5 !> 1/день,

5,56x10"3, 0,2 г" 1/день, аг=1,2,з=0,9999, J3 ^2у3=0,424, А=2266 у.в., В=0; N=1, Q'=0,4 1/день, =0,38 1/день, /=6-10"4 1/день, =3-103 1/день, v;,=1=10"3 1/день, «;.=1=0,9999, д!.=1 = 0,5, А=4,08х105 у.в., В =0,714 у.в.

71

1. В.Б. Берестецкий, Е.М. Лифшиц, Л.П. Питаевский, Квантовая электродинамика, "Наука", М., 1969.

2. J.F. Fowler. Proc. Roy. Soc., A236, 464, 1956.

3. P. Hedvig. J.Poly. Sci, 2, 4097, 1964.

4. W.L. McCbbin, I.D.C. Gurney. J. Chem. Phys., 43, 983, 1966.

5. T. Tanaka. Jap. J. Appl. Phys., 6, 1371, 1967.

6. H.K. Hartmann. Zs. Angew. Phys., 14, 727, 1962.

7. G.Kramer, M.Challa. J. Chem. Phys., 45, 1346, 1966.

8. R.G. Kepler, F.N. Coppage, Phys. Rev., 151,610, 1966.

9. R. Raman, L.Asarraga, S.R. McGlynn, J. Chem. Phys., 41, 2516, 1964.

10. W. Haitler. The quantum theory of radiation. Oxford, 1954.

11. А.И. Ахиезер, В.Б. Берестецкий. Квантовая электродинамика. "Наука", М., 1969.

12. Н. Кролль. Квантовая теория излучения В КН.: Квантовая оптика и квантовая радиофизика. Под редакцией О.В. Богданкевича, О.Н. Крохина, М., Мир, 1966, с. 9-89.

13. Л. Ландау, Р. Пайерле. Zs. f. Phys. 62, 188, 1930.

14. Г. Переходцев, А. Хазбиев. Эксперт, №43, 68, 2001.

15. В.Б. Быков, Г.В. Шепелев. Излучение атомов вблизи материальных тел. М., Наука, 1986, с. 1-161.

16. W.E. Moerner, L. Kador. Phys. Rev. Lett. 62, 2535, 1989.

17. W.E. Moerner, L. Kador. Anal. Chem. 61, 121 A, 1989.

18. W.E. Moerner, W.P. Anbrose. Phys. Rev. Lett. 66,1376, 1991.

19. L. Kador, D.E. Home, W.E. Moerner. J. Phys. Chem. 94, 1237, 1990.

20. M. Orrit, J. Bernard. Phys. Rev. Lett. 65, 2716, 1990.

21. M. Orrit, J. Bernard, A. Zumbush, R.I. Personov. Chem. Phys. Lett. 196, 595, 1992.74

22. W.P. Ambrose, W.E. Moerner. Nature, 349, 225, 1991.

23. W.P. Ambrose, T. Basche, W.E. Moerner, J. Chem. Phys. 95, 7150;1991.

24. T. Basche, W.E. Moerner, Nature, 355, 335, 1992.

25. U.P. Wild, F. Guttler. M. Pirotta, A. Renn. Chem. Phys. Lett., 193, 4511992.

26. В.П. Быков, A.B. Герасимов, B.O. Турин. УФН. 165,№8, с. 962-966:1995.

27. M.Pirotta, F. Guttler, H. Gygax, A. Renn, J. Sepiol, U.P. Wild. Chem Phys. Lett. 208,379, 1993.

28. P. Tchenio, A.B. Myers, W.E. Moerner. J. Chem. Phys. 97, 2491, 1993.

29. P. Tchenio, A.B. Myers, W.E. Moerner. Chem. Phys. Lett. 213, 325:1993.

30. U. Narang, R. Wang, P.N. Prasad, F.V. Bright. J. chem. Phys. 98, 17;1994.

31. Q.F. Xue, E.S. Yeung, Nature. 373, 681, 1995.

32. J.J. Macklin, J.K. Trautman, T.D. Harris, L.E. Brus, Science 272, 255.1996.

33. Т. Ha, T. Enderle, D.S. Chemla, P.R. Selvin, S. Weiss. Phys. Rev. Lett 77, 3979, 1996.

34. D.B. Craig, E.A. Avriaga, J.C.Y. Wong, H. Lu, N.J. Dovichi. J. Am Chem. Soc. 118, 5245, 1996.

35. L. Edman, U. Mets, R. Rigler, Proc. Natl. Acad. Sci. U.S.A. 93, 6710: 1996.

36. H.P. Lu, X.S. Xie, J. Phys. Chem. В 101,2753, 1997.

37. E. Geva, J.L. Skinner. Chem. Phys. Lett. 288, 255, 1998.

38. H.P. Lu, L. Xun, X.S. Xie, Science, 282, 1877, 1998.

39. U.P. Wild, A.R. Holzwarth, H.P. Good, Rev. Sci Instrum. 48, 1621: 1977.75

40. S. Canonica, U.P. Wild, Anal. Instrum. 14, 331, 1985.

41. S. Canonica, J. Forrer, U.P. Wild, Rev. Sci Instrum. 56, 1754, 1985.

42. E.C. Meister, U.P. Wild, P. Klein-Bolting, A.R. Holzwarth, Rev. Sci. Instrum. 59,499, 1988.

43. E. Gorlach, H.R. Gydax, P. Lubini, U.P. wild, Proc. Indian Acad. Sci Chem. Sci 103,395, 1991.

44. S.A. Sopar, L.M. Davis, E.B. Shera, J. Opt. Soc. Am. В 9, 1761, 1992.

45. M. Kollner, J. Wolfrum. Chem. Phys. Lett. 200, 199, 1992.

46. P. Avouris, W.M. Gelbart, M.A. El-sayed. Chem. Rev.,77, 793, 1977.

47. J. Jortner, Pure and Appl. Chem., 24, 165, 1970.

48. Ю.Е. Пермин, УФН, 80, 553, 1963.

49. Б.Р. Генри, M. Каша, УФН, 108, 113, 1972.

50. P.SeyBold, М. Goutermann. Chem. Rev., 65, 413, 1965.

51. M. Kasha. Discuss. Faraday Soc., 9, 14, 1950.

52. W. Rhodes, Chem. Phys. 4, 259, 1974.

53. S.F. Fischer, A.L. Stanford, E.C. Lim. J. Chem. Phys., 61, 582, 1974.

54. G.W. Robinson, R.P. Frosch, J. Chem. Phys., 37, 1962, 1962.

55. G.W. Robinson, R.P. Frosch, J. Chem. Phys., 38, 1187, 1963.

56. W. Siebrand. J. Chem. Phys., 44, 4055, 1966.

57. W. Siebrand. J. Chem. Phys., 46, 403, 1967.

58. W. Rhodes. Chem. Phys. Lett., 11, 179, 1971.

59. W. Rhodes. Chem. Phys. Lett., 22, 95, 1977.

60. G.W. Robinson, C.A. Langhoff. Chem. Phys., 5, 1, 1974.

61. J.M. Friedman, R.M. Hochstrasser. Chem. Phys., 6, 155, 1975.

62. Э.С. Медведев, В.И.Ошеров. Теория безызлучательных переходов в многоатомных молекулах. М., Наука, 1983, с. 1-280.

63. J. Jortner, S.A. Rice, R.M. Hochstrasser. Advan. Photochem., 7, 149, 1969.

64. W. Rhodes, B.R. Henry, M. Kasha, Proc. Natl. Acad. Sci. USA, 63, 31,761969.

65. Г.Б. Толсторожев. Безызлучательные переходы в изолированных молеуклах, Минск, Изд-во АН БССР, 1971.

66. A. Nitzan, J. Jortner. Chem. Phys. Lett. 14, 177, 1972.

67. Г.Г. Коноплев, A.A. Овчинников, В.Г. Плотников. ЖЭГФ, 66, 1956, 1974.

68. Europhysics conference abstracts. Applications of Physics in Financial Analysis 3, London, december 5-7 2001. Abstracts p 1-84.

69. Б.И. Макшанцев, В.Б. Макшанцев. КЭ, 31, №9, 753, 2001.

70. В J. Makshantsev. V.B. Makshantsev. Chem. Phys., 271, 97, 2001.

71. P. Ullersma, Physica, 32, 27, 1966.

72. K. Husimi, prog. Theoret. Phys., 9, 382, 1953.

73. Б.В. Гнеденко. Курс теорий вероятностей. М., ФМ, 1961, с 154.

74. Г. Бейтман, А. Эрдейи. Высшие трансцендентные функции, т.1, М., Наука, 1973, с. 268.

75. И.С. Градштейн, И.М. Рыжик. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений, М., ФМ, 1962, с. 998.

76. Б.И. Макшанцев, В.Б. Макшанцев. КЭ, 31, №9, 760, 2001.

77. B.I. Makshantsev. V.B. Makshantsev. Chem. Phys., 271, 107, 2001.

78. Б.И. Макшанцев, В.Б. Макшанцев, A.A. Ковалев, С.В. Моисеев. Международная конференция по люминисценции, посвященная 110-летию со дня рождения академика С.И. Вавилова, Москва, 1719 октября 2001 г., Тезисы докладов, с. 202.

79. Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. Теория поля. М., ФМ, 1962, с. 266-269.

80. Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. Квантовая механика. М., ФМ, 1963, с. 554-561.

81. V.B. Makshantsev, N.N. Beklemishev, B.I. Makshantsev. Europhysics conference abstracts. Applications of physics in financial analysis 3, London, december 5-7 2001. Abstracts p. A33.77

82. V.B. Makshantsev, N.N. Beklemishev, B.I. Makshantsev, Quantitative finance (to be published), 2002.

83. J.Y. Campbell, A.W. Lo, A.C. Mackinloy. The Economics of Financial Markets. Priceton, New Jersey, 1997, p. 1-611.

84. A.H. Адамчук, C.E. Есипов, УФН, 167, 1295, 1997.

85. F. Black, M. Scholes. J. of Political Economy, 1973, №3, p. 637.

86. R.C. Merton, Bell Journal of economics and Management Science, 1973, 4 (Spring), p. 141.

87. M. Etzkorn. Trading with oscillators. J. Wiley. Inc. N.Y., Chichester, Weinheim, Brisbane, Singapore, Toronto, 1997, p. 1-161.

88. A.J. Frost, R.P. Robert. Elliot wave principle. New Classics, Library, 1996, p. 1-296.

89. L. Bachelier. Ann. EcoleNorm. Sup., 1900, vl7, p.21.

90. N. W^ner. J. Math. Phys. Math. Inst. Tech., v2, 1923, p.131.

91. Б.И. Макшанцев, B.M. Финкельберг. ТМФ, 36, 224, 1978.

92. V.M. Fain. Usp. Fiz. Nauk (russia), 79, №4, 1962, p.641.