Локализация света в неупорядоченных дисперсных средах тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.07 ВАК РФ

На правах рукописи

Максименко Владимир Викторович

ЛОКАЛИЗАЦИЯ СВЕТА В НЕУПОРЯДОЧЕННЫХ ДИСПЕРСНЫХ СРЕДАХ

01.04.07 - физика конденсированного состояния

2 4 ГиС! Ц015

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва 2015

005570179

Работа выполнена в АО «Ордена Трудового Красного Знамени научно-исследовательский физико-химический институт им. Л.Я.Карпова»

Официальные оппоненты:

Крайнов Владимир Павлович, доктор физико-математических наук, профессор кафедры теоретической физики Московского физико-технического института.

Чижов Алексей Владимирович, доктор физико-математических наук, ведущий научный сотрудник лаборатории теоретической физики Объединенного института ядерных исследований, Дубна.

Бычков Владимир Львович, доктор физико-математических наук, ведущий научный сотрудник кафедры физической электроники физического факультета Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова.

Ведущая организация: Институт оптики атмосферы РАН (г. Томск)

Защита состоится «_» 2015 г. в_часов на заседании дис-

сертационного совета Д 217.024.01 в АО «Ордена Трудового Красного Знамени научно-исследовательский физико-химический институт им. Л.Я.Карпова» по адресу: 105064, г. Москва, пер. Обуха, д. 3-1/12 стр. 6.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке АО «Ордена Трудового Красного Знамени научно-исследовательский физико-химический институт имени Л.Я. Карпова» по адресу: 105064, Москва, пер. Обуха, д. 3-1/12, стр. 6 и на сайте www.nifhi.ru.

Автореферат разослан« » 2015 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Л 217.024.01

кандидат физико-математических наук

Лакеев С.Г.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. При определенных условиях внешняя электромагнитная волна, распространяющаяся в системе слабо поглощающих рассеивате-лей, в результате многократного перерассеяния способна "зациклиться" в ограниченной области пространства. Причина этого явления - специфические интерференционные эффекты, имеющие место даже в абсолютно разупорядочен-ной системе частиц. Это улавливание внешнего излучения называется локализацией. Ее можно рассматривать как еще один канал "диссипации" падающего излучения, дополняющий классические - неупругое рассеяние и поглощение.

Новый импульс исследованиям локализации света придали недавние успехи в создании случайных (порошковых) лазеров [1]. Для работы обычного лазера требуется выполнение двух условий: необходима усиливающая среда и механизм удержания света. Роль последнего выполняет два зеркала, пространство между которыми заполнено активной или усиливающей средой. Прежде чем усилиться свет многократно проходит между ними. В случайном лазере роль зеркал играет многократно рассеивающая среда - кластеры из наночастиц слабо поглощающего материала (например, 2пО). Еще один вариант случайного лазера - введение такого порошка в кювету лазера на жидких красителях. После облучения внешним источником света такой лазер обеспечивает как усиление, так и удержание света в системе за счет многократного перерассеяния. В отличие от регулярного лазера излучение случайного изотропно. Не исключено, что случайный лазер способен обойтись и вовсе без активной среды, за счет вынужденного излучения локализованного света.

Дополнительную актуальность исследованиям придает недавнее наблюдение т.н. "фотонных молекул" [2]. Причину существования подобных экзотических объектов можно объяснить с позиций локализации света.

Локализованный свет интересен с точки зрения многих других технологических приложений. Это принципиально новые аккумуляторы энергии, линии задержки света, это возможность записи, хранения и считывания информации. В этом состоит актуальность работы.

3

Цель работы состояла в создании, развитии и приложениях новых методов к исследованию взаимодействия электромагнитного излучения с дисперсными средами. Эти методы предназначены для изучения локализации света в дисперсных системах, установлению вклада этого явления в диссипацию энергии внешнего электромагнитного излучения и выяснению возможной роли локализации в имеющих важное прикладное значение явлениях, физические механизмы которых до сих пор остаются невыясненными (эффект Ребиндера, гигантское комбинационное рассеяние и т.д.). Для реализации этой цели решены следующие задачи:

• Разработан метод решения уравнения Бете-Солпитера для усредненного по положению рассеивателей двухфотонного пропагатора непосредственно в координатном представлении.

• Исследована локализация света в плотной упаковке резонансных рэлеев-ских частиц.

• Построена теория локализации света в фрактальном кластере и агломерате таких кластеров.

• Доказана возможность локализации фотона на паре резонансных рэлеев-ских частиц.

• Исследована локализация света в неупругом канале рассеяния и ее роль в гигантском комбинационном рассеянии.

• Исследована локализация света в складках границы раздела многокомпонентных и многофазных сред и ее роль в процессе катастрофического механического разрушения образца (эффект Ребиндера).

• Исследованы проявления локализации в диффузионных процессах в дисперсных средах.

Научная новизна результатов заключается в следующем:

• Новый подход позволяет отказаться от стандартной схемы теоретического описания сильной локализации света, выполнение основного критерия которой - обращение в нуль коэффициента диффузии электромагнитной

энергии - до сих пор остается недоказанным. Вместо этого локализация рассматривается как поправки к классическому рассеянию и появление эффективного поглощения. Показано, что в ряде случаев эти поправки вовсе не малы, и локализация является равноправным с классикой каналом диссипации энергии внешнего электромагнитного излучения. Создан новый подход к описанию электродинамических свойств фрактального кластера (ФК), состоящего из непоглощающих твердых частиц. Вычислена эффективная диэлектрическая проницаемость ФК. Показано, что эффективная диэлектрическая проницаемость кластера в оптическом диапазоне частот является критической функцией фрактальной размерности кластера, и при значении фрактальной размерности, меньше некоторого критического значения, она может быть чрезвычайно высокой. Вычислено время жизни света, локализованного как в одиночном ФК, так и в агломерате фрактальных кластеров. Предложено использовать вынужденное излучение локализованного света для создания фрактального микролазера, не требующего инверсной заселенности уровней и способного работать в широком диапазоне длин волн. Обнаружено существование режима беспрепятственного прохождения излучения через фрактальную систему неоднородностей — аналога явлению электронной сверхпроводимости в металлах.

Разработан новый физический механизм жидкометаллического эффекта Ребиндера (катастрофическое разрушение поверхности, а в ряде случае, и всего образца), в основе которого лежит представление о возможности локализации электромагнитного поля в складках границы раздела фаз и компонентов жидкой эвтектической смеси, заполняющей трещины в поверхности твердого металла. Предсказано явление испускания локализованного света при жидкометаллическом эффекте Ребиндера. Предложена новая модель, позволяющая понять причину гигантского комбинационного рассеяния (ГКР) света молекулами, адсорбированными

на поверхности малых металлических частиц. В ее основе локализация

5

излучения при многократном неупругом рассеянии света в ансамбле частиц. На ее основе объяснена причина существования ГКР в наблюдаемом экспериментально необычайно широком спектральном диапазоне.

• Впервые показана возможность локализации фотона при упругом рассеянии даже на единственной паре резонансных рэлеевских частиц. Локализация в этом случае связана с особенностями фотонных траекторий, которые становятся изоморфными цепочечному множеству Антуана, имеющему нулевую топологическую размерность.

• Впервые показано, что «переплетение жестких» антуановских звеньев (из-за сингулярности плотности энергии) двух реальных фотонов, оказавшихся в системе рассеивателей, приводит к возникновению эффективного взаимодействия между ними.

Практическая ценность состоит в том, что проведенные исследования помогают выяснить физические механизмы имеющих важное прикладное значение явлений. Среди них: эффект Ребиндера, гигантское комбинационное рассеяние, образование «фотонных молекул» и т.д. Кроме того, локализация играет первостепенную роль в работе случайных или порошковых микролазеров.

Достоверность результатов

• Возможность существования эффективного фотон-фотонного взаимодействия в системе рассеивателей при ничтожно малых интенсивно-стях подтверждена экспериментально.

• Экспериментально доказано улучшение рабочих характеристик химических лазеров на красителях при их допировании кластерами из не-поглощающих наночастиц.

• В пользу предложенного механизма гигантского комбинационного рассеяния свидетельствует не имеющее адекватного теоретического объяснения наблюдение этого явления в необычайно широком частотном диапазоне.

• Обнаруженное автором аномальное устройство эффективной диэлектрической проницаемости фрактального кластера подтверждается

успешным использованием аэрогелей с низкой фрактальной размерностью в качестве черенковских детекторов.

Основные положения, выносимые на защиту

• Разработка нового подхода к описанию локализации света, основанного на непосредственном решении уравнения Бете-Солпитера в координатном представлении без сведения последнего к транспортному уравнению.

• Построение теории локализации фотона в плотной случайной упаковке рэлеевских частиц. Обнаружение сильной чувствительности локализации к типу поляризации падающего света. Установление частотного и концентрационного диапазона локализации.

• Создание нового подхода к описанию электродинамических свойств фрактального кластера (ФК), состоящего из непоглощающих твердых частиц. Исследование явления перенормировки (уменьшения) длины волны Я внешнего излучения по мере его проникновения в ФК. Вычислена эффективная диэлектрическая проницаемость ФК г . Показано, что ФК характеризуется набором значений?, каждое их которых соответствует своей степени перенормировки Л. Показано, что эффективная диэлектрическая проницаемость кластера является критической функцией фрактальной размерности кластера с1, и при <1, меньших некоторого критического значения, она может быть чрезвычайно высокой. Построена теория локализации света в ФК. Вычислено время жизни света, локализованного как в одиночном ФК, так и в агломерате фрактальных кластеров. Предложено использовать вынужденное излучение локализованного света для создания фрактального микролазера, не требующего инверсной заселенности уровней и способного работать в широком диапазоне длин волн. Обнаружено существование режима беспрепятственного прохождения излучения через фрактальную систему неоднородностей - аналога явлению электронной сверхпроводимости в металлах.

• Создание новой модели, описывающей жидкометаллический эффект Ре-

биндера, в основе которой лежит представление о возможности локали-

7

зации электромагнитного поля в складках границы раздела фаз и компонентов жидкой эвтектической смеси, заполняющей трещины в поверхности твердого металла (типичный пример — жидкая эвтектика 1п и Оа на поверхности А1). Поскольку в каждой пространственной точке эвтектической смеси соседствуют три различных субстанции (однородный расплав 1п+Оа, твердый 1п и твердый Оа), система складок такого интерфейса моделируется известной в топологии структурой Вады-Брауэра - поверхностью, разделяющей три различных области в каждой своей точке. Локализованные фотоны способны "выключить" кулоновское притяжение флуктуаций заряда на противоположных "берегах" заполненной эвтектикой трещины, обеспечивающее ван-дер-ваальсовское притяжение берегов. Предсказано явление испускания локализованного света при жидко-металлическом эффекте Ребиндера и аналогичная эмиссия из казимиров-ской щели с нарушенной симметрией.

• Создание новой модели, позволяющей понять причину гигантского комбинационного рассеяния (ГКР) света молекулами, адсорбированными на поверхности малых металлических частиц. В ее основе локализация излучения при многократном неупругом рассеянии света в ансамбле частиц. Двигаясь по замкнутой траектории, виртуальный фотон многократно обменивается энергией со средой распространения, возбуждая в ней флуктуации зарядовой плотности. Энергия этих флуктуаций может быть произвольной величиной, меньшей энергии фотона. Сильные локальные поля, связанные с этими флуктуациями и существующие во всем частотном диапазоне от ИК до УФ, являются причиной ГКР. Особенности поведения этих флуктуаций позволяют объяснить специфические черты фликкер-шума, а также объясняют каталитические свойства малых металлических частиц.

• Доказательство возможности локализации фотона при упругом рассеянии

даже на паре резонансных рэлеевских частиц. Локализация в этом случае

связана с особенностями фотонных траекторий, которые становятся изо-

8

морфными цепочечному множеству Антуана, имеющему нулевую топологическую размерность. Переплетение "жестких" антуановских звеньев (из-за сингулярности плотности энергии) двух реальных фотонов, оказавшихся в системе рассеивателей, приводит к возникновению эффективного взаимодействия между ними. Апробация работы. Результаты, составляющие содержание работы, докладывались на семинарах на механико-математическом и биологическом факультетах МГУ, на физическом факультете СПБГУ, в Институте теоретических и прикладных проблем электродинамики РАН, в НИЯУ МИФИ, на международных конференциях: "Естественные и антропогенные аэрозоли", 1997, 2003, Санкт-Петербург; Int. Conf. on Colloid Chemistry and Physical-Chemical Mechanics, 1998, Russia; European Aerosols Conferences, 1991, 1993, 1996, 1998, 1999, 2001, 2003, 2005, 2009, 2011; "Non-Equilibrium and Coherent Systems in Biology, Biophysics and Biotechnology", 1999, Russia; "Fractal in Engineering", 1999, Netherlands; "Non-Lethal Weapons and Anti-Terrorist Operations", 1999, USA; 1-st European Symp. "Non-Lethal Weapons", 2001, Germany; Петряновские чтения, Москва; 1-th Intern. Conference "Highly-Organized Catalytic Systems", Russia, Chernogolovka; XXI международная конференция "Математические методы в технике и технологиях ММТТ-21", 2008, 2012.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 34 работы в российских и зарубежных изданиях, рекомендованных ВАК РФ.

Личный вклад автора. Все статьи и тезисы докладов, описывающие результаты исследований, были целиком или в большей части написаны автором. Структура н объем диссертации. Диссертация состоит из восьми глав, заключения и списка литературы. Объем диссертации 243 стр., включая 103 рисунка. Библиография включает 387 работ. ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Глава 1. Введение.

В первой главе представлено современное состояние проблемы локализации света в дисперных системах. Стандартная схема описания локализации

9

света - сведение уравнения Бете-Солпитера для неприводимой четырехточечной вершинной функции (четыреххвостки) в импульсном представлении к транспортному уравнению (уравнение переноса излучения) и введение эффективного коэффициента диффузии электромагнитной энергии. По аналогии с андерсоновской локализацией электрона обращение этого коэффициента в нуль означает сильную локализацию света [3].

Особенность предлагаемого в диссертации подхода к описанию локализации состоит в том, что уравнение Бете-Солпитера (БС) для четырехточечной вершинной функции не сводится к транспортному уравнению, не вводится и коэффициент диффузии электромагнитной энергии. Вместо этого БС-уравнение решается непосредственно в координатном представлении. Решение содержит полюс, который приводит к появлению мнимой части у сечения упругого рассеяния света. Локализация связана с замкнутыми петлями на траекториях фотона. Мнимая составляющая сечения описывает осциллирующие со временем световые потоки, связанные с многократным движением фотонов по петлям. Обычно полюс подобного рода описывает связанные состояния пары взаимодействующих частиц, например, экситон. В рассматриваемых далее задачах о распространении одного единственного фотона вершинная функция описывает эффективное взаимодействие пары виртуальных фотонов, обходящих замкнутую петлю на траектории в двух противоположных направлениях (точнее, интерференцию амплитуд, соответствующих этим двум направлениям обхода). С этой точки зрения локализацию можно рассматривать как образование связанного состояния этих виртуальных фотонов.

Локализованные фотоны обнаруживают себя только лишь изменением классических сечений рассеяния и поглощения света дисперсными системами. Локализованные фотоны - типичный пример виртуальных фотонов. Для таких фотонов волновой вектор к и частота а> - две независимые переменные, не связанные дисперсионным соотношением а = кс = 2хс/X, справедливым для реального фотона (Л - длина волны света в вакууме). При заданной частоте дли-

на волны виртуального фотона определяется эффективной скоростью света в среде V согласно соотношению а> = . В условиях локализации V 0.

Из закона дисперсии фотона в среде, характеризующейся эффективной поперечной диэлектрической проницаемостью ё

а^кс/е,

следует, что групповая скорость V определяется выражением

Легко видеть, что V стремится к нулю либо при очень большой величине е,, либо при очень большом значении производной ¿£,1(1(0. В рассматриваемых ниже дисперсных системах реализуется и тот, и другой механизм.

Локализацию можно понять еще и так. Если фотон совершает замкнутую петлю, набег фазы его волновой функции нулевой. Амплитуды вероятности, соответствующие двум возможным способам обхода петли (по ходу вращения часовой стрелки и наоборот), интерферируют конструктивно независимо от степени неупорядоченности рассеивателей. Любая петля - это возвращение назад. Поскольку вероятность образования петли из-за подобного рода интерференции увеличивается, возрастает и рассеяние в заднюю полусферу. Это, в свою очередь, стимулирует образование новых петель и т.д. Результатом этого самоподдерживающего процесса является запирание фотона в ограниченной области пространства - локализация света.

Во Введении представлено современное состояние проблемы. Глава 2. Линейный электромагнитный отклик изолированного рассеива-теля.

Задача главы - построение диаграммной техники, предназначенной для описания электродинамических процессов как в отдельном рассеивателе произвольной формы, так и в системе рассеивателей. Функции Грина, используемые для описания взаимодействия электромагнитного поля с частицами дисперсной фазы, вводятся обычно через классические уравнения Максвелла, а не через ис-

(1)

ходный гамильтониан с дальнейшим построением диаграммной техники. Это связано с тем, что квантуется только поперечная часть электромагнитного поля, а кулоновские силы, ответственные за существование конденсированной среды, вводятся как потенциал взаимодействия. Это обстоятельство не ведет к серьезным трудностям при рассмотрении электродинамических процессов в однородной среде, где продольные и поперечные эффекты полностью разделяются, и выбор калибровки фотонного пропагатора (фотонной функции Грина) не является решающим. Взаимная трансформация продольных и поперечных возбуждений в однородной среде невозможна. В неоднородной среде благодаря присутствию в задаче еще одного характерного вектора, например, вектора градиента электронной плотности, этот запрет снимается. Такая трансформация известна в классической электродинамике как проявление эффектов пространственной дисперсии.

В качестве отдельной частицы дисперсной фазы выбрана металлическая частица. Однако конечные результаты выражаются через макроскопические характеристики рассеивателя (диэлектрическую проницаемость, например) и поэтому оказываются справедливыми и для диэлектриков. Используемая модель отдельной частицы проста: за ее электродинамические свойства отвечает взаимодействующий через кулоновский потенциал газ электронов проводимости, находящийся в поле г/(г), созданном однородным положительным ионным фоном - т.н. модель "желе". Электронная плотность образца и(г) задается в виде распределения с резким краем.

Полный гамильтониан системы металлический образец + электромагнитное поле представляется в виде Я =Я„+Я,, где гамильтониан

^о = 1 ("¿'¿г) ^ (г)</г + £ ®< А.д" (г) Р (г) ■*

описывает невзаимодействующие электроны проводимости, находящиеся в поле и(г), и свободное поперечное электромагнитное поле,

12

р(г) = у/'СМО

- оператор электронной плотности, у/*0) и у/(г) - операторы рождения и уничтожения электрона, ¿¡¡л и ак> - операторы рождения и уничтожения фотона с волновым вектором к, поляризацией Л (Я = 1,2) и частотой со = ск . Гамильтониан взаимодействия электронов между собой и с электромагнитным полем имеет вид

где 2(г) = |г|"', <У/э(г) = р(г)-л(г), е и т - заряд и масса электрона,

- оператор плотности электронного импульса, А - оператор векторного потенциала

V 03 у кл

V - нормировочный объем, е4, - единичный вектор поляризации.

Типичное возбуждение в однородной среде - электронно-дырочную пару можно рассматривать как пару пространственно разделенных микрофлуктуации зарядовой плотности +3р и -Зр. Это продольное возбуждение. Плоская электромагнитная волна, будучи возбуждением поперечного типа, в упругом канале рассеяния не способна возбудить электронно-дырочную пару. Зато она создает поперечное возбуждение - микрофлуктуацию тока или электронного импульса. Взаимная трансформация продольных и поперечных возбуждений в неоднородной среде описывается т.н. смешанными неприводимыми поляризационными операторами Р0а и Ра„. Эти операторы есть свертки операторов электронной плотности и плотности электронного импульса.

I

+ —^

Рис. 1. Система уравнений для четырех типов пропагаторов и ее сведение к одному уравнению для пропагатора в калибровке с нулевым скалярным потенциалом - пятая строчка.

Из-за необходимости учета этих эффектов приходиться иметь дело с четырьмя типами фотонных пропагаторов Ст, ОаР, С?0„ и Сп0, удовлетворяющих системе уравнений, в графической форме представленной первыми четырьмя строчками рис. 1. Первый из них - "одетое" кулоновское взаимодействие (вторая строчка), второй - фотонный пропагатор в поперечной калибровке (первая строчка). Первое слагаемое справа в первой строчке

- пропагатор свободного фотона в упомянутой калибровке. Два оставшихся пропагатора - смешанные продольно-поперечный и поперечно-

продольный фотонные пропагаторы. Электронно-дырочные петли на рис. 1 -неприводимые поляризационные операторы: а) стандартный оператор плотность-плотность - петля с пустыми вертексами

б) два упомянутых смешанных: плотность-импульс - петля с отчеркнутым правым вертексом

Рю(г,1>) =/} (Тр(г,т)р(г',0)))еш'с1т =») 000(г,г'|г-)С0-0(г,г'|гУ"'£/г,

Р0„(г,ф) = // (гф(г,г)Р;(г\0)))Л/г =>) Сж(г,г'\т)О:0{гУ\г)е""с1т

и импульс-плотность - петля с отчеркнутым левым вертексом

Ро0(г,г'Н = '} {тра{т,т)5р\г\0)))е'"4г=(] С„,(г,г'|г)С;(г,г'|гГЛ.

Линии петель с тонкими стрелками, выходящие из "пустых" вершин петель -электронно-дырочные пропагаторы вида 000(г,г'|г) = ^7-1//*(г,г)1(/(г',0)^, выходящие из перечеркнутых вершин линии петель с толстыми стрелками - электронно-дырочные пропагаторы вида Со0(г,г'|г) = (7'Уоу/*(г,г-)у/(г',0)), Т - оператор хронологического упорядочения. Вертикальная пунктирная линия - потенциал взаимодействия фотона с частицей

ла/1(г,г'\со) = ^-^(гЖг-г') + Ра„(г, г'),

где

/уг.ф) =/1 (Тра (г, т)р'р{г\

- неприводимый поляризационный оператор импульс-импульс, 8аР - символ Кронекера, <5(*) - дельта-функция Дирака.

Введением нового пропагатора связанного с Ом, 0„д, О0„ и Со0, соотношением

после вычисления неприводимых поляризационных операторов в высокочастотном приближении и приближении случайных фаз система четырех уравнений сводится к единственному дайсоновскому уравнению

для пропагатора в калибровке с нулевым скалярным потенциалом оаР [4]. Это уравнение представлено пятой строчкой рис. 1, где толстая горизонтальная линия - пропагатор й„р, тонкая линия - пропагатор свободного фотона в этой калибровке

„ , с1___ ехр(-ки|г—г'1/с)

Это уравнение, как и следовало ожидать, совпадает с уравнением для функции Грина уравнений Максвелла в той же калибровке. Предложенный формализм далее применяется для расчета вероятностей основных электродинамических процессов в диспергированных средах: упругое рассеяния, поглощение, неупругое рассеяние, фотоэффект и разного рода трехфотонные процессы. В качестве примера, свидетельствующего о надежности разработанной диаграммной техники, воспроизведены результаты классической теории Ми в задаче об упругом рассеянии электромагнитной волны сферической металлической частицей

Использованную процедуру нельзя рассматривать как квантование электромагнитного поля в калибровке с нулевым скалярным потенциалом, т.к. соответствующие операторы рождения и уничтожения фотона не введены. Тем не менее, это вполне позволяет рассматривать линии фотонных пропагаторов как траектории виртуальных фотонов, играющих основную роль в дальнейшем. Глава 3. Интерференционные эффекты в рассеянии и поглощении света системой металлических наночастиц.

В этой главе, используя методы теории многократного рассеяния, построена модель локализации света в системе малых плотноупакованных металлических частиц. Идея используемого формализма следующая [4-7].

В случайной системе рассеивателей существует два типа интерференции, способной вызвать существенные поправки к классическому сечению упругого рассеяния света. Первый тип - это конструктивная интерференция амплитуд вероятности, соответствующих двум альтернативным способам обхода фотоном замкнутой петли на его траекториях (по ходу вращения часовой стрелки и наоборот). Набег фазы при движении по петле нулевой фк^г =0 (к - волновой

вектор фотона). Второй тип также конструктивной интерференции связан с двумя возможностями прохождения фотоном линейной цепочки частиц в направлениях "вперед" и "назад". При этом к заменяется на к, заменяется на -г и набег фазы не меняется.

Ряд теории возмущений (ТВ) для усредненного по положению рассеива-телей дифференциального сечения рассеяния дают диаграммы, представленные на рис. 2.

Рис. 2. Ряд теории возмущений для усредненного сечения упругого рассеяния.

Зигзагообразные линии - волновые функции падающего и рассеянного фотонов, горизонтальные линии - фотонные пропагаторы, вертикальные линии - (.-матрицы рассеяния фотона на изолированной частице, с кружками связан фактор упаковки частиц. Здесь представлены только связные диаграммы, описывающие некогерентное рассеяние. Первая диаграмма - в пересчете на одну частицу дает классическое рэлеевское рассеяние, следующая далее последовательность веерных диаграмм описывает интерференцию первого типа, последовательность лестничных диаграмм - интерференцию второго типа. Сечение рассеяния в системе большого числа частиц с учетом локализации получается после осреднения по координатам частиц следующей величины:

где 3 - амплитуда рассеяния, - единичный вектор в направлении рассеянного кванта, и суммирование ведется по всем частицам с системы. Индексы а и Ь говорят лишь о том, что частицы, через которую фотон входит в систему и выходит из нее, могут быть разными. Если а = Ь, то мы будем иметь дело с классическим сечением, которое есть квадрат модуля амплитуды, если амежду точкой входа и выхода фотона из системы частиц возникает "пространственный промежуток", в котором возникает локализация или зацикливание фотона. Структура последнего выражения допускает комплексность этой величины.

Причина появления "недиагональных" элементов оаЬ (а *Ь) в сечении связана с вкладом т.н. максимально пересекающихся или веерных диаграмм (см. рис. За). Вееры описывают интерференцию амплитуд, соответствующих

двум альтернативным способам прохождения фотоном замкнутой петли, изображенной на рис. ЗЬ, на которой для простоты присутствуют только три частицы.

Рис.З: Типичная веерная диаграмма в системе трех частиц.

Дифференциальное сечение рассеяния связывает поток рассеянного излучения в том или ином направлении с плотностью потока падающего излучения. Если сечение содержит мнимую часть, то как следует интерпретировать мнимые потоки? Оказывается, сечение рассеяния можно представить как сумму трех слагаемых:

Первое из них - обычное рэлеевское сечение. Слагаемые в скобках связаны с локализацией. По мере приближения к области локализации, например, по мере изменения частоты, сначала появляется сг,. Это слагаемое описывает дополнительное рассеяние, соответствующее переходу излучения в локализованное состояние. Далее появляется <т2. Локализованный свет - это фотоны, двигающиеся по замкнутым петлеобразным траекториям. Их число в произвольном замкнутом объеме осциллирует со временем, равно как и поток этих фотонов через границу объема. Мнимая часть сечения /<т2 описывает именно эти осциллирующие потоки. Это следует из уравнения неразрывности, связывающего плотность фотонов р в некотором содержащем частицы объеме, ограниченном замкнутой поверхностью, и плотностью потока j излучения через эту поверхность

1

2 3

3 2 1

а) Ь)

СТ=СТ„+(сТ, + НТ2)

(2)

Проинтегрировав по объему, имеем

^=0. (3)

л

где J = полный поток излучения через поверхность и N - число фотонов внутри поверхности. Учитывая, что поток рассеянного излучения ¡г в направлении, характеризуемым единичным вектором п/, связан с дифференциальным сечением рассеяния соотношением \ =1а<1а1 с!пг, где /0 - плотность потока падающего излучения, соотношение (3) переписывается в виде

№ г

-+ /0<х = 0,

л (4)

где <т = ^(с1а-/с!п/)с1п/- полное сечение рассеяния. Удовлетворить уравнению (4) можно, если предположить, что число локализованных в объеме фотонов меняется со временем по закону

Л'о (') = —^ехр(-/ю/)ехр -^-ал |, со \ Ъ )

где /0 - плотность "падающего" потока, который создается именно этими осциллирующими фотонами. Комплексность сечения не удивляет, поскольку речь идет о виртуальных фотонах, не связанных ни с детектором, ни с источником излучения, и недоступных для непосредственного наблюдения. Свидетельство о существовании этих фотонов - уменьшение традиционного сечения рассеяния, вызванное уходом реальных фотонов в локализованное состояние. Как следует из последнего выражения, характерное время либо образования, либо жизни этих локализованных фотонов г = а2 / <т,о.

Локализация возникает, как только появляется <т, и т становится конечной величиной. Ситуацию проясняет следующая механическая аналогия. Создадим в широком сосуде небольшую задержку воды и откроем узкий слив. При условии, что приход воды в точности равен ее расходу через слив, уровень воды довольно скоро выйдет на стационар. Высота столба воды будет равной Я =(С>/8)г 12% , где <2 - объемный расход воды, Б - площадь сливного отверстия,

g - ускорение свободного падения. Это связано с тем, что скорость истечения воды из слива определяется формулой Торричелли и зависит от высоты столба воды. Объем воды в сосуде определяется параметрами системы. Если, к примеру, задержка с отводом воды была незначительной, сосуд наполняется до уровня Н, если задержка несколько больше, излишняя вода выливается. В случае локализации роль воды, льющейся из крана, играет падающее излучение, резервуар - система частиц, вода в сосуде - локализованный свет. Если время жизни локализованного фотона мало, система реагирует уменьшением рассеяния (сосуд наполняется водой). Если г наоборот излишне велико, рассеяние увеличивается (излишек воды уходит).

Принципиальное отличие приведенного примера от нашей задачи состоит в том, что количество "локализованной" в сосуде воды мы знаем, а "количество" локализованного в системе рассеивателей света - нет. Локализованный свет недоступен для непосредственного наблюдения. Мы можем лишь наблюдать как падающий свет переходит в локализованное состояние или как он де-локализуется.

Сечение упругого рассеяния определяется блоком Г веерных диаграмм, представленным во второй строчке рис. 4. Несвязные диаграммы, описывающие когерентное рассеяние вперед, опущены. В соответствии с тождествами Уорда веерное приближение определяет вид массового оператора Е (третья строчка рис. 4) в уравнении Дайсона для усредненного фотонного пропагатора (шестая строчка), ^матрица рассеяния фотона на изолированной частице (сплошная вертикальная или наклонная линия) вычисляется в рамках хорошо известного приближения когерентного потенциала (последняя строчка рис. 4). Первая диаграмма ряда ТВ для Г описывает обычное некогерентное рассеяние. Последующие диаграммы веерного ряда описывают интерференцию пары виртуальных фотонов, обходящих замкнутую петлю двумя альтернативными способами, по ходу вращения часовой стрелки и наоборот.

0-Т, М , , ¿Щ^ , -

0-2-М-1

Рис. 4. Система уравнений для сечения рассеяния

Идея решения системы уравнений рис. 4 заключается в том, чтобы угадать правильный вид однофотонного пропагатора £>, вводя неизвестный параметр, а затем определить этот параметр из условия самосогласованности системы. Роль неизвестного параметра играют эффективные диэлектрические проницаемости системы частиц (продольная и поперечная) и первая задача сводится к их определению. После этого решается уравнение для Г.

1т е.

<а!а\

1 а1а\

Рис. 5: а) - характерная зависимость от частоты .мнимой части поперечной оф-эффективной диэлектрической проницаемости системы; Ъ -характерная частотная зависимость времени жизни лока-

лизованного фотона

На рис. 5а показана зависимость от частоты мнимой части эффективной поперечной диэлектрической проницаемости системы 1т с,, чья производная по частоте определяет эффективную скорость света в области локализации.

Там, где |</(1т£,)/(/й>|»1, скорость в соответствии с формулой (1) стремится к нулю, и мы имеем дело с режимом локализации. На рис. 5Ь представлено отношение сг2 /<т,, определяющее характерное время жизни локализованного фотона. Слагаемые сг, и <т2 описывают свойства виртуальных фотонов. Тем не менее, поведение этих величин заслуживает интереса. В частности, интересна угловая зависимость ¿сг1/с!п/, показанная на рис. 6. С одной стороны эта величина является добавкой к реальному рассеянию, одновременно она определяет поведение уже локализованных осциллирующих фотонов. Амплитуды двух альтернативных способов обхода петли всегда конструктивно интерферируют. Петля — это обязательное возвращение в точку старта. Конструктивная интерференция должна увеличивать вероятность петлеобразования, т.е. вероятность рассеяния локализованного фотона в направлении "назад" должна возрастать. Именно это мы и видим на рис. 6, где приведена индикатриса рассеяния света обеих поляризаций (у в-поляризованного света вектор поляризации перпендикулярен плоскости рассеяния, у р-поляризованного этот вектор принадлежит плоскости рассеяния), приходящееся на одну частицу в условиях плотной упаковки. Здесь же для сравнения показаны рэлеевские индикатрисы рассеяния света изолированной частицей. Угловая ширина щели и спицы в индикатрисе р-и Б-поляризованного света нулевая. Столь необычное устройство индикатрисы рассеяния как нельзя лучше воспроизводит наблюдаемую экспериментально характерную шпилеобразную форму пика обратного когерентного рассеяния циркулярно поляризованного света дисперсными системами.

Рис. 6: Угловое распределение интенсивности рассеянного света обеих поляризаций. Кривые 1 и 2 - рэлеевское рассеяние р- и 5- поляризованного света соответственно. Кривые 3 и 4 -

то же самое с учетом локализации.

Г-0.6

Частотная зависимость связанного с локализацией сечения эффективного поглощения ст„ представлена на рис. 7а. По принятым меркам это поглощение

весьма значительно. Спектр поглощения имеет характерную двугорбую форму. Это связано с тем, что при некоторой частоте групповая скорость света с1со1 ¿к = 0, виртуальный фотон становится стоячей волной и представление о его движении вдоль петли, лежащее в основе рассуждений, утрачивает смысл. Кроме того, поглощение наблюдается в ограниченном промежутке значений

вает новый свет на причину известного недостатка многочисленных приближений эффективной среды [8]. В рамках этих теорий в определенном диапазоне частот и факторов упаковки эффективная диэлектрическая проницаемость среды, состоящей из малых непоглощающих частиц, оказывается комплексной, тем самым допуская существование в системе некоего загадочного поглощения. Это эффективное поглощение связано с локализацией. Глава 3. Локализация света в фрактальных кластерах.

В этой главе исследовано влияние локализации на характер взаимодействия внешнего электромагнитного излучения с фрактальным кластером (ФК), состоящим из непоглощающих наночастиц, и с агломератом таких кластеров. Если в предыдущем разделе групповая скорость света обращалась в нуль из-за большой величины сГё^йш, то в фрактальных системах неоднородностей реализуется вторая причина локализации - большая величина эффективной диэлектрической проницаемости е, [9,10].

Главная черта ФК, определяющая его физико-химические свойства -масштабная инвариантность - любой малый фрагмент ФК при увеличении масштаба воспроизводит пространственную структуру всего кластера. Масштабная инвариантность приводит к тому, что пространственное расположение

фактора упаковки / (см. рис. 7Ь).

Рис. 7: а) - типичная частотная зависимость сечения поглощения, связанного с локализацией; Ь) - характерная зависимость от фактора упаковки сечения по-

глощения, связанного с локатизацией.

а)

Ь)

Обнаруженное явление проли-

если не всех частиц кластера, то очень большой группы частиц, оказывается скоррелированным, хотя чисто визуально структура может восприниматься как беспорядочная. Второе следствие масштабной инвариантности - наличие в ФК большого числа полостей со степенным распределением по размерам, делающее ФК довольно ажурной конструкцией.

Про мере проникновения фотона в кластер его длина волны уменьшается при сохранении частоты, т.к. одновременно уменьшается скорость. Т.е. по мере уменьшения длины волны фотон приобретает способность "разглядывать" все более мелкие детали структуры. Перенормировка Я происходит следующим образом. Падающий на кластер фотон с длиной волны Я порядка характерного размера кластера Ь "улавливается" какой-нибудь достаточно крупной полостью ФК (первичной резонансной полостью). Это улавливание приводит к росту эффективной диэлектрической проницаемости кластера ё , т.к. е возрастает вблизи любого электромагнитного резонанса. Возрастание е инициирует, в свою очередь, уменьшение длины волны фотона, т.к. Ят1 = Л/\/¥. Фотон с перенормированной длиной волны Д„, находит другую резонансную полость, меньшего размера. Новое улавливание вновь стимулирует возрастание ё и новое уменьшение Ящ, и т.д. В результате все полости кластера могут заполниться перенормированными виртуальными фотонами, в том числе и теми, чья Я^, ->0. Их эф-

+ -

! +

фективная скорость нулевая. Как и прежде, усредненный фотонный пропагатор в кластере

выглядит также, как пропагатор в некоторой однородной среде, характеризующейся эффективной диэлектрической проницаемостью.

5 =

0 =

т.

Рис. 8: Система уравнений для ?-матрицы, массового оператора и фотонного пропагатора в ФК.

Используемая система уравнений для t-матрицы, массового оператора и усредненного фотонного пропагатора в кластере представлена на рис. 8. В уравнении для t-матрицы легко узнать приближение когерентного потенциала, Здесь все обозначения прежние, а дугооообразная линия - парный коррелятор в расположении частиц кластера. Двухголовый блок S описывает зацикливание фотона между произвольной парой частиц-мономеров кластера. Физический смысл используемого приближения для Е довольно прозрачен. Кроме t-матрицы в Е включены диаграммы, описывающие последовательное многократное переотражение фотона между парами частиц-мономеров, выстилающих стенки произвольной полости кластера, и обходящего в результате этих переотражений все частицы этой полости. Корреляционным блоком в ФК называется большая группа частиц, чье пространственное расположение охвачено парными корреляциями, убывающими по характерному для фрактальных систем степенному закону. В дальнейшем Lc - характерный размер этого блока, Ne - число принадлежащих ему частиц. Произвольная полость кластера, стенки которой обходит фотон в рассматриваемом приближении для массового оператора, отождествляется с корреляционным блоком.

Расчет показывает, что кластер характеризуется набором Nc значений

£, равномерно заполняющих окружность радиуса |г| = |£-1|Л^/'' ' комплексной плоскости Ree, Im г, где е - диэлектрическая проницаемость материала частиц, d - фрактальная размерность и Nc»\ - число скоррелированных в кластере частиц. Каждое из значений е характеризует свою степень перенормировки Я. При d <3/2 и частотах, соответствующих видимому свету, абсолютная величина Остановится аномально высокой.

Рис. 9: а), Ь) - способ учета пространственных корреляции; с) - угловое распределение интенсивности веерного света для р- (сплошная линия) и s-поляризации (пунктирная линия).

Чтобы понять, как учитывать корреляции в расположении частиц, достаточно рассмотреть две петли рис. 9а), составленные из частиц а-с-Ь и близких к ним частиц а'-с'-Ь', чье положение скоррелировано с первыми. Пример веерной диаграммы, соответствующей этой ситуации, показан на рис. 9Ь). На следующей стадии следует заменить отдельные частицы рис. 9Ь) группами скоррелированных частиц. Каждый овал рис. 9Ь) содержит ,\'с скоррелирован-ных частиц. Все без исключения частицы внутри одного и того же овала соединены корреляторами. В рамках наших приближений все парные корреляторы £2(г)внутри овалов заменяются на g1(Lc), где 4 - корреляционная длина. Парные корреляции между частицами овалов верхнего и нижнего берегов диаграмм рис. 9 описываются характерными для фрактального кластера степенными корреляторами g2(r)~\/r,"l. Кроме того, потенциалы взаимодействия заменены ^матрицами.

В дальнейшем в веерном приближении решается уравнение Бете-Солпитера для усредненного двухфотонного пропагатора и с его помощью вычисляется сечение рассеяния. Проинтегрированное по углам сечение, как и прежде, представимо в виде (2). При ¡1 <312 все три составляющие сечения велики из-за большой величины эффективной диэлектрической проницаемости кластера. Характерное время жизни локализованного света г оценивается как И2СТ, (г - период падающей электромагнитной волны), и при »1 довольно велико. Как отмечено во Введении, при конечном г вне всякой зависимости от его величины локализация приводит к эффективному поглощению света системой. Составляющие сечения <т0 и <т, в данном случае одного знака, т.е. это поглощение сопровождается усилением упругого рассеяния. Связанная с сг, индикатриса рассеяния р- и Б-поляризованного света, представлена на рис. 9с сплошной и пунктирной линиями соответственно. Аномально увеличенное рассеяние в заднюю полусферу по сравнению с рэлеевской индикатрисой изолированной частицы - яркая иллюстрация физической причины зацикливания света в кластере. На языке гидродинамической аналогии, предложенной в главе 1,

"сосуд" оказывается перезаполненным выше стационарного уровня Н. Поэтому вода из него начинает выливаться с большей скоростью. Последнее эквивалентно увеличению рассеяния.

В этой главе рассмотрен также агломерат фрактальных кластеров. Предполагается, что внутри произвольного ФК, из которых составлен агломерат, парные корреляции спадают по обычному степенному закону. Корреляции в расположении частиц-мономеров разных ФК обрезаются экспонентой. Связанные с локализацией добавки к дифференциальному сечению рассеяния

/? = 2(®1с/с)5т(0/2) и д - угол рассеяния, л=(3г0 - некоторая функция, слабо зависящая от фрактальной размерности, к, и к7- волновые векторы падающего и рассеянного фотонов. Эти добавки являются сингулярной функцией угла рассеяния при рассеянии строго вперед (мнимая добавка к 3-функции в (5) порядка ехр(-Л'г), где N - полное число частиц в кластере). Это означает не что иное как возможность существования в системе режима "сверхпроводимости" света, когда полностью выключается связанное с рассеянием на частицах сопротивление всякому движению фотона вперед. Причина этого явления следующая. Диаграммы веерного ряда можно трактовать также как диаграммы, описывающие эффективное взаимодействие пары виртуальных фотонов, обходящих петлю на траектории в двух встречных направлениях. С этой точки зрения локализация есть образование связанного состояния этих фотонов. Это связанное состояние образуется только при боковом рассеянии фотона. Время его жизни г = Гсг^ /сг,, как можно показать, порядка ГЛ^ехрСЛ'2), где т - период падающей электромагнитной волны. Это связанное состояние удерживает фотон

с/сг. (/сг, -1- +-

с!п/ с!п/

(5)

где

/

от любого рассеяния в сторону. В то же время движению вперед ничего не мешает.

Глава 4. Локализация электромагнитного поля на "острове" Вады-Брауэра и жидкометаллический эффект Ребиндера.

В этой главе рассматривается локализация электромагнитного поля в еще одной фрактальной структуре - в системе складок границы раздела двух и большего числа различных сред. Предполагается, что каждая складка такого интерфейса при более внимательном рассмотрении состоит из более мелких складок и так с соблюдением одинакового для всех масштабов рецепта продолжается до бесконечности.

Предлагаемая модель имеет отношение к жидкометаллическому охруп-чиванию поверхности некоторых металлов. Жидкометаллическим охрупчива-нием или эффектом Ребиндера называют понижение прочности металлического образца при нанесении на его поверхность тонкой жидкой пленки специфического для данного материала вещества [11]. Наиболее ярко эффект Ребиндера проявляется при нанесении жидкой эвтектической смеси 1п и Оа на поверхность алюминия.

Точка эвтектики - особая точка на кривой фазового равновесия системы двух компонентов, произвольно смешивающихся в жидком и вовсе не смешивающихся в твердом состоянии. В этой точке одновременно сосуществуют однородная жидкая фаза (расплав) и обе твердые фазы. Поверхность раздела фаз в этом случае устроена очень необычно. Эта поверхность обязана разделять все три фазы, причем - делать это в каждой пространственной точке.

Поверхности, в каждой своей точке разделяющие три и большее число областей, хорошо известны в топологии [12]. Они имеют конечный объем.

В фрактальной системе складок существуют складки абсолютно всех размеров - как сравнимые с характерным размером системы, так и исчезающе малые. В результате локализации все эти складки могут заполниться локализованными виртуальными фотонами в том числе и теми, чья длина волны А,м ~>0.

Физическая причина этого - уже знакомое нам явление перенормировки или

28

уменьшения длины волны фотона при попадании его в фрактальную систему складок, аналогичное имеющему место в ФК.

Показано, что именно локализованное излучение служит причиной образования новых складок в поверхности раздела [13]. Эти новые складки служат убежищем для новых локализованных фотонов и т.д. Именно этот самоподдерживающийся процесс формирует в конечном счете столь сложную поверхность раздела фаз. Более того, именно с позиций локализации можно понять физическую причину появления "толщины" или объема у фрактальной поверхности. Этот объем заполнен перенормированными локализованными фотонами, "тонким слоем намазанными" по бесконечной поверхности границы раздела фаз или компонентов. Объем эвтектической смеси всегда больше чем суммарный объем ее компонентов. Возникает так называемый дефект объема Д V. Возможно, что существует конечный предел произведения ->0 и бесконечной площади поверхности раздела фаз 5., и именно этот предел равен дефекту объема Д V.

Особенность рассматриваемой системы в том, что в каждой ее точке присутствуют сразу три компоненты с диэлектрическими проницаемостями гг,, с2, г3. Предполагается, что такую систему можно охарактеризовать эффективной диэлектрической проницаемостью е . Поэтому потенциал взаимодействия фотона с той или иной компонентой, например, с той, чья диэлектрическая проницаемость е1 и которая присутствует в точке с координатой а, имеет вид

где г и г' - начальная и конечная координаты фотона, ^°(г)=1, если г = а и ??"(г) = 0, если г ф а.

В дальнейшем проводится усреднение по распределению складок. Вводится У0 - суммарный объем компонентов, V - объем системы, ДК = К-К0 - дефект объема или объем, приходящийся на поверхность. Предполагается, что АУ/У «1.

Диаграммная техника, используемая в задаче, аналогична примененной в предыдущих главах, но ^матрица рассеяния фотона на отдельной складке -произвольной точке фрактальной поверхности границы раздела трех фаз определяется рядом теории возмущений рис. 10. Каждой вершине ^матрицы соответствует своя е.

▼

V +

Рис. 10: Ряд ТВ для I-матрицы рассеяния фотона на отдельной складке гратщы раздела.

Показано, что эффективная диэлектрическая проницаемость системы

2

определяется выражением |г| = ((а?/47г)(ДК/К))'<-з [13]. Как и прежде, сечение рассеяния света системой складок представимо в виде (2), где все три слагаемых имеют тот же самый смысл, что и раньше. Как сечения, так и диэлектрическая проницаемость при с/ Зи дк/И«1 очень велики. Время жизни локализованного фотона т = Та2/а1 ~Т/(3-с1)/^ мало.

Чтобы понять, какое отношение полученные результаты имеют к эффекту Ребиндера, представим для наглядности плоскую щель, разделяющую два полубесконечных металла - упрощенную модель трещины в металле. Заполним эту трещину эвтектикой индия и галлия.

Для наглядности удобнее переписать гамильтониан взаимодействия в виде символической суммы трех слагаемых

Н,=(брА2) + (рА) + (ЗрдЗр), (7)

где скобки обозначают интегрирование по внутренним координатам и все недостающие множители содержатся внутри них.

Рис. 11

+5р

рА

О

-5р

РЛ

а)

ЙР рА

I 8р

рА

рА

с)

Характерные диаграммы, описывающие взаимодействие берегов трещины.

Амплитуды

процессов, которые нас интересуют, представлены на рис. 11. Они конструируются из различных блоков гамильтониана (7). Соответствующие блоки выписаны рядом с каждым вертексом диаграмм (напомним, что зигзагообразная линия с прямыми углами - кулоновское взаимодействие, обычный зигзаг - фотонный пропагатор в поперечной калибровке).

За ван-дер-ваальсовское притяжение двух металлических образцов, разделенных узкой щелью, в низших порядках ТВ отвечает диаграмма рис. 11а, содержащая два смешанных поляризационных оператора. Похожие диаграммы, не содержащие этих операторов, как это видно из рисунков 11Ь и 11с, не могут обеспечить это притяжение либо из-за сбалансированности зарядов на обеих берегах трещины, либо из-за их полного отсутствия.

Роль локализованного света в рассматриваемых процессах следующая. Локализованный фотон - это замкнутая сама на себя линия фотонного пропага-тора. Для наглядности - это петля составленная из пилообразной линии фотонного пропагатора в поперечной калибровке и неприводимого поляризационного оператора импульс-импульс, изображенная на рис. 12а (это простейшая структура, дозволенная га-

рА

5рДШ ЛЛПЛ ltp+5P

iavvawv;.

рА

>8р Г

г * V/ +8р

рА

мильтонианом).

-5р

-©

GH-

Ь)

Рис. 12:Траисформация диаграммы а) в Ь) и с).

При заполнении трещины эвтектикой в ней появляется локализованный фотон. Время его жизни мало, и в дальнейшем происходит трансформация диаграммы рис. 12а в диаграмму рис. 12Ь, т.е. обе плотностные вершины 8р и -бр принадлежат теперь одному и тому же берегу трещины. Без локализованного фотона такая трансформация была бы невозможна - не хватило бы пары векторных потенциалов. Их предоставляет исчезающий локализованный фотон. В результате кулоновское притяжение "берегов" исчезает и трещи-

на разваливается. Этот механизм не единственный. Диаграмма рис. 12а может трансформироваться и в диаграмму рис. 12с, чьи берега вовсе не имеют заряда. Как мы видим, токовые вертексы трансформируются в плотностные, что сопровождается эмиссией двух реальных фотонов, изображенных волнистыми линиями со стрелками. Такова физика эффекта Ребинде-ра.

Рис. 13: Излучение света из казимировской щели с нарушенной симметрией.

Трансформацией диаграммы 12а в диаграмму 12с можно также объяснить явление испускания света из казимировской щели с нарушенной симметрией. На рис. 13а сверху показан процесс испускания пары реальных фотонов из щели, за счет исчезновения локализованного света и трансформации токовых вертексов в плотностные, сопровождающейся эффективным переносом заряда через щель. Так, на левом берегу возникает, к примеру, положительная флуктуация заряда, на правом - отрицательная. Внизу показан аналогичный процесс, но только на берегах появляются заряды противоположных по отношению к верхнему рисунку знаков. Как результат - никакого эффективного переноса заряда и испускания света не происходит. Однако, если "замкнуть" берега источником тока, показанным на рис. 13Ь, симметрия системы нарушится. Отрицательный потенциал левого берега будет причиной преимущественного появления на ней положительных флуктуаций заряда. В цепи появляется эффективный ток, хотя реального движения заряда по разомкнутой цепи не происходит.

Легко заметить, что фотоны обязаны вылетать парами, и их испускание скоррелировано с прохождением эффективного тока по цепи. Энергия вылета-

ющих фотонов возникает за счет работы источника, а вовсе не за счет энергии локализованного света, как может показаться на первый взгляд. Глава 6. Локализация фотона на паре рассеивателей и катастрофа Пуанкаре.

В этой главе рассмотрена локализация фотона в, казалось бы, совершенно неподходящей для этого системе - на паре рэлеевских проводящих частиц вблизи единственной характерной для системы частоты - частоты дипольного поверхностного плазмона .

Рис. 14: а) - виртуальные процессы при рассеянии фотона на паре частчц;Ь) - простейшее

антуановское множество.

Как извест-

но, задача о рассеянии фотона на двух рассеивате-

лях (самый известный пример - фейнмановское прохождение фотона через два отверстия в непрозрачном экране) требует рассмотрения всех возможных траекторий виртуального фотона и суммирования соответствующих им амплитуд. Некоторые из таких траекторий показаны на рис. 14а. При этом возникает еще одна проблема. Идентичные частицы (правая и левая) в некотором смысле неравноправны, одна из них может быть названа "последней", а вторая - "предпоследней". Фотон достигает детектора, рассеиваясь на "последней", информируя нас о ее положении. Мы ничего не знаем о положении "предпоследней" частицы, т.к. она не соединена с нами волнистой линией реального фотона (простые линии - пропагаторы виртуальных фотонов). Поэтому применяется процедура осреднения по положению "предпоследней" частицы. Фактически вводится ансамбль таких виртуальных частиц, характеризующихся фактором упаковки /. Эта величина есть доля всего пространства, приходящаяся на "предпоследнюю" частицу. Эта величина исчезающе мала, но это не нуль. При / = 0 воспроизводятся классические результаты. Но при произвольно малом, но

ненулевом /, всегда можно найти узкий частотный диапазон, в котором возникает очень интересная физика. В этом случае траектория виртуального фотона приобретает черты т.н. цепочечного множества Антуана, чья топологическая размерность с/, = О [И].

Нульмерное множество Антуана устроено следующим образом (см. рис. 14Ь). На первом этапе рассматривается затравочный "толстый" тор Аг На втором - 4 заменяется цепочкой менее "толстых" переплетенных звеньев Л2, находящихся внутри А,. Затем каждое звено Аг заменяется цепочкой еще более мелких звеньев и т.д. Продолжая этот процесс, получим последователь-

ность Д =>4 =>Л,... Пересечение этих множеств представляет собой нульмерное антуановское множество А'.

Если локализованный фотон движется по антуановской траектории, то покинуть это множество ему довольно трудно. Он испытывает проблемы с выходом в реальный мир с с/, =1,2,3, подобные затруднениям человека, находящегося в комнате без окон и дверей. Возможна и еще одна интерпретация механизма удержания света в системе, также обусловленная необычной топологией антуановских траекторий. Замена трехмерного фотона нульмерным объектом приводит к сингулярному характеру распределения энергии вдоль траектории антуановского фотона. У такой траектории появляется своеобразная "механическая жесткость". Переплетенные "жесткие" звенья антуановского множества "сопротивляются" любой попытке их расцепления.

Показано, что трансформация траектории виртуального фотона в антуановское множество является острым резонансным процессом. В рассмотренной простейшей ситуации это происходит, если частота падающего излучения ю оказывается ровно в два раза больше единственной характерной частоты системы - частоты дипольного поверхностного плазмона в изолированной частице а,. Этим рассматриваемая ситуация напоминает проблему резонансных знаменателей в классической механике - катастрофу Пуанкаре [14].

Эта проблема возникает при попытках проинтегрировать уравнения движения некоторых динамических систем - совершить каноническое преобразование к переменным "угол-действие". Как известно, такие попытки терпят неудачу уже для сравнительно простых систем. В результате этого преобразования фазовое пространство интегрируемой системы с 2п степенями свободы приобретает структуру множества вложенных друг в друга п-мерных торов, и любая фазовая траектория системы располагается на одном из них. Систему можно охарактеризовать переменными "действие", задающими "радиусы" того или иного п-мерного тора, и частотами а>( (/ = 1,2...л) вращения траектории по поверхности этого тора. В случае неинтегрируемой системы поведение фазовой траектории становится неаналитической функцией ее переменных, если найдется т.н. резонансный п-мерный тор, частоты вращения по поверхности которого связаны соотношением у,. = 0, где - некоторые отличные от нуля

целые числа. В этом случае фазовая траектория становится по выражению Пуанкаре "патологической" кривой. Это явление известно как "катастрофа Пуанкаре" и является одним из сценариев возникновения т.н. детерминированного хаоса в гамильтоновых системах. Нульмерность траектории антуановского фотона в случае соизмеримости частот со и <у, (2<у,-« = 0) и неаналитичность фазовой траектории системы в случае катастрофы Пуанкаре, возникающая при условиит,<и| +т2со2 +... = 0, очень похожи друг на друга.

Результаты этой главы позволяют дать новую интерпретацию явлению обратного когерентного рассеяния света дисперсными системами (слабая локализация). Это явление наблюдается при отражении света от коллектива слабо поглощающих рассеивателей, например, при отражении света от прозрачной кюветы, наполненной частицами латекса, диспергированными в воде. В этом случае на фоне обычного френелевского отражения наблюдается очень узкий пик, центрированный в направлении рассеяния строго назад. Интенсивность пика превышает фоновое значение примерно в два раза.

ф О—- --О «г® ■" ~Г\ ~ / ^ис' а) ' ^ва еозл,ож11Ь1х

* +1<о 11 I 1 а способа прохождения фото-

II 1 I Т Г у ном бесконечно узкой петли;

Ь) - возвращение фотона в + 6р -5р + ** точку старта - однознач-

а) Ь) с) ным образом определенная

про1\едура; с)- механизм зацикливания фотона в системе метачлических частиц, связанный с многократным неупругим рассеянием.

Простому и наглядному объяснению явления - интерференции амплитуд вероятности, соответствующих двум возможным способам обхода фотоном ис-чезающе узкой петли (по ходу вращения часовой стрелки и наоборот) присущ, на первый взгляд, серьезный недостаток. Никакой бесконечно узкой петли, равно как и двух способов ее прохождения, не существует, разворот фотона на паре рассенвателей - однозначным образом определенная процедура (см. рис. 15а и 15Ь). Эта глава дает способ разрешения проблемы. В условиях локализации траектория виртуального фотона оказывается изоморфной нульмерному множеству Антуана. Это множество может быть вложено в одномерную "трубку", зажатую между двумя рассеивателями, сохраняя при этом структуру петли, характеризующейся двумя направлениями ее обхода.

Предложенная "топологическая" интерпретация локализации дополняет ее трактовку как образование связанного состояния пары виртуальных фотонов, обходящих петлю на траектории в двух противоположных направлениях. В рамках этой интерпретации возможно также образование связанного состояния пары реальных фотонов, переплетающихся своими антуановскими кольцами, при этом частоты фотонов не обязательно одинаковы. Другими словами, между фотонами возникает эффективное взаимодействие, что в рамках линейной электродинамики полностью запрещено. Сечение упругого рассеяния пары фотонов, распространяющихся в системе рэлеевских частиц и взаимодействующих между собой через переплетение их антуановских звеньев, также рассчитано в этой главе. Здесь приходится иметь дело уже не с "четыреххвосткой" главы 3, а с неприводимой "восьмихвосткой". Несмотря на малость (лишняя четвертая степень рэлеевского фактора по сравнению с классическим сечением), существование такого эффективного фотон-фотонного взаимодействия от-

36

крывает принципиальную возможность управлять слабыми световыми потоками при помощи света, отказавшись от довольно медленных оптоэлектронных преобразователей.

Глава 7. Гигантское комбинационное рассеяние с позиции локализации света

Молекулы, адсорбированные на шероховатой металлической поверхности, проявляют аномально высокое рамановское рассеяние по сравнению со свободными молекулами. Коэффициент усиления достигает величины 1014. Это явление известно как гигантское комбинационное рассеяние (ГКР). В этой главе рассмотрена роль локализации в этом процессе. Предложенная модель позволяет взглянуть на причину этого явления с совершенно новых позиций.

Причина ГКР обычно связывается с сильными локальными электромагнитными полями вблизи поверхности металлических неоднородностей. Причина существования этих полей - возбуждение в упругом канале рассеяния собственных электромагнитных мод микронеоднородностей. Однако сильные локальные поля существуют внутри очень узкого спектрального диапазона, вблизи частот дипольных поверхностных плазмонов металлических микрогранул (граница видимого света и ультрафиолета). В то же самое время ГКР устойчиво наблюдается во всем частотном диапазоне от ИК до УФ.

Присутствие в гамильтониане взаимодействия света с электронами проводимости металла слагаемого, квадратичного по векторному потенциалу электромагнитного поля, допускает существование следующего процесса. Фотон, движущийся по замкнутой траектории, за счет неупругого рассеяния многократно обменивается энергией сам с собой, возбуждая в частицах флуктуации зарядовой плотности противоположных знаков. Этот процесс предложено назвать многократным неупругим рассеянием. Причина удержания фотона на замкнутой траектории чисто интерференционная, она опять же связана с интерференцией амплитуд, соответствующих двум альтернативным способам обхода замкнутой петли на траектории виртуального фотона. Оказывается, локализация совместно с многократным неупругим рассеянием способна объяснить

37

причину существования ГКР во всем экспериментально наблюдаемом диапазоне частот. Движение фотона по замкнутой траектории в одном из низших порядков ТВ описывается диаграммой рис. 15с. Здесь, чтобы не возникла путаница, используются немного другие обозначения. Пунктирные линии в отличие от предыдущих разделов - фотонные пропагаторы в калибровке с нулевым скалярным потенциалом, сплошные линии, образующие вертикальные петли -электронные (с жирной стрелкой) и дырочные (с пустой стрелкой) пропагаторы, рядом с каждой линией стоят соответствующие ей энергии, рядом с каждым вертексом - флуктуации плотности заряда +5р и -5р, со, - первоначальная энергия фотона, со - энергия, теряемая фотоном при неупругом рассеянии.

К

Рис. 16: Ряд теории возмугцений для сечения локализации и процедура его суммирования.

К

Ряд теории возмущений для дифференциального сечения рассматриваемого процесса представлен на рис. 16. Роль "взаимодействия" здесь играет величина, тесно связанная с поляризационным оператором плотность-плотность, представленная на рис. 16 заштрихованным овалом. Это есть приводимый поляризационный оператор плотность-плотность, проинтегрированный по частоте. В отличие от упругого рассеяния, где соответствующий эффективный потенциал взаимодействия не передавал энергию, здесь каждая ступенька веерного ряда передает энергию со. Одетый поляризационный оператор "плотность-плотность" связан со смешанными поляризационными операторами Р0а и Ра0, и фотонным пропагатором в отдельной частице последней строчкой рис. 1Ь.

В рамках стандартного механизма неупругого рассеяния фотона (однократное рассеяние) приходящееся на одну частицу дифференциальное сечение рассеяния велико, если только сброшенная фотоном энергия равна или классической плазменной частоте металла со или частоте дипольного поверхностного плазмона в частице щ . Сечение рассматриваемого процесса снова представимо

38

в форме (2), где ст0 описывает переход реального фотона в локализованное состояние. Соответствующее ав дифференциальное сечение по форме практически идентично классическому с той лишь принципиальной разницей, что передаваемая системе энергия может быть любой величиной, лежащей в интервале [0,<и,], где щ - энергия падающего фотона [5].

Результаты этой главы позволяют предположить, что причина ГКР -предложенное многократное неупругое рассеяние света микронеоднородностя-ми поверхности, модулированное молекулами, адсорбированными на них. Сброс энергии фотона может быть любым от 0 до щ. Ничто не запрещает фотону сбросить энергию а, равную частоте собственных колебаний молекулы а>т, адсорбированной на поверхности частицы. В этом случае регистрируется очень мощный сигнал, обусловленный неупругим рассеянием света на частице, а не на молекуле, но сдвиг частоты, который фиксируется в экспериментах, равен собственной частоте адсорбированной молекулы. ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

• Для целого ряда дисперсных систем (плотная упаковка рэлеевских частиц, фрактальный кластер, фрактальная система складок границ раздела многокомпонентных сред) решено уравнение Бете-Солпитера для неприводимой четырехточечной вершинной функции, описывающей интерференцию амплитуд вероятности, соответствующих двум альтернативным способам обхода замкнутых петель на траектории фотона. Локализация света обусловлена именно этой интерференцией.

• Обнаружена сильная чувствительность локализации к типу поляризации падающего света. Установлен частотный и концентрационный диапазон локализации. Вычислены связанные с локализацией поправки к классическим сечениям рассеяния и поглощения света дисперсными системами.

• Построена теория локализации света в фрактальном кластере. Предсказаны аномально высокие светорассеивающие характеристики кластеров с низкой фрактальной размерностью. Предсказана возможность вынужденного излучения локализованного света. Обнаружено существование режима беспрепятственного прохождения излучения через фрактальную систему неоднородностей - аналога явлению электронной сверхпроводимости в металлах.

• Построена основанная на идеях локализации микроскопическая модель, описывающая жидкометаллический эффект Ребиндера.

• С позиций локализации в неупругом канале рассеяния построена модель гигантского комбинационного рассеяния света молекулами, адсорбированными на поверхности малых металлических частиц, позволяющая объяснить необычайно широкий частотный диапазон этого явления.

• Построена модель локализации, объясняющая причину возникновения эффективного фотон-фотонного взаимодействия, обнаруженного в недавних экспериментах.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Предложенный в работе взгляд на проблему локализации света в дисперсных системах отличен от общепринятого. Во-первых, нет разделения на сильную и слабую локализацию. Оба типа есть различные проявления одного и того же явления. Более того, сильной локализации в ее обычном понимании, по мнению автора вообще нет. Как известно, распространение света в системе частиц описывается уравнением Бете-Солпитера (БС) для усредненного двухфо-тонного пропагатора. Для описания когерентного рассеяния вполне достаточно иметь дело только с уравнением Дайсона для однофотоного пропагатора, поскольку это рассеяние описывается несвязными диаграммами графического представления уравнения БС. Для описания некогерентного рассеяния без решения уравнения БС не обойтись. Однако существует обходной путь, позволяющий этого не делать, и он общепринят. БС-уравнение в импульсном представлении при помощи ряда допущений сводится к некоторому транспортному или диффузионному уравнению. Вводится целый набор характерных длин. Среди них т.н. длина рассеяния которая есть среднее расстояние между двумя последовательными актами рассеяния; транспортная длина /,, определяемая как среднее расстояние, после прохождения которого распределение интенсивности света становится полностью изотропным; средняя длина неупругого рассеяния /,. - среднее расстояние, на которое проникает свет, прежде чем его интенсивность уменьшится в е раз и т.д. Вводится также коэффициент диффузии электромагнитной энергии. В духе андерсоновской локализации

электрона обращение этого коэффициента в нуль принято считать критерием локализации света. Этот подход неплохо описывает экспериментальные данные, что впрочем и неудивительно при таком обилие параметров. В тоже время он представляется несколько эклектичным, а сама схема слишком напоминает инженерную методику.

В процедуре введения коэффициента диффузии электромагнитной энергии нет никакой необходимости. Преимущества работы с уравнением БС в импульсном представлении на самом деле обманчивы. В представленной работе для целого ряда дисперсных систем удалось решить это уравнение непосредственно в координатном представлении. Это связано с тем, что ядро БС-уравнения (неприводимая четыреххвостка) в веерном приближении оказывается локальным по некоторым своим аргументам, поскольку описывает движение фотона по замкнутой петле. Сечение рассеяния получается присоединением четырех волновых функций реальных фотонов к неприводимой четыреххвост-ке. Если локализация света есть, это тем или иным образом отразится на сечении рассеяния и на сечениях других электромагнитных процессов. Коэффициенту диффузии ЭМ-энергии в рамках такого подхода вовсе не находится места. Поэтому отпадает вопрос о возможности его обращении в нуль. В рамках предложенного подхода речь идет только об интерференционных поправках к сечениям электромагнитных процессов, о сути которых уже было сказано. Именно эти поправки называются в работе локализацией.

В работе исследовано влияние локализации на электродинамические процессы в различного рода диспергированных средах. Показано, что роль локализации в диссипации внешнего электромагнитного излучения при определенных обстоятельствах ничуть не меньше, чем роль традиционных механизмов - поглощения и рассеяния. При этом локализованное излучение в отличие от поглощенного готово к "дальнейшему употреблению". Оно, например, способно к вынужденному излучению.

Локализацию можно рассматривать с нескольких сторон, взаимно дополняющих друг друга. Ее причину можно назвать интерференционной, связанной

41

с интерференцией амплитуд вероятности, соответствующих двум возможным способам обхода замкнутых петель на траекториях виртуальных фотонов. Эта интерференция вызывает усиленное рассеяние света в заднюю полусферу, в свою очередь, вызывая генерацию новых петель на траекториях и т.д. Локализацию можно трактовать и как образование своеобразного связанного состояния пары опять тех же виртуальных фотонов. И наконец, есть и топологическая трактовка локализации. Многократное перерассеяние в системе частиц приводит к трансформации траектории виртуального фотона в нульмерное множество Антуана с переплетенными между собой звеньями. Нульмерность фотонной траектории делает ее жесткой из-за сингулярности плотности энергии вдоль нее. Переплетение жестких звеньев и есть причина, удерживающая фотон в системе рассеивателей. Это взаимодействие эффективное, в гамильтониане задачи его нет. Подобного рода взаимодействие (через зацепление антуанов-ских звеньев) существует и между двумя реальными фотонами. Сечение совместного упругого рассеяния пары фотонов системой рэлеевских частиц с учетом этого взаимодействия содержит лишнюю четвертую степень малого рэле-евского фактора по сравнению с обычным сечением упругого рассеяния. Тем не менее, сам факт существования такого взаимодействия открывает новые возможности в фотонике.

В обычной плотной упаковке металлических наночастиц локализация не очень интересна, поскольку проявляется в узком частотном диапазоне. Однако эта задача весьма поучительна. В ее рамках удается установить основные закономерности локализации, проследить за поведением групповой скорости света, честно поработать с обеими эффективными диэлектрическими проницаемостя-ми - продольной и поперечной (в последующих главах ситуация была немного упрощена - разницей между этими проницаемостями пренебрегалось). Любопытным является тот факт, что сечение рассеяния с учетом локализации переходит в "классику" только в шестом порядке по используемому в задаче параметру малости.

Проявления локализации в системах с фрактальной организацией неод-нородностей впечатляют больше. Главная черта локализации здесь - ее чрезвычайная чувствительность к значению фрактальной размерности. Время жизни локализованного фотона в фрактальных системах в отличие от плотной упаковки сопоставимо с временем жизни электронов на инверсно заселенных энергетических уровнях. Это позволяет надеяться на возможность индуцированного сброса локализованного излучения. Так называемые случайные или порошковые лазеры, где используются диспергированные активные среды, известны давно. Возможно, фрактализация рабочей среды увеличит эффективность этих лазеров.

Стоит обратить внимание на аномально высокую эффективную диэлектрическую проницаемость в оптическом диапазоне частот фрактального кластера с низкой фрактальной размерностью. Возможно, именно эта особенность позволяет использовать аэрогели в качестве черенковских детекторов элементарных частиц - высокая диэлектрическая проницаемость среды делает эффективную скорость света ниже скорости регистрируемых частиц.

Очень часто локализация способна качественно изменять систему, в которой она началась, подстраивать ее под себя, принуждая к дальнейшей интенсификации процесса локализации. Подобного рода пример был рассмотрен в главе 5. Делокализация света из складок фрактальной границы раздела составляющих эвтектической смеси инициирует исчезновение кулоновского взаимодействия как между "берегами" складок, так и берегами заполненных эвтектикой затравочных трещин в поверхности металла. Катастрофическое исчезновение кулоновского взаимодействия приводит как к образованию новых складок (убежища для новых локализованных фотонов), так и к разрушению образца или к жидкометаллическому эффекту Ребиндера.

Не менее интересна локализация в системе непоглощающих рассеивате-лей при многократном неупругом рассеянии света. Фотон, двигаясь по замкнутой петле, многократно обменивается сам с собой флуктуациями электронной плотности, возбуждаемыми им в системе, поочередно то отдавая ей энергию, то

43

получая ее обратно. Механизм удержания виртуального фотона на замкнутой траектории опять же имеет интерференционную природу. Следствием этого механизма и кулоновского взаимодействия наведенных флуктуаций плотности заряда является возможность охвата всей системы рассеивателей незатухающими макроскопическими колебаниями электронной плотности с энергией от нуля до энергии самого фотона. Эти флуктуации в свою очередь могут очень эффективно возбуждать молекулы, адсорбированные на поверхности частиц, инициируя всякого рода химические реакции. Этот механизм проливает новый свет на причину гигантского комбинационного рассеяния, высокой каталитической активности малых металлических частиц, особенностей фликкер-шума и многое другое.

Цитированная литература

1. D. S. Wiersma, М. P. van Albada, A. Lagendijk, Random laser? Nature, 1995, v. 373, p.203-204.

2. O. Firstenberg, T. Peyronel, Qi-Yu Liang, A. V. Gorshkov, M. D. Lukin, V. Vuletic. Attractive photons in a quantum nonlinear medium. Nature, 2013,v. 502, p.71-75.

3. A.Lagendijk, B.A.Tiggelen, Resonant multiple scattering of light, Phys. Reports, 1996, v. 270, p.143-215.

4. А.А. Лушников, В.В. Максименко, Квантовая оптика металлической частицы, ЖЭТФ, 1993, т. 103, р.1010-1044.

5. В.В. Максименко, В.А. Крикунов, А.А. Лушников, Сильная локализация света в плот-ноупакованной гранулированной среде, ЖЭТФ, 1992, т. 102, р.1571-1586.

6. V.V. Maksimenko, L.Yu. Kupriyanov, V.A. Zagaynov, Agranovski I.E., SERS from Light Localization Positions, J. Raman spectroscopy, 2013, v.44, p.382-392.

7. V.V. Maksimenko, V.A. Zagaynov, I.E. Agranovski, Localization and Poincare Catastrophe in Problem of a Photon Scattering on a Pair of Rayleigh's Particles, Phys. Rev. A, 2013, v.88, p.053823-53837.

8. К.Борен, Д.Хафмен, Поглощение и рассеяние света малыми частицами, Мир, Москва, 1986.

9. V.V. Maksimenko, V.A. Zagaynov, I.E. Agranovski, Electrodynamic properties of fractal clusters, Waves in Random and Complex Media, 2014, v. 24, p. 335-355.

10. Максименко В.В., Куприянов Л.Ю., Загайнов В.А., Эффективная диэлектрическая проницаемость фрактального кластера, Российские нано-технологии, 2009, т.4, с.46-50.

11. Малкин А.И. Закономерности и механизмы эффекта Ребиндера, Коллоидный журнал, 2012, т. 74, с.239-254.

12. В.Г. Болтянский, В.А. Ефремович, Наглядная топология, Наука, Москва, 1982.

13. V. V. Maksimenko, V. A. Zagaynov, I. Е. Agranovski, Localization of Electromagnetic Field on the "Brouwer-Island" and liquid metal embrittlement, Material Chemistry and Physics, 2015, v.153, p.145-154.

14. И.Пригожин, От существующего к возникающему, Наука, Москва, 1985.

Список основных публикаций по теме диссертации

1. V. V. Maksimenko, V. A. Zagaynov, I. Е. Agranovski, Localization and Poincare catastrophe in the problem of a photon scattering on a pair of Rayleigh particles, Phys. Rev. A, 2013, v.88, p.053823-53837.

2. V.V. Maksimenko, L.Yu. fiupriyanov, V.A. Zagaynov, A.A. Khasanov, I.E. Agranovski , Interference Related Corrections to Classical Gas Diffusion in a System of Small Heterogeneities, Eur. Phys. J. B, 2013, v. 36, p. 555-565.

3. V.V. Maksimenko, L.Yu. Kupriyanov, V.A. Zagaynov, I.E. Agranovski, SERS from Light Localization Positions, J. Raman spectroscopy, 2013, v.44, p.382-392.

4. V. V. Maksimenko, V. A. Zagaynov, I. E. Agranovski, Interference corrections to light scattering and absorption by metal nanoparticles, Prog. Theor. Exp. Phys. 2015, DOI: 10.1093/ptep/ptu 177

5. V. V. Maksimenko, V. A. Zagaynov, I. E. Agranovski, Localization of Electromagnetic Field on the "Brouwer-Island" and liquid metal embrittlement, Material Chemistry and Physics, 2015, v.153, p.145-154.

6. V.V. Maksimenko, V.A. Zagaynov, I.E. Agranovski, Electrodynamic properties of fractal clusters, Waves in Random and Complex Media, 2014, v. 24, p. 335-355.

7. B.B. Максименко, Л.Ю. Куприянов, Загайнов B.A., А.А.Хасанов, Элементы самоорганизации при диффузии газа в системе нанонеоднородностей, Труды МФТИ, 2011, т. 3, с. 81-87.

8. Максименко В.В., Куприянов Л.Ю., Загайнов В.А., Замедленная диффузия полярных молекул в ансамбле проводящих наночастиц и ее влияние на чувствительность полупроводниковых сенсоров, Российские нанотехнологии, 2009, т.4, с. 134-139.

9. Максименко В.В., Куприянов Л.Ю., Загайнов В.А., Эффективная диэлектрическая проницаемость фрактального кластера, Российские нано-технологии, 2009, т.4., с. 4650.

10. Максименко В.В.. Особенности линейного электромагнитного отклика коллектива наночастиц, Нанотехника, 2004, №1, с.84.

11. Максименко В.В., Крикунов В.А., Лушников А.А., Сильная локализация света в плотноупакованной гранулированной среде, ЖЭТФ, 1992, т. 102, с. 1571-1586 .

12. Лушников А.А., Максименко В.В., Квантовая оптика металлической частицы, ЖЭТФ, 1993, т. 103, с.1010-1044.

13. Максименко В.В., Лушников А.А., Фазовый переход видимость-невидимость в фрактальном кластере, Письма в ЖЭТФ, 1993, т. 54, № 4,с. 204-209.

14. Maksimenko V.V., Andreev G.B., Absence of Diffusion Through Fractal Interface, Physica A, 2001, v. 300, No 3-4, p.339-349.

15. Андреев Г.Б., Максименко В.В., Отсутствие диффузии через фрактальную границу двух сред, Теоретическая и математическая физика, 2001, т. 128, № 2, с.309-319.

16. Лушников А.А., Максименко В.В., Симонов А.Я., Диэлектрическая проницаемость дисперсных систем, ДАН СССР, 1984, т. 282, № 6, 1348- 1352.

17. Лушников А.А., Максименко В.В., Симонов А.Я., Сутугин А.Г., Рассеяние электромагнитных волн заряженными частицами. Известия Вузов. Радиофизика, 1984, т. XXVII, №6, с.726-733.

18. Максименко В.В., Крикунов В.А., Лушников А.А., Потапов В.К., Поверхностные плазмон-поляритоны в островковой металлической пленке, Поверхность. Физика, химия, механика, 1988, № 10, с.21-28.

19. Максименко В.В., Особенности поглощения света фрактальным кластером, Оптика атмосферы и океана, 1997, т. 10, № 10 с.21-28.

20. Максименко В.В., Галямов Б.Ш., Мальцев П.П., Фрактальные кластеры и микросистемная техника - 1. Локализация и остановка света в системе непоглощающих нано-частиц, Нано- и микросистемная техника, 2001, № 7, с. 29-35.

21. Максименко В.В., Галямов Б.Ш., Мальцев П.П., Фрактальные кластеры и микросистемная техника - II. Диэлектрическая проницаемость фрактального кластера, Нано- и микросистемная техника, 2001, № 8, с. 25-30.

22. Максименко В.В., Галямов Б.Ш.,Мальцев П.П.,Фрактальные кластеры и микросистемная техника - III. Локализация света, индуцированное излучение, "сверхпроводимость" света, "телепортация", Нано- и микросистемная техника, 2001, № 9, с. 13-19.

23. Максименко В.В., Коробко А.П., Андреев Г.Б., Индуцированный светом эффект Ре-биндера в системах с эвтектикой. Журнал Физической Химии, 1998, т. 72, с.1723.

24. Максименко В.В., Коробко А.П., Андреев Г.Б., Жидкометаллическое охрупчивание фрактальной поверхности металла, Поверхность. Рентгеновские, синхротронные и нейтронные исследования, 2001, № 4, с.40- 50.

25. Maksimenko V.V., Localization of light in fractal cluster, J. of Aerosol Science, 1999, v. 30, SI, p.291-292.

26. Lushnikov A.A., Maximenko V.V. Light Absorption by Fractal Cluster. J.Aerosol.Sci., 1991, v.22, p.S395.

27. Maksimenko V.V., Krikunov V.A., Lushnikov A.A., Optics of aerosol deposit, J.Aerosol Sci., 1993, v. 21, S. 1, p.S555-S558.

28. Lushnikov A.A., Maksimenko V.V., Electrodynamics of a charged spherical particle, J.Aerosol Sci., 1993, v. 24, S. 1, p.S53-S54.

29. Galyamov B.Sh., A.A. Lushnikov A.A., V.V. Maximenko V.V., Negin A.E., Yablokov M.Yu., Interaction of Long Wavelength Photons with Fractal Aggregates, J. of Aerosol Sci., 1996, v.27,p.551.

30. Maksimenko V.V., Localization of Photon between Pair of Particles-1. Elastic Scattering, J.of Aerosol Science, 1999, v. 30, p.287-288.

31. Maksimenko V.V., Diffusion of polar molecules in dense system of small conductive particles. A new mechanism of physical adsorption, J. Aerosol science, 2001, v.32, No 1, p.585-586.

32. Maksimenko V.V., Localization of Photon between Pair of Particles-2. Inelastic Scattering, J.of Aerosol Science, 1999, v. 30, SI, p.289-290.

33. Galyamov B.S., Lushnikov A.A., Maximenko V.V. et al, Interaction of long wavelength photons with fractal aggregates, J.Aerosol Sci., 1996, Suppl. 1, p.551-552.

34. V. A. Zagainov, S. F. Timashev, Yu. G. Biryukov, D. V. Vodyanik, I. E. Agranovskii, A. A. Lushnikov, E. V. Zhukova, V. V. Maksimenko, N. S. Malyshev Dynamic State of the Atmosphere in Aerosol Components Russian Journal of Physical Chemistry B, 2012, Vol. 6, No. l,p. 89-99.

Доклады на конференциях и другие публикации

1. И.Е. Аграновский, А.Е. Алоян, Ю.Г. Бирюков, В.А. Загайнов, Н.П.Калашников, А.А.Лушников, В.В. Максименко, Мониторинг атмосферных аэрозольных радиоактивных загрязнений: аппаратное обеспечение и модельное сопровождение, Вестник НИЯУ МИФИ, 2013,т.2, с.5-14.

2. Галямов Б.Ш., Максименко В.В., Мальцев П.П., Способ преобразования излучения в когерентный свет устройствами микронного размера, Авторское свидетельство № 95115865/25 от 30.10.96.

3. Максименко В.В., Андреев Г.Б., Влияние формы проводящей аэрозольной частицы на ее светорассеивающие характеристики, сб. Естественные и антропогенные аэрозоли, Санкт-Петербург, 1998, с. 189-215.

4. Sutugin A.G., Osipov V.P., Maksimenko V.V., The resonance scattering of the electromagnetic radiation by charged particles in the atmosphere, Proceedings 8 th international conference on atmospheric electricity, 1988, Uppsala, Sweden, c.1988-1997.

5. Maksimenko V.V., Liquid Metal Embrittlement of Materials (Rehbinder Effect) as Means of Effecting Military Equipment. Physics of Phenomenon, Non-Letal Weapons. New Options facing the Future. Ettlingen. Germany, 2001, p. 39-1 - 39-12.

6. Максименко В.В., Загайнов В.А., Андреев Г.Б., Диффузия молекул в фрактальных кластерах атмосферы, сб. Физика атмосферного аэрозоля, Москва, 1999, с.245-256.

7. Максименко В.В., Андреев Г.Б., Особенности диффузии газа через фрактальную границу двух сред, Труды международной аэрозольной конференции, Москва, 2000, с.77-86.

8. Максименко В.В., Локализация полярных молекул в коллективе проводящих частиц (новый механизм физической адсорбции), Материалы третьих Петряповских чтений, Москва, 2001, с.43-52.

9. Maksimenko V.V., Light Localization in Fractal Systems, in Biophotonics and Coherent Systems, Moscow University Press, 2000, Moscow, c.151- 171.

10. Maksimenko V.V., Antoine's Localization of Photon inside Fractal Cluster, Fractal in Engineering, Delft, Netherlands, 1999, c.355-358.

11. Лушников А.А., Максименко B.B., Симонов А.Я., и др., Оптические свойства малых металлических частиц, препр. ИТФ СО АН СССР, 1985, т. 133,с.1-62.

12. Galyamov B.Sh., Kupriyanov L.Yu., Maximenko V.V.et al, Light Localization in Fractal Systems of Quantum Dots, Всероссийская научно-техническая конференция "Микро- и наноэлектроника -98" т.2, 1998, P3-43.

13. Galyamov B.Sh., Lushnikov A.A., Maximenko V.V. et al, Optical Properties of Fractal Clusters, Proceedings of International Conference "Nanomeeting-97", 1998, с. 136.

14. V.V.Maksimenko, A.P.Korobko, Multiple inelastic light scattering in collective of nano-particles: applications to heterogeneous catalysis, 1-th Intern. Conference "Highly-Organized Catalytic Systems", Russia, Chernogolovka, 2002, p.76.

15. B.B.Максименко, Линейный электромагнитный отклик фрактального кластера. Труды первого Всероссийского семинара "Нелинейные процессы и проблемы самоорганизации в современном материаловедении", Москва, 1997.

16. V.V. Maksimenko, Influence of electric dipole moment on the diffusion of molecules in agglomerate of aerosol particles, European Aerosol Conference, Ghent, Belgium, 2005, p. 680.

17. V.V. Maksimenko, G.B.Andreev, European Aerosol Conference, Ghent, Belgium, 2005, p. 681.

18. V.V.Maksimenko, A.P.Korobko, Multiple inelastic light scattering in collective of nano-particles: applications to heterogeneous catalysis, 1-th Intern. Conference "Highly-Organized Catalytic Systems", Russia, Chernogolovka, 2002, p.76.

19. V.V. Maksimenko, B.Sh. Galymov, L.Yu. Kupriynov, Diffusion of ideal gas in fractal system of heterogeneities. 1. Stopping of diffusion inside fractal cluster, European Aerosol Conference, EAC-2003, Madrid, Spain, 2003, p.23-24.

20. V.V. Maksimenko, B.Sh. Galymov, L.Yu. Kupriynov, Diffusion of ideal gas in fractal system of heterogeneities. 2. Time oscillations of molecule concentration inside fractal cluster, European Aerosol Conference, EAC-2003, Madrid, Spain, 2003, p.25-26.

21. В.В.Максименко, Диффузия полярных молекул в агломерате аэрозольных частиц, Аэрозоли и безопасность, Обнинск, окт. 2005.

22. В.В.Максименко, Г.В.Андреев, Элементы самоорганизации при диффузии газа в системе малых неоднородностей, Аэрозоли и безопасность, Обнинск, окт. 2005.

23. Лушников А.А., Пахомов А.В., Максименко В.В., Андронова А.В., Оптические свойства фрактальных агрегатов Ag частиц, Тезисы докладов IV Всесоюзного совещания по распространению лазерного излучения в дисперсной среде, Барнаул, 1988, с.25-27.

24. В.В. Максименко, Локализация фотона на паре частиц. 1. Упругое рассеяние, сб. Физика атмосферного аэрозоля, Москва, 1999, с. 216-217.

25. В.В. Максименко, Г.Б. Андреев, Отсутствие диффузии через фрактальную границу двух сред. сб. Естественные и антропогенные аэрозоли, Санкт-Петербург, 1999, с. 48.

26. В.В.Максименко, Особенности локализации света в фрактальном кластере, сб. Естественные и антропогенные аэрозоли, Санкт-Петербург, 1999, с. 49.

27. В.В.Максименко, Эффективная остановка диффузии и возникновение осцилляций концентрации газа в системе нанонеоднородностей, международная конф. Математические методы в технике и технологиях ММТТ-21, 2008.

28. В.В.Максименко, Куприянов Л.Ю, Локализация света в фрактальных кластерах и ее технологические применения, Межд. конф. Фотоника органических и гибридных структур, Черноголовка, сентябрь, 2011.

29. В.В.Максименко, Топологические особенности жидкометаллического охрупчивания поверхности твердых тел, Межд. конф. Деформация и разрушение материалов и наноматериалов, Москва, октябрь, 2011.

30. V.V. Maksimenko, V.N. Ignatov, Optical cloaking and agglomerated fractal clusters, European Aerosol Conference, 2011, Manchester.

31. V.V. Maksimenko, Effective dielectric permeability of a fractal cluster, European Aerosol Conference, 2009, Karlsruhe, Abstract T076A05.

Подписано в печать: 01.06.2015 Объем: 1,4 усл. п.л. Тираж:40 экз. Заказ № 2099 Отпечатано в типографии «Реглет» 119526, г. Москва, Мясницкие Ворота д.1, стр. 3 (495)971-22-77; www.reglet.ai