Обобщенные антагонистические дифференциальные игры тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ

1. ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ВКЛЮЧЕНИЯ

1.1. Точечно-множественные отображения

1.2. Хаусдорфовы уклонения и пространства подмножеств

1.3. Основные рабочие пространства

1.4. Динамические системы

1.5. Элементы абстрактной теории стабильных отображений.

1.6. Дифференциальные включения

2. ОБОБЩЕННЫЕ АНТАГОНИСТИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ИГРЫ.

2.1. Формальное определение ОАДИ

2.2. Множество В как векторная решетка.

2.3. Формальное вложение множества КАДИ в множество ОАДИ.

2.4. Функции d~ и их содержательная интерпретация.

2.5. Некоторые свойства отображений А и В

3. СТАБИЛЬНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЙ, СТАБИЛЬНЫЕ МНОЖЕСТВА И СТРАТЕГИИ КАК РАВНОПРАВНЫЕ СРЕДСТВА ОПИСАНИЯ ОАДИ.

3.1. Стабильные отображения и стратегии.

3.2. Оценка.

3.3. F - инвариантность и другие свойства стабильных отображений

3.4. Стабильные множества и их взаимосвязи со стабильными отображениями и стратегиями

3.5. Структурные свойства стабильных множеств

3.6. Топологические свойства стабильных множеств

3.7. Альтернатива.

4. СТРУКТУРНЫЕ И ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ЗНАЧЕНИЯ ОАДИ.

4.1. Верхнее и нижнее значения ОАДИ.

4.2. Структурные свойства функций 1TZ.

4.3. Топологические свойства функций

4.4. Теорема существования и ее декомпозиция

4.5. Топологический свойства значения

4.6. Структурные свойства значения

4.7. О связи ОАДИ с КАДИ и ЗОУ.

4.8. К дальнейшему развитию теории ОАДИ.

В В Е Д Е Н И Е Теория антагонистических дифференциальных игр предназначена для описания и исследования управляемых процессов в условиях неопределенности и конфликта. Своим становлением эта теория обязана Р.Айзексу, Н.Н.Красовскому и Л.С.Понтрягину. Важный вклад в теорию антагонистических дифференциальных игр внесли П.Варайя, А.Б.Куржанский, Дж.Лин., Е.Ф.Мищенко, М.С.Никольский, Ю.С.Осипов, Л.А.Петросян, Г.К.Пожарицкий, В.Н.Пшеничный, А.И.Субботин, У.Флеминг, А.Фридман, Ю.Хо, А.Г.Ченцов, Ф.Л.Черноусько, В настоящее время теория антагонистических дифференциальных игр представляет собой уже вполне сложившуюся область математики, располагающую значительным запасом накопленных фактов и обладающую большими возможностями для дальнейшего развития. Данная работа посвящена систематическому изложению нового подхода к теории антагонистических дифференциальных игр, основанного на концепции обобщенной антагонистической дифференциальной игры. Обобщенная антагонистическая дифференциальная игра (ОАДИ) трактуется как пара скалярных функций (и.,) функция X) определяет выигрыш на траекториях игры. Функция 01 ,задаваемая аксиоматически, оценивает локальные способности "обобщенных игроков" по управлению эволюцией игры. По своей роли в ОАДИ функция и аналогична гамильтониану в "классических" антагонистических дифференциальных играх (КАДИ). Трактовка антагонистической дифференциальной игры как пары скалярных функций (и,!) сопряжена с некоторыми трудностями при построении развер1той формы игры. Однако эти затруднения совершенно несопоставимы с тем огромным преимуществом, которым сопровождается переход от КАДИ к ОАДИ и которое скорее продемонстрировано, чем исчерпано в данной работе. Установленные ниже результаты позволяют надеяться, что внедрение концепции ОАДИ в теорию дифференциальных игр будет способствовать дальнейшему прогрессу этой теории. Концепция ОАДИ тесными узами связана с той концепцией антагонистической дифференциальной игры, которая была разработана Н.Н.Красовским и А.И.Субботиным в начале 70-х годов. В последующее время концепция Красовского-Субботина получила развитие в самых различных направлениях Сем. [II] [12] [17] [20] [24] [27] [30]-[32] [42] [45] Одно из этих направлений, характеризующееся все возрастающей ролью гамильтониана при анализе динамики нию концепции ОАДИ С [б] В процессе формирования концепции ОАДИ важное значение сыграла разработанная в [4] [21] [22] [50] модификация понятия стабильного множества фундаментального понятия теории дифференциальных игр, применяемого для описания игры в пространстве траекторий. Модифицированное определение стабильного множества дается не на языке управлений, как в [25] а с помощью гамильтониана. Указанная модификация становится особенно естественной при исследовании дифференциальных игр с переменными областями управления С [4] [17] [21] [ЗЬ] Другим естественным источником, стимулирующим употребление гамильтониана в качестве ведущего средства описания динамики игры, служат принцип максимума Л.С.Понтрягина С [14] [39] [40] и принцип динамического программирования, выраженный в виде уравнения Беллмана-Айзекса [l] [43| |45] Наиболее выпукло гамильтониан в роли полноценного заменителя уравнений движения проявляет себя при рассмотрении проблемы эквивалентности двух дифференциальных игр [5] [21] [22] [28] [Зб] Переход к применению гамильтониана в качестве практически самостоятельного способа описания динамики КАДИ, осуществленный в [4] [2l] полностью подготовил почву для построения теории ОАДИ на аксиоматической основе [б] игры [4] [5] [21] [22] [36] [49] [50] и привело к образо 6 Данная работа непосредственно примьткает к исследованиям В.А.Байдосова, Н.Н.Красовского, Ю.С.Осипова, Е.Г.Полищука, Е.Роксина, А.И.Субботина, В.Н.Ушакова и А.Г.Ченцова [12] [2l] [22] боты автора [з] [б] Работа состоит из четырех

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Построение логически завершенной, достаточно глубоко развитой и органически целостной теории ОАДИ составляет основной результат данной работы.

Принципиальное значение имеет последовательно проведенный в данной работе подход к рассмотрению ОАДИ как точки в некотором функциональном пространстве. Это несомненно прогрессивное и плодотворное представление об игре нашло свое воплощение практически на всех этапах построения и исследования ОАДИ.

Существенное достижение данной работы состоит в организации возможностей и обеспечении условий для широкого вторжения в теорию ОАДИ функционального анализа, общей топологии и теории дифференциальных включений. Эти передовые отрасли современной математики не только доставляют требуемые выразительные формы и средства исследования, но и становятся постоянно действующим источником внутреннего развития самой теории ОАДИ.

Для процесса интеграции различных теорий целенаправленных динамических систем имеет важное значение проведенное в данной работе подробное исследование взаимосвязей ОАДИ с ЗОУ и КАДИ как частными случаями ОАДИ. Большого внимания заслуживает та глубокая аналогия, которая обнаружена между стабильными множествами в ОАДИ и траекториями в ЗОУ. Ясно, что указанная аналогия является мощным эвристическим и ценным прогностическим средством изучения ОАДИ путем ее сопоставления с ЗОУ - самым простым представителем целенаправленных динамических систем.

Важное значение имеет также и критический анализ потенциальных возможностей дальнейшей эволюции теории ОАДИ, в результате которого удалось установить, что, несмотря на логическую законченность данной работы, теория ОАДИ обладает самыми разнообразными перспективами для своего поступательного развития.

1. Айзеке Р. Дифференциальные игры.- М.:Мир,1967.- 479е.

2. Алгоритмы и программы решения линейных дифференциальных игр С материалы по математическому обеспечению ЭВМ)/ Под ред. А.И.Субботина и В.С.Пацко.- Свердловск: УНЦ АН СССР,1984.-295с.

3. Алексейчик М.И. О существовании значения дифференциальной игры заданной продолжительности.- Прикладная математика и механика, 1972,т.36, № 2,с.189-200.

4. Алексейчик М.И. Дальнейшая формализация основных элементов антагонистической дифференциальной игры.- В кн.: Математический анализ и его приложения, т.7. Ростов-на-Дону,1975,с.191-199.

5. Алексейчик М.И. Элементы исчисления антагонистических дифференциальных игр.- В кн.: Пятая региональная научно-техническая конференция по применению вычислительной техники (тезисы докладов). Ростов-на-Дону,1979,с.59.

6. Алексейчик М.И. Дальнейшая формализация основных понятий управляемых динамических систем.- В кн.: Системное моделирование социально-экономических процессов. Воронеж, 1980,с.106-108.

7. Альбрехт Э.Г. 0 сближении квазилинейных объектов.- Прикладная математика и механика, 1970, т.34, № 4, с.577-586.

8. Альбрехт Э.Г. 0 встрече квазилинейных объектов в регулярном случае.- Прикладная математика и механика, 1971,т.35, № 4, с.569-574.

9. Альбрехт Э.Г., Логинов М.И. 0 непрерывной зависимости линейной игры сближения от параметра.- Прикладная математика и механика, 1976,т.40, № 2, с.207-212.

10. Асеев С.М. Приближение полунепрерывных многозначных отображений непрерывными.- Известия АН СССР. Серия математическая,1982,т.46, № 3, с.460-476.

11. Байдосов В.А. К вопросу о конфликтно управляемых системах в метрическом пространстве.- В кн.: Оптимальное управление в динамических системах. Свердловск: УНЦ АН СССР, 1979,с.3-18.

12. Байдосов В.А. Альтернатива и двойственность для инвариантное-тей.- В кн.: Управление и оценивание в динамических системах. Свердловск: УНЦ АН СССР, 1982, с.3-8.

13. Барабаш С.Б., Бусыгин В.П. Непрерывность точечно-множественных отображений и анализ взаимодействия в системе моделей.-В кн.: Моделирование в экономических исследованиях. Новосибирск: Наука, 1978, с.5-36.

14. Благодатских В.И. Принцип максимума для дифференциальных включений.- Труды Математического института АН СССР, 1984, т.166, с.23-43.

15. Благодатских В.И. Некоторые результаты по теории дифференциальных включений.- In: Summer School on Ordinary Differential. Equations. Pari L Brno, 1974, p.29-67.

16. Боткин Н.Д., Пацко B.C. Позиционное управление в линейной дифференциальной игре.- Известия АН СССР. Техническая кибернетика, 1983, № 4, с.78-85.

17. Вахрамеев С.А. Альтернативные условия разрешимости одной дифференциальной игры сближения уклонения.- Прикладная математика и механика, 1981, т.45, № 6, с.1001-1008.

18. Карибов М.Р. Функционально-дифференциальные включения.- Дис. . канд. физ.-мат. наук.- Пермь, 198I.- 127с.

19. Красовский А.Н. Дифференциальная игра для позиционного функционала.- Доклады АН СССР, 1980, т.253, № 6, с.1303-1307.

20. Красовский А.Н., Красовский Н.Н., Третьяков В.Е. Стохастический программный синтез для детерминированной позиционной дифференциальной игры.- Прикладная математика и механика, 1981,т.45, № 4, с.579-586.

21. Красовский Н.Н. К задаче унификации дифференциальных игр.-Доклады*АН СССР, 1976, т.226, № 6, с.1260-1263.

22. Красовский Н.Н. Унификация дифференциальных игр.- В кн.: Игровые задачи управления. Свердловск: УНЦ АН СССР, 1977,с.32-45.

23. Красовский Н.Н. Дифференциальные игры. Аппроксимационные и формальные модели.- Математический сборник, 1978, т. 107, If0 4, с.541-571.

24. Красовский Н.Н., Осипов Ю.С. Линейные дифференциально-функциональные игры.- Доклады АН СССР, 1971, т.197, № 4,с.777-780.

25. Красовский Н.Н., Субботин А.И. Позиционные дифференциальные игры.- М.: Наука, 1974.- 455с.

26. Красовский Н.Н., Третьяков В.Е. Одна задача оптимального управления на минимум гарантированного результата.- Известия АН СССР. Техническая кибернетика, 1983, № 2, с.6-23.

27. Кряжимский А.В. Игровая задача уклонения для кусочно-непрерывной системы.- В кн.: Управление и оценивание в динамических системах. Свердловск: УНЦ АН СССР, 1982, с.25-41.

28. Кун Л.А., Пронозин Ю.Ф. О сведении дифференциальной игры к задаче оптимального управления.- Автоматика и телемеханика,1971, № 12, с.5-11.

29. Куратовский К. Топология, т.1. М.:Мир,1966.- 594с.

30. Осипов Ю.С. К теории дифференциальных игр систем с последействием.- Прикладная математика и механика, 1971, т.35, № 2,с.300-311.

31. Осипов Ю.С. К теории дифференциальных игр в системах с распределенными параметрами.- Доклады АН СССР, 1975, т.223, № 6, с.1314-1317.

32. Осипов Ю.С., Пименов В.Г. К теории дифференциальных игр в системах с последействием.- Прикладная математика и механика,1978,т.42, № б, с.969-977.

33. Пашков А.Г. Решение некоторых нелинейных позиционных дифференциальных игр,- М., 1977.- 47с. ( Препринт № 83 /Институт проблем механики АН СССР).

34. Пашков А.Г. Об одном подходе к решению некоторых нелинейных дифференциальных игр.- Известия АН СССР. Техническая кибернетика, 1979, № I, с.17-22.

35. Пожарицкий Г.К. Задача Айзекса об огибании острова.- Прикладная математика и механика, 1982, т.46, № 5, с.707-713.

36. Полищук Е.Г. Вычисление цены игры для некоторых дифференциальных игр.- Дис. . канд.физ.-мат. наук.- Свердловск,1979.-121с.

37. Полищук Е.Г. Об одной нелинейной дифференциальной игре.- Известия АН СССР. Техническая кибернетика, 1979, №5,с.25-29.

38. Пономарев А.П. Об эквивалентных дифференциальных играх.- Кибернетика, 1976, № 3, с.122-125.

39. Понтрягин Л.С. К теории дифференциальных игр.- Успехи математических наук, 1966, т.21, № 4, с.219-272.

40. Понтрягин Л.С. Математическая теория оптимальных процессов.-М.: Наука, 1976.- 392с.

41. Сокол В.А., Тынянский Н.Т. Приближенный метод решения линейной задачи оптимального быстродействия.- Журнал вычислительной математики и математической физики, 1980, № 2,с.277-288.

42. Субботин А.И. Экстремальные стратегии в дифференциальных играх с полной памятью.- Доклады АН СССР, 1972,т.206,№3, с.552-555.

43. Субботин А.И. Обобщение основного уравнения теории дифференциальных игр.- Доклады АН СССР, 1980, т.254,№ 2,с.293-297.

44. Субботин А.И., Субботина Н.Н. К вопросу обоснования метода динамического программирования в задаче оптимального управления.-Известия АН СССР. Техническая кибернетика, 1983,№ 2,с.24-32.

45. Субботин А.И., Ченцов А.Г. Оптимизация гарантии в задачах управления.- М.:Наука, 1981.- 288с.

46. Субботина Н.Н. Универсальные стратегии в позиционных дифференциальных играх.- Дифференциальные уравнения,1983, т.19, №11, с.1890-1896.

47. Толстоногов А.А. О плотности и граничности множества решений дифференциального включения в банаховом пространстве.- Доклады АН СССР, 1981, т.261, № 2, с.293-296.

48. Толстоногов А.А., Финогенко И.А. О функционально-дифференциальных включениях в банаховом пространстве с невыпуклой правой частью.- Доклады АН СССР, 1980, т.254, № I, с.45-49.

49. Ушаков В.Н. Некоторые задачи теории дифференциальных игр.-Дис. . канд.физ.-мат.наук.- Свердловск, 1974.- Н4с.

50. Ушаков В.Н. Минимаксная дифференциальная игра сближения уклонения и локальные условия разрешимости задачи сближения -уклонения.- В кн.: Дифференциальные системы управления. Свердловск: УНЦ АН СССР, 1979, с.87-93.

51. Филиппов А.Ф. Классические решения дифференциальных уравнений с многозначной правой частью.- Вестник МГУ,1967, № 3,с.16-26.

52. Филиппов А.Ф. О существовании решений многозначных дифференциальных уравнений.- Математические заметки, 1971, т.10, № 3, с.307-313.

53. Чугунов П.И. О зависимости решений дифференциального включения от начальных условий и параметра.- Дифференциальные уравнения, 1981, т. 17, №8, с.1426-1433.

54. Шефер X. Топологические векторные пространства.- М.: Мир, 1971.- 359с.

55. Эдварде Р. Функциональный анализ.- М.:Мир, 1969.- 1071с.

56. Artsiein I. Continuous dependence oj- solutions oj- operator eq,ualions. I. Trans. Amer. Math. Soc., 197Г, v.231, N1, p./43-166.

57. Boikin N.D. Evaluation of numerical construction error in differential game with fixed terminaL time. Pro6l. of Gontr. and Inform. Theory, 1982, v.fl, N4, p.283- 295.

58. Castaing C., VaLadier M. Convex anaLysis and measuraBle multifunction*. Lect. (Votes Math., 1977, v. 580, p. 1-278.

59. Davy J.L. Properties of the soLuiion set of a ?eneraUied differencial equation. BuLL. Austral. Math. Soc., 1972, V.6, p. 379- 398.

60. Du&ieL S. IVaiewskf's orienior condition and reneraiteed dynamical systems. In : Proc. 8-th In t. Conf. Won Li near OsciLLat., Prague, 1979, p. 233 -240.

61. Friedman A. Comparison theorems for differential rames. I. J. Different. Etyuat., /972., v. 12, til, p. 162-172.

62. Friedman A. Comparison theorems for diffential rames I. J. Different, fyuat., 1972, v. 12, N2, p. 396-416.

63. Ki kuchi N. On control proBLems for functional-di^erential equations. Funkc. Ekvacio/, 1971, v.M, p. 1-23.

64. К isie Lewies M. On the trajectories of generalised functional differential systems of neutraL type. -J.Optimiz. Theory and Appl., 1981, V. 33, N2, p. 255-2%.

65. Ladde G.S. Differential inequalities and differencial games. Ш.-J. Math. Anal, and Appl., 1975, Л/2, p. 368-376.

66. Roxin E. On generalized dynamicaL systems defined By continsren-t eq,uci-tions. J- Different. Eq,uat., 1965, V. 1, N 2, p. 188-205.

67. Roxin E. Axiomatic approach in differential, games. -J. Oplimii. Theory and AppL., 1969, V. 3, N3, p.f53-f63.