Конфликтно управляемые процессы со многими участниками тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ
|
Малафеев, Олег Алексеевич
АВТОР
|
||||
|
доктора физико-математических наук
УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
|
||||
|
Ленинград
МЕСТО ЗАЩИТЫ
|
||||
|
1987
ГОД ЗАЩИТЫ
|
|
01.01.09
КОД ВАК РФ
|
||
|
|
||||
/
. ЛШШТАДСШг 0ЕДЫ1А ЛЕНИНА И ОРДША ТРУДОВОГО КРАСНОГО
ш ыа.9
МАЛАФЕЕВ ОЛЕГ АЛЕКСЕЕВИЧ ' .
1{он<м'.ктыо. управляшыб
Ш'ОиЬССЫ СО ШОПШ УЧАСТШШ1И 01.01.09 - математическая кибернетика .
Азторефера т диссертации аа соискание ученой степени . доктора физико-математических наук
На правах рукописи
Ленинград 19В7
Работа : ¿полнена в Ленинградском ордена Ленина и ордена Трудового Красного Знамени государственном университете имени ¿^АДданова.
Официальные оппоненты: профессор, доктор физико-математических наук Н.Н.Воробьев, профессор, доктор физико-математических наук Ф.Ы.Кириллова, профессор, доктор фаз1~л-ыатематических наук АЖКононенко.
Ведущая организация -, Институт кибернетики им. В.М.Глушкова
m усср.
: Защита состоится "_" •--'■" 198 г. в __ часов
на заседании специализированного совета33 по зеди-те диссертаций, на соискание ученой степени доктора физико-математических наук в Ленинградском государственном университета имени А.А.Жданова по адресу; I9300V, Ленинград, È.O., 10 линия, д.33, ауц.Ь8.
С диссертацией мокно ознакомиться в биолиотеке имена. А.М.Горького Ленинградского государственного университета.
J-.тореферат разослан "_ » - '■■ ■ 198 г.
Ученый секретарь специализированного
совета, доцент В.ЛДАШШОВ
ОБЩ шм1шсша Рлюты.
: ' АКТУАЛЬНОСТЬ ТШ ИССЛЕДОВАНИЯ И ОБЗОР СОСТОЯНИЯ ШОШШ
В работе исследуются задачи теории бескоалидаояяых дифференциальных игр, предметом рассмотрения которой являются математические модели конфликтно управляемых динамических процессов со многими участникам!. ПервнА импульс развитию теории антагонистических .. дифференциальных игр; был дан. в конце 50-х годов, в работах аыеря«-. ' канских математиков Р.Аизекса, Л.Еерковица, В.ФлеМияга а в начало 60-х годов в работах советских математиков !.С.Понтрягяяа, Н.Е.Кра-совсного, Б.Н.Пшеничаого и Л» А.Петросяна^ •■несколькими годами раньше модель конфликтно' управляемого случайного, процесса с теоретико-игровой точки зрения была рассмотрена Н.Н.Воробьевц!.и
; Современный же прогресс теория антагонистических дифференциальных игр о начала шестидесятых годов и ее фувдачеяталыше результаты связаны с работами советских ученых школ ¿.С.Поятрягина, Н.Н.. Красовского, а также работами ленинградских ижевских аатематикон. В рамках'строгой математической моделч антагонистических позяцион-ных дифференциальных игр Н.Н.Красовскик, В.Д.Батухтшшм, А.В.Кря-жиксклм, Л.Б.Куряанским» Ю.С.Ссиловым, А.й.Суббогинш, В.Е. Третьяков км, А.ГЛенцовым, их учениками для.различных- классов стратегий установлены общие *еореш существования ситуаций равновесия, теоремы об альтернативе п получены внходн к зффекхйрвда методам решения задач управления в у<^виж конфликта.
В-рамках формализации Л.С.Цонхрягияа игровой процесс рассматривается с точки зрений одного игрока, при атом возникает либо задача преследования, лйоо задача унлонепяя ог встречи с терминальный множеством. Благодаря гибкости этого подхода удало'ь подучит' эффективные решения многих задач, недоступных иан-« методом, в ис-следов^«ях Л.С.Понтрягина, ьжМященко, Р.В.ГамкрелИлзе, Н.Л.Гря-. горенко, П.Ь.ГусяТникова, М.С.Никольского, Н.Ю.Се^имова я их уче-никог. ■■■■'■. - -;
с помощью аппарата близкой формализации Б.Н.Пшеничным, А.А.Чикрием и их учениками разработаны конструктивные процедуры, позволяющие решать нетривиальные'задачи преследования и убегания, осложяеннйэ наличием фазовых ограничений и запаздыванием информации. Существенный вклад в теорию дифференциальных антагонистических игр сделан также в работах З.И.Зубова, С.Н.Кружкова, З.Л.Лагунова, A.A.Меликяна, Н.Н.Петрова, Л.Л.Петросяна, Г.К.Пожарицкрго, Н.Т.Тшянекого, Ф.Л.Черно-усько, П.Бернара, А.Блакьера, Д.Брикуэла, П.Варайи, С.Ршшь-Нардзевского, Н.Калтона, Р.Эллиота, Э.Роксина, О.Хайека, 'А.Фридмана и других авторов.
Хотя формальный аппарат дифференциальных управляемых систем,, используемый при исследовании дифференциальных антагонистических игр, переносится с минимальными изменениями на неантагонистический случай, наличие многих управляющих пара-, метров и/соответстауотщ им функционалов качества приводит к принципиальному усложнению задач, появляются естественным образом в рагжах бескоалиционной, теории, подробный и сиатема-тический анализ'проблематики которой проведён H.H.Воробьевым в ряде обзорных статей и учебников и в монографии "Основы теории игр. Бескоалиционные игры", где'такне. обстоятельно освещены методологические ;и философские аспекты общей теории бес- . коалиционных игр. Специфика ¡антагонистического случая разобра- ■ на в обзорах Е.Б.Яновской.
Среди авторов,. внесших вклад:в развитие теории неантаго-нистических'дифференциальных игр,; следует отметить З.Вистриц-кас, Э.п. Зайсборда,. й. .1.Гаврилова, 3.3.Гороховика, З.И.Чуковского, 5. У.Кириллову, А.ХКлейдаова, Д.-5.Кононенко,' 3.И,Лагу-
нова, С.Е.Лутманова, О.И.Никонова, Л.А.Петросяна, Э.ЛСмо-дьякова, С.В.Чистякова, Ю.Е.Чистякова, Т.Базара, Д.Лейтмана, Г.Олсдера, А.Хори я других авторов. '
Ваяние результаты по теории кооперативных дифференциальных игр со многими участниками получены в работах Л.А.Лет-рссяна и его учеников.- Н.Н.Данилова, В.З.Захарова, З.А.Уланова; а также в работах В.Я.Жуковского, З.А.Прокопьева, С.Ске-руса, Я.Ячаускаса, Д.Лейтмана, ВД'штендорфа, Л.Гричена, Б.'йзл-винсяого и в работах других авторов.
Динамика дифференциальной бескоалиционной игры со многими участниками определяется посредством управляемой системы
ii.fi*, и),
с правой частью, удовлетворякцей стандартным предположениям, гарантирутацим существование и единственность решения при допустимом упразлешш , где набор
выбираете, независимо участниками процесса X в {,1,2,— стремящимися максимизировать свои »функционалы качества
Кс№Ш,н шин»,..., н
определенные на траекториях % (ц(')) системы, ооотзетству-щих исходам и.(-) / наборам стратегия 11^0).
:Лояно зздеть, что в рада этой схеюг и рада ей близких укладывает-
ся значительное члсло математических моделей, <лисывающих разнообразные и важные для практики реальные процессы в экономике, экологии, технике и т.д*
Уде и§ приведенного грубого описания дифференциальном игры видны задачи, требущие решения в первую очередь для ее строгой, формализации. Во-первых, задача корректного определения стратегий игроков, здесь ке возникает воп. ос о существовании траекторий, со-стветствущих данному набору стратегий - ситуации игры /особен"') непрост этот вопрос для случая бесконечного числа игроков/. Затем возникает задача естественного обобщения и перенесения различных понятий и результатов статическое теории игр на динамический случай. Уне в статическом случае весьма зашшм является вопрос устойчивости решений по отношению к изменениям задающих игру Параметров. Так, численные методы отыскания решении, игры естественно применять лишь для устойчивых игр, ибо ошибки в измерениях параметров игры или озибкя, возникающие в процессе вычислений, не должны сильно влиять на конечный р*яультат. :
' Вопрос устойчивости решении статической игры важен н при рассмотрении диад&еренцвалЬЕ I игр, ибо дифференциальная игра представ-г ляет собой управляемый процесс в пространстве статических игр, множества стратегий в. которых суть множества допустимых управлении яг-Р' :ов. В классическая математических дисциплинах, таких как математическим анализ, математическая физика, теория дифференциальных уравнений, вопрос устойчивости решений изучен достаточно глубоко, однако в общей теории игр а теории дифференциальных игр ему до последнего времен не уделялось достаточного внимания. Также недостаточно полно изучен принципиальный вопрос существования решении в дьч4еренцаалышх бескоалиционных играх.
Работы, посвященные бескоалиционным дифференциальным играм, начали шляться с конца 60-х годов. Вначале рядом авторов оыЛи исследована такие игры о классе щограмша стратеги», однако динами-
ческии аспект в зтом случае пырааен слабо, тая как зароки и процессе игры не имеют возможности реагирозать на изменение позиция, 3 это же время рядом авторов были решены нетривиальные приыерб бескоалиционных игр в позиционных стратегиях /в частности Петросяном Л.Л. и йурзовым Н.Э. была рассмотрена игра на перетягивание, Ьютниковоа Л.й. - задача о встрече нескольких объектов, Кеизом Д. - игры, воз- . никаыцие в экономике и т.д./» Б работах Хо я Старра были отмечены особенности канонических уравнений для бескоалиционных игр, "отсут- * ствухщие в таковых для антагонистических игр. В работах Нею а Д., Хо D.I1L-Старра А., Леьтмала Д.~Сталфорда А. на основе вариационного подхода получены как необходимые, так а достаточные условия равновесности позиционных стратегий. Нестандартный подход для получения условий равновесности, отличных от упомянутых выше, применен Коно-ненко А.Ф. на основе следунг-^о соображения. Всш (tt, Д),Щ,Д) суть оптимальные пары стратегий в двух определяем^ дошгтннм образом антагонистических играх, соответствующих исход.-зй бескоалиционной игре, двух лиц, то ситуация 'tt^ iQ)., доставляющая обойм игрокам не меньше выигрыша, & es ели их оптимальные дары стратегии.,, тз.ег быть преобразована в р&виовеснув с помощью стратегии "угрозы" перейти к стратегии И,(П.) , уменьшающей выигрыш противника. На основе этого подхода им в его учениками _/!Буяаковым А.З , йахоныю B.S., Чистяковым Ю.Е. л др./ р< ^работая широким круг задач теории дифференцааль-нах игр с аепротадоположныш аятересши а верартвческвх. систем управления. Основы информационной теории иерархических систем управления были развиты в работах йоасеева Н.В., Гернеаера Ю.Б. и. их уче- • наков.
Ц£Ш> iАЬОТУ является математическая формализация бескоалйца-оиноа д&ф$ерешяаяй0&\пгра:$о..«йогами. учает»ика41а aa эснове sir х>к-сяяацвоянсго псиисода/исследование вопросов существования решений, разра&гаца аппарата исследования качественных вошосоз теории диф* ференцвальных игр на основе понятия обобщенной дтаамическсй систе-
мы, введенного Еарбашиным Е-А.., изучение возможности аппроксимации бескоалиционных дифференциальных игр стохастическими и рекурсивными, изучение классификационных вопросов в дифференциальных играх на основе понятия стратегической эквивалентности, исследование возможности игрового подхода к динамическим и статическим моделям обмена, пелучение достаточных и необходимых условий равновесности с помощью методов динамического программирования, применение достаточных признаков к решений нетривиальных примеров, разработка сопутствующих вопросов существования и устойчивости в статических бескоалиционных играх, устойчивости решений в дифференциальных играх.
НАУЧНАЯ. НОВИЗНА. В работе доказаны теоремы существования ситуаций равновесия в бескоалиционных дифференциальных играх для .различных формализации и при различных ограничениях на ргру, при атом рассмотрены случаи как конечного так и счетного и несчетного, числа игроков. При атом рассувдения ведутся большей частью для случая игр, определяемых посредством обобщенных динамических систем, что увеличивает общность, и область приложения результатов. Ва основе метода динамического программирования получены'достаточные и необходимые условия равновесности ситуаций для конечных бескоалиционных игр, получены добтаточвые условия равновесности для игр с континуумом игроков, решен ряд конкретных дифференциальных игр, в том числе с фазовыми ограничениями, получена классификационная теорема для бескоалиционных дифференциальных игр П* лиц.' Доказаны теоремы существования ситуаций равновесия для бескоалиционных статических игр п. лш1 с полувнутренне вполне ограниченными пространствами стратегий и игр с полунепрерывными функциями выигрыша, для различных осади классов бескоалиционных игр исследован вопрос устойчивости ситуаций р&вковесия. Доказана возможность аппроксимации дифференциальных бесгэелицкошшх игр а лиц стохастическими играми с ко-
нечным числом чистых стратехий. .
ОЩАЯ ШЯОДША ¥.ССЛЩ0:дА1Ш. Изучение дсф^еренгаальяых дгр в работе проводится на основе методологии общей, теории игр с. использованием аппарата. а результатов- теории обыкнб^енных. дифференциаль-них уравнений и теория управления, общей я диффереяадально£ топо-; логиа, теории обобщенных динамических, систем, многозначных отобрд-аений, функционального анализа, геометрии, •'. V ®
. Достоверность основных научных пологеяи2 раоота: основана'на строгой .-математической постановке ■■соответствующих проблем и моделей и на адекватном.применении используемого аппарата и результатов.
'•ПРАКТИЧЕСКАЯ ШйКОСТЬ. Полученные в.работе результаты носят об- . щии характер, они применимы к играм, определяемым обыкновенными дифференциальными уравнениями в евклидовом пространстве и к.играм, определяемым уравнениями в частных производных» к играм, з фуикпяо-нальных пространствах, к игран с разовыми ограничениями,, досгаточ-яые условия равновесности могутоыть использованы'-для. радения конкретных дифференциальных игр. Б рамках рассмотренных в работе классов дифференциальных игр может модели! оваться ¡пирогой круг конкретных экономических, технических, экологических и других разнообразных задач. Полученные в работе результат« закладывают основу для дальнейшего развития и применения теории дифференциальных игр со м многими участниками. Основные результаты диссертации используютоя в учебном процессе на факультете прикладной математики - процессов управления Ленгосуниверситета в спецкурсах, читаемых по кафедре информационных систем, в курсовых, дипломных я диссертационных работах, Данная работа является составной часть» исследования, которое • ведутся в отделе теории управления и информационных систем факультета Ша-ПУ ЛГУ со теле: . •. '--■--
■-¿О- ■,.....■.,..■■
"Разработка математических методов распределения сил и средств", государственная регистрация Ь.С4.15.01.3. Основные положения диссертаций воали в !отчеты: Щи ВМиПУ ¿¡ГУ по раду расог, выполненных в рамках важнешеи теыэтики, в том числе в отчеты но 5 те-кам, выполненным под руководстзо« автора в 1970 - 1586 г.г.
'¿НРОШЙЯ РАБОТЫ. Изложенные в работе результаты докладывалась на Н и III всесоюзных конференциях, по теории игр л исследованию операций /Вильнас-, .1971; Одесса, 1374/, на всесоюзной конференции по Давлении в динамических системах /Свердловск, 1979/, на международных конференциях по оптимизации /Берлин, 1979, 1980/, на меадунад одном конгрессе математиков/Варшава, 1983/, на всесоюзном совещании по инвариантности и упразляешо-' ти /¿осква, 1982/, ц&всесоюзной конференция по управлению в механических системах /к>сква, 13Й2/, на всесоюзном совещании по управлении в сложных системах /Кемерово, 1983/, на ленинградских симпозиумах по ^еорш игр /Леникгрсд, 1980, 19Ь2/, на засе-' данвях. различных сетнаров факультета .прикладной математини-про-цессов удрав :ения Ленгосуеиверсатета, института социально-эконо-даческих проблем АН СССР, института математики и механики УВД АН СССР, института пруОлем механики АН СССР,' факультета вычислительной математики и кибернетики ИГУ, ВЦ АН СССР, кафедры высшей математики Таш.ГУ и аа других математических конференциях, семинарах а «ог.чщаниях.
Основное содержание диссертации опубликовано в ■¿¡О научных статьях, • ,
СТРУКТУРА Ь ОБЪЕМ РАШШ. Диссертация состоит и» введения, 4-.. глаз, приложений, списка использованной литературы. Она со-дерхкт 287 страниц основиох-о текста, 9 рисунков и 81 страниц ярьлсс ¡ней., список литература насчитывает 278 надменован^й.. '
0СН03Н0Е СЭДЖХДЭН РАБОТ."
Во введении приводится краткий обзор литература по те^е • диссертации, формулируется еэ цель, , и нере'жслягатся осшзвнке полученнве результаты с сопутстзувпрши бЕтблиографичестадаг замечаниями;
Пава I. УС10:№шааТЬ РШаЕ1й.'дШ1 ИГР СО жга&й. '..
тастшшжв ноешьной; юрме.' ":••• •:.;.. •
Дифференциальная игра со -многими участниками, которую можно, рассматривать, как обобщение- стохастической мт рекурсивной игры, представляет со5ой ггараметризованноо то'гках-к евклидова пространства семейстбо игр в нормальней форме, с множествам управляющих параметров в качестве пространств стратегий игроков и различит.« функциями вмигркиа игроков. Эта обусловливает необходимость рассмотрения вопроса устойчивости -решений указанного семейства игр при доказательстве существования ситуаций равновесия в диф'береицхальной игре, вшзодь достаточных условий равновесности к при изучен™ других задач в рамках аппроксимационного подхода метода динамического программирования. .
Целью первой глази И' является изучение устойчиьости решений игр в нормальной форме для непрерывного к гладкотю случая. ■.•■■■-.,■ ■,.■■.■ .. ,■■..-
§ 1.1. Устойчивость ситуаций равновесия: Курно-Нэша в чистых стратегиях и паротовских ситуаций для непрерывных игр.
Здесь приводится ряд сшвнатэльно простых- <гз.ктов о непрерывной устойчивости реш&ний в' нзпрерившсс играх, рассматриваются иг]ры с коипакттйм метрическими пространст^ют стратегий.
игроков Х1 , I б I и непрерышшйфункцкями выигрыша Н^ = И • Вводится метрическое пространство !) бескоалиционных игр Л. лиц <1"{1|2,-.'1},{Х1}1,{Н1}1> с фиксированиями пространствами стратегий Х-^ с различными непрйрквяьши'функциями выигрыша, так что если Н = ( Я1,,..,НЬ)/ н'* с ) >' ТО расстояние между играми Гн ,ГН/
полагается равным ?(ГН ^ Н (*) - Н (*) § .
Здесь (• Л норма в евклидовом И -мерном пространство Ял. Сопоставив игре множество <1И равновесных ситуаций в ■
этой игре, получаем многозначное отображение р: £ —К (X) > где ^(X).- метрическое пространство компактных подмножеств пространства X « хаусдор-?-овоЙ метрикой,
пусть ^.{Г^1КСХ)ЧАеКЧХ)ГА*03.
Тогда отображение Р}.< • ¿Г—> К,(Х) . полунепрзрывно сверху.
а _
Равновесная ситуация X в игре Г н называется устойчивой, если для всякого числа £ >0 существует такое О , что если Г, € £ такова, что ?( Ги , П.,) < & , то сушвст-
П " П I
вучт такая ситуация х'е Си, , что ?(Х,х')<£ . Игра Г
П " .
называется устойчивой, если все разновесные ситуации из Ен устойчивы, божество устойчивых равновесных ситуаций обозначим через ' £н ...'>
Игра устойчива тогда и только, тогда, когда она является точкой'непрерывности- отображения' Р. , Пространство- . '¡¡- .полно.
Из -георгин -иК.Ворта, »¡гвервдавдей, что множество точек, непрерывности полунепрерывного ко'.гаактнозначного отображения из. полного датрическогс пространства в пространство непустых .компактн'к поданоясеств кояпактного метрического пространства всюду плотно, следует, что шохество • устойчивых игр П лиц
I : I
ирогтрлае?оа всюду плотно--.в ^ .. /п. 1Л.1С/.
Проверяется, ■ что если ит'ру р , f / стратегически экви-
* -а
валентны, то £ - S Далее, а .аналогичном плане .рассмат
ривается компромюсное решение, решение оптимальное по Парато, ситуации равновесия в играх со счатгок числом ягроков ив неатомических бескоалиционныхиграх. " Л : ■"'■. "/..■.'
§ 1.2. 'Устойчивость неподшшщх точек ?шогоэдачннх замкн;'-vr-.sc отображений. ' ■ .'••■'■' „
Утверждения этого параграфа обобщай? на-многозначный случай результаты М.К.'Зорта .для. однозначных отображений. Пусть 5 ~ выпуклый'компакт локально з.туклого линейного;топологического
. А . .
пространства. Как известно, он метризуеи. Пусть ' KCS) - подпространство метрического ..пространства К{5) , состоящее из. вы-
•Л
пуклых компактов $ , /^(S). - жтрлчоское пространство; полунепрерывных сверху отображений F : S —' K(S) о Функцией расстояния oi.(P, F ';= j>( где ß - ха-усдорфова метрика в KlS) - . .
Тогда, если F f M(S) таково, что . SF - множество неподвижных точек отображения F - копзчно, то хотя бы одна из них устойчива /п. 1.2.6/. .V'-. ;
Если ' 5 полунепрерывно сверху и ^очка X имеет сколь угодно малые окрестности V , для которых замыкание Л/ об- , ладает свойством неподвижной точки для мгюгозн^чнюс эаакиутнх отображений и 5С V ) С V » X - устойчивая неподв:«ная точка отображения $ /п. 1.2.7/.
Пусть £ - банахово пространство, К(7) - шар.радиуса г с центром в ше О , его граница, Р(х)~
=х/(хЦ , i : }({г)->- £ вполне непрерывное замкнутое выпукло- ,, значное отображение, такое что при Х6 Sit), x?f(x),
Sa)-S(i) , прл xeS(i),
где $ -однозначно© отображение* из гомотожиеснсго класса 5.
• Тогда, если Î существенное отображение /lia гомотопное пос-точнно><у/, то f имеет неподвижную точку /п.1,2.9/.
Изолированная неподвижная точка отображения' f устойчива, .если 7 существенно /1.2.10/.
§1.3. Устойчивость ситуаций равновесия в смешанных стратегиях для непрерывных игр.
у Строится однозначное отображение , 5,г. пространства S = n.Si. ситуаций непрерывной игры Q в смешанных стратегиях з себя.
Доказывается, что оно непрерывно /п. 1.3.2/, что ситуация fi ç ^ равновесна тогда и только тогда, когда р - неподвижная точка отображения fr /п. 1.3.3/, доказывается, что отображение "fi : ^ С ( $*) , Ги) » jр непрерывно /п. 1.3.4/. \ ' .. " Н .
Отсюда, • опираясь на теорему Тихонова-Шаудера-о неподвижной точке, "получаем, новое доказательство теоремы Нзша-5ань-Цзи- Глик-оберга о существовании ситуаций равновесия в смешанных стратегиях в игро Гн /п. 1.3.5/.
: Далее показывается с помощью результатов предыдущего параграфа, что если множество ситуаций равновесия в игре Г^ .сонечно, то тогда хотя бы. одна из них устойчива /п. 1.Э.10/.
Результаты данного параграфа обобщают результаты Ву и Цэя-на со'сличая конечтж игр и игр с отрезком [0,1] в качестве пространств ст'оатегйй игроков^ на случай общих метрических компактов CÏ'PrtTCriïil.
§ 1.4. Кстестзенная метрика в бескоалиционных играх П, ' лиц, аппроксимация бесконечных игр конечными и сущесткованиэ ситуаций .равновесия в непрерывных, играх.-
Определяется естественная метрика на пространстве стратегий игроков, обобщающая.таковую, введенную Вальдом для антагонистических, игр.
Доказывается существование ситуаций £. «-равновесия в сметанник-стратегиях для игр с вполне ограниченными в естественной метрике пространствами стратегий /п. I.4.1/, что обобщает результаты Фань-Цэи к Вальда для антагонистически: игр.
* ■ • .
Отсюда получаем еще одно доказательство теоремы Нэша -. Фань-Цзи - Гликсберга /п. 1.4.2/. .."'.'. л'.'
3 следующем пушете указанные результаты усиливаются. Скажем, что пространство стратегий Х- игрока I полувиугрвтв условно компактно, если для всякого числа , £>о существует такое конечное шояеетво At , что
где . xt -Cxt,..;>a:l.1,xUi zíx[-(ílf...>x'l,...,xj.
■'. Показывается,, что если в игре Гн все пространства стратегий Xt полувнутренне условно компактны, то в Г^ существуют ситуации £-равновесия в саяшанных стратегиях /п. 1.4.3/.
Пусть теперь-в игре X-L , l€l - хаусдорфовы компактные топологические пространства, функции выигрыша, Н—' X =cTlX¡"_*Ri
■ л, *
ограничены и равностепенно по 2. полунепрерывны сверху по х; , т.е. для всякой точки (-£*, Я?) cyts,ecTBysT такая окрестноегь
v(£t) ЧТО если x!l€V(X¡J>
¿«р ( H.(x'íf x'L)- < £ . -
Показывается, что.в ятой игре существует ситуация с -равноьа-сия в смешанных стратегиях с .конечны; t спектром /п. Г.4.5/.
13 пДИ.6. находятся условия, при которых в игр°- f¡j су-
й^стзуют ситуации равновесия в смешашнх стратегиях. В п.1.4.7. рассмотрен пример,:Близкие результаты получены Н.К.Воробьевым с фундаментальной монографии "Основы теории игр. Бескоалиционные игра", Наука, М., . 1934 г.; содержащей систематическое изложение современного состояния теории бескоалиционных игр в нор-калькой форме' с конечным--числом игроков.
.§ 1.5. Гладкая устойчивость ситуаций равновесия в смешан. .. - ' ных стратегиях для конечных бескоалиционных игр.
; Маргинальные значения в играх Ц лиц.
. Пусть У * к - поостранство конечных бескоалици-
-окшсс игр П- лиц Ги=<1,{Х1}а,{Н£}1; > • ГДе стан"
дартнай замкнутый симплекс размерности. Щ-1, Н.(д:)»
>гАе Н* * вещественные числа -выигрыш игрока 1 в ситуации в чистых стратегиях .
3 расстояние вводится так яе, как это было сделано в § I. ^ Доказывается , с помощью параметрической теоремы трансверсальности, что шюдество ^ игр пространства & .множество ситуацяй равновесия з, которнх конечно, есть.множество второй категории в _с-\гысле Бэра/п. 1.5.2/. .
В п.1.5.4,-показывается, что множество игр пространства $ с конечным таслом ситуаций равновесия в смешанных стратегиях открыто в ^ . ■ Ч
"'й^лользуя предыдущие теоремы 'и основные'Результаты о полу, алгебраических шогкествах, доказывается, Что для пространства
су:цестзует конечное его разбиение гиперповерхностям, на . колшоненти линейной св^чйостя, в каадой из которых игры имеют ' одинаковое нечетное число ситуаций равновесия, гладко зависящих. от игры, как точки пространства £.
стл рез"чьтати примнкагот к близким результатам ссрпи ра-
бот Де.мке-Хоусона, Вил'ьоома, Розенмюляера, Харшаньа, Чернскова и других авторов, последовавших в 70-ю: годах за основополагающей статьей 1358 г. H.H.Воробьева, в которой баю приведено {эффективное описание множества равковаснах ситуаций произвольной биматричной игры. Отсгэда выводится обобщение теорем Гросса и itaea о маргинальных значения}: антагонистических игр.
Маргинальное значение игры <f" относительно есть
j, Vo^T,. - «int ¿[ValW^HbV^S-],
(¿•^ о
если предел справа существует. Здесь Voi. П. , есть значение
. Ь W
выигрыша игрока £ в одной из равновесна устойчивых ситуаций. Этот предел существует для игр из плотного в £ множества и для всякой равновесной ситуации в такой игре. Маргинальное значение игры Q относительно игра Гн разно fj te^CH/*),... J-у*)), где Х€ Cq. /п. 1.5.7/.
§ 1.6. Гладкая yetoi' :ивость ситуаций ра^ловесия в частях стратегиях для бескоалиционных игр П лиц с гладкими функциями выигршла и лтадкиш многообразиями^ . в. качестве пространств стратегий.
Рассматривается банахово пространство C(U)(U"UXJ^ дзазды непрерывно ди^еренцйрузмых Зунйций с нормой J f (Si>4fix)I | х€ U} , где Р*Jixy-Cf(«),l5f
- производная порядка К в точке СС . Обозначил через ?*{!/) множество.к-струй в точке X-6IJ . Миояестso <?{ t Г) ~ а U является гладким векторгпл^ расслоёшем над Ц", : ;
Обозначим через ^ . (1/JI подрасслоение J ({J} . определяемое ; локально уравнениями • ..
-iS-
и лолодал '
i» *
Пусть такр ■
ù*àt={(x1....,xn)eU ...--
обобщенная диагональ -кратного- произведения Li и е.: Ш-Г+Х]-вяа-кение. Скажем, ото ЗЗЦ, I € I трансверсальны в точке Х.£Ш, , i б! » ее ли. отображение е^*...* eri_ ; fl^lf \J трансверсально диагонали ûa ,
-З п.1.6.2. показывается, что множество функций Н, удовлетворяющих допущению I ">.ï. о тем, что отображение 2(Н,) транснереально $ sf (U) L * I » а многообразия траясвер-
£ И '
сольны в U , открыто и плотно в [Ç (U)] = Y . Из соотношения размерностей многообразий WL. -следует, что они пересекается в конечном числе точек. Среди этих точек*содержатся и си-туазрш разновески "гры г ,
п
Есж ' ориентируемы и их ьйлерова характеристика
отлична от нуля, то.пересечение всех нз пусто /п. 1.6.3/.
То же самое справедливо для неориентируевдх ' , если soc
эйлерова характеристики нечетны. .
Допустим далее, что/для всякого набора ît. в иы,
и функция H(-,tl.-) имеет единствен-
иий мажс:- .1ум /Л-ПХ )£ Ut. И отображено /Ч : П IX —» U-
л Л , . V;''e/ ^ Kêl.wt 1
принадлежит классу Ç /п. 1.6.5/.
Псказгззетея, что всякая игре. удовлетворяющая допущениям 1.6,1, 1.6.5, имеет окрестность, в которой число равновесных лпуаций конечно и постоянно /п. 1.6.7/.
Показывается, что игра, удовлетворяющая допущениям 1.6Л, Ï.6.3, шгеет окрестность, в которой каздая ситуация равновесия гладко зависит от параметра - точки пространства ^ /п. 1.6.10/.
Результатаг данного параграфа обобщаю*.таковке работе К.Экланда со случая 'игр двух лиц на случай игр П лиц. Б конце § 1.6 приводится описание метода продолжения по параметру ./метода гокотопий в пространстве игр.данного типа/ для нахождения ситуаций равновесия в играх П лиц.
Глава 2. Д-ШВРЕНЦ;ШЫЗЫЕ ИГРЫ РО'^ЯОПШ УЧАСПГЖА;^ В КЛАССЕ ЧИС1ЫХ СТРАТЕГИЙ. ;..:
§§ 2.1 - 2.2 второй главы посвящены¡штегонкстическим дифференциальным играм; - ва;яноод подклассу бескоалиционных игр, более простым для изучения в силу таких особенностей, отсут-ствущих в играх со многими участниками, как. )з&ч',газаменяемос?ь оптимальных стратегий и пряыоугольность шокества оптимальных стратегий. Качественные вопросы, рассматриваемые 3,1, зсь, изучаются для динамических игр в. метрических пространствах на основе введенной в 1968 году автором аксиоматики зависимых дшшзняй. /неразделенной динамики/ з oöuytx системах. Большое, число различных игровых задач d рамках близгдах аксиоматик обпргх систем рассматривалось в работах Вайдосова З.А., Клодена ■■•!., Николь--ского. Охезина С.П., Половинкина E.G., Субботша А.".,
Томского Г.В.
§ 2.1. Динамические игры с независимыми движениями.
В этом параграфе определяются дяяашческие игры с. полной информацией, протекакщие в метрическом, пространстве X > при этом динамика игроков задается посредством обобщенной динамической системы в » впервче такие системы рассматои-вались Е.А.Барбашным, в теории управления они иыли применены. В.И.Зубовим.
Для игры с Фиксированной продолжительность», разделенными движениями и непрерывным терданальтс.1 выигрыше»., для кояечт^г'о
разбкеиия интервала игры рассматриваются вспомогательные аппроксимирующее сверху и снизу основную игру в смысле функции значения шогошаговке игры с полной информацией, в которых существую? еедловые то шаг, а функции значения непрерывны. Пока-зивается, что при иацелъчзнли разбиения функции значения апп-роксиюфузоа^сс игр сходятся к значению основной игра /п. 2.1.8-2.1.12/. •
Впервые такой подход к дифференциальным играм с лииейгой разделенной динамикой и разделенной выпукло-вогнутой функцией выигрыш бья применен Флемингом,
' Далее рассматриваются игра на быстродействие,, т.е. такие игры,' в которзх один игрок -4, стремится вывести точку Х(Ь) на за,дш-1ное терминальное за:гкн5Т!ое ьиожество А\с X . за-да-юшальное врегля, а второй игрок- 2. } протиаодейс:вует этому. Доказывается существование ситуаций £ -равновесия в такой игре, так же,как н в предыдущей ^ классе кусочно-программных стратегий /п. 2,1.13 - 2.1.14/,
§ Я.1 й«йамичеоки© игры - с зависимыми движениями.'
На основе обобщенной динамической си с те?,и /о.д.с./ в полном локально -компактном метрическом пространстве X » задаваемой. посредством -Функции достижимости ^(х.,^), X 6 Л, 1 € Р. =1°,®*°)" , т.е. такого компактнозначного, непрерывного в хаусдорЬовой метрике семейства 'отображений,, что
■ . \ * . ..
определяется данааяка завк-лмого движения. Праве;.за здесь это определение для случая П.- игроков. Ц, -управлением для о.д.с. ^(х^) назовем совокупность Д • {Ш*.,*!, 54®..*],*} , г;,.' Ц;[*3-' - непустое шоие«»во, называемое множеством управ-.'леии;. игрока и - в точке X, на интерзале [0,1-3
-и-
ЗПХ.-Ф 1/М.-ПЦИ-^'«)0) -
I ,
эпетор^ное однозначное отображение при Х.бХ,^*? [б,^); здесь £)(•)- множество траекторий о.д.с. ЯЗ^-) с равномерной метрикой, исходящих из точки Хв и определенных на.интервале [ОД] , * - операция, сопоставляющая совместным. элементам
И1 € и ; ,
т.е. таким, что 7Г [х.,"У(и. элемент И * И -
= ti £ с выполнением соотношения .
SíK, trtj(a2)(t), te t vy.
Далео определяется вспомогательна» • елпрокюшиттшше многовато" вые игры Г (хо, Т), 1,2 с полной информацией с диснриданаци-ей игроков i и 2 подобно to'-íj, как это 6¡¿to с,рплзй^ в случае независда-ад дзинений, для конечного разбиения интервала игры [OJ] . В качестве выигрыша берется непрерывный функционал на пространстве траекторий ш-ро.1 : ; ,\\ .
Kart и в случав независимых дзияений показывается, что в этих играх существуют ситуации £ -равновесия, фуггкцни значения игр (".(£.,"0,1-1,2 монотонно сходятся сверху и снизу к пределам V^('), 1=1,¿ , которые, однако, вообще говоря, з случае зависимых движений но совпадает. Позто?лу далее оггоедеаямт-ся две непрерывные игры i=í,2 , верхняя инишяя, зна-
чения которых совпадают, как выясняется, с упомянутши пределами /п. 2.2.10/.
Далее рассматриваются игрн на быстродействие и доказывается существование ситуаций 6 -равновесия в Hits /п. 2.2 ЛГ/.
. § 2.3. Дифференциальные игры на адогообразиях. Простое преследование на сфере и плоской торе.
Здесь определяются ди-Мюренциаяьные ттры яа шгогсюбрази-
. лх а показитзачтся, что из,результатов гфедццущего параграфа внтекает существование ситуаций -равновесия в таких играх. В п.п. 2.3.2 - 2.3.4 решаются игры простого преследования на плоско;* торе и сфере, а з л. 2.3.5 и 2.3.6 кратко описаны решения задач простого преследования на торе и сфере одного убегающего трешг преследователями.- Ранее для случая плоскости аналогичная задача была решена Я.А.Петросяном и Б.Н.Пиенич-
•В п. 2.3.8 рассматривается дифференциальная игра поиска с предписанной продолжительностью. Динамика игроков '¡.-З задается в. езкли,доз I пространстве системами дифференци-
альных уравнений Х-^ д.^Х.^и^ , правые части которух предполагается непрерывно дифференцируемыми. Игрекам, в любой момент времени игры "Ь известна плотность вероятности (х. Д) местсиахоадения противника, а также иы$орма;^ик противника о ней -.аналогична- функция 4 (х. .1) » Изменение плотности во ьремени описывается уравнением ' .
ГД® ^ предполагается непрерывно дифференцируемой.
." Показывается, что'.такая игра сводится к игре, с полной информацией ;так что в ней существуют ситуации , £ -равновесия.
. В Ь, 2.3.II показывается, что к вопросу положительности, значения стегальной антагонистической игры сводится. вопрос существования Н-И-решения кооперативной игры без побочных плате-кей. ',•'■ ..л". . ■'.
3 п. 2.3.13 определяется понятие слабого решения основн^-го 'уравнения' дифференциальной . антагонистической верхней /нижней игры :
как непрерывное продожшюе предела поеледовйтелыюсти репе- ' ний алпроксиггир/ю^их раадосткьог схе.ч; и для случая ляпетцеяоЯ терминальной функции■выигрыша приводится теорема о его существовании. и единственности.
§ 2.4. Ситуации равновесия в бескоалиционных дкфференш-альных играх, двух лиц с. независимыми движениями » предписанной продолжительностью. . . :
, Зйесь определяется посредством управляемых дифференциальны* систем в конечномерном евклидовом пространстве дифференциальная игра двух лиц Г{•) , огличадцаяся от дифференциальной антагонистической ш?ры, рассмотренной в § 2.1, наличием вместо одной др.ух функций выигрыша - своей для каждого игрока, значения которых она, стремятся максимизировать. Эта игра -аппроксимируется двумя се.ъей-ствамя конечношаговых игр с полной информацией, для которых существуют ситуации равновесия в чистых стратегиях.
Доказывается, что для сколь угодно малого числа О о судес-твует такая пара игр из этих семейств, которые связаны кезщу со-, бой посредством эпиморфизмов пространств^ ситуаций ыа пространство ситуаций вспомогательной игры Г (-^„^Т), изменяющих значения . функций выигрыша игроков в точках образа и прообраза не более чем на ... & ^ ...
• Отсвда выводится далее существование ситуаций £ -равновесия в основной дифференциальной бескоамшокяоа игре [7х*,&,Т)с терминальными непрерывными 'ункцйями выигрыша игроков Н^Н^ /п.2.4.6/. Выписываются рекуррентные соотасиеаня динамического программирования» которым удовлетворяют значеяаяфуакциивыдгрьиа адпрег^-сииирухщих игр, предлагается метод последовательных ¿риблихенгш динамического программирования дляреиекая игры Г?«)» обобщающий в?, неайтагонястически! случаи метод последовательных приближений а, пространстве функций, рассмотренный, ранее для антагонистических
игр Л.А.Петросяном, А.Г.Чендовнм, С.В.Чистяковыы /а. 2.4.10/»
Показывается, .что шсшества оптимальных стратегий игроков в антагонистической дифференциальной игре полунепрерывным сверху образом зависят от . фракции выигрыша Н , а функция значения зависит от Н непрерывно /п. 2.4.12/.
' lipa этом множества Ф , стратегий игроков рассматриваются как подмножества пространств отображений из пучка тра- . екторай противника в их собственный пучок, снабженный топологией поточечной сходимости, а множествофункций выигрыша Н снасиено равномерной метрикой.
Далее теорема п.4.6 усиливается.
Доказывается, что в дифференциальной бескоалиционной игре двух лш с разделенной динамикой, предписанной продолжительностью Т<оо и непрерывными функциями выигрыша, определенными за произведении пространств траекторий игроков, существуют св.-туащш. £ -р&внсьесия. При втом предполагается, что в любой момент времени i [0,Т] игры кадому игроку известна траектория игры з^хкоть.до этого момента/п. 2.4.9/.
й&том рассматривается ебций случаи бескоалиционной д«ффе~ ' ренцаальаой игра.ддя ft > 2 Широков, с'разделенной динамикой, . предписанной нродолмтельн'ость» Т<-во. , непрерывными фуяк-. циями выигрыша, определенными. на щоизведении пространств траекторий -Сроков. В любой момент Бремена t€[0,T] игры каждому игроку известна траектория игра на отрезке [0,4} - Динамика игрока L ' определяется йосредстгом управляемой системы ¿i4 Ui) , уцовлехворяицеа стандартным условиям.
Для перестановка Р-(ц,,.., I,) множества игроков l = (l,2,.. эадавдеа очередность ходов ва каждом шаге, начальной позицгч , Эг0 , разбиения б интервала ягры'[о,ТЗ определяется конечношаговая игра Г (х,.,Т) с полной информа-
цаей, в которой существуют ситуации равновесия.
Показывается, что. для всякого числа £>0 существует такое достаточно мелкое разбиение б отрезка [0,Т] » что пространства ситуаций всех И конечнсшаговнх игр Гр(хй,Т) шгут быть отобразенн аа пространство ситуации вспомогательной игры Г (х0,Т) посредством эпиморфизмов, изменницах значения функций выигрыпа всех игроков в Точках образа а прообраза более, чем на £ /п. 2.4.21/.
Из этого результата выводится существование ситуаций £ -равновесия в основной бескоалиционной дифференциальной игре Г(х0,Т) /п. 2.4.22/. :
Приводимое доказательство игает быть непосредственно обобщено на случаи счетного числа игроков, а такзе иа случай игр с векторными функциями выигрыша. .
Далее в п.2.4.26 определяются классы стратегий игроков, в которых каздому игроку в любой момент вреглени известно состояние игры в этот момент, а таказ начальная позиция игры, формально такая стратегия игрока I £ I представляет собой, как а в д.2.4.21, отображение из произведения пучков траекторий игроков ] € IN I в пучок траекторий игрока I , удовлетворяющее специальным услоъляи, характеризущ-м информационное состояние игрока I в процессе игры.
В классе таких стратегий определяется дифференциальная бескоалиционная игра Н. лиц Г(г,,Т) с терминальными непрерывными выйгршами аналогичная игре Г(хо,Т) , рассмотренной в п.2.1.22. '
Доказываете :, что в игре Г^.Т) для всякого £>0 существуют ситуации £-равновесия /п.2.4.*а/.
3 п,2.4.29 на основе процедуры исключения дошнир емых стратегий определяется понятие сложного равновесия дкфференци-
альной игры fl шц .-в:показывается его существовала«. .
§ 2.5. Уравнение Гамальтона-Якоби для дифференциальном игры со шогима участника!«.
3 работах ЕЛодфа, А.Дуглиса, С.Ы.Кружева и других авторов оило доказало существование слабых решений для уравнений первого порядка в частных производных* Для "основного уравнения" дифференциальной антагонистической игры существование слабых решений было доказано В.Флемингом. Единственность слабого решения при различных его определениях и в разных* йредположе-ниях доказывалась А.И.Субботищш, й.Д.Яионсом, М.Крэндаллом, Л.Эвансом, Е.Барроном, Р.Йенсеяом и другими авторами.
В данном параграфе рассматривается дифференциальная бескоалиционная игра М лиц, динамика которой определяется управляемой системой , я системы уравнений Гамильтояа-Якобй-АЙзекса для и, вспомогательных специальных игр Г4 относительно функции ;
Valj ;
i (Ч
Предполагается выполнение условия регулярности для иг^Г^, то есть существование однозначной непрерывной ветви Va^ значения функции выигрыша в равновесной ситуации семейства игр с иножествам» управлении игроков в качестве пространств стра-тегии.параыетризованных точками множества
F--U {(*.«€
/ F(x.~T) - множество достияиыости euerem x = из
точаи хж к моменту X Л
¿Заполнение атого условия мояет Оыть обеспечено реэудьта-
г-2? -
тами гл.1* ■
Следуя подходу Лионса и Крзидалла, вводится понятие слабого решения системы.(#)1 ; показывается, что векторная "функция значения" /значения функции выигрша в равновесной ситуации/ игры Г, является слабым решением системы (•й-)1 .
Если выбранные для игр Г. непрерывные ветви Уа? совпадают, то тогда совпадают и функция значения дифференциальных игр Т1 , откуда вытекает существование ситуации £-равновесия: в определяемой в данном параграфа основной дифференциальной. бескоалиционной игре ' Г(хв,Т) /п.. 2.5.5/.
Из результатов данного параграфа следует существование ситуаций ¿-равновесия в смешанном расширении игры Г(") , динамика которого определяется управляемой системой х= |и)¿Ч(и) /п. 2,5.6/.
и ' ;
§ 2.о. Стратегическая эквивалентность в дифференциальных играх и многокритериальных управляемых процессах.
Вводится понятие категории обобщенных динамических систем а категория дифференциальных игр И лиц. ■ : ■
Показывается, что "ела для дифференциальных бескоалиционных игр Г(х0, Т), Г (хо,Т) , удовлр-впяйдих условие регулярно с та, с ..епрерыан<^д84^ренцаруе?лдая терминальными Суакш-•ямн выигрыша Ь^ а 1=1,...,Л существуют такие .емейстза ^¡(^Д.Ч^О , с£ (хД/ич непрерывных, не зависящих от ц. функций С(хД)€ и(Р(т Д) * I ¡£с[0,Т}}) , что для всякой ' точки (хД)
^'(хДЖ^.^-к^Д.и)- +
+ с(ч(хД,К.)3 то
тогда ситуации равновесия в играх Г(') а Г (•} совпадают /п. 2.6.4/.
§ 2.7. Оптимальные.в смысле Парето решения в дифференциальных играх U лиц.
Для дифференциальной игры а лиц Г(-) вводится понятие £-оптимальных по Царето ситуации и доказывается их существование /а. 2.7.4/.
lipa .фиксированной однозначной ветви Рад. значений функции выигрыша игроков в паретовских ситуациях на пространстве игр с множествами управлений игроков в качестве их пространств стратегий и при условии регулярности дифференциальной игры Г(*)> формулируемого аналогично условию регулярности § 2.5 с заменой
ветви VoX на ветвь Рад. доказывается» что если система
V V
уравнений в частнах. производных
ЭР^хД) П A dP.Ox.t) f / V p(ï,obHU) ïê^Vtel •
имеет непрерывно дифференцируемое решение Р(-) - (Р,(*),-., РЛ('))д то в игре Г(эсч,Т) существует £ -оптимальное по Дарето решение для всякого в >0 /п. 2.7.1/,
Здесь H (-)=(НД..., HJX)) - терминальная функция выигрыша игро1сов, Х = |(х, и) - управляемая система, задающая динамику игры Г(♦) . . '
§ 2.8. Существование ситуаций равновесия в ди^ференциаль-иых оескоалиционншс играх.
Рассматривается дифференциальная игра И лиц Г*(х,,Т) с независимыми движениями, предписанной продолжительностью Т< сл и терминальными непрерывными функциями выигрыша Н, в классе
кусочно-програышшх стратегий. Kaэдему игроку в лвбои момент вр.меки "Ь игрн изгестен этот момент, и отрезок управлений игроков на некотором интервале . С помощь» функции сверуки, введенной впервые Нпкаадо и. Исодой,
¿ Ht(X(f ItyCH,
где - суть ситуации в игре, %(¥) - траектория игры |Н(-} в ситуации Ф , строится вспомогательная антагонистическая игра Г 0 Функцией выигрыша
Показывается, что в игре Г существуют ситуации £ -рчшове-сия, причем значение игры равно нулю.
Отсюда выводится существование ситуздии £ -равновесия в кс-" ходнол игре f(') .
Здесь se показывается, что набор £ -мэксаманных стратегий в дифференциальной бескоалиционной игре с постоянной суммой, образует ситуация сильного 5 -равновесия /п. 2.8.5/.
Глава 3. ДИФ5ЕЗРЕШ1ШШЕ БЕСЮАЛШОННЫЕ ИГРЫ В СШШШУХ
СТРАТЕГИЯХ.,
Здесь определяются дифференциальные игры ÍX лиц в смешанных стратегиях, и с использованием результатов главы X доказывается существование ситуаций £ -равновесия в них, рассматривается вопрос аппроксимация ди^еревдиашшх игр стохастическими и рекурсивными играли.
*
j 3.1. Диф^ере диальныь бескоаякцзоаные игры в с!,;<=:
страт<пиях с зовиси.ишии движениями, предпгсанной продолжительностью и конечные ..шжествьла управлений.
Рассматривается'дифференциальная бескоалиционная игра а лиц
с динамикой,, опредваяемой системой Х - §(х, и) » с конечными мноаествали управлений Ц^ в техшаадьвнш непрерывно'даф-Ферешмфуемыки функцаями выигрыша Н. *
Стратегией игрока I в основной игре называ-
ется пара (^»ОрЦ^» где ^т" множество конечных
разбиьний интервала игры Го,ТД> - стратегия игрока I в ап-вроксишрувдей игре Г («#,Т)» соответствующей разбиению & . Быигрыш_игрока I в ситуации есть Ц^Х (¥в)(Т)),
где % - траектория игры Г Схв,Т) в ситуации
Показывается, что если при условии регулярности система уравнений
Э* _ у "Эсск ^
У(л,0> = НС^) , 1-1,..-Л
имеет- непрерывно дифференцируемое решение* то. в игре Г(-) существует ситуация £ -равеовесая /и. 3.1.2/.
Рассмотрен ряд примеров и обобщений данного результата /п. 5.1.5 - 3.1.10/. • '■■•'
В частности, для игры Г(х.,Т) с компактными множествами ' увравдйювдвх параметров и непрерывными терминальными функциями выигрыша в классе смешанных стратегий, определяемых аналогично д. 3.1.2, с использованием теоремы д. 1.4.3 доказано существование ситуаций £ -равновесия.
§ 3.2. Аппрохсимащш динамических игр многошаговыми в классе смешанных стратегий.
£Цесь показывается, что при предположениях регулярности, для всякого натурального М г числа &>0 существует такое Б>0 , что если в аппроксимирующем игре Г(•) ранг разбиения
мекьше илй равеа 5 , то добавление точек в разбиение & изменяет функцг-о выигрыша не более, чем на £ .
§ 3.3. Бескоалиционные стохастические игры П. лиц и аппроксимация- дифференциальных игр.
Дифференциал*чая игра в смешанных стратегиях является предельным случаем стохастической или рекурсивной игры при стремлении к нуле времени перехода из одной игры в другую и при безграничном увеличении числа таких игр.
Доказывается существование ситуаций равновесия в стохастической бескоалиционной игре' П. лиц /п. 3.3.1, 3.3.2/.
Показывается, что для всякого &>о существует такое 1 > о , что если равномерное расстояние к езду терминальными
функциями выигрыша в двух аппроксимирующих играх I С«ь,Т), 1 е
Г (-х.,Т) отличается не более, чем на , > значения функций
па 1
выигрыша г играх | СО, 10) отличается не более чега на £>0 /п.
- 3.3.4/. Определяется непрерывная игра В ней стра-
• игрока х задается разбиением интервала агры Г/\ТЗ ,
мноаеством 1_7: из ^ДД)- семейства всех конечных подмножеств множества управляир-'х. паоачетоов игрока I а множеством стратегий игрока и во всевозможных игпаг | (х \_т ) , где
/ Т Т1 * в' 1 с
Ц= П 1/£ • а ^а " ^онъ^ная £-сеть'компактного множества ■управлений и игрока I . Выигрыш з ситуации ^Р ЦСЧ?) = ~ Н /'°вси ^.определяв" г я как эыгг^ в вгре Г^г-ч ч ситуация <?.([)'',.-
Доказывается, ■ что в игре Г(ос„т,и) существуй, ситуации £ -равновесия в стационарных смешанных стратегиях, если.в ней. существуют ситуации £ -равновесия в кусочно-программных смешанных стратегиях /п. 3.3.5/.
Под стационарной смешанной стратегией игрока i в игре Г(-) здесь понимается такая стратегия, у которой все стратегии Ч-(U } , участвуюцие в ее определении, стационарны в соответствующих дискретных играх.
§ 3.4. Дифференциальные игры на выживание со многими участниками. ' . ■
Здесь определяется.дифференциальная arpa Г1 лиц на рыкива-ние. Приводятся утверждения, аналогичные таковым параграфа 3.1.
§3.5. Смешанные стратегии в линеиных дифференциальных ... играх >1 лип.
Рассматривается дифференциальная игра, динамика которой определяется системой
x=i(t)x(í) + í<t,a), где ' A(t) - непрерывная матрица, | - непрерывная функция. Функция выигрыша игрока г есть ' '■
HL (а) Сt)> + ío i. (t, u.) d.t,
где - линеиная непрерывная функция на пространстве траекго-рий игры.
Шказшю существование ситушхии равновесия в слабых управлениях-мерах, следуя подходу Калтона-Маркуса-Зллиота для антагонистического случая.
Глава 4, ¡^щщщашщ шй g ь£сшкечйш ..шсаом :
тсгшюв.
Игры с бесконечным числом игроков моделируют динамические процессы в экологических и 5. ¡.ономических системах с большим числом участников, влияние каждого из которых на течение про-
цесса пренебрежиш мало а кавдый из юторых стремится ыажсими-зь^лвать свой критерий качеств.
§ 4.1. Ди#ер,енциальЕше. игра с независ/г/даи ■ движениями
и терминальными выигрышами для случая континуального множества игроков.
инохество игроков в рассматриваемой игре Р продолжительности Т<°° представляется интервалом А®!0»!) с лебеговой мерой ^ . Динамика игры Г задается отображением р: А* Iх ( Ио.ТЗ)» таким ЧТО при всякой ¿¿А Р3 : -Iх есть обобщенная динамическая'система в евклидовом пространстве . Позицией игры Р в момент £»= О : называется измеримое отображение Позицией, игры в момент "Ь при началь-
ной позиции 3£а называется такое измеримое отображение
чго почти всех ДёА -£^(71)6 Множество?' достижимости из точка за время "Ь для сово-
купной системы называется измеримое отображение с кошактнымя образами ^^ Ц-А^К^* такое что почти всех ДёЛ. выполняется соотношение Ш-р^/Ь^л}}* Расстоянием мезду двумя такими многозначными измеримыми отображениям;! $ ;/\г* Р назовем величину Д)* ^(^(Л), 10)) ,
где -хаусдо^ва метрзш в,пространстве К(^ когшакт£шх подмножеств . Множестве д достаашости ^ из позиции зе а время "Ь будем считать множество всех азмершгах о-'обрагеаяй
Д-* Б • из пространств« I. (й.) таких что при почта
С- .Л. ь ^о *
всех АсД 'У-О)* Р(Д,* • бана-
хово пространство измеримых существенно ограниченных отображении измеримого пространства А в пространство . ¿редцо-лагае-^я, что в пространстве функция индуцирует
отображение Р: А* Iх £явйяадееся обойденной дияаая-
\ .....
-А ■ '
ческой системой. ]1Гроки в игре Г пользуются кусочно-програм-
ыншн стратегиями ^ , каждому игроку ДбЛ в любой момент
времени ~Ь игры известен этот момент и позиция игры.
В пространстве Ф * П ф4 ситуаций выделено подмножество Ф, Л я ,
состоящее из таких ситуаций у , что имеется лишь конечное число различных разбиении в стратегиях, . составляющих ситуацию V7 - Тогда по ситуации единственным образом строится траектория игры. Вьшгрыш в игре определяется с помощью функции полезности .Н(А измеримой, по Д^Л и равномерно неп-
рерывной по (<%'(%),Щ-Ъ при всяком Л € А . Здесь Х.О) терминальная позиция игры, х'ОО- терминальная позиция игрока Д 6 А . Черта сверху означает взятие класса сечения. Скахем, что ситуация Ф является £ -равновесной, в игре Г , если для почти всех Л^А и всех ^ € выполняется соотношение
щункцию Н считаем суммируемой по Л(./\ . Определим на фхф функции (¡г по правилу • .
акчИ н(я,ххм(т),дат))ах.
Л "■■■.■■.■.■■:..■■■'.■■
Далее счлтаем для простоты излсаенвя игру Г игрок е нулевой, суммой. Доказывается, что в игре Г с континуумом участников существуют ситуации С -равновесия, если в антагонистической игре Г с функдиеи выигрыша Сг существуют £ -седловые точки. . ■ :■..'■-.• . ■ •■ .■■■■.■".■. ■■■■■.■
Применяя к игре Г результаты гл.2, получаем следующее утвераиенме.
В бескоалиционной игре Г с коитвнууютм игроков существуют ситуации £ -равновесия /п. 4.1.8/.'
§ 4.2. Достаточные условия равновесности в дифференциальных бескоалиционных. играх с континуумом игроков.
Рассматривается управляемая система с динамикой, определяемой уравнением х = |(х,и) , где ХбХсйЛ, Л-[0,1] с лебеговой мерой А есть множество игроков,, X - полное измеримое по Лебегу множество, | - измеримая по Борелю функция на и. Задано компактяозначяое измеримое отображение Ситуация в игре есть измеримое сечение р этого отображения. Выигрыш игрока А € Л определяется с помощью измеримой функции полезности Н0(?1,Х,р(х,Л), р(х,-)) , где АбЛ.ХбХ, р(х,поправление игрока А в точке х , р(х,*) - класс сечения /набор управлений игроков/ в точке X . Выигрыш игрока есть
где т - траектория игры.
Показывается, что ситуация р*(х,Л) равновесна в том случае, если существует счетное разбиение множества X и су-
ществует измеримая функция V (х,/\) непрерывная по X , непрерывно дифференцируемая при всяком ЛеА относительно счетного
разбиения Й так что при почт! всяком
£ ■■
для траектор^л игры ^ /здесь - время окончания итцг в ситуации Ч /; для всяких' Х€Х|Г р(хД),
Н.( А,X,р(х,Л), (х,-))+дгас*У*(хД)'|{х, ри,^ о;
для всяких X
- Здесь в - терминальное мио->, V) - сужение V на Х1 .
хество.
.§ 4.3. Дифференциальные бескоалиционные игры со . счеты числом игроков.
В данном параграфе результаты § 2.8 обобщается на случай счетного числа игроков.
Доказывается существование ситуаций £ -равновесия в бескоалиционных дифференциальных играх с независимыми движениями со счетным числом игроков.
ШШНЙЯ.;'
В приложении ¿ рассматривается вопрос устойчивости коопе-. рагивных реаений.
В приложении 2 методами гл.1, изучается устойчивость множества равновесных цен в модели чистого обмена; строится теоретико-игровая альтернативная модель чистого обмене и выясня-• ются'условия эквивалентности этих Двух моделей. Строится и исследуется динамическая модель производства с обменом между отраслями. л>..;..,■■ V- , ',. '
В приложении 3 решается игра простого преследования на плоскости с вырезанным крутом.
В приложении 4 рассматривается дифференциальная игра п. лиц с независимыми движениями и терминальными непрерывными функциями выигрыша.
Ериэодигся доказательство существования ситуаций £ -равновесия в этой игре по схеме § 2.1 с использованием функции-свер/гки Никавдо-йсрди.
В приложении 5, следуя подходу Ьерковица, Болтянского, Флеминга к задаче синтеза в теории управления, определяется класс . позиционных ситуации и выводятся достаточные и неооходимые ус- ' ловил равновесности таких ситуапий.
ОСНОВНЫЕ НАУЧНЫЕ Р23УЛЬТАТЫ ДИССШ'АШ
I. Исследован вопрос, устойчивости принципов оптимальности
для общих бескоалиционных игр со многими участниками в нормаль*
ной 'форме с постоянными множествами стратегий, в частности, непрерывная устойчивость оптимальных по Парато и равновесных по Курно-Лэшу ситуаций в играх Г1 лиц, устойчивость в играх со счетным и континуальным множеством игроков, устойчивость неподвижных точек многозначных отображений компактов в себя, устойчивость равновесия в играх обмена.
. 2. Доказаны общие теоремы существования ситуаций равновесия в смешанных стратегиях для бескоалиционных игр (Ь лиц в нормальной форме с почти-периодическама функциями выигрыша на множествах стратегий произвольного вида, для игр с полунепрерывными функциями выигрыша и ряд теорем аналогичного типа, в том числе для игр обмена. Предлокена процедура сведения вопроса существования решения кооперативной игры без побочных платеяей к вопросу нахоядендя функции значения .специальной антагонистическое игры.
3. Дифференциально-топологическими методами с помощью параметрической теоремы трансверсальности исследована гладкая устойчивость равновесных ситуации в смешанных стратегиях для случая конечных бескоалиционных игр М лиц и гладкая устойчивость ситуаций равновесия для бескоалиционных игр П. лиц с гладкими функциями выигрыша а гладкими многообразиями, в качестве пространств ' стратегий. Для случая нонечных игр с помощью методов пораи полуалгебраических множеств выявлена общая с. руктура областей гладкости равновесных решений в пространстве всех пгр данного пша.
4. 11а основе понятия обобщенной, динамической системы, введенного Е.А.Барбаляным и изученного в работах его я 3»л.Зубова, развит -аксиоматически» подход г. дифференциальным, играм с зависи мыми и независимыми двоениями. доказана основные результаты '¿а-
чественкой теории хднамических игр в метрических пространствах. 3 частности» в классе чистых стратегий для различных функционалов выигрыша исследован"вопрос существования ситуаций равновесия как для независимой данамаки, так д для зависимой- Проведен анализ устойчивости решении дифференциальной ентегонистнчесной игры' со отношение к изменениям начальных данных и функции выигрыша. Доказаны теоремы существования для игр с коэффициентами типа меры, Наедены рашешш ряда игр простого преследования на многообразиях. Указан способ сведения одного класса дифференциальных игр ' с неполной информацией к играм с полной информацией.
5. Доказано существование ситуаций равновесия для бескоалиционных дифференциальных игр п. лац предшисаннои продолжительности с разделенной динамикой, и с различного типа функциями выигрыша. Введено а изучено понятие оч'ясшшшш стратегической эквивалентности для дифференциальных игр. Доказано существование оптимальных по Парето ситуаций, а также ситуаций сложного равновесия в дифференциальных играх. ti лиц предгшсанной продолжительности с непрерывными функциями выигрыша, для игр с постоянной сукмой показана существование сильного равновесия.
6. Дяя бескоалиционных дифферента!альяшс. игра- лиц с предай-*' селаоа продолжительностью и непрерывными функциями выигрыша введено понятие слабого решения система уравнений-Гамильтона-ЯкоЗи
и для достаточно общего класса бескоалиционных игр доказано его существование и единственность при фиксированной однозначной ветви значении функции вш{ш в равновесных ситуациях пространства игр с множествами управлении в качестве пространств стратегий. В антагонистическом случае показано, что функция значения верхней /низшей/ игры является единственным слабым решением уравнения /основного/ в частных производных первого порядка . дииа\:«чбского программирования. В гладком случае дааа геометри-
ческая интерпретация этого уравнения. Получены достаточные я не-ос.одише условия равновесности ситуаций для дифференциальных игр л, -лиц .с кусочно-гладкой функцией значения. Даны достаточные условия оптимальности по Парето ситуации в дифференциала них играх П лиц.
7. Найдены достаточные условия существования:.ситуации равновесия в смешанных кусочно-программных стратегиях дгч бескоаяя-вдоншсс дифференциальных игр предписанной продолжительности п на выживание с зависимо» динамикой. Для одного сравнительно простого типа дифференциальных бескоалиционных игр в смешанных стратегиях приведено в. явном виде разбиение пространства игр на 169 классов устойчивости. С помощью-результатов первой глава кссле-. довая вопрос аппроксимации дифференциальных бескоалиционных игр стохастическими и рекурсивными. Дм ряда.классов дифференциальных бескоалиционных, игр п. лиц доказаны теоремы существования ситуаций равновесия в смешанных стратегиях.
8. Определены дифференциальные бескоалиционные игры со счетным и континуальным .множеством игроков с независимыми движениями,' доказаны теоремы существования ситуаций равновесия в таких, играх з классе кусочно-программных стратегий. Формализованы бсскоалит-:-онаые игры с зависимой динамикой • для них получены достаточные условия равновесности. '
В целом в работе разработаны оскоь- р„да важных ка. в теоретическом, та., и прикладном аспекте направлений теории равновесия многокритериальных управляемых процессов«
Осковные результатыдиссертации опубликованы в следующих статьях:" .у .:•"'..'
1. Малафеев ü.А. О существовании значения игры преследова- . пая // Управляемое системы:. Сб. науч. тр./ Новосибирск:.Наука.-1970.- выц.5. С. 47-55. ..
2. bianaфеев O.A. Стационарные стратегии в дифференциальных играх // ЖШийФ.~';1977.- Т. 17.- М. С. 42-51. :
3. ЫалафееЕ O.A. Игры, определяемые'посредством обобщенных динамических систем // Тез. докл. и сообщ. 2-й всесоюзной конф. по теории игр/ Еильишс.- 1971.- С. 68-69,
4. Малафеев O.A. О существовании обобщенного значения игры преследования // Вести. ЛГУ. Сер. математика, механика в астрономия,- 1972.- Ш.- С. 41-47.
5. Мадафеев O.A.. 0. динамит зскях играх с зависимыми движениями // ¿АН СССР.- 1973.- Т. 213,- К47.- С. 7&3-766-
-Б. Малафеев O.A. Ситуации равновесия в динамических играх // Кибернетика.- IS74.-iiS.-С. III-IIÖ.
7. ¿¿алафеев O.A.. Q существовании ситуации равновесия в динамических играх с зависимыми движениями // ШШ,- 1974.- Т. 14.- вып.1.— С. 68-96. . *
Ь. ¡¿алафеев O.A. Стационарность оптимальных смешанных стра-' тегий в динамических играх с зависимыми движениями // Тез. дскл. и сообщ. 3-й:всесоюзной конф~ по теории игр/ Одесса,- 1974.- С. 1ЬЬ.
. 9. ¡/алафеев O.A. йгрн, определяемые посредством обобщенных динши^есхих систем // Успехи теории игр: Сб. науч. тр./ Вильнюс: ¿¿.ÜTi'C.- 1У73.- С. ¿1^-214.
10. ¿алафеев O.A. Устойчивые бескоалиционные игры // Вест. ЛГУ, Сер» ¡^тематика, механика я астрономия.- Га78.- С. 5053. ' '
и. Малафеев O.A. Естественная метрика а ситуаций равновесия в бескоалиционных играх"// Вестн. ЛГУ. Сер. Математика, механика и астрономия.- 1979,- М.~ С. ЬЭ-42.
12. ¡¿алафесв O.A. Ситуации равновесия в смешанных стратегиях в дифференциальных играх п. лиц с зависимыми движениями // Дифференциальные уравнения.- 1У7Э.- JÖ.-'C. 609-613.
13. Малафеев O.A. Конечность множества ситуаций рийнояесля в бескоалиционных играх rt лиц // Управление динамическими системами: Сб. науч. тр./ Д.: ЛГУ.- I97B.-С, 135-142.
14. Малафеев O.A. Устойчивость игровых решений // Труды 11-й меадунар. конф. по оптимизации: Сб. науч. тр./ Берлин, Ш1.-1979.- С. 73-77. ^ '
15. Малафеев O.A. Существование ситуаций равновесия в дифференциальных играх rt лац // Тез. докл. всесоюзной конф. во динамическому управлению/ Свердловск.- 1979.- С.
16. Малафеев O.A. Устойчивость в дш^{йрепциальных играх // Статистические, мйогоиаговыа а дифференциальные игры: СО, науч. тр./Калинин: Ы7— 1979,-С. 9У-104.
17. Иалафеев O.A. Конечность шюае..тва равновесных цен а моделях чистого обмена // Математические метода оптимизации а управления в сложных системах: Сб. 'науч. тр./ Калинин: КГУ.~ IS.'jO.-С. 77-82.
18. Малафеев O.A. Существование сятушляи ршмктесяя в бескоалиционных дифференциальных aijax двух лиц // Вестн, ДУ. Сер. математика, механика а астрономия.- lücO.- aun.4.- С. LZ-iC,
19. ¡¿алифееа O.A. Динамические моде*г частого обмена с производством // Вопросы механики и процессов умрадмеиия; цауч. т-./ Л.: 1<¿ к.~ cun.iJ.- С. iii-iia.
¿0. ¿¿алафеев O.A. Существо¡>анае ситуации |.ав;шв«сия а фе^ежпалышх ariax а лиц с незешкоимымя л^леммн // "г,¿и мехцуньг. конф, ¡,о оптдаэацил/ U[J¡¡:nt i,J\-
Zl, ¿¿алафеев i.A. О классификации дифференциальных игр // Математические метода оптимизации управления в сложных системах: Сб. науч. тр./ Калинин: Ш.- I3ÖI.- С. H6-I3I.
22. ¿алафеов O.A. Существование ситуации равновесия в бескоалиционных дифференциальных играх с неэависгмыма движениями // £.стн. ЛГУ. Сер. Математика, механика и астрономия.- 1982.-выа.4.- С. 40-46.
23. Малафеев 0. А. Дифференциальные игры простого преследования на многообразиях // Математические методы оптимизации и управления в сложных системах: СО. науч. тр./ Налинич: КГУ.-I9d£.— С. 69-73.
24. ¡.¡алафеев O.A. Fe¡¡¡etus¿ в дифференциальных играх а лиц // Кябернетика.- 1S62.- £3.- С. 120-124.
25. Малафеев O.A. Равновесие во Кэшу в дифференциальных играх со маогь.*а участникам // Тез. докл. 4-fc всесоюзной нонф. по оптимальному управление в механических системах/ Москва.- 1981.
»алафеев O.A. О чувствительнрсти решений в бескоалиционных щ«раг ft лиц // Тез. докл. 6-го всесоюзного совещания "Тесная «шгараа&тности, теория чувствительности и их приложения"/ Йоеква.- ISo3.- С. 41-42.
£7. ííajüupeea O.A. feaaoaecaye эгологические модели // Тез; докл. веесошзого научно-практического семинара "Срикяадвые аспекты yup-авдеаия сложными свстемааи*/ и^сква,- 1983,- С. 71-72.
Ш, to&Jieça O.A. Управляемые йроцессы с континуумом критериев качества// Tes. докл. и сообщ. иеждуаар. кояг£. матбыатв-ков/ ^Ьлыаа.- ЪоЗ.- С». 3?. .
'¿i. ¿¿ал^ее&.О.А. лсто^чпвость сктуашш раваовесия всшая-аых стгатегиях ivre игр с аеарерывш«а фуйкиаяма аагрм.'// Веста. Л7. Сер. лг»те>гатяка, медгишка в: асгронсмия.- I¿tí4.-Jíl^ С. 17-
rso.Шишфесв О.А. С^иестиоваиве,и ;{осгг?очные условия pas-
новесности в дифференциальных играх: со многими участниками // Математические "етоды оптимизации л управления в сложных системах: CÖ.науч.тр./ Калинин: КГУ.- IS83.- С. 59-67.
.31. Малафеев 6.А. Бескоалиционные дифференциальные игра с континуальным маоаеством игроков // Управление динамическими системами: Сб. науч. тр./ Л.! ЛГУ.- 1984.- вып.7.- С. 109-Ш.
32_ Малафеев u.a. Топологическая устойчивость sr? в нор дальней форме и равновесие а дифференциальных играх fi лиц //.Теория игр и ее приложения: Сб. науч. тр./ Кемерово:. КемГУ.- 1983.-С. 33-50..
33. Малафеев O.A. Устойчивоать ситуации равновесия в чистых стратегиях для бескоалиционных игр а лиц а применение к дифференциальным играм // Многошаговые дифференциальные бескоалиционные и кооперативные игры: Сб.,науч. тр./ Калинин: КГУ.- 128л.- с. 55-62.
34.. Малафеев O.A. Управляемые процессы со счетным числом критериев качества // Дроблеш механики*управляемого двгайния нелинейной динамической системы: Сб. науч. тр./ Пермь: ЬГУ.- 1986.-С- 103-110.
35. Малафеев O.A. Дифференциальные бескоалиционные с континуумом игроков // Тез. докл. ^-й мездунар. конф. по дифференциальным уравнениям а трименекиям/ София, Болгария.- 1Э65.
36► Малафеев O.A. Смешанные стратег ии л ланеишх >3е- тоаяц-ционных дифф енциальных иг^ах // Бескоалавдошше дауфере^цнась-ные игры а ах применения? Сб. науч. тр./ к,: ВЯМИ.- 11,6,- С. 4248.
37.
^«аль.гев Г.А. Достаточные условия равнозесиссти в дифференциальных играх со многими участниками // йатемй лчес ле методы оптимизации и управления в сложных' системах: Со. науч. тр./ Калиньа: КГУ.- 1985.- С. 37-45.
38. калафеев O.A. Об одной бескоалиционной игре осмска //
лногошаговие ди()*у?{ енциальние бескоалиционные а кооперативные игры: СО. ыауч. тр./ Калинин: КГУ,- 19ЬЬ.- С. 24-2».
oä. йалаф^ев O.A. Оптимальные в смысле Дарето решения в дифференциальных играх // Многошаговые дифференциальные бескоалиционные и .кооперативные игры: СО. науч. тр./ Калинин: КГУ.- ISS6.-С» Ы-ЬЬ.
40. я,алифеев O.A. Равновесие по Нэшу и непрерывность значения в дифференциальных играх со многими участниками // катемати-чсскяе методы оптимизации а управления в сложных системах: Сб.. науч..тр./ Калинин: I8Ü4.- С. 3-16.
