Обоснование и выбор математических моделей исследования волновых процессов в твердых средах тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

На правах рукописи

КАМАЛЯН Самвел Рубенович

ОБОСНОВАНИЕ И ВЫБОР МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ИССЛЕДОВАНИЯ ВОЛНОВЫХ ПРОЦЕССОВ В ТВЕРДЫХ СРЕДАХ

01.02.04 - механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Краснодар - 2005

Работа выполнена в Государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования "Кубанский государственный университет" (КубГУ).

Научный руководитель: академик РАН,

доктор физико-математических наук, профессор

Бабешко Владимир Андреевич

Официальные оппоненты: доктор технических наук,

профессор

Вартумян Георгий Тигранович

кандидат физико-математических наук, доцент

Стоян Владимир Петрович

Ведущая организация: НИИ Механики Московского

государственного университета, г. Москва.

Защита состоится " 9 " декабря 2005 г. в 16-00 часов на заседании диссертационного совета Д 212.101.07 в Кубанском государственном университете по адресу:

350040, г. Краснодар, ул. Ставропольская, 149, ауд. 231.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Кубанского государственного университета г. Краснодар, ул. Ставропольская, 149.

Автореферат разослан " "_2005 г.

Ученый секретарь диссертационного совета ^ г Евдокимов А. А.

ЛйОб-ч

УЖз

2-100063.

3

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. Динамическое воздействие на твердые тела (удар, взрыв) представляет собой весьма сложное явление, включающее разнообразные физические процессы, такие как распространение ударных волн, разрушение материалов, неустановившееся движение среды. Изученность всех этих процессов к настоящему времени далека от завершения. Вместе с тем сфера прикладного применения энергии взрыва непрерывно расширяется, что в свою очередь сопровождается открытием новых физических или механических эффектов, возникновением новых научных проблем. Теоретическое изучение проблем механики взрывных процессов основывается на использовании достижений и методов математики, механики сплошных сред и других фундаментальных наук. Такой подход позволяет не только осуществить качественный анализ рассматриваемого явления, но и получить в ряде случаев соотношения, позволяющие провести инженерные расчеты максимальной простоты.

Метод математического моделирования взрывных проблем уже достаточно апробирован. Например, модель несжимаемой невязкой жидкости применительно к явлению кумуляции дает очень хорошее совпадение с экспериментами. С другой стороны, на основе той же модели были предложены принципиально новые схемы взрывания, такие как абсолютно направленный взрыв в грунте.

При все возрастающем требовании достижения максимальной эффективности использования энергии взрыва, зависящей от корректности принятой схемы процесса и точности, вытекающей из этой схемы, результатов расчета, проблема усовершенствования существующих и разработка новых технологических схем, научно-обоснованных методов расчета параметров зарядов и подземных взрывов является актуальной. Цель работы и основные задачи исследования. Построение и исследование простейших математических моделей динамического деформирования сжимаемой пластической среды в плоских волнах напряжений. Научная новизна работы заключается в следующем:

■ Построена обобщенная математическая модель грунтового массива при динамическом воздействии.

■ Получены соотношения с помощью жидкостной модели, для определения параметров вертикального цилиндрического заряда

выброса в грунтах.

■ С использованием модели упрочняющегося жестко- пластического тела решена задача о взрыве плоского заряда в двухслойной среде. Для случая физически линейной среды был оценен вклад волны нагрузки по сравнению с распространяющейся затем волной разгрузки в величину окончательного смещения контакта полупространств. В случае нелинейной модели среды определена координата Лагранжа места возникновения ударной волны из римановской волны нагрузки.

■ Исследованы закономерности распространения плоской пластической волны разгрузки в неоднородной среде.

Практическое значение работы заключается в возможности прикладного применения результатов исследований при расчете параметров зарядов в горнодобывающей промышленности.

Апробация работы. Основные положения работы докладывались и обсуждались на нескольких конференциях и семинарах, в том числе на 1 -ой объединенной научной студенческой конференции факультета прикладной математики Кубанского государственного университета (Краснодар, 2001 г.), на втором Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (г. Самара, 2001 г.), на научных семинарах кафедры математики и прикладной информатики КФ РГТЭУ (г. Краснодар, 2004 г.) и отдела механики природных процессов НИИ Механики МГУ (г. Москва, 2005 г.), на шестом Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (г. Санкт-Петербург, 2005 г.), на объединенном семинаре кафедр общей и прикладной математики Кубанского государственного технологического университета (г. Краснодар, 2005 г.).

На защиту выносятся решения актуальных проблем механики подземного взрыва: построение обобщенной модели грунтового массива, решение задачи о взрыве в двухслойной среде, формулы для определения параметров вертикального цилиндрического заряда выброса в грунтах, модель и результаты исследования распространения плоской пластической волны разгрузки в неоднородной среде.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 7 печатных работ.

Объём и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, изложенных на 108 страницах. Работа содержит 13 рисунков, 1 таблицу и библиографию из 102 наименований на 9 страницах.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В первой главе изложено современное состояние теории ударных волн (волн сжатия) в различных средах. Рассмотрены условия возникновения и распространения простых волн в газах и математические модели, используемые для исследования этих процессов. Подробно проанализирован метод характеристик для волн сжатия и разрежения, а также достаточно полно обсуждены условия возникновения ударных волн.

Значительное внимание уделено теории распространения волн напряжений в твердых сплошных средах и используемому при этом математическому аппарату.

Во второй главе рассмотрен ряд задач механики подземного взрыва: построена обобщенная модель грунтоврго массива; в гидроимпульсной постановке решена задача о действии вертикального цилиндрического заряда выброса; рассмотрена задача о соударении двух тел.

При построении обобщенной модели грунтового массива среда аппроксимировалась упруговязкопластической моделью, называемой телом Бингама-Шведова, уравнения состояния которого имеют вид

ст,у=Сегу при стгу < су,

4 Оц =Ът+ при ^ 0)

р = кет,

где аг - предел текучести или предельное напряжение сдвига, Ц - коэффициент пластической вязкости, С - модуль сдвига (модуль поперечной упругости), Бт - средняя скорость деформации, к - модуль объемной деформации.

Из (1) следует, что при напряжениях, меньших предельного значения (Ту., тело деформируется упруго по закону Гука, а по достижении этого предела оно начинает течь с постоянной скоростью, пропорциональной избытку напряжения (ау - аг) . Объемные же деформации упругие, причем частным случаем является условие несжимаемости к = оо.

Предел текучести ат для грунтов изменяется с изменением всестороннего гидростатического давления р и скорости нагружения или, что то же, длительности действия нагрузки 5т . Результаты исследований показывают что, при ст —» О (8т —> оо) или ст —> оо (8т —» 0) предел текучести зависит только от величины всестороннего гидростатического давления.

При решении плоских задач в качестве замыкающего уравнения состояния среды принимается условие, выражающее или закон трения Кулона на площадках скольжения, или условие прочности Мора

т = /(ст),

где Т и СТ - касательные и нормальные напряжения.

Для трехмерных задач используется условие пластичности типа Мизеса-Шлейхера, в соответствии с которым при пластическом состоянии твердой среды (грунтов) интенсивность касательных напряжений Т, определяемая вторым инвариантом девиатора тензора напряжений /2 , является некоторой функцией давления, т. е.

т=4вГ2, 12=р(Р),

где /2 =— [(ст, — 02)2 — °з)2 + (аз —ст1)2]> Р ~ неубываю-6

щая функция своего аргумента, р = —-— гидростатическое давление.

Если временные факторы не влияют на процесс деформирования грунтов, то в реологическом уравнении состояния среды отсутствует параметр I, что соответствует модели упругопластического тела. Такая ситуация возникает при СТ —> О и а —> °о. При промежуточных значениях О < ст < оо и СТ0 < СТ < СТ. (ст0 и СТ, - пределы текучести, соответственно при 8т —> оо и 5т —> 0), процесс деформирования грунтов зависит от временных факторов и течение является вязким.

Наличие вязких напряжений связано с диссипацией энергии, которая с увеличением скорости деформации возрастает. В этой связи считается, что тензор вязких напряжений т является функцией тензора скоростей деформаций 8, а связь между касательными напряжениями и скоростью деформации представлено в виде

где ц - коэффициент вязкости, у и а - девиаторы тензоров скоростей деформаций и напряжений, /(сту ) - функция текучести.

Выражение (2) устанавливает критерий перехода из одной области в другую. При У(ст{/) < 0 - деформация среды отсутствует, при

/((Ту ) > 0 - имеет место процесс деформирования среды с конечными

скоростями, а при ) = 0 - процесс деформирования прекращается.

При построении обобщенной модели грунта были сделаны два, довольно существенных упрощения, а именно: приняты постоянными коэффициент вязкости и значение нижнего предела текучести. На самом деле коэффициент вязкости не является величиной постоянной, а меняется с изменением нагрузки и температуры. Непостоянство нижнего предела текучести связано с так называемым эффектом упрочнения.

Однако и приведенных соотношений достаточно, чтобы показать полезность построения обобщенной модели, позволяющей провести достаточно полный качественный анализ процессов деформирования среды. Заметим, что этим практически и исчерпывается ее значение, поскольку сложная система уравнений обобщенной^модели мало пригодна для получения количественных оценок. Отсюда и наличие многочисленных упрощенных моделей грунта, среди которых наибольшее распространение получила так называемая модель идеальной несжимаемой жидкости. Эта

=2цу,

или

2|ЛУ =

О, если /(С,у) < О, /(Оу)а, если

(2)

модель может быть получена из обобщенной при значительных упрощающих предположениях, а именно: ц —> 0, т.е. касательные напряжения являются второстепенными, и состояние среды описывается шаровым тензором давления, среда несжимаема т.е. р = const или, как следует из

уравнения неразрывности, divv = 0.

Модель идеальной несжимаемой жидкости была использована нами для решения задачи о действии вертикального цилиндрического заряда выброса. Причем выбор этой модели был связан не только с ее относительной простотой, но и с тем, что она достаточно адекватна тем процессам, которые имеют место в так называемой ближней зоне взрыва.

При использовании модели идеальной несжимаемой жидкости часто применяется импульсная постановка задач гидродинамики, суть которой состоит в следующем. Пусть имеется область G с границей Г, заполненная идеальной несжимаемой жидкостью. В точках границы задано давление p(N, t), N е Г, действующее в течение малого промежутка

времени т. Требуется определить в области G поля давлений p{M,t) и

скоростей v(M,t), М е G.

Давление и скорости, рассчитанные по этой схеме, не зависят от времени, что соответствует представлению о кратковременности процесса установления полей давления и скоростей на начальном этапе движения, возникающего при взрыве.

Расчетная схема действия взрыва вертикального цилиндрического заряда выброса представлена на рис. 1.

Здесь использованы следующие обозначения: \ - расстояние от свободной поверхности до верхней части заряда, Н2 - глубина скважины, Н - расстояние от геометрического центра заряда до свободной поверхности, / - дайна заряда.

Действие заряда моделируется линией источников. Если обозначить интенсивность источника, рассчитанную на единицу длины заряда, через т, то для пространственного источника-стока в точке на оси скважины потенциал скорости выразится так

<*р = ^|[г2 + £ + 2)2 ^ - [г2 + ~ , (3)

Выражение (3) интегрируется в пределах от /г, до Ь2

- т 1пР + 7 + + + у 1 - г + У^ ~

(л2 -2 + -г)2"+72|л, +2 + Д/(/2,+ г)2 + Г2

Условие разрушения имеет вид

^1тах л

/ а2 а2 ^ 3 Ф Эф

+ 4

дгдг

Кинетическая энергия грунта, вычисляется по формуле

и приравнивается а -й доле полной энергии взрывчатого вещества

М>

а с£) .

Далее вводится понятие эффективного времени действия взрыва Т таким образом, чтобы удовлетворялось соотношение

1 Г 1 _ ф =--Иш РЖ =--рх .

п П ->оо * р

1 _

Р п

После соответствующих преобразований, получены следующие зависимости:

для интенсивности источника

2

т = 2

2асд%

р1п

1_ И-1/4 г0р + //4

для эффективного времени действия 2 а сд яр 1п

т =

"о V*

- /Л

+ 1/4

п р

для заряда ВВ, приходящегося на единицу длины скважины

пЗ

д = кк7

[к2+(1 + 1У2)2>

(л

п2+(1 + Р/2) п2 +(1-р/2)2

з

(4)

где р - плотность грунта, - поверхность, ограничивающая рассматриваемую область, п - внутренняя нормаль, с - удельная энергия ВВ,

() - масса заряда ВВ, ц = I - длина заряда, Г0 - радиус скважины,

— I тср5т,х

р - среднее давление, действующее в течение времени х, к =

2а с

г I

б ю - предельно допустимый сдвиг, п = —, Р = —.

к к

п

4

3

2

1

2 4 6 8 10 12

Рис. 2. Зависимость показателя выброса п от глубины заложения И (1 = СОШ1).

Формула (4) является искомым соотношением, связывающим между собой параметры ц, И, п, Р одиночного скважинного заряда. Для наглядного представления характера зависимости между выборочно взятыми парами переменных, построены графики (рис. 2-4).

п

/ = 3 1 = 2

/ = 4

О 0.25 0.5 0.75 1.0 1.25 1.5

Рис. 3. Зависимость показателя выброса п от диаметра скважины d ( / = const).

п

h = i

h = 5

Л = 8

1 2 3 4 5 6

Рис. 4. Зависимость показателя выброса п от длины / сква-жинного заряда (h = const).

Модель идеальной несжимаемой жидкости может быть использована для решения достаточно многих проблем механики взрывных процессов. Однако исследование волновых процессов, возникающих в среде при динамическом воздействии, с помощью модели идеальной несжимаемой жидкости не представляется возможным. Для решения задач такого рода применяются схемы и модели, рассматривающие среду как твердое деформируемое тело. К ним относятся модели упругого, упругопластиче-ского, упруговязкопластического тела, и т. д.

Рассмотрена задача о соударении двух тел, одно из них находится в состоянии покоя, а другое, приобретая некоторую скорость, наносит по нему удар. Такая ситуация реализуется, например, при подземной разработке полезных ископаемых, когда отбойка массива, наносящего удар по зажимающей среде, осуществляется взрывным способом.

При этом рассматривался случай, когда и для отбиваемого массива можно допустить плоское одномерное движение. Этот случай представляется, если в массиве — < V, где V - величина несколько большая единицы, а - расстояние между скважинами в ряду, IV - толщина взорванного слоя. Процесс метания массива такими зарядами можно определить следующей простейшей моделью: 1. Массив представляет собой жестко-пластическое упрочняющееся тело; 2. Его пластические свойства проявляются только во время развития цилиндрических зарядных полостей. С началом метания массив ведет себя как абсолютно твердое тело; 3. Между скважинами развивается одиночная плоская трещина; 4. Разница между моментами времени окончания развития трещины и полостей мала в сравнении со временем, прошедшим с момента полной детонации зарядов до начала удара; 5. Процесс расширения продуктов взрыва безволновой адиабатический.

Согласно принятой модели, на разгоняемый массив с одной стороны действует давление

где р0, 5 - давление продуктов взрыва и площадь поперечного сечения цилиндрической полости в начале метания, у - показатель адиабаты продуктов взрыва, у - перемещение метаемого слоя, а уравнение движения слоя имеет вид

где р - плотность массива.

С другой стороны на этот же слой действует некоторое давление среды, зависящее от времени

р = р(0,^->О, o^í<t0,^-<o, t>t0. (6)

М М

При этом рассматривается интервал времени, [0, ] в котором

среда находится в состоянии нагрузки, а закон её одноосного сжатия имеет вид

су = Ец/(е° + Б), —г-> 0, ст_ = Е\|/(е0), (7)

где <У_ - начальное упрочнение среды, 8 - ее одноосная деформация,

Е - коэффициент с размерностью давления (константа среды).

Из (6) и (7) следует, что в некоторый момент времени 1, в среде

возникнет ударная волна нагрузки, а до тех пор в ней будет распространяться только римановская волна нагрузки.

На интервале времени [0, /, ] для полупространства (7) рассмотрена задача с неоднородным краевым и нулевыми начальными условиями для квазилинейного волнового уравнения

д2и „2 / ч дги

dt2

= в\а)

ст1*-о ='

дх2' '— ст_, t < О, -p(t),t> О,

ди

~dt

О, t<0, х>0,

где начало координаты Лагранжа X находится на контакте полупространств, а 6 (с) - скорость распространения слабых разрывов в функции напряжения.

Уравнение движения слоя (5) с учетом (6) имеет вид

р W

d2u (0,Q dt2

= Ро

1 +

аи (0,0

■pit).

(9)

pit) pit) о_ о X X

Рис. 5. Характеристики в простой волне нагрузки для случая (7).

Из (9) следует, что решение (8) надо искать в перемещениях. Это решение найдено методом характеристик (рис. 5).

Для нахождения давления p{t) получено нелинейное интегро-дифференциальное уравнение

< />(<)

l + (a/p0S)Jc/x j94(ct)î/ct

О о.

-p{t). (10)

Для координаты Лагранжа места образования ударной волны получено соотношение

X. =

2ц-

d4>4p/E) dp

ipo-p)

dz\y-(p/E) dp2

(И)

'|<=0

причем 4=0 — СТ- согласно принятой модели среды и краевому условию задачи (8).

Момент времени образования ударной волны нагрузки

t* ="

вид

8[р(0)]'

Если положить \J/(e° + б)= (с° + , то формула (11) X. =2ц/(1-«"1)(р0/а_-1).

примет

Эта формула при следующих довольно характерных для взрывания в зажимающей среде значениях, входящих в (12) параметров п = 2, (Л = 4м, ст_ = 375 кН/м2, = 385 мН{м2, дает х, = 0.02м,

то есть ударная волна нагрузки образуется не мгновенно, хотя и достаточно быстро, после начала движения массива, иными словами на промежутке (0,) распространяется простая римановская волна, которая в момент времени tt переходит в ударную волну нагрузки. Интересно отметить, что в формулу (12) не входит коэффициент Е, то есть для координаты X, важен сам факт нелинейности (7).

Для оценки вклада волны нагрузки в величину остаточного смещения контакта среды с массивом, обратим внимание на то, что при -

—= 0 из (11) и при п = 1 - из (12) следует тот известный факт, что ф

в физически линейной среде ударная волна образоваться не может. Тогда уравнение (10) значительно упрощается

( об4 ££

1---+

о

4

= Ро. (13)

Численное решение (13) методом Рунге-Кугта проиллюстрировано на рис. 6. В расчетах было принято а = W = 2.5м, 0 = 21Ам/с,

Е = 150 мН/м2 , р0 =385 мН/м2, о_ =0.1 мН/м2.

Соответственно значениям с18 длительность процесса нагрузки составила 3 и 2 .бмс, что говорит о слабом влиянии на эту величину диаметра заряда.

Более сильная зависимость обнаруживается между с13 и максимальным значением давления . Можно отметить довольно плавный переход от нагрузки к разгрузке, о чем свидетельствует наличие пологих участков линий 1 и 2.

Смещение поверхности полупространства среды во времени определяется по формуле

"(0,0 = Ро1 /0_1 ■

(14)

Из (14) соответственно зависимостям 1, 2 (рис. 6.) к началу разгрузки поверхность х = 0 смещается на 0.087м и 0.05л< и, и имеет скорость у0 =35.8 м/с и 23Л м/с.

0 8 16 24 ,|С.104

Рис. 6. Зависимость р = р($, определяемая уравнением (13) при значениях :1 — 0-105, 2 - 0.065л<.

В третьей главе исследовано распространение плоской пластической волны разгрузки в неоднородной среде.

Известно, что неоднородность может характеризоваться как непрерывным распределением параметров, так и проявляться в виде более или менее резких границ раздела. Кроме того, неоднородность может быть естественной или искусственной, связанной с проведением, например, взрывов, вызвавших то или иное изменение свойств среды. Естественная неоднородность обладает статистическим характером и, очевидно, первична.

Можно говорить о неоднородности двух видов. О неоднородности первого вида, когда от точки к точке среды меняется вид связи между компонентами напряжения и деформации. Неоднородность второго вида имеет место, когда меняется величина упрочнения или предела упругости среды.

В работе обсуждается распространение плоской волны разгрузки, вызванной ударом жесткого слоя по поверхности полупространства жестко-пластической упрочняющейся среды, обладающей неоднородностью второго вида. Модель такой неоднородной среды определена следующим образом:

при нагрузке: <т0 = Е[&_ (х) + 80]", п > 1, (15)

при разгрузке: 80 = Б,, СТ0 < 2?[е_(х) + Б,]",

р(х) = р0[1 + 8°-Б.(х)Г1 =Ро/2(*)> (16)

где £_ (х), р(х) - деформация и плотность среды в плоскости с координатой Лагранжа X до прихода в нее фронта волны, р0 - плотность среды, когда ее деформация равна Е°.

Пусть в течение некоторого времени по полупространству (15), (16) идет ударная (при п> 1) волна разгрузки. Тогда, с учетом (15), (16) и условий динамической и кинематической совместимости на фронте УВР, уравнение движения среды можно свести к уравнению деформации на фронте этой волны

и _ л 8 -8

■ + И8

л-1

8о +«(8пЧ -бГ)е1 -

-2(8" - б!)^ = -28"/2(*)(Ц + )/2(х№)4.

/(*) О

Рассмотрены два случая неоднородности среды.

1. Гладкая неоднородность, когда функции £_(х) и /(х), и все их производные непрерывны при X > 0.

(к.

2. Неоднородность, когда производная- терпит разрыв первого

сЬс

рода «а плоскостях х = х1, х3.

Исследования показали, что в первом случае из волны разгрузки возникает в некоторый момент времени волна нагрузки. Этот результат позволяет утверждать, что при распространении ударной волны разгрузки, отраженной от жесткой стенки, она также может вызвать волну нагрузки.

Во втором случае волна разгрузки может омыть неоднородность, т.е. пройти через нее, не вызвав волны нагрузки.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

Основные научные результаты представленной диссертационной работы состоят в следующем:

1. Построена и проанализирована обобщенная модель грунтового массива. Показано, что обобщенная модель практически отражает все многообразие соотношений между компонентами девиаторов деформаций и напряжений.

2. С использованием гидроимпульсной модели взрыва решена задача о действии вертикального цилиндрического заряда выброса.

3. Решена задача о взрыве плоского заряда в двухслойной среде, когда плоскость заряда находится вблизи контакта сред в значительно более жестком полупространстве. С помощью метода характеристик получено точное решение квазилинейного волнового уравнения при нулевых начальных и неоднородном краевом условиях. Определена координата Лагранжа места возникновения ударной волны из простой волны нагрузки. Оценен вклад волн нагрузки и разгрузки в величину остаточного смещения контакта полупространств.

4. Исследовано распространение плоской пластической волны разгрузки в неоднородной среде, неоднородность которой заключается в зависимости начального упрочнения и плотности от координаты Лагранжа. Полученные результаты позволяют утверждать, что в одних случаях распространение ударной волны разгрузки, отраженной от жесткой стенки, может вызвать волну нагрузки, а в других, волна разгрузки может омыть неоднородность, т. е. пройти через нее, не вызвав волны нагрузки.

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Камалян Р.З., Камалян С.Р. О взрыве плоского заряда в двухслойной среде. // Обозрение прикладной и промышленной математики. Т. 8. Вып. 1.2001. С. 203.

2. Камалян С.Р. Распространение плоской волны нагрузки в неоднородной среде. // Прикладная математика XXI века. КубГУ. 2001. С. 23-24.

3. Камалян С.Р. К задаче об оптимизации импульса удара по зажимающей среде. // Обозрение прикладной и промышленной математики. Т. 9. Вып. 1. 2002. С. 201 - 202.

4. Камалян Р.З. Камалян С.Р. О взрыве плоского заряда в двухслойной среде. // Наука Кубани. Проблемы физико-математического моделирования. 2002. №1. С. 63 - 66.

5. Камалян Р.З. Камалян С.Р. К задаче о распространении ударной волны в твердой среде. // Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Технические науки. Спецвыпуск. 2004. С. 134 - 136.

6. Камалян С.Р. Гидроимпульсная модель расчета действия вертикального цилиндрического заряда выброса. // Обозрение промышленной и прикладной математики. Т. 12. Вып. 2. 2005. С. 382 - 384.

7. Камалян Р.З. Камалян С.Р. О моделях грунтового массива при динамических воздействиях. // Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Технические науки. Спецвыпуск. 2005. С. 79 - 84.

ЛР№ 071754 от 10.11.98 г.

Подписано в печать 02.11.05 г. Формат 60x84/16. Бумага офсетная. Усл.-печ. л. 1,28. Уч.-изд. л. 1,1. Тираж 100 экз. Заказ № 54.

Отпечатано типографией ИМСИТ. 350010, Краснодар, ул. Зиповская, 5.

Hrä > fi'- £>

1 Ô 8 1

РНБ Русский фонд

2006-4 17883

Введение.

Глава I. Об известных закономерностях и математическом моделировании динамических процессов в сплошных средах.

1.1. Об условиях возникновения и распространения простых волн в сплошных средах.

1.2. Об условиях возникновения ударных волн.

1.3. Волны напряжений в твердых сплошных средах.

1.4. Задачи исследований.'.

Глава П. Математическое моделирование и численное исследование волновых процессов в твердых средах.

2.1. Построение обобщенной модели грунтового массива при динамических воздействиях.

2.2. Модель идеальной несжимаемой жидкости.

2.3. Гидроимпульсная модель задачи о действии вертикального цилиндрического заряда выброса.

2.4. Об одном подходе к решению задачи распространения ударной волны в твердой среде.'.

2.5. Выводы.

Глава III.Плоская пластическая волна разгрузки в неоднородной среде.

3.1. Волны напряжений в пластичных средах.

3.2; Модели исследования волновых процессов.

3.3. Общие замечания и модель среды.

3.4. Распространение плоской волны разгрузки, вызванной ударом жесткого слоя по поверхности полупространства.

3.5. Выводы.

Невозможно представить себе современную науку без широкого применения методов моделирования вообще и математического в частности. Моделирование находит применение в самых различных отраслях при решении конкретных научных и технических задач. Особенно актуальна роль метода моделирования в эпоху, когда происходит процесс синтеза знаний и автоматизации элементов умственной деятельности.

Бесспорно, что в глубоком синтезе наук важное место занимает математика, и роль математических методов в общей системе научных исследований и открытий возрастает. Хотя, и это следует подчеркнуть, важность значений экспериментальных исследований при этом не уменьшается.

Элементы математического моделирования использовались с самого начала появления точных наук, и не случайно, что некоторые методы вычислений носят имена таких корифеев науки, как Ньютон и Эйлер. Интенсивное вторжение математики во многие отрасли науки продолжается и по сей день. Основная причина этого заключается, по-видимому, не только и не столько в конкретных успехах математики за последние десятилетия, сколько в .осознании необъятных возможностей применения математики и в появлении возросших потребностей реализации этих возможностей.

Динамическое воздействие на твердые тела (удар, взрыв) представляет собой весьма сложное явление, включающее разнообразные физические процессы, такие как распространение ударных волн, разрушение материалов, неустановившееся движение среды. Изученность всех этих процессов к настоящему времени далека от завершения. Вместе с тем сфера прикладного применения энергии взрыва непрерывно расширяется, что в свою очередь сопровождается открытием новых физических или механических эффектов, возникновением новых научных проблем. Теоретическое изучение проблем механики взрывных процессов основывается на использовании достижений и методов математики, механики сплошных сред и других фундаментальных наук. Такой подход позволяет не только осуществить качественный анализ рассматриваемого явления, но и получить в ряде случаев соотношения, позволяющие провести инженерные расчеты максимальной простоты.

Метод математического моделирования взрывных проблем уже достаточно апробирован. Например, модель несжимаемой невязкой жидкости применительно к явлению кумуляции дает очень хорошее совпадение с экспериментами. С другой стороны, на основе той же модели были предложены принципиально новые схемы взрывания, такие как абсолютно направленный взрыв в грунте.

Целью настоящей работы является построение и исследование простейших математических моделей динамического деформирования сжимаемой пластической среды в плоских волнах напряжений. Данные исследования позволили решить ряд интересных задач, связанных с характером возникновения ударных волн нагрузки и разгрузки в однородных и неоднородных средах.

Научную новизну составляют следующие результаты, полученные автором:

Построена обобщенная математическая модель грунтового массива при динамическом воздействии.

Получены соотношения с помощью жидкостной модели, для определения параметров вертикального цилиндрического заряда выброса в грунтах.

С использованием модели упрочняющегося жестко-пластического тела решена задача о взрыве плоского заряда в двухслойной среде. Для случая физически линейной среды был оценен вклад волны нагрузки по сравнению с распространяющейся затем волной разгрузки в величину окончательного смещения контакта полупространств. В случае нелинейной модели среды определена координата Лагранжа места возникновения ударной волны из римановской волны нагрузки. Исследованы закономерности распространения плоской пластической волны разгрузки в неоднородной среде.

Актуальность темы диссертации состоит в том, что при все возрастающем требовании достижения максимальной эффективности использования энергии взрыва, зависящей от корректности принятой схемы процесса и точности, вытекающей из этой схемы, результатов расчета, необходимо усовершенствование существующих и разработка новых технологических схем.

Практическое значение работы заключается в возможности прикладного применения результатов исследований при расчете параметров зарядов в горнодобывающей промышленности.

Работа выполнялась в рамках ряда государственных научно-технических программ и имела поддержку научных фондов, что также указывает на ее актуальность и практическую значимость.

Достоверность полученных результатов обеспечивается использованием адекватных моделей и строгих математических методов решения, сравнением с простыми примерами, допускающими аналитическое представление решения, и с результатами других авторов.

Настоящая диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка использованной литературы. Работа содержит 108 страниц, в том числе 9 страниц использованной литературы, включающий 102 наименования.

3.5. Выводы

Исследовано распространение плоской пластической волны разгрузки в неоднородной среде, неоднородность которой заключается в зависимости начального упрочнения = сг (х) и плотности р = р(х) от координат Лагран-жа. Показано, что в случае непрерывно возрастающего упрочнения, а следовательно, и плотности из волны разгрузки возникает в некоторый момент времени волна нагрузки. Этот результат позволяет утверждать, что при распространении ударной волны разгрузки, отраженной от жесткой стенки, она также может вызвать волну нагрузки.

В случае непрерывно возрастающей, а затем так же убывающей велика чины а, а также в случае, когда при этом величина- терпит разрыв перdx вого рода, волна разгрузки может омыть неоднородность, т.е. пройти через нее, не вызвав волны нагрузки. Это принципиально отличает таким образом неоднородные среды от слоистой среды, в которой терпит разрыв первого рода сама величина а.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертационной работе исследованы волновые процессы в деформируемых сплошных средах.

Основной целью явилось построение и исследование простейших (допускающих замкнутые формы решения) математических моделей, которые позволили качественно и количественно подтвердить имеющиеся экспериментальные данные. •■■ '

Построена и проанализирована обобщенная модель грунтового массива. Показано, что обобщенная модель практически отражает все многообразие соотношений между компонентами девиаторов деформаций и напряжений. С другой стороны сложная система уравнений в общем виде, безусловно, малопригодна для непосредственного применения при решении прикладных задач. »

Тем не менее, для большей части грунтов при достаточно широких диапазонах нагружений обобщенная модель сводится к более простым моделям, многие из которых пригодны для решения конкретных задач.

С использованием гидроимпульсной модели взрыва решена задача о действии вертикального цилиндрического заряда выброса. Получена формула, позволяющая определить массу заряда при определенных исходных данных. Показано также, что жидкостная модель может быть использована и. для определения расстояния между взаимодействующими вертикальными цилиндрическими зарядами.

Впервые исследована задача о взрыве плоского заряда в двухслойной среде, когда плоскость заряда находится вблизи контакта сред в значительно более жестком полупространстве. Рассматривался только интервал времени, когда в среде существует римановская волна нагрузки. С помощью метода характеристик получено точное решение квазилинейного волнового уравнения при нулевых начальных и неоднородном краевом условиях. Задача сведена к нелинейному интегродифференциальному уравнению для давления, действующего на контакте полупространств. В общем случае физически нелинейной модели среды найдена координата Лагранжа места возникновения ударной волны из простой волны нагрузки. В случае, если поведение среды описывается моделью Прандтля с жесткой разгрузкой, оценен вклад волн нагрузки и разгрузки в величину остаточного смещения контакта полупространств. При численных значениях параметров, характерных для условий подземной разработки, вклад волны нагрузки составляет не более 6%, что позволяет с вполне достаточной точностью решать только более простую задачу о волне разгрузки при ударе. С удалением плоскости заряда от контакта полупространств вклад волны нагрузки начинает возрастать. .

Предложенное решение квазилинейного волнового уравнения отличается физической наглядностью. Благодаря этому оно позволяет, например, легко решить задачу о волне нагрузки в неоднородной упрочняющейся сжимаемой среде.

Проведен достаточно полный анализ моделей исследования волновых процессов в твердых средах. Этот анализ позволил рассмотреть задачу о распространении плоской пластической волны разгрузки в неоднородной среде, неоднородность которой заключается в зависимости начального упрочнения ст =ст(х) и плотности р = р(х) от координаты Лагранжа. Показано, что в случае непрерывно возрастающего упрочнения, а следовательно и плотности из волны разгрузки возникает в некоторый момент времени волна нагрузки. Этот результат позволяет утверждать, что при распространении ударной волны разгрузки, отраженной от жесткой стенки, она также может вызвать волну нагрузки. В случае непрерывно возрастающей, а затем так же убывающей веda личины , а также в случае, когда при этом величина —- терпит разрыв dx первого рода, волна разгрузки может омыть неоднородность, т.е. пройти через нее, не вызвав волны нагрузки. Это принципиально отличает таким образом неоднородные среды, в которой терпит разрыв первого рода сама величина а.

1. Абрамов В.Ф., Горбунов В. А. К вопросу определения подвижки зажимающего материала при отбойке руды в зажиме // ФТПР1М. 1978. № 2. С. 40-48.

2. Ададуров Г.А., Дремин А.Н., Першин С.В., Родионов В.Н., Рябинин Ю.Н. Ударное сжатие кварца // ПМТФ. 1962. № 4. С. 81 89.

3. Адушкин В.В., Короткое А.И. Параметры ударной волны вблизи от заряда ВВ при взрыве в воздухе // ПМТФ. 1961. № 5. С. 119 123.

4. Адушкин В.В., Зыков В.Я., Либин В.Я. Об эффективности скважинных зарядов выброса в песчаном грунте // ФТПРПИ. 1988. №4.С.35-39.

5. Адушкин В.В., Камалян Р.З. Об оптимальных параметрах скважинных зарядов выброса // ФГВ. 1992. № 4. С. 127 129.

6. Бабешко В.А. Динамика сред при наличии совокупности неоднородно-стей или дефектов и теория вирусов вибропрочности // Известия вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств.науки. 1998. № 1. С. 24 26.

7. Бабешко В.А. Среды с неоднородностями (случай совокупностей включений и трещин) // Известия РАН. Механика твердого тела. 2000. № 3. С. 5 9.

8. Бабешко В.А., Глушков Е.В., Зинченко Ж.Ф. Динамика неоднородных линейно-упругих сред. М.: Наука, 1989. 344 с.

9. Бабешко В.А., Павлова А.В., Ратнер С.В. К задаче о вибрации упругого полупространства с совокупностью внутренних трещин // Известия вузов. Сев.-Кав. Регион. Естественные науки. 2002. № 3. С. 36 38.

10. Балхавдаров Х.А. Движение и истечение руды при выпуске. Л.: Наука, 1975. 108 с.

11. Борисов С.Н., Николаевский В.Н., Радченко В.П. О структуре фронта ударной волны в водонасыщенном грунте // Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа. 1967. № 3. С. 55 63.

12. Боек А.А., Черный Г.И. Михалюк А.В. Действие крупномасштабных взрывов в массиве горных пород. Ч. 1. Киев: Наукова думка, 1974. 294 с.

13. Боек А.А., Черный Г.И., Кравец Б.Г. Действие взрыва в грунтах. Киев: Наукова думка, 1973. 207 с.1 в.Боек А.А. Основы прикладной геодинамики взрыва. Киев: Наукова думка, 1976. 274 с.

14. Боек А.А., Замыишяев Б.В., Евтерев JI.C. Поведение грунтов под действием импульсных нагрузок. Киев: Наукова думка, 1984. 288 с.

15. Бласов О.Е. Основы динамики взрыва. М.: ВИА, 1957. 377 с.

16. Вялое С. С. Реологические основы механики грунтов. М.: Высшая школа, 1978. 447 с.

17. Вялое С.С., Зарецкий Ю.К., Городецкий С.Э. Расчеты на прочность и ползучесть при искусственном замораживании грунтов. Л.: Стройиздат, 1981. 199 с.

18. Гениев Г.А., Эстрин М.И. Динамика пластической и сыпучей сред. М.: Стройиздат, 1972. 216 с.

19. Григорян С. С. О некоторых специальных вопросах термодинамики сплошных сред // ПММ. 1960. Т. 24. Вып. 4. С. 651 662.

20. Григорян С. С. Об основных представлениях динамики грунтов // ПММ. 1960. №6. С. 1057-1072.

21. Григорян С. С. К решению задачи о подземном взрыве в мягких грунтах // ПММ. 1964. Т. 28. Вып. 6. С. 1070 1082.

22. Григорян С. С. Об ударном уплотнении лессовых грунтов // Изв. АН СССР. ОТН. Механика и машиностроение. 1964. № 6. С. 127 130.

23. Григорян С. С. Некоторые вопросы математической теории деформирования и разрушения твердых горных пород // ПММ. 1967. № 2. С. 643 -669.

24. Жуков А.И. Применение метода характеристик к численному решению одномерных задач газовой динамики // Труды мат. ин-та АН СССР. 1960. № 58. 149 с.

25. Ъ2.Ильинский Н.Б., Поташев А.В. Краевые задачи теории взрыва. Казань: КГУ, 1986. 181 с.

26. Камалян С.Р. К задаче об оптимизации импульса удара по зажимающей среде // Обозрение прикладной и промышленной математики. Т. 9. Вып. Г. 2002. С. 201-202.

27. Камалян Р.З. Камалян С.Р. О взрыве плоского заряда в двухслойной среде // Наука Кубани. Проблемы физико-математического моделирования. 2002. №1. С. 63 66.

28. Кондратьев В.Н., Немчинов КВ., Христофоров Б.Д. О затухании в твердом теле плоских ударных волн, вызванных взрывом // ПМТФ. 1968. №4. С 61-65.

29. Королёв К Д. К ударному уплотнению грунтов и сыпучих тел // ФТПРПИ. 1984. № I.e. 24-31.

30. Кочин Н.Е., Кибелъ И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика. Т. 1. М.: Физматгиз, 1963. 528 с.

31. Кузнецов В.М. Гидродинамический расчет взрыва на выброс удлиненных зарядов ВВ // ФТПРПИ. 1974. № 3. С. 44 47.

32. Кузнецов В.М. Математические модели взрывного дела. Новосибирск: Наука, 1977. 260 с.

33. Кузнецов В.М., Труфанов Н.В. О взрыве на выброс удлиненных вертикальных зарядов ВВ // ФТПРПИ. 1984. № 1. С. 16 20.

34. Лаврентьев М.А. Кумулятивный заряд и принцип его работы // УМН. 1957. Т. 12. №4. С. 41-56.51 .Лаврентьев М.А., Кузнецов В.М., Шер. Е.Н. О направленном метании грунта при помощи взрывчатого вещества // ПМТФ. 1960. № 4. С. 5 6.

35. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1965. 716 с.

36. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Проблемы гидродинамики и их математические модели. М.: Наука, 1977. 407 с.5 4.Лучко И.А., Плаксий В.А. Прикладные задачи динамики грунтов. Киев: Наукова думка, 1979. 132 с.

37. Ляхов Г.М. Ударные волны в грунте и разжижение водонасыщенного песка //ПМТФ. 1961. № 1.С. 38-46.

38. Ляхов Г.М., Нарожная З.В. Плоские взрывные волны в грунте // ПМТФ. 1962. №6. С. 124-127.

39. Ляхов Г.М., Полякова Н.И. Волны в плотных средах и нагрузки на сооружения. М.: Недра, 1967. 232 с.

40. Ляхов Г.М., Осадченко Р.В., Полякова Н.И. Плоские волны в неоднородных пластических средах и их взаимодействие с преградами // ПММ. 1969. №4. С. 45-49.

41. Ляхов Г.М., Штешбах Н.А. Распространение волны в неоднородной пластической среде и ее переход в более сжимаемую среду // Управление энергией взрыва. Фрунзе: Илим, 1970. С. 31 43.

42. Ляхов Г.М. Основы динамики взрыва в грунтах и жидких средах. М.: Недра, 1964. 216 с.

43. Ляхов Г.М. Основы динамики взрывных волн в грунтах и горных породах. М.: Недра, 1974. 190 с.

44. Ляхов Г.М. Волны в грунтах и пористых многокомпонентных средах. М.: Наука, 1982. 286 с.

45. Ляхов Г.М. Модель льда и снега для описания волновых процессов. М.: МГУ, 1983. 286 с.

46. Месчян С.Р. Начальная и длительная прочность грунтов. М.: Недра, 1978. 207 с.

47. Механический эффект взрыва в грунтах // Под ред. Лучко И.А. Киев: Наукова думка, 1989. 232 с.71 .Николаевский В.Н., Басниев КС., ГорбуРюв А.Т., Зотов Г.А. Механика насыщенных пористых сред. М.: Недра, 1970. 335 с.

48. Николаевский В.Н. Лившиц Л.Д., Сизов И.А. Механические свойства горных пород. Деформации и разрушения // Итоги науки и техники.

49. Сер. Механика деформ. тверд, тела. М.: ВИНИТИ. 1978. № И. С. 123 -250.

50. ПЪ.Иигул Y.K. Эхо-сигналы от упругих объектов. Таллинн: Валгус, 1976. 598 с.

51. Ноеацкий В.К. Волновые задачи теории пластичности. М.: Мир, 1978. 307 с.15.0рленко Л.П. Некоторые вопросы распространения ударных волн в твердых телах // ПМТФ. 1961. № 2. С. 77 82.

52. Поляк Э.Б., Шер Е.Н. О форме воронки выброса при взрыве шнурового заряда в двухслойной среде // ПМТФ. 1973. № 2. С. 143 146.

53. Пэжина П. Физическая теория вязкопластичности // Проблемы теории пластичности. М.: Мир, 1976. С. 91 110.1%.Рахматулин Х.А., Демьянов Ю.А. Прочность при интенсивных кратковременных нагрузках. М.: Физматгиз, 1961. С. 91 110.

54. Рахматулин Х.А., Сагомонян А.Я., Алексеев' Н.А. Вопросы динамики грунтов. М.: МГУ, 1964. 240 с.

55. S0.Работное Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. М.: Наука, 1979. 744 с.81 .Ричардсон ДДж. Метод характеристик для решения уравнений одномерного неустановившегося течения // Вычислительные методы в гидродинамике. М.: Мир, 1967. С. 264-291.

56. Рыков Г.В., Скобеев A.M. Измерение напряжений в грунтах при кратковременных нагрузках. М.: Наука, 1978. 198 с.

57. Сагомонян А.Я. Распространение плоской ударной волны в грунте // Изв. АН СССР. ОТН. Механика и машиностроение. 1959. № 5. с. 64 -71.

58. Сагомонян А.Я. Проникание (проникание твердых тел в сплошные сжимаемые среды). М.: МГУ, 1974. 299 с.

59. Станюкович КИ Неустановившиеся движения сплошной среды. М.: Наука, 1971. 854 с.

60. Ставницер JI.P. Деформации оснований сооружений от ударных нагрузок. М.: Стройиздат, 1969. 126 с.

61. Ю.Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1966. 724 с.

62. Ударные волны. Библиографический указатель отечественной и иностранной литературы. 1960-1969гг. М.: Наука, 1979. 542 с.

63. Херрман В. Определяющие уравнения уплотняющихся пористых материалов // Проблемы теории пластичности. М.: Мир, 1976. С. 178-216.

64. Чернышев А.Д. О распространении ударных волн в упругопластической среде //ПММ. 1969. Т. 33. № 1. С. 143 147.9{.Шемякин Е.И. Расширение газовой полости в несжимаемой упруго-пластической среде // ПМТФ. 1961. № 5. С. 111 156.

65. Шукле Л. Реологические проблемы механики грунтов. М.: Стройиздат, 1973.203 с.

66. Юхансон К, Персон П. Детонация взрывчатых веществ. М.: Мир, 1973. 352 с.

67. Band W. Studies in the theory of shock propagation in solids // J. Geophys. Res. 1960. V. 65. № 2. P. 695 719.

68. Bland D.R. On shock structure in solids // J. Inst. Math, and Appl. 1965. V. 1. № l.p. 56-75.

69. Blum R. Normal shock waves in a compressible fluid // Amer. J. Phys. 1967. V. 35. №5. P. 428-433.

70. Duvall G.E. Concepts of shock wave propagation // Bull. Seismol. Soc. Amer. 1962. V. 52. № 4. p. 869 893.

71. Ginsburg T. Propagation of shock waves in the ground // J. Struct. Div. Proc. Amer. Soc. Civil Eng. 1964. V. 90. № 1. P, 125 163.

72. Chang Tien Sun, Laporte O. Reflection of strong blast waves // Phys. Fluids. 1964. V. 7. №8. P. 1225- 1232.

73. Kaliski S., Nowacri W.K., Wlodarczyk E. On certain closed-form solution for the shock wave with rigid unloading // Bull. Acad. Polon. Sci. Serie Sci. Techn. 1967. V.15. №4. P. 51-518.

74. Shieh R.C., Hegemier G.A., Prager W. Closed-form solutions to problems of wave propagation in rigid, workhardening, locking rod // Defense Atomic Support Agency Technical Report. April 1968. № 1. P. 112 123.

75. Shieh R.C. On certain closed-form solutions to problems of wave in a strain-hardening road // Quart. Appl. Math. 1970. V .27. № 4. P. 461 472.