Образование несферических гравитирующих объектов и эффекты гравитационного линзирования тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

'п

На правах рукописи

ЦУПКО ОЛЕГ ЮРЬЕВИЧ

□03464540

ОБРАЗОВАНИЕ НЕСФЕРИЧЕСКИХ ГРАВИТИРУЮЩИХ ОБЪЕКТОВ И ЭФФЕКТЫ ГРАВИТАЦИОННОГО ЛИНЗИРОВАНИЯ

01.04.02 - теоретическая физика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 Р г

Москва 2009

003464540

Работа выполнена в Институте космических исследований Российской академии наук (ИКИ РАН).

Нгучный руководитель:

д.ф.-м.н., профессор Г.С. Бисноватый-Коган

Официальные оппоненты:

чл.-корр. РАН, д.ф.-м.н., профессор И.Д. Новиков (Астрокосмический центр Физического института им. П.Н. Лебедева РАН)

д.ф.-м.н., профессор В.Н. Мельников

(Центр гравитации и фундаментальной метрологии ВНИИМС — Всероссийского научно-исследовательского института метрологической службы)

Ведущая организация:

Институт прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН

Защита состоится 7 апреля 2009 г. в и часов на заседании Диссертационного Совета Д 002.113.03 ИКИ РАН по адресу: г. Москеа, 117997, ул. Профсоюзная 84/32, конференц-зал.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИКИ РАН.

Автореферат разослан "5" " МАРТА 2009 г.

Учёный секретарь Диссертационного Совета Д 002.113. 03 к.ф,- м.н.

т.м. Буринская

Общая характеристика работы

Актуальность темы

При исследовании формирования крупномасштабной структуры Вселенной в темной материи часто используется численное моделирование на основе решения уравнений гидродинамики и уравнений движения большого числа частиц в собственном гравитационном поле. Такое численное моделирование занимает большое количество времени, поэтому представляется важным разработать упрощенный подход. Упрощенный феноменологический подход, основанный на рассмотрении эллипсоидальных фигур, может позволить исследовать и сравнить различные варианты задачи, при этом появляется возможность увидеть некоторые особенности проблемы, которые не выявляются в процессе длительной численной работы [1].

Теория равновесных эллипсоидальных фигур разрабатывалась многими исследователями (Ньютон, Маклорен, Якоби, Пуанкаре, Чандрасекхар). Последовательное изложение теории приведено в книге Чандрасекхара [2]. Современные исследования вращающихся фигур связаны, во-первых, с быстро вращающимися звездами, во-вторых, с крупномасштабной структурой Вселенной. Теория крупномасштабной структуры основывается на идеях Зельдовича [3] о формировании существенно несферических фигур в результате развития гравитационной неустойчивости.

Приближенный подход, описывающий динамику осей вращающегося однородного трехосного эллипсоида и феноменологически учитывающий бурную релаксацию, потери массы, энергии и углового момента, позволяет получить новые физические результаты, связанные с формированием крупномасштабной структуры Вселенной, и, кроме того, исследовать вопросы устойчивости вращающихся эллипсоидальных объектов. Применение подобного формализма также дает возможность исследовать динамическое поведение ньютоновских газовых самогравитирующих объектов в случае отклонения от сферического приближения. Запись уравнений движения для осей однородного невращающегося несферического тела и расчет коллапса позволяют расширить понимание динамики и получить качественно ' ноЁые эффекты, связанные с несферичностью.

В процессе коллапса и образования крупномасштабной структуры Вселенной в темной материи происходит излучение гравитационных волн, • и одним из наблюдательных эффектов' образования таких объектов может являться гравитационное линзирование на таких волнах [1].

Гравитационное линзирование — одна из наиболее активно развивающихся областей современной астрофизики [4], [5], [6]. С одной стороны, это разработка теоретических аспектов гравитационного линзирования, построение теоретических моделей, численное моделирование линзирующих объектов, с другой, - поиски и изучение новых наблюдательных примеров (кратные изображения, дуги), исследования эффектов микролинзирования. Кроме того, эффект линзирования имеет значение в других астрофизических явлениях, например, при изучении проблемы темной материи и наблюдениях реликтового излучения.

Важность эффектов гравитационного линзирования заключается, во-первых, в проверке общей теории относительности, гравитационное линзирование является одним из предсказаний общей теории относительности и интересно с фундаментальной точки зрения. Во-вторых, отклонение света от удаленных объектов дает уникальную возможность изучить как источник, так и объект, выступающий в роли гравитационной линзы. В качестве линзы могут выступать как массивные объекты, так и гравитационные волны [7], [8], [9]. Исследования этого вопроса имеют принципиальное значение, так как гравитационные волны до сих пор не открыты экспериментально. Важным также представляется учет эффектов, связанных с движением фотонов вблизи черной дыры [10], [11], [12], [13], [14], [15].

Стандартная теория гравитационного линзирования разработана для распространения света в вакууме. Гравитационное линзирование в вакууме является ахроматическим, так как угол отклонения фотона не зависит от частоты фотона [4]. Космическая среда заполнена плазмой,, поэтому представляется интересным рассмотреть распространение света и гравитационное линзирование в плазме. В работах, исследующих гравитационное отклонение света в плазме, рассматривались неоднородные среды (см. например [16], [6]). Отклонения вследствие гравитации и неоднородности плазмы рассматривались отдельно,, без учета влияния дисперсии плазмы на распространение света в гравитационном поле. Таким образом, отклонение света складывалось из эйнштейновского гравитационного отклонения и нерелятивистского отклонения траектории вследствие неоднородности среды, которое в однородной среде обращается в нуль. Самосогласованный формализм для рассмотрения геометрической оптики в среде с учетом гравитации был разработан Сингом в [17]. На основе гамильтонова формализма автор вывел уравнения для распространения фотона в произвольной среде с гравитацией. Представляется важным разработать с учетом [17] самосогласованную физико-математическую модель гравитационного линзирования в плазме.

Цель работы

Цели диссертационной работы:

-разработка приближенной феноменологической модели для исследования динамики формирования крупномасштабной структуры Вселенной в темной материи, исследование устойчивости вращающегося сжимающегося однородного трехосного эллипсоида;

-исследование динамического поведения невращающихся несферических конфигураций;

-исследование эффекта гравитационного линзирования на гравитационных волнах, в частности, на волнах, излучающихся в процессе коллапса и образования крупномасштабной структуры Вселенной в темной материи;

-исследование сильного гравитационного линзирования на шварцшильдовской черной дыре;

-разработка физико-математической модели гравитационного линзирования в плазме; исследование гравитационного линзирования в шварцшильдовской метрике в однородной плазме со слабыми неоднородностями.

Научная новизна

Большинство вошедших в диссертацию результатов обладает принципиальной научной новизной.

Построена приближенная модель, описывающая динамику образования крупномасштабной структуры Вселенной в темной материи, образование трехосных эллипсоидов из сфероидов получено в динамике. Для точки неустойчивости сжимающихся сфероидов Маклорена относительно перехода в трехосный эллипсоид найдена простая аналитическая формула.

Впервые показано, что формирование сингулярности в ньютоновских самогравитирующих газовых телах с неустойчивым уравнением состояния имеет вырожденный характер. Впервые получен эффект динамической стабилизации несферических тел относительно неограниченного коллапса.

Впервые отмечено, что при гравитационном линзировании на гравитационной волне происходит смещение траектории фотона. Смещение вычислено аналитически для плоского гравитационно-волнового импульса.

Построена самосогласованная модель гравитационного линзирования в плазме. Впервые показано, что даже в однородной плазме угол отклонения фотона отличается от вакуумного. При этом

угол отклонения зависит от частоты, это приводит к тому, что гравитационная линза, находящаяся в плазме, действует подобно гравитационному радиоспектрометру. Получена формула для угла отклонения при движении фотона в плазме в шварцшильдовской метрике.

Практическая и научная значимость работы

Разработанный приближенный подход для описания динамики образования крупномасштабной структуры Вселенной в темной материи позволяет исследовать различные стороны задачи с помощью аналитических и не затратных по времени численных расчетов и является альтернативой численному моделированию.

Полученные в диссертации результаты существенно расширяют понимание механизмов развития неустойчивости в самогравитирующих структурах, в частности, обнаружен эффект динамической стабилизации несферических тел относительно неограниченного коллапса.

Анализ различных эффектов гравитационного линзирования представляет фундаментальный интерес с точки зрения проверки общей теории относительности и в качестве инструмента по изучению свойств космических объектов.

Разработанная модель гравитационного линзирования в плазме самосогласованно учитывает эффекты преломления и дисперсии света в плазме. Наблюдательное изучение эффекта "гравитационного радиоспектрометра" может позволить получить информацию о среде, через которую распространяется свет, и о гравитационной линзе и ее окружении. Этот эффект был предложен нами для наблюдения в международном проекте "Радиоастрон".

Достоверность полученных результатов

Все положения и выводы диссертации обоснованы, достоверность результатов обеспечивается строгостью используемых методов исследования и адекватностью рассмотренных физических моделей.

Личный вклад автора

Все результаты, полученные в диссертации, получены лично автором под руководством и в соавторстве с научным руководителем.

Апробация результатов

Результаты, вошедшие в диссертацию, докладывались автором и обсуждались на следующих российских и международных конференциях и школах: , ...

1. Студенческая конференция "Исследования космического пространства в интересах фундаментальных наук", 9 апреля 200.4...года, Институт космических исследований РАН, Москва.

2. Международная конференция памяти Гамова, Gamow Memorial International Conference "Astrophysics and Cosmology after Gamow -Theory and Observations", Одесса, Украина, 8-14 августа 2004 года.

3. Студенческая конференция "Исследования космического пространства в интересах фундаментальных наук", 8 апреля 2005 года, Институт космических исследований РАН, Москва.

4. Международная конференция, посвященная 70-летию теоротдела ФИАНа, International Conference on Theoretical Physics, Москва, Физический Институт Академии Наук имени Лебедева, 11-16 апреля 2005 года.

5. 2-я летняя научная школа фонда "Династия", 17-21 июля 2005 года, учебно-методический центр профсоюза АПК, пос. Московский.

6. Гамовская летняя астрономическая школа: "Астрономия на стыке наук - астрофизика, космология, радиоастрономия, астробиопогия", 15 -20 августа 2005 года, Одесса, Черноморка, Украина.

7. Научная сессия МИФИ - 2006, 23-27 января 2006 ода, Москва, Московский инженерно-физический институт (Государственный университет).

8. 23-я конференция "Актуальные проблемы внегалактической астрономии", Пущино, радиоастрономическая обсерватория АКЦ ФИАН, 25-27 апреля 2006 года.

9. 11-я конференция Марсель Гроссман, Eleventh Marcel Grossmann Meeting on General Relativity, Берлин, Германия, 23-29 июля 2006 года.

10. Осенняя Школа по гравитационному линзированию, INAF-COSMOCT Autumn School on Gravitational Lensing, Ачиреале (Катания), Италия, 30 октября - 3 ноября 2006 года.

11. Всероссийская астрофизическая конференция "Астрофизика высоких энергий сегодня и завтра - 2006", Москва, Институт космических исследований РАН, 25-27 декабря 2006 года.

12. Международная конференция "Хаос в астрономии-2007", Chaos in Astronomy 2007, Греция, Афины, 17-20 сентября 2007 года.

13. Всероссийская астрофизическая конференция "Астрофизика высоких энергий сегодня и завтра - 2007", Москва, Институт космических исследований РАН, 24-26 декабря 2007 года.

14. Итоговый астрофизический семинар Отдела физики космической

плазмы (№54) за 2007 г., 26 декабря 2007 года, Институт космических исследований РАН, Москва.

15. Манчестерская конференция по микролинзированию, The Manchester Microiensing Conference: The 12th International Conference and ANGLES Microiensing Workshop, Манчестер, Великобритания, 21-25 января 2008 года.

16. 11-я Международная московская зимняя школа по физике (36-я Зимняя школа ИТЭФ) "Физика элементарных частиц", санаторий 'Отрадное", Московская обл., 8-16 февраля 2008 года.

17. V конференция молодых ученых "Фундаментальные и прикладные космические исследования", посвященная Дню космонавтики, 8-9 апреля 2008 года, Институт космических исследований РАН, Москва.

18. Российская гравитационная конференция - Международная конференция по гравитации, космологии и астрофизике RUSGRAV-13, РУДН, 23-28 июня 2008 года, Москва.

Объэм и структура диссертации

Диссертационная работа состоит из введейия, пяти глав и заключения. Объем диссертаций - 112 страниц. Диссертация содержит 28 рисунков и 62 наименования в списке цитируемой литературы.

Содержание работы

Во Введении обсуждается современное состояние теорий эллипсоидальных самогравитирующих фигур и гравитационного линзирования, обосновывается актуальность работы, охарактеризована ее научная новизна, кратко изложена структура диссертации и сформулированы положения, выносимые на защиту.

В первой главе, состоящей из пяти Параграфов, рассмотрена приближенная динамика формирования крупномасштабной структуры Вселенной в темной материи.

В первом параграфе записана функция Лагранжа трехосного однородного сжимающегося вращающегося эллипсоида и выведены уравнения движения для его осей. Мы рассматриваем трехосный эллипсоид, состоящий из бесстолкновительных йерелятивистских частиц, с полуосями а^Ь^с, и вращающийся однородно вокруг оси г с угловой скоростью О (с массой /п, объёмом V и полным угловым моментом М). Приближенно считаем плотность материи р в эллипсоиде однородной. Во внутренних областях эллипсоида мы

6

предполагаем линейную зависимость скоростей от координат. Гравитационный потенциал однородного эллипсоида определяется как [18]:

U - "г_du_ . ^

8 10 ¡J(a2+u)(b2+u)(c2+u) Этот интеграл при двух равных полуосях берется аналитически, в общем случае трех неравных осей выражается через эллиптические интегралы [19]. Мы рассматриваем однородный эллипсоид с полной тепловой энергией нерелятивистских частиц темной материи E(h~V~2'3~(abc)~213 и соотношением между давлением Р и тепловой энергией Eh в виде Elh=\PV. Для получения уравнений движения мы записываем функцию Лагранжа эллипсоида: = "Ш-ироп Upot=Us + Eth+Urot, иИп=^{а2Н^с2), (2)

F -EihjMnbmcJ2e _ е .. _ 5 М2 т

(abc)2'3 (abc)2'3' г<" 2 m{a2+b2) l J

Энтропия е является константой в консервативном случае, но меняется в присутствии диссипации. Вариацией функции Лагранжа мы получаем уравнения движения для осей эллипсоида.

Во втором параграфе выведены уравнения движения осей эллипсоида с учетом бурной релаксации, получены уравнения, описывающие эволюцию во времени массы, углового момента, энтропии эллипсоида. В случае структур в темной материи мы имеем дело с бесстолкновительными нерелятивистскими частицами,

взаимодействующими только гравитационно. Развитие гравитационной неустойчивости и коллапс в темной материи характеризуются бесстолкновительной релаксацией. Эта релаксация основана на идее о бурной релаксации ("violent relaxation") Линден-Белла [20]. За счет бурной релаксации бесстолкновительная система приходит в стационарное состояние. В данной работе учет диссипации основывается на идеях, предложенных Бисноватым-Коганом [1]. В нашей модели бурная релаксация приводит к превращению кинетической энергии упорядоченного движения в кинетическую энергию хаотического теплового движения и к возрастанию эффективного давления и тепловой энергии. При этом из-за ухода частиц из системы теряются полная энергия, масса, угловой момент. Эти эффекты можно описать приближенно с помощью так называемой объемной вязкости. Вследствие вязкости появляется тормозящая сила, которая может быть учтена феноменологически добавлением соответствующих слагаемых в правые части уравнений движения. Для потерь полной энергии, массы и углового момента эллипсоида записываются феноменологические

уравнения. Также выводится уравнение для возрастающей энтропии.

В третьем параграфе приведены безразмерные уравнения и представлены результаты численных расчетов динамики эллипсоида для различных начальных параметров. Все интегралы в правых частях уравнений движения выражаются через эллиптические [19]. Для эллипсоидов, близких к сфероидам и сфере, сделаны соответствующие разложения, включающие только аналитические выражения. Система уравнений решается численно для различных начальных параметров, вплоть до формирования стационарных вращающихся фигур в присутствии релаксации. Для малого углового момента М мы получаем формирование сплюснутого сфероида, в то время как при большом М мы наблюдаем развитие трехосной неустойчивости и формирование трехосного эллипсоида (рис. 1). Для медленно вращающихся коллапсирующих тел получено развитие неустойчивости, характеризующей системы с чисто радиальными траекториями.

время

Рис. 1. Развитие неустойчивости при большом угловом моменте и формирование стационарной трехосной фигуры. На графике приведены безразмерные величины.

В четвертом параграфе исследованы равновесные конфигурации и устойчивость. Найдена точка неустойчивости сжимающегося сфероида Маклорена относительно перехода в трехосный эллипсоид, в виде уравнения

агссоэА _ А(13-10А2) ,,,

решение которого А- = 0,582724 (е = >Л-с2/а2 =0,81267) определяет точку

8

бифуркации на последовательности сфероидов Маклорена. Для однородного сфероида положение этой точки не зависит от показателя адиабаты. Согласно гипотезе [21], устойчивость изолированной аксиально симметричной системы определяется отношением иго1/{и3\.

Авторы определяют из численных экспериментов критическое значение для различных конфигураций как 0,14+0,03. В статье [22] найдено, что в сжимающихся сфероидах развивается вековая неустойчивость к трехосным деформациям в точке, где иго1/\ие 1=0,1375. Наша формула

дает такой же результат, который также подтверждается нашими численными экспериментами.

В пятом параграфе сформулированы основные результаты этой главы и оценено излучение гравитационных волн в процессе коллапса и образования крупномасштабной структуры Вселенной в темной материи.

Во второй главе, состоящей из пяти параграфов, рассмотрена динамика невращающихся несферических конфигураций.

В первом параграфе записана функция Лагранжа трехосного однородного невращающегося эллипсоида и выведены уравнения движения для его осей. В данной главе мы исследуем стабилизирующий эффект несферичности на коллапс в сингулярность, происходящий в случае сферы. Мы рассматриваем уравнение состояния Р-Крг, с /=4/3. В случае /=4/3 сферическая звезда коллапсирует в сингулярность при достаточно малом А', и мы показываем здесь, как отклонения от сферической формы предотвращают формирование какой-либо сингулярности. Функция Лагранжа эллипсоида записывается аналогично тому, как это делается в главе 1.

Во втором параграфе записаны уравнения движения и гамильтониан для сфероида. Обезразмеривание проведено так, что для сферы равновесие соответствует значению ещ =1.

В третьем параграфе мы приводим результаты численного решения уравнений. Результаты численных расчетов для сферы: £ = 1 - полная энергия равна нулю (# = 0), радиус произволен; е<1 - сфера коллапсирует в сингулярность; г>1 - разрушение звезды с разлетом на бесконечность. Для сфероида же получаем: £ = 0 - слабая сингулярность, образование блина; е>0 - коллапса в сингулярность не происходит: при £>1 полная энергия Я>0 - происходит разлет на бесконечность; при £<1 полная энергия Н<0 - устанавливается колебательный режим, и сфероид динамически стабилизируется относительно коллапса в сингулярность. Причем в зависимости от начальных условий колебания могут быть как регулярными периодическими,так и хаотическими.

В четвертом параграфе дается описание метода сечения Пуанкаре [23], который мы используем для исследования регулярной и хаотической динамики; мы получаем диаграммы Пуанкаре для различных значений полной эйергии Н (рис. 2).

В пятом параграфе приводится обсуждение результатов. Основной вывод, следующий из наших вычислений, состоит в том, что формирование сингулярности в неустойчивых ньютоновских самогравитирующих газовых телах имеет вырожденный характер. Только чисто сферические модели могут коллапсировать в сингулярность, а любой вид несферичности приводит к нелинейной стабилизации коллапса и образованию регулярно или хаотически осциллирующего тела. Этот вывод справедлив для всех неустойчивых уравнений состояния, а именно, для адиабат с у<413. В добавление к случаю 7=4/3 мы рассчитали динамику модели с у=6/5 и получили подобные результаты. В реальности наличие диссипации приводит к затуханию осцилляции и, в итоге, к коллапсу невращающихся моделей, в том случае, когда полная энергия тела отрицательна.

а

Рис. 2. Пример диаграммы Пуанкаре для четырех регулярных и двух хаотических траекторий. На графике отложены безразмерные величины, а - полуось сфероида.

В реальности сфероид в процессе движения становится трехосным эллипсоидом. Качественно мы получаем такие же результаты для расчетов с трехосными фигурами. В рамках общей теории относительности динамическая стабилизация за счет нелинейных несферических осцилляции не может быть универсальной. Когда размер

10

тела достигает гравитационного радиуса, стабилизация невозможна для любого у. Тем не менее, нелинейная стабилизация может,произойти на больших радиусах, так что будет происходить стабилизация коллапса за счет несферичности, и после затухания колебаний звезда сколлапсирует в черную дыру.

В третьей главе, состоящей из четырех параграфов, рассмотрено сильное гравитационное линзирование на шварцшильдовской черной дыре. В первом параграфе приведены основные понятия гравитационного линзирования, выведено уравнение линзирования для точечной линзы, общее уравнение линзирования, вводится понятие усиления. Во втором параграфе выведено выражение для точного угла отклонения фотона при движении в шварцшильдовской метрике, подробно описано сведение выражения для точного угла отклонения, к эллиптическим интегралам. Также рассмотрены предельные случаи: приближения слабого и сильного отклонения. В третьем параграфе исследуются свойства релятивистских колец, возникающих в изображении источника при наличии черной дыры между источником и наблюдателем (рис. 3). Рассчитаны прицельные параметры, угловые размеры и коэффициенты усиления (отношение потоков от изображения линзированного источника к нелинзированному). Численные оценки показывают, что коэффициенты усиления для релятивистских колец много меньше единицы. В четвертом параграфе проведено исследование влияния поля черной дыры на изотропное излучение звезды.

В четвертой главе, состоящей из двух параграфов, рассмотрено гравитационное линзирование на гравитационной волне в вакууме.

В первом параграфе из уравнения геодезической линии выведено выражение для угла отклонения фотона, движущегося в слабом гравитационном поле (ср. с [9], [7]).

Вычислим отклонение фотона плоским гравитационно-волновым импульсом. Рассмотрим световой луч, распространяющийся под углом относительно направления распространения гравитационно-волнового пакета (рис. 4а). Форма гравитационно-волнового импульса -синусоидальная (верхняя часть синусоиды, с фазой, меняющейся от О до к, и с нулевыми возмущениями на границах). Полный угол отклонения оказывается равным нулю. Мы также рассмотрели несимметричные плоские волновые формы и получили численно, что обращение в нуль угла отклонения происходит и в этом случае. Во втором параграфе показано, что, несмотря на равенство нулю угла отклонения, происходит смещение всей траектории фотона. Смещение

луча при прохождении через гравитационно-волновои пакет вычисляется аналитически и оказывается равным:

. , 5 sin-' в /с>

&v = -h--s-, (5)

•T(|+cos0)2

где h - амплитуда гравитационно-волнового импульса, S - его пространственная ширина.

релятивистские кольца

Рис. 3. Кольцо Эйнштейна и релятивистские кольца.

Наблюдательный' эффект, вызываемый таким смещением луча, -смещение углового положения источника (рис. 46):

<6>

где £>у - расстояние между источником и наблюдателем. Оценим изменение углового положения для гравитационно-волновых импульсов, образующихся в процессе формирования крупномасштабной структуры

Вселенной в темной материи (см. главу 1). Для оценок мы берем Гп, д=\ Мпк, £>Л. = 100 Мпк, тогда получаем, что Да, £ 2-Ю"8 угл.с.

а)

к \2а

б)

ФФ

I Источник

у .-"""лД- х, X'), Ау| ^^ V

2. \0| ^ I,

0<

Наблюдатель

Рис. 4. Гравитационное линзирование на гравитационной волне: а) прохождение фотона через гравитационную волну. Положения гравитационно-волнового пакета в момент входа и выхода фотона показаны сплошной и пунктирной линиями соответственно; б) наблюдательный эффект смещения в траектории фотона.

В пятой главе, состоящей из трех параграфов, рассмотрено гравитационное линзирование в плазме.

В первом параграфе выводится выражение для угла отклонения фотона в слабом гравитационном поле в неоднородной плазме.

Рассмотрим статическое пространство-время, предполагая малое возмущение !г-к плоской метрики, и в этом гравитационном поле

статическую неоднородную плазму с показателем преломления п. Этот показатель определяется пространственным положением ха и частотой фотона со{ха), которая зависит от пространственных координат вследствие наличия гравитационного поля (гравитационное красное смещение):

_ 4жсгМ(ха) г> Щ ~

[с^ха)]г' - т

Мы обозначаем = е

(7)

заряд электрона, т - масса электрона,

М(ха) - концентрация электронов в неоднородной плазме, соа -

электронная плазменная частота. Предположим, что

Ы(ха) = Щ + Их{ха), Л^согШ, /У,(°°) = 0. (8)

Здесь ТУ, предполагается малым по сравнению с NQ.

Геометрическая оптика в среде в искривленном пространстве-

времени была исследована в [17], где получено, что в статическом случае соотношение между фазовой скоростью и, 4-импульсом фотона р', записанное с использованием показателя преломления среды п, п = с/и (с - скорость света в вакууме), имеет вид (уравнение среды):

(9)

[ео^

Траектории фотона в присутствии гравитационного поля могут быть найдены с помощью вариационного принципа [17]

к

= 0, (10)

с дополнительным ограничением (9).

Рассмотрим фотон, движущийся искривленном пространстве-времени в плазме с показателем преломления (7). Интегрируя уравнения для 4-импульса фотона, получаем выражение для угла отклонения.

Во втором параграфе исследуются различные частные случаи.

В однородной среде без дисперсии, с показателем преломления п=со№1> 1, не зависящим от частоты а>, мы получаем, что постоянный показатель преломления сокращается, и траектория фотона - такая же, как и в вакууме в присутствии гравитационного поля, несмотря на то, что скорость распространения света в веществе ниже.

В однородной плазме в слабом, шварцшильдовском поле мы получаем для угла отклонения - шварцшильдовский радиус, Ь -

прицельный параметр фотона):

-

а=-г-

14-- 1

(11)

1-ей/®2 с *

Таким образом, впервые показано, что даже в однородной плазме угол отклонения фотона отличается от вакуумного и при этом зависит от частоты фотона.

• Рассмотрим слабо неоднородную плазму в Щварцшильдовском гравитационном поле в случае, когда концентрация плазмы на бесконечности Л<\°°)=0. Неоднородность плазмы мы считаем малой (отклонения показателя преломления от единицы малы). В таком приближении мы получаем отдельное рассмотрение эффектов гравитационного отклонения в вакууме и отклонения за счет неоднородности среды. Подобный случай неоднородной плазмы в шварцшильдовской метрике был рассмотрен в [24], [16], [6].

В третьем параграфе подробно обсуждается эффект зависимости угла- отклонения фотона в гравитационном попе в однородной плазме от частоты фотона (11). Это выражение переходит в угол отклонения для

вакуума 2Я$1Ь при Для более низких частот угол отклонения

может быть много больше, чем в вакууме. Такой эффект существен только для фотонов с радиочастотами, таким образом, гравитационная линза в плазме действует как гравитационный радиоспектрометр. Световые сигналы распространяются с групповой скоростью; меньшей групповой скорости (меньшей частоте и большей длине волны) соответствует больший угол отклонения.

Рис. 5. Цитирование точечного источника шварцшильдовской гравитационной линзой в однородной плазме. Вместо двух точечных изображений (линзирование в вакууме) мы получаем две полосы-изображения. Пары изображений, соответствующих одной и той же частоте, обозначены одинаковыми номерами. Два изображения с номерами 1 соответствуют линзированию в вакууме.

Наблюдательный эффект частотной зависимости можно легко объяснить на примере линзирования на шварцшильдовской точечной линзе. Зависимость угла отклонения от частоты плазмы приводит к тому, что вместо двух сосредоточенных изображений со сложным спектром мы будем наблюдать изображения в виде двух линий, образованных фотонами с различными частотами, которые отклоняются

на разные углы (рис.5).

Характерное угловое расстояние между изображениями источника зависит от закона линзирования. Различие в характерном угловом расстоянии а0 между изображениями (между случаями вакуума и

плазмы)-задается выражением:

^ = 2-10^, (12)

а0 V2

гдё V —э'го частбта фотона (Гц), <у=2лу.

Зффе;ст предложен для наблюдения в международном проекте "Радиоатгрон" (АКЦ ФИАН). Для изображений квазаров характерное угловое расстояние - порядка 1 угл. с. Для наименьшей частоты "Радиоастрона" V = 327 106 Гц угловое различие между вакуумным и плазменным случаями порядка 1(Г5 угл. с. (для квазаров) будет при концентрации плазмы Л^, = 50 ООО см~3.

Усиление зависит от угла отклонения луча. Поэтому различные изображения могут иметь различный спектр в радио диапазоне, когда лучи распространяются через области с различной плазменной частотой. Таким образом, наблюдательные следствия эффекта частотной зависимости (11) следующие: 1) спектры точечных изображений могут отличаться в области длинных волн, 2) протяженные объекты могут иметь различный спектр вдоль изображения.

В заключении сформулированы основные результаты и выводы диссертационной работы.

Основные результаты и выводы

. 1. Исследована приближенная динамика формирования крупномасштабной структуры Вселенной в темной материи. Развита физико-математическая модель для коллапса однородного вращающегося сжимающегося трехосного эллипсоида. Получены уравнения движения для его осей, в которых бурная релаксация и потери массы, энергии и углового момента учитываются феноменологически. Система уравнений решена численно, вплоть до формирования стационарных вращающихся фигур в случае релаксации. Получено, что при малом угловом моменте формируется сплюснутый сфероид, в то время как при больших моментах происходит развитие трехосной неустойчивости и формирование трехосного эллипсоида. Точка неустойчивости сжимающихся сфероидов Маклорена относительно перехода в трехосный эллипсоид найдена аналитически в виде простой формулы, численное и аналитическое рассмотрение

приводят к одинаковым результатам.

2. Исследована ньютоновская динамика самогравитиру ющего невращающегося сфероидального объекта после потери устойчивости. Показано, что формирование сингулярности в ньютоновских самогравитирующих газовых телах с неустойчивым уравнением состояния имеет вырожденный характер: только чисто сферические модели могут коллапсировать в сингулярность, любое отклонение от сферической симметрии останавливает сжатие за счет стабилизирующего действия нелинейных несферических колебаний (как регулярных, так и хаотических). В реальности присутствие диссипации ведет к затуханию таких колебаний, и в итоге, к коллапсу невращающихся объектов, в случае когда полная энергия тела отрицательна. Детальный анализ нелинейных колебаний выполнен с использованием диаграмм Пуанкаре.

3. Изучено сильное гравитационное линзирование на Шварцшильдовской черной дыре. Исследованы свойства релятивистских колец, возникающих в изображении источника, при наличии черной дыры между источником и наблюдателем. Рассчитаны прицельные параметры, а также расстояния минимального сближения лучей, образующих релятивистские кольца, их угловые размеры и коэффициенты "усиления", которые оказываются много меньше единицы.

4. Исследовано гравитационное линзирование на гравитационной волне. Показано, что, хотя начальное и конечное направления фотонов совпадают, происходит сдвиг между начальной и конечной траекториями. Это смещение вычислено аналитически для плоского гравитационно-волнового импульса. Сделаны оценки для наблюдательного эффекта линзирования на очень длинных волнах, излучающихся в процессе формирования крупномасштабной структуры Вселенной в темной материи.

5. Развита физико-математическая модель гравитационного линзирования в плазме. Выведены выражения для угла отклонения фотона в плазме. Получено, что если гравитационная линза окружена плазмой, то траектория фотона зависит от его частоты вследствие дисперсии плазмы. Показано, что даже в однородной плазме угол линзирования зависит от частоты фотона, это приводит к тому, что гравитационная линза действует подобно гравитационному радиоспектрометру. Получена аналитическая формула для угла отклонения в случае линзирования в шварцшильдовской метрике в плазме. Обсуждаются возможные наблюдательные эффекты, наиболее сильно проявляющиеся для частот, близких к плазменной, что соответствует очень длинным радиоволнам.

Основные' результаты работы опубликованы в 9 статьях, из них: 5 статей в журналах, рекомендованных ВАК, 1 статья - в рецензируемом журнале и 3 статьи - в трудах международных конференций. Результаты работы представлены также в 11 тезисах докладов российских и международных конференций.

Публикации

1. Bisnovatyi-Kogan G.S., Tsupko O.Yu. Approximate dynamics of dark matter ellipsoids II Monthly Notices of the Royal Astronomical Society. 2005. V.364. P.833,

2. Bisnovatyi-Kogan G.S., Tsupko O.Yu. A simplified model of the formation of structures in dark matter // Astronomical and Astrophysical Transactions. 2005. V.24. N.5. P.377.

3. Bisnovatyi-Kogan G.S., Tsupko O.Yu. Strong gravitational lensing by Schwarzschild black holes // Astrophysics. 2008. V.51. Issue 1. P.99.

4. Bisnovatyi-Kogan G.S., Tsupko O.Yu. Gravitational lensing by gravitational waves II Gravitation and Cosmology. 2008. V.14. N.3. P.226.

5. Bisnovatyi-Kogan G.S., Tsupko O.Yu. Dynamic stabilization of non-spherical bodies against unlimited collapse II Monthly Notices of the Royal Astronomical Society. 2008. V.386. P. 1398.

6. Bisnovatyi-Kogan G.S., Tsupko O.Yu. Approximate Dynamics of Dark Matter Ellipsoids II In: Proceedings of the Eleventh Marcel Grossmann Meeting on General Relativity I Ed. by H. Kleinert, R.T. Jantzen and R. Ruffini, World Scientific, Singapore, 2008. P.2331.

7. Bisnovatyi-Kogan G.S., Tsupko O.Yu. Gravitational lensing by gravitational wave pulse // In: Proceedings of the Manchester .Microlensing Conference: The 12th International Conference and ANGLES Microlensing Workshop I Eds. by E. Kerins, S. Mao, N. Rattenbury and L. Wyrzykowski, SISSA, Proceedings of Science, 2008. P.63 (http://pos.sissa.it//archive/conferences/054/063/GMC8_063.pdf).

8. Bisnovatyi-Kogan G.S., Tsupko O.Yu. The Dynamics of Non-Symmetrically Collapsing Stars II In: G. Contopoulos, P.A. Patsis, Chaos in Astronomy, Astrophysics and Space Science Proceedings, Springer, Berlin Heidelberg, 2009. P.461.

9. Bisnovatyi-Kogan G.S., Tsupko O.Yu. Gravitational radiospectrometer // Gravitation and Cosmology. 2009. V.15. N.1. P.20.

Литература

1. Bisnovatyi-Kogan G.S. A simplified model of the formation of structures in dark matter and a background of very long gravitational waves // Mon. Not. R. Astron. Soc. 2004. V.347. P.163.

2. Chandrasekhar S. Ellipsoidal Figures of Equilibrium, Yale University Press, New Haven and London, 1969.

3. Зельдович Я.Б. Распад однородного вещества на части под действием тяготения II Астрофизика. 1970. Т.6. С.319.

4. Schneider P., Ehlers J., Falco Е. Gravitational lensing. Springer-Verlag, Berlin, 1992.

5. Schneider P., Kochanek C., Wambsganss J. Gravitational Lensing: Strong, Weak and Micro // Saas-Fee Advanced Course 33, Swiss Society for Astrophysics and Astronomy Series: Saas-Fee Advanced Courses, Number 33, Berlin, Springer, 2006.

6. Блиох П.В., Минаков А.А.. Гравитационные линзы. Киев: Наукова Думка, 1989.

7. Faraoni V. Nonstationary gravitational lenses and Fermat principle II Astrophys. J. 1992. V.398. P.425.

8. Braginsky V.B., Kardashev N.S., Polnarev A.G., Novikov I.D. Propagation of electromagnetic radiation in a random field of gravitational waves and space radio interferometry // Nuovo Cimento B. 1990. V.105. P.1141.

9. Damour Т., Esposito-Farese G. Light deflection by gravitational waves from localized sources // Phys. Rev. D. 1998. V.58. P.042001.

10. Darwin C. The Gravity Field of a Particle // Proceedings of the Royal Society of London, Series A, Mathematical and Physical Sciences. 1959. V.249 (1257). P.180.

11. Virbhadra K.S., Ellis G.F.R. Schwarzschild black hole lensing // Phys. Rev. D 2000. V.62 P.084003.

12. Bozza V., Capozziello S., lovane G„ Scarpetta G. Strong Field Limit of Black Hole Gravitational Lensing // General Relativity and Gravitation. 2001. V.33. P.1535.

13. Bozza V. Gravitational lensing in the strong field limit II Phys. Rev. D. 2002. V.66. P. 103001.

14. Bozza V., Sereno M. Weakly perturbed Schwarzschild lens in the strong deflection limit// Phys. Rev. D. 2006. V.73. P.103004.

15. Misner C.W., Thome K.S., Wheeier J.A. Gravitation, Freeman, New York, 1973.

16. Muhleman D.O., Ekers R.D., Fomalont E.B. Radio interferometric test of the general relativistic light bending near the Sun II Phys. Rev. Lett. 1970. V.24, N.24, P. 1377.

17. Synge J.L. Relativity: the General Theory. North-Holland Publishing

Company, Amsterdam, 1960.

18. Ландау Л.Д., Лифщиц Е.М. Теория поля. М.: Наука, 1962.

19. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм и произведений. М.: Наука, 1971.

20. Lynden-Bell D. Statistical mechanics of violent relaxation in stellar system II Mori. Not. R. Astron. Soc. 1967. V.136. P.101.

21. Ostriker J.P., Peebles P.J.E. A numerical study of the stability of flattened galaxies: or, can cold galaxies survive? //Astrophys. J. 1973. V.186. P.467.

22. Shapiro S.L. The secular bar-mode instability in rapidly rotating stars revisited // Astrophys. J. 2004. V.613. P.1213.

23. Lichtenberg A.J., Lieberman M.A. Regular and Stochastic Motion, Springer-Verlag, New York, 1983.

24. Muhleman D.O., Johnston I.D., Radio propagation in the solar gravitational field II Phys. Rev. Lett. 1966. V.17. N.8. P.455.

055(02)2 Ротапринт ИКИ PAH

Москва, 117997, Профсоюзная 84/32

Подписано к печати 25.02.09

Заказ,2176

Формат 70x108/32 Тираж 100

0,9 уч.-изд. л.

Введение

Образование крупномасштабной структуры Вселенной в темной материи

Эффекты гравитационного линзирования.

Основное содержание диссертации

Основные положения диссертации, выносимые на защиту.

1 Приближенная динамика формирования крупномасштабной структуры Вселенной в темной материи

1.1 Уравнения движения однородного вращающегося трехосного эллипсоида

1.2 Уравнения движения с учетом диссипации.

1.3 Безразмерные уравнения и численные результаты

1.4 Равновесные конфигурации и устойчивость.

1.5 Обсуждение результатов.

2 Динамика невращающихся несферических конфигураций

2.1 Уравнения движения.

2.2 Безразмерные уравнения.

2.3 Стабилизация несферических тел относительно неограниченного коллапса

2.4 Регулярные и хаотические колебания, сечение Пуанкаре.

2.5 Обсуждение результатов.

3 Сильное линзирование на Шварцшильдовской черной дыре

3.1 Основные понятия теории гравитационного линзирования.

3.2 Точное выражение для угла отклонения.

3.3 Множественные кольца вокруг черной дыры.

3.4 Диаграмма излучения точечного источника, расположенного вблизи черной дыры.

4 Гравитационное линзирование на гравитационной волне

4.1 Угол отклонения фотона на гравитационной волне.

4.2 Смещение фотона и его наблюдательные эффекты.

5 Гравитационное линзирование в плазме

5.1 Распространение света в неоднородной плазме в слабом гравитационном поле.

5.2 Различные частные случаи для угла отклонения фотона.

5.2.1 Вакуум и однородная среда без дисперсии в присутствии гравитации

5.2.2 Однородная плазма в слабом шварцшильдовском гравитационном поле

5.2.3 Слабо неоднородная плазма в слабом шварцшильдовском гравитационном поле

5.3 Гравитационный радиоспектрометр.

Диссертация посвящена исследованию динамики образования несферических гра-витирующих объектов, в частности приближенным методам изучения формирования крупномасштабной структуры Вселенной в темной материи и образования очень длинных гравитационных волн, и гравитационному линзированию на таких волнах, а также другим эффектам гравитационного линзирования, важным при распространении света в космическом пространстве.

Образование крупномасштабной структуры Вселенной в темной материи

Согласно современным космологическим представлениям основную долю вещества во Вселенной составляет так называемая темная материя. В настоящее время природа темной материи остается невыясненной, несмотря на многочисленные теоретические п экспериментальные исследования. Темная материя проявляет себя посредством гравитационного взаимодействия с окружающими объектами. Существование темной материи устанавливается на основе различных наблюдательных данных: наблюдение за движением галактик в скоплениях, исследование кривых вращения галактик, эффекты гравитационного линзирования, и на основе флуктуаций реликтового излучения.

При исследовании формирования крупномасштабной структуры Вселенной в темной материи часто используется численное моделирование на основе решения .уравнений гидродинамики и уравнений движения большого числа частиц в собственном гравитационном поле. Такое численное моделирование занимает большое количество времени, поэтому представляется важным разработать упрощенный подход. Упрощенный феноменологический подход, основанный на рассмотрении эллипсоидальных фигур, может позволить исследовать и сравнить различные варианты задачи, при этом появляется возможность увидеть некоторые особенности проблемы, которые не выявляются в процессе длительной численной работы [1].

Теория равновесных эллипсоидальных фигур разрабатывалась многими исследователями (Ньютон, Маклорен, Якоби, Пуанкаре, Чандрасекхар). Последовательное изложение теории приведено в классической книге Чандрасекхара [2]. В ней на основе вириального метода исследованы различные типы самогравнтнрующих эллипсоидов. Рассмотрены случаи идеальной и вязкой жидкостей, динамическая и вековая неустойчивости эллипсоидов из несжимаемой жидкости. В частности, найдены точки динамической и вековой неустойчивости сфероида Маклорена относительно его превращения в эллипсоид Якобп. В работах [3], [4] вириальный метод был применен для вращающихся самогравитирующих газовых сфероидов без давления, был получен рост аксиально несимметричных возмущений в процессе коллапса. Численные исследования коллапсирующих сфероидов без давления были выполнены в [3] и [5]. Динамика невращающейся сферы в двух измерениях была рассмотрена в [6]. Подробный обзор этой тематики сделан в статье [7].

Современные исследования вращающихся фигур связаны, во-первых, с быстро вращающимися звездами, во-вторых, с крупномасштабной структурой Вселенной. Детальное описание эллипсоидальной модели вращающихся звезд можно найти в работах-^], [9], [10]. Р1спользуя вариационный ирипцпп, авторы вывели и исследовали уравнения эволюции сжимающегося Риман-С эллипсоида, с учетом вязкой диссипации и гравитационного излучения. Решения этих приближенных уравнений позволяют получать равновесные модели и исследовать их динамическую и вековую устойчивость. В статье [11] с использованием этих результатов была исследована вековая неустойчивость, вызываемая вязкой диссипацией, и найдена точка неустойчивости сжимающегося сфероида Маклорена.

Современная теория крупномасштабной структуры основывается на идеях Зельдовича [12] о формировании существенно несферических фигур ("блины Зельдовича") в результате развития гравитационной неустойчивости. Численные эксперименты, начатые в [13], были проведены впоследствии многими группами и выявили сложные структуры рождающихся объектов (см., например, [14]).

В статье Бисноватого-Когана [1] был развит приближенный подход к образованию крупномасштабной структуры Вселенной в темной материи. Были выведены и решены уравнения для упрощенной модели динамического поведения сжимающегося вращающегося сфероида, в котором движение вдоль осей происходит в общем гравптационном поле однородного сфероида и под действием изотропного давления. Подобный подход для исследования движения невращающегося пьтлевого сфероида с нулевым давлением был использован в работе [5]. Зельдович [15] рассматривал динамику вращающегося пылевого эллипсоида с линейной зависимостью скоростей от координат, в этом случае задача решается точно.

В случае структур в темной материи мы имеем дело с бесстолкновительпыми нерелятивистскими частицами, взаимодействующими только гравитационно. Развитие гравитационной неустойчивости и коллапс в темной материи характеризуются бесстолкновительной релаксацией. Эта релаксация основана на идее о бурной релаксации ("violent relaxation") Линден-Белла [16]. Численные исследования подобно]! релаксации, основанные на решении уравнений движения большого числа частиц в собственном гравитационном поле, выполнены, например, в работах [17], [18], [19]. В результате невзаимодействия частиц в темной материи сильное сжатие не приводит к образованию ударной волны и дополнительным потерям энергии вследствие излучения. Все потери связаны с уходящими частицами, и релаксация состоит только в перемешивании фаз, которое приводит к превращению кинетической энергии упорядоченного движения (коллапса) в кинетическую энергию хаотического движения и созданию эффективного давления и тепловой энергии. В присутствии хаотического движения блин, формирующийся в процессе коллапса, имеет конечную минимальную толщину, так как частицы пересекают экваториальную плоскость неодновременно. Формируется эффективное давление, которое останавливает сжатие. Эти эффекты могут быть описаны приближенно в феноменологическом подходе, в котором нет ударных волн и основной процесс переноса состоит в эффективной объемной вязкости, ведущей к релаксации и затуханию упорядоченного движения [1].

В работе [1] была выведена система обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающая динамическое поведение сжимающегося сфероида, где релаксация и потери масс, углового момента и энергии принимаются во внимание феноменологически. В отсутствие какой-либо диссипации эти уравнения описывают самосогласованную систему, где действуют гравитационная сила и сила теплового давления. Равновесное решение этих уравнений описывает сфероид Маклорена, где плотность не задается, а находится самосогласованно, если известна эффективная энтропия.

В данной работе мы выводим и решаем уравнения динамического поведения в простой модели сжимающегося, однородно вращающегося эллипсоида. Мы получаем уравнения для осей с помощью вариации функции Лагранжа эллипсоида. Корректное описание эффектов давления, достигаемое такие подходом, и добавление релаксации позволяют нам получать динамику движения без каких-либо численных сингулярно-стей. В этой модели движение вдоль осей происходит в общем гравитационном поле однородного эллипсоида и под действием изотропного теплового давления, принимаемого во внимание в приближенном недифференцпалыюм виде. Релаксация ведет к превращению кинетической энергии упорядоченного движения в кинетическую энергию хаотического движения и увеличивает эффективное давление и тепловую энергию. Все потери связаны с уходом частиц из системы. Коллапс вращающегося трехосного эллипсоида аппроксимируется системой обыкновенных дифференциальных уравнений, где релаксация и потери энергии, массы и углового момента приняты во внимание феноменологически. Система решается численно для различных начальных параметров, характеризующих конфигурацию. Подход в данной работе близок к статье Бисноватого-Когаиа [1], где рассматриваются только сфероиды (а = Ь ^ с) из темной материи (в этом случае мы имеем аналитические формулы для гравитационного потенциала и сил). В описании бурной релаксации и различных видов потерь мы используем подход, аналогичный [1]. В этой работе мы также находим точку вековой неустойчивости сжимающегося сфероида Маклорена, используя выведенные динамические уравнения, а также из анализа равновесных конфигураций. Для этой точки получена простая аналитическая формула.

Применение подобного формализма также дает возможность исследовать динамическую устойчивость ньютоновских газовых самогравитирующих объектов, в случае отклонения от сферического приближения. Запись уравнений движения для осей однородного невращающегося несферического тела и расчет коллапса позволяют расширить понимание динамики и получить качественно новые эффекты, связанные с несферичностью.

Динамическая устойчивость сферических звезд определяется средним показателем адиабаты 7 = Для распределения плотности р = р01р(т/М), звезда в ньютоновской гравитации устойчива относительно динамического коллапса, если

20], [21]. Этот приближенный критерий становится точным для адиабатических звезд с постоянным 7. Здесь ро — центральная плотность, М - масса звезды, т - масса внутри Лагранжевого радиуса г, так что т = 4тг /0Г рг2¿г, М = т(В), В - радиус звезды. Таким образом, сферическая звезда устойчива относительно коллапса в сингулярность, только если 7 > 4/3. Коллапс сферической звезды может быть остановлен только если уравнение состояния становится более жестким, например, при образовании нейтронной звезды на поздних стадиях эволюции, или при формировании полностью ионизованного звездного ядра с 7 = 5/3 при коллапсе облака в течение образования звезды. Если уравнение состояния не становится более жестким, то сферическая звезда в ньютоновской теории сколлапсирует в точку с бесконечной плотностью (сингулярность).

В присутствии вращения звезда становится более динамически устойчивой относительно коллапса. Вследствие более быстрого возрастания центробежной силы в течение сжатия по сравнению с ньютоновской гравитационной силой, коллапс вращающейся звезды всегда останавливается на конечной плотности центробежными силами. В этой работе, с использованием формализма, развитого для динамики эллипсоидов, мы показываем, что отклонения от сферической симметрии у невращающихся звезд с нулевым угловым моментом приводят к подобной стабилизации, и несферическая звезда без диссипативных процессов никогда не достигнет сингулярности. Таким образом, коллапс, происходящий в реальности, связан с различными типами диссипации.

Мы рассчитываем динамическое поведение несферической невращающейся звезды после потери устойчивости и исследуем нелинейные стадии сжатия. Мы используем приближенную систему динамических уравнений, описывающих три степени свободы однородного самогравнтирующего сжимающегося эллипсоидального тела. Мы получаем, что развитие неустойчивости ведет к формированию регулярно или хаотически осциллирующего тела, в котором динамическое движение предотвращает формирование сингулярности. Мы находим области хаотических и регулярных пульсации с помощью построения диаграмм Пуанкаре для различных значений начального эксцентриситета и начальной энтропии. Для простоты мы ограничиваемся расчетом только сфероидальных фигур с 7 = 4/3, и только кратко обсуждаем результаты для 7 = 6/5. Также мы качественно обсуждаем эффекты общей теории относительности на несфе-рпческий коллапс невращающихся тел.

В работе [1] было оценено излучение гравитационных волн в процессе коллапса и образования крупномасштабной структуры Вселенной в темной материи. Также в [1] указано, что одним из наблюдательных эффектов, связанных с динамикой образования крупномасштабной структуры Вселенной, может выступать гравитационное лннзирование: как на самих объектах, так и на гравитационных волнах, излучающихся при их образовании.

Эффекты гравитационного линзирования

Гравитационное линзирование является одной из наиболее активно развивающихся областей современной астрофизики [22], [23], [24]. С одной стороны, это разработка теоретических аспектов гравитационного линзирования, построение теоретических моделей, численное моделирование линзирующих объектов, с другой. - поиски и изучение новых наблюдательных примеров (кратные изображения, дуги), исследования эффектов мнкролинзирования. Кроме того, эффект линзирования имеет значение в других астрофизических явлениях, например, при изучении проблемы темной материи и наблюдениях реликтового излучения.

Важность эффектов гравитационного линзирования заключается, во-первых, в проверке общей теории относительности, гравитационное линзирование является одним из предсказаний общей теории относительности и интересно с фундаментальной-точки зрения. Во-вторых, отклонение света от удаленных объектов дает уникальную возможность изучить как источник, так и объект, выступающий в роли гравитационной линзы.

Согласно общей теории относительности, любое гравитационное поле может менять траекторию фотонов или, иными словами, отклонять лучи света. Таким образом, гравитационное поле может действовать как, гравитационная линза: Общая теория относительности предсказывает, что луч света, проходящий около сферического тела массы М с прицельным параметром отклоняется на "угол Эйнштейна":

4СМ 2Из при условии, что £ много больше Шварцшильдовского радиуса Яд: = (2)

О)

В теории гравитационного линзирования [22], [23], [24] одним из основных приближений является приближение слабого линзирования, то есть малых углов отклонения. В случае Шварцшильдовского линзирования на точечной массе это приближение означает, что прицельные параметры для налетающих фотонов много больше Шварцшильдовского радиуса линзирующей системы. В этом случае траектория фотона представляет собой почти прямую линию со слабым отклонением на угол Эйнштейна. В большинстве астрофизических ситуаций, связанных с гравитационным лиизированием, условие слабого линзирования хорошо выполняется и им можно.ограничиться. Большая часть как теоретических, так и наблюдательных исследований в гравитационном линзировании основано на применении угла Эйнштейна для отклонения света, когда линза представляется как совокупность точечных масс. Приближение слабого линзирования позволяет аналитически рассчитывать угловые положения и коэффициенты усиления для изображений источника как для случая точечной линзы, так и для целого ряда других случаев и моделей [22]. В численном моделировании также в большинстве случаев используется такое приближение. В некоторых случаях интересно, однако, рассмотреть эффекты, связанные с сильным лиизированием и большими углами отклонения. Некоторые эффекты, связанные с учетом движения фотонов вблизи гравитационного радиуса черной дыры, рассматривались в работах [25], [26]. Точное выражение для угла отклонения фотона при движении в метрике Шварцшильда можно получить из уравнений, определяющих орбиту фотона. Это выражение сводится к эллиптическим интегралам первого рода [27], [28].

Фотоны, испытавшие слабое отклонение на линзирующем объекте, меняют наблюдаемое положение источника, его форму, образуют два или более изображения источника. В простейшем случае точечной линзы наблюдатель будет вместо одного источника видеть два его изображения по разные стороны от линзы (если источник, линза и наблюдатель не находятся на одной прямой). Кроме изображений источника, образованных фотонами, испытавшими слабое отклонение, возможно формирование изображений фотонами, совершившими один или более оборотов вокруг черной дыры (углы отклонения близки к 2тг, 4тг и так далее). Изображения источника, образованные такими фотонами, называют релятивистскими [29], [30]. Таким образом, если линза представляет собой шварцшильдовскую точечную линзу, будут наблюдаться два изображения источника (слабое отклонение) и две бесконечные последовательности релятивистских изображений по разные стороны от линзы. Отклонение фотона на углы 2тг и большие происходит при значениях прицельного параметра, близких к критическому. В работах [27], [30], [31] было выведено в явном виде аналитическое выражение для угла отклонения в шварцшильдовской метрике в пределе сильного отклонения. Таким образом, для описания релятивистских изображений можно использовать, кроме точного выражения для угла отклонения [29], выражение в пределе сильного поля [27], [30], см. также [32].

В настоящей работе исследуются свойства релятивистских колец, которые возникают в изображении источника в случае, когда источник, линза и наблюдатель находятся на одной прямой. Кроме того, исследуются эффекты сильного искажения изотропного излучения звезды вследствие влияния гравитационного поля черной дыры.

В качестве гравитационных линз могут выступать не только массивные объекты, но и гравитационные волны. Изучение линзирования на гравитационных волнах представляет интерес, прежде всего, с фундаментальной точки зрения, так как гравитационные волны до сих пор не открыты экспериментально. Для их прямого обнаружения проводятся и планируются многочисленные эксперименты (LIGO, VIRGO, LISA и другие). Гравитационное линзирование на гравитационных волнах в различных случаях рассматривалось многими авторами ([33], [34], [35], [36], [37], [38] и ссылки в этих работах). Недавно было показано, что угол отклонения обращается в ноль для любого локализованного гравитационно-волнового пакета вследствие поперечно-сти гравитационных волн [38]. Таким образом, если фотон проходит через конечный гравитационно-волновой импульс, его отклонение вследствие этой волны равно нулю. Тем не менее мы отмечаем, что может происходить смещение в траектории фотона до и после прохождения волны.

В этой работе мы подтверждаем аналитически обращение в ноль угла отклонения для плоских волновых импульсов. Однако, мы находим, что гравитационная волна влияет на распространение фотона другим образом, сдвигая всю траекторию целиком после прохождения гравитационной волны. Это смещение найдено аналитически для фотона, прошедшего через плоскую гравитационную волну. На основе этого результата мы получаем приближенную формулу для оценки наблюдательных эффектов. Мы оцениваем наблюдательный эффект такого линзирования для очень длинных гравитационных волн, излучающихся в процессе коллапса и образования крупномасштабной структуры Вселенной в темной материи.

Стандартная теория гравитационного линзирования разработана для распространения света в вакууме. Гравитационное линзирование в вакууме является ахроматическим, так как угол отклонения фотона не зависит от частоты фотона [22], [23]. Космическая среда заполнена плазмой, поэтому представляется интересным рассмотреть распространение света в плазме и гравитационное линзирование в плазме.

Распространение лучей света в среде в присутствии гравитации рассматривалось многими авторами ([39], [40], [41], [24] и ссылки в этих работах). Известно, что в неоднородной среде (без гравитации) лучи света двигаются по криволинейным траекториям. В работах, исследующих гравитационное отклонение света в плазме, рассматривались неоднородные среды. Отклонение за счет гравитации и оклонеппе за счет неоднородности плазмы рассматривались отдельно, без учета влияния дисперсивных свойств плазмы на распространение света в гравитационном поле. Таким образом, отклонение света складывалось из эйнштейновского гравитационного отклонения (вакуумного) и нерелятивистского отклонения траектории за счет неоднородности среды, которое в однородной среде обращается в ноль. В работах [39], [40] было рассмотрено распространение радиолучей вблизи Солнца, с учетом неоднородной плазмы (см. также [42]). В книге [24] авторы подробно рассматривают гравитационное линзирование в неоднородной плазме и выводят угол отклонения, состоящий из эйнштейновского угла отклонения и угла отклонения вследствие неоднородности плазмы, плотность которой задается убывающим степенным законом с произвольным показателем степени. Вычисления угла отклонения в неоднородной плазме со степенным распределением плотности можно найти также в [43].

Самосогласованный формализм для рассмотрения геометрической оптики в среде с гравитацией был разработан в книге [44]. На основе гамильтонова формализма автор вывел уравнения для распространения фотона в произвольной среде с гравитацией. Уравнения [44] показывают, что учет дисперсии среды при наличии гравитации имеет принципиальное значение, так как частота фотона меняется при движении в гравитационном поле (гравитационное красное смещение).

В данной работе мы рассматриваем гравитационное линзирование в плазме. Плазма является диспергирующей средой, где показатель преломления зависит от частоты фотона. Поэтому в плазме фотоны с различными частотами двигаются с различными скоростями, а именно фотоны с меньшими частотами (или большими длинами волн) двигаются с меньшей групповой скоростью светового сигнала.

На основе уравнений [44] мы выводим общие уравнения для распространения фотона в неоднородной плазме при наличии слабого гравитационного поля, а также выражение для угла отклонения фотона. В частных случаях, полученные выражения приводят как к углу Эйнштейна, так и к выражению для угла отклонения в неоднородной плазмы. Используемый подход позволяет также получить, в частности, известные уравнения для распространения света в однородных средах без дисперсии в присутствии гравитации, а также уравнения для распространения света в неоднородной среде без гравитации.

Основной новый результат, следующий из наших уравнений, состоит в том, что даже в однородной плазме гравитационный угол отклонения света зависит от длины волны и отличается от постоянного (не зависящего от частоты) угла отклонения в вакууме. В работах, которые не учитывали эффекты дисперсии в плазме и рассматривали отклонения света в плазме как сумму двух отдельных эффектов, зависимость угла отклонения от частоты была связана только с неоднородностью плазмы, и исчезала в однородной плазме. Наши вычисления показывают, что свойства дисперсии плазмы приводят к тому, что гравитационный угол отклонения в однородной плазме отличается от вакуумного.

Мы выводим формулу для угла отклонения при движении фотона в случае однородной плазмы и слабого поля со шварцшильдовской метрикой. Угол отклонения возрастает с уменьшением частоты (и, соответственно, с уменьшением групповой скорости сигнала). Для более низких частот угол отклонения может быть много больше, чем в вакууме. Такой эффект существен только для фотонов с радиочастотами, таким образом, гравитационная линза в плазме действует как гравитационный радиоспектрометр. Мы обсуждаем возможные наблюдательные эффекты, наиболее сильно проявляющиеся для частот, близких к плазменной, что соответствует очень длинным радиоволнам.

Разработанная модель гравитациоиного линзирования в плазме самосогласованно учитывает эффекты преломления и дисперсии света в плазме. Наблюдательное изучение эффекта "гравитационного радиоспектрометра" может позволить получить информацию о среде, через которую распространяется свет, и о гравитационной линзе и ее окружении. Этот эффект был предложен нами для наблюдения в проекте "Радиоастрон" (АКЦ ФИ АН).

Основное содержание диссертации

Во Введении обсуждается современное состояние теорий эллипсоидальных самогра-витирующпх фигур и гравитационного линзировапия, обосновывается актуальность работы, охарактеризована ее научная новизна, кратко изложена структура диссертации и сформулпровапы положения, выносимые на защиту.

В первой главе, состоящей из пяти параграфов, рассмотрена приближенная динамика формирования крупномасштабной структуры Вселенной в темной материи. В первом параграфе записана функция Лагранжа трехосного однородного сжимающегося вращающегося эллипсоида и выведены уравнения движения для его осей. Во втором параграфе выведены уравнения движения осей эллипсоида с учетом бурной релаксации, получены уравнения, описывающие эволюцию во времени массы, углового момента, энтропии эллипсоида. В третьем параграфе приведены безразмерные уравнения и представлены результаты численных расчетов динамики эллипсоида для различных начальных параметров. В четвертом параграфе исследованы равновесные конфигурации и устойчивость, двумя способами найдена точка неустойчивости сжимающегося сфероида Маклорена относительно перехода в трехосный эллипсоид. В пятом параграфе подытожены основные результаты этой главы и оценено излучение гравитационных волн при формировании крупномасштабной структуры Вселенной в темной материи.

Во второй главе, состоящей из пяти параграфов, рассмотрена динамика невраща-ющихся несферическпх конфигурации. В первом параграфе записана функция Лагранжа трехосного однородного невращающегося эллипсоида и выведены уравнения движения для его осей для случая 7 = 4/3. Во втором параграфе записаны уравнения движения и гамильтониан для сфероида, проводится их обезразмеривание, сделаны разложения вблизи сферы. В третьем параграфе приводятся результаты численного решения уравнений движения сфероида. Показано, что в случае несферических конфигураций коллапс в сингулярность не происходит, так как происходит динамическая стабилизация коллапса за счет колебаний. В четвертом параграфе исследованы регулярный и хаотический режимы возникающих колебаний на основе построения диаграмм Пуанкаре, приведены диаграммы Пуанкаре для различных случаев. В пятом параграфе обсуждаются результаты этой главы, формулируется основной вывод о вырожденном характере формирования сингулярности в самогравитирующих ньютоновских газовых телах с неустойчивым уравнением состояния. Обсуждается коллапс, происходящий в реальности вследствие наличия вязкости, излучения гравитационных волн и других процессов, связанных с диссипацией. Обсуждаются эффекты общей теории относительности.

В третьей главе, состоящей из четырех параграфов, рассмотрено сильное гравитационное линзирование на Шварцшильдовской черной дыре. В первом параграфе приведены основные понятия гравитационного линзирования. Во втором параграфе выведено выражение для точного угла отклонения фотона при движении в Шварцшильдовской метрике, подробно описано сведение выражения для точного угла отклонения к эллиптическим интегралам. Также рассмотрены предельные случаи: приближение слабого отклонения п приближение сильного отклонения. В третьем параграфе исследуются свойства релятивистских колец, возникающих в изображении источника при наличии черной дыры между источником и наблюдателем. Рассчитаны прицельпые параметры, угловые размеры п коэффициенты усиления, сделаны численные оценки. В четвертом параграфе проведено исследование влияния поля черной дыры на изотропное излучение звезды.

В четвертой главе, состоящей из двух параграфов, рассмотрено гравитационное линзирование на гравитационной волне в вакууме. В первом параграфе из уравнения геодезической выведено выражение для угла отклонения фотона, движущегося в слабом гравитационном поле. Вычислен аналитически угол отклонения фотона при проходе его через синусоидальный волновой пакет. Угол оказывается равным нулю, что сходится с результатами исследований других авторов. Во втором параграфе показано, что несмотря на равенство нулю угла отклонения, происходит смещение всей траектории фотона. Это смещение вычислено аналитически. Рассмотрен наблюдательный эффект от такого смещения и сделаны его оценки для длинных волн, излучающихся в процессе формирования крупномасштабной структуры Вселенной в темной материи.

В пятой главе, состоящей из трех параграфов, рассмотрено гравитационное линзирование в плазме. В первом параграфе выведено выражение для угла отклонения фотона в слабом гравитационном поле в неоднородной плазме. Во втором параграфе исследуются различные частные случаи: движение фотона в вакууме и однородной среде без дисперсии, движение фотона в слабом Шварцшильдовском поле в однородной плазме, движение фотона в слабом Шварцшильдовском поле в слабо неоднородной плазме. В третьем параграфе подробно обсуждается эффект зависимости угла отклонения фотона в гравитационном поле в однородной плазме от частоты фотона. Оценены наблюдательные эффекты.

Основные положения диссертации, выносимые на защиту

1. Результаты исследований приближенной динамики формирования крупномасштабной структуры Вселенной в темной материи. Уравнения движения для осей однородного вращающегося сжимающегося трехосного эллипсоида, в которых бурная релаксация и потерн массы, энергии и углового момента учитываются феноменологически. Переход сфероида в трехосный эллипсоид в процессе релаксации. Аналитическая формула для точки неустойчивости сжимающихся сфероидов Маклорена относительно перехода в трехосный эллипсоид.

2. Вырожденный характер формирования сингулярности в ньютоновских невра-щающпхея самогравитирующих газовых телах с неустойчивым уравнением состояния. Динамическая стабилизация несферпческпх тел относительно неограниченного коллапса, формирование регулярно или хаотически колеблющегося объекта. В реальности коллапс происходит за счет присутствия диссипации, ведущей к затуханию колебаний.

3. Исследования свойств релятивистских колец, возникающих в изображении источника, при наличии черной дыры между источником и наблюдателем (прицельные параметры, угловые размеры и коэффициенты усиления).

4. Исследования гравитационного линзнрования на гравитационной волне. Формула для смещения в траектории фотона при проходе через плоский гравитационно-волновой импульс.

5. Исследования гравитационного линзнрования в плазме. Зависимость траектории фотона от его частоты вследствие дисперсивных свойств плазмы, в случае, если гравитационная линза окружена плазмой. Аналитическая формула для угла отклонения в случае линзнрования в Шварцгаильдовской метрике в однородной плазме. Действие гравитационной линзы, находящейся в плазме, как гравитационного радиоспектрометра.

Основные результаты и выводы диссертации:

1. Исследована приближенная динамика формирования крупномасштабной структуры Вселенной в темной материи. Развита физико-математическая модель для коллапса однородного вращающегося сжимающегося трехосного эллипсоида. Получены уравнения движения для его осей, в которых бурная релаксация и потери массы, энергии и углового момента учитываются феноменологически. Система уравнений решена численно, вплоть до формирования стационарных вращающихся фигур в случае релаксации. Получено, что при малом угловом моменте формируется сплюснутый сфероид, в то время как при больших моментах происходит развитие трехосной неустойчивости и формирование трехосного эллипсоида. Точка неустойчивости сжимающихся сфероидов Маклорена относительно перехода в трехосный эллипсоид найдена аналитически в виде простой формулы, численное и аналитическое рассмотрение приводят к одинаковым результатам.

2. Исследована ньютоновская динамика самогравитирующего невращающегося сфероидального объекта после потери устойчивости. Показано, что формирование сингулярности в ньютоновских самогравитирующих газовых телах с неустойчивым уравнением состояния имеет вырожденный характер: только чисто сферические модели могут коллапсировать в сингулярность, любое отклонение от сферической симметрии останавливает сжатие за счет стабилизирующего действия нелинейных несферических колебаний (как регулярных, так и хаотических). В реальности присутствие диссипации ведет к затуханию таких колебаний, и в итоге, к коллапсу невращающпх-ся объектов, в случае когда полная энергия тела отрицательна. Детальный анализ нелинейных колебаний выполнен с использованием диаграмм Пуанкаре.

3. Изучено сильное гравитационное линзирование на Шварцшильдовской черной дыре. Исследованы свойства релятивистских колец, возникающих в изображении источника, при наличии черной дыры между источником и наблюдателем. Рассчитаны прицельные параметры, а также расстояния минимального сближения лучей, образующих релятивистские кольца, их угловые размеры и коэффициенты "усиления", которые оказываются много меньше единицы.

4. Исследовано гравитационное линзирование на гравитационной волне. Показано, что, хотя начальное и конечное направления фотонов совпадают, происходит сдвиг между начальной и конечной траекториями. Это смещение вычислено аналитически для плоского гравитационно-волнового импульса. Сделаны оценки для наблюдательного эффекта линзирования на очень длинных волнах, излучающихся в процессе формирования крупномасштабной структуры Вселенной в темной материи.

5. Развита физико-математическая модель гравитационного линзирования в плазме. Выведены выражения для угла отклонения фотона в плазме. Получено, что если гравитационная линза окружена плазмой, то траектория фотона зависит от его частоты вследствие дисперсии плазмы. Показано, что даже в однородной плазме угол линзирования зависит от частоты фотона, это приводит к тому, что гравитационная линза действует подобно гравитационному радиоспектрометру. Получена аналитическая формула для угла отклонения в случае линзирования в шварцшильдовской метрике в плазме. Обсуждаются возможные наблюдательные эффекты, наиболее сильно проявляющиеся для частот, близких к плазменной, что соответствует очень длинным радиоволнам.

Публикации

1. Bisnovatyi-Kogan G.S., Tsupko O.Yu. Approximate dynamics of dark matter ellipsoids // Monthly Notices of the Royal Astronomical Society. 2005. V.364. P.833.

2. Bisnovatyi-Kogan G.S., Tsupko O.Yu. A simplified model of the formation of structures in dark matter // Astronomical and Astrophysical Transactions. 2005. V.24. N.5. P.377.

3. Bisnovatyi-Kogan G.S., Tsupko O.Yu. Strong gravitational lensing by Schwarzschild black holes // Astrophysics. 2008. V.51. Issue 1. P.99.

4. Bisnovatyi-Kogan G.S., Tsupko O.Yu. Gravitational lensing by gravitational waves // Gravitation and Cosmology. 2008. V.14. N.3. P.226.

5. Bisnovatyi-Kogan G.S., Tsupko O.Yu. Dynamic stabilization of non-spherical bodies against unlimited collapse // Monthly Notices of the Royal Astronomical Society. 2008. V.386. P.1398.

6. Bisnovatyi-Kogan G.S., Tsupko O.Yu. Approximate Dynamics of Dark Matter Ellipsoids // In: Proceedings of the Eleventh Marcel Grossniann Meeting on General Relativity / Ed. by H. Kleinert, R.T. Jantzen and R. Ruffini, World Scientific, Singapore, 2008. P.2331.

7. Bisnovatyi-Kogan G.S., Tsupko O.Yu. Gravitational lensing by gravitational wave pulse // In: Proceedings of the Manchester Microlensing Conference: The 12th International Conference and ANGLES Microlensing Workshop / Eds. by E. Kerins, S. Mao, N. Rattenbury and L. Wyrzykowski, SISSA, Proceedings of Science, 2008. P.63 http: / / pos.sissa.it//archive / conferences/054/063/GMC8063.pdf).

8. Bisnovatyi-Kogan G.S., Tsupko O.Yu. The Dynamics of Non-Symmetrically Collapsing Stars // In: G. Contopoulos, P.A. Patsis, Cliaos in Astronomy, Astrophysics and Space Science Proceedings, Springer, Berlin Heidelberg, 2009. P.461.

9. Bisnovatyi-Kogan G.S., Tsupko O.Yu. Gravitational radiospectrometer // Gravitation and Cosmology. 2009. V.15. N.l. P.20.

Заключение

1. Bisnovatyi-Kogan G.S. A simplified model of the formation of structures in dark matter and a background of very long gravitational waves // Monthly Notice of the Royal Astronomical Society 2004. V.347. P. 163.

2. Chandrasekhar S. Ellipsoidal Figures of Equilibrium. Yale University Press, New Haven and London, 1969.

3. Lynden-Bell D. On large-scale instabilities during gravitational collapse and the evolution of shrinking Maclaurin spheroids // Astrophysical Journal 1964. V.139. P.1195.

4. Lynden-Bell D. On the evolution of frictionless ellipsoids // Astrophysical Journal 1965. V.142. P.1648.

5. Lin C.C., Mestel L., Shu F.H. The Gravitational Collapse of a Uniform Spheroid // Astrophysical Journal 1965. V.142. P.1431.

6. Lynden-Bell D. Pressure stabilization of the shape instability // The Observatory 1979. V.99. P.89.

7. Lynden-Bell D. Consequences of one spring researching with Chandrasekhar // Current Science 1996, V.70. N.9. P.789.

8. Lai D., Rasio F.A., Shapiro S.L. Ellipsoidal figures of equilibrium Compressible models // ApJS 1993. V.88. P.205.

9. Lai D., Rasio F.A., Shapiro S.L. Equilibrium, stability, and orbital evolution of close binary systems // Astrophysical Journal 1994. V.423. P.344.

10. Lai D., Rasio F.A., Shapiro S.L. Hydrodynamics of rotating stars and close binary interactions: compressible ellipsoid models // Astrophysical Journal 1994. V.437. P.742.

11. Shapiro S.L. The secular bar-mode instability in rapidly rotating stars revisited // Astrophysical Journal 2004. V.613. P.1213.

12. Зельдович Я.Б. Распад однородного вещества на части под действием тяготения // Астрофизика 1970. Т.6. С.319.

13. Doroshkevich A.G., Muller V., Retzlaff J., Turchaninov V. Superlarge-scale structure in N-body simulations // Monthly Notice of the Royal Astronomical Society 1999. V.306. P.575.

14. Зельдович Я.Б. Ньютоновское и Эйнштейновское движения однородного вещества // Астрономический журнал 1964. Т.41. С.873.

15. Lynden-Bell D. Statistical mechanics of violent relaxation in stellar system // Monthly Notice of the Royal Astronomical Society 1967. V.136. P.101.

16. Boily C.M., Clarke C.J., Murray S.D. Collapse and evolution of flattened star clusters // Monthly Notice of the Royal Astronomical Society 1999. V.302. P.399.

17. Sheth R.K., Mo H.J., Tormen G. Ellipsoidal collapse and an improved model for the number and spatial distribution of dark matter haloes // Monthly Notice of the Royal Astronomical Society 2001. V.323. P.l.

18. Boily C.M., Athanassoula E., Kroupa P. Scaling up tides in numerical models of galaxy and halo formation // Monthly Notice of the Royal Astronomical Society 2002. V.332. P.971.

19. Зельдович Я.Б., Новиков И.Д. Релятивистская астрофизика. М.: Наука, 1967.

20. Бисноватый-Коган Г.С. Физические вопросы теории звездной эволюции. М.: Наука, 1989.

21. Schneider P., Elilers J., Falco Е. Gravitational lensing. Springer-Verlag, Berlin, 1992.

22. Schneider P., Kochanek C., Wambsganss J. Gravitational Lensing: Strong, Weak and Micro // Saas-Fce Advanced Course 33, Swiss Society for Astrophysics and Astronomy Series: Saas-Fee Advanced Courses, Number 33, Berlin, Springer, 2006.

23. Блиох П.В., Минаков А.А. Гравитационные лиизы. Киев: Наукова Думка, 1989.

24. Ames W., Thorne К. The Optical Appearance of a Star that is Collapsing Through its Gravitational Radius // Astrophysical Journal 1968. V.151. P.659.

25. Bisnovatyi-Kogan G.S., Ruzmaikin A.A. The Accretion of Matter by a Collapsing Star in the Presence of a Magnetic Field // Astrophys. Space Sci. 1974. V.28. P.45.

26. Darwin C. The Gravity Field of a Particle // Proceedings of the Royal Society of London, Scries A, Mathematical and Physical Sciences 1959. V.249 (1257). P. 180.

27. Misner C.W., Thorne ICS., Wheeler J.A. Gravitation. Freeman, New York, 1973.

28. Virbhadra ICS., Ellis G.F.R. Schwarzschild black hole lensing // Physical Review D 2000. V.62 P.084003.

29. Bozza V., Capozziellо S., Iovane G., Scarpetta G. Strong Field Limit of Black Hole Gravitational Lensing // General Relativity and Gravitation 2001. V.33. P.1535.

30. Bozza V. Gravitational lensing in the strong field limit // Physical Review D 2002. V.66. P.103001.

31. Frittelli S., Kling T.P., Newman E.T. Spacetime perspective of Schwarzschild lensing // Physical Review D 2000. V.61. P.064021.

32. Durrer R. Light deflection in perturbed Friedmann universes // Physical Review Letters 1994. V.72. Issue 21. P.3301.

33. Fakir R. Gravity wave watching // Astrophysical Journal 1994. V.426. P.74.

34. Fakir R. Detectable time delays from gravity waves? // Physical Review D 1994. V.50. P.3795.

35. Braginsky V.B., Kardashev N.S., Polnarev A.G., Novikov I.D. Propagation of electromagnetic radiation in a random field of gravitational waves and space radio interferometry // Nuovo Cimento В 1990. V.105. P.1141.

36. Faraoni V. Nonstationary gravitational lenses and Fermât principle // Astrophysical Journal 1992. V.398. P.425.

37. Damour T., Esposito-Farèse G. Light deflection by gravitational waves from localized sources // Physical Review D 1998. V.58. P.042001.

38. Muhleman D.O., Johnston I.D. Radio propagation in the solar gravitational field // Phys. Rev. Lett. 1966. V.17. N.8. P.455.

39. Muhleman D.O., Ekers R.D., Fomalont E.B. Radio interferometric test of the general relativistic light bending near the Sun // Phys. Rev. Lett. 1970. V.24. N.24. P.1377.

40. Noonan T.W. Light rays in gravitating, rcfractive media // Astrophysical Journal 1982. V.262. P.344.

41. Lightman A.P., Press W.H., Price R.H., Teukolsky S.A. Problem Book in Relativity and Gravitation. Princeton University Press, Princeton, New Jersey, New York, 1979.

42. Thompson C., Blandford R.D., Evans Ch.R., Phinney E.S. Physical processes in eclipsing pulsars: Eclipse mechanisms and diagnostics // Astrophysical Journal 1994. V.422. P.304.

43. Synge J.L. Relativity: the General Theory. North-Holland Publishing Company, Amsterdam, I960.

44. Ландау Л.Д., Лифшиц E.M. Теория поля. M.: Наука, 1962.

45. Градштейн PI.C., Рыжик И.M. Таблицы интегралов, сумм и произведений. М.: Наука, 1971.

46. Антонов В.А. //в Динамика галактик и звездных скоплений 1973. Наука. Алма-Ата. С. 139.

47. Поляченко В.Л., Фридман A.M. Равновесие и устойчивость гравитирующих систем. М.: Наука, 1976.

48. Ostriker J.P., Peebles P.J.E. A numerical study of the stability of flattened galaxies: or, can cold galaxies survive? // Astrophysical Journal 1973. V.186. P.467.

49. Saenz R.A., Shapiro S.L. Gravitational radiation from stellar collapse Ellipsoidal models // Astrophysical Journal 1978. V.221. P.286.

50. Lichtenberg A.J., Lieberman M.A. Regular and Stochastic Motion. Springer-Verlag, New York, 1983.

51. Абрамович M.? Стиган И. Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и математическими таблицами. М.: Наука, 1979.

52. Keeton C.R., Petters А.О. Formalism for testing theories of gravity using lensing by compact objects: Static, spherically symmetric case // Physical Review D 2005. V.72.

53. Bozza V., Sereno M. Weakly perturbed Schwarzschild lens in the strong deflection limit // Physical Review D 2006. V.73. P.103004.

54. Ландау Л.Д., Лифшиц E.M. Электродинамика сплошных сред. М.: Наука, 1982.

55. Железняков В.В. Электромагнитные волны в космической плазме (Генерация и распространение). М.: Наука, 1977.

56. Гинзбург В.Л. Распространение электромагнитных волн в плазме. М.: Наука, 1960.

57. Miller С. The Theory of Relativity. Clarendon Press, Oxford, 1972.

58. Kulsrud R., Loeb A. Dynamics and gravitational interaction of waves in nonuniform media // Physical Review D 1992. V.45. P.525.

59. Broderick A., Blandford R. Covariant magnetoionic theory I. Ray propagation // Monthly Notice of the Royal Astronomical Society 2003. V.342. P. 1280.

60. Broderick A., Blandford R. General Relativistic Magnetoionic Theory // Astrophysics and Space Science 2003. V.288. P.161.

61. Фок В.А. Теория пространства, времени и тяготения. М.: Наука, 1955.1. Р. 104006.