Одномерные оптимальные бегущие волны тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

КАРАСЕВ КОНСТАНТИН АЛЕКСАНДРОВИЧ

ОДНОМЕРНЫЕ ОПТИМАЛЬНЫЕ БЕГУЩИЕ ВОЛНЫ

01.02.05 — Механика жидкости, газа и плазмы

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург 2005

Работа выполнена в Балтийском государственном техническом университете «ВОЕНМЕХ» им. Д.Ф.Устинова (г. Санкт-Петербург).

НАУЧНЫЙ — доктор технических наук, заслуженный деятель науки РФ

РУКОВОДИТЕЛЬ профессор Владимир Николаевич Усков

ОФИЦИАЛЬНЫЕ — доктор технических наук, ОППОНЕНТЫ доцент Евгений Васильевич Афанасьев

— доктор физико-математических наук,

доцент Александр Владимирович Омельченко

ВЕДУЩАЯ — Объединенный институт

ОРГАНИЗАЦИЯ высоких температур

Российской Академии Наук (ОИВТ РАН), г. Москва

Защита состоится <Ыл 2005 г. в <14> часов на заседании диссертационного

совета Д212.232.30 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора наук при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 198504, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Университетский пр., д. 28, математико-механический факультет Санкт-Петербургского государственного университета, ауд.<3536.

С диссертацией можно ознакомится в научной библиотеке им. М. Горького Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: Санкт-Петербург, Университетская наб., д. 7/9.

Автореферат разослан: *£//2005 г.

Ученый секретарь

доктор физико-математических наук, профессор

С. А. Зегжда

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы диссертации. Большой класс нестационарных течений характеризуется образованием и взаимодействием бегущих волн — ударных и энтропийных разрывов, а также одномерных изоэнтропных волн Римана, распространяющихся по покоящейся среде или по потоку газа. Эти волны сопровождают работу многих технических объектов в том числе устройств топливно-энергетического комплекса, артиллерийских систем и ракетно-космической техники, при проектировании которых необходимо руководствоваться простыми эффективными методами расчета и управления параметрами течений. Одним из способов управления течениями является выявление и создание оптимальных бегущих волн (параметры потока за которыми являются экстремальными), а также составление (синтез) из них систем волн, с помощью которых возможно управление параметрами потока. Задачи о нестационарных, неустойчивых и экстремальных течениях в последние годы выходят на передний план газодинамики.

Полученные в диссертации аналитические решения задач о возникновении и взаимодействии волн, разработанный обобщенный подход для анализа ударно-волновых структур, в том числе с оптимальными волнами, определяют научную и практическую актуальность работы.

Цель работы: выявление оптимальных бегущих волн, анализ их свойств, областей параметров, в которых они существуют, на базе обобщенной методики исследования бегущих волн и разрывов.

Научная новизна работы.

1. Получены аналитические соотношения, позволяющие по заданным значениям числа Маха исходного потока, показателя адиабаты и интенсивностей входящих в систему волн рассчитать значения газодинамических переменных за системой. На основе этих зависимостей найдены аналитические решения задач построения од номерных нестационарных ударно-волновых систем, оптимальных для различных газодинамических параметров.

2 Разработан инструмент для отображения свойств исходного ¡¡отоха, по которому

бегут волны и анализа решений задач о бегущих волнах и их взаимодействии — плоскость интенсивностей волн (ПИВ), с помощью которого получены новые результаты и произведен анализ решений известных задач нестационарной газовой динамики с аспекта волн с оптимальными свойствами.

Достоверность полученных в работе результатов подтверждается использованием точных аналитических соотношений газовой динамики, а также и сравнением получен ных результатов с экспериментальными и численными данными других авторов.

Практическая ценность работы. В ходе исследований получены аналитические решения, с помощью которых можно проектировать оптимальные ударно-волновые системы одномерных бегущих волн в различных технических объектах, связанных с реализацией нестационарных газодинамических процессов. Анализ таких систем позволяет также углубить знания о закономерностях нестационарных течений. Материалы диссертационного исследования использованы в БГТУ при подготовке учебного пособия [Усков В.Н. Бегущие одномерные волны. СПб.: Из-во БГТУ <ВОЕНМЕХ>, 2000] по курсу лекций «Нестационарная газовая динамика», а так же при выполнении курсовых и выпускных работ студентов, обучающихся по специальностям «Гидроаэромеханика» и «Аэродинамика и тепловые процессы в ЛА».

Положения, выносимые на защиту:

1. Аналитические решения, описывающие одномерные нестационарные ударно-волновые системы, в том числе оптимальные для различных газодинамических параметров.

2. Обобщенная методика анализа взаимодействия бегущих одномерных волн, образующих оптимальные ударно-волновые системы, а также результаты расчета оптимальных ударно-волновых структур.

3. Метод анализа решений на плоскости интенсивности волн.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на Всероссийской молодежной научной конференции «VI Королевские чтения» (Самара, 2001); IV Международной конференции по неравновесным процессам в соплах и струях (КР№-2002) / XIX Международном семинаре по струйным, отрывным и нестационарным течениям (Санкт Петербург, 2002); Третьих Поляховских чтениях: международной конференции по механике (Санкт-Петербург, 2003); XXIII Российской школе по проблемам науки и технологий (Миасс, 2003); XX Международном семинаре по струйным, отрывным и нестационарным течениям (Санкт-Петербург, 2004).

Публикации. Материалы диссертационного исследования опубликованы в восьми научных работах, список которых приводится в конце реферата.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы из 66 наименований. Работа содержит 141 страницу, 56 рисунков и 7 таблиц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, формулируется цель работы, описывается структура диссертации, кратко излагаются состояние решаемой задачи и основные результаты, полученные в ходе исследований.

В первой главе представлена математическая модель одномерного нестационарного течения, которая описывает движение волн в различных задачах нестационарной газовой динамики, производится классификация одномерных волн.

В общем случае нестационарное движение в материальном объеме невязкой нетеплопроводной жидкости описывается системой уравнений Эйлера. В работе рассматривается одномерный случай течения, когда все газодинамические переменные зависят только от одной пространственной координаты и могут быть определены аналитически. Такая система уравнений при дополнительных допущениях описывает изоэнтроп-ное течение газа в волнах Римана. Если в среде возникают ударные волны, то вместо адиабаты Лапласа-Пуассона для связи давления и плотности используется адиабата Ренкина-Гюгонио. В результате решения системы при соответствующих краевых условиях находятся основные гидрогазодинамические переменные как функции х и I.

Основным отличием нестационарного течения от установившегося является изменение параметров торможения, в том числе удельного полного теплосодержания вдоль траектории движения частиц. Особое внимание в этой главе уделяется получению соотношений, взаимосвязывающих термодинамические параметры на ударных волнах, скачках уплотнения, контактных и тангенциальных разрывах.

Дается классификация волн и разрывов по двум основным группам признаков: газодинамическим и кинематическим. Дополнительным признаком является предложенное Л. Д. Ландау деление- волн на приходящие ь шчку (линию) взаимодействии и исходящие

(уходящие) из нее (в самой точке происходит распад разрыва), что является принципи альным для задач интерференции. Направление движения волн учитывает показатель — для волн спутных потоку; если волна бежит навстречу потоку).

Основным параметром, характеризующим свойства бегущих волн, является интенсивность — статические давления за и до волны Все переменные за волнами выражаются через параметры исходного потока, интенсивность волны и направление ее движения.

Если ударная задана значением интенсивности, то, используя коэффициент

получается выражение для скачка скорости на

[и] = *в(1-е)(/-1//) или [«] = (1)

где скоростная функция интенсивности ударной волны выражается через коэф-

фициент / и интенсивность

= (2)

Постоянство инварианта в занятой волной Римана области означает, что газодинамические переменные в простой волне зависят только от параметра автомодельности

или от интенсивности волны. Разность выражается через интенсивность простой волны Римана:

Используя аналоги числа Крокко максимальная скорость нестационарного истечения газа в вакуум, последняя формула и скоростная функция для волны Римана будет имеет вид

Значения соответствуют волне сжатия и волне разрежения.

Получено решение уравнений траекторий и ^/»-характеристик для центрированных Римана. Характер изменения во времени параметра автомодельности в волнах выражается формулой

Подстановка (3) в уравнение пучка прямых дает уравнение траектории и ^-характеристики в центрированных волнах Римана £ = ихг, где £ = х - х,, т = I — а х3 и — координаты центра волны,

Поскольку на переднем фронте волны & = V\T;, vi — щ + ха\, Xai/e = — а R^/vi = /if1, где = e(l + xMi)> то безразмерные уравнения искомых кривых при Mi ф 0 в системе координат в центре Дс-волн имеют вид

= 1 + -

"1 t*l

и отличается величиной п (п = е — для траекторий и п = 2е — для ^,-хаРактеРИСТИк) в показателе степени безразмерного времени (рис. 1, 2).

у=1.4;х=+1; л=е

1

0.5

0.5 2 3

Mj=ö у :

— 5

я;

_j».

, , ÄC * /

-0.5 0 0.5 а)

Рис. 1. п = е — траектории.

7=1.4; %=-1; и=е

0.5

0.5' • Mi-=ö\: w

5Г Sy / :

/ •

0.5 1 б)

0.5

v =1 А' v =4-1 • и =0с I л —t

-0.5

\ \

H, \

1

0 0.5 а)

Рис. 2. п = 2е — ^-характеристики.

пг — 1 /4 . л/ — 1 • и —

I ——i, й —¿с

0.5

-0.5

0.5 6)

5. . 3

5?' \MI=0 /У \ ■ л'/ "1

* у7л - 0-5 1 /у ; \ /■ J. . .. -

ч

1.5

На основе исследования свойства криволинейных характеристик найдены особые интенсивности волн Римана различных видов и направлений.

Волны, бегущие по покоящемуся газу (V = 0, а = 1), отображаются на ПИВ (рис. 3).

л

V

0.8

0.4 0

-4 -2 0 2 4 Л Рис. 3.

В общем виде скорость спутного потока за волной, бегущей по покоящемуся газу, равна

V = х<М-/), (4)

где скоростная функция Фц^./) описывается формулами (2) или (2а).

Различные виды скоростных функций Фг(./) = -Фя(,/) = 1 - и Ф,^), определяют процессы изоэнтропного нестационарного и стационарного расширения (7 < 1) покоящегося газа, а функции Фс(./) и Фд(7) — процессы изоэнтропного и ударного уплотнения такого газа.

На ПИВ волнам уплотнения соответствует правая полуплоскость процессам

расширения — левая Положительные значения скорости обеспечивают бегу-

щие вправо (х = 1) волны уплотнения, «левая» ^г-волна (хг = —1), а также процесс стационарного расширения

Анализ скоростных функций и их производных в начале координат (V = 0, Л = 0, 7 =1) показывает, что первые две производные в случае волн уплотнения совпадают, а третьи связаны зависимостью

ВД^да^-^3)2^ где К = (5)

И Я ^М Г ЛРГ^РТ ЧТП ТПРТ1.И ПТ1ПНЧПП111Г1.№ пяаич ГТГ»и ь- — Ц (л, -- /<г\ тттчи ... _ 1

, - , - V - , --------------г------------V. , — -- V

величина Фд(1) - 0, а при к = 9 она имеет максимум, который равен 1/81 и совпадает со значением второй производной. Неоднозначность взаиморасположения кривых уплотнения друг относительно друга показана на рис. 4а для > 5/3. В главе доказано, что интенсивность волны сжатия, соответствующая точке пересечения кривых

я- о /■■'

< е %

Рис. 4. Пересечение кривых волн уплотнения для сред с 7 > 5/3.

рис. 46), является критериальной, при которой распад центрированной волны сжатия происходит без отраженной волны.

В конце главы проведен анализ термодинамических параметров спутных потоков, полученных различными способами.

Во второй главе определяются свойства оптимальных волн, в которых газодинамические переменные / за бегущими квазистационарными волнами различных направлений и видов при определенных интенсивностях могут принимать экстремальные значения. Производится анализ составленных из них оптимальных систем.

Рассмотрены волны, оптимальные для термодинамических переменных торможения. Показано, что отношение удельных полных теплосодержаний на ударной волке определяется в явном виде

н?(х, м, Зо) = 1 + 2—-(/ + ХМ)Фд(3В).

(6)

Функция Но(х, М, в случае спутных ударных волн (х - —1) является монотонной, а в случае дрейфующих ударных волн (х — —1) имеет экстремум, что иллюстрирует график на рис. 56 для сверхзвукового потока [8]. й пяллиях единого подхода, решена задача и

тенсивности, которая представляет частный случай систем ударных волн, но может быть использована в качестве базовой для сопоставления с другими системами.

В разделе «Отраженные оптимальные волны» в рамках единого подхода рассмотрены следующие задачи:

5

0

10 20 30 40 /¡> 0

а)

10 20 30 40 б)

Рис. 5. Изменение полного теплосодержания за ударными волнами.

— отражение /)-вадны и Д-волны от твердой стенки;

— отражение ¿)-волны и Д-волны от свободной поверхности.

Произведен анализ параметров торможения за отраженными оптимальными волнами.

В третьей главе рассматриваются известные задачи о распаде произвольного нестационарного разрыва, которые могут реализоваться с оптимальными и особыми волнами.

Необходимость рассмотрения этих задач возникла, например, при поиске оптимальных волн в УТ, поиске особых волн в задаче о распаде центрированной волны сжатия Римана и в задаче о догоняющих ударных волнах.

Математическая модель распада произвольного разрыва базируется на УДС на исходящем из точки распада контактном разрыве, которые заключаются в равенствах статических давлений за исходящими

уравнения записываются в координатах ПИВ.

Как частный случай задачи распада нестационарного разрыва, рассмотрен распад 7^-волны (рис. 6), который сопровождается образованием одной из трех ударно-волновых структур (УВС):

2. ^ + + (7 > 5/3 и Зс > Л)

3. ^ + 7? (7>5/З и ;( = ;с = Л)

О X о х О х

а) б) в)

Рис. 6. Схемы распада центрированной волны сжатия Римана.

При известных параметрах в областях до результирующих волн значения ^ и Уд позволяют рассчитать все параметры течения за этими волнами.

Учитывая направление результирующих волн, получено уравнение относительно неизвестных интенсивностей:

Фв(-Ь) - фдШ - (ФяШ + 1)*иг(^). со

Сложности решения этой задачи связаны с неизвестностью вида отраженной волны, т. е. вида функции которая изменяется в зависимости от интенсивности исходной волны сжатия и среды. В результате параметрического исследования (7) выявлены критерии распада которые приведены справа от схем распада.

Произведен анализ решений на ПИВ, найдены оптимальные интенсивности волн.

Для нецентрированной волны сжатия, образующейся при произвольном законе движения поршня, получено уравнение дискриминантной кривой (огибающей характеристик).

Произведено исследование оптимальных вел:; л ударной трубе. В рамках единого ыо-

вого подхода записывается основное уравнение ударной трубы, находится его решение и производится анализ приводятся на ПИВ. Исследовано влияние температурного фактора на параметры течения и доказана возможность вырождения контактного разрыва при определенных условиях.

В четвертой главе в рамках общего подхода решаются задачи о взаимодействие бегущих волн.

Тип взаимодействия двух приходящих в плоскость (точку) встречи ударных волн зависит от их вида. Различают интерференцию двух волн одного + или + и разных (7^л+1Е?2) направлений. Возможен вариант интерференции с взаимодействием двух догоняющих ударных волн одного направления, первая из которых является стоячей а вторая бежит вверх по дозвуковому потоку за скачком уплотнения и в момент времени 1 = достигает его (рис. 7). Этой задаче посвящены совместные работы [2, 4, 5, 6, 7, 8], в которых В. Н.Ускову принадлежат постановки задач.

вого потока, например, внезапная постановка преграды, которая полностью тормозит поток (и2 = 0).

На основе общей математической модели интерференции ударных волн одного направления аналитически определяются критерии различных типов взаимодействия а и и производится параметрический анализ свойств потоков за исходящими

волнами.

Скорости за волнами, показанными на рис. 7, определяются зависимостями

с учетом связи показателей направления движения волн

альтернативного пыбора вида функции в последнем уравнении. В случае зада-

ния кинематическим способом (значением скорости и2) второе из уравнений

(8) позволяет определить иниенсивность

Полученноеур авнение интерференции догоняющихударныхволн

(9)

относительно интенсивности 13 результирующей ударной волны не зависит от скорости исходного потока, а, следовательно от способа его создания, а также от направления движения приходящих волн.

Здесь обобщенные параметры задачи = Фс(Л)+\/ЖЛФ.о(Л) и В^,^) =

= \jE\7\FnT-i зависят только от интенсивностей Jx и 12.

Основная сложность решения уравнения (9) заключается в априори неизвестном виде отраженной т. е. с альтернативным выбором вида функции который зависит от показателя адиабаты среды [5, 6, 7].

Определены критериальные интенсивности волн, полностью тормозящих поток в различных областях течения. Найдены условия стационарного положения контактного разрыва, произведен анализ термодинамических параметров.

Взаимодействие ударной волны (/?)и волны разрежения Римана (Я) рассматривается на примере задачи о движении поршня в трубе постоянного сечения при внезапном уменьшении скорости, когда на его траектории имеются угловые точки (рис. 8). Эта задача рассматривается в совместных работах [1, 3], где В. Н.Усковым частично выполнены постановки задач и аналитические выводы.

На рис. 8а, догоняющая возникает при торможении поршня.

Если же поршень после торможения начнет перемещаться в противоположном направлении (рис. 86), то волна разрежения является более интенсивной. В этом случае волну догоняет которая образуется при внезапном торможении поршня в

точке Взаимодействие с догоняющей ее ударной волной показано на

шлг- Ят» Тоьгаа СУ*И2 ПТ.Г11!

чЛ } А ирно ии^гшпп и уи С! V СМСЩСЛ ИН

вдоль оси 1. (течение у правого торца показано на рис. 8а).

Рис. 8. Возможные схемы интерференции ударной волны и волны Римана.

Решение задачи интерференции ударной волны и догоняющей центрированной волны разрежения отображается на ПИВ (рис. 9). Значение интенсивности = 44.14 характеризует ударную волну, значение скорости потока за которой будет максимально возможным для нестационарного истечения газа

Рис. 9. Отображение задачи интерференции на ПИВ, у = 7/5.

На рис. 9а волна разрежения Римана догоняет ударную волну («//> — 10; 44.14) и отражается от нее в виде волны сжатия. Логарифмическая интенсивность волны разрежения при этом равна модулю отрезка между точками 1 и 2. На рис. 96 отображается случай, когда поршень изменяет направление движения и после останавливается.

В заключении сформулированы основные выводы по диссертации.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Соотношения на бегущих разрывах и в волнах Римана приведены к виду, в котором основным параметром является интенсивность волн (I); аналог числа Крокко

и др. параметры нестационарного течения за волнами любого вида выражены через I. Обосновано удобство использования плоскости интенсивности волн (V, Л) для отображения свойств исходного потока, полученного различными способами, а также для нахождения оптимальных волн и волн с особыми интенсивностями.

2. На примере центрированных волн Римана показано удобство введения показателя направления волны получены особые интенсивности разных видов.

3. Показано, что бегущие волны могут быть оптимальными для чисел Маха и для па раметров торможения: отношения полных теплосодержаний (Но) и полных давлений (10)- Аналитически определены границы областей существования одномерных оптимальных волн, в том числе отраженных от твердой и свободной поверхностей.

4. В задачах о распаде произвольного нестационарного разрыва выделены случаи распада с особыми и оптимальными интенсивностями исходящих волн, принципиально влияющими на характер течения за исходящими волнами.

5. На примере задачи о взаимодействии догоняющих волн (интерференция ударных волн между собой и ударной волны с волной Римана) найдены условия существования критериальных волн с особыми интенсивностями.

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Полученные результаты опубликованы в следующих работах:

1. Карасев К. А., Усков В. Н. Свойства одномерных волн перед поршнем, перемещающимся под действием перепада давлений // VI Королевские чтения: Всероссийская молодежная научная конференция. Тезисы докладов. Самара: Изд-во Самарского науч. центра РАН. 2001. С. 82-83.

2.

ударной волны // Тезисы докладов IV Международной конференции по неравновесным процессам в соплах и струях (МРШ-2002) / XIX Международного семинара по струйным, отрывным и нестационарным течениям. М.: Изд-во МАИ, 2002. С. 40& 407.

0/.М- М.РЗ

3. Караеве К. А., У сков В. Н. Взаимодействие ударной волны и волны Римана // Третьи Поляховские чтения: Тезисы докладов. СПб.: Изд-во НИИХ СПбГУ, 2003. С. 144-145.

4. Усков В.Н., Карасев К. Л. О критериальных интенсивностях при интерференции прямого скачка уплотнения и встречной ударной волны // XXIII Российская школа по проблемам науки и технологий. Краткие сообщения. Екатеринбург: УрО РАН, 2003. С. 43-44.

5. Усков В. Н., Карасев К. А. Критериальные интенсивности при интерференции прямого скачка уплотнения и встречной ударной волны // Наука и технологии. Труды XXIII Российской школы. М.: РАН, 2003. С. 4-11.

6. Усков В.Н., Карасев К. А. К вопросу о интерференции прямого скачка уплотнения и встречной ударной волны // Отчет по НИР № РБ-5-13-4562. 2003. БГТУ

Военмехк

7. Усков В. Н., Карасев К. А. Интерференция прямого скачка уплотнения и встречной ударной волны // Аэродинамика (К 70-летию лаборатории аэродинамики Санкт-Петербургского государственного университета): Сб. статей / Под ред. Р. Н.Ми рошина. СПб.: НИИ Химии СПбГУ, 2003. С. 240-256.

8. Карасев К. А., Усков В. Н. Термодинамические параметры потока за оптимальной ударной волной отраженной от стенки // Тезисы докладов XX Международного семинара по струйным, отрывным и нестационарным течениям. СПб.: ИПЦ СПбГУТД, 2004. С. 156-157.

» ¡у «* 4- \

Подписано к печати 12.04.2005 г. Формат 60x90 1/1». Бумгйга^сжументная Печать трафаретная. Усл.-печ. л. 1. Тираж 10$ экз|3гйка| Отпечатано в типотрафии ИПЦ СП1\ТД * * 191028, г. Санкт-Пете^{А-О^л2§0Й)ховая,-26