Однородно симметрические группы тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

р ^ 5 QД КИ1ВСБКШ УШВЕРСИТЕТ

1м. Тараса Шевченка

! и I;:; | ¡<ч;..1

На правах рукопису

Кротко Натал1я В1тал11вна ■

УДК 512.41/48

ОДНОР1ДНО СИМЕТРИЧН1 ГРУШ

01.01.06 - алгебра 1 теор!я чисел

АВТОРЕФЕРАТ дисертацН на здобуття наукового ступеня кандидата ф1зико-математичних наук

КиТв - 1995

Дисертац1ею в рукопис

Робота виконана в Ки!вському ун1верситет1 1м. Тараса Шевченка.

Науковий кер1вник

0ф1ц1йн1 опонэнти

Пров1дна установа

- доктор ф!зико-математичних наук, професор СУЩАНСШШ В.1.

- доктор ф1зико-математичних наук, пров. наук. сп1вр. 1М АНУ Сисак Я.П.;

- кандидат ф1зико-математичних наук, доцент 1ванюта 1.Д.

- Дн1пропе тровський державний

ун!верситет.

Захист в1дбудеться "<?6" о-&о6т/ч>,? 1995 року о год. на зас!данн1 спец1ал1зовано! вчено! ради Д 01.01.01 при Ки1вському ун!верситет1 1м. Тараса Шевченка за адресов:

252127, м.Ки1в-127, пр. акад. Глушкова, 6, механ1ко-математичний факультет.

3 дисертац!ею мохна ознайомитися в С10л1отец1 Ки1вського

ун!верситету 1м. Тараса Шевченка (вул. Володимирська, 58).

!

Автореферат роз!слано "сV " 6ер£ск<Я 1995 р.

Вчений секретар спец!ал1зовано1 вчено! ради

4

0вс1енко С.А.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальн1сть теми.

Досл1дження локально ск!нченних простих груп (LPS - груп) е ода1ею з центральная проблем теорП локально ск!нченних груп, як1й присвячено значну к1льк1сть публ!кац1й р!зних автор!в . Добре в1домими прикладами LFS-груп е ф1н1тарна знакозм!нна трупа, ун!версальна трупа Ф.Холла, групи Шевалле над локально ск1нченними полями, та ф1н1тарн! лШйн! групи. Останн1м часом увагу досл!дник1в привернули також 1нш1 класи LFS-груп, 1нтерес до яких виник, у першу черту, в зв'язку з задачею класиф!кац11 LFS-груп. "Глобальна" структура LFS-групи т!сно пов'язана з властивостями II покриття Кегеля, що дае змогу класиф!кувати LFS-групи за типами покритт!в. За теоремою У.Мейерфранкенфельда кожна LFS-груиа е ф1н1тарною, належить до альтернативного типу або ж до р-типу. Групи альтернативного типу 1 р-типу визначаються в!дпов1дними властивостями сво!х покритт!в Кегеля, як! будуються 1з знакозм!нних груп, чи л!н1йних груп над ск!нченними полями характеристики р. Досл1дження груп цих тип!в зд!йснюеться значною м!рою незалежно. Серед груп альтернативного типу вид!ляються т! LFS-групи, що е об'еднанням зростаючого ланцюга ск!нченних знакозм!нних груп. 1х вивченню присвячено роботи Б.Хартл!, О.Залесського, У.Мейерфранкенфельда, Ч.Праегера та 1н. Як в!домо, зростаюча посл!довн1сть

G1с G2s ...

знакозм1нних груп може характеризуватися лише певними типами занурень G±— Gi+1: регулярним 1 д!агональним.

Регулярним типом занурень характеризуеться, зокрема, ун!версальна трупа Ф.Холла. Саме тому цей тип занурень е б!льш вивченим. • Про LFS-групи, що е об'еднаннями знакозм!нних груп I в!дпов1дають д!агональному типу занурень, було в!домо зовс!м мало. В дан!й дисертац!йн1й робот! робиться спроба заповнити цю прогалину: в н1й досл!джуеться будова 1 розм!щення спец!альних п!дгруп симетрично1 груш S(N), як! е об'еднаннями зростаючих ланцюг!в симетричних чи знакозм1нних груп 1з зануреннями д!атонального типу.

Мета робота.

Досл1дити будову однор1дао симетричних труп 1ндуктивних границь ск!нченних симетричних труп 1з з'еднувальними гомоморф!змами дублфвання та вивчити 1х властивост!. Описати реш!тку таких п1дгруп в симетричн!й rpyni натурального ряду.

Метода досл!дження.

Використовуються метода теорИ локально ск1нченних груп п!дстановок.

Наукова новизна.

Основн! результата дисертац!йно! роботи е новими. Описано нормальну будову 1 класи спряженост! однор!дно симетричних груп. Виведено критер-1й трив!альност! стаб!л!затора п!дмножини та охарактеризовано стаб!л!затори розбитт!в спец1ального вигляду в однор!дно симетричних трупах. Знайдено критер1й 1зоморфност1 цих груп для р!зних посл1довностей з'еднувальних мономорф1зм1в. Встановлено, що вс! однор!дно симетричн! п!дгрупи симетрично! груш натурального ряду утворюють реш1тку, описано властивост! ц!е! реш!тки. Встановлено, що однор!дно симетрична група S(p) з посл!довн1стю дублювань кратност! р 1зоморфна груп! Кремони над дов!льним локально ск!нченним полем характеристики р, тобто остання не залежить в!д вибору такого шля. Побудовано дв! сер!! силовсышх р-п1дгруп в s(р), одна з яких складаеться з ф!н!тно апроксимовних груп, а друга - н!, що св!дчигь про !стотну в!дм1нн1сть силовсько! будови однор!дно симетрично! групи S(p) I ф!н!тарно! симетрично! груш PSOT.

Теоретичне ! прикладне значения.

Отриман! результата мають теоретичний характер. Вони можуть бути використан! при досл!дкенн! I класиф!кац!1 локально ск!нченних простих груп.

Апробац!я роботи.

OchobhI результата дасертацН допов!дались на зас!даннях сем!нару з теор11 груп та нап!вгруп при кафедр! алгебри та математично! лог!ки Ки!вського ун!верситету !м. Тараса Шевченка (1992 - 1994 pp.), на зас!данн! сем!нару з теорП груп при кафедр! алгебри Московського ун!верситету (1994 р.), на розширеному зас!данн! Ки!вського алгебра1чного сем!нару до 80-р1ччя професора Л.А.Калужн!на (1994 р.), на м!жнародн!й конференц!! "Групп !

трупов! к!льця" (Гл1в!це, Польща, 1994 р.), на Всеукра1нськ1й конферещИ молода вчених (Ки1в, 1994 р.).

Публ!кац!1.

Основн! результати дисертацН опубл1ковано в роботах [1]-[6].

Структура 1 обсяг дисертац!!.

Робота складаеться з вступу, чотирьох роздШв 1 списку л!терутури 1з 29 найменувань. Обсяг роботи 92 стор1нки машинописного тексту.

Автор висловлюе щиру подяку своему науковому кер!вников! доктору ф!зико-математичних наук, професору Сущанському В1тал1ю 1вановичу 1 кандидату ф!зико-математичних наук, доценту Ганюшк1ну Олександру Григоровичу за пост1йну увагу 1 допомогу в робот!.

3MICT РОБОТИ

У вступ! обгрунтовано актуальн!сть проблематики дисертацН, наводиться короткий огляд роб!т за темою дисертацН, характеризуемся зм!ст роботи.

Перший розд!л носить допом!кний характер. В ньому наводяться необх!дн! для подальшого в!домост1 1 формулюеться ряд допом!жних тверджень. В §1 описуеться конструкц!я !ндуктивно! границ! груп, характеризуються силовськ! п!дгрупи локально ск!нченних зл!ченних груп, дано визначення 1 вказано найпрост!ш! властивост! зр!заних в!нцевих добутк!в, наведено потр!бн! в!домост! з теорИ реш!ток. В §2 сформульовано ряд простих факт!в про п!дстановков! властивост1 !ндуктивних границь груп постановок (критер!й транзитивност!, сильно! транзитивност! тощо).

Другий розд1л дисертац!йно! роботи присвячений досл!дженню будови эе-однор!дно симетричних груп.

В §3 дано визначення 1 охарактеризовано найпрост!ш! властивост! груп S(ae).

Нехай s - симетрична група степеня n, г - ф!ксоване

натуральна число, г>1. Гомоморф1зм а.г:Зп—► назвемо дублюванням кратност! г, якщо постановка ¿г1с, що е образом постановки % 1з Бп, д1е на числа 1=кпИ (О^к^г-1 таким чином:

' (<1гтс)(1) = кп + ТСЦ).

Позначимо 2 множину вс!х неск1нченних послОовностей натуральных чисел. Для посл1довност1 ае = <к1,к2,...,к1,...> € £ покладемо к^к^...^, при будь-якому ± € N.

ОЗНАЧЕНИЯ 3.2. ае-спектром симетричних груп назвемо прямий спектр Граничну групу цього спектру називатимемо эе-однор1дно симетричною групою 1 позначатимемо символом Б (эе).

Кожен елемент групи Б(эе) можна ототожнити при деякому д с N з постановкою натурального ряду, яка мае вигляд

1 2 ... к.

i1 i2 ... i.

V1 V2

Число о € N вибираеться так, щоб початковий в!др1зок завдовжки к^ ц1е! постановки (I! визначальна частина) не можна було отримати шляхом дублювання з постановки на kJ_1 символах.

Bel постановки 1з Б(эе), визначальна частина яких м!ститься в

1

U , будуть утворювати 1зоморфну п!дгрупу, яку позначатимемо Тод1 s^c ... С g* с ... i

S (эе) = U Е? . 1=1 К1

Для дов!льно1 посл1довност1 эе € 2 група Б(ае) не м1стить фШтарних п1дстановок. Бона е к-транзитивною при будь-якому к € N. Центр групи Б(ае) трив1альний.

В §4 вивчаеться нормальна будова однор!дно симетричних груп

8(ае).

Посл1довн1сть эе € 2 назвемо парною, якщо неск1нченно багато II компонент е парними числами 1 непарною в противному раз1.

ТЕОРЕМА 4.1. Група Б(эе) буде простою тод! 1 т!льки тод!, коли посл!довн!сть ае парна. Якщо ж посл1довн1сть ае в непарною, то Б(эе) м!стить единий нормальний д!льник 1ндекса 2, який зб1гаеться з комутантом Б (ае) * 1 е простою групою.

Шдгрупу Б (ае)' мокна визначити незалекно як граничну трупу посл1довност! А~ ,А~.....А~ ,... знакозм!нних труп 1з

гомоморф! змами дублювання. А тому називатимемо !1 однор!дно знакозм!нною групою 1 позначатимемо А(ае).

В §5 характеризуются класи спряженост! однор!дно симетричних та однор!дно знакозм1нних груп.

Скороченим цикловим типом постановки тс 1з Бп назвемо такий

початок т'С&М^,-!; , ...,<;к) II циклового типу тОсМ^ ,1;2.....1;п),

що ^ - остання ненульова компонента вектора (t1,Ьг,... Скороченим цикловим типом постановки 1С € Б (эе) назвемо скорочений цикловий тип II визначально1 частини.

Скорочен! циклов! типи т^,) 1 т'(я2) постановок I %г 1з Б (эе) эе-пропорц!йн!, якщо мае м1сце р!вн!сть т' (%„) = о.. 'С'Сл:.), де

гу л» -1.т 1

о, = к.,,к, 0...к (о..=1), к, 1 к - довяшни визначальних частин

1гл хт 1 ±+с т д. т

п!дстановок тс1 I %г в1дпов!дно 1 ш > 1.

ТЕОРЕМА 5.1. Шдстановки с/. 1 р 1з Б (ае) будуть спряженими тод! й лише тод1, коли 1х скорочен! циклов! типи ае-пропорц1йн!.

ТЕОРЕМА 5.2. Кожен клас спряжених елемент!в в А(ае) зб!гаеться 1з певним класом спряжених елемент!в в Б (ае).

В §6 розглядаються стаб1л!затори п!дмножин 1 розбитт!в основно1 мнокини в однор!дно симетричн!й груп! Б(ае).

Для дов1льно1 груш постановок (в.М) 1 п!дмножини А с М иокладемо •

= (в € V т € А: те € А}, Р1х0(А) ={в€0|УтбА:га®= т).

Тод! Рхха(А) < 1 СА = Б^(А)/Р1х0(А) в групою Шдстановок

на мнокин! А.

Обмеження груш Б(эе), ае = <к1,к2,...> на п!дмножину М познача-

тимемо б". Нехай м/с [1,2.....к^ = Для дов1льного 1 > О

Ц,1)-зсувом множини м називатимемо мнокину

[М]^ = {т + 1к±|т € М}.

Найможлив1ш! (1,1)-зсуви множини К± утворюють розбиття множини N. тобто

00 1 N = и [К,]*.

1=0 1 1

Для п!дмножиш М с N покладемо

м п [к^ = [м}1}ф

Ця р!вн!сть визначав при дов!льних 1,1 деяку п1дмножину

с кг

ТЕОРЕМА 6.1. Обмеження групи Б(ае) на неск!нченну множину м буде трив!альним тод1 1 т1льки тод1, коли для кожного 1 € N 1 для кожно! неск!нченно1 п1дмножини 1 с 1^= -Сл. | М^^ 0} виконуеться нер1вн1сть

| П < 1. (1)

1€Ъ

НАСЛ1Д0К 6.1. Обмеження б" неск1нченно! множини М в груп! Б(эе) буде нетрив!альним, якщо знайдеться 1 € N таке, що

| Л > 1.

НАСЛ1Д0К 6.2. СтабШзатор неск1нченно! множини М в груп! Б(эе) буде трив!альним год! I т!льки тод!, коли умова (1) виконуеться як для множини м, так 1 для II доповнення.

ТЕОРЕМА 6.2. Обмеження Б^ на п1дмножину М вигляду

Ы = и

3=0

де М0 е [1,2,...,к1), 1 е Я, под!бне однор!дао симетричн1й груп! ЭОе'}, де эе' = <п,к1+1,к1+2,...>, п = |М0|.

СтабШзатором розбиття $ = <А1>1€1 множили М в груп1 постановок (0,Ы) називатимемо п!дгрупу Б-Ь^З) вс!х постановок 3 € с таких, що <а|>1€1= <а1>1€1« а його Ф1ксатором - п!дгрупу

Р1ха(3) таких g ( в, що Af = А±,1 € I. Очевидно, Р1х0(д) < б^(З') 1

с^ = природним чином д1е на множин! клас!в розбиття

д-

Для розбиття 3 множили N на ск!нченн! п!дмножини оДнаково! потужност!, покладемо Бж ^ = Б^{Эе)(д)/Р1Хд(зе)(Э).

ТЕОРЕМА 6.3. Нехай 3 - розбиття мнокини N виду

3 = и ( и

3=1 1=о 3 1

де м1 ,М2.....м - розбиття ¡^Ц « N1 на г р!внопотужних п!дмножин;

[и3]1= .....г» 1м31= у 0=1,2,....г. Тод! Б^д = Б (ж),

де ж = {г,к1+1,к1+г,...}.

В третьому роздШ вивчаються властивост! частково впорядковано! за включениям множили вс!х однор!дно симетричних п!дтруп Б (ГО. Виявляеться, що цю родину можна поповнити певними ск!нченними симетричними п!дгрупами Б(Н) так, що вс! однор!дно симетричн! у новому сенс! п!дгрупи будуть утворювати реш!тку (за включениям).

§7 присвячений вивченню реш!тки неск!нченних посл!довностей над N = N и {0} и {«>}. Елемент «> вважаемо найб!льшим елементом множини N. Символом позначимо декарт!в зл!ченний степ!нь множини N. На множин! гг введемо в!дношення часткового порядку поклавши

для дов!льних посл!довностей а = ..•> 1 Н = <р1,р2,...>:

а < Б о с^ $ Р±(1=1,2,...).

Частково впорядкована множина (N^,0 е реш!ткою, яку позначатимемо символом ©. Ця реш!тка е повною дистрибутивною реш1ткою, м!стать найменший I найб1льший елементи, а доповнення в © мають т! 1 т!льки т! посл1довност!, що складаються лише з символ!в 0 1 ю. Доповняльн! елементи реш!тки ® утворюють п!дреш!тку атомами ЯК01 будуть ПОСЛ1ДОВНОСТ1, ЩО м1стять СИМВОЛ 00 лише один раз.

Позначимо через С? мнокину вс!х тих посл1довностей а £ для яких виконуеться одна з вимог:

1) в посл!довност1 а зустр!чаеться хоч один символ со;

2) число ненульових член!в посл1довност! неск1нченне, а через © - II доповнення © = \ <5.

ТЕОРЕМА 7.2. Множина (<§,<) утворюе повну верхню нап1вреш!тку, мШмальними елементами яко! будуть атоми реш1тки а множина (©,<) - повну нижню нап1вреш!тку без максимальних елемент1в.

Реш1тка © з'являегься як реш!тка (вс!х чи деяких) п1дгруп в

р1зних групах. Зокрема, реш!тка вс!х п!дгруп групи |~|с 00 1 реш!тка

р р

п1дгруп групи (С3, + ), як1 м1стять п1дгрупу 2, е 1зоморфними реш!тц!

*В §8 доводиться, що вс1 однор!дно симетричн! п!дгрупи групи Б (Ы) (у розширеному сенс! цього терм!ну) утворюють реш!тку за включениям, яка 1зоморфна реш1тц!

Нехай П - п!дмножина 2. яка складаеться з ус!х посл!довностей, компонента яких е простими числами.

ТЕОРЕМА 8.1. Для дов1льно! посл1довност! ае € Е 1снуе посл!довн1сть зе' € П така, що Б(ае) = в(ае').

Символом П0 позначимо множину вс!х ск!нченних посл!довностей з простими компонентами. Посл!довност1 эе = ^.> 6 П0 поставимо у в1дгюв1дн1сть п1дгрупу 8(эе) групи яка складаеться

з ус!х постановок виг ляду

1 2

х2 ••• V

V V2 "* 2<35

/У Л/ о

12+Чз ... ^з

де qg= q1q2...qg 1 початок довжини qg в постановкою з симетрично! груш . Очевидно, що Б(эе) « Б~ . Групи Б(<е), ае € П0 також будемо

чз чз

називати эе-однор!дно симетричнши трупами.

Занумеруемо вс! прост! числа р^р ,... у порядку 1х зростання. Характеристикою посл!довност! ае € П = П и П0 назвемо поел!довн!сть С1гаг(ае) = <п1,пг,...>, 1-тий член г^ яко! дор!внюе к!лькост! входжень простого числа р1 в посл!довн!сть ае або ж символу <», якщо таких входжень неск!нченно багато. ^

ТЕОРЕМА 8.2. Включения Б(ае1) е Б(эе2) виконуеться тод! I т!лыш тод!, коли мае м1сце нер!вн1сть сьаг(ае ) $ С11аг(эе2).

А»

НАСЛ1Д0К. Однор!дно симетричн! груш Б (эе1) I 5(аег), ае, ,аег с П зб!гаються в тому 1 лише в тому раз!, коли виконуеться р!вн!сть СЬаг(эе1) = С)1аг(эег).

ТЕОРЕМА 8.3. Множина однор!дно симетричних п!дгруп -СБ(эе)|эе <е П} групи э(И), частково впорядкована за включениям, утворюе повну реш!тку, яка !зоморфна реш!тц!

НАСЛ1Д0К 8.1. Множила неск!нченних однор!дно симетричних п!дгруп {Б (ае) |эе € П} груш Б (И) утворюе повну верхню нап!вреш!тку, 1зоморфну нап!вреш!тц! ©.

НАСЛ1Д0К 8.2. Множина ск!нченних однор!дно симетричних п!дгруп {Б(ае) |ае í П0) груш Б(Ы) утворюе повну нижню нап!вреш!тку, 1зоморфнунап!вреш1тц1 ©.

М1н1мальними елементами нап!вреш1тки & (вс!х неск!нченних однор!дно симетричних груп) будуть груш Б (ае), де эе = <р,р,...> 1 т!льки вони.

В §9 доводиться критер!й 1зоморфност1 однор!дно симетричних груп. Встановлено, що п!дгрупи Б(ае1) 1 Б(эе2) будуть 1зоморфними

тод! 1 г!льки тод!, коли вони зб!гаюгься.

В §10 вивчаються м!н!мальн! елементи нап1вреш!тки Й, як! позначатимемо символом S(p). Показано, що групу S(p) можна !нтерпретувати я® групу б!рац1ональних автоморф!зм1в зл!ченновим!рного векторного простору над ск!нченним чи локально ск!нченним полем характеристики р, причому вона не залетать в!д вибору поля.

Четвертий розд!л дисертацИ присвячений вивченню силовсько! будови груш s (р).

В §11 наводяться основн! властивост! зр!заних в!нцевих добутк!в, як! використовуються при побудов! силовських р-п!дгруп групи S(р).

В §12 досл!джуеться т.зв. головна силовська р-п!дгрупа однор1дно симетрично! групи S(p). Вона 1зоморфна як група

постановок зр!заному в!нцевому добутку Р = § С(1) за неск1нчвнною

т IP) i€N Р

посл1довн1стю (г . С ,... регулярних цшШчних груп постановок Р Р 00

порядку р, котрий д!е на множин! V = П zp> v 1 е N-

Доведено, що вона е ф!н!тно апроксимовною групою, N-групою 1 мае трив!альний центр.

В §13 за допомогою головно! силовсько! р-п1дгрупи будуеться неск!нченна сер!я попарно не1зоморфних ф!н!тно апроксимовних силовських р-п!дгруп Q^, 1 е N одаор!дно симетрично1 груш S(p), кожна з яких !зоморфна рх-тому прямому степеню груш Р. На в!дм!ну в!д випадку ф!н!тарно! груш 1 \ вс1 силовськ! п!дгруш груш s(p) за допомогою головно! силовсько! р-п1дгрупи (I силовських р-п!дгруп ск!нченних симетричних груп) описати неможливо, оск!льки мае м!сц8

ТЕОРЕМА 13.2. В груп! S(p) !снують не ф!н1тно апроксимовн! силовськ! р-п!дгрупи.

При доведенн1 ц!е! теореми наводиться явна конструкц!я для побудови таких п!дгруп.

1' Иванюта И.Д. Силовские р-подгруппы счетной симметрической группы // Укр. мат. журн. - 1963. - т.15, А 3. - С.240-248.

РОБОТИ АВТОРА ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦП

1. Кротко Н.В. Индуктивные пределы симметрических груш с гомоморфизмами дублирования // Материалы третьей международной конференции по алгебре памяти М.И.Каргаполова, 23 - 28 августа 1993 г., Красноярск. С.186.

2. Кротко Н.В., Сущанський B.I. Однор1дно симетричн! групи // Допов1д1 АН Укра!ни. - 1993. - J612. - С.9-13.

3. Сущанський B.I., Крошко Н.В. Ф1н1тарна група б1рац!ональних автоморф!зм1в неск{нченновим!рного аф!нного простору над ск!нченним полем // Математичн! студП, Льв1в. - 1994. - в.4. -

с .#-/9.

¥

4. Крошко Н.В. р-однор!дно симетричн! групи // Прац! Всеукра1нсько! конференцИ молодих вчених (математика) / Ки1в. ун-т. - Ки!в, 1994. - С.3-9. - В1бл1огр. 7 назв. - Укр. - Деп. в ДНТБ Укра!ни, № 1302-УК 94 в!д 20.07.94.

5. Sushchansky V.l., Kroshko N.V. Direct limits of finite Symmetrie groups with diagonal embedding // Groups and Group Frings. Gliwioe, September 1994. - P.25.

6. Крошко Н.В. Реш1тка однор!дно симетричних п!дгруп в симетричн!й груп! натурального ряду // Ки!в: Ки1в. ун-т, 1994. - 20с. - Деп. в ДНТБ Укра!ни, M 1682-УК 94 в!д 15.08.94.

Крошко H.В.

Однородно симметрические группы. Рукопись. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.06 - алгебра и теория чисел. Киевский университет, Киев, 1995.

В диссертации исследуется строение и подстановочные свойства однородно симметрических групп. Описаны их нормальное строение и классы сопряженности, выведен критерий изоморфности однородно симметрических групп, охарактеризованы бесконечные серии силовских р-подгрупп с существенно различными свойствами. Установлено, что все однородно симметрические подгруппы в S(N) образуют решетку, описаны ее свойства.

Диссертация содержит результаты, отраженные в шести публикациях автора.

Natalya V. Kroshko

Homogeneous Symmetrical Groups. Manusoript. Thesis for a degree of Candidate of Soienoes (Ph.D.) in Physios and Mathematics, speoiality 01.01.06 - Algebra and Number Theory. Kiev University, Kiev, 1995.

îhe construction and the permutational properties of the homogeneous symmetrical groups are investigated in the present dissertation. For suoh groups the following results are established: their normal construction and conjugate classes are described; the isomorphism criterion of the homogeneous symmetrical groups is obtained; the infinite series of Sylow p-subgroups with essentially different properties are characterized. It has been established that all homogeneous symmetrical subgroups of S(N) forms the lattice whioh properties are described.

The dissertation oontains the results reflected in six author's publications.

Ключов! слова: симетрична група, 1ндуктивна границя, мономорф!зм дублювання, силовськ! п!друпи, реш1тка п!дгруп.