Ограничения на концентрацию первичных черных дыр и их космологические следствия тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.16 ВАК РФ

Климай Петр Александрович

Ограничения на концентрацию

первичных черных дыр и их космологические следствия

01.04.16 — физика атомного ядра и элементарных частиц

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 2010

004600829

Климай Петр Александрович

Ограничения на концентрацию

первичных черных дыр и их космологические следствия

01.04.16 — физика атомного ядра и элементарных частиц

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 2010

Работа выполнена в Учреждении Российской академии наук Институте ядерных исследований РАН.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук Э. В. Бугаев Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук Г. С. Бисноватый-Коган

доктор физико-математических наук В. И. Докучаев

Ведущая организация:

Астрокосмический центр Физического института им. П. Н. Лебедева Российской академии наук (АКЦ ФИАН)

Защита диссертации состоится « > $ —" 2010 г. в

/е час. на заседании Диссертационного совета Д 002.119.01 Учреждения Российской академии наук Института ядерных исследований РАН по адресу: 117312 Москва, проспект 60-летия Октября, дом 7а.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Учреждения Российской академии наук Института ядерных исследований РАН.

Автореферат разослан » 2010 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 002.119.01

кандидат физико-математических наук Б.А. Тулупов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. Основой нашего понимания пространства, времени и явления гравитации на сегодняшний день является Общая теория относительности (ОТО) А. Эйнштейна. Эта теория имеет ряд важных следствий и, в частности, предсказывает некоторые эффекты, делающие возможной ее опытную проверку (отклонение света в гравитационном поле, замедление хода часов, гравитационное красное смещение, и другие). Некоторые из этих эффектов уже обнаружены экспериментально - в земных условиях или при астрономических наблюдениях. Фридма-новская модель расширяющейся Вселенной, основанная на ОТО, является сегодня основой современной Стандартной космологической модели.

Другим важным следствием теории является возможность существования черной дыры - объекта, который, по простому определению, поглощает все, что попадает достаточно близко к нему, и не выпускает ничего во внешний мир. И хотя идея о возможности существования черных дыр высказывалась еще в XVIII веке Д. Мичеллом и П.-С. Лапласом (на основе ньютоновской теории гравитации и классических представлений о свете), важно, что черные дыры в ОТО - объекты, существование которых прямо следует из последовательной теории пространства-времени и гравитации.

Еще одним характерным предсказанием ОТО является существование гравитационных волн (ГВ) - тензорных возмущений космологической метрики, свободно распространяющихся со скоростью света.

Несмотря на многочисленные косвенные указания, ни черные дыры, ни гравитационные волны до сих пор не были обнаружены в прямом эксперименте, т.е. ОТО остается непроверенной в ряде важнейших предельных случаев. Кроме того, современные теории ранней Вселенной утверждают, что в ней возможно было рождение черных дыр (например, в результа-

те эволюции первичных флуктуаций плотности) и фона реликтовых ГВ (например, в результате эволюции квантовых флуктуаций метрики), поэтому поиски таких черных дыр (называемых первичными) и реликтовых ГВ (или хотя бы установление экспериментальных пределов на их коЕщен-трацию) существенны для проверки различных моделей развития нашей Вселенной в первые мгновения ее существования (в частности, инфляционной модели).

Идея о возможности существования первичных черных дыр (ПЧД) была высказана в пионерских работах Зельдовича и Новикова [1] и Хокинга [2]. Для рождения ПЧД в результате гравитационного коллапса космологических возмущений плотности, задаваемых величиной 5 = 5р/р, ранняя Вселенная должна быть неоднородной. Согласно Карру и Хокингу [3], в момент прохождения флуктуации с избыточной плотностью под горизонт (когда к = аН, где к - сопутствующее волновое число флуктуации плотности, а - масштабный фактор, Н - функция Хаббла), для коллапса флуктуации и появления ПЧД должно быть 1/3 < 6 < 1. Таким образом, ясно, что для рождения заметного количества ПЧД из флуктуаций плотности их характерная среднеквадратичная амплитуда должна быть достаточно велика, 6 > Ю-2. Если верно предположение Гаррисона [4] и Зельдовича [5] о масштабной инвариантности спектра начальных возмущений (в этом случае 6 одинакова для начальных флуктуаций, соответствующих любым к), то рождение ПЧД за счет рассматриваемого механизма - крайне маловероятный процесс, т.к. на масштабах сопутствующих волновых чисел к ~ 10~3 Мпк"1 амплитуда первичных скалярных возмущений известна и мала: по данным современных экспериментов, измеряющих анизотропию реликтового излучения, спектр мощности сопутствующих возмущений кривизны Тц = 2.4 х 10"9, и 6 ~ Т-Ц2 ~ Ю-5. Однако современные

теоретические модели, как правило, предсказывают отклонения от строгой масштабной инвариантности, и результаты поиска ПЧД могут быть использованы для проверки таких моделей в широкой области к.

Значительное рождение ПЧД из флуктуаций плотности возможно либо если Vn растет с уменьшением масштаба (увеличением к), либо в случае, когда спектр имеет, в силу каких-либо причин, максимум (или ряд максимумов) в области больших к (например, к ~ Ю10 — Ю20 Мпк Такие максимумы могут возникать как в инфляционных моделях с одним скалярным полем (в этом случае в определенные промежутки времени инфляционный потенциал имеет особенности, приводящие к замедлению темпа инфляции -например, локальный максимум, через который поле в процессе инфляции медленно "переваливается"), так и в более сложных моделях с несколькими полями. В последнем случае имеется, как правило, два этапа инфляции, иногда разделенных периодом медленного расширения.

Величина спектра Vn{k) может достигать больших значений как результат монотонного роста значения спектра, в частности, в моделях с потенциалами класса "hill-top" ("вершина холма"), частным случаем которых является модель с инфляционным потенциалом с "бегущей массой", предложенная Стюартом [6j. Изучение таких моделей, расчет соответствующих спектров возмущений и концентрации ПЧД является важной задачей. Одной из целей работы является нахождение форм потенциалов, для которых возможно достижение спектром скалярных возмущений достаточно больших значений и изучение вопроса о точности разных методов расчета этого спектра.

На сегодняшний день имеется ряд ограничений на концентрацию ПЧД, полученных из разных соображений. Во многих случаях эти ограничения даются в терминах параметра Р{Мвн) - доли плотности энергии Вселен-

ной, заключенной в ПЧД массы Мвн на момент их образования, предполагая, при этом, что все ПЧД рождаются с одинаковыми массами, по порядку величины равными массе горизонта Л4 в этот момент. Это, как оказывается, является довольно грубым приближением к действительности. Численные расчеты, проведенные в работах Ниемейера и Джедамзика [7], показали, что гравитационный коллапс с образованием ПЧД может иметь "критическое поведение", что может привести к образованию в спектре масс ПЧД степенного "хвоста" в области Мвн ^ Мд, так что учет ненулевой ширины спектра масс в этом случае особенно важен. Расчет спектра масс ПЧД для заданного спектра первичных возмущений плотности может быть проведен на основе формализма Пресса-Шехтера [8]. В диссертации уделяется существенное внимание методу расчета спектра масс ПЧД и получению ограничений на параметры некоторых инфляционных моделей.

Большой интерес представляет вопрос о связи возможной концентрации ПЧД во Вселенной и спектра ГВ, который, возможно, удастся измерить экспериментально существующими или планируемыми в будущем детекторами. Ранее в литературе рассматривалось образование фона ГВ от коллапсов черных дыр (в том числе первичных), но в случае ПЧД оказывается, что этот фон достаточно мал. Коалесценция (слияние) ПЧД с массами ~ 0.5М?, находящихся в галактическом гало, могла бы, в принципе, дать сигнал, который смогут измерить наземные интерферометры типа ЬГСО/У^о. Испарение ПЧД малых масс в ранней Вселенной также рождает сверхвысокочастотный фон ГВ.

Принципиально новый способ получения ограничений на концентрацию ПЧД из наблюдений гравитационных волн был недавно предложен Сайта и Йокоямой [9]. Оказывается, что большие значения Тк, необходимые

для рождения ПЧД, во втором порядке космологической теории возмущений приводят к рождению фона ГВ достаточно большой величины. В частности, имеющиеся в области частот / ~ Ю-8 Гц ограничения на этот фон (полученные из наблюдений пульсаров) позволяют дать очень жесткие пределы на возможную концентрацию ПЧД больших масс (порядка 102 —104Ма). Фон индуцированных гравитационных волн оказывается, таким образом, новым важным свидетельством возможного существования ПЧД и способом измерения как их концентрации, так и величины спектра Р-ц. Этот вопрос подробно изучается в настоящей работе.

Другим важным вопросом является проблема экспериментального поиска испаряющихся ПЧД. Как показал Хокинг [10], каждая черная дыра должна испускать в вакуум стационарный поток частиц, то есть "испаряться". ПЧД с начальными массами М„ ~ 5 х 1014 г сейчас должны находиться на финальной стадии этого испарения, давая потоки высокоэнергичных частиц. Гамма-кванты, излученные таким образом, можно было бы регистрировать, например, наземными ливневыми установками.

Кроме прямого хокинговского потока испаряемых черной дырой фотонов, имеется еще вклад вторичных частиц, образованных в распадах ад-ронов, в свою очередь родившихся в результате фрагментации испаренных кварков (этот вклад доминирует при низких энергиях). В классической работе МакГиббон и Веббера [11] был рассчитан спектр вторичных частиц в предположении, что продукты испарения между собой не взаимодействуют. Хеклер [12] поставил под сомнение это предположение, высказав простые аргументы в пользу того, что за счет сильных (и даже электромагнитных) взаимодействий вокруг черной дыры при высоких температурах может образоваться тепловая фото- или хромосфера. Эта идея была поддержана некоторыми другими исследователями. В недавней работе Мак-

Гиббон, Kappa и Пэйджа [13], однако, приводятся доводы в пользу того, что хромосфера не образуется в силу нескольких физических и геометрических причин. Тем не менее, задачу об испарении черной дыры в любом случае нельзя считать до конца решенной. Во всяком случае, процессы формирования спектра хокинговского излучения нельзя отделить от процессов взаимодействия испаряемых частиц, происходящих на расстояниях от центра черной дыры, превышающих (в некоторых моделях значительно) ее гравитационный радиус. Одной из задач диссертации является оценка того, насколько прямые экспериментальные пределы на концентрацию ПЧД могут измениться, если вокруг черной дыры в результате некоторого механизма образуется квазихромосфера.

Целью работы является: 1) анализ возможностей реализации сценариев эволюции ранней Вселенной, при которых происходит рождение значительного количества ПЧД, 2) разработка методов вычисления их концентрации в таких случаях, 3) получение космологических ограничений на спектр первичных возмущений кривизны и величину фона индуцированных гравитационных волн из имеющихся экспериментальных данных по поиску астрофизических следствий испарения ПЧД, а также 4) изучение возможностей прямого детектирования испаряющихся ПЧД.

Научная новизна и практическая ценность.

Впервые прямым численным расчетом показана возможность образования высокого пика в спектре первичных возмущений кривизны Vn{k), генерируемом на инфляционной стадии в модели с двугорбым потенциалом У(ф) ~ (ф2 — ь2)2. Возможность достижения спектром достаточно больших значений также показана для некоторых других моделей, в том числе для инфляционной модели с потенциалом с "бегущей массой". В последнем случае проведен тщательный анализ и установлено, что для рождения значи-

тельного количества ПЧД требуется очень небольшой положительный бег индекса спектра скалярных возмущений на космологических масштабах: гг(, ~ 0.005. С использованием формализма "крупнозернистого поля" для этой модели изучен вопрос о применимости описания инфляции в терминах классических траекторий в фазовом пространстве. Показано, что для корректности такого описания начальное значение поля должно быть не слишком близко к максимуму потенциала.

Разработан новый метод расчета спектров масс ПЧД, основанный на формализме Пресса-Шехтера и явно учитывающий зависимость гравитационного потенциала от времени (без привлечения передаточных функций). С использованием этого метода проведены расчеты спектров масс ПЧД для нескольких предсказываемых видов Т^к) в моделях, где возможны его достаточно большие значения.

Из экспериментальных данных по внегалактическим потокам электронных антинейтрино и гамма-квантов, а также из ограничений на энергетическую долю плотности ПЧД во Вселенной получены ограничения на параметры спектра Рц{к) в модели с пиком в спектре первичных возмущений кривизны в области малых масштабов. Для инфляционной модели с потенциалом с "бегущей массой" получены ограничения на ее параметры в терминах наблюдаемых величин щ и п'0 (спектральный индекс и его производная).

Впервые изучена форма спектра индуцированных гравитационных волн в модели с пиком конечной ширины в Тц(к) и в инфляционной модели с потенциалом с "бегущей массой". Показано, что доля плотности энергии на логарифмический интервал к, заключенная в индуцированных ГВ в сегодняшней Вселенной, Псцг(к), может достигать значений ~ 10~7 в области частот Ю-3 — 103 Гц, важной для современных и планируемых в будущем

экспериментов, не входя в противоречие с данными по ПЧД. Впервые существующие ограничения на величину спектра Т'^к) использованы для получения предела на возможную величину фона индуцированных гравитационных волн во Вселенной в интервале частот — 10,! Гц.

Проведены расчеты спектров гамма-квантов и временных параметров вспышки для общепринятой и некоторых нестандартных моделей испарения черной дыры (на последней стадии этого испарения). Показана модельная зависимость прямых экспериментальных пределов и необходимость использования новых методов регистрации ПЧД в случае, если вокруг черной дыры образуется фото- или хромосфера.

На защиту выносятся следующие основные результаты:

1) Показано, что первичные флуктуации плотности с амплитудой, достаточной для рождения в ранней Вселенной первичных черных дыр, могут возникать в ряде инфляционных моделей с одним скалярным полем. Рассмотрены два типа таких моделей: модель с двугорбым инфляционным потенциалом и модель с инфляционным потенциалом с "бегущей массой".

2) Разработан способ вычисления спектра масс первичных черных дыр в общем случае произвольной зависимости спектра первичных возмущений плотности от сопутствующего размера области возмущения, а также в случае зависимости гравитационного потенциала от времени.

3) Получены ограничения на параметры инфляционных потенциалов в моделях с большими флуктуациями плотности, основанные на сравнении предсказанных в этих моделях диффузных внегалактических потоков фотонов и нейтрино, возникающих при испарении рождающихся первичных черных дыр, с данными экспериментов.

4) Получены ограничения на амплитуды индуцированных гравитационных волн в области больших частот (порядка 10~3 —103 Гц), основанные

на уже имеющихся (из поисков ПЧД) ограничениях на спектр первичных флуктуаций плотности.

5) Изучены временные и энергетические характеристики гамма - всплесков, генерируемых ПЧД на конечной стадии испарения.

Апробация диссертации. Основные результаты, полученные в диссертации, доложены на 30-й и 31-й Международных конференциях по космическим лучам (Мексика, Мерида, 2007 и Польша, Лодзь, 2009), 15-м Международном семинаре (ЗиА11К8'08 (Россия, г. Сергиев Посад, 2008), 50-й, 51-й и 52-й Научных конференциях МФТИ (Россия, г. Долгопрудный, 2007-2009), 30-й Всероссийской конференции по космическим лучам (Россия, г. Санкт-Петербург, 2008) и Международной школе по астрофизике элементарных частиц 1БАРР (Италия, Сорренто, 2006), а также на семинарах ИЯИ РАН.

Публикации и личный вклад автора. Результаты диссертации опубликованы в 15 работах, их список приведен в конце автореферата. Личный вклад автора в получение результатов, выносимых на защиту, является определяющим. Автор принимал непосредственное участие, на всех этапах, в работах [1-3, 5, 9-12], сделанных в соавторстве с научным руководителем. Остальные работы опубликованы совместно с научным руководителем и группой экспериментаторов Баксанской нейтринной обсерватории ИЯИ; для них автором делались теоретические расчеты, необходимые для обработки экспериментальных данных и для анализа результатов эксперимента (сами эти результаты на защиту не выносятся).

Структура и объем работы. Диссертация состоит из Введения, четырех глав основного текста и Заключения. Общий объем диссертации составляет 151 страницу. Диссертация содержит 33 рисунка, 1 таблицу и список литературы из 170 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во Введении обосновывается актуальность темы, дается краткий исторический обзор и ставится задача исследования. Отмечается научная новизна и практическая значимость результатов, дается краткое изложение содержания диссертации, перечисляется, где диссертация прошла апробацию.

В первой главе рассматриваются теоретические модели ранней Вселенной, предполагающие фазу инфляционного расширения. Рассчитывается спектр возмущений кривизны, генерируемый при разных предположениях о форме потенциала поля инфлатона. Внимание уделяется моделям, в которых спектр может достигать достаточно больших значений, не входя в противоречие с существующими данными эксперимента.

В разделе 1.1 приводятся основные соотношения, позволяющие произвести численное решение уравнений эволюции для скалярного поля - инфлатона и его возмущений, объясняются методы расчета и выбор начальных условий. Выводится известная простая приближенная формула для спектра сопутствующих возмущений кривизны Тц(к), получаемая в приближении "медленного скатывания". Приводится также более точная формула Стюарта-Люта [14], учитывающая члены более высокого порядка малости. Отмечается известный факт, что в случаях, когда имеются сильные отклонения от режима "медленного скатывания", эволюция возмущений на масштабах, больших размера горизонта, может оказаться нетривиальной, и привести к появлению особенностей в спектре Тц (в этом случае приближенные формулы оказываются ненадежными).

В разделе 1.2 приводится ряд конкретных примеров однополевых инфляционных моделей, в которых достаточно большие значения Тц (порядка 0.1 - 0.01) достигаются при некотором значении к, при этом значение

спектра на космологических масштабах (к ~ Ю-3 Мпк-1) соответствует данным эксперимента [Гц ~ 10~э).

В подразделе 1.2.1 подробно показывается, путем прямого численного расчета, что таким свойством обладает модель с двугорбым инфляционным потенциалом вида

У(Ф) = ±(Ф2-УГ, (1)

если параметры потенциала надлежащим образом подобраны. Показывается важность использования численного расчета и неприменимость простых формул, получаемых в приближении "медленного скатывания".

В подразделах 1.2.2 и 1.2.3 то же показывается, соответственно, для потенциалов Коулмена-Вайнберга

Л

4

и потенциала вида

Ф

1\ Л

У(ф) = ^[ ЫГ -- (2)

У(ф) = \(1 + Аф3-Вф), (3)

приводится сравнение полученных результатов с результатами других работ и делается вывод о важности численного решения уравнений в рассматриваемых случаях.

В разделе 1.3 подробно изучается инфляционная модель с "бегущей массой", предложенная Стюартом. В подразделе 1.3.1 приводится описание и обоснование данной модели, показывается, что в линейном приближении потенциал модели записывается в простом виде

У(ф) = У0-^сН]ф2

(4)

обосновывается применимость линейного приближения. Показывается, что значение параметра с и 0.06 является вполне естественным с точки зре-

ния моделей SUSY-GUT. Для определенного набора параметров в подразделе 1.3.2 проводится численное вычисление спектра возмущений Vn(k) и показывается, что при больших к (соответствующих моментам эволюции системы в конце инфляции, когда нарушаются условия "медленного скатывания"), приближенные формулы оказываются неточны, а спектр Vn{k) может достигать достаточно больших значений в случае, если производная спектрального индекса скалярных возмущений на космологических масштабах, п'0, имеет порядок 0.005. В подразделе 1.3.3 для потенциала данной модели изучаются эффекты квантовой диффузии, в том числе вопрос о применимости описания инфляции в терминах классических траекторий в фазовом пространстве. Показывается, что классическое описание корректно, если начальное значение скалярного поля находится не слишком близко к максимуму потенциала.

Во второй главе излагается метод расчета спектров масс ПЧД, основанный на формализме Пресса-Шехтера и явно учитывающий зависимость гравитационного потенциала от времени. Проводятся расчеты спектров масс в конкретных случаях, в частности, для случаев спектров первичных возмущений, рассмотренных в главе 1. Получается ряд ограничений на параметры некоторых моделей ранней Вселенной и спектр космологических возмущений кривизны.

В разделе 2.1 приводится вывод формулы для спектра масс ПЧД, обсуждается зависимость спектра масс от модели гравитационного коллапса (рассматриваются модели сферически-симметричного коллапса Карра-Хокинга и критического коллапса), обсуждается роль временной зависимости гравитационного потенциала и приводятся примеры расчетов спектра масс ПЧД в случае спектра Vn{k) с максимумом.

Раздел 2.2 посвящен вычислению диффузных спектров фотонов и ней-

трино, образованных испаряющимися ПЧД с данным спектром масс.

В разделе 2.3 получены ограничения на спектр возмущений кривизны с максимумом из ненаблюдения ПЧД и продуктов их хокинговского испарения (см. рис. 1). При этом спектр параметризуется в простом виде

(\gkfko)2

]6ЫА) = Я + (187$-В)ехр

2Е2

(5)

где В « —8.6, значение задает максимальную величину, достигаемую

1еЛ4°[8]

Рис. 1: Ограничения на возможную высоту "Р^ пика в спектре скалярных возмущений, предполагая, что он может быть аппроксимирован зависимостью (5), для £ = 3 (М° - масса горизонта, соответствующая масштабу ко). Показаны ограничения, следующие из наблюдений внегалактических потоков гамма-квантов и нейтрино, а также ограничение по доли плотности энергии Вселенной в ПЧД. Штрихованные кривые соответствуют модели критического коллапса с порогом рождения ПЧД 6С = 0.45, сплошные -модели коллапса Карра-Хокинга (6С = 1/3).

спектром при к = kQ, а Е характеризует ширину распределения.

В разделе 2.4 получены аналогичные ограничения для модели с потенциалом с "бегущей массой", выраженные в терминах экспериментально наблюдаемых величин щ и п'й (спектральный индекс и его производная). Оказывается, что значение п'0 сильно ограничено по данным ПЧД и не может превышать (3 — 6) х 10~3 (точное ограничение при этом зависит от других параметров).

Раздел 2.5 посвящен проверке идеи (появившейся в литературе несколько лет назад) о том, что ПЧД, накопившиеся в центре нашей Галактики в результате гравитационной кластеризации, могут приводить к появлению 511 кэВ-ной фотонной линии в направлении из Галактического Центра за счет аннигиляции позитронов, испаренных этими ПЧД (известно, что такое излучение на самом деле наблюдается). Показано, что это действительно возможно, если ПЧД имеют массу ~ 1017 г, а их полная суммарная масса « 109Ai®. При этом обеспечивается необходимое количество испаряемых позитронов и нет противоречия как с данными по диффузному внегалактическому потоку фотонов, так и с данными по их потоку из центра Галактики.

Третья глава посвящена вопросу о связи ПЧД и гравитационных волн, индуцированных скалярными возмущениями.

Раздел 3.1 имеет обзорный характер и посвящен теоретическим моделям, в которых возможно рождение принципиально наблюдаемого фона ГВ. Кратко рассматривается генерация ГВ в моделях инфляции, прехи-тинга, при фазовых переходах в ранней Вселенной, в моделях с космическими струнами, в теориях бран, в моделях с хокинговским испарением гравитонов из ПЧД.

Раздел 3.2 посвящен вопросу о ГВ, генерируемых скалярными возмуще-

ниями во втором порядке космологической теории возмущений. Выводится связь частоты ГВ с массой горизонта, приводятся формулы для спектров ГВ, излагается метод вычисления доли плотности ГВ во Вселенной Qgw (на логарифмический интервал к). Такой расчет проводится, в частности, в случае спектра Vn{k), аппроксимированного ¿-функцией.

В разделе 3.3 приводится расчет flaw для случая спектра Vn(k), имеющего пик конечной ширины и проводится сравнение с имеющимися дан-

lg f [Hz]

0. 1. 2. 3. 4.

lg k [Mpc"']

Рис. 2: Расчет фона ГВ второго порядка View, индуцированных скалярными возмущениями в случае спектра Vu{k) с пиком при /о = 100 Гц ширины £ = 3 и высоты V^ = 0.032 (верхняя кривая) и = 0.016 (нижняя кривая). Такие значения V^ соответствуют максимально допустимым величинам, не запрещенным по данным ПЧД (см. рис. 1). Также показаны существующие пределы эксперимента LIGO и ожидаемая конечная чувствительность Advanced LIGO.

ными эксперимента и возможностями будущих экспериментов (см. рис. 2).

Раздел 3.4 посвящен обсуждению максимально возможного фона индуцированных ГВ и возможности установить на него ограничения из данных по ПЧД. Показано, что такие ограничения существенны для интерпретации результатов экспериментов по регистрации ГВ в интервале частот Ю-3 - Ю3 Гц.

В разделе 3.5 фон индуцированных ГВ изучается в модели с потенциалом с "бегущей массой", и показывается, что í2gw также может достигать в этом случае достаточно больших значений, принципиально детектируемых в таких экспериментах, как Advanced LIGO или ВВО.

Обсуждение результатов третьей главы и сравнение разных методов получения ограничений на спектр V-ji(k) приводятся в разделе 3.6. Показывается, что в будущем измерения фона ГВ позволят дать гораздо более сильные ограничения на спектр скалярных возмущений и концентрацию ПЧД, чем имеются сегодня.

В четвертой главе рассматривается вопрос о возможности обнаружения ПЧД на последней стадии испарения в экспериментах, регистрирующих гамма-кванты высоких энергий.

В разделе 4.1 делаются оценки того, какой могла бы быть концентрация испаряющихся ПЧД в окрестности Солнечной Системы и обосновывается интерес к прямым экспериментальным пределам на эту величину.

В разделе 4.2 проводится обзор литературы, посвященной испарению ПЧД. Приводятся аргументы в пользу того, что задача об испарении черной дыры еще не решена окончательно, и существующие теоретические неопределенности могут оказать существенное влияние на интерпретацию данных экспериментов.

Примеры расчетов спектров гамма-квантов и временных параметров

вспышки для некоторых моделей испарения (модель с прямой фрагментацией кварков и хромосферные модели) приводятся в разделе 4.3.

Раздел 4.4 посвящен обзору и обсуждению существующих экспериментальных результатов. Отмечается, что, учитывая существующие теоретические неопределенности, представляется необходимым проводить поиск гамма-всплесков от ПЧД на разных установках и при разных энергиях регистрируемых частиц.

В Заключении подводятся итоги работы и перечисляются основные полученные в ней результаты.

Цитированная литература:

1. Ya. В. Zeldovich, I. D. Novikov. — Soviet Astronomy. — 1967. — vol. 10. - p. 602.

2. S. Hawking. - MNRAS. - 1971. - vol. 152. - p. 75.

3. B. J. Carr, S. W. Hawking. - MNRAS. - 1974. - vol. 168. - p. 399.

4. E. R. Harrison. - Phys. Rev. D. - 1970. - vol. 1. - p. 2726.

5. Ya. B. Zeldovich. - 1972. - MNRAS. - vol. 160. - p. 1.

6. E. D. Stewart. - Phys. Lett. B. — 1997. - vol. 391. - p. 34; Phys. Rev. D. - 1997. - vol. 56. - p. 2019.

7. J. C. Niemeyer, K. Jedainzik. - Phys. Rev. Lett. - 1998. - vol. 80. -p. 5481; Phys. Rev. D. - 1999. - vol. 59. - p. 124013.

8. W. H. Press, P. Schechter. - Astrophys. J. - 1974. - vol. 187. - p. 425.

9. R. Saito, J. Yokoyama. - Phys. Rev. Lett. - 2009. — vol. 102. - p. 161101.

10. S. W. Hawking. - Nature. - 1974. - vol. 248. - p. 30; Commun. Math. Phys. - 1975. - vol. 43. - p. 199.

11. J. H. MacGibbon, В. R. Webber. - Phys. Rev. D. - 1990. - vol. 41. -p. 3052.

12. A. F. Heckler. - Phys. Rev. Lett. - 1997. - vol. 78. - p. 3430; Phys. Rev. D. - 1997. - vol. 55. - p. 480.

13. J. H. MacGibbon, B. J. Carr and D. N. Page. - Phys. Rev. D. - 2008.

- vol. 78 - p. 064043.

14. E. D. Stewart, D. H. Lyth. - Phys. Lett. B. - 1993. - vol. 302. - p. 171.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. Е. Bugaev and P. Klimai. Large curvature perturbations near horizon crossing in single-field inflation models // Phys. Rev. D. — 2008. — vol. 78. - p. 063515.

2. E. Bugaev and P. Klimai. Constraints on amplitudes of curvature perturbations from primordial black holes // Phys. Rev. D. — 2009. — vol. 79.

- p. 103511.

3. E. Bugaev and P. Klimai. Induced gravitational wave background and primordial black holes // Phys. Rev. D. - 2010. - vol. 81. — p. 023517.

4. В. Б. Петков, Э. В. Бугаев, П. А. Климай и Д. В. Смирнов. Ограничения на концентрацию испаряющихся первичных черных дыр для хромосферных моделей испарения // Письма в ЖЭТФ. — 2008. — Т. 87. - С. 3 - 6.

5. Е. Bugaev and P. Klimai. Bound on induced gravitational wave background from primordial black holes // Письма в ЖЭТФ. - 2010. - Т. 91. -С. 3 - 7.

6. В. Б. Петков, Э. В. Бугаев, П. А. Климай и др. Поиск всплесков гамма-излучения сверхвысокой энергии от испаряющихся первичных черных дыр // Письма в АЖ. — 2008. - Т. 34. — С. 5G3 - 569.

7. В. Б. Петков, Э. В. Бугаев, П. А. Климай и др. Экспериментальный поиск всплесков гамма-излучения от испаряющихся первичных черных дыр // ЖЭТФ. - 2010. - Т. 137. - С. 460 - 472.

8. Е. Bugaev, P. Klimai and V. Petkov. Photon spectra from final stages of a primordial black hole evaporation in different theoretical models // Proc. of the 30th International Cosmic Ray Conference, edited by R. Caballero et al, Universidad Nacional Autonoma de Mexico. — Mexico City, Mexico, 2008. Vol. 3 (OG part 2), p. 1123-1126.

9. П. А. Климай, Э. В. Бугаев. Спектры масс первичных черных дыр и ограничения на параметры моделей ранней Вселенной // Труды 51-й научной конференции МФТИ "Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук": Часть VIII. Проблемы современной физики. - М.: МФТИ, 2008, С. 145-148.

10. Е. V. Bugaev and P. A. Klimai. Large curvature perturbations in single-scalar-field models of inflation // Proc. of 15th International Seminar on High Energy Physics QUARKS-2008, Sergiev Posad, Russia, 2008. — Vol. 1, p. 329 - 343. "

11. П. А. Климай, Э. В. Бугаев. Взаимосвязь спектра первичных флукту-аций плотности и величины фона гравитационных волн во Вселенной // Труды 52-й научной-конференции МФТИ "Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук": Часть VIII. Проблемы современной физики. — М.: МФТИ, 2009, С. 118-121.

12. Е. Bugaev and P. Klimai. Constraints on power spectrum of density

fluctuations from PBH evaporations // Preprint arXiv:astro-ph/0612659. - 2006.

13. В. Б. Петков, Э. В. Бугаев, П. А. Климай, А. Н. Гапоненко и П. С. Стри-ганов. О методике поиска всплесков гамма-излучения сверхвысокой энергии от испаряющихся первичных черных дыр на ливневых установках // Препринт ИЯИ РАН - 1209/2008. - 2008.

14. Е. V. Bugaev, V. В. Petkov, А. N. Gaponenko, P. A. Klimai et al. Experimental search of bursts of very high energy gamma rays from primordial black holes // Preprint arXiv:0906.3179 [astro-ph.CO], — 2009.

15. E. V. Bugaev, V. B. Petkov, A. N. Gaponenko, P. A. Klimai et al. Experimental search of bursts of gamma rays from primordial black holes using different evaporation models // Preprint arXiv:0906.3182 [astro-ph.CO], - 2009.

Ф-т 60x84/8. Уч.-изд.л. 1,1 Зак. № 22061 Тираж 100 экз. Бесплатно

Отпечатано на компьютерной издательской системе Издательский отдел Института ядерных исследований Российской академии наук 117312, Москва, проспект 60-летия Октября, 7а

Введение

Глава 1. Возможности рождения первичных черных дыр в моделях инфляции

1.1 Спектр возмущений кривизны и его вычисление.

1.2 Примеры спектров возмущений кривизны с пиками.

1.2.1 Двугорбый потенциал.

1.2.2 Потенциал Коулмена-Вайнберга.

1.2.3 "Крученый" потенциал.

1.3 Инфляционная модель с "бегущей массой"

1.3.1 Описание модели.

1.3.2 Расчет спектра скалярных возмущений.

1.3.3 Эффекты квантовой диффузии.

Глава 2. Спектры масс первичных черных дыр и ограничения на спектр первичных скалярных возмущений

2.1 Спектр масс первичных черных дыр.

2.1.1 Общие формулы.

2.1.2 Модели гравитационного коллапса.

2.1.3 Временная зависимость гравитационного потенциала

2.1.4 Спектр мощности с максимумом.

2.2 Спектры фотонов и нейтрино от испарения первичных черных дыр.

2.3 Ограничения на спектр флуктуаций с максимумом

2.4 Ограничения на модель с "бегущей массой".

2.5 Первичные черные дыры как темная материя

Глава 3. Первичные черные дыры и фон индуцированных гравитационных волн

3.1 Фон гравитационных волн и его возможные источники

3.1.1 Генерация гравитационных волн во время инфляции

3.1.2 Модели прехитинга.

3.1.3 Фазовые переходы первого рода в ранней Вселенной

3.1.4 Космические струны.

3.1.5 Сценарии "до большого взрыва"

3.1.6 Модели мира на бране.

3.1.7 Испарение первичных черных дыр.

3.2 Генерация индуцированных гравитационных волн.

3.2.1 Связь частоты с массой горизонта.

3.2.2 Вычислеиие спектра гравитационных волн.

3.2.3 Случай (5-пика в спектре скалярных возмущений

3.2.4 Расчет плотности энергии гравитационных волн

3.3 Пик конечной ширины.

3.3.1 Зависимость от ширины пика.

3.3.2 Сравнение с возможностями эксперимента.

3.4 Максимально возможный фон индуцированных гравитационных волн.

3.5 Модель инфляции с "бегущей массой".

3.6 Обсуждение результатов.

Глава 4. Экспериментальный поиск черных дыр на финальной стадии испарения

4.1 Поиск испаряющихся первичных черных дыр в окрестности Земли.

4.2 Теоретическая неопределенность спектра фотонов от испарения черной дыры.

4.3 Расчет энергетических и временных характеристик гамма-всплесков

4.3.1 Модель с прямой фрагментацией кварков.

4.3.2 Хромосферные модели.

4.3.3 Временные характеристики всплесков.

4.3.4 Аппроксимационные формулы.

4.4 Возможности экспериментального поиска и обсуждение имеющихся результатов.

Разработанная А. Эйнштейном теория пространства-времени и гравитации - Общая теория относительности (ОТО) имеет много важных научных и философских следствий и, в частности, предсказывает ряд эффектов, делающих возможной ее опытную проверку: отклонение света в гравитационном поле, замедление хода часов, гравитационное красное смещение, и другие. Некоторые из этих эффектов уже обнаружены экспериментально - в земных условиях или при астрономических наблюдениях. Фридма-новская модель расширяющейся Вселенной, основанная на ОТО, блестяще подтвердилась и является теперь основой современной Стандартной космологической модели.

Другим важным следствием теории является возможность существования черной дыры - объекта, который, по наивному определению, поглощает все, что попадает достаточно близко к нему, и не выпускает ничего во внешний мир. И хотя идея о возможности существования черных дыр высказывалась еще в XVIII веке Д. Мичеллом и П.-С. Лапласом (на основе ньютоновской теории гравитации и классических представлений о свете), важно, что черные дыры в ОТО - объекты, существование которых прямо следует из последовательной теории пространства-времени и гравитации.

Как хорошо известно, ОТО рассматривает гравитацию как искривление пространства-времени. В слабых полях - например таких, с которыми мы имеем дело в Солнечной Системе, это искривление относительно небольшое, и ОТО переходит в свой предельный случай - ньютоновскую механику и теорию тяготения. Только малые эффекты вроде неболыпого сдвига перигелия орбиты Меркурия со временем говорят о неполноте ньютоновской картины. В случае черной дыры, мы имеем дело с другим предельным случаем теории - случаем сильного поля. Гравитация здесь настолько мощна, что меняет, образно выражаясь, не только геометрию, но и топологию пространства-времени, рождая область с полупроницаемой границей - черную дыру, в которую можно "влететь", но "вылететь" из которой уже невозможно.

Еще одним характерным предсказанием ОТО является существование гравитационных волн (ГВ) - тензорных возмущений космологической метрики, свободно распространяющихся со скоростью света.

Несмотря на многочисленные косвенные указания, ни черные дыры, ни гравитационные волны до сих пор не были обнаружены в прямом эксперименте, т.е. ОТО остается непроверенной в ряде важнейших предельных случаев. Кроме того, современные теории ранней Вселенной утверждают, что в ней возможно было рождение черных дыр (например, в результате эволюции первичных флуктуаций плотности), и фона реликтовых ГВ (например, в результате эволюции квантовых флуктуаций метрики), поэтому поиски первичных черных дыр и реликтовых ГВ (или хотя бы установление экспериментальных пределов на их концентрацию) существенны для проверки различных моделей развития нашей Вселенной в первые мгновения ее существования (в частности, инфляционной модели).

Актуальность темы данного исследования, таким образом, обусловлена необходимостью:

- развития методов проверки ОТО и разных космологических моделей;

- поиска новых возможностей для детекирования первичных черных дыр (ПЧД) и получения космологических ограничений на их концентрацию;

- выяснения связи концентрации ПЧД с другими важными космологическими параметрами, такими как спектры скалярных и тензорных возмущений;

- изучения возможностей существующих и будущих экспериментов, которые прямо или косвенно могут дать информацию о ПЧД.

История вопроса.

Идея возможности образования ПЧД была впервые высказана в работах Зельдовича и Новикова [1] и Хокинга [2]. Они отметили, что, хотя в современной Вселенной невозможно рождение черных дыр малых масс (масса черных дыр Мвн, образующихся в результате звездной эволюции, должна быть больше или порядка солнечной массы М0), в условиях горячей ранней Вселенной могут рождаться черные дыры (называемые, вследствие своего происхождения, первичными) с массами порядка величины массы горизонта в момент их образования,

Если время образования ПЧД £ достаточно мало, Мвн может иметь практически любой порядок величины, начиная от планковского (масса Планка тР1 = 2 х 10~5 г).

Для рождения черной дыры необходим, однако, достаточный контраст плотности 5 = бр/р ~ 1, т.е. ранняя Вселенная должна быть неоднородной. Согласно Карру и Хокингу [3], в момент прохождения флуктуации с

1) избыточной плотностью под горизонт (когда к = аН, где к - сопутствующее волновое число флуктуации плотности, а - масштабный фактор, Н -функция Хаббла), должно быть

1/3 <5 <1. (2)

Таким образом, ясно, что для рождения ПЧД из флуктуаций плотности их характерная среднеквадратичная амплитуда должна быть достаточно велика, 6 > Ю-2. Если верно предположение Гаррисона и Зельдовича [4, 5] о масштабной инвариантности спектра начальных возмущений (в этом случае 6 одинакова для первичных флуктуаций, соответствующих любым к), то рождение ПЧД за счет рассматриваемого механизма - крайне маловероятный процесс, т.к. на масштабах сопутствующих волновых чисел к ~ 10~3 Мпк-1 амплитуда первичных скалярных возмущений известна и мала: по данным современных экспериментов, измеряющих анизотропию реликтового излучения (таких как \VMAP [6]), спектр мощности сопутствующих возмущений кривизны

Тц = 2.4 х 1(Г9, (3) и I ~ Т]^ ~ Ю-5. Однако современные теоретические модели, как правило, предсказывают отклонения от строгой масштабной инвариантности, и ПЧД могут быть использованы для проверки таких моделей в широкой области к.

В случае гауссового спектра первичных флуктуаций, доля областей во Вселенной (на масштабе массы горизонта М}г), имеющих контраст плотности больше 5С1 равна [7, 8] оо оо 1 ехр

5 ~ сг(Мь) ехр с2

4)

2 а(Мьу где о(Мк) - сглаженный контраст плотности на соответствующем масштабе. В случае, если 5С - пороговое значение контраста плотности, начиная с которого начинается образование черных дыр, то формула (4) приближенно дает массовую долю черных дыр во Вселенной на момент их образования. При этом масса образующейся черной дыры (ЧД) считается примерно равной массе горизонта в момент образования.

Плотность энергии, заключенная в ПЧД, зависит от времени. Для уже образовавшихся и неиспаряющихся черных дыр, учитывая разное уравнение состояния излучения и "газа" из ПЧД, на сегодняшний момент получаем для доли плотности Вселенной в ПЧД [7]

Последнее выражение получено в предположении, что масса ПЧД не меняется со временем. Используя (5), простое ограничение на концентрацию ПЧД можно установить из требования, что £1рвн < 1

На самом деле, это ограничение верно лишь для ПЧД с массами Мвн ^ 1015 г, что связано со знаменитым эффектом их испарения, отрытым Хокин-гом.

До его пионерских работ [9] считалось, что черная дыра - объект, который может только поглощать материю, и ничего не может выйти из нее за б) пределы гравитационного радиуса, равного гд = 2Мвн/Мрг- Однако, как было показано, каждая черная дыра должна испускать в вакуум стационарный поток частиц, то есть "испаряться". На интуитивном уровне, можно представлять себе хокинговское излучение как результат поглощения черной дырой одной частицы из виртуальной пары частица - античастица, которые постоянно рождаются и аннигилируют друг с другом в вакууме. В сильном гравитационном поле ЧД возникает вероятность одной из частиц (находящейся в состоянии с отрицательной энергией) быть поглощенной, а другой уйти на бесконечность, унося часть энергии ЧД.

Температура Хокинга, характеризующая излучение черной дыры, равна

Т = — = ^ • (7)

Н 4тг Гд 8тг Мвн

Если температура черной дыры достаточно высока, из нее могут испускаться, в принципе, частицы любой массы, в том числе и еще не открытые. Если обозначить <7* - эффективное число степеней свободы частиц с тп < Т#, то энергия, теряемая ЧД в единицу времени, равна " ' ^ " "4 х 10г**гЬ (9)

Размерный коэффициент а, как и дзависит от температуры ЧД. Если учитывать только частицы Стандартной Модели, то при высоких энергиях д* ~ 100.

Из (9) следует важный для космологии вывод: любая черная дыра испаряется за время ~ 10-28(М/1г)3 сек, и, таким образом, ПЧД массой менее

10 примерно М* ~ 5 х 1014 г испаряются за время жизни Вселенной, большие же могли бы дожить и до сегодняшнего дня, и именно к ним относится предел (6).

В работе Пэйджа и Хокинга [10] был выведен другой предел на концентрацию ПЧД в сегодняшней Вселенной, основанный на наблюдении внегалактического фона гамма-квантов с энергиями порядка 100 МэВ:

Првн < Ю"8. (10)

В этой работе предполагался спектр масс ПЧД, ожидаемый в случае масштабно - инвариантного спектра возмущений (тогда, как было показано Карром [7], спектр масс ПЧД пропорционален М^2 для масс, больших М*).

Ограничение (10) можно переписать в терминах ¡3 [11], считая что оно соответствует массам черных дыр порядка М*. Используя (5, 10), получаем

М0 < Ю-18ПРВЯ < Ю-26, (11) что до сих пор является одним из наиболее сильных пределов на (3 во всей области масс ПЧД.

В области меньших масс ПЧД имеются ограничения, полученные из других соображений. В работе Зельдовича и Старобинского [12] было впервые рассмотрено влияние испарения ПЧД на фон реликтового микроволнового излучения. Они заметили, что фотоны, испущенные достаточно рано (Мвн ^ Ю9 г), полностью термализуются, и ограничения на концентрацию ПЧД следуют в этой области масс только из требования, чтобы фотон-барионное отношение не нарушалось (оставалось на уровне ~ 109).

Полученный предел выглядит как вн) < Ю-5 1 , Мвн < 109ё, (12) так что только ПЧД с массами менее 104 г могли бы быть ответственны за генерацию всего реликтового излучения.

В той же работе [12] было отмечено, что излучение ПЧД с массами 10й — 1013 г, хотя и частично термализуется, может давать существенные искажения спектра микроволнового излучения, из чего следует ограничение вн) < Ю-16 (^ф , 10и8- < МВН < ю136. (13)

В промежуточной области масс при этом происходит плавный переход от предела (12) к гораздо более сильному пределу (13).

Ряд ограничений на концентрацию ПЧД был также выведен из соображений ненарушения первичного нуклеосинтеза, начиная с пионерской работы [13], где рассматривались эффекты инжекции высокоэнергичпых нуклонов и антинуклонов от ПЧД. В этой работе было предложено, что такая инжекция увеличит наблюдаемую концентрацию дейтерия за счет захвата свободных нейтронов протонами и развала ядер 4Не испускаемыми ПЧД частицами. В других работах изучались эффекты инжекции нейтрино и антинейтрино [14], производства энтропии ПЧД [15], фотодиссоциации дейтерия фотонами, испущенными ПЧД [16], возможности нарушения нейтрон-протонного отношения [17].

Пределы на функцию (3(Мвн), получаемые из первичного нуклеосинтеза, были уточнены в работах [18, 19] с учетом современных представлений о механизме испарения сильно взаимодействующих частиц из ПЧД и экспериментальных данных. В области Ю10 — 1013 г получается ограничение /3 < Ю-23, в то время как для 109 — Ю10 г, (3 < 10~18. Более полный обзор всех существующих пределов на (3(Мвн) может быть найден в недавних работах [19, 20, 21].

Заметим, что само описание концентрации ПЧД в рамках параметра /3 (предполагая, при этом, что все ПЧД рождаются с одинаковыми массами) является довольно грубым приближением к действительности. Численные расчеты, проведенные в работах [22], показывают, что гравитационный коллапс с образованием ПЧД является критическим явлением, и это приводит к образованию в спектре масс ПЧД степенного "хвоста" в области Мвн "С так что учет ненулевой ширины спектра масс в этом случае (проведенный впервые в [23]) особенно важен. Расчет спектра масс ПЧД для заданного спектра первичных возмущений плотности может быть проведен на основе формализма Пресса-Шехтера [24], такие расчеты проводились ранее в [25, 26, 27, 28, 29].

В любом случае, значительное рождение ПЧД из флуктуаций плотности возможно либо если "Р-ц растет с уменьшением масштаба (увеличением к), либо в случае, когда спектр имеет, в силу каких-либо причин, максимум (или ряд максимумов) в области больших к (например, к ~ Ю10 — Ю20 Мпк-1). Такие максимумы могут возникать как в инфляционных моделях с одним скалярным полем [30, 31, 32] (в этом случае в определенные промежутки времени инфляционный потенциал имеет особенности, приводящие к замедлению темпа инфляции - например, локальный максимум, через который поле в процессе инфляции медленно "переваливается"), так и в более сложных моделях с несколькими полями. В последнем случае имеется, как правило, два этапа инфляции, иногда разделенных периодом медленного расширения. Тот факт, что скалярных полей в модели несколько, не является недостатком этих моделей, а скорее наоборот, поскольку реалистичную теорию трудно построить, используя только одно поле. Пример -модель с тремя скалярными полями, основанная на супергравитации [33]. В этой модели двойной инфляции флуктуации с наибольшей амплитудой рождаются непосредственно перед началом второго этапа инфляционного расширения.

ПЧД небольшой массы 1015 г) могут также рождаться и в моделях послеинфляционного разогрева ("нрехитинга"). Флуктуации скалярных полей в эту эпоху могут сильно (экспоненциально) усиливаться в результате параметрического резонанса и (или) тахионной нестабильности [34, 35, 36]. В ряде работ показано, что при некоторых значениях параметров моделей, описывающих эти явления, возможно интенсивное рождение ПЧД (особенно следует отметить недавнюю работу [37], из которой следует, что достаточное для рождения ПЧД усиление флуктуаций возможно даже в модели с одним полем, если имеет место тахионная нестабильность). Понятно, что имеющиеся наблюдательные ограничения на концентрацию ПЧД должны приниматься во внимание при конструировании моделей прехитинга.

Величина спектра Рц(к) может достигать больших значений и как результат монотонного роста значения спектра [38], если потенциал инфляционного поля подобран соответствующим образом. В частности, речь идет о потенциалах класса "hill-top" ("вершина холма") [39], частным случаем которого является потенциал модели с "бегущей массой" [40, 41].

Большой интерес представляет вопрос о связи концентрации ПЧД во Вселенной и спектра ГВ, который, возможно, удастся измерить экспериментально существующими или планируемыми в будущем детекторами. Образование фона ГВ от коллапсов черных дыр (в том числе первичных) рассматривалось в [42], но в случае ПЧД оказывается, что этот фон достаточно мал. Коалесценция (слияние) ПЧД с массами ~ 0.5М© [43], находящихся в галактическом гало, могла бы дать сигнал, который смогут измерить наземные интерферометры типа LIGO/Virgo. Хокинговское испарение гравитонов из ПЧД также дает высокочастотный фон гравитационных волн [44]. Кроме того, черная дыра массы ~ 1014 — Ю20 г, пролетающая мимо космического интерферометра типа LISA, также может вызвать детектируемый гравитационный импульс [45].

Принципиально новый способ получения ограничений на концентрацию ПЧД из наблюдений гравитационных волн был недавно предложен Сайто и Йокоямой [46]. Оказывается, что большие значения V-n, необходимые для рождения ПЧД, во втором порядке космологической теории возмущений приводят к рождению фона ГВ достаточно большой величины. В частности, имеющиеся в области частот / ~ 10~8 Гц ограничения на этот фон (полученные из наблюдений пульсаров) позволяют дать очень жесткие пределы на возможную концентрацию ПЧД больших масс (порядка 102Мо). Фон индуцированных гравитационных волн оказывается, таким образом, новым важным свидетельством возможного существования ПЧД и способом измерения как их концентрации, так и величины спектра Vn [47].

Другим важным вопросом является проблема прямого экспериментального поиска испаряющихся ПЧД. Как мы видели, ПЧД с начальными массами М* % 5 х 1014 г сейчас должны находиться на финальной стадии своего испарения, давая потоки высокоэнергичных частиц. Гамма-кванты, излученные таким образом, можно было бы регистрировать, например, наземными ливневыми установками. Необходимо учитывать, что кроме прямого хокинговского потока испаряемых черной дырой фотонов, имеется еще вклад вторичных частиц, образованных в распадах адронов, в свою очередь родившихся в результате фрагментации испаренных кварков (этот вклад доминирует при низких энергиях). В классической работе МакГиб-бон и Веббера [48] был рассчитан спектр вторичных частиц в предположении, что продукты испарения между собой не взаимодействуют. Хеклер [49] поставил под сомнение это предположение, высказав простые аргументы в пользу того, что за счет сильных (и даже электромагнитных) взаимодействий вокруг черной дыры при высоких температурах может образоваться тепловая фото- или хромосфера. Понятно, что если образование хромосферы имеет место, то это необходимо учитывать при интерпретации данных экспериментов по поиску гамма-вспышек от ПЧД. В недавней работе Мак-Гиббон, Kappa и Пэйджа [50], однако, приводятся доводы в пользу того, что хромосфера не образуется в силу нескольких физических и геометрических причин. Тем не менее, задачу об испарении черной дыры в любом случае нельзя считать до конца решенной. Во всяком случае, процессы формирования спектра хокинговского излучения нельзя отделить от процессов взаимодействия испаряемых частиц, происходящих на расстояниях от центра черной дыры, превышающих (в некоторых моделях значительно) ее гравитационный радиус.

Целью диссертационной работы является анализ возможностей реализации сценариев, при которых происходит рождение значительного количества ПЧД, разработка методов вычисления их концентрации в таких случаях и получение космологических ограничений на спектр возмущений кривизны и величину фона индуцированных гравитационных волн из имеющихся экспериментальных данных, а также изучение возможностей прямого детектирования испаряющихся ПЧД.

Научная новизна и практическая ценность результатов.

Впервые прямым численным расчетом показана возможность образования высокого пика в спектре возмущений кривизны, генерируемом на инфляционной стадии в модели с двугорбым потенциалом У{ф) ~ (02 — у2)2. Возможность достижения спектром больших значений также показана для некоторых других моделей, в том числе для модели с потенциалом "бегущей массы". В последнем случае проведен тщательный анализ и установлено, что для рождения значительного количества ПЧД требуется очень небольшой положительный бег индекса спектра скалярных возмущений на космологических масштабах: п'0 ~ 0.005. С использованием формализма "крупнозернистого поля" рассмотрен вопрос о применимости описания инфляции в терминах классических траекторий в фазовом пространстве. Показано, что для корректности такого описания начальное значение поля должно быть не слишком близко к максимуму потенциала.

Разработан новый метод расчета спектров масс ПЧД, основанный на формализме Пресса-Шехтера и явно учитывающий зависимость гравитационного (бардиновского) потенциала от времени (без привлечения передаточных функций). Для получения спектра масс ПЧД, на входе задачи необходим спектр возмущений кривизны Р^к), получаемый, например, из разных инфляционных моделей. С использованием этого метода, проведены расчеты спектров масс ПЧД для нескольких предсказываемых видов Тп(к) в моделях, где возможны его достаточно большие значения.

Из экспериментальных данных по внегалактическим фонам электронных антинейтрино и гамма-квантов, а также из ограничений на долю плотности ПЧД во Вселенной получены ограничения на параметры спектра Р^к) в модели с пиком в спектре первичных возмущений плотности в области малых масштабов. Для инфляционной модели с "бегущей массой" получены ограничения на ее параметры в терминах наблюдаемых величин щ и Пд (спектральный индекс и его производная).

Впервые изучена форма спектра индуцированных гравитационных волн в модели с пиком конечной ширины в Р^к) и в модели с "бегущей массой". Показано, что энергетическая доля плотности индуцированных ГВ на логарифмический интервал к, £1с\у(к), может достигать значений ~ Ю-7 в области частот 103 — 103 Гц, важной для современных экспериментов, не входя в противоречие с данными по ПЧД. Существующие ограничения на величину спектра Тп(к) использованы для получения предела на величину фона индуцированных гравитационных волн во Вселенной, в интервале частот Ю-3 — 103 Гц.

Проведены расчеты спектров гамма-квантов и временных параметров вспышки для общепринятой и некоторых нестандартных моделей испарения черной дыры (на последней стадии этого испарения). Показана модельная зависимость прямых экспериментальных пределов и необходимость использования новых методов регистрации ПЧД в случае, если вокруг черной дыры образуется фото- или хромосфера.

Результаты, выносимые на защиту.

1) Показано, что первичные флуктуации плотности с амплитудой, достаточной для рождения в ранней Вселенной первичных черных дыр могут возникать в ряде инфляционных моделей с одним скалярным полем. Рассмотрены два типа таких моделей: модель с двугорбым инфляционным потенциалом и модель с инфляционным потенциалом с бегущей массой.

2) Разработан способ вычисления спектра масс первичных черных дыр в общем случае произвольной зависимости спектра первичных возмущений плотности от сопутствующего размера области возмущения, а также в случае зависимости гравитационного потенциала от времени.

3) Получены ограничения на параметры инфляционных потенциалов в моделях с большими флуктуациями плотности, основанные на сравнении предсказанных в этих моделях диффузных внегалактических потоков фотонов и нейтрино, возникающих при испарении рождающихся первичных черных дыр, с данными экспериментов.

4) Получены ограничения на амплитуды индуцированных гравитационных волн в области больших частот (порядка 103 —103 Гц), основанные на уже имеющихся (из поисков ПЧД) ограничениях на спектр первичных флуктуаций плотности.

5) Изучены временные и энергетические характеристики гамма-всплесков, генерируемых ПЧД на конечной стадии испарения.

Апробация работы и публикации. Основные результаты, полученные в диссертации, доложены на 30-й и 31-й Международных конференциях по космическим лучам (Мексика, Мерида, 2007 и Польша, Лодзь, 2009), 15-м Международном семинаре (ЗиА11КЗ'08 (Россия, г. Сергиев Посад, 2008), 50-й, 51-й и 52-й Научных конференциях МФТИ (Россия, г. Долгопрудный, 2007-2009), 30-й Всероссийской конференции по космическим лучам (Россия, г. Санкт-Петербург, 2008) и Международной школе по астрофизике элементарных частиц 18АРР (Италия, Сорренто, 2006), а также на семинарах ИЯИ РАН.

Основные результаты, полученные в диссертации, опубликованы в 15 работах. Их список приведен в конце списка литературы.

Структура диссертации.

В первой главе рассматриваются теоретические модели ранней Вселенной, предполагающие фазу инфляционного расширения. Рассчитывается спектр возмущений кривизны, генерируемый при разных предположениях о форме потенциала поля инфлатона. Внимание уделяется моделям, в которых спектр может достигать достаточно больших значений, не входя в противоречие с существующими данными эксперимента. Показывается, что такими свойствами обладает ряд моделей с потенциалами достаточно простой формы, если параметры потенциала надлежащим образом подобраны, объясняется важность использования численного расчета и неприменимость простых формул, получаемых в приближении "медленного скатывания". Подробно изучается инфляционная модель с "бегущей массой", в том числе вопрос о применимости описания инфляции в терминах классических траекторий в фазовом пространстве.

Во второй главе излагается метод расчета спектров масс ПЧД, основанный на формализме Пресса-Шехтера и явно учитывающий зависимость гравитационного потенциала от времени. Проводятся расчеты спектров масс в конкретных случаях, в частности, для случаев спектров первичных возмущений, рассмотренных в главе 1. Получается ряд ограничений на параметры некоторых моделей ранней Вселенной и спектр возмущений кривизны.

Третья глава посвящена вопросу о связи ПЧД и ГВ, индуцированных скалярными возмущениями. Проводятся расчеты спектров индуцированных ГВ для разных случаев спектра скалярных возмущений (^-функция, пик конечной ширины, спектр модели с "бегущей массой"). Проводится сравнение с имеющимися экспериментальными данными. Получен предел на максимальную величину фона индуцированных ГВ, который следует из ограничений по ПЧД, выведенных ранее в работе (в главе 2).

В четвертой главе рассматривается вопрос о возможности обнаружения ПЧД на последней стадии испарения в экспериментах, регистрирующих гамма-кванты высоких энергий. Приводятся аргументы в пользу того, что задача об испарении черной дыры еще не решена окончательно, и существующие теоретические неопределенности могут оказать существенное влияние на интерпретацию данных экспериментов. Даются примеры расчетов спектров гамма-квантов и временных параметров вспышки для некоторых моделей испарения. Приводятся обзор и обсуждение существующих экспериментальных результатов.

В заключении подводятся итоги работы и перечисляются ее основные результаты.

Основные результаты диссертации можно сформулировать следующим образом.

1) Показано, что первичные флуктуации плотности с амплитудой, достаточной для рождения в ранней Вселенной первичных черных дыр (ПЧД), могут возникать в ряде инфляционных моделей с одним скалярным полем. Рассмотрены два типа таких моделей: модель с двугорбым инфляционным потенциалом и модель с инфляционным потенциалом с "бегущей массой". В последнем случае проведен тщательный анализ и установлено, что для рождения значительного количества ПЧД требуется очень небольшой положительный бег индекса спектра скалярных возмущений на космологических масштабах: п'0 ~ 0.005, а также изучен вопрос о применимости описания инфляции в терминах классических траекторий в фазовом пространстве.

2) Разработан способ вычисления спектра масс ПЧД в общем случае произвольной зависимости спектра первичных возмущений плотности от сопутствующего размера области возмущения, а также в случае зависимости гравитационного потенциала от времени. Для получения спектра масс, необходимо знать спектр скалярных возмущений V-ji(k), который предсказывается, например, в разных инфляционных моделях. С использованием разработанного метода, проведены расчеты спектров масс ПЧД в нескольких практически интересных случаях.

3) Получены ограничения на параметры инфляционных потенциалов в моделях с большими флуктуациями плотности, основанные на сравнении предсказанных в этих моделях диффузных внегалактических потоков фотонов и нейтрино от испарения ПЧД с данными экспериментов. В частности, для инфляционной модели с "бегущей массой", получены ограничения на ее параметры в терминах наблюдаемых величин щ и п'0 (спектральный индекс и его производная).

4) Получены ограничения на амплитуды индуцированных гравитационных волн в области больших частот (порядка 103 — 103 Гц), основанные на уже имеющихся (из поисков ПЧД) ограничениях на спектр первичных флуктуаций плотности. Изучена форма спектра индуцированных гравитационных волн в модели с пиком конечной ширины в Рп(к) и модели с "бегущей массой".

5) Изучены временные и энергетические характеристики гамма- всплесков, генерируемых ПЧД на конечной стадии испарения. Показана модельная зависимость прямых экспериментальных пределов на концентрацию испаряющихся ПЧД и необходимость использования новых методов их регистрации в случае, если вокруг черной дыры образуется фото- или хромосфера.

Заключение

1. Ya. B. Zeldovich, I. D. Novikov, Soviet Astronomy 10, 602 (1967).

2. S. Hawking, Mon. Not. Roy. Astron. Soc. 152, 75 (1971).

3. B. J. Carr and S. W. Hawking, MNRAS 168, 399 (1974).

4. E. R. Harrison, Phys. Rev. D 1, 2726 (1970).

5. Ya. B. Zeldovich, MNRAS 160, 1 (1972).

6. J. Dunkley et al. Astrophys. J. Suppl. 180, 306 (2009).

7. B. J. Carr, Astrophys. J. 201, 1 (1975).

8. A. M. Green and A. R. Liddle, Phys. Rev. D 56, 6166 (1997).

9. S. W. Hawking, Nature 248 (1974) 30; S. W. Hawking, Commun. Math. Phys. 43, 199 (1975).

10. D. N. Page and S. W. Hawking, Astrophys. J. 206, 1 (1976).

11. B. J. Carr and J. E. Lidsey, Phys. Rev. D 48, 543 (1993).

12. Ya.B.Zeldovich, A.A. Starobinsky, JETP Lett. 24, 571 (1976).

13. Ya. B. Zeldovich, A. A. Starobinsky, M. Yu. Khlopov and V. M. Chechetkin, Sov. Astron. Lett. 3, 110 (1977).

14. B. V. Vainer and P. D. Nasel'skii, Sov. Astron. 22, 138 (1978).

15. S. Miyama and K. Sato, Prog. Theor. Phys. 59, 1012 (1978).

16. D. Lindley, MNRAS 196, 317 (1981).

17. T. Rothman, R. Matzner, Astrophys. Space Sei 75, 229 (1981).

18. K. Kohri and J. Yokoyama, Phys. Rev. D 61, 023501 (2000).

19. B. Carr, K. Kohri, Y. Sendouda and J. Yokoyama, arXiv:0912.5297 astro-ph.CO].

20. A. S. Josan, A. M. Green and K. A. Malik, Phys. Rev. D 79,103520 (2009).

21. M. Y. Khlopov, arXiv:0801.0116 astro-phj.

22. H. I. Kim, С. H. Lee and J. H. MacGibbon, Phys. Rev. D 59 (1999) 063004. E. V. Bugaev and К. V. Konishchev, Phys. Rev. D 65, 123005 (2002).

23. A. M. Green and K. A. Malik, Phys. Rev. D 64, 021301 (2001).

24. B. A. Bassett and S. Tsujikawa, Phys. Rev. D 63, 123503 (2001).

25. G. N. Felder, J. Garcia-Bellido, P. B. Greene, L. Kofman, A. D. Linde and

26. Tkachev, Phys. Rev. Lett. 87, 011601 (2001).

27. T. Nakamura, M. Sasaki, T. Tanaka and K. S. Thorne, Astrophys. J. 487, L139 (1997).

28. G. S. Bisnovatyi-Kogan and V. N. Rudenko, Class. Quant. Grav. 21, 3347 (2004).

29. N. Seto and A. Cooray, Phys. Rev. D TO, 063512 (2004).

30. R. Saito and J. Yokoyama, Phys. Rev. Lett. 102, 161101 (2009).

31. H. Assadullahi and D. Wands, Phys. Rev. D 81, 023527 (2010).

32. J. H. MacGibbon and B. R. Webber, Phys. Rev. D 41, 3052 (1990).

33. A. F. Heckler, Phys. Rev. Lett. 78, 3430 (1997); A. F. Heckler, Phys. Rev. D 55, 480 (1997).

34. J. H. MacGibbon, B. J. Carr and D. N. Page, Phys. Rev. D 78, 064043 (2008).

35. A. A. Starobinsky, JETP Lett. 30, 682 (1979).

36. A. H. Guth, Phys. Rev. D 23, 347 (1981).

37. A. D. Linde, Phys. Lett. B 108, 389 (1982).

38. N. Straumann, Annalen Phys. 15, 701 (2006).

39. V. N. Lukash, JETP Lett. 31, 596 (1980); V. N. Lukash, Sov. Phys. JETP 52, 807 (1980).

40. G. Chibisov and V. Mukhanov, MNRAS 200, 535 (1982).

41. M. Sasaki, Prog. Theor. Phys. 76, 1036 (1986).

42. N. D. Birrell and P. C. W. Davies, "Quantum Fields In Curved Space", Cambridge, UK: Univ. Pr. (1982), 340 p.

43. A. R. Liddle, P. Parsons and J. D. Barrow, Phys. Rev. D 50, 7222 (1994).

44. A. R. Liddle and D. H. Lyth, Phys. Rept. 231, 1 (1993).

45. E. D. Stewart and D. H. Lyth, Phys. Lett. B 302, 171 (1993).

46. J. 0. Gong and E. D. Stewart, Phys. Lett. B 510, 1 (2001).

47. A. A. Starobinsky, JETP Lett. 55, 489 (1992).

48. S. M. Leach and A. R. Liddle, Phys. Rev. D 63, 043508 (2001).

49. S. M. Leach, M. Sasaki, D. Wands and A. R. Liddle, Phys. Rev. D 64, 023512 (2001).

50. S. R. Coleman and E. Weinberg, Phys. Rev. D 7, 1888 (1973).

51. R. Saito, J. Yokoyama and R. Nagata, JCAP 0806, 024 (2008).

52. K. Kohri, C. M. Lin and D. H. Lyth, JCAP 0712, 004 (2007).

53. L. Covi and D. H. Lyth, Phys. Rev. D 59, 063515 (1999).

54. L. Covi, D. H. Lyth and L. Roszkowski, Phys. Rev. D 60, 023509 (1999).

55. L. Covi, Phys. Rev. D 60, 023513 (1999).

56. G. German, G. G. Ross and S. Sarkar, Phys. Lett. B 469, 46 (1999).

57. L. Covi, D. H. Lyth, A. Melchiorri and C. J. Odman, Phys. Rev. D 70, 123521 (2004).

58. J. Lesgourgues, M. Viel, M. G. Haehnelt and R. Massey, JCAP 0711, 008 (2007).

59. H. V. Peiris and R. Easther, JCAP 0807, 024 (2008).

60. A. A. Starobinsky, Phys. Lett. B117, 175 (1982).

61. A. A. Starobinsky, in: Field Theory, Quantum Gravity and Strings, eds. H.J. de Vega, N. Sanchez, Lect. Notes in Physics (Springer-Verlag), vol. 246, pp. 107-126 (1986).

62. A. Vilenkin, Phys. Rev. D 27, 2848 (1983); Nucl. Phys. B 226, 527 (1983).

63. A. D. Linde, Phys. Lett; B 175, 395 (1986).

64. S. Winitzki, Lect. Notes Phys. 738, 157 (2008).

65. J. Martin and M. Musso, Phys. Rev. D 73, 043516 (2006).

66. J. Martin and M. Musso, Phys. Rev. D 73, 043517 (2006).

67. P. P. Avelino, Phys. Rev. D 72, 124004 (2005).

68. E.W. Kolb and M.S. Turner, The Early Universe (Addison-Wesley, New York, 1990).

69. D. K. Nadezhin, I. D. Novikov and A. G. Polnarev, Sov. Astron. 22, 1291978).

70. M. W. Choptuik, Phys. Rev. Lett. 70, 9 (1993).

71. I. Musco, J. C. Miller and L. Rezzolla, Class. Quant. Grav. 22,1405 (2005).

72. I. Musco, J. C. Miller and A. G. Polnarev, Class. Quant. Grav. 26, 235001 (2009).

73. D. H. Lyth, K. A. Malik, M. Sasaki and I. Zaballa, JCAP 0601, 011 (2006).

74. N. Deruelle and V. F. Mukhanov, Phys. Rev. D 52, 5549 (1995).

75. J. Martin and D. J. Schwarz, Phys. Rev. D 57, 3302 (1998).

76. D. N. Page, Phys. Rev. D 13, 198 (1976).

77. C. Amsler et al. Particle Data Group], Phys. Lett. B 667, 1 (2008).

78. P. Kanti, Int. J. Mod. Phys. A 19, 4899 (2004).

79. R. G. Daghigh and J. I. Kapusta, Phys. Rev. D 67, 044006 (2003).

80. F. Halzen, E. Zas, J. H. MacGibbon and T. C. Weekes, Nature 353, 807 (1991).

81. A. A. Zdziarski and R. Svensson, Astrophys. J. 344, 551 (1989).

82. A. W. Strong, I. V. Moskalenko and O. Reimer, Astrophys. J. 613,956 (2004).

83. M. Malek et al., Phys. Rev. Lett. 90, 061101 (2003).

84. G. S. Bisnovatyi-Kogan and S. F. Seidov, Ann. N.Y. Acad. Sei. 422, 319 (1984).

85. S. Ando and K. Sato, New J. Phys. 6, 170 (2004).

86. S. M. Leach, I. J. Griveil and A. R. Liddle, Phys. Rev. D 62, 043516 (2000).

87. P. H. Frampton and T. W. Kephart, Mod. Phys. Lett. A 20, 1573 (2005).

88. C. Bambi, A. D. Dolgov and A. A. Petrov, Phys. Lett. B 670, 174 (2008).

89. J. Knodlseder et al., Astron. Astrophys. 441, 513 (2005).

90. P. Jean et al., Astron. Astrophys. 445, 579 (2006).

91. B. Allen, In Les Houches 1995, Relativistic gravitation and gravitational radiation, pp. 373-417; arXiv:gr-qc/9604033.

92. M. Maggiore, arXiv:gr-qc/9803028.

93. A. Buonanno, In Boulder 2002, Particle physics and cosmology, pp. 855892; arXiv:gr-qc/0303085.

94. L. P. Grishchuk, Sov. Phys. JETP 40, 409 (1975).

95. V. A. Rnbakov, M. V. Sazhin and A. V. Veryaskin, Phys. Lett. B 115, 189 (1982).

96. R. Fabbri and M. d. Pollock, Phys. Lett. B 125, 445 (1983).

97. L. F. Abbott and M. B. Wise, Nucl. Phys. B 244, 541 (1984).

98. A. A. Starobinsky, Sov. Astron. Lett. 11, 133 (1985).

99. B. Allen, E. E. Flanagan and M. A. Papa, Phys. Rev. D 61, 024024 (2000).

100. T. L. Smith, M. Kamionkowski and A. Cooray, Phys. Rev. D 73, 023504 (2006).

101. S. Y. Khlebnikov and I. I. Tkachev, Phys. Rev. D 56, 653 (1997).

102. R. Easther and E. A. Lim, JCAP 0604, 010 (2006).

103. J. F. Dufaux, A. Bergman, G. N. Felder, L. Kofman and J. P. Uzan, Phys. Rev. D 76, 123517 (2007).

104. J. F. Dufaux, G. N. Felder, L. Kofman and O. Navros, JCAP 0903, 001 (2009).

105. J. Garcia-Bellido, D. G. Figueroa and A. Sastre, Phys. Rev. D 77, 043517 (2008).

106. J. F. Dufaux, Phys. Rev. Lett. 103, 041301 (2009).

107. C. Grojean and G. Servant, Phys. Rev. D 75, 043507 (2007).

108. C. J. Hogan, Phys. Rev. D 74, 043526 (2006).

109. M. R. DePies and C. J. Hogan, Phys. Rev. D 75, 125006 (2007).

110. M. Gasperini and G. Veneziano, Phys. Rept. 373, 1 (2003).

111. M. Gasperini, arXiv:hep-th/9907067.

112. C. J. Hogan, Phys. Rev. Lett. 85, 2044 (2000).

113. R. Anantua, R. Easther and J. T. Giblin, Phys. Rev. Lett. 103, 111303 (2009).

114. S. Matarrese, O. Pantano and D. Saez, Phys. Rev. Lett. 72, 320 (1994).

115. S. Mollerach, D. Harari and S. Matarrese, Phys. Rev. D 69, 063002 (2004).

116. K. N. Ananda, C. Clarkson and D. Wands, Phys. Rev. D 75, 123518 (2007).

117. D. Baumann, P. J. Steinhardt, K. Takahashi and K. Ichiki, Phys. Rev. D 76, 084019 (2007).

118. B. Abbott et al. LIGO Collaboration], Astrophys. J. 659, 918 (2007).

119. B. Abbott et al. The LIGO Scientific Collaboration & The Virgo Collaboration], Nature 460, 990 (2009).

120. L. A. Boyle and P. J. Steinhardt, Phys. Rev. D 77, 063504 (2008).

121. Т. L. Smith, M. Kamionkowski and A. Cooray, Phys. Rev. D 78, 083525 (2008).

122. D. Lindley, MNRAS 193, 593 (1980).

123. D. Clancy, R. Guedens and A. R. Liddle, Phys. Rev. D 68, 023507 (2003).

124. H. Tashiro and N. Sugiyama, Phys. Rev. D 78, 023004 (2008).

125. J. R. Chisholm, Phys. Rev. D 73, 083504 (2006).

126. R. G. Daghigh and J. I. Kapusta, Phys. Rev. D 65, 064028 (2002).

127. S. W. Hawking, Phys. Rev. D 14 (1976) 2460.

128. G. 't Hooft, Int. J. Mod. Phys. A 11, 4623 (1996).

129. S. B. Giddings and M. Lippert, Phys. Rev. D 69, 124019 (2004).

130. S. B. Giddings, Phys. Rev. D 74, 106005 (2006).

131. G. 't Hooft, Nucl. Phys. В 256, 727 (1985).

132. L. Susskind, L. Thorlacius and J. Uglum, Phys. Rev. D 48, 3743 (1993).

133. C. R. Stephens, G. 't Hooft and B. F. Whiting, Class. Quant. Grav. 11, 621 (1994).

134. Черные дыры мембранный подход, под ред. К. Торна, Р. Прайса, Д. Макдоналда, Мир, Москва (1981).

135. L. Susskind, hep-th/9309145.

136. Т. Damour and G. Veneziano, Nucl. Phys. В 568, 93 (2000).

137. G. T. Horowitz and J. Polchinski, Phys. Rev. D 55, 6189 (1997).

138. E. Halyo, B. Kol, A. Rajaraman and L. Susskind, Phys. Lett. В 401, 15 (1997).

139. L. Susskind, Phys. Rev. D 49, 6606 (1994).

140. C. W. Misner, K. S. Thorne, and J. A. Wheeler, "Gravitation" (W. H. Freeman and Company, San Francisco, 1973).

141. В. Б. Петков, В. И. Волченко, Г. В. Волченко и др., ПТЭ, т. 49, N 6, с. 50 (2006).

142. D. Е. Alexandras, G. Е. Allen, D. Berley, et al., Phys. Rev. Lett. 71, 2524 (1993).

143. B. Funk, J. Gonzalez, H. Krawczynski, et. al., Proc. 24t,h International Cosmic Ray Conference, Rome (Italy), v.2, 104 (1995).

144. M. Amenomori, Z. Cao, B. Z. Dai, et. al., Proc. 24th International Cosmic Ray Conference, Rome (Italy), v.2, 112 (1995).

145. E. T. Linton, R. W. Atkins, H. M. Badran, et al., JCAP 0601, 013 (2006).

146. M. Aglietta, B. Alessandro, P. Antonioli, et al., Astrophys. J. 469, 305 (1996).

147. V. V. Alexeenko, A. B. Chernyaev, V. B. Petkov, et al., Nuclear Physics В (Proc. Suppl.) 110, 472 (2002).

148. В. Б. Петков, В. В. Алексеенко, В. И. Волченко и др., Кинематика и физика небесных тел 4, 234 (2003).

149. S. Vernetto, Astropart,. Phys. 13, 75 (2000).

150. Е. Н. Алексеев, П. Я. Глемба, А. С. Лидванский и др., Известия АН СССР, сер. физ. 40, с. 994 (1976).

151. Д.Д. Джаппуев, В. В. Алексеенко, В. И. Волченко и др., Известия РАН, сер. физ. 71, с. 542 (2007).

152. С. Е. Fichtel et al., Astrophys. J. 434, 557 (1994).

153. M. Schroedter et al., Astropart. Phys. 31, 102 (2009).

154. R. Hagedorn, Nuovo Cim. Suppl. 3, 147 (1965).

155. Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

156. Е. Bugaev and P. Klimai, "Large curvature perturbations near horizon crossing in single-field inflation models", Phys. Rev. D 78, 063515 (2008).

157. E. Bugaev and P. Klimai, "Constraints on amplitudes of curvature perturbations from primordial black holes" Phys. Rev. D 79, 103511 (2009).

158. E. Bugaev and P. Klimai, "Induced gravitational wave background and primordial black holes') Phys. Rev. D 81, 023517 (2010).

159. В. В. Петков, Э. В. Бугаев, П. А. Климай и Д. В. Смирнов, "Ограничения на концентрацию испаряющихся первичных черных дыр для хромосферных моделей испарения", Письма в ЖЭТФ 87, 3 (2008).

160. Е. Bugaev and P. Klimai, "Bound on induced gravitational wave background from primordial black holes", Письма в ЖЭТФ 91, 3 (2010).

161. В. Б. Петков, Э. В. Бугаев, П. А. Климай и др., "Поиск всплесков гамма-излучения сверхвысокой энергии от испаряющихся первичных черных дыр", Письма в АЖ 34, 563 (2008).

162. В. Б. Петков, Э. В. Бугаев, П. А. Климай и др., "Экспериментальный поиск всплесков гамма-излучения от испаряющихся первичных черных дыр", ЖЭТФ 137, 460 (2010).

163. Е. Bugaev, P. Klimai and V. Petkov, "Photon spectra from final stages of a primordial black hole evaporation in different theoretical models", Proc. of the 30th International Cosmic Ray Conference; R. Caballero et al (eds.);

164. Universidad Nacional Autonoma dc Mexico, Mexico City, Mexico, 2008; Vol. 3 (OG part 2), p. 1123-1126. Также в arXiv:0706.3778 astro-ph.,

165. Е. V. Bugaev and P. A. Klimai, "Large curvature perturbations in single-scalar-field models of inflationProc. of 15th International Seminar on High Energy Physics QUARKS-2008 (Sergiev Posad, Russia, 2008). — Vol. 1, p. 329 343.

166. Е. Bugaev and P. Klimai, "Constraints on power spectrum of density fluctuations from PBH evaporations" arXiv:astro-ph/0612659.

167. В. Б. Петков, Э. В. Бугаев, П. А. Климай, А. Н. Гапоненко, П. С. Стри-ганов, "О методике поиска всплесков гамма-излучения сверхвысокой энергии от испаряющихся первичных черных дыр на ливневых установкахПрепринт ИЯИ РАН 1209/2008 (2008).

168. E. V. Bugaev, V. B. Petkov, A. N. Gaponenko, P. A. Klimai et al., "Experimental search of bursts of very high energy gamma rays from primordial black holes", arXiv:0906.3179 astro-ph.CO.

169. E. V. Bugaev, V. B. Petkov, A. N. Gaponenko, P. A. Klimai et al., "Experimental search of bursts of gamma rays from primordial black holes using different evaporation modelsarXiv:0906.3182 astro-ph.CO.