Определяющие соотношения нильпотентных подалгебр алгебр ли картановских типов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

#

Ч) НАЦИОНАЛЬНАЯ АКАДЕМИЯ НАУК РЕСПУБЛИКИ КАЗАХСТАН

V Институт теоретической и прикладной математики

На правах рукописи УДК 512.54-519.46

КЕРШБАЕВ Равдд КонырОаевич

ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ СООТНОШЕНИЯ НИЛЫТОТЕНТНЫХ ПОДАЛГЕБР АЛГЕБР Ж КАРТАНОВСКИХ ТИПОВ

специальность 01.01.06-математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель -доктор физико-математических наук, профессор А.С. Джумадильдаев

А Л М А Т Ы - 1995

Работа выполнена в Институте теоретической и прикладной математики HAH PK.

Научный руководитель - доктор физико-математических наук,

профессор A.C. Джумадильдаев. Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

: " " К.Ж. Кудайбергенов, кандидат физико-математических наук, доцент У. У. Умирбаев,

Ведущее учреждение - Московский Государственный Университет

Защита состоится " ЬССО^Л 1995 г. в " часов на

заседании специализированного совета Д 53.04.02 при Институте теоретической и прикладной математики HAH PK по адресу: Алматы, ул. Пушкина 125.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке HAH PK по адресу: 480021 г. Алматы, ул. Пушкина, 125.

Автореферат разослан " " 1995 г.

Ученый секретарь специализированного совете Д 53.04.02

доктор технических наук А.н. Казангагов.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы.

Описание бесконечномерных простых алгебр Ли - одна из актуальных задач современной теории алгебр Ли. Наиболее хорошо изученные простые алгебры Ля - это алгебры Ли кар-тановских типов. Не расщепляемые расширения алгебр Ли карта-яовских типов представляют важный интерес. Известным примером нерасщепляемых расширении бесконечномерных алгебр Ли является алгебра Вирасоро (нврасщепляемое центральное расширение алгебры Ли Особенно с точки зрение приложении содержательными являются когомологии и гомологии степени I и 2.

Данная работа посвящена вычислению определяющих соотношений максимальных нильпотентных подалгебр алгебр Ли картановских типов бесконечной размерности от многих переменных. По существу, эта задача равносильна вычислению второй группы гомологии н2(^?1) максимальных нильпотентных подалгебр х алгебр Ли картановских типов. Известные до сих пор результаты о гомологиях алгебр Ли относятся к алгебрам Ли картановских типов от одной или от двух переменных (кроме общей алгебры Ли картановского типа ). Известны также некоторые результаты о гомологиях гамильтоновой алгебры Ли картановского типа от многих переменных. Описаны пространства н2(^1) общей алгебры Ли от произвольного числа переменных , а также специальной и гамильтоновой алгебры Ли от двух переменных.

з

Цель работы.

• Описать пространства н2(«1) как ь0-модуль для алгебр Ли картановских типов. Получить явное описание старших векторов неприводимых компонент модуля н2<^1).

Научная новизина.

Все основные результаты диссертации являются новыми.

Методы исследования.

В работе использывались общие методы исследований теории алгебр Ли, а также применялись классические результаты теории конечномерных полупростых алгебр Ли.

Практическая и теоретическая ценность работы. Диссертация носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы в теории алгебр Ли.

Апробация диссертации.

Результаты диссертации докладывались на международной конференции "Алгебра и Анализ" (Казань, 6-II июня, 1994 г.), на семинарах лаборатории алгебры ИТПМ HAH PK профессора A.C. Джумадильдаева и на городском семинаре по алгебре и логике профессора В.П. Добрицы.

Публикации.

Основные результаты диссертации опубликованы в 4 работах, список которых приведены в конце автореферата. Из них

две работа в соавторстве.

Структура и объем диссертации.

Работа состоит из введения, трех глав и списка литературы, содержащего 30 наименования. Объем диссертации 55 машинописных страниц.

Содержание диссертации.

Остановимся на содержании глав диссертации. Глава О содержит определения и известные факты. В главе I приведены результаты о разложении модуля х^ль^, юе>. Напомним некоторые определения. Пусть ь = ® ь.- алгебра Ли картановского типа.

Через обозначим максимальную нильпотентную подалгебру в ь. Пусть с2(^?1), в2<£1) и н2(«1> - пространства цепей,

циклов, границ и гомологии алгебры , соответственно.

Определение. Цепь иЛу е с2(^?1), и<у, называется ведущей цепьв пространства с2<^1), если а не лежит в коммутанте При этом будем говорить, что и - младший, а V -старший ведущие элементы и что и и V связаны.

Лемма. Всякая цепь пространства с2(^1) представляется в виде суммы ведущих цепей и границ, иными словами имеет место следующее разложение

с2(£1> = 4 В2(-е1)-

Вышеприведенная лемма показывает, что разложение Ь0-МОДУЛЯ С2(^1) по МОДУЛЮ подмодуля В2(^1) сводится к

разложению модуля г^лй , который в свою очередь, разлагается на однородные компоненты ь1ль[{, к>0. Итак, наша задача о вычислении неприводимых компонент модуля н2(^1) сводится к нахождению неприводимых компонент модуля ь1льк, к>0.

В дальнейшем мы предположим, что алгебра Ли ь равна ип

ИЛИ Sn И U = PtXj,...,хп].

Рассмотрим тензорные произведения и«и, l«l , u®l , L®u. Введем слэдущие спаривания модулей :

(U®U)X(U®U) —► U®U : (u®v)«(x®y) = ux®vy,

(U®U)X(L®L) -► I®L :(u®v)«(xä.0yd.) = uxö.evyö.,

(U®L)X(L®U) -► L®L :(u®v0.)«<x0.®y) = uxö.evyö. ,

2 J X J

(U®U)X(U®L) —» U®L : (u®v)«(x®y0.) = ux®vy3.,

0 0

где u, v, x, у e U, ai , д. e Ii, j =

Относительно действия l0 на тензорных произведениях и®и, l®l ,

u®L, l®u имеет место правило Лейбница

l((u®v)*(x®y>)=l<u®v)o(X®y)+(u®V)«l(X®y) ,

) ) = l(u®v)«(0.®d.. ) + (u®v) «Kdj^edj ) ,

(1)

где 1еЬ0.

Правило Лейбница (1) показывает, что если и .V старше векторы из и®и, то их произведение по умножению • тоже будет старшим вектором, т.е. если мы знаем старше векторы меньшей

степени, ' то мы можем построить старший вектор большей степени.

Введем в рассмотрение следующую систему векторов из и®и, L®L , U®L , L®U :

ая=1®1, а, = х-®!, а„ = х.вх, - х^х., а, = , а)

ь, = а ei, ь„ = 9 &s . - а .<&э , ь„ = , ь)

1 п ' 2 п п-1 п-1 п' 3 п '

(2)

с, = £ х.®Э., е- = X ?=1<&г, е=г»1 с1)

I 1 1 1 <1 1 з. 1

а = а^ад» Ь = Ь^Ь^, с = а^Ьд, ё = Ь^а^,

Легко видеть, что векторы из системы (2) является старшими.

Пусть алгебра Ли ь = нп и а=Р[х1,х_1,...,хп,х_п]. Тогда I. и и как ь0-модуль совпадают. Кроме того ьк = ик+2» к>-2, где ьк, ик+2- однородные компоненты ь и и, соответственно. Введем в рассмотрение следующую систему векторов из и®и:

и1 = х1®х1' и2 = х1®х2 " х2®х1'

И (3)

и3 = .Е (х-вх^- х и4 = 1®х1.

Легко видеть, что векторы из системы (3) является весовыми относительно тора алгебры Ли I и ь^(и1)г0, где 1=1,2,3,4 и борелевслая подалгебра в ьд.

В случае ь=кп и и=р[хд,х1,х_1,...,хп,х ], векторам (3)

добавляются старшие векторы

1вк0» х0в1-

Из (1) следует, что множество всех старших векторов

модуля и ou образуют полугруппу относительно умножения ». Через л обозначим коммутативную полугруппу старших векторов из и»и. Тогда имеет место следующая

ТЕОРЕМА I. Если L = wn. sn, то полугруппа А порождается системой векторов с2а). Если L = нп, то полугруппа А порождается системой векторов (2а) и и3. При L =кп полугруппа А порождается системой векторов <2а), и3 и 1®х0, х0®1. я

Пусть L=Wn, Sn, Hn, Кп. Поскольку L1ALk S При k>l, для того, чтобы разложить i^al^ в неприводимые компоненты нам достаточно вычислить старше векторы

ТЕОРЕМА 2. Пусть 1 количество неприводимых компонент модуля l1®l[î. I). Если тогда

{24, к>2, Г22, к>2, Г12, к>2,

23, к=2, При п=3 1=^21, к=2, При п=2 1=411, к=2,

20, к=1, U8. к=1, Цй, к=1.

Если L=sn, тогда

ЩШ n>3 при n=3 l = J^. при п=2 1=4, к>1.

Старшие векторы модуля L1®Lk являются многочленами от векторов <2>.

2). Пусть L=Hn. При к>и и n> 1 модуль Ц®^ имеет в своем разложений 10 неприводимых неизоморфных компонент кратности 1. Старшие векторы модуля Lx®Lk являются одночленами от векторов (з>. ш

В главе 2 приведены результаты о разложений модуля Н2(«1). Пусть L = Wn, Sn.

Введем в рассмотрение следующие вектора, являющиеся

многочленами от системы векторов (2). Рядом с ними показаны весы.

и, = а2Ь„ = х2<? „Лх23 1 (4,0,...,0,-1,-1),

Л1 2 ~ 1п 1 п-1

= аа2Ь = Х1*пЛх1х2ап>

и0 = аа„Ь = , (3,1,0,...,0,-2),

и3=айс1-асо2= Е х^^Лх^Я^п+Ох^Лх2^, (3,0, . . . ,0,-1),

(2,1,0, . . .,0,-1),

2

и5=а2ЙаЗЬ3+а2Га1Ь1=Х12^гС1ЗС2<'п+х1дпЛх22' (2,1,0, . . . ,0,-1),

и6 = а2Ь = х^2Лх2г, (1,1,0,...,0),

и7=а2с1с2=р1х.«1Лх2х^.+ Е Лх2х.)>

(1,1,0,...,&),

и8 = а2Ь2 = х1ЙпЛх2дп-1 " 2х1х2дпЛх1х2^п-1 + х2*Х'п-1'

(2,2,0,...,0,-1,-1).

Имеет место следующая

ТЕОРЕМА 3. Пусть п>з. Если ь=«п, то модуль н2(«1) имеет в своем разложений 8 неприводимых подмодулей и имеет место следующее равенство:

Н2(^) = <и2> ® ... ® <и8>-

Если ь=зп, то н2(^1) имеет с своем разложений 5 неприводимых подмодулей и имеет место следущее равенство:

н2(^1)=<и1>®<и2>®<(п+1)ц4-и5>®<(п+1)и7-и6>®<и8>.

При п=з пространство н2(^1) алгебр Ли нп и бп имеет соответственно 7 и 4 неприводимых подмодулей. В обеих случаях компонента <и8> не возникает.я

Пусть ь=нп- Приведем явные виды старших векторов модуля н2<г1>. Рядом с ним указаны их весы. Пусть п>1 и к=1.

= х3Лх2х2» (5,1,0.....0),

и2 = х3Лх3 - Зх^х2лх1х2, (3,3,0,...,0), ц3 = Е(х^Чх-1 - 2х1х2х1Лх1х2х_1 + х2х.Лх2х_.),

(2,2,0,...,0),

и4 = (х1«>х2- х2®х1>(Е(х5^®х_1- х_.®х.»2, (1,1,0, ... ,0), и5 = <Е(х1®х_1- х_1®х1))3, (0,0,...,0),

Следующий вектор возникает при к=2:

и6 = (1®х1)(Е(х1®х_.- х_1®х1))3, (1,0,...,0).

ТЕОРЕМА. 4. Пусть ь=нп, п>1. Тогда модуль имеет в

своем разложений 6 неприводимых подмодулей и имеет место следущее равенство: н2(^г) = н^2*^} ® н|3>(^1), где н^2^^) = <и1>«<и2>«<и3>®<и4>®<и5>, н^3^^) = <и6>.и К векторам , и2.....и6 добавим следующие векторы

3 2

и? = Х1Лх0х2 - х1х2Лх0х1, (3,1,0,...,0),

и8 = х0х1Лх0х2' (1,1,0,...,0), ТЕОРЕМА. 5. При ь=кп, п>1 имеет место следущее разложение

Н^Ч^) == <Ц1> ® ... ® <Цд> . Щ

СПИСОК РАБОТ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ.

1. Джумадяльдаев A.C., Керимбаев Р.К. Определяющие соотношения нильпотентной подалгебры контактной алгебры Ли // Ин-т теор. и прикл. матем. HAH PK. - Алматы, 1994. - 12 с. - Библиогр.: 4 назв. - Рус. - Деп. в КазгосИНТИ 03.05.94, J6 4851-Ка94.

2. Керимбаев Р.К. 2-гомолргии нильпотентной подалгебры гамильтоновой алгебры Ли. Международная конференция Алгебра и анализ. 1994, 6-II ишь, Казань.

3. Керимбаев Р.К. Вторая группа гомологий нильпотентной подалгебры гамильтоновой алгебры Ли // Ин-т теор. и прикл. матем. HAH PK. - Алматы, 1994. - 9 с. - Библиогр.: 4 назв. -Рус. - Деп. в КазгосИНТИ 16.06.94, J6 5089-Ка94.

4. Джумадильдаев A.C., Керимбаев Р.К. Неприводимые компоненты н2с^1) общей и специальной алгебры Ли. // Ин-т

теор. и прикл. матем. HAH PK. - Алматы, 1994. - 9 с.-Библиогр.: 4 назв. - Рус. - Деп. в КазгосИНТИ 29.07.94, № 5194-Ка94.

KepiMÖaeB Рашид Кощэбайулы

"Картан TypiHÄeri Ли алгебраларыньщ нильпотентт! iunci алгебраларын анвдтайтын катынастар" тахырыбынан 01.01.06 "Математикалык логика, алгебра жэне сандар теориясы" мамандыгы бойьшша физика-математика гылымдарыньщ кандидаты дэрежесш коргау диссертац,иясы.

Бул кумыста кеп айныыалы шекс1з елшемд1 Картан TypiHfleri Ли алгебраларыньщ нильпотентт! iimci алгебраларын аныктайтын катынастар есептел!нед1. Нег1з1нен алганда, бул маселе Картан TypiHfleri Ли алгебраларыньщ нильпотенттi iunci алгебраларыньщ HgCi^) eKimai группа гомологиясьш есептеумен пара-пар. Картан TypiHfleri жалпы Ли алгебрасынвд нильпотентт! iimci алгебрасыныц HgCX^D KegicTiri бурыннан öenvini болатын.

Kerimbaev Rashid Konyrbaevich

Dissertation on the theme "Defining relations of nilpotent subalgebras of Lie algebras of Cartan type", submitted for candidate's degree of physics-mathematics sciences on speciality 01.01.06 "mathematical logics, algebra and theory of numbers".

The present work is devoted to the computation of defining relations of maximal nilpotent subalgebras of Lie algebras of Cartan type with infinite dimension in many variables. Essentially this problem is equivalent to the computation of secand homology group HgCSjD of maximal nilpotent subalgebras of Lie algebras of Cartan type. The spaces HgCJE^D for general Lie algebra in arbitrary number of variables and for special, Hamiltonian Lie algebras in two variables were described before.