Оптические свойства суспензии твердых сфер тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.07 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

на правах рукописи

ОБРАЗЦОВ Евгений Павлович

ОПТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА СУСПЕНЗИИ ТВЕРДЫХ СФЕР

Специальность 01.04.07 — физика конденсированного состояния

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

С анкт- Петербург 2005

Работа выполнена на кафедре статистической физики физического факультета Санкт-Петербургского государственного университета

Научпый руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор РОМАНОВ Вадим Петрович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор ТУЛУБ Александр Владимирович

кандидат физико-математических наук, доцент МОСКВИН Денис Николаевич

Ведущая организация: Санкт-Петербургский государственный

электротехнический университет

Защита состоится «. 71 » ¿Паъм 2005 г. в 1 ^ часов на засе-

дании диссертационного совета Д 212.232.33 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора наук при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 198504, Саггкт-Петербург, Ульяновская ул., д. 1, конференц-зал НИИФ СПбГУ.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Санкт-Петербургского государственного университета.

Автореферат разослан « ^ » И 0 ^_2005 г.

Ученый секретарь диссертационного совета ¿/ Лезов A.B.

д. ф.-м. н., проф. (Sy

1144¿"03

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы исследования. В настоящее время интенсивно изучаются сильно неоднородные диэлектрические среды. Среди них значительное место занимают самые разнообразные суспензии, для которых в качестве модели неоднородностей внутри среды широко используется модель твердых сфер. Экспериментальные исследования этих систем выполняются самыми разнообразными методами. Среди них значительное место занимают оптические методы, в частности, методы многократного рассеяния света. Важность этих исследований обусловлена тем, что

• во-первых оптические методы во многих случаях являются единственным бесконтактным методом для изучения структуры сильно неоднородных

• а во-вторых в последнее время эффекты многократного рассеяния света, такие как когерентное обратное рассеяние, а также методы диффузионно-волновой спектроскопии, начинают находить практическое применение для определения параметров коллоидов промышленного происхождения, а также в медицинской диагностике при изучении токов крови и структуры поверхностных биологических тканей.

При всем многообразии методов оптических исследований количественная интерпретация данных, полученных при использовании методов много-кратнох'о рассеяния света, критическим образом зависит от оценок пространственных параметров, полученных независимыми методами. Естественными пространственными масштабами в таких приложениях как диагностика внутренних неоднородностей в непрозрачных диэлектриках, как статических так и динамических, являются длина свободного пробега фотонов, или длина экс-тинции, и транспортная длина. В большинстве исследований теоретические расчеты данных оптических параметров ограничиваются рамками борнов-ского приближения. Роль вкладов, выходящих за рамки борновского приближения, до сих пор детально не исследовалась.

Следует отметить, что замечательной особенностью модели твердых сфер является тот факт, что для нее в теории жидкостей известно точное решение для парной корреляционной гения Перкуса-

сред,

Йевика. Это выгодно отличает данную модель от других тем, что в рамках данной модели суспензии типа системы твердых сфер можно теоретически исследовать в достаточно широком диапазоне концентраций, включающем концентрированные суспензии, что имеет практическое применение при исследовании биологических объектов.

Цель работы. Диссертационная работа посвящена изучению оптических параметров, определяющих распространение света в неоднородной диэлектрической суспензии, которая может быть описана в рамках модели твердых сфер. Проводится исследование влияния пространственных корреляций в положениях частиц и форм-фактора на результаты расчетов оптических параметров. Исследуется диаграммное разложение для поляризационного оператора в рамках борновского приближения и вне его. Рассчитываются поправки, определяемые следующими членами ряда поляризационного оператора, к оптическим параметрам суспензии. Проводится детальное сравнение теоретических расчетов с экспериментальными данными. Изучается возможность проявления пространственной дисперсии диэлектрической проницаемости суспензии твердых сфер.

Научная новизна. В настоящей работе получены следующие результаты:

1. Получены выражения для корреляционных функций флуктуаций диэлектрической проницаемости в суспензии твердых сфер.

2. В борновском приближении исследована концентрационная зависимость длины экстинции и транспортной длины. Показано, что для частиц с размером сравнимым с длиной световой волны эти параметры нелинейно зависят от концентрации даже в достаточно разбавленных системах.

3. Вычислены члены более высокого порядка, чем борновское приближение для поляризационного оператора. Получены поправки к длине экстинции и транспортной длине.

4. Проведен детальный расчет длины экстинции и транспортной длины для суспензии с различными концентрациями и диаметром частиц. Получено хорошее согласие с существующими экспериментальными данными.

5. Обнаружено, что значения длины экстинции и транспортной длины да-

же в области умеренных концентраций гораздо чувствительнее к учету структурного фактора, чем к выбору модели для форм-фактора. В частности, с небольшой потерей точности можно использовать вместо форм-фактора Ми простое выражение Рэлея-Ганса.

6. В рамках борновского приближения получена система уравнений, позволяющая рассчитать зависимость поляризационного оператора и диэлектрической проницаемости суспензии твердых сфер от волнового вектора. Показано, что в области больших концентраций становится существенной пространственная дисперсия.

Теоретическая и практическая ценность. Для суспензии твердых сфер предложен способ расчета корреляционных функций флуктуаций диэлектрической проницаемости среды, а также длины экстинции и транспортной длины, основных оптических параметров. Указан метод, позволяющий провести расчеты с учетом поправок, определяющихся выходом за рамки борновского приближения. Полученные результаты позволяют адекватно описывать экспериментальные данные, полученные при исследовании суспензий близких по структуре к системе твердых сфер в широком спектре концентраций и размеров частиц. Предложен способ учета пространственной дисперсии для диэлектрической проницаемости суспензии.

Определение основных оптических параметров для концентрированных суспензий, а также необходимость учета пространственной дисперсии в таких средах может найти применение при исследовании биологических объектов и коллоидных систем.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на международных семинарах "Nordic School in Atomic Physics - 2001" (Дания, 2001 г.) и "NORDITA Summer School" (Дания, 2003), а также на 1-ой (17-ой) ежегодной конференции аспирантов "Current Trends in Scienco(Physics and Chemistry)" (Санкт-Петербург, 2004 г.) и международной конференции 'Physics of Liquid Matter: Modern Problems" (Киев, 2001г.).

Пуб л и кации. По материалам диссертации опубликовано 4 печатные работы. Список публикаций приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав и заключения. Общий объем диссертации - 98 страниц, включая библиографию из 93 наименований. Работа содержит 13 рисунков и б таблиц, размещенных внутри глав.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы исследования, дан краткий обзор состояния исследований по теме диссертации, сформулирована цель работы, описаны методы исследования и структура работы.

В первой главе вводятся исходные уравнения и расчетные формулы для поляризационного оператора, функции Грина, оптических характеристик и пространственной корреляционной функции флуктуаций диэлектрической проницаемости для суспензии сферических частиц. При описании структуры суспензии используется приближение Перкуса-Йевика [1]. т» рамках которого для пространственной корреляционной функции получено точное аналитическое выражение, работающее даже в области больших концентраций, вплоть до плотной упаковки частиц.

Объект исследования, суспензия, представляет собой взвесь частиц сферической формы. Распределение частиц по размерам не учитывается. Считается, что диэлектрическая проницаемость частиц на оптической частоте е8 = Ео I Део, где £о ~ диэлектрическая проницаемость растворителя. Концентрация суспензии С задается как объемная доля, занимаемая частицами. Предполагается, что и растворитель и частицы являются немагнитными и непоглощающими.

Интегральное волновое уравнение в данной немагнитной диэлектрической среде, усредненное по случайным неоднородностям, для монохроматической волны представляется в виде

Е(гО = ЕоЫ f У Т0(Г1 - г2)П(г2 - г3)Е(гз)йг2йгз, (1)

где Ео(г), То (г) - поле и функция Грина чистого растворителя,

T0(r) = (k20I + VxV)-. (2)

Здесь I - единичная матрица, к0 = ид0ч/ёо/с - волновое число в среде, ш0 - круговая частота, с - скорость света в вакууме. В уравнении (1) П(г) -поляризационный оператор, играющий роль нелокальной восприимчивости.

Функция П представляется в виде диаграммного ряда по неоднородностям диэлектрической проницаемости

П = П1+П2+Пз + ..= (3)

Здесь отрезок прямой представляет собой функцию Грина суспензии, в низшем приближении заменяемую на выражение (2), вершине сопоставляется неоднородность диэлектрической проницаемости Де(г), волнистые линии означают двух- — г2), трех- ,Г2. Г3) и т.д. частичные корреля-

ции флуктуаций диэлектрической проницаемости и определяются как связные части этих флуктуаций. В аналитической форме выписанные члены диаграммного ряда имеют вид

Й1(г1-г2) =^<Де(г1))5(г1-га);

Йа(п - г2) = щзПп - г2)С(2)(Г1 - г2),

С(2)(Г! - г2) = (Де(п)Де(г2)> - (Ае(г1))(Ае(г2));

П3(Г1 " Г2) = ^ У Т(П - г3)Т(гз - Г2)С(3)(Г1,Г2,Гз)сгГз ...

Уравнение (1) формально рассматривается как разложение по кратности рассеяния. Схематическое изображение N актов рассеяния представлено па Рис. 1. Выражения для компонент поляризационного оператора (3) определяют вклады соответственно для N — 1, N — 2 и N — 3. Одновременно с параметром Де, по которому упорядочено диаграммное разложение, ряд содержит другой параметр разложения - концентрацию суспензии С. Физически члены порядка Сп описывают процесс рассеяния на системе из п взаимно непроницаемых частиц. Считается, что концентрация С и Ае: - малые параметры.

Рис. 1

Схематическое изображение N актов рассеяния: (А) — рассеяние в пределах одной частицы, (Б) — рассеяние на двух скоррелированных частицах (корреляции изображаются волнистой линией) без учета перерассеяния на соседних частицах, (В) — рассеяние с учетом переизлучения на частице среды, (Г) — рассеяние на трех скоррелированных частицах.

Поляризационный оператор определяет диэлектрическую проницаемость суспензии, учитывающую пространственную дисперсию соотношением

е(Ч) = е0/ + 4тгП(Ч). (5)

Мнимая часть проницаемости определяет затухание поля. Тогда длина свободного пробега фотона I имеет вид

у = ^1те_ь (б)

( Ео

где значок определяет перпендикулярную к волновому вектору составляющую тензора диэлектрической проницаемости.

Для рассматриваемых систем неупругими столкновениями можно пренебречь, т. е. длина свободного пробега определяется рассеянием. Транспортная

длина связана с длиной экстинции следующим соотношением I* =--,

__1 — cos в

где cos в - средний косинус угла однократного рассеяния.

В пренебрежении собственным поглощением слагаемое FFi не имеет мнимой части, и поглощение, дайна экстинции, определяется следующими членами ряда поляризационного оператора

1 = Гц = НЕ*»(In, п2± + 1Ш Пзх + ...). (7)

t £о £0

01шсание проводится в предположении, что функцию Грина суспензии в разложении поляризационного оператора можно заменить на функцию Грина чистого растворителя (2).

В этом случае ограничение вторым слагаемым в (6) равносильно борцовскому приближению и определяет известную оптическую теорему (см., например [2]), которая для электромагнитного поля имеет вид

1 = ЩЦ /di2G(2)(4)(1 + cos2 *)/2' (8)

где |q| = \/2кд([ — cos в), в - угол рассеяния, G^2)(q) - фурье образ двухчастичной корреляционной функции (4). Оптическая теорема связывает обратную длину рассеяния с интегралом f df> по всем углам рассеяния от парной корреляционной функции, обуславливающей сечение однократного рассеяния.

В модели твердых сфер диэлектрическая проницаемость суспензии е(г) для конфигурации, в которой центры частиц Ыг находятся в точках R-i, R2 ■ • * ? Rjv записывается в виде

е(г) = е0 + Део5>(§-1Г-а'|)' W

где 0— тета-функция, D— диаметр частиц.

Корреляционные функции флуктуаций неоднородностей из (4) записываются через корреляционные функции F^^R^,..., R.'n), являющиеся связными, или кумулятивными, частями п—частичных функций распределения в системе твердых сфер,

С<»>(г1)...)гп) = Де5П J dK[e(j-\ri-R[\)F^(R'1,...,R'n). (10)

Для описания .... 11'п) используются известные урселовские корре-

ляционные функции д^^Кх,..., И,п) [1]. В частности двухчастичная и трех-частичная функции выражаются

- к4) = р« - в4) + - в4|).

^(и;, Н'з) = - И^Ж^ - К'з) + 6(п[ - я!2)д{2)(я!2, К'3)+ (11)

+ <5(1*4 - Н'з^ф'з, и;) + ¿(Л'з - Ъ'^ЧК, 1*4) + 9{3)(Ъ[, К, и-з).

Двухчастичная корреляционная функция д^ (г) определяется через прямую корреляционную функцию с(г) с помощью уравнения Орнштейна-Церни-ке[1]

д(2)(г) Р2

= с(г)+р ! ¿т1с{\т-т11)

5(2)(г о

^ ] • (12)

В модели твердых сфер получено точное выражение для прямой корреляционной функции с (г) в приближении Перкуса-Йевика [1]

О , г > Г>

2(7-)

I — Г\ /1 I — 1-1-/11--^

Во второй главе исследуется распространение света в концентрированных суспензиях твердых сфер. Аналитическое выражение для пространственной корреляционной функции флуктуаций диэлектрической проницаемости (<1) (8) представляется в виде произведения форм-фактора -Т-"^) на структурный фактор системы 5(с1)

&2>(ч) = Г(Ф(ч). (14)

Их одновременный учет приводит к весьма сложной зависимости оптических параметров неоднородной среды от концентрации. Как следует из наших расчетов эту зависимость необходимо учитывать при исследовании структуры неоднородных диэлектрических сред оптическими методами даже в области не очень больших концентраций.

Структурный фактор 5^) выражается из уравнения Орнштейна-Цернике в приближении Перкуса-Йевика (РУ) через Фурье-образ прямой корреляционной функции

5(Ч) = Г^- (15)

ю

В борновском приближении для формфактора частиц используются приближение Рэлея-Ганса (RG) и точные формулы Ми (Mie). Использование форм-фактора Рэлея- Ганса в (14) представляет собой вклад суммы первых двух диаграмм на Рис. 1((А) для N = 1;2 и (Б) для N = 2). Замена формфактора Рэлея Ганса на формфактор Ми соответствует учету всех диаграмм Рис. 1(A) и 1(Б).

Изучается влияние структурного фактора на оптические параметры. Исследование проводится при небольшой разности показателей преломления частиц и среды в приближении Рэлея-Ганса в силу несущественных различий для вида форм-факторов при заданных параметрах. Показано, что учет структурного фактора необходим даже для достаточно разбавленных систем, и особенно для трапспортной длины, учитывая сильную зависимость cos в от концентрации и размеров частиц.

Изучается вклад в оптические параметры функции Пз, которая учитывает трехкратпоо рассеяние (см. Рис. 1, N = 3). Такое рассеяние на изолированной частице, (А), вносит вклад порядка CAsq, рассеяние на двух скоррелирован-ных частицах, (Б) и (В), — порядка С2Двд, рассеяние на трех скоррелиро-вапных частицах, (Г), — порядка С^Д^. Ограничиваемся квадратичными по концентрации вкладами, и пренебрегаем последним слагаемым. Отметим, что вклад рассеяния на одной частице с учетом переизлучения на частицах среды, (В), не может быть учтен при замене форм-фактора Рэлея-Ганса на форм-фактор Ми (14). Вклад Пз представляется в виде 4-х кратного интеграла, который вычисляется численно.

Проводится детальное сравнение теоретических расчетов в рамках бор-новского приближение и с учетом поправок, выводящих за него, с экспериментальными данными, полученными в различных работах. Сравнение представляется в виде таблиц и рисунков. Например, степень согласия приближений (RG+PY) и (Mie+PY) с экспериментом иллюстрируется на Рис. 2. Здесь показана зависимость обратной транспортной длины, /*~г, от размеров рассеивающих частиц. Выбраны области значения параметров, для которых проведены достаточно подробные измерения. В таблице I также представлены теоретические данные в сравнении с экспериментом.

И

Рис. 2

Обратная транспортная длина в зависимости от безразмерного параметра ^р. определяющего соотношение между радиусом частиц и длиной волны. Данные представлены для частиц латекса при С = 0.096. Экспериментальные данные(Ш) взяты из работы [3], теоретические данные — использование приближений (М1е+РУ). сплошная линия, и (РЮ+РУ), пунктирная линия.

Показывается, что стандартный подход (М1е : РУ) [4] при всех значениях параметров дает совпадение теории с экспериментом с погрешностью, не превышающей 10%. Учет структурного фактора «просветляет» систему, т.е. увеличивает величину /* и улучшает согласие с экспериментом для обеих моделей для форм-фактора. Это существенно, поскольку использование простого аналитического выражения для форм-фактора позволяет значительно упростить расчеты, особенно при численном моделировании.

Учет поправки Пз порядка Де^ не вносит значительного вклада, однако в случае больших концентраций (С > 0.1) и значительных размеров частиц (Д > 1.54мкм) она заметно улучшает согласие с экспериментом (Табл. I).

Третья глава посвящается изучению диэлектрической проницаемости суспензии, учитывая корреляционные эффекты, необходимые для описания концентрированных суспензий. Исследуется влияние пространственной дис-

Таблица I

Сравнение экспериментальных [5] и рассчитанных значений (мкм) транспортной длины для водной суспензии латекса с диаметром частиц Б = 1.54 мкм при разных концентрациях. Диэлектрическая проницаемость растворителя— воды £о = 1.769, е8 — 2.528, Дго = 0.759. Длина волны света в вакууме Л = 0.5145 мкм.

с Ив Мю НС+РУ М1е+РУ Мш+РУ+РЗ сов(ШЗ+РУ) сов(Мю+РУ)

0.031 124 5 120.7 117 9 122 0 118.2 118.5 0.979 0.912

0.064 67.7 58.5 57.1 59.8 57.5 57.8 0.978 0.906

0.101 41.3 37 1 36.2 38 4 36.6 37 0 0 976 0.899

0.197 21.6 19.0 18.5 20.5 19.0 19 7 0.970 0.877

0.270 10 6 13.9 13.5 15 6 14 0 14.7 0 965 0 859

0299 14 6 12.5 12 2 14 3 12 7 13 4 0.963 0.851

0.341 13.2 11.0 10.7 12.9 11.2 11.6 0.959 0.840

Персии [6] на диэлектрическую проницаемость. Расчеты проводятся в борнов-ском приближении для поляризационного оператора, т.е. учитывая только первые два члена диаграммного разложения (3).

В исследованиях [7] наблюдались аномалии в зависимосхях показателя преломления в окрестности оптического брегговского отражения в голубой фазе жидких кристаллов. Предполагается, что наблюдаемый эффект можно объяснить, если учесть пространственную дисперсию диэлектрической проницаемости холестерического жидкого кристалла. Для систем типа суспензий этот эффект не исследовался. Явный вид корреляционных функций диэлектрической проницаемости среды позволяет провести численные расчеты пространственной дисперсии, что является основной задачей третьей главы.

При параметризации тензорной структуры поляризационного оператора в виде

%) = е0П0(9)/ + еоЩ (16)

для функции Грина суспензии из уравнения Дайсона, аналогичного уравнению для поля (1), получается следующее уравнение

л 47Г

Т(ч) = (17)

,_4тг[д2 +4тгЛ:§П1(д)]__ д х д\

+ е0[д2 - Щ - 4^П0(в)]{1 +4тгр0(д) +П!(д)]} V Ф ) '

которое вместе с (4) представляет собой замкнутую систему уравнений. Эту систему необходимо рассматривать при учете корреляционных эффектов и пространственной дисперсии.

Используя уравнения (16) и (17), выводится замкнутая система интегральных уравнений для компонент поляризационного оператора

По№ + П1(,)ау = 1 +Д'.щм! X (18)

решение которой определяет эффективную диэлектрическую проницаемость неоднородной среды.

Дня компонент поляризационной матрицы решение получено в первом приближении, т.е. в правой части (18) положено По(д) = Пх(д) = О

Ыч)~ ф^ц/*/+ я.'2 ~ " ^ " °х (19)

-1 о

д' -к0) \д' +

Ть) 1

1 ' - V [ ~г~—г~ ) I «^(в' - ко)

47Г£о

1 00 2

= 4(21*1 + 9/2 " ^

-1 о

Тензор диэлектрической проницаемости при учете пространственной дисперсии записывается в виде продольной е; и поперечной составляющей по отношению к направлению волнового вектора падающей волны

*«*(<!) = + *«(«) (*«* - ^Г ) • (21)

Эти компоненты тензора диэлектрической проницаемости связаны с компонентами поляризационной матрицы соотношениями

£,(*) = е0{1 + 4тг[П0(д) + Ыя)]), (22)

е4(д) - ео[1+4тгПо(д)].

02 04 06 08 10 12 14 1 6 18 20 02 04 06 06 10 12 14 1 6 1в 20

к X Ю-8, см-1

Рис. 3

Зависимость поперечной (А) и продольной (Б) составляющих диэлектрической проницаемости от £>/А при разных концентрациях: 1 - С = 0.1, 2 - С — 0.3, 3 - С = 0.5, 4 - С = 0.7. При расчетах принималось ео — 1 75, Део = 1, = О.бЗмкм.

Изучаются зависимости продольной и поперечной составляющих диэлектрической проницаемости от волнового числа падающей электромагнитной полны, представленные на Рис. 3. Эти зависимости имеют немонотонный характер, причем обе компоненты имеют слабую особенность вблизи значения с1/\ ~ 1, указывающую на проявление ближнего порядка, обусловленного корреляциями в положениях твердых сфер при достаточно больших концентрациях.

Показывается возможность расчета оптических параметров с учетом корреляционных эффектов и пространственной дисперсии.

В заключении сформулированы основные результаты работы.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. Кузьмин В.Л., Романов В.П., Образцов Е.П. Флуктуации диэлектрической проницаемости в системе твердых сфер. Оптика и Спектроскопия, 2001, Т. 91, С. 972-979.

2. Кузьмин В.Л., Романов В.П., Образцов Е.П, Диэлектрическая проницаемость суспензий. Оптика и Спектроскопия, 2002, Т. 93, С. 991-997.

3. Кузьмин В.Л., Образцов Е.П., Ро. пензии твердых сфер. Вестн. С С. 92-96.

4. Kuzmin V.L., Obraztsov Е.Р., Romar, sphere system. Abstracts of Inten Matter: Modem Problems", Kyiv, 20C

Цитируемая литература

1. Крокстон К. А. Физика жидкого состояния. М., 1978.

2. Kuzmin V. L., Romanov V. P., Zubkov L. A.// Phys. Rep. 1994. Vol. 248. P. 72.

3. Watson G. H., McCall S. L., Fleury P. A., Lyons К. В.// Phys. Rev. B. 1990. V. 41. P. 10947.

4. Gang Hu, Krall A. H., Weitz D.A.// Phys. Rev. E 1995. Vol. 52. P. 6289.

5. Ladd A. J. C., Gang Hu, Zhu J. X., Weitz D. A.// Phys. Rev. E. 1995. Vol. 52. P. 6550.

6. Ландау Л.Д., Лифшиц E.M. Электродинамика сплошных сред. М. 1992.

7. Demikhov Е., Niggemann Е., Stegemeyer Н. // Phys. Rev. А. 1992. V. 45. P. 2380.

РНБ Русский фонд

2006-4 26285

Отпечатано копировально-множительным участком отдела обслуживания учебного процесса физического факультета СПбГУ. Приказ № 571/1 от 14.05.03. Подписано в печать 11.11.05 с оригинал-макета заказчика. Ф-т 30x42/4, Усл. печ. л. 1. Тираж 100 экз., Заказ № 270/с 198504, СПб, Ст. Петергоф, ул. Ульяновская, д. 3, тел. 428-43-00.

Введение

Глава 1. Распространение и рассеяние света в неоднородной среде

1.1. Электромагнитное поле в неоднородной среде

1.2. Волновое уравнение в интегральной форме.

1.3. Оптические параметры суспензии.

1.4. Корреляционные функции флуктуаций диэлектрической проницаемости системы твердых сфер.

1.5. Приближение Перкуса-Йевика.

Глава 2. Диэлектрическая проницаемость концентрированных суспензий

2.1. Борновское приближение.

2.2. Форм-фактор в теории Ми

2.3. Влияние структурного фактора на оптические параметры в приближении Рэлея-Ганса.

2.4. Выход за рамки борновского приближения.

2.5. Сравнение экспериментальных данных с теоретическими расчетами.

Глава 3. Диэлектрическая проницаемость суспензии с учетом

I пространственной дисперсии

3.1. Пространственная дисперсия.

3.2. Функция Грина в неоднородной среде.

3.3. Диэлектрическая проницаемость суспензии в приближении Перкуса-Йевика.

3.4. Пространственная дисперсия диэлектрической проницаемости суспензии твердых сфер.

В последнее время интенсивно исследуются сильнонеоднородные диэлектрические среды различными методами. Среди них значительное место занимают оптические методы, и в том числе исследование многократного рассеяния света [1]. Изучаются самые разнообразные объекты такие, как твердые диэлектрики |2], суспензии [3-26], эмульсии [27], гели [28,29], биологические объекты [30] и т.д. [31,32]. Применяются различные методы исследования такие, как измерение интенсивности однократного [15] и многократного рассеяния света [2, 22-24], измерение временных корреляционных функций [3, 14, 20], исследования прохождения и отражения света [25], диффузионно-волновая спектроскопия, изучение деполяризации [33], дифракции [34] и двойного лучепреломления [35] света и т.д. [4, 26]. Среди методов исследования многократного рассеяния света следует отметить такие, как методы корреляционной спектроскопии, возбуждение волн фотонной плотности, зондирование ультракороткими импульсами, анализ когерентного обратного рассеяни-яи т.д. Наряду с оптическими методами изучения структуры неоднородных диэлектрических сред, в последнее время развиваются методы магнитно-оптического анализа [36] и акустической спектроскопии [18,19]: исследования с помощью диффузионных акустических волн и динамического рассеяния звука [14].

Большое внимание уделяется именно оптическим методам. Важность этих исследований обусловлена тем, что оптические методы во многих случаях являются единственным подходом для изучения структуры сильно неоднородных сред. Особенно важно это для задач медицинской диагностики при изучении токов крови [37, 38], структуры поверхностных биологических тканей [39} и т.д. Это также важно в химической технологии [40], особенно при синтезе новых материалов.

Во многих случаях исследуемые объекты фактически представляют собой суспензии взвешенных частиц различных размеров, концентраций и формы. Это могут быть капли [20,21], диски (дискообразные коллоидные частицы [3]), цилиндры, шарикии др. [41], а также бинарные [33,42] и многокомпонентые смеси. Очень большое число работ посвящено изучению суспензий типа суспензии твердых шаров в жидкости или твердом теле [5-22]. Так, изучались шары из полистирола в метаноле или воде [5-12], коллоидные частицы из кремния в смеси воды и глицерина [13, 14], частицы с ядром из полиметил-метакрилата [15-18] и т.д. [19-21]. При этом изучаются самые различные свойства: структура суспензий [5, 13, 21], поведение вблизи поверхностей [40] и их динамические свойства [12, 14, 15, 18, 19], флуктуации размеров частиц [21], полидисперсность [11, 15], экранировка [13, 26]. Исследуются как разбавленные системы, так и сильно концентрированные суспензии [43], вплоть до плотной упаковки [44].

Одной из важнейших задач при оптических исследованиях является получение количественной информации о системе из оптических измерений. Для этого требуется знание самых разнообразных оптических характеристик суспензий. Основными оптическими параметрами, которые необходимо знать при анализе экспериментальных данных и определении из них структуры суспензии являются транспортная длина I* и длина экстинкции, или длина свободного пробега фотонов. Эти характеристики определяются вещественной и мнимой частями диэлектрической проницаемости, а также корреляционной функцией флуктуаций диэлектрической проницаемости, концентрацией, формой и размерами частиц. При изучении структуры неоднородной среды эти параметры необходимо либо определять экспериментально, либо находить в рамках модельных расчетов.

Ранее наиболее распространенным подходом для определения этих параметров состоял в исследовании однократного рассеяния света, которое содержит информацию о веществе в наиболее простой форме. Для мутных систем к настоящему времени разработаны достаточно эффективные методы исключения рассеяний высших кратностей, когда их вклад сравним с однократным [15, 22-24]. Однако анализ проводится в предположении, что средняя интенсивность рассеяния аддитивна по числу частиц (или, что тоже самое, пропорциональна числу рассеивателей [45]), т.е. корреляция в положениях частиц несущественна. Этот подход накладывает существенные ограничения на концентрацию частиц, поскольку он справедлив только для сильно разбавленных суспензий. При этом при теоретическом расчете достаточно найти сечение рассеяния на изолированной частице, т.е. рассчитать ее формфактор. Для сферических частиц расчет форм-фактора приводит к формулам Ми или при определенных условиях — к формулам Рэлея-Ганса.

Однако с увеличением концентрации рассеивателей существенную роль начинает играть структурный фактор. В современных экспериментах по многократному рассеянию света объемная доля частиц может превышать 30 % [5, 11, 15, 20], и задача учета структуры концентрированных суспензий вне зависимости от вида форм-фактора становится актуальной. Поэтому при теоретическом расчете в большинстве случаев суспензия моделируется как система твердых сфер, структура которой описывается в приближении Перкуса-Йевика [10, 11, 21, 36, 46-50]. При этом учитывается притяжение между частицами [51], гидродинамическое взаимодействие [10, 26], полидисперность [15], эффект дебаевского экранирования [13] и т.д. В зависимости от оптических свойств среды и частиц, рассеяние на отдельных частицах, т.е. формфактор, рассматривается как в приближении Рэлея-Ганса [21, 35, 36, 52] так и используются результаты теории Ми [10, 21, 46-50, 52]. Обычно при расчетах ограничиваются борцовским приближением. При этом влиянием окружения на рассеивающие свойства частиц пренебрегают. Однако при больших концентрациях и значительной разнице показателей преломления частиц и среды этот эффект может быть велик, и поэтому могут быть заметны вклады, обусловленные выходом за рамки борновского приближения.

Как уже отмечалось, изучаются самые разнообразные объекты, среди которых присутствуют и среды, для которых характерные размеры частиц суспензии и структурного фактора сравнимы с длиной световой волны. При этом диэлектрическая проницаемость оказывается зависящей от волнового числа, то есть имеет место пространственная дисперсия [53]. Обычно пространственную дисперсию необходимо учитывать в плазме [54] или в твердых телах [55]. Однако оказалось, что она обнаруживается также в жидких кристаллах, в частности, в голубой фазе холестерического жидкого кристалла, где период регулярной структуры сравним с длиной волны видимого света [56]. Для систем типа суспензии этот эффект до сих пор не исследовался.

Настоящая работа посвящена исследованию распространения света в неоднородной диэлектрической суспензии, типа системы твердых сфер. Изучается влияние пространственных корреляций в положениях частиц и форм-фактора на результаты расчетов оптических параметров: длины экстинкции и транспортной длины. Исследуется диаграммное разложение для поляризационного оператора в рамках борновского приближения, а также влияние следующих членов ряда на оптические параметры суспензии. Проводится сравнение теоретических расчетов с экспериментальными данными. Изучается возможность проявления пространственной дисперсии диэлектрической проницаемости суспензии твердых сфер.

Диссертационная работа построена следующим образом.

Первая глава посвящена исходным уравнения и расчетным формулам для поляризационного оператора, функции Грина, оптических характеристик и пространственной корреляционной функции флуктуаций диэлектрической проницаемости для наиболее часто исследуемых систем — суспензии сферических частиц. Для описания структуры суспензии используется приближение Перкуса-Йевика [57, 58], в рамках которого получено для пространственной корреляционной функции точное аналитическое выражение, справедливое даже в области больших концентраций, вплоть до плотной упаковки частиц. Поляризационный оператор представляет собой диаграммный ряд по параметру Дб"о, определяющему разность диэлектрических проницаемостей среды и частиц, и концентрации С.

Во второй главе исследуется распространение света в концентрированных суспензиях твердых сфер. Аналитическое выражение для пространственной корреляционной функции флуктуаций диэлектрической проницаемости представляет собой произведение квадрата форм-фактора отдельной частицы и структурного фактора системы. Их одновременный учет приводит к весьма сложной зависимости оптических параметров неоднородной среды от концентрации. Как следует из наших расчетов, эту зависимость необходимо учитывать при исследовании структуры неоднородных диэлектрических сред оптическими методами даже в области не очень больших концентраций. В борновском приближении для формфактора частиц используются приближение Рэлея-Ганса и формулы Ми. Также проводится расчет длины экс-тинкции и транспортной длины с учетом поправочных членов к борцовскому приближению для диаграммного разложения поляризационного оператора. Проведен детальный анализ экспериментальных данных по зависимости от концентрации и размеров частиц и сравнение их с теоретическими расчетами. Исследовано влияния пространственных корреляций в положениях частиц и форм-фактора на результаты расчетов.

В третьей главе проводится расчет эффективной диэлектрической проницаемости в борновском приближении, или приближении Бурре, с использованием полученного выражения для корреляционной функции флуктуа-ций диэлектрической проницаемости. Исследуется возможность проявления новых эффектов, в частности пространственной дисперсии диэлектрической проницаемости суспензии твердых сфер благодаря тому, что корреляционные функции получены в явном виде.

Основные результаты, полученные в данной работе, изложены в следующих публикациях:

1. Кузьмин В.Л., Романов В.П., Образцов Е.П. Флуктуации диэлектрической проницаемости в системе твердых сфер. Оптика и Спектроскопия, 2001, Т. 91, С. 972-979.

2. Кузьмин В.Л., Романов В.П., Образцов Е.П. Диэлектрическая проницаемость суспензий. Оптика и Спектроскопия, 2002, Т. 93,

С. 991-997.

3. Кузьмин В.Л., Образцов Е.П., Романов В.П. Рассеяние света в суспензии твердых сфер. Вестн. С.-Петерб. ун-та, Сер. 4, 2005, Вып. 4. С. 92-96.

4. Kuzmin V.L., Obraztsov Е.Р., Romanov V.P. Optical properties of a hard sphere system. Abstracts of International Conference "Physics of Liquid Matter: Modern Problems", Kyiv, 2001, p. 137. а также доложены на международных семинарах "Nordic School in Atomic Physics - 2001" (Дания, 2001 г.) и "NORDITA Summer School" (Дания, 2003), а также на 1-ой (17-ой) ежегодной конференции аспирантов ''Current Trends in Science(Physics and Chemistry)" (Санкт-Петербург, 2004 г.) и Международной конференции "Physics of Liquid Matter: Modern Problems" (Киев, 2001г.).

Заключение

В данной работе получены следующие результаты:

1. Получены выражения для корреляционных функций флуктуаций диэлектрической проницаемости в суспензии твердых сфер.

2. В борцовском приближении исследована концентрационная зависимость длины экстинкции и транспортной длины. Показано, что для частиц сравнимых с длиной световой волны эти параметры нелинейно зависят от концентрации даже в достаточно разбавленных системах.

3. Вычислены члены более высокого порядка, чем борновское приближение, для поляризационного оператора. Получены поправки к длине экстинкции и транспортной длине.

4. Учтен вклад в среднее поле взаимных переизлучений частиц, который приводит к нелокальности форм-фактора.

5. Проведен детальный расчет длины экстинкции и транспортной длины для суспензии с различными концентрациями и диаметром частиц. Получено хорошее согласие с существующими экспериментальными данными.

6. Обнаружено, что значения длины экстинкции I и транспортной длины I* даже в области умеренных концентраций гораздо чувствительнее к учету структурного фактора, чем к выбору модели для форм-фактора. В частности, с небольшой потерей точности можно использовать вместо форм-фактора Ми простое выражение Рэлея-Ганса.

7. В рамках борцовского приближения получена система уравнений для членов ряда поляризационного оператора.

8. Рассчитана зависимость диэлектрической проницаемости суспензии твердых сфер от волнового вектора. Показано, что в области больших концентраций становится существенной пространственная дисперсия.

Автор выражает глубокую благодарность своим научным руководителям В.П.Романову и В.Л. Кузьмину за терпение и поддержку.

1. Wave Scattering in Complex Media: From Theory to Applications, edited by van Tiggelen B.A., Skipetrov S.E.// Nato Science Series 1.: Mathematics, Physics and Chemistry. 2003. V. 107. Kluwer Acad. Publ., Dordrecht/Boston/London.

2. Rivas J.G, Sprik R., Lagendijk A., Noordam L.D., Rella C.W.// Phys. Rev. E. 2001. V. 63. P. 046613.

3. Kroon M., Wegdam G.H., Sprik R., // Phys. Rev. E. 1996. V. 54. P. 6541.

4. Mucha J.P., Goldhirsch I., Orszag S.A., Vergassola M. // Phys. Rev. Lett. 1999. V. 83. P. 3414.

5. Megens M., Vos W.L. // Phys. Rev. Lett. 2001. V. 86. P. 4855.

6. Nagele G., Kellerbauer O., Krause R., Klein R. // Phys. Rev. E. 1993. V. 47. P. 2562.

7. Zhu J.X., Durian D.J., Miiller J., Weitz D.A., Pine D.J. // Phys. Rev. Lett. 1992. V. 68. P. 2559.

8. Kao M.H., Yodh A.G., Pine D.J. // Phys. Rev. Lett. 1993. V. 70. P. 242.

9. Pine D.J., Weitz D.A., Chaikin P.M., Herbolzheimer E. // Phys. Rev. Lett. 1988. V. 60. P. 1134.

10. Xue J.-Z., Wu X.-L., Pine D.J., Chaikin P.M. // Phys. Rev. A. 1992. V. 45. P. 989.

11. Liimma D., Lurio L.B., Borthwick M.A., Falus P., Mochrie S.G.J. // Phys. Rev. E. 2000. V. 62. P. 8258.

12. Ladd A.J.C., Gang H., Zhu J.X., Weitz D.A. // Phys. Rev. Lett. 1995. V. 74. P. 318.

13. Riese D.O., Wegdam G.H., Vos W.L., Sprik R., Fenistein D., Bongaertsand J.H.H., Grubel G. // Phys. Rev. Lett. 2000. V. 85. P. 5460.

14. Cowan M.L., Page J.H., Weitz D.A. // Phys. Rev. Lett. 2000. V. 85. P. 453.

15. Heymann A., Sinn C., Palberg T. // Phys. Rev. E. 2000. V. 62. P. 813.

16. Verberg R., de Schepper I.M., Cohen E.G.D. // Phys. Rev. E. 2000. V. 61. P. 2967.

17. Segre P.N., Behrend O.R, Pusey P.N. // Phys. Rev. E. 1995. V. 52. P. 5070.

18. Ye L., Liu J., Sheng P., Weitz D.A. // Phys. Rev. E. 1993. V. 48. P. 2805.

19. Ries D.O. Wegdam G.H. // Phys. Rev. Lett. 1999. V. 82. P. 1676.

20. Gang H., Krall A.H., Cummins H.Z., Weitz D.A. // Phys. Rev. E. 1999. V. 59. P. 715.

21. Gang H., Krall A.H., Weitz D.A. // Phys. Rev. E 1995. V. 52. P. 6289.

22. Segre P.N., van Megen W., Pusey P.N., Schatzel K., Peters W. // J. Mod. Opt. 1995. V. 42. P. 1929.

23. Drewel M., Ahrens J., Podschus U. // J. Opt. Soc. Am. A. 1990. V. 7. P. 206.

24. Overbeck E., Sinn C. //J. Mod. Opt. 1999. V. 46. P. 303.

25. Rivas J.G, Sprik R., Soukulis C.M., Busch K., Lagendijk A., // Europhys Lett. 1999. V. 48. P. 22.

26. Ladd A.J.C. // Phys. Rev. Lett. 1996. V. 76. P. 1392.

27. Michel E., Cipelleti L., d'Humieres E., Gambin Y., Urbach W., Porte G., Appell J.// Phys. Rev. E. 2002. V. 66. P. 031402.

28. Fernández-Barbero A., Fernández-Nieves A., Grillo I., López-Cabarcos E.// Phys. Rev. E. 2002. V. 66. P. 051803. '

29. Lindner H., Scherf G., Glatter O.// Phys. Rev. E. 2003. V. 67. P. 061402.

30. Тучин B.B. // УФН 1995. Т. 167. С. 517.

31. Nordskog A., Egger Н., Findenegg G.H., Hellweg Т., Schlaad Н., von Berlepsch H., Böttcher С.// Phys. Rev. E. 2003. V. 68. P. 011406.

32. Hecht A., Horkay F., Geissler E.// Phys. Rev. E. 2001. V. 64. P. 041402.

33. Ghosh N., Pradhan A., Gupta P.K., Gupta S., Jaiswal V., Singh R.P.// Phys. Rev. E. 2004. V. 70. P. 066607.

34. Shinohara Т., Kurokawa Т., Yoshiyama Т., Itoh Т., Sogami I.S., Ise N.// Phys. Rev. E. 2004. V. 70. P. 062401.

35. Decruppe J.P., Lerouge S., Azzouzi H.// Phys. Rev. E. 2005. V. 71. P. 011503.

36. Lenke R., Eisenmann C., Reinke D., Maret G.// Phys. Rev. E. 2002. V. 66. P. 056610.

37. Heckmayer M., Skipetrov S.E., Maret G., Maynard R. // Journ. Opt. Soc. Am. 1997. V. A4. P. 185.

38. Скипетров C.E., Меглинский И.В. // ЖЭТФ 1998. Т. ИЗ. С. 1213.

39. Yodh Th.N., Chance В. // Phys. Today 1995. V. 18. P. 34.

40. Dullens R.P.A., Kegel W.K.// Phys. Rev. Lett. 2004. V. 92. P. 195702. Phys. •Rev. E. 2005. V. 71. P. 011405.

41. Abou В., Bonn D., Meunier J.// Phys. Rev. E. 2001. V. 64. P. 021510.

42. Harnau L., Dietrich S.// Phys. Rev. E. 2005. V. 71. P. 011504.

43. Pham K.N., Egelhaaf S.U., Pusey P.N., Poon W.C.K.// Phys. Rev. E. 2004. V. 69. P. 011503.

44. Donev A., Torquato S., Stillinger F.H.// Phys. Rev. E. 2005. V. 71. P. 011105.

45. Akkermans E., Wolf P.E., Maynard R. // Phys. Rev. Lett. 1986. V. 56. P. 1471.

46. Ladd A.J.C., Gang Hu, Zhu J.X., Weitz D.A. // Phys. Rev. E. 1995. V. 52. P. 6550.

47. Busch К., Soukoulis C.M., Economou E.N. // Phys. Rev. B. 1994. V. 50. P. 93.

48. Watson G.H., McCall S.L., Fleury P.A., Lyons K.B. // Phys. Rev. B. 1990. V. 41. P. 10947.

49. Kaplan P.D., Dinsmore A.D., Yodh A.G., Pine D.J. // Phys. Rev. E. 1994. V. 50. P. 4827.50. van der Mark M.B., van Albada M.P., Lagendijk A. // Phys. Rev. В 1988. V. 37. P. 3575.

50. Qiu X., Wu X.L., Xue J.Z., Pine D.J., Weitz D.A., Chaikin P.M. // Phys. Rev. Lett. 1990. V. 65. P. 516.

51. Gand Hu, Krall A.H., Weitz D.A. // Phys. Rev. Lett. 1994. V. 73. P. 3435.

52. Ландау Л.Д., Лифшиц E.M. Электродинамика сплошных сред. М. 1992.

53. Лифшиц Е.М., Питаевский Л.П. Физическая кинетика. М. 1979.

54. Агранович В.М., Гинзбург В.Л. Кристаллооптика с учетом пространственной дисперсии и теория экситонов. М. 1979.

55. Dernikhov Е., Niggemann Е., Stegemeyer Н. // Phys. Rev. А. 1992. V. 45. Р. 2380.

56. Крокстон К. Физика жидкого состояния. М. 1978.

57. Wertheim M.S. // Phys. Rev. Lett. 1963. V. 10. P. 321.

58. Кузьмин В.JI., Романов В.П. // УФЫ 1996. Т. 166. С. 247.

59. Кузьмин В.Л., Романов В.П., Меглинский И.В.// Опт. Спектр. 2004. Т. 96. С. 139.

60. Kuz'min V.L., Romanov V.P., Zubkov L.A. // Phys. Reports 1994. V. 248. P. 71.

61. Исимару А. Распространение и рассеяние волн в случайно-неоднородных средах. М. 1981.

62. Boas D.A.,Liu Н., O'Leary М.А., Chance В., Yodh A.G. // Proc. Soc. Photo-Opt. Instrum. Eng. 1995. V. 2389. P. 240.

63. Кузьмин В.Л., Романов В.П. // ЖЭТФ 1998. Т. ИЗ. С. 2022.

64. Хилл Т. Статистическая механика. М. 1960.

65. Rowlinson J.S. and Widom В. Molecular Theory of Capillarity. 1982.

66. Ornstein L.S., Zernike F. // Proc. Acad. Sci. Amsterdam. 1914. V. 17. P. 793.

67. Rushbrooke G.S. Statistical Mechanics of Equilbrium and Non-Equilibrium. Amsterdam. 1965.

68. Rowlinson J.S. // Rep. Prog. Phys. 1965. V. 28. P. 169.

69. Percus J.K., Yevick G.J. // Phys. Rev. 1958. V. 110. P. 1.

70. Percus J.K. // Phys. Rev. Lett. 1962. V. 8. P. 462.

71. Nijboer В., van Hove L. // Phys. Rev. 1952. V. 85. P. 777.

72. Aschroft N.W., March N.H. // Proc. Roy. Soc. 1967. V. A297. P. 336.

73. Thiele E. // J. Chem. Phys. 1963. V. 39. P. 474.

74. Baxter R.J. // Phys. Rev. 1967. V. 154. P. 170.

75. Рытов C.M., Кравцов Ю.М., Татарский В.И. Введение в статистическую радиофизику. Ч. II. М., 1978.

76. Ping Sheng. Introduction to Wave Scattering, Localization, and Mesoscopic Phenomena. Academic. San Diego. 1995.82. van Rossurn M.C.W., Nieuwenhuizen Th.N.// Rev. Mod. Phys. 1999. V. 71. P. 313.

77. Waiden C.J.// Phys. Rev. E. 1998. V. 57. P. 2377.

78. Szivessy S. // Kristallooptik.- Handbuch d. Physik. 1928. Bd. 20. S. 635

79. Ramachandran G.N., Ramaseshan S. // Crystal Optics.— Handbuch d. Physik. 1961. Bd. 25/1. S. 1

80. Loreritz H.A. // Collected Papers. 1936. V. 2. P. 79., V. 3. P. 314.

81. Hellwege K.H. // Zs. Physik. 1951. Bd. 129. S. 626.

82. Гинзбург В.Л. // ЖЭТФ. 1958. Т. 34. С. 1593

83. Гросс Е.Ф., Каплянский A.A. // ДАН СССР. 1960. Т. 132. С. 93., 1961. Т. 139. С. 75.

84. Гинзбург В.Л. Распространение электромагнитных волн в плазме. М. 1967.

85. Гинзбург В.Л., Рухадзе A.A. Волны в магнитоактивной плазме. М. 1975.

86. Гинзбург В.Л. Теоретическая физика и астрофизика. М. 1976.

87. Силин В.П., Рухадзе A.A. Электромагнитные свойства плазмы и плазмо-подобных сред. М. 1961.

88. Список основных обозначений

89. С объемная концентрация суспензиис скорость света в вакуумес(.) прямая корреляционная функциясо бО средний косинус угла однократного рассеяния

90. В вектор электрической индукции1. В диаметр частиц

91. Е напряженность (среднего) электрического поля (Ех, Еу, Е

92. Ео, Е0 вектор и амплитуда напряженности «падающего поля»

93. Е(5) вектор напряженности рассеянного поля

94. Т форм-фактор частиц суспензии

95. В4) связные, или кумулятивные, части п—частичных функций распределения в системе твердых сфер1.I двухчастичная функцияс(п) функции бинарных, тройных и п-частичных корреляцийфлуктуаций диэлектрической проницаемости

96. Онв индикатриса Хенье-Гринстейна

97. Уз я-частичная функция распределения9^ б-частичная урселовская корреляционная функция

98. Н вектор напряженности магнитного поляединичная матрицао интенсивность падающего света

99. Ь интенсивность рассеянного света•е1 J м микроскопическая плотность токако = и с волновое число однородной изотропной среды1.длина экстинкции или длина свободного пробега фотонов1. Г транспортная длина• • -м индекс обозначает микроскопическую величину

100. N число частиц в суспензии или кратность рассеяния1. Р вектор поляризации

101. Рп среднее от полинома Лежандра п го порядкаq волновой вектор (д^, ¿ь)величины в ^-представленииг радиус вектор (х, у, г)(г) величины в координатном представленииструктурный фактор суспензии1, 62 Коэффициенты рассеивающей матрицы в теории Ми

102. Го тензорная функция Грина однородной изотропной среды

103. Т (усредненная) тензорная функция Грина неоднородной среды

104. V рассеивающий объем, объем суспензии

105. Ае(.) отклонение диэлектрической проницаемости в суспензии Де0 = е3 — £о разница диэлектрических проницаемостей частиц и среды0(.) тета-функция Хевиеаидав угол рассеяния

106. Л длина волны света в вакууме

107. П поляризационный оператор-ч

108. Щ, П2, П3 члены тензорного ряда поляризационного оператора

109. По(д), Пх(<7) параметрические функции для поляризационного оператора Nр = — плотность числа частиц в суспензии

110. Рм микроскопическая плотность заряда9^(33-1 • • • К/у) функция распределенияо;о круговая частота волны