Оптимальное восстановление некоторых линейных операторов на классах функций по неточной информации тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

00460 сьо^

-у—

Чудова Софья Сергеевна

Оптимальное восстановление некоторых линейных операторов на классах функций по неточной информации.

01.01.01 - Вещественный, комплексный и функциональный анализ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

- 2 СЕН 2010

Москва - 2010

004607662

Работа выполнена в ГОУ ВПО Московский государственный институт радиотехники, электроники и автоматики (технический университет).

Защита состоится 5 октября 2010 года в 17 часов на заседании диссертационного совета Д.212.203.27 в Российском университете дружбы народов, расположенном по адресу: 115419, г. Москва, ул. Орджоникидзе, д. 3.

С диссертацией можно ознакомиться в Учебно-научном информационном библиотечном центре (Научной библиотеке Российского университета дружбы народов) по адресу: 117198, г.Москва, ул. Миклухо-Маклая, д.6.

Автореферат разослан « 10» ЦуолД 2010 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат физико-математических наук,

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

доктор физико-математических наук, профессор

Магарил-Ильяев Георгий Георгиевич доктор физико-математических наук, профессор

Гольдман Михаил Львович

доктор физико-математических наук,

профессор

Осипенко Константин Юрьевич Механико-математический факультет МГУ им. М. В. Ломоносова

доцент

Л.Е. Ростовский

Общая характеристика работы

Актуальность работы

Во многих практических задачах возникает ситуация, когда необходимо знать (по возможности, точно) какую-либо характеристику сигнала (скажем, его значение в данной точке, или интеграл от него, или вообще целиком весь сигнал в той или иной метрике) по некоторой информации о самом сигнале (например, известны значения этого сигнала в данном наборе точек или известны его коэффициенты Фурье, Тейлора и т.п.), которая может быть задана неполно и/или неточно. Математическая теория, где ставятся и изучаются подобного рода задачи называется теорией оптимального восстановления. Она активно развивается последние несколько десятилетий. Теория оптимального восстановления предлагает новый подход к решению достаточно широкого класса задач, связанных с восстановлением тех или иных характеристик объектов по неполной и/или неточной информации о самих объектах. Важная особенность данного подхода заключается в том, что ставится задача о нахождении на данном классе элементов метода восстановления, являющегося наилучшим среди всех возможных.

Цели диссертационной работы:

Диссертация посвящена решению различных задач теории оптимального восстановления линейных операторов по неточной информации. Рассматриваются следующие задачи:

1. Восстановление разностей последовательностей по неточной информации о самой последовательности.

2. Восстановление функций и их дробных производных по неточно заданному спектру;

3. Восстановление интегралов по многомерным шарам на различных клас-

сах гладких функций по информации о граничных значениях функций и их нормальных производных.

На защиту выносятся следующие основные результаты:

1. Решена задача об оптимальном восстановлении к—й разности числовой последовательности по неточной информации о самой последовательности;

2. Исследована проблема восстановления функций и их производных на прямой по приближенно известному на конечном отрезке преобразованию Фурье этих функций. Найдено семейство оптимальных методов.

3. Получено явное выражение оптимального метода восстановления функций и их дробных производных по конечному набору коэффициентов Фурье, заданных с погрешностью, и найдена оценка погрешности оптимального восстановления;

4. Решена задача об оптимальном восстановлении интегралов по многомерным шарам на соболевских классах функций по информации о граничных значениях функций и их нормальных производных.

Научная новизна

При решении поставленных задач использовался современный подход, основанный на применении общих методов теории экстремума и принципов выпуклой двойственности. Были построены и проанализированы цовые методы оптимального восстановления. Практическая значимость

В различных областях науки при исследовании тех или иных сигналов (звуковых, оптических и т.д.) возникает необходимость восстановления их по коэффициентам Фурье. Это типичная обратная задача, примеры которой

можно найти, например, в геофизике, астрономии, дистанционном зондирование Земли, спектральном анализе. Задача восстановления разностей последовательностей по неточным данным возникает всякий раз, когда необходимо численно продифференцировать некоторую экспериментальную кривую. Используемые для численного дифференцирования формулы, как правило, содержат в себе конечные разности. Апробация работы

Основные теоретические положения и результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях и семинарах:

• научном семинаре кафедры «Общих проблем управления» механико-математического факультета МГУ под руководством проф. В. М. Тихомирова;

• Международной конференции «Колмогоровские чтения. Общие проблемы управления и их приложения. Проблемы преподавания математики.» («ОПУ-2007») 8-12 октября 2007 г., Тамбов;

• XXVI Конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова, Москва, 2004 г.

• 52-й научно-технической конференции МИРЭА, Москва, 2003 г. Публикации

Материалы диссертации опубликованы в 5 печатных работах, из них 1 статья в рецензируемом журнале, рекомендованном ВАК [1'] . Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения, списка литературы и приложения. Общий объём диссертации составляет 90 страниц. Диссертация содержит 8 рисунков, 3 таблицы, список литературы из 14 наименований и приложение.

Содержание работы

Во Введении обоснована актуальность диссертационной работы, сформулирована цель и аргументирована научная новизна исследований, показана практическая значимость полученных результатов, представлены выносимые на защиту научные положения.

В первой главе приводится общая постановка задачи оптимального восстановления линейных операторов по неточной информации. Описываются основные подходы к решению таких задач с позиций теории экстремума и принципов выпуклой двойственности.

В §1.1 содержится небольшой исторический эксурс, посвященный развитию теории оптимального восстановления, изучаемым задачам и подходам к их решению.

В §1.2 рассматривается общая постановка задачи восстановления линейного оператора. Пусть задано множество (класс) С в векторном пространстве X и линейный оператор Л: X —> Z, отображающий X в некоторое нормированное пространство 2. Про каждый элемент х € С мы располагаем информацией 1(х), где /: С —* У отображение (называемое информационным оператором) из нашего класса в другое векторное пространство У. Информация об элементах из С может быть задана неточно, и поэтому I, вообще говоря, - многозначное отображение. Задача заключается в том, чтобы восстановить (по возможности наилучшим образом) оператор Л на классе С по имеющейся информации 1. Любое отображение т: У —* Z будем называть методом восстановления. Схематично эту задачу можно изобразить так:

СсХ

А

г

Погрешностью метода т называется величина

е(Л,С,/,ш) •-= sup ||Л(а;) - т(у)\\Z-

zeC y£l(x)

Погрешностью оптимального восстановления называется величина

£(Л,С,/) = inf е(Л,С,7,т), (1)

т: Y—*Z

где нижняя грань берется по всем методам восстановления, а метод, на котором она достигается, называется оптимальным методом восстановления Таким образом критерием оптимальности считаем минимум так определенной погрешности. Заметим, что эта величина гарантирует нам восстановление любой функции из класса с погрешностью не большей дапиой.

Задача о нахождении величины (1) и оптимального метода мы называем задачей оптимального восстановления оператора Л на классе С по информации I.

В §1.3 и §1.4 доказываются лемма об оценке снизу для погрешности оптимального восстановления и теорема об оценке сверху.

В §1.5 приводится определение задачи выпуклого программирования и формулировка теоремы Каруша-Куна-Таккера.

Во второй главе рассматривается задача оптимального восстановления к-ой разности числовой последовательности при условии, что сама последовательность известна приближенно и принадлежит классу последовательностей, у которых n-ая разность (п > к) ограничена некоторой константой. Данная задача рассмотрена в статьях ([1"], [1']). Это дискретный аналог задачи об оптимальном восстановлении к-ой производной на соболевском классе функций, рассмотренной в работах ([1], [2]).

Интерес к такой постановке вызван тем, что в практических задачах часто имеют дело с функциями, значения которых известны лишь в некотором наборе точек и при этом приближенно.

Точная постановка задачи приведена в §2.1. Обозначим через ¿2 = множество всех последовательностей х — {xj}j£z, для которых

£ № < 00. зег

Это нормированное пространство с нормой

\\*ь=СЕ>/)1/2-

зеъ

Пусть п € N и Щ{Ж) = {х £ 1г | Апх е 12}, где

^-{¿иг-фЦ^

— п-ая разность последовательности х = {х^ея. Положим

ИТ(2,7) = {хе УВД I ||Д"х||2 < 7}.

Ставится задача о восстановлении к-ой разности (1 < к < п — 1) последовательности х € И^Х, 7) при условии, что эта последовательность известна приближенно, а именно, известна последовательность у 6 Ь такая, что Цж — у\\2 < 6, где 6 > 0. Под этим мы понимаем следующее. Любое отображение т: ¿2 —^ ¡2 объявляем методом восстановления и погрешностью этого метода называем величину

ит)= вир ||Д^-т(у)||2.

Нас интересует величина

Е{ Ак, = М е(Д*, 7), т),

т:

которая называется погрешностью оптимального восстановления и метод т, на котором достигается нижняя грань, называемый оптимальным методом восстановления

В §2.2 и §2.3 сформулированы и доказаны полученные результаты. Напомним, что преобразование Фурье Р на ^ ставит каждой последовательности х = € ¿2 в соответствие 27г-периодическую функцию по формуле:

РФ) =

Теорема 1. Пусть к, п € N5 71 ^ 2, к < п — 1 и 5 > 0. Тогда

2к6, если 6< 72"п,

ук/п^Х-к/п^ если ¿>72-".

При 6 > у2 " для всех последовательностей 2, таких что выполняется неравенство

" г - 112к +\1-рФ)\2\^-1\~2Пп р)') < 1,

метод т(у) = Ак(г * у) является оптимальным.

При 6 < -у2~п оптимальный метод имеет вид т{у) = Дку. В частности, метод

Чу)

Аку, если 6 < 7 2~",

Ак(г*у), если ¿>7 2"".

где г - последовательность, преобразование Фурье которой вычисляяется по формуле

Щы) =

1-*

1 — ^ (1 — — ' является оптимальным.

Напомним, что свертка последовательностей г и у определяется следующим образом:

{**У)з =

кег

Из теоремы видно, что при 5 < 72"", оптимальный способ восстановления к-ой разности последовательности х по наблюдению у заключается в том,

чтобы использовать само наблюдение. Если же это условие не выполняется, то наблюдаемую последовательность нужно предварительно „сгладить".

В §2.4 приводятся результаты численного эксперимента. Восстанавливается первая разность последовательности, полученной дискретизацией функции /(ж) = ЗБт(:г) с шагом 27г/100 на интервале [—тг,тт] с дальнейшим случайным зашумлением полученных значений. Строится оптимальный метод, проводится анализ полученных результатов. Представим результаты расчетов в виде графиков:

03

0.2

ОрШвд^ 0.1

«41

Мша], шшя Оафи^ ... 0

-0.1

-02

На рисунке круглыми маркерами обозначены значения искомой первой разности последовательности, квадратными - значения первой разности последовательности у, элементы последовательности, полученной применением оптимального метода обозначены треугольными маркерами. Как видно из рисунка, оптимальный метод оказался намного ближе к искомой первой разности, чем тривиальный метод, не использующий сглаживание.

В третьей главе рассматривается оптимальное восстановление функций из соболевских классов и их производных дробных порядков по неточной

г ■■

■ V ■

Г-

г* ■

\ • 4

95

информации о спектре. Данная задача является обобщением проблемы, рассмотренной в работе [1].

Раздел 3.1 посвящен вопросам восстановления функций и их производных на прямой по приближенно известному на конечном отрезке преобразованию Фурье этих функций. Доказывается, что существуют целые серии оптимальных методов восстановления функций и их производных, отличающиеся различными способами фильтрации исходной информации.

В §3.1.1 приведена постановка задачи. Пусть 0 > 0. Обозначим через пространство функций х(-) g l2(r), для которых х^(-) £ l2(М) (х^(-) обозначает производную порядка/? в смысле Вейля1).

Пусть а>0,Аа = [-¿г, <T],O<a<0,6>OnWc — некоторый

класс функций. Поставим следующую задачу. Допустим, что про функцию х(-) 6 W известно ее преобразование Фурье Fx(-) на А„ с точностью до 6 в метрике 1/2(Ля-), т. е. известна функция у(-) 6 L2(A„) такая, что ||Fx(-) —

Пусть Ia: W^(R) —» L2(Aa) — отображение, сопоставляющее х(-) сужение Fx(-) на Аа, а W2{Щ —► Ь2{~ многозначное отображение, определенное по формуле: х(-) = {у(-) 6 Ь2(Аа) | \\1ах{-) - 2/(-)||£2(д„) < Тогда информация об х(-) g W заключается в том, что известна функция 2/(0 6 &{■)•

Как и раньше, любое отображение m: L2(Аа) —► Ь2(Щ объявляется методом восстановления. Погрешностью этого метода называем величину

e(Da,WJi,m)= sup ||®(о)0) - т(у(-))(-)км-

x(-)ew, у(-)еПх{-)

Нас интересует величина

E(D°, W, It) = Ы e(D", W, l',m),

m: £з(Д»)-»£г(К)

1 Оператор дифференцирования порядка 0 по Вейлю определяется следующим образом: £>":е(-) =

(Р"1 о (¡О^МО, где F и прямое и обратное преобразования Фурье в ЫЩ, (¿£)а =

которую назовем погрешностью оптимального восстановления и метод т = т(а,а, 5), на котором нижняя грань достигается, т. е. для которого

называемый оптимальным методом восстановления

Задачу нахождения величины Е(Ба, IV. и соответствующего оптимального метода назовем (Па, V/, /^-задачей.

§3.1.2 и §3.1.3 формулируются и доказываются полученные результаты.

Рассмотрим задачу оптимального восстановления а-ой производной (0 < а < 0) на соболевском классе

Теорема 2. Пусть 0 < а < /3, ¿т > О, ¿>0и<то = тт(сг, ?1). Тогда

= {*(■) е | ||*(/?)(-)к(К) < 1}.

Положим

Е(Оа,\¥2р(Ш),1*) = <

¿у-*//з

а >

у/ъИ)

и для каждого о7 такого, что

О < а' < -¿<та

(2)

метод

(г£)°у(Ое*Ч

о'<1е1<»о 4 7

является оптимальным в (Da, И/2''(Ж),/^)-задаче.

Раздел 3.2 посвящен оптимальному восстановлению функций и их дробных производных по конечному набору коэффициентов Фурье, заданных с погрешностью.

В §3.2.1 содержатся необходимые предварительные сведения. Пусть Т - единичная окружность, реализованная как отрезок [—тг, тг] с идентифицированными концами. Обозначим через Lг(Т) нормированное пространство вещественных функций х(-) на Т с нормой

/ * \1/2 1Ю11мт)= (iJ^W^J •

Если а;(-) € L2OГ), то, как хорошо известно, х(-) разлагаеся в ряд Фурье (в смысле сходимости в 1/г(Т)):

00

x(t) — — + У2(ак cos kt + bk sin kt),

где

7Г 7Г 1Г

ao = — f(x)dxj a>k — — f(x) cos kx dx, bk — — f{x) sin kx dx> к e N.

7Г J 7Г J 7Г J

—jt —it — it

Пусть a > 0. Выражение 00

называется а—ой (дробной) производной по Вейлю (подробнее см.[3]).

В §3.2.2 приведена постановка задачи. Пусть /в > 0. Соболевским пространством И^3 (Т) называется совокупность 2п— периодических функций х(-), у которых

11*№(-)кт < 1-

Мы хотим восстановить дробную производную порядка а, (0 < а < 0) функции из И^(Т) по следующей информации: для каждой функции х(-) £ И^Т) известны такие числа > что

}а]-уЛ<ё, 2 = 0,1,..., п — 1,

<6, з = 1,2,...,п-1, (3)

где 6 > 0, а {Ь^}^ - коэффициенты Фурье функции х{-). Другими

словами, здесь информационным оператором является многозначное отображение 1]п~1, ставящее в соответствие каждой функции х(-) 6 И^ (Т) множество

\а1 ~ у]\ ^ = 0,1,...,71- 1, \ь] -2,1 < 8,] = 1, ..., 71 — 1}.

В качестве метода восстановления будем рассматривать любое отображение тп : Е2п_1 /^(Т). Погрешностью этого метода называется величина

и£ (Т), ш) = вир \\хЫ{.) - т(г/)(-)|и2(т). *(-)еИ?(т)

Погрешность оптимального восстановления будет значением экстремальной задачи

Е(Оа, < (Т), I?-1) = Ы е{В\ (Т), 12Г\тп), (4)

а метод, на котором достигается нижняя грань - оптимальный метод восстановления.

В §3.2.3 формулируется и доказывается следующая теорема:

Теорема 3. Пусть пеМ,/3>0,0<а</3,5>0и р

ро = тах{р е : < 1, 0 < р < п - 1}, 1+ = {к е Ж : к > 0}.

Тогда погрешность оптимального восстановления определяется формулой

(Т),/,2"-1) = При этом метод

(ро + 1)-2("-а> + 2<Я ¿(¿а» - Р'Цра +

(5)

Ро

Му, 2)(0 = (у, созО" • +—) + ^ 5\п{з ■ , (6)

где к] — 1 — °'(ро + 1) являлется оптимальным.

Для восстановления самих функций (а = 0) имеют место формулы:

вдида,/^1) =

\

(ро + + 2Р (р0 + 1/4 - + •

(?)

где Ы - тождественный оператор, и

Ро

Ну, *)(•) = !+ £(1-+1)""2;0 (а «^'0 + */ ™(Л) (8) £ ¿-1

- оптимальный метод.

Из теоремы вытекает, что каждому значению погрешности & соответствует такое число ро> что использование большего, чем это число количества коэффициентов Фурье не приводит к уменьшению погрешности (т. к. остальные коэффициенты в восстановлении не участвуют и являются избыточной

информацией). Те коэффициенты Фурье, которые используются в оптимальном методе „сглаживаются".

В §3.2.4 приведена схема решения и основные этапы рассуждений. Первым этапом является нахождение оценки снизу для погрешности оптимального восстановления. В соответствии с леммой об оценке снизу, погрешность оптимального восстановления в задаче (4) должна быть не меньше, чем значение следущей задачи:

Ik^Olker)max> lk(/i)(-)IU2m < 1. о< j<п — 1,

I bj\<S, l<j<n-l.

Переходя к квадрату нормы и образам Фурье с помощью равенства Парсева-ля, получим эквивалентную запись этой задачи:

ОС 00

Х^К' + Ч)) ->max> + Vj) < 1, 0 < Uj < <52,

j=i i=i (9)

Q<Vj<62, 0 < j < n - 1,

где мы обозначили Uj = a2-, Vj — b2 и t'o = 0. Это задача выпуклого программирования, её можно решить, воспользовавшись принципом Лагранжа. Далее в работе доказывается, что к нашей задаче оптимального восстановления применима общая теорема об оценке сверху, и находится оптимальный метод.

Для этой задачи также был проведен ряд численных экспериментов (см. §3.2.5).

В четверой главе рассмотрены две задачи, связанные с оптимальным восстановлением интегралов от функций, определенных на d-мерных шарах по информации о граничных значениях самих функций.

В §4.1 содержатся необходимые сведения о дифференциальных формах, внешнем дифференцировании и интегрировании на многообразиях.

В §4.2 рассмотрена задача о восстановлении интеграла по ¿-мерному шару от функции из И^1 {Ол) по её значению на границе.

Пусть на шаре = {£ = (<-М) : <1} пространства

задана функция х(-), принадлежащая классу [У^(О11), т. е. удовлетворяющая условию

(где ¡в<1 обозначает й—кратный интеграл по шару). Известно её значение на границе шара: = £(•). Требуется восстановить по этой информа-

ции значение интеграла: 1{х(-)) = х(1)&. Таким образом, здесь класс С = \V2iD11), / - линейный функционал I = 1(х(-)) = ^¿х^сй. Информационный оператор Р: И^1 —> К ставит в соответствие каждой функции из класса её значение на границе шара, т.е. = £(•). Методом восстанов-

ления будет всякая функция т: —»й, а погрешность оптимального

восстановления

Решение задачи содержится в теореме. Теорема 4. В задаче (10) погрешность оптимального восстановления вычисляется по формуле:

М вир |/(х(-))-тШ)1- (Ю)

т : К-»Й

где Г(х) = е 4х 1 сЙ— гамма-функция Эйлера. Оптимальный метод имеет вид:

где означает, что множитель с/^ не входит в произведение. В частности, при ¿ = 2 :

21Г

Е[1

_1 /тг

~ 2 V 2'

ма-)) = 2

{(С05(<р),8т(<р))<11р.

Раздел 4.3 посвящен восстановлению интеграла по единичному кругу от функции из И7"(О2) по значению на границе самой функции и ее нормальных производных до (п — 1)-го порядка.

Пусть требуется восстановить значение интеграла 1(х(-)) = х(Ь) (И на классе И^/?2), т. е. на функциях х(-), удовлетворяющих условию:

с2 1

Л < 1.

Информация о функции х(-) из данного класса заключается в том, что нам известны её нормальные производные, т. е. ж(-) сопоставляется вектор = (£о,6,-,6»-1), где & = х(п\-)\д02- к-я производная по нормали. Здесь в качестве методов восстановления рассматриваются всевозможные функции т: Е" —» К. Погрешность оптимального восстановления такова:

т:

вир I (-)еит(о2)

|Дх)-т(£0,...,£п_а)|. (11)

.....п-1

Для данной задачи были получены и доказаны следующие результаты. Теорема 5. В задаче (11) погрешность оптимального восстановления вычисляется по формуле:

Е(1,1У2"(02),Г) = а, где А определяется из условий:

с2 и

йЬ — 1, ¿(¿1, ¿2) =

1

2А(2п)!

Оптимальный метод имеет вид:

71— 1

к-1 дВ2

-А

• дп+кхЦ) дл+кЩдп-к'1х(1)

д1п+к тп-к-1 тп+к оц-к-1

дпх{{) дп~1х(г) дпхЦ) дп~1х _,х

—«--!— (Но---г "И 1

д1\ д1\~х дЩ д^'1

дО2

где частные производные х(-) по 1\ и 12 однозначно выражаются через компоненты •••>

В частности, при п = 1 : т(£о) — а при п — 2: т((,о, 6) = —

В Заключении перечислены основные результаты и выводы, полученные в диссертации. При решении задач оптимального восстановления были использованы принципы выпуклой оптимизации. Полученные оптимальные методы являются лучшими для целого класса функций. Выражения для методов записаны в аналитическом виде, но при желании могут быть адаптированы к численным вычислениям. Произведена оценка погрешностей восстановления.

Список публикаций

Основные результаты диссертации опубликованы в научных изданиях, рекомендованных ВАК:

1'. Чудова С. С. Оптимальное восстановление разностей последовательностей по неточной информации // Вестник Российского университета дружбы народов. Серия: Математика,информатика, физика. 2009. Т. 3. С. 12-15.

В других изданиях:

1". Чудова С. С. Оптимальное восстановление разностей последовательностей // Вестник тамбовского университета. Серия ..Естественные и технические науки". 2007. Т. 12, вып. 4. С. 562-563.

2". Чудова С. С. Восстановление периодических сигналов и их производных по конечному набору коэффициентов Фурье, заданных с погрешностью // 52 научно-техническая конференция МИРЭА. Сборник трудов. 4.2. М.: 2003. С. 14-17.

3". Чудова С. С. Оптимальное восстановление интегралов от функций многих переменных по их граничным значениям // XXVI Конференция молодых ученых механико-математического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова. М.: 2004. С. 139.

4". Чудова С. С. Оптимальное восстановление интеграла по (1-мерному шару // Владикавказский математический журнал. 2004. Т. 6.

Цитированная литература

1. Магарил-Ильяев Г. Г., Осипенко К. Ю. Оптимальное восстановление функций и их производных по коэффициентам Фурье, заданным с погрешностью // Матем. сб. 2002. Т. 193, вып. 3. С. 79-100.

2. Магарил-Ильяев Г. Г., Осипенко К. Ю. Оптимальное восстановление функций и их производных по приближенной информации о спектре и неравенства для производных // Функц. анализ и его прилож. 2003. № 37. С. 51-64.

3. Самко С. Г., Килбас А. А., Маричев О. И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск: Наука и техника, 1987.

Подписано в печать:

09.07.2010

Заказ № 3941 Тираж - 100 экз. Печать трафаретная. Типография «11-й ФОРМАТ» ИНН 7726330900 115230, Москва, Варшавское ш., 36 (499) 788-78-56 www. autoreferat. ru

Введение

Глава 1. Задачи оптимального восстановления.

1.1. Введение.

1.2. Общая постановка задачи оптимального восстановления линейного оператора ."

1.3. Оценка снизу для погрешности оптимального восстановления

1.4. Общая теорема об оценке сверху.

1.5. Задачи выпуклого программирования.

Глава 2. Восстановление разностей последовательностей

2.1. Постановка задачи.

2.2. Формулировка результатов.

2.3. Доказательства

2.4. Численный эксперимент

Глава 3. Восстановление функций и их дробных производных по неточно заданному спектру

3.1. Оптимальное восстановление по преобразованию Фурье

3.2. Оптимальное восстановление по коэффициентам Фурье

Глава 4. Восстановление интегралов по многомерным шарам на различных классах гладких функций по информации о граничных значениях функций и их нормальных производных.

4.1. Предварительные сведения.

4.2. Восстановление интеграла по d-мерному шару от функции из Wl(Dd) по её значению на границе.

4.3. Восстановление интеграла по единичному кругу от функции из W^iD2) по значению на границе самой функции и ее нормальных производных до (тг — 1)-го порядка

Актуальность работы

Во многих практических задачах возникает ситуация, когда необходимо знать (по возможности, точно) какую-либо характеристику сигнала (скажем, его значение в данной точке, или интеграл от него, или вообще целиком весь сигнал в той или иной метрике) по некоторой информации о самом сигнале (например, известны значения этого сигнала в данном наборе точек или известны его коэффициенты Фурье, Тейлора и т.п.), которая может быть задана неполно и/или неточно. Математическая теория, где ставятся и изучаются подобного рода задачи называется теорией оптимального восстановления. Она активно развивается последние несколько десятилетий. Теория оптимального восстановления предлагает новый подход к решению достаточно широкого класса задач, связанных с восстановлением тех или иных характеристик объектов по неполной и/или неточной информации о самих объектах. Важная особенность данного подхода заключается в том, что ставится задача о нахождении на данном классе элементов метода восстановления, являющегося наилучшим среди всех возможных.

Цели диссертационной работы:

Диссертация посвящена решению различных задач теории оптимального восстановления линейных операторов по неточной информации. Рассматриваются следующие задачи:

1. Восстановление разностей последовательностей по неточной информации о самой последовательности.

2. Восстановление функций и их дробных производных по неточно заданному спектру;

3. Восстановление интегралов по многомерным шарам на различных классах гладких функций по информации о граничных значениях функций и их нормальных производных.

На защиту выносятся следующие основные результаты:

1. Решена задача об оптимальном восстановлении к—й разности числовой последовательности по неточной информации о самой последовательности;

2. Исследована проблема восстановления функций и их производных на прямой по приближенно известному на конечном отрезке преобразованию Фурье этих функций. Найдено семейство оптимальных методов.

3. Получено явное выражение оптимального метода восстановления функций и их дробных производных по конечному набору коэффициентов Фурье, заданных с погрешностью, и найдена оценка погрешности оптимального восстановления;

4. Решена задача об оптимальном восстановлении интегралов по многомерным шарам на соболевских классах функций по информации о граничных значениях функций и их нормальных производных.

Научная новизна

При решении поставленных задач использовался современный подход, основанный на применении общих методов теории экстремума и принципов выпуклой двойственности. Были построены и проанализированы новые методы оптимального восстановления.

Практическая значимость

В различных областях науки при исследовании тех или иных сигналов (звуковых, оптических и т.д.) возникает необходимость восстановления их по коэффициентам Фурье. Это типичная обратная задача, примеры которой можно найти, например, в геофизике, астрономии, дистанционном зондирование Земли, спектральном анализе. Задача восстановления разностей последовательностей по неточным данным возникает всякий раз, когда необходимо численно продифференцировать некоторую экспериментальную кривую. Используемые для численного дифференцирования формулы, как правило, содержат в себе конечные разности. Апробация работы

Основные теоретические положения и результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях и семинарах:

• научном семинаре кафедры «Общих проблем управления» механико-математического факультета МГУ под руководством проф. В. М. Тихомирова;

• Международной конференции «Колмогоровские чтения. Общие проблемы управления и их приложения. Проблемы преподавания математики.» («01ТУ-2007») 8-12 октября 2007 г., Тамбов;

• XXVI Конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова, Москва, 2004 г.

• 52-й научно-технической конференции МИРЭА, Москва, 2003 г. Публикации

Материалы диссертации опубликованы в 5 печатных работах, из них 1 статья в рецензируемом журнале, рекомендованном ВАК [12] . 6

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения, списка литературы и приложения. Общий объём диссертации составляет 90 страниц. Диссертация содержит 8 рисунков, 3 таблицы, список литературы из 14 наименований и приложение.

Заключение

В диссертации был решен ряд задач оптимального восстановления:

1. Восстановление разностей последовательностей по неточной информации о самой последовательности

2. Восстановление функций и их дробных производных по неточно заданному спектру

3. Восстановление интегралов по многомерным шарам на различных классах гладких функций по информации о граничных значениях функций и их нормальных производных

Рассмотренные задачи объединяет общий подход к их решению, основанный на теории экстремума и принципах выпуклой двойственности.

В каждой из задач был построен оптимальный метод, получено выражение для погрешности оптимального восстановления. Там, где это было возможно, были проведены численные эксперименты, подтверждающие эффективность предложенных методов восстановления.

1. Магарил-Ильяев Г. Г., Осипенко К. Ю. Оптимальное восстановление функций и их производных по коэффициентам Фурье, заданным с погрешностью // Матем. сб. 2002. Т. 193, вып. 3. С. 79-100.

2. Магарил-Ильяев Г. Г., Осипенко К. Ю. Оптимальное восстановление функций и их производных по приближенной информации о спектре и неравенства для производных // Функц. анализ и его прилож. 2003. № 37. С. 51-64.

3. Смоляк С. А. Об оптимальном восстановлении функций и фунцио-налов от них: Дисс. . канд. физ.-мат. наук. М., 1965.

4. Sard A. Best approximate integration formulae; best approximation formulae // Amer. J. Math. 1941. Vol. 71. Pp. 81-90.

5. Никольский С. M. Квадратурные формулы. 2-е изд. М.: Наука, 1974.

6. Micchelli С. A., Rivlin Т. J. Lectures on optimal recovery // Numerical analysis, Proc. SERC Summer Sch., Lancaster/Engl // Lecture Notes in Math., V. 1129. Berlin: Springer-Verlag, 1984. Pp. 21-93.

7. Micchelli C. A. Optimal estimation of linear operators in Hilbert spaces from inaccurate data: a second look // Numer. Algorithms. 1993. Vol. 5. Pp. 375-390.

8. Магарил-Ильяев Г. Г., Осипенко К. Ю. Об оптимальном восстановлении функционалов по неточным данным // Матем.заметки. 1991. Т. 50, вып. 1. С. 85-93.

9. Магарил-Ильяев Г. Г., Тихомиров В. М. Выпуклый анализ и его приложения. Изд. 2-е, испр. М.: Эдиториал УРСС, 2003. 176 с.

10. Самко С. Г., Килбас А. А., Маричев О. И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск: Наука и техника, 1987.

11. Зорин В. А. Математический анализ. Часть 2. М.: МЦНМО, 2002. 787 с.

12. Чудова С. С. Оптимальное восстановление разностей последовательностей по неточной информации // Вестник Российского университета дружбы народов. Серия: Математика,информатика, физика. 2009. Т. 3. С. 12-15.

13. Чудова С. С. Оптимальное восстановление разностей последовательностей // Вестник тамбовского университета. Серия „Естественные и технические науки". 2007. Т. 12, вып. 4. С. 562-563.

14. Чудова С. С. Восстановление периодических сигналов и их производных по конечному набору коэффициентов Фурье, заданных с погрешностью //52 научно-техническая конференция МИРЭА. Сборник трудов. 4.2. М.: 2003. С. 14-17.