Оптимальность и устойчивость алгоритмов гарантированного оценивания тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

российская академия наук уральское отде1ение институт математики и механики

К а правах рукописи ГУ СКВ Михаил Иванович

м

у

ОПТИМАЛЬНОСТЬ И УСТОЙЧИВОСТЬ АЛГОРИТМОВ ГАРАНТИРОВАННОГО ОЦЕНИВАНИЯ

Ol Ol и'2 - дифференциальные уравнения 01 01 09 - дискретная мате.\:тп;ка и математическая кибернетика

Abi о р е ф р р а т диссертации на соискание у 16НОЙ степени доктора физико-математических наук

Екатеринбург- 2U03

Работе вы пот нона б отделе от имадьного управления Иисти тута \ш ематики и механики У рать; кого гиде РАН

Научный консультант якйдсмик РАН А Б Куржанский

Официальные оппоненты доктор физико-математических

наук, профессор Э Г Альбрехт

академик РАН И И Еремин

доктор физико-математических наук, профессор А.А Меликян

Ведущая организация - Московский государственный учивер-тге! им М.В Лсшопосова

Зашита состоится 12 \'.щ>тл 200-3 года в II часов на -м< едании диссертационного совета Д 004 006 01 по защите диссертаций ил анке ученой степени полтора физижклатг магических па^к "ри Ипстщ;, ] е ултематики к механики Уральского от-дстекия РАН пс адрес\ 620219 г Егаюрвибург Г СП-381 ул С.Ковалевской, 16

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института ма1ематики и механики Уральского о 1 деления РАН

Аьтореферш рликлап 'Ч'> " февраля 2003 1

Ученый секретарь диссертационного совета доктор физ -мат наук,

! профессор у, ,/ ТФ.Филиппова

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Диссертация посвящена исследованию вопросов устойчивости и оптимальности процедур гарантированного оценивания управляемых систем с неопределенными параметрами (возмущениями). Необходимость оценки состояния динамической системы или ее параметров по результатам доступных измерений возникает как при построении математической модели системы, так и при конструировании позиционных алгоритмов управления Задачи построения оценок состояния (параметров) по результатам неполных измерений составляют предмет теории оценивания. Значительная часть теории оценивания основана на статистических методах, базирующихся на предположениях о вероятностной природе возмущений в системе и ошибок измерения Статистические методы достигли высокой степени завершенности благодаря исследованиям, начатым в работах Н.Винера, А Н Колмогорова, Р Калмана. Результаты Калмана и Бьюси, получивших в задаче оценивания состояния линейной динамической системы оптимальную оценку в виде решения обыкновенного дифференциального уравнения (уравнения фильтра Калмана-Бьюси), вызвали многочисленные публикации и нашли широкор применение б конкретных системах управления

Ограничения на применение кла<сическоЙ теории стохастического оценивания связаны с тем, что процессы рассматриваемые во мнохих прикладных задачах, не являются повторяющимися, имеют только ограниченное число наблюдений. Одной из основных причин, ограничивающих область применения статистических методов является неполнота априорной информации о данных задачи и статистических характеристиках возмущений и ошибок измерений. Часто требуется строить оценки, обеспечивающие некоторый гарантированный результат. Требования такого рода возникают в различных задачах механики, инженерии, биомедицины, проблемах, связанных с изучением окружающей среды. Они типичны для задач навитации и оценивания движения механических систем.

Наряду с вероятностным подходом к задачам оценивания все большее

| РОС

I

РОС. НАЦИОНАЛЬНАЯ

БИБЛИОТЕКА

С Петербург >К

распространение получаст гарантированный подход, основанный на представлении априорной информации о нр;пвгстны:< гарамтрах (возмущени ях) при ппмощет задания множеств, содержащих эти параметры Исследования по теории гарантированного оценивания были инициированы работами Н.Н.Крашвского.-^ггосвящеными чадачам априорного оценивания, в которых операции оценивания призваны были обеспечить гарантированный результат оценивания в расчете на наихудшую для наблюдателя реализацию возмущений и ошибок измерения.

Дальнейшее развитие теория гарантированного оценивания получила в работах А Б.Куржалского,3 D.Bertsekas'a, I.B. Rhodes'a,4 F.C.Schweppe,5 Wit-senhausen'a,6 в которых были заложены основы теории апостериорного гарантированного оценивания В рамках данной теории оценки состояний динамических систем с неопределенными возмущениями по данным наблюдений формируются апостериори по ходу процесса наблюдения в виде функций {вообще говоря, многозначных) от наблюдаемого сигнала. Ключевым здесь является понятие информационного множества, определяемого как множество всех возможных состояний системы, совместимых с результатами измерения и априорными ограничениями на неизвестные возмущения и ошибки измерений. В качеств оценки состояния (параметров системы) принимается либо само множество, либо формируемые на его основе точечные минимаксные оценки Систематическое исследование свойств информационных множеств и минимаксных оценок, описание их динамики, изучение связи с результатами теории статистического оценивания, использование данных конструкций в задачах управления по неполным данным было прове-

'Красовгкий H.H К теоршг управляемости и наблюдаемости лянейвьг* дивами«егких <-яс*еч Прикладная математика в механика, 1964 28, №1, стр 3-14.

2 Красовский Н Н Теория управления движением М Наука, 1968

'Куржапгкпй А Б Дифференциальные игры наблюдения // Док.! АН СССР 1972. Т.207, №3 ОЛ27-530

'Bertsekas D. Rhodes LB. Recursive state estimation for a set-membership description of uncertainty //EEC Irani Automat. Control, 1971, AC-16, №. p 117-126

;Schweppe !■ С Rmirsiie state estimation- Unknown but bounded errors and system inputs //IEEE Trans Automat .Control, 190«, AC-13, »1, 22 28.

sWii№nfcuiiSf'ii H S Seti of pwsible states of linear systems gn'fti perturbed observation / 'IEEE Trans Automat.Control, 1968, AC-3, p 556-55»

дено А.Б.Куржанским 7. Вопросам гарантированного оценивания в условиях пеопределеиногпт (статистический неопределенности) посвящены работы Б И Ананьева, Б.Ц Бахшияна, И А Богуславского, И.Я Каца, В И Карлова, А.И Кибзуна, В Б.Кшмановского, Н.Е.Кирина, Н.Ф.Кириленко, М.Н Кра-сильоткоса, В М.Кунцевича. М.Л Лядова, А И Ма1асовл, В,В.Малышева, А Г Наконечного, В Г.Покотило В Т.Поляка, Б Н Пшеничного, И Ф.Сивер гиной, В.Н.Соловьем, Т Ф.Филипповой, Я.З.Цыпкина, Ф.Л.Черноусько, В.И Ширяева, П.Е.Зльясберга.

Задачи оценивания (идентификации параметров) относятся к классу обратных задач, для которых характерны неединственность решений и неустойчивость решений относительно возмущений исходных данных, задачи подобного типа изучаются в теории некорректных задач8. Разрабатываемые в теории гарантированного оценивания методы, основанные на сложившихся в рамках данной теории подходах и учитывающие специфику задач оценивания динамики систем, в значительной степени использую! результаты теории некорректно поставленных задач. Методы решения, разрабатываемые для формально различных задач, по существу часто дают близкие результаты К настоящему времени вопросы о спязи различных процедур регуляризации, развиваемых в теории некорректно поставленных задач, и алгоритмов гаран; ированного оценивали я исследованы дос га точно полно В работах А.Б.Куржанского и И Ф СивергиноЙ лдя задач оценивания состояния параболических систем по результатам неполных наблюдений было установлено, что при подходяшем задании оператора вход-выход и априорных ограничений минимаксные (гарантированные) опенки совпадают с решениями, получаемыми при помощи меюда регуляризации А Н.Тихонова, метода квазирешений В.К.Иванова, метода невязки, метода квазиобращения Лионса-Латтеса. Алгоритмы решения обратных задач динамики, сочетающие ме-

'курзкавстсий а.б ^ 7. ^ль'ио'.*'"^»- и у:.:'ог.ийу. 'к'о'ф'^-улокчослм наука, 19т7

"Тихонов А.Н , Арсения В Я Методы решения некорректных задач М Наука, 1474 Ипапов В К Васин В Б , ЧЧн.ш,. Г' П Теория да^ейных докорректныд задач и ер приложении М : Н^уки. 1У78, 20Ьс ¡^.'ррн'»-'*" ММ О -(.^К'".71.рьг заделах ааатематпчсской фаодкв Новосибирск . СО ЛИ

СССР, 1962

тоды теории некорректных задач и позиционного управления 9 развиваются в рамках теории динамического модгжирования в работах Ю.С.Осипова, А В.Кряжимского, А И Короткого, В И.Максимова и др..

Значительно менее исследованной представляется проблема устойчивости многозначных оценок (информационных множеств), играющих важную роль в теории гарантированного оценивания и ее приложениях, получения оценок погрешности минимаксных оценок. Данной теме посвящена первая глава диссертации.

Следующий круг вопросов, изучаемых в работе, связан с задачами, которые можно отнести к теории планирования эксперимента в рамках гарантированного подхода Во многих прикладных задачах, связанных с необходимостью восстанавливать неизвестные параметры системы по результатам доступных измерений, имеется возможность управления процессом наблюдения. Таковы, например, задачи выбора оптимального состава наблюдений или моментов наблюдений при оценивании состояния динамических систем с неопределенными возмущениями Применительно к динамическим системам с неопределенными коэффициентами задача выбора наилучшего входа для идентификации параметров системы представляет типичный пример подобной задачи. Проблемы оптимизации измерений при оненивякии систем с распределенными параметрами, возникают в задачах экологического мониторинга 10 Управляя процессом наблюдения, можно уменьшить влияние возмущений в системе и ошибок измерения и повысить точность восстановления искомых неизвестных величин.

Вопросы оптимизации измерений в задачах оценивания состояния и выбора оптимальных входов в задачах идентификации применительно к системам со случайными возмущениями имеют обширную библиографию Различные классы задач управления наблюдениями рассматривались в работах Б.Ц.Бахшияна Ф.Н Григорьева, В.И.Карлова, М.Н.Красилыцикова, В.Б. Кол-мановского, К.А.Кузнецова, Б.М Миллера, Р Г'.Назирова, А. П. С еребровского,

'Красоеский II Н , Суббоянн А 'А. Пшицйаияые днффереиннальные игры, М Наука. 1474

10\1арч}к Г И Математическое мидглировалие в проблеме окружающей среды М ,1981, 320 г

Ф Л Черноусько, П Е Эчьясберга, М Aoki М Athans'a, К Mebra J i Melsa, К D Herrng'a, J Snvaragi, E Rafaibwioz'a D Usmski и др

Задачи управления наблюдениями и выбора оптимальных входов в гарантированной постановке исследовали А.В.Куржапский, А.Г.Мазко, В.А На-вр оде кий, В Г.Покотяло. Б.Н Пшеничный, В Kacewkz, М. Milanese, L.Proii-sato, E Walter. Условия оптимальности в задачах управления наблюдениями применительно к линейны;« уравнениям в банахоном пространстве получены В.Г.Покотило Различным постановкам задач оптимизации наблюдений, задачам о наихудших и наилучших входах, игровым задачам сочетания управлений и наблюдений лосвящепы работы Б И Ананьева, Е К.Кос-тоусовой, А.А Мечикяна, О И Никонова, И.Ф.Сиворгшюй. А Ю Хапаловя, В И.Ширяева, А.Ф.Шорикова

В связи с задачами оптимизации наблюдений особую актуальность приобретает вопрос об оптимальности линейных (аффинных) операций в априорных задачах гарантированного оценивания Использование линейных непрерывных по наблюдаемому сигналу оценок при формализации задачи позволяет в ряде случаев преодолеть существенные методологические и технические трудности при исследовании задачи и довести решение до эффективно реализуемых алгоритмов Вопрос об обоснованности использования данного класса оценок с точки зрения достигаемой в нем точности оценивания по сравнению с нелинейными операциями также является предметом исследования данной работы

Цель работы Целью работы является исследование устойчивости апостериорных процедур гарантированного оценивания управляемых систем с неопределенными возмущениями по результатам измерений; исследование оптимальности линейных алгоритмов априорного оценивания; разработка и обоснование алгоритмов решения задач управления наблюдениями в гарантированной постановке Данные проблемы рассматриваются в диссертации для абстрактной задачи оцсчштшшя, в рамках которой зависимость между наблюдаемыми и ненаблюдаемыми параметрами описывается операторным уравнением в банаховых пространствах, что позволяет с единых почипий

исс/гедовааь достаточно широкий круг задач оценивания

Методы исследования Работа основана на использовании методов теории управпения и наблюдения в условиях неопределеннее!и, нелинейного и выпуклого анализа, теории экстремальных задач, теории некорректных задач.

Научная новизна. Полученные результаты являются новыми. В работе предложен подход к исследованию устойчивости алгоритмов апостериорного гарантированного оценивания, основанный на сравнении многозначных опенок параметров (информационных множеств), отвечающих точным измерениям и измерениям, проводимым с погрешностью Для абстрактных задач гарантированного оценивания в банаховых пространствах с нормально разрешимым линейным оператором наблюдения получены оценки скорости сходимости информационных множеств, имеющие первый порядок малости от величины погрешности измерений. Даны приложения полученных оценок к анализу устойчивости информационных множеств для задач гарантированного оценивания в многошаговых системах, задач оценивания для динамических систем с дискстньши наблюдениями, некоторых классов задач гарантированной идентификации. Для абстрактных задач гарантированного оценивания в гильбертовых пространствах введено понятие регуля-ризованного информационного множества и дано его описание в терминах экстремальных задач связанных с методом регуляризации А H Тихонова. Найден предел регуляризованных информационных множеств при стремлении уровня ошибок к нулю, даны оценки скорости сходимости множеств в хаусдорфовой метрике в зависимости от величипы погрешности измерений.

Для задач гарантированного оценивания величины скалярного функционала по результатам измерений с выпуклыми, но не обязательно центрально-симметричными, априорными ограничениями на неопределенные параметры, указаны условия обеспечивающие совпадение результатов априорного оценивания в классах непрерывных аффинных и произвольных оценок.

Рассмотрены абстрактные постановки задачи оптимизации измерений с пелью получения наилучшего гарантированного результата оценивания Ис-

следовано соотношение между априорными и апостериорными задачами, показано их совпадение в ряде случаев. Для отдельных классов зпдлч установлено совпадение результатов оценивания в классах адаптивных и программных измерителей Исследована задача выбора состава наблюдений для линейных динамических систем при интегральных и геометрических ограничениях на помехи, 0боснова7шг алгоритмы решения задачи, основанные на редукиии рассматриваемых задач к задачам оптимально!1» управления и применении принципа максимума Л С.Понтрягипа и теорем двойственности в выпуклом программирования. В задаче идентификации коэффициентов линейкой управляемой системы при геометрических и интегральных ограничениях на ошибки измерения и на управления исследованы оптимальные входы (управления), обеспечивающие минимальную гарантированную ошибку оценивания.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Полученные в ней общие результаты по устойчивости апостериорных алгоритмов гарантированного оценивания могут служить основой для дальнейших исследований и применяться при анализе конкретных задач гарантированного оценивания. Способы формализации задачи управления наблюдения и методы их решения, предложенные в диссертации, могут эффективно использоваться при изучении различных задач планирования эксперимента применительно к оцениванию состояний и параметров динами чтек их систем с неопределенными возмущениями.

Апробация работы. Результаты диссертации обсуждазись на семинарах в Институте математики и механики Уральского отделения РАН, на семинаре кафедры системною анализа факультета ВМК МГУ, на многих международных, вс есоюзных и всероссийских конференциях по оптимальному управлению, математическом j npoi рам жированию, теории некорректных задач. Они докладывались на международных конференциях: "Стохастическая оптимизация", Киев, 1084' 12-ой конференции IFIP "Моделирование систем и оптимизация", Будапешт, 1985, "Mathematischc Optiinicrnngthcorie und Amvcndurigeii", Эйзеках, 1081, 1389; "Modeling Techniques for Uncertain

Systems", IIJorrpoTi 1992, IFAC confeience "Singular solutions and perturbations in coptrol systems", Переяславль-Залесский, 1997, "Semi-Infinite Programming", А тчканте, 1999, "Control Applications of Optimization: 11th IFAC Internationa! Workshop", Санкт-Петербург, 2000, "Xonlinear Control Systems (NOLCOS* 2001). 5th IFAC Symposium", Санкт-Петербург, 2001, па Всесоюзных конференциях "Управление с механических системах4, Москва, 1982 Казань, 1986, Львов, 1988, Свердловск, 1990; на Вссогогяэюзных съездах по теоретической к прикладной механике, Ташкет, 1986, Москва, 1991, Пермь, 2001 Международном советско-польском семинаре "Мат методы ошималь-ного управления и их приложения", Минск, 1989, 2-м Международном семинаре "Неыадкие и разрыв.задачи управления к оптимизации", Челябинск, 1993, Всероссийских конференциях "Алгоритм анализ неустойчивых задач", Ека1еринбург, 1998, 2001, и др

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-30).

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из вве-деггоя, трех глав, разбитых на 13 разделов, заключения и списка литературы Общий объём диссертации составляет 203 страницы, библиографический список включает 208 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дана общая характеристика работы, приведены обоснование актуальности рассмотренных в диссертации вопросов и обзор результатов, относящихся к теме диссертации.

Первая глава посвящена исследованию устойчивости информационных множеств в задачах гарантированного оценивания Многозначные опенки (информационные множества) широко применяются при оценивании состояния динамических систем с неопределенными возмущениями по результатам измерений. Методы приближенного построения информационных множеств основанные на члтипсоидальных и полиэдральных аппроксимациях

развиваются в работах А В Куржанского и И. В ал ьи,11 Ф.Л.Черноусько,12 А И Овсеев мча. Е К.Кпстоусовой и /тр Различные алгоритмы построения информационных множеств исследовались в работах Э Г.Альбрехта, А.С.Кощеева, Р.И.Каюмова, РГабасова, Ф.М.Кириловой, А Г. Крем лев а, С.И Кум-ковя, В С Пэцко. В.ГПокотило, Б.Н.Пшеничного, A.M.Устюжанина, M.Milanese J Р Norton'a, A Vicino, Е Walter'а В связи с применением многозначных оценок в задачах гарантированного оценивания, вопросами их приближенного построения, особую актуальность приобретает проблема устойчивости информационных множеств относительно погрешшхли в исходных данных. В ряде работ исследовалась зависимость информационных множеств, отвечающих фиксированному уровню ошибок измерения, от измеряемого сигнала. В данной работе принят иной подход к исследованию устойчивости, основанный на сравнении информационных множеств с множествами, отвечающими точным измерениям. Вопросы устойчивости минимаксных оценок тесно связаны с общей проблематикой корректности экстремальных задач, задач оптимальною управления, различные аспекты которой изучаются в работах Н Н.Астафьева, Ф П Васильева. В.В Васина, А.Дончева, И.И.Еремина, А Р Данилина, А.И Субботина, H.H.Субботиной, А Г Ченцова, S.M.Robinson'a, D.Klatte и др.

Первая глава состоит из пяти разделов. В первых двух разделах исследуется вопрос об оценках погрешности областей достижимости управляемых систем, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями при наличии фазовых ограничений, нри дискретизации ограничений С основной тематикой главы эти разделы связывает тот известный факт, что информационное множество для задачи оценивания состояния динамической системы с неопределенными возмущениями и ошибками измерений представляют из себя область достижимости системы с фазовыми ограничениями, задаваемыми уравнениями измерений. Таким образом, на приводимые опенки можно смотреть с точки зрения обоснования применения дискретных аппроксимаций при построении информационных множеств. Схо-

А В 5 Vjlyi HÜ'psoidi! OükuVi« fnr Es'i^»':™ aj?6 Contra1 JKrV^äMpi*, Boston, 199"7

1гСНегпо1)яко F L State Estimation for Dynamic Syst em i CRC Press, Florida, 1494

дчмость дискретных аппроксимаций оценки погрешности аппроксимаций в экстремальных задачах, задачах управления и наблюдения исследуются в работах Ф.Г1 Васильева В В Васина, Ю М Ермольева. Е.К Когтоусовой, Б Ш.Мордуховича, М С.Никольского, В.Н Ушакова, Г П Федоренко, F Lern pió, V. Ve lio v'а и др. Особенностью изучаемых в данной работе задач является то, что рассматриваются фазовые ограничения типа равенства, не имеющие внутренних ^чек Эти предположения, в свою очередь, вызваны тр\<г, что получаемые сценки ориентированы на применения при анализе устойчивости информационных множеств.

В разделе 1 1 рассматривается управляемая система на заданном интервале времени ££[Í0)íi]

dx/dt = f(x} + g{x)u{t)l x(t0)=x°, (1)

¡де x € i?", ií(í) € IT. В качестве управлений рассматриваются измеримые вектор функции u(t). Ограничения на управление и фазовую траекторию системы заданы в следующем виде

tt(í) € Р, te [ío.íi], = 0, t € Т, (2)

где Р С RT -компакт, Т - заданное подмножество отрезка [f(¡. /.], q - заданная непрерывно дифференцируемая функция, такая что градиент У<7(2) отличен от нуля в точках множества X — {х ■. q{x) = 0}. Предполагается, что }.д- непрерывно дифференцируемые функции, удовлетворяющие условиям подтинейного роста обеспечивающие» продолжимость решений системы на весь интервал времени [foi^ij-

Обозначим через Co(íi) область достижимости системы (1) при ограничениях (2), если в качестве Т взят интервал [íq.íí] Рассмотрим конечное множество моментов времени

Та - {п < ъ < ... < тдг} С |fo,(i]s Л = t0,rN = Í1, где er = max (rt+i- г,). Пусть GQ(ti) - область достижимости системы (1).

1<|<А'-1 отвечающая Т = Та.

Основной результат данного раздела составляет доказательство опенки МСоМ.СЛ*!)) < Ко, (3)

в где коггстан 1 а К не зависит от Та. в теореме 1,1.1. Здесь к - хауедорфово расстояние между множествами. Данная оценка получена в предположении выпуклости Р и при условии, что существует е > 0, 1акое чю

[-е,е] С Ъд(х)т(Пх) + д(х)Р) (4)

для любого х € £), где

£ = {х € РР ■ Эи(-), г б [¿о,*,],

а;(т,г01ы(')) = х, д{х(^х°,и(-))) = 0, е Р, < Ь <

решение системы (1), отвечающее управлению «(-) Доказательство теоремы опирается оценку

-¿Мли(.))Н < Кхг, * е \1оМ

равномерную по и({) 6 Р, где Ат.ти{-)) - оператор усреднения управления и(Ь) на промежутках [т,,т,+1!. Показано, что оценка (3) имеет место, если фазовые ограничения заданы в виде д(х{^)) ~ 0, где q(¿) - т-вектор-фу акция Условие (4) в этом случае принимает вид е£ С дд/Эх(/(х) + д(х)Р) 3-единичный шар в Дт

В разделе 1 2 рассмотрена автономная управляемая система со скалярным входом при линейных фазовых ограничениях типа равенства Оценка (3) для хаусдорфова расстояния между множествами достижимости доказана здесь без дополнительных предположений вида (4) Как следствие данного результата и теорем двойственности для линейно- выпуклых задач оптимального управления получена оценка погрешности при аппроксимации решения задачи импульсного упраления для линейной системы конечными суммами дельта-функций Дирака.

В раздряе 1 3 исследуется вопрос об устойчивости информационных множеств для абарактной задачи оценивания в банаховых пространствах. Рас-

сматриваемая задача состоит в определении величины ; = при ограничении

у = + Ь ££ 65. (5)

А-. X У, Г : X —)■ 2 - заданные операторы, IV с А", X, У, 2 - действительные банаховы пространства Здесь А интерпрешруется как известный оператор вход-выход, опредетяемый динамикой системы и уравнениями измерения, и' - вход системы, у - измеряемый выход, £ - ошибки измерения Априорная информация о ги, £ задается включениями и) € Ж £ 6 где IV, Н - известные множества, (0 € Е), 6 > 0 определяет уровень ошибок. Задача оценивания состоит в определении (оценке) значения оператора Р%и А1Я неизвестного априори входа ю £ IV на основании измерения выхода ("сигнала") у Если оператор А необратимым (рассматриваемая система не является наблюдаемой), однозначное восстановление Ри> по резупьтатам наблюдения, как правило, невозможно Множество

г6{у) = {г = Гш : у = Аи>-\ «; € ЦТ, £ £ ¿Н}, (6)

состоящее из всех возможных значений совместимых с реализовавшимся сигналом у и априорной информацией о системе, называемся информационным множеством. Наряду с 7¿{у) рассматривается информационное множество, швечающее точно наблюдаемому сигналу у

%о(у) = = : Аш = у, ш € И-'}.

Далее предполагается, что у = Аи>, для некоторого и; € ИЛ поэтому (у) Ф 0 Если IV, Е слабо компактные подмножества X У. О € Е, операторы А, Р слабо замкнуты, и Р вполне непрерывен, то хаусдорфово расстояние между множествами 0 при 5 ->■ 0, у 6 у + ¿Н. Указаны классы

нелинейных систем с неопределенными возмущениями, в задачах оценивания для которых имеет место непрерывная зависимость информационных множеств от ошибок измерения в смысле приведенного определения.

Дтее рассмотрены задачи гарантированного оценивания для задач с нормально разрешимым оператором А. Линейный непрерывный оператор

Л X —У называется нормально разрешимым, если множество его значений Я = АХ замкнуто в У Для рассматриваемых задач получены оценки для h{Zo{y), ^г(у)) в зависимости от величины 6.

Теорема 3.3.2 Пусть X, У действительные гильбертовы пространства, Л : X —» У нормально разрешимый оператор, IV -= {ц;: {¡г, и'} < р2}, 3 = {£ : (С- О < 1} (£,£) - скалярные произведения в Л', У). Пусть у ~ Аш

для некоторого и-. ]|гЕ'!| < ц Существует константа К > 0 такая, что при II.V ~ У\\ & име.ег мести неравенство

Показано, что аналогичная опенка справедлива и в случае банаховых пространств X, У при условии конечномерности одного из пространств.

Теорема 1.3.3 Пусть X, У- банаховы пространства, и пусть выполнено но крайней мере одно из следующих условий.

1) Х- конечномерно:

2)У- конечномерно, X = 11% А'У с V, Е*2" С ¡У. Пусть у = Аю для некоторого "ш : |», < у. Найдется К > 0, такое что для любого у при Ту — у'\ < выполняется нера.венс!ьо

Применяемый подход к доказательству основан на использовании теорем двойственности в выпуклом программировании для вычисления опорных функций информационных множеств и последующих оценках возмущений решений двойственных задач Приведенные оценки справедливы и в том случае, когда априорные ограничения заданы выпуклыми, замкнутыми ограниченными множествами IV !Е соответствующих пространств

Рассмотрены применения полученных оценок к ряду конкретных задач гарашированною оценивания. Данный класс задач включает, например, системы с конечным чистом наблюдений, и многошаговые системы

Приводимые результаты распространены на случай, когда нормально разрешимый оператор А задан с погрешненпью, то еегь вместо А известен

А, такой ч'ю ||А — ,4< к. В этом случае информационное множество

вообще говоря, невыпукло. В теореме 1.3.4 доказана оценка

= л),

где Ц = тах{5, И,}.

Указанная теорема применяется далее к оценке погрешности многозначных оценок (информационных множеств) в задаче идентификации вектора неизвестных параметров г? 6 Яд для нелинейной системы

¿(() = + и{г), ж(*0) = О,

по результатам измерений траектории

»(*) = ®(*)+ £(*). ¿о < ( <

Здесь функция ф : Д" —» Я" удовлетворяет условию Липшица, матрица линейно зависит от 1?; € Й",и{-) £ Ь^ трактуется как

известный вход системы, априорные ограничения ча # заданы выпуклым компактным множеством в Я". При данных условиях показано, что расстояние между информационными множествами имеет порядок 5, где 5 -ограничение на норму ошибки 4(0 в пространстве

В этом же разделе предложен подход к получению оценок скорости сходимости информационных множеств в системах с непрерывными измерениями. основанный на дискретных аппроксимациях по времени. Для линейных автономных систем с одним входом и одним выходом приведены оценки вида 0((5»+1) для скорости сходимости информационных множеств, где п -размерность вектора фазовых координат системы.

В следующем разделе данной главы для абстрактных задач гарантированного оценивания в гильбертовых пространствах при квадратичных огра ни нениях на неопределенные параметры и ошибки измерения (№ ~ |ц' £

X : {гу, IV) < ¡г}, 5 = {£ е У : (£, £) < 52}) введено понятие регуляризован-ного информационного множества а, е - параметры регуляризации,

которое определяется следующим образом

Яа,М = {¿ = Рт : Аи> + £ = у, («;, ад) + !/<£, С) < м2 + <*}.

При - ¡?(| < 5 имеет место включение 2§{у) с ¿'((у) С (у), если ¡Р/е < а. Если операторы А, Р слабо замкнуты и Р вполне непрерывен, то Ао{2(у), -4 0 при е 0, а О,^ <*■

В случае, когда А>Р - линейные непрерывные операторы, дано описание Б терминах экстремальных задач, связанных с методом регуляризации А.Н.Тихонова (теорема 1.4.1). Именно показано, что опорная функция р{г*\2а^{у)) информационного множества, зависящего от измеряемого сигнала у и параметров регуляризации а, е, имеет вид (г* € 2*)

= (м2 + а - РСР*г*)¥ + г}2,

где

г = РФ(у,е)> гв(з/, е) = ал^шт{||.А'ш - у]|2 + : го 6 X},

<7= (В, +

С положительно определенный самосопряженный линейный оператор на X, удовлетворяющий условию

С» - ахётт{||Лг£?Ц2 + е]]ш - г)]|2: щ 5 € X,

А", Р* — сопряженные операторы к А, Р, (•, обозначает билинейную форму, приводящую в двойственность £ и 2*.

Таким образом, не только минимаксная оценка (центр симметрии множества - '¿{у, е), но и самосопряженный оператор С и зависящая от измеряемого сигнала величина а = а (у, е) могут быть найдены из решения экстремальных задач, связанных с методом регуляризации.

Следующий результат позволяет для получения оценок скорости сходимости информационных множеств в гильбертовых пространств« и< пть-иовать известные оценки для метода регутяртации. В разделе 1 Ь первой главы доказана следующая теорема.

Теорема 1.5.1 Пусть < 5, 62/е < а,*' € Z*J = Тогда

тах{0,2{/,< р^Я^у)) - р(г*\Я(у)) < Ф(а,г,у),

где

ф{а, у) = [м(се, £, у)]1'2 + \(/, ш - л)\,

«Га, 6. у) = ||/||2(а + тах{32/е, 2р2\\гЬ - 0||}) + (//2 + - «)|.

Если выполнены условия ||ф||2 < ф — то

Здесь и> — нормальное (то есть имеющее минимальную норму) решение >рлкнчния Ла: = 01зе4ающее точному значению у-,й — нормально рьшв-ние уравнения Ли = -А$, щ = а^тт{[|Ам + А/1|2 -+• ^ ¡[и|[г: и € X]

Данная теорема позволяет найти предел регуля риз о ванных информационных множеств при стремлении уровня ошибок к нулю, и дать оценки скорости сходимости множеств в зависимости от величины скорости сходимости метода регуляризации. Соответствующие оценки получены в предположении истокообразной представимости нормальных решений к>, й(следствия 1.о 1. 1.5.2), а также для задач с нормально разрешимым оператором А ''теорема 1.5.2 и следствие 1.5.3) и опираются на оценки скорости сходимости метода регуляризлции, полученные в работах Ф.П.Васильева, В.Л.Моро^ьч. С.Джумаева.

Во второй главе диссертации рассматриваются вопросы опта мал ы-ю-с ГЦ линейных (аффинных) операций в задачах априорного гарантированного оценивания. К тасс до1!)\тймых оценок в задачах гарантированное* оценивания для динамических систем с неопределенными параметрами должен им1Ь ДисТлI ичНО широким, ЧТоиЫ оГклПеЧИТЬ приеМЛгМуЮ ТиЧНш 1 а

быть достаточно широким, чтобы обеспечить приемлемую точность оценивания С другой стороны, желательно чтобы выбранный класс оценок позволял формулировать задачу оценивания как экстремальную задачу из некоторого стандартного класса задач, допускающих эффективное решение В частности, для задач оценивания линейных систем с выпуклыми ограничениями на неопределенные возмущения в качестве допустимых оценок часто рассматриваются линейные непрерывные функционалы от измеряемого сигнала. Это позволяет свести задачу априорного оценивания в минимаксной постанозке к решению задачи выпуклого программирования в банаховом пространстве Однако, возникает вопрос об обоснованности использования данного класса оценок с точки зрения достигаемой в нем точности оценивания по сравнению с нелинейными операциями. Для достаточно широкого класса задач с выпуклыми симметричными относительно нуля ограничениями па помехи при оценивании скалярного функционала можно ограничиться линейными непрерывными оценками, не ухудшая при этом точности оценивания Для задач гарантированного оценивания состояния линейных динамических систем этот факт был впервые установлен А Б.Куржанским А.И.Матасовым оптимальность линейных непрерывных оценок доказана для абстрактной постановки задачи гарантированного оценивания значения линейного непрерывного функционала на решениях операторного уравнения в линейных нормированных пространствах в предположении выпуклости и симметричности относительно нуля априорных ограничений. Отметим, что близкие по постановке задачи рассматриваются в работах С.А.Смоляка, Н.С.Бахвалова, В.В.Аресгова, Г А Марчука. Г,Г Магарил-Ильяева, К.Ю.Осипенко, А.Г.Сухарева.

В данной главе вопрос об оптимальности линейных (аффинных) оценок рассматривается применительно к следующей абстрактной постановке задачи гарантированного оценивания значения линейного непрерывного функционала в линейных нормированных пространствах без предположений о сим метричности ограничений задачи относительно нуля. Пусть X, У -линейные нормированные пространства, 2 -метрическое пространство. Пусть заданы

S С X x У и отображение / : S -t Z. Множество S представляет априорную информацию о неизвестном эчементе w = (х, у) t 5, где у известно и трактуется как результат "измерений" Требуется оценить величину f(x) € Z по доступной информации о у.

Пусть d -метрика в Z Отображение ? • PryS Z {PryS -проекция 5 на У) назовем оценкой параметра f(x), Обозначим

ф) = sup d{z(y),f(x)), (7)

величина ■f(z) представляет наибольшую ошибку оценивания, отвечающую г Опенка г* б Л* называется оптимальной (в заданном множестве оценок К), если

ф*) = lai<p(z)

В указанную общую схему укладывается многие априорные задачи, рассматриваемые в теории гарантированного оценивания.

Обозначим множество всех отображений PryS —► Z через Z, множество линейных непрерывных отображений Y Z через С, и пусть А обозначает множество непрерывных аффинных отображений У —у Z. В работе рассматривается вопрос о том, при каких условиях

Ыф) = Ыф) (8)

г €2 ¿€£

или

Мф) = тШг). (9)

z€Z zF-Л

Справедливость равенства (9) установлена в случае Z — R, d{xty) — \х — у\ в предположениях выпуклости и слабой компактности S и при условии / € X*. При этих же предположениях получены необходимые и достаточные условия для '8) (теорема 2.2 3), условия слабой компактности ослабляются в теореме 2.2.4.

Теорема 2 2 4 Пусть X — X X Хо Хп, У -рефлексивные банаховы пространства, Х[ - конечномерное евклидово пространство. Пусть

S = {{хьхг,у) : у - AjXi - Лгх2 € Н, х2 €. W}, 20

где W, S ~ замкнутые, выпуклые, ограниченные подмножества пространств Хг, У; Ai- A4 - пинсйпыс непрерывные операторы Пусть функционал -¿(г) определен равенством (7), где 2 — R, d{x,y) - \х - у\, f е X' Тогда справедливо равенство (9).

Условия последней георемы отвечают стандартным постановкам задачи гарантированного оценивания состояния линейной динамической системы по результатам неполных измерений в случае, когда ограничения на возмущения в правой части системы и ошибки измерения заданы выпуклыми замкнутыми множествами, а априорная информация о начальном состоянии отсутствует. В указанную общую схему укладываются и некоторые задачи оценивания для распределенных систем.

Отметим, что совпадение результатов оценивания в классах произвольных и аффинных оценок доказано без характерных для подобных задач предположений (типа условий непустоты внутренности априорных ограничений), обеспечивающих достижимость нижней грани в (8), (9).

Далее в данной главе обсуждается оптимальность линейных алгоритмов в задачах гарантированного оценивания векторного функционала для различных типов метрик в конечномерном пространстве оцениваемых параметров. Отметим, что для задач оценивания векторного функционала оптимальность линейных непрерывных минимаксных оценок, в общем случае несправедлива. Приведен ряд примеров, иллюстрирующих данное утверждение. Показано, что оптимальность линейных алгоритмов имеет место при условиях теорем 2.2.3, 2.2,4, если Z = Rn, F- линейный непрерывный оператор, d[x,y) - \\х - где ||а:||™ = тах^^,, |а:,|. Учитывая, что оценки по норме = |Z)| достаточно широко используются в приложениях, рассмотрен вопрос об оптимальности линейных оценок при d(x,y) - -и показано, что оптимальность, вообще говоря, не имеет места при п > 2. Соответствующий пример построен для задачи оценивания, в которой априорные ограничения заданы в виде выпуклого многогранника

В разделе 2 4 рассматривается общая постановка задачи управления наблюдениями в рамках теории гарантированного оценивания. Данная задача

можеа быть формализована следующим образом. Предположим, что оператор А зависит от некоторого управляющего параметра и Е U, действующего на пропесс измерения, так что уравнение измерений имеет виду - A(u)w + Ç,

и пусть априорпьге ограничения на неопределенные параметры и величины ошибок 'измерения заданы в виде го ç W. £ € Е, причем ограничения на ошибки измерения, вообще говоря, зависят от п, H = -{о.)- Рассматриваются два типа задач оптимизации наблюдений, которые условно можно назвать априорными и апостериорными Пусть

S* = {К У)' У — ¿(а)» + i. w € W, i € H(«)>,

и для заданного y G Y

>%(y) = {wy = ^(ti)w-rÇ, w e e H(u)}.

Пусть = f"(6ru(i/'i) - информационное множество, отвечающее на-

блюдениям у, Ф действительная функция, определенная на ограниченных подмножествах Z, такая что величина $(Z(y.u)) характеризует точность оценивания. Задача оптимизации наблюдений fапостериорная) может быть нредставтена как задача минимизации функционала от информационных множеств

= 8up*(Z(v,u)) inf

у «ЕС/

1 др верхняя грянь берется но всем возможным значениям ччуодя yt на множестве U

Пусть задано некоторое множество £ отображений из Y в Z, которые будем называть априорными операциями оценивания Уклонение оценки г (у) O'i неизвестного значения Fv> бу^ем характеризовать величиной d(z(y)t Fie), где d(z\, 22) - заданная функция па Zx Z Например, d(z(y),Fw) —7(z(y) Fw) где 7 - норма или полунорма в Z Пусть

= sup d(z(y), Fw) = + Ç), FwJ,

u,

где верхняя грань вычисляется по всем то £ £ € Н. Постановка априорной задачи оптимизации наблюдений выглядит следующим образом

г( )£С и€1/

Далее исследовано соотношение между априорными и апостериорными задачами В случае, когда Х,У - банаховы пространства, Л(и) - линейный непрерывный оператор, а априорные ограничения заданы выпуклыми слабо компактными множествами IV, Е, показано совпадение их решений для некоторых классов задач с функционалами вида = 4-

р(~<1\С)}, где £> = Л] и(-Д), £"1 = {¿ь • •., - заданное конечное множество ненулевых векторов из (теорема 2 4.3). В задаче оценивания скалярного функционала доказана доказана теорема двойственности (теорема 2 4 1), позволяющая свести решение задачи задачи оптимизации измерений к решению минимаксных задач Данная теорема используется при решении задач управления наблюдениями в третьей главе.

В стохастической теории оценивания состояний динамических систем по результатам измерений рассматриваются адаптивные (позиционные) задачи оптимизации измерений, в рамках которых при выборе закона наблюдения для моментов времени 1 > т учитывается информация об измеренном сигнале в предшествующие {I < г) моменты Применительно к задаче управления наблюдениями в гарантированной постановке автором был установлен результат, состоящий в том, что для системы с совместными интегральными квадратичными ограничениями на возмущения в системе и ошибки измерения переход к адаптивным процедурам не обеспечивает лучший результат по сравнению с программным управлением наблюдениями В.Г.Покотило было доказано совпадение гарантированных результатов наблюдения в классах адаптивных и программных процедур для параметрического класса абстрактных задач гарантированного оценивания в гильбертовых проаранечвах, зависящих от скалярного параметра (времени), при квадратичных ограничениях на помехи. В данной главе (раздел 2 4) рассмотрено соотношение между программными и адаптивными процедурами

для задачи гарантированного оценивания в абстрактной постановке применительно к линейным операторным уравнениям в банаховых пространствах, с выпуклыми, симметричными относительно нуля априорными ограничениями Для функционалов от множеств, обладающих свойством монотонности по прг^кциям на заданное множество направлений установлено совпадение результатов оценивания в классах а дативных и программных измерителей В третьей главе рассмотренные абсарак I ные аосшновки конкретизируются для задач управления измерениями в динамических системах с неопределенными параметрами, В разделе 3.1 рассматривается проблема оптимального выбора состава измерений в задаче гарантированного оценивания для линейной системы с интегральными квадратичными ограничениями на неопределенные возмущения и ошибки измерения Предполагается, что движение управляемой системы на отрезке [(о, описывается дифференциальным уравнением

где х € Rn, и € Rr, v G Л", ufi), îq < t < ilt -- известный вход, v(t) — неизвестное возмущение Уравнения измерений имеют вид

Компоненты возмущений я £(() считаются принадлежащими £21^0^1] Начальное состояние системы Л) х° = х(Ц) точно неизвестно, вся доступная априорная информация о ж0 и возмущениях г'(-), исчерпывается условием £ е ]¥ 1 гдр £ = {,ги, ?*(*), £(•)}•

Здесь М. Bit) Hit) t € ¡¿о. ti] — симметричные положительно определенные матрицы; - заданное положительное число; элементы матрип R{t), H(t) измеримы и ограничены на [in, fj].

Пусть fi — заданное подмножество конечномерного линейного пространства Мпт матриц то у п, через Г обозначим множество всех измеримых

х - A(t)x + B(t)u -Г C{t)v, x(t0) = xù,

y(t) = G(t)x(t) 4- F(t)№

ограниченных функций (¿0^1] ^ Функции С(-) е Г назовем программами наблюдения

Зафиксируем программу наблюдения (?(■) 6 Г. Информационная область Х(и>У{-)), совместимая с ?/(■)- есть эллипсоид

ЛГ(йы/(-)) = у + г = {х € Я" : х'Р^х < д2 - к2(М)},

где вектор хп(0, симметричная положительно определенная матрица Р{{) и неотрицательная функция удовлетворяют дифференциальным уравнениям минимаксного фильтра 15

Р= -РА-АТР~РСЯ-1СТР+^, Р{к)=М, (10)

¿° = + Ви + Р 1втЯР~\у - СД г°(*0) = 0, к2 = - - 1/). Л2((0) - 0,

V? = с) = а^р-^нг-^.

Множество У — У((?(■), С) однозначно определяется выбором (?(•) и реализацией ( с ИЛ

На множестве всех подмножеств /Г определяются отношения частичного порядка о, В и 7: А/у В тогла и только тогда, когда А С В: АвВ тогда и только тогда, когда существует ортогональное линейное преобразование Т : Я" ->■ ГГ такое, что ТА С В; пусть Ь = ...,/*} — заданное подмножество единичных векторов в 7?™; А-чВ тогла и только тогда когда р{и\А) < ( = 1, ..,к\ р(1\А) - опорная функция А.

При фиксированном О(-) подмножества У(6,(-),^), отвечающие всевозможным С £ № линейно упорядочены относительно а, /5. 7, и существует точная верхняя грань {одна и та же для любого из рассмотренных отношений частичного порядка), обозначаемая У ((?(•)). Задача оптимизации измерений далее формулируется как задача оптимального управления эволюционной сис!«мой, описывающей динамику эллипсоидальных оценок (информационных множеств), с многозначным функционалом У{&'(-)) Показано,

"Куржанскнй А Б Управление я наблюдевле в условие* неопределенности. М Наука, 1977

что задача построения неулучшаемых (оптимальных по Парето) программ наблюдения относительно введенных отношений частичного порядка может быть г под сна к решению задачи оптимального управления с векторным терминальным фунционалом для системы матричных дифференциальных уравнений Риккати (10), описывающих динамику оптимальных минимаксных фильтров, и доказаны необходимые условия оптимальности в форме принципа максимума Л С Понтрягина имеющие вид

= шах^£1/2(г)<£>(г,С)51/;!(*), п.в г е [io.ii], (п)

где - решение системы

5 = (А + СП~1С"Р')5 + 3{А + СП~1С7Р*)Т, ЗД = 5, (12)

1гА — (лсд матрицы А Ссклношения принципа максимума для различных отношений порядка в кла<се информационных множеств отличаются видом краевых условий для сопряженной системы (12), их доказательство (тео ремы 3.1.2, 3 1 4) основано на исследованных в работе свойствах функций от матриц и выпуклых конусов в пространствах матриц Выяснено также влияние выбора программ наблюдения па поведение минимаксных оценок состояния системы (теорема 3 1 6).

Задаче управления наблюдениями для систем с геометрическими ограничениями на помехи, посвящен раздел 3 2.1. Исследовала задача выбора состава наблюдений для линейных динамических систем при геометрических ограничениях на ошибки измерения при отсутствии априорной информации о начальном векторе. Здесь рассматривается задача оценивания величины #(¿1)) ( й € Я? — заданный вектор) на решениях системы

х = А{1)х. ¿о < * < ¿1, = ¡Л

где х 6 Иг\ А{{) — (п х п)-матрица, непрерывно зависящая от I, по результатам измерения

гдр G(t) — ту п измеримая матричная функция, определяющая структуру наблюдаемых величин. £(f) — ошибка измерения, относительно которой известно, что £(i) € H(t)> ГДС —ft) - измеримое многозначное отображение, начальный вектор системы неизвестен. Структура уравнения наблюдения определяемая матричной функцией G{t) не фиксирована; Git) подлежит выбору из класса Г измеримых функций, принимающих значения из заданного конечного множества матриц {(?i, .., Gr}, Элементы Г будем называть программами наблюдений Предполагается, что ограничения па ошибку измерения зависят структуры измеряемого сигнала: ~(t) = E(G{t)), где Ек = H(C?ft), к — 1, ,г, - заданные выпуклые симметричные относительно нуля компакты, 0 € intSt Задача оптимизации измерений состоит в выборе G(-) в рассматриваемом классе функций так, чтобы минимизировать максимально возможную величину ошибки оценивания. С использованием теорем двойственноеги в задачах управления-наблюдения 14 показано, что она эквивалентна нахождению z{~) € if [¿о, £?(•) € Г, минимизирующих функционал

где /?(г|Н) - опорная функция множества Установлено (теорема 3 2,1), что рассматриваемая задача эквивалентна нахождению

(x(t, I) - решение исходной системы с краевым условием = i, Н° - поляра множества H ) и доказана 1еорема следующая двойственности

Теорема 3 2 2 Пусть д-тя некоторого к Е 1, m пара А(-), G^ вполне наблюдаема на [i0i ii] Тогда 7 - m^'(7), где <¿(1) — выпуклая, положительно-''КрасовскпЙ H H Тепрма управления движением M Наука, iSJ'jtt

при ограничении

S = -AT(t)s + <?(t)«(t), e(io) = 0, i(ti) = d,

7 = sup min max/>(G(f)z(i,0[S0ÎG(i)).

— G(1 *

однородная функция, определяемая равенством

= max, maxi/>q(x(t,l)), щ(х) = p{Gqx\z%), q = i,...,m.

Далее предложен и обоснован алгоритм решения рассматриваемой задачи об оптимизации набткпгний, базирующийся на решении двойственной задачи выпуклого программирования.

Раздел 3 3 посвящен выбору оптимальных аходо^ в задаче идентификации коэффициентов линейной управляемой системы при геометрических и интегральных ограничениях на ошибки измерения. Задачи об оптимальных входах широко исследуются в лшературе по теории идентификации систем со сюхастичегкими возмущениями. Для задач гарантированно! о оценивания различные постановки задачи о выборе оптимальных входов рассматривалась в работах Л Б.Куржанского, В Г. Покотило, Б.Н Пшеничного, R Кж pwirz'a, М Milanese, L Pronsato, Е Walter'а.

Рассмотрим стационарную линейную управляемую систему на заданном отрезке 'О, Т\

с нулевым начальным условием я(0} — 0. Пусть ограничения на управление имеют вид

где II - компакт в Л™ Считаем что матрицы А и В неизвестны, рассматриваемая задача иден!ификации состоит в том, чтобы определить коэффициенты матриц по результатам измерения выхода на отрезке [0. Т]

Предположим, что измерению на отрезке [0, Г] доступна величина у(1) = г(/) + £(0, где ошибка измерения. Предполагаем также, что величина ошибки удовлетворяет ограничению |&(()! < е. где е заданная положительная конгтянта, а величины

известны точно Пусть по резутьтатам измерений требуется восстановить ве личину (/. ш) - скалярное произведение векторов / и ш, где / -заданный

х = Ах + Вы

(13)

«(() € U, t 6 [О, Г],

вектор из Я*1"4""1, а через ш обозначен вектор, составленный из коэффициентов г-х строк матриц А, В Задача состоит в таком выборе входа к(>) который минимизировал бы максимальную возможную ошибку при оценивании (/,м).

В предположении полной управляемости рассматриваемой системы показано что данная задача удовлетворяет условиям теоремы двойственности для бесконечномерных задач математического программирования (теорема 2 4 1), доказанной во второй главе для абстракт!гой задачи управления наблюдениями С использованием данной теоремы установлено, что оптимальный вход системы может быть найден как решение следующей минимаксной задачи оптимального управления

^ п+то

7 = max min шах> 0,((,и(*))«л1, ¿14)

и{) е1 л ; J 1

3=1

где через q{t, «(•)) обозначено решение системы

х = Ах + Ви,

q = col(x, и), (15)

с начальным условием х (0) - 0, q(0) = 0. Обозначим

G(t) = {9(t,u(0) : ti(r) € V, 0 < г < *}

область достижимости системы (15) по координатам q в момент t.

Теорема 3.3.1 Пусть система (13) вполне управляема, выпуклая оболочка компакта U симметрична относительно нуля и 0 € int(convi/}, Для того, чтобы и*() было решением рассматриваемой задачи об оптимальном входе, необходимо и достаточно, чтобы q(T, «*(■)) = А*/- где А* = eup{A : А/ € G(T"}}- Наименьшая гарантированная ошибка оценивания равна с/А*

Далее задача о выборе оптимальных входов рассмотрена в предположении, что ошибки измерения ограничены в среднем квадратичном Обоснована редукция задачи выбора оптимальных входоз к нелинейной за даче оптимального управления с негладким терминальным функционалом.

определяемым при помощи выпуклой функции на множестве положительно определенных матриц (и, с частности задаче управления максимальным собственным числом матрицы} Доказаны условия оптимальности в форме принципа максимума Рассмотрено применение полученных результатов к выбору оптимальных входов в задаче идентификации коэффициенте:) линейной управляемой системы 2-го порядка, описывающей в первом приближении продотьныр ко рот ко-периодические колебания езмолетл в окрестности заданного положения равновесия. приведены резулыагы численного моделирования

В разделе 3 4 рассмотрена задача оптимального выбора стационарных сенсоров в задаче оценивания мощности входных стационарных воздействий для уравнений диффузионного типа на плоскости. Здесь рассматривается распределенная система, описываемая уравнением переноса и диффузии в

Я2

д к

-L ihvwv ^ " II-V ^ ^ - а,;, (16)

dt ,=1 с начальными и краевыми условиями

V5|0,i) = ф>\х), p(t,x) -¥ 0, [[¡r|l -4 -foo.

Здесь x = {x], ,rj), Д<f - оператор Лапласа, ¿(x) - дельта функция Дирака, <3j(i] измеримые ограниченные функции на отрезке [О, Т], a, \i заданные положительные числа. Beктор-функция w = w(r) = (иь,(х), и>2{х)) удовлетворяет уравнению неразрывности diva; = = 0. Для фо(-) С ^(Я2) существует единственное решение уравнениям (16), понимаемое в слабом смысле.

На систему действуют возмущения в к заданных точках плоскости -Gi ...ak Величины возмущений, описываемые функциями Qt(f) и начальное состояние предполагаются неизвестными. Информация о состоянии системы tf доставляется уравнением измерений y}{t) = <f(t,b}) н (t). 'j = 1, ,..,s Здесь £(£} ошибка измерения j-ого сенсора Точки Ь\,..., 6S, описывающие размещение сенсоров на плоскости, выбираются внутри данной

области fi* Возмущения в правой часа и системы, ошибки измерения и начальное состояние системы <ро считаются заранее неизвестными вся априорная информация о неизвестных параметрах исчерпывается заданием множеств, которым они принадлежат.

По результатам измерений y(t) 0 < i < Т требуется восстановить велите

чину интеграла / = J f x)dldx,

о а

Данная постановка мотивируется, в частности, проблемами экологического мониторинга Уравнение (16) представляет двумерную модель распространения загрязнения атмосферы при известной скорости ветра w. Расположение источников загрязнения - а, предполагается известным, однако интенсивность выбросов, описываемая функциями Q,(i), не известна. Таким образом, задача состоит в таком размещении сенсоров внутри области ГГ, которое обеспечило бы наиболее точную гарантированную оттенку для величины загрязнения области П,

В работе рассмотрен случай, когда интенсивность источников Q: не. зависит от времени и у) = const. Исходная задача преобразуется в стационарную С использованием теоремы об оптимальности аффинных оценок и теоремы двойственности, доказанной во второй главе, показано, что рассматриваемая задача эквивалентна задаче выбора точек Ь, е П*, г — 1,которые минимизируют функционал

min sup \(z, у) 4- + (Q,

где Q = {Qi,...,Qk), i = (ii,...,€,), f = (/ь-..,Л), /, = /nA(x)dit, ф,(х) -решение стационарного уравнения диффузии с правой частью равной 6(x — at), у = (j/i, ••■■. Уе), Vi = + множество W задает априорные ограничения W = {(Q,0 : 0 <Q,<Qt.. i = 1 < ел. 3 = l,.„,s}. Н работе приводится алгоритм решения задачи, состоящий в минимизации функции 2к переменных; для вычисления значения данной функции в точке необходимо решать задачу линейного программирования. Приведена упрошенная форма задачи получаемая при достаточно большом числе сенсоров и проведен ее анализ, основанный на использовании соотношений двойствен-

ности для 1 голубесШ!гсчны>: задач математического программирования Показано. что при к > £ неттоттьзпмкие дополнительных сенсоров не по зооляст улучшить гарантированный результат оценивания до( 1 игаемый для ь сенсоров

Автор выражает глубокую при^ательность Александру Борисовичу Кур-жапскому зл постоянное внимание и поддержку при подготовке работы.

Публикации по теме диссертации

1 Гусев М.И. Об одной игровой задаче управления наблюдением /'/ Оценивание в условиях неопределенности. Йз-во УНЦ АН СССР, Свердловск, 1У&2. С.19-34.

2 Гусев М И. О задаче оптимизации измерений в условиях неопределенности// "Эволюционные системы в задачах оценивания Из-во УНЦ АН СССР, Свердловск. 1985 - с 21-30.

3. Гусев М.И, ОС оптимизации измерений в задаче оценивания состояния дина.мич.системы при геометрических ограничениях на помехи // Дифференциальные уравнения. 1988, 24 ЛЖ С 1862-1870

4. Гусев МИ О структуре оптимальных минимаксных оценок в задачах гарантированного оценивания // Доклады Академии Наук, 1992 322, Ж1"), С. 832- 835

5. Гусев М.И. Планирование эксперимента в задачах гарантированного оценивания и идентификации// Оценивание и идентификация неопредетен-ных систем: Сб тр, ИММ УрО РАН.-Екатеринбург. 1992, стр 50-82. Деп в ВИНИТИ 26.05.92 № 1754-В92.

6 Гусев М.И Оптимальность линейных алгоритмов в задачах 1 ар литерованного оценивания /,/ Известия РАН, Сер Техническая кибернетика, 1994 №3. С 87- 95

7 Гусев М И. Об устойчивости информационных множеств в задаче гарантированного онениващгя '/ Труды Института математики и .механики УрО РАН.-Екатеринбург, 2000, том 6, JY4, С. 55-72.

8 Гусев М.И., Куржалский А.В. О ситуациях равновесия в многокритериальных игровых задачах // Докл. АН СССР.- 1976,- Т 229, № 6 - С 12951298.

9 Гуссв М И , Куржанский А.Б. Обратные задачи динамики управляемых систем// Механика и научн.-техн.прогресс. T.l. М ■ Наука, 1987. - С.187-195.

10. Gusev M.I On a certain class of Inverse problems in control system dynamics //Proc, of intern conf. on stochastic opt. Lecture Xotes in Control and Inform Sci Springer, 1986, v 81, pp. 650-656.

11. Gusev M 1. On the Class of Dynamic Multicriteria Problems in the Design of Experiments // Lecture Notes in Econ.and Math. Systems Springer, T98£IJ v.337, pp. 32-38.

12 С use v M.I. On the stability of solution of the inverse problems in control system dynamic^//Problems of Control and Information Theory 1988, v 17, 5, pp 297-310.

13. Gusev, M.I. On the optimality of linear algorithms in guaranteed estimation// In Modeling Techniques for Uncertain Systems (А.В Kurzhanski and V.M.Veliov, Eds) Birkhauser, Boston, 1994, P. 93-110.

14. Gusev M.I. On Stability of Information Domains in Guaranteed Ebtimation Problems // Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, Suppl. 1, МАЖ ''Kaukа/1jiterpenoiiika1', 2000, S104 S118.

15. Gusev M.I., Romanov S.A. On stability of guaranteed estimation problems: error bounds for information domains and experimental design//Semi-Infinite Programming: Recent Advances. M A Gobcrna and M.A.Lopez (eds.), Nonconvex Optim. Appl , 57, Kluwer Acad. Pub., 2001, p 299-326

16. Gusev MI. On Stability oi Guaranteed Estimation Problems // Control Applications of Optimization: 11th IFAC Intern. Workshop, St -Petersburg, 2000, IFAC Proc. Ser., IFAC, Laxenburg, 2000 - Vol 1 - P 132-137

17 Cusev M 1 Romanov S A On the measurement allocation problem for distributed ЬуЫеш Singular solutions anci perturbations m control systems (Peresiavl-Zaiebsky, 1997) IFAC Proc Ser, IFAC, Laxenburg, 1997 - P 149-154

IS Gusev M I.Error bounds for reachable sets under discrete approximation cf slate constraints // Nonlinear Control Systems (NOLCOS'2001), Preprints of the 5th IFAC Symposium. S Petersburg, Russia, July 4-6, 2001, pp 13551360.

19 Гусев M И. О задаче оптимального угтрз f течия информационными мно-жеивамн // Всесоюз. конф "Динамическое управление". Тез докл.-Светщтовск, 1979 - С 74-76.

20. Гусев М И Многокритериальные задачи оптимизации измерений для динамических систем в условиях непределенности // Теорст. и прилож механика. 4 Нац. ион rp.no теорст. к при лож. механика, Варна. Докл -София. Изд-во Бълг АН, 1981.- Кн.1.- С.62-67

21 Гусев М.И Об одном классе обратных задач динамики управляемых систем // Стохаст. оптимизация Между нар копф . Киев, 1984- Тез докл,-Киев, 1984.- Ч.1.- С.72-73.

22 Гусев М И Об опенке возмущений действующих на управляющую си-с:ему по результатам измерений // 4 Всесоюз. конф. по ошим упр в мех системах, Москва, 1982. Тез. докл.- М. АН СССР, ИН-т пробл. механики. 1982,- С.67

23 Гурв М.И Об устойчивых методах решения обратных задач динамики управляемых движений // 0 Весоюз, съезд по теорет. и прнкл механике Ташкент, 1980 А пни i докл.- Ташкент. 1385.- С 234.

24 Гусев М И Оптимальные входы лля идеиiификации параметров управляемых ,-r'rrrv '/ 6 Всесоюз кочф. по y-jp 5 мех системах, 1938. Т"з докл - Львов* Ип-г г-рикт проб 1 vox и мат.АН СССР, 1988 - С 47

25 Гусев МИГ! шшронапие "зк^тт^риментп в пбтмтых задачах линачики управляемых <исгем jt Междунар сов.-пол семинар'Мат методы оп-тим. упр. и их прилл Минск, 1989 Тез докл- Минск: ИМ АН БССР, 1989- С.38-40.

26. Гуссв М И Планирование эксперимента в задачах гарантированного оценивания // 7 Всесоюз конф "Унр в мех системах", 12-14 июня 1990 г.: Тез докл.- Свердловск, 1990 - С 32.

27. Гусев МИ Оптимальность линейных адсоршмов в задачах гараши-роЕанпогс ояс1;;:за.:;1я /,' 2 Междунар се'.:;:пар "Негладкие л разрыв задачи управ тения и оптимизации", Челябинск 1993 Тез докл - Челябинск Челяб j ос ун-т 1393,- С 44-1С

28 Гусев М И Об оценках погрешности построения областей достижимости при дискоетных аппроксимациях фазовых ограничений // Алгоритм анализ неустойч задач 'Гез док i Всерос, науч конф , Екатеринбург, 2001 - Ккатеринбург Изд-ьо Урал ун-та 2001 - С.139

¿f) Гуссв М И Устойчивость алгоршмов гарантированной идентификации: оценки погрешности // 8 Всерос съезд по тсорет. и прикл. механике, Пермь, 23-29 авг 2001 г ■ Ahhoi докл - Пермь. 2001 - С 220

30 Gusev М 1. Design of experiments in the mveise problems m control system dynamics // Mathematische Optimierungtheorie und Anwendungen Vor-tragsaü/ngp, Kisenach 1989 Techn Hochschule Ilmenau 1989 87-Q0

Отпечатано в типографии ООО "Издательство УМЦ УПИ" г. Екатеринбург, ул. Мира, 17, С-154. Заказ /О/О, Тираж /СО экз.

РНБ Р1* ccküíí фг-нд

2006-4 35595

Список обозначений

Введение

1 Устойчивость алгоритмов гарантированного оценивания: оценки погрешности

1.1 Сходимость и оценки скорости сходимости областей достижимости при дискретной аппроксимации фазовых ограничений

1.2 Сходимость и оценки скорости сходимости областей достижимости при дискретной аппроксимации фазовых ограничений: линейный случай

1.3 Оценки погрешности для информационных множеств в абстрактных задачах гарантированного оценивания с нормально разрешимым оператором вход-выход.

1.4 Регуляризация и вариационное представление информационных множеств в задачах с интегральными ограничениями

1.5 Оценки погрешности информационных множеств в задачах гарантированного оценивания с интегральными ограничениями.

2 Оптимальность линейных алгоритмов гарантированного оценивания и оптимизация наблюдений

2.1 Постановка задачи.

2.2 Оптимальность линейных (аффинных) алгоритмов в задачах гарантированного оценивания.

2.3 Оценивание векторного параметра и оптимальность линейных алгоритмов оценивания.

2.4 Управление наблюдениями в задачах гарантированного оценивания.

3 Оптимизация процесса наблюдения в задачах гарантированного оценивания и идентификации 122 3.1 Управление наблюдениями в задаче гарантированного оценивания для системы с интегральными ограничениями

3.2 Управление наблюдениями в задаче гарантированного оценивания для системы с геометрическими ограничениями на помехи.

3.3 Оптимальные входы при идентификации параметров линейных управляемых систем.

3.4 Оптимизация расположения стационарных сенсоров в задаче идентификации мощности источников.

Диссертация посвящена исследованию ряда вопросов устойчивости и оптимальности процедур гарантированного оценивания управляемых систем с неопределенными параметрами (возмущениями). Необходимость оценки состояния динамической системы или ее параметров по результатам доступных измерений возникает как при построении математической модели системы, так и при конструировании позиционных алгоритмов управления. Задачи построения оценок состояния (параметров) по результатам неполных измерений составляют предмет теории оценивания (идентификации параметров). Значительная часть теории оценивания основана на статистических методах, базирующихся на предположениях о вероятностной природе возмущений в системе и ошибок измерения. Статистические методы достигли высокой степени завершенности благодаря исследованиям, начатым в работах Н.Винера, А.Н.Колмогорова, Р.Калмана. Результаты Калмана и Бьюси, получивших в задаче оценивания состояния линейной динамической системы с возмущениями типа "белого шума "оптимальную оценку в виде решения обыкновенного дифференциального уравнения ( уравнения фильтра Калмана-Бьюси), вызвали многочисленные публикации и нашли широкое применение в конкретных системах управления.

Ограничения на применение классической теории стохастического оценивания связаны с тем, что процессы , рассматриваемые во многих прикладных задачах, не являются повторяющимися, имеют только ограниченное число наблюдений. Одной из основных причин, ограничивающих область применения статистических методов является неполнота априорной информации о данных задачи и статистических характеристиках возмущений и ошибок измерений. Часто требуется строить оценки, обеспечивающие некоторый гарантированный результат. Требования такого рода возникают в различных задачах механики, инженерии, биомедицины, проблемах, связанных с изучением окружающей среды. Они типичны для задач навигации и оценивания движения механических систем.

Наряду с вероятностным подходом к задачам оценивания все большее распространение получает гарантированный подход, основанный на представлении априорной информации о неизвестных параметрах (возмущениях) при помощи задания множеств, содержащих эти параметры. Исследования по теории гарантированного оценивания, были инициированы работами Н.Н.Красовского [76, 77]. Эти исследования были посвящены задачам априорного оценивания в линейных систе-Щ мах, для которых операции оценивания призваны были обеспечить гарантированный результат оценивания в расчете на наихудшую для наблюдателя реализацию возмущений и ошибок измерения.

Дальнейшее развитие теория гарантированного оценивания получила в работах [201, 152, 83, 200], в которых были заложены основы теории апостериорного гарантированного оценивания. В рамках данной теории оценки состояний динамических систем с неопределенными возмущениями по данным наблюдений формируются апостериори по ходу процесса наблюдения в виде функций (вообще говоря, многозначных) от наблюдаемого сигнала. Ключевым здесь является понятие $ информационного множества, определяемого как множество всех возможных состояний системы, совместимых с результатами измерения и априорными ограничениями на неизвестные возмущения и ошибки измерений. В качестве оценки состояния (параметров системы) принимается либо само множество, либо формируемые на его основе точечные минимаксные оценки. Систематическое исследование свойств информационных множеств и минимаксных оценок, описание их динамики, изучение связи с результатами теории статистического оценивания, использование данных конструкций в задачах управления по неполным данным было проведено А.Б.Куржанским [83, 84, 85, 86, 87], эти исследования подытожены в монографии [82]. Различные аспекты теории гарантированного оценивания исследуются в работах [3, 14, 62, 63, 69, ^ 88, 117, 127, 140, 174, 175, 181, 173, 168, 185, 189, 191, 190, 184].

В рамках минимаксного (гарантированного) подхода возможно исследование задач оценивания систем со случайными возмущениями, статистические характеристики которых неизвестны, или известны неточно, данное направление развивается в теории оценивания статистически неопределенных систем [6, 68, 126]. Различные подходы к решению задач оценивания состояния и параметров динамических систем, сочетающие элементы минимаксного и статистического оценивания, развиваются в работах [16, 105, 106, 148].

Задача построения информационных множеств в теории гарантированного оценивания представляет из себя сложную вычислительную проблему, особенно в нелинейном случае (см. [2, 87, 27, 79, 81, 93, 95, 127, 172, 205]). В настоящее время интенсивно развиваются методы построения информационных множеств, основанные на эллипсоидальных [142, 178, 121, 179] и полиэдральных [177, 74] аппроксимациях.

В диссертации изучается три круга вопросов, относящихся к теории гарантированного оценивания состояния систем с неопределенными параметрами. Первый из них, рассмотренный в главе 1, связан с устойчивостью процедур гарантированного оценивания. Задачи оценивания (идентификации параметров) относятся к классу обратных задач, для которых характерны неединственность и неустойчивость решений относительно возмущений исходных данных. Эти задачи удобно описывать на языке операторных уравнений в линейных нормированных пространствах. Допустим, что измеряемый выход динамической системы у и неизвестный вход системы w (под входом системы могут пониматься возмущения в правой части системы дифференциальных уравнений, начальные условия, неизвестные параметры уравнений) связаны между собой равенством у = Aw -f- где А : X —> Y -оператор вход-выход, определяемый динамикой системы и уравнениями измерения, £ - ошибки измерения (X, У - линейные нормированные пространства). Априорная информация о w,£ задается включениями w 6 W, ^ G Н, где W, Н - известные множества. Задача оценивания состоит в определении (оценке) значения оператора Fw для неизвестного априори входа w Е W на основании измерения выхода (сигнала) у. В качестве подобной оценки берется либо информационное множество

Z(y) = {z = Fw : Aw '+£ = y, w £ € H}, либо некоторая точка множества i, в определенном смысле наилучшим образом представляющая точки множества. Оператор А, в задачах гарантированного оценивания часто не обратим (см., например, [119, 154, 194, 206], где исследуются вопросы обратимости в задачах наблюдения), либо А~1 существует, но оказывается неограниченным

92]. Поэтому задача восстановления Fw по у является некорректно поставленной, задачи подобного типа изучаются в теории некорректных задач [137, 60, 99, 116, 24]. Разрабатываемые в рамках теории гарантированного оценивания методы, основанные на сложившихся в рамках теории управления-наблюдения подходах и учитывающие специфику задач оценивания динамики систем, в значительной степени используют результаты теории некорректно поставленных задач. Методы решения задач в рамках теории управления-наблюдения и некорректных задач, разрабатываемые для формально различных задач по существу часто дают близкие решения. Отметим, что на связь теории фильтрации Винера с методом регуляризации Тихонова указывалось в монографии [137]. К настоящему времени вопросы о связи различных процедур регуляризации, развиваемых в теории некорректно поставленных задач, и алгоритмов гарантированного оценивания исследованы достаточно полно. В работах Куржанского и Сивергиной [90, 91] для задач оценивания состояния параболических систем по результатам неполных наблюдений было установлено, что при подходящем задании оператора вход-выход и априорных ограничений минимаксные (гарантированные) оценки совпадают с решениями, получаемыми при помощи метода регуляризации Тихонова, метода квазирешений Иванова, метода невязки, метода квазиобращения Лионса-Латтеса. Вопросы устойчивости минимаксных оценок тесно связаны с общей проблематикой корректности задач оптимального управления и математического программирования, имеющей обширную библиографию (см.,например, [21, 27, 57, 59, 52, 134, 149]), асимптотическими методами в теории оптимального управления и оценивания [4, 53, 79, 80, 123]. Алгоритмы решения обратных задач динамики, сочетающие методы теории некорректных задач и позиционного управления [78, 135] развиваются в рамках теории позиционного моделирования [98, 97, 109, 75, 195].

Различные аспекты устойчивости в задачах оценивания изучались в работах [102, 148, 16, 185, 132].

Наряду с точечными минимаксными оценками в задачах гарантированного оценивания часто оперируют с информационными множествами, поскольку именно информационные множества содержат полную информацию о неизвестных данных, которую можно извлечь из результатов наблюдения. Вопрос об устойчивости информационных множеств иногда рассматривается в следующей постановке [94, 180]. Определим на W многозначное отображение У(ги) = Aw -f Е, тогда равенство Y~1(y) = {w : у € определяет обратное отображение и информационное множество Z(y) может быть определено как суперпозиция оператора F и У~г(у). Таким образом, непрерывная зависимость (липшицевость) Z(y) по у определяется свойствами У-1 (у) и может исследоваться путем применения различных обобщений теоремы о неявных функциях, развиваемых в. многозначном анализе [54, 61, 55, 70].

Однако, если иметь в виду устойчивость процедур оценивания относительно ошибок измерения, более соответствующей сложившимся в теории некорректных задач определениям устойчивости отвечает следующая задача, исследуемая в данной работе. Рассмотрим наряду с множеством Z(y) информационное множество Z°(y), отвечающее измерениям, проводимым без ошибок. Формально оно определяется так же как и Z(у) с заменой Е на множество {0}, состоящего из нулевого элемента . Вопрос, который изучается в первой главе состоит в выяснении условий, при которых h(Z(y), Z°(y)) —> 0, у Е Е + у при стремлении уровня ошибок измерения к нулю ( 5 = h{S, {0}) —» 0, 0 € S) и оценкам скорости сходимости в зависимости от величины 5. Отметим, что в отличие от устойчивости минимаксных оценок доказательство устойчивости информационных множеств (и тем более, получение оценок скорости сходимости ) требует гораздо более жестких условий на операторы A, F.

Первая глава разбита на пять разделов (параграфов). В первых двух разделах исследуется вопрос об оценках погрешности областей достижимости управляемых систем, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями при наличии фазовых ограничений, при дискретизации ограничений. С основной тематикой главы эти разделы связывает тот известный факт, что информационное множество для задачи оценивания состояния динамической системы с неопределенными возмущениями и ошибками измерений представляют из себя область достижимости системы с фазовыми ограничениями, задаваемыми уравнениями измерений. Таким образом, на приводимые оценки можно смотреть с точки зрения обоснования применения дискретных аппроксимаций при построении информационных множеств. Сходимость дискретных аппроксимации и оценки погрешности аппроксимаций исследуются во многих работах, посвященных численным методам в теории управления и дифференциальных играх [20, 51,115,118,139]. Особенностью изучаемых в данной работе задач является то, что рассматриваются фазовые ограничения типа равенства, не имеющие внутренних точек. Эти предположения, в свою очередь, вызваны тем, что получаемые оценки ориентированы на возможные применения при анализе устойчивости информационных множеств.

В параграфе 1.1 рассмотривается управляемая система на заданном интервале времени ¿£ [¿0^1] dx/dt = f(x) -f g(x)u{t), x(t0) = (1) где x 6 Rn,u(t) E Rr. Ограничения на управление и фазовую траекторию системы заданы в следующем виде u(t) еР, te [*0,ii], ЧФ)) = 0, i € Т, (2) где Р С Яг -компакт, Т - заданное подмножество отрезка [¿o>£i], h -непрерывно дифференцируемая функция, такая что градиент Vh отличен от нуля в точках множества X = {х : h(x) = 0}. Предполагается, что /, д - непрерывно дифференцируемые функции, удовлетворяющие условиям подлинейного роста, обеспечивающим продолжимость решений системы на весь интервал времени [¿o^i]

Обозначим через Go(ti) область достижимости системы (1) при ограничениях (2), если в качестве Т взят интервал [¿o^i]- Рассмотрим конечное множество моментов времени

Та = {Т\ <Т2< . < Тдг} С [¿0, П = t0, TN = ¿1, где о — шах (rl+i — rt-). Пусть G<j(ti) - область достижимости системы (1), отвечающая Т = Та.

Основной результат данного раздела составляет доказательство оценки

ЧСоМ^М) < Ка (3) в теореме 1.1.1. Здесь h - хаусдорфово расстояние между множествами. Данная оценка получена в предположении выпуклости Р и выполнении условия, что существует е > 0, такое что

-£,£] С Vh(x)T(f(x) + g(x)P) (4) для любого х Е И, где п = {хеяп: Зи(-) еи,те [¿о,^], х(т, х°} «(•)) = X, х°,«(.))) = О, ¿0 < ^ <

Доказательство теоремы опирается на лемму 1.1.1, в которой устанавливается оценка

И*,и(.)) -х(гуАтМ-Ш < Ккг> * € [io.il], равномерная по и{Ь) Е Р, где Атаи{')) - оператор усреднения управления и(£) на промежутках [т,-, т^+х].

В параграфе 1.2 рассмотрена автономная управляемая система со скалярным входом при линейных фазовых ограничениях типа равенства. Оценка (3) для хаусдорфова расстояния между множествами достижимости доказана здесь без дополнительных предположений вида

4).

В параграфе 1.3 исследуется вопрос об устойчивости информационных множеств для абстрактных задач оценивания в банаховых пространства: найти % = Рги при ограничении у = Аи)-\-£, IV е IV, £ ебЕ. (5)

А : X —> У, Г : X Z - заданные операторы, IV С X, Х,У,И-действительные банаховы пространства. Рассматриваются г5(у) = {* = -Ри» : у = Аи; + € <Е 6Е}, (6)

- информационное множество, совместимое с реализовавшимся сигналом у, и информационное множество, отвечающее точно наблюдаемому сигналу г0(у) = {х = Ею : Аи) = у,т е IV}. (7)

Показано, что если IV, Е слабо компактные подмножества X У, 0 Е Н, а операторы А, Р слабо замкнуты, и Р вполне непрерывен, то цг0(у),г6(у))->о при 5 —> 0, у Е у + 8Е. Приведены примеры нелинейных динамических систем, для которых имеет место факт сходимости информационных множеств.

Далее рассмотрены задачи гарантированного оценивания для задач с нормально разрешимым оператором А. Линейный непрерывный оператор А : X У называется нормально разрешимым, если множество его значений Н = АХ замкнуто в У. Для линейного операторного уравнения Ано = у в гильбертовом пространстве известно, что регу-ляризатор Тихонова при соответствующем выборе параметра регуляризации дает решение с ошибкой порядка 5, где 6 - ошибка в задании правой части уравнения [116, 56]. В работе показано, что оценки'вида

ЬШЮ,2оШ = 0(6), где Н- хаусдорфово расстояние между множествами, имеют место и для задач гарантированного оценивания с нормально разрешимым оператором А в гильбертовых и произвольных банаховых пространствах (в последнем случае при условии конечномерности одного из пространств) (теоремы 1.3.2, 1.3.3). Применяемый здесь подход к доказательству основан на использовании теорем двойственности в выпуклом программировании [28, 58, 59] для вычисления опорных функций информационных множеств и последующих оценках возмущений решений двойственных задач. Рассмотрены применения полученных оценок к ряду конкретных задач. Данный класс задач гарантированного оценивания включает, например, важные для приложений системы с конечным числом наблюдений, многошаговые системы, а также некоторые классы задач идентификации параметров в условиях неопределенности.

В этом же разделе предложен подход к получению оценок скорости сходимости информационных множеств в системах с непрерывными измерениями, основанный на дискретных аппроксимациях по времени. Для линейных автономных систем с одним входом и одним выходом приведены оценки вида 0(5^+т) для скорости сходимости информационных множеств, где п - размерность вектора фазовых координат системы.

В следующем разделе данной главы для абстрактных задач гарантированного оценивания в гильбертовых пространствах введено понятие регуляризованного информационного множества а, е - параметры регуляризации, и дано его вариационное описание в терминах экстремальных задач, связанных с методом регуляризации Тихонова (теорема 1.4.1 ). Именно показано, что опорная функция информационного множества, зависящего от измеряемого сигнала и параметров регуляризации а, е, имеет вид p(z*\ZQt£(y)) = (¡J2 + а - FCF*z*)f + (z\ z)Zl где не только минимаксная оценка (центр симметрии множества) z(y, е) совпадает с регуляризатором Тихонова (этот факт достаточно хорошо известен), но и самосопряженный оператор С и зависящее от измеряемого сигнала число а = с{у,е) могут быть найдены из решения некоторых экстремальных задач метода регуляризации.

Данный результат позволяет для получения оценок скорости сходимости информационных множеств в гильбертовых пространствах использовать известные оценки для метода регуляризации. В следующем разделе главы продемонстрировано применение данной техники. Найден предел регуляризованных информационных множеств при стремлении уровня ошибок к нулю, даны оценки скорости сходимости множеств в хаусдорфовой метрике в зависимости от величины погрешности измерений (теорема 1.5.1 и следствия из нее).

Во второй главе диссертации рассматриваются вопросы оптимальности линейных (аффинных) операций в задачах априорного гарантированного оценивания. Класс допустимых оценок в задачах гарантированного оценивания для динамических систем с неопределенными параметрами должен быть достаточно широким, чтобы обеспечить приемлемую точность оценивания. С другой стороны, желательно чтобы выбранный класс оценок позволял формулировать задачу оценивания как экстремальную задачу из некоторого стандартного класса задач, допускающих эффективное решение. В частности, для задач оценивания линейных систем с выпуклыми ограничениями на неопределенные возмущения в качестве допустимых оценок рассматривались линейные непрерывные функционалы от измеряемого сигнала [76, 77]. Это позволяло свести задачу априорного оценивания в минимаксной постановке к решению задачи выпуклого программирования в банаховом пространстве. Однако, возникает вопрос об обоснованности использования данного класса оценок с точки зрения достигаемой в нем точности оценивания по сравнению с нелинейными операциями. Оказывается для достаточно широкого класса задач с выпуклыми симметричными относительно нуля ограничениями на помехи при оценивании скалярного функционала можно ограничиться линейными оценками, не ухудшая при этом точности оценивания. Этот факт вытекает из доказанного в [82] утверждения о совпадении в наихудшем для наблюдателя случае результатов априорного и апостериорного оценивания (см. следствие 10.5). Так как по определению априорная оценка ищется в классе линейных, а апостериорная в классе произвольных нелинейных оценок,то отсюда вытекает совпадение гарантированных результатов оценивания в этих двух классах. Доказательство в [82] проводится для задачи оценивания состояния линейной динамической системы при условии, что априорные ограничения на возмущения на входе системы и ошибки измерения заданы выпуклыми компактами, симметричными относительно нуля. Отсюда следует, в частности, совпадение результатов априорного оценивания, достигаемых в классах произвольных нелинейных и непрерывных линейных оценок для постановок задач оценивания, рассмотренных в [76, 77].

В работе [110] данный результат обобщен для абстрактной постановки задачи гарантированного оценивания значения линейного непрерывного функционала на решениях операторного уравнения в линейных нормированных пространствах. Здесь ослаблены требования к множествам, задающим априорные ограничения: эти множества предполагаются выпуклыми и симметричнымии относительно нуля. Отметим, что близкие по постановке задачи рассматриваются во многих работах по оптимальному восстановлению функций и операторов [131, 107, 10].

В данной главе вопрос об оптимальности линейных (аффинных) оценок рассматривается применительно к следующей абстрактной постановке задачи гарантированного оценивания значения линейного непрерывного функционала в линейных нормированных пространствах без предположений о симметричности ограничений задачи относительно нуля. Пусть X, Y -линейные нормированные пространства, Z -метрическое пространство. Пусть заданы S С X х Y и отображение / : X —> Z. Множество S представляет априорную информацию о неизвестном элементе w = (х,у) £ 5, где у известно и трактуется как результат "измерений". Требуется оценить величину f{x) £ Z по доступной информации о у.

Пусть с?-метрика в Z. Отображение z : PryS Z (PryS -проекция

S на У) назовем оценкой параметра f{x). Обозначим p(z)= sup d(z(y),f(x)), (s,y)€5 величина cp(z) представляет наибольшую ошибку оценивания, отвечающую г. Оценка z* называется оптимальной, если p(z*) = mi<p(z). (8) z

В указанную схему укладывается большинство априорных задач, рассматриваемых в теории гарантированного оценивания [174, 175, 190, 127, 205].

Обозначим S(y) = {я : (х,у) 6 5}, S(y) -множество всех х Е X, совместимых с "измерениями"?/. Тогда ^ p(z) = sup d(z(y),f(x))= sup sup d(z(y),f(x)). Сx,y)eS yePrYSxeS(y)

Определим апостериорную оценку z* как отображение PryS в Z такое, что для любого у € PryS sup d{z*(y),f(x)) = inf sup d(z,f(x)). xeS(y) z xeS(y)

Таким образом, z*(y) - решение параметрической экстремальной задачи с функционалом g(z, у) = supa;€5(y) d(z, f(x)) g(z, у) min. z

Для каждого z : PryS —> Z

9(z(y),y) > infg(z,y) = inf sup d(z,f(x)) z z xeS(y) и, следовательно, справедливо следующее равенство f(z*) = inf(p(z) = sup inf sup d(z,f(x)). (9) yePrYs 2 xes{y)

Из (9) следует, что апостериорная оценка 2* доставляет решение задачи (8). Однако нахождение z*{y) даже в линейном случае представляет серьезную вычислительную проблему.

Обозначим множество всех отображений PryS —> Z через Z, множество линейных непрерывных отображений Y -» Z как С, и пусть Л обозначает множество непрерывных аффинных отображений У —)■ Z. В работе рассматривается вопрос о том, при каких условиях

Ы (р(г) = М (р(г) (10) или

Мф) = Мф). (11)

Справедливость равенства (11) установлена в случае Z = Я, в предположениях выпуклости и слабой компактности 5 и условии / € X*. При этих же предположениях получены необходимые и достаточные условия для (10) (теорема 2.2.3), условия слабой компактности несколько ослабляются в теореме 2.2.4. Совпадение результатов оценивания в классах произвольных и аффинных оценок доказано без характерных для подобных задач предположений (типа условий непустоты внутренности априорных ограничений), обеспечивающих достижимость оценок. Отметим, что близкие по постановке задачи рассматривались в [136, 103]. В [136] рассмотрен случай конечномерного пространства "измеряемых сигналов". В [103] задача рассмотрена в линейных пространствах без топологии.

Далее в данной главе обсуждается оптимальность линейных алгоритмов в задачах гарантированного оценивания векторного функционала для различных типов метрик в конечномерном пространстве оценок. Отметим, что для задач оценивания векторного функционала оптимальность линейных минимаксных оценок, является скорее исключением из правила. Здесь приведен ряд примеров, иллюстрирующих данное утверждение. Показано, что оптимальность линейных алгоритмов имеет место при условиях теорем 2.2.3, 2.2.4, если 2 = Яп, Е- линейный непрерывный оператор, с1(х,у) = \\х — уУчитывая, что оценки по норме || • достаточно широко используются в приложениях, рассмотрен вопрос об оптимальности линейных оценок при в,(х,у) = Ца: — и показано, что оптимальность имеет место при п = 2 и, вообще говоря, это не верно при п > 2.

Следующий раздел второй главы посвящен абстрактным задачам управления наблюдениями. Во многих прикладных задачах, связанных с необходимостью восстанавливать неизвестные параметры системы по результатам доступных измерений, имеется возможность управления процессом наблюдения. Применительно к динамическим системам с неопределенными коэффициентами задача выбора наилучшего входа для идентификации представляет типичный пример подобной задачи. Другой пример относится к проблеме оптимизации измерений, возникающей, в частности, в задачах экологического мониторинга [108, 122]. Управляя процессом наблюдения, можно уменьшить влияние возмущений в системе и ошибок измерения и повысить точность восстановления искомых неизвестных величин.

Вопросы оптимизации измерений в задачах оценивания состояния и выбора оптимальных входов в задачах идентификации применительно к системам со случайными возмущениями имеют обширную библиографию (см., например, [12, 29, 141, 15, 65, 66, 71, 72, 105, 114, 133, 150, 153, 192, 198, 203, 204, 19]).

Первые постановки задач управления наблюдениями в контексте гарантированного оценивания рассмотрены в работах [38, 104]. Абстрактные постановки подобных задач рассматривались в [157, 196, 125]. Минимаксные задачи оптимального сочетания управлений и наблюдений в задачах оптимального управления и дифференциальных играх исследовались в [112, 144, 145]. Различным постановкам задач оптимизации наблюдений и связанным с ними задачам о наихудших и наилучших входах посвящены работы [5, 120, 125, 128, 146, 147, 176].

Задача управления наблюдениями в рамках теории гарантированного оценивания может быть формализована следующим образом. Предположим, что оператор А зависит от некоторого управляющего параметра u Е U, действующего на процесс измерения, так что уравнение измерений имеет вид: у — A(u)w + f, и пусть априорные ограничения на неопределенные параметры и величины ошибок измерения заданы в виде w Е W, (еЕ, причем ограничения на ошибки измерения, вообще говоря, зависят от u: Н = Е(гг). Рассматриваются два типа задач оптимизации наблюдений, которые условно можно назвать априорными и апостериорными. Пусть

Su = {(щ у) :у = A(u)w + te s(tí)}, (12) и для заданного у 6 Y

Su(y) = {w:y = A(u)w + w e W, { e S(u)}. (13)

Пусть Z{y,u) = F(Su(y)) - информационное множество, отвечающее наблюдениям у, Ф(-) действительная функция, определенная на ограниченных подмножествах Z, такая что величина ty(Z(y, и)) характеризует точность оценивания. Задача оптимизации наблюдений (апостериорная) может быть в этом случае представлена как задача минимизации функционала от информационных множеств ф!(и) = sup<H(Z(y,u)) inf, (14) у иеи где верхняя грань берется по всем возможным значениям выхода, на множестве U.

Пусть задано некоторое множество S отображений из У в Z, которые будем называть априорными операциями оценивания. Уклонение оценки z(y) от неизвестного значения Fw будем характеризовать ве-. личиной d(z(y),Fw), где d(z\,z2) - заданная функция на Z х Z. Например, d(z(y), Fw) = 7(z(y) — Fw), где 7 - норма или полунорма в Z. Пусть

Ф(,г(-), и) = sup d(z(y), Fw) = sup d(z(A{u)w + £), Fw), где верхняя грань вычисляется по всем w Е W, £ Е Н. Постановка априорной задачи оптимизации наблюдений выглядит следующим образом ф2(и) = inf Ф(*(-),и) inf (15) z(-)e£ иеи

Далее во второй главе исследовано соотношение между априорными и апостериорными задачами, показано их совпадение для отдельных критериев.

В стохастической теории оценивания состояний динамических систем по результатам измерений рассматриваются адаптивные (позиционные) задачи оптимизации измерений, в рамках которых при выборе закона наблюдения (наблюдателя) для моментов времени t > т учитывается информация об измеренном сигнале в предшествующие моменты времени. Применительно к задаче управления наблюдениями в гарантированной постановке автором в [39] был анонсирован результат, состоящий в том, что для системы с совместными интегральными квадратичными ограничениями на возмущения в системе и ошибки измерения переход к адаптивным процедурам не обеспечивает лучший результат по сравнению с программным управлением наблюдениями. В работе [125] было показано совпадение гарантированных результатов наблюдения в классах адаптивных и программных процедур для некоторого класса абстрактных задач гарантированного оценивания в гильбертовых пространствах. В данной главе рассмотрено соотношение между программными и адаптивными процедурами для задачи гарантированного оценивания в абстрактной постановке применительно к операторным уравнениям в банаховых пространствах. Для отдельных классов задач установлено совпадение результатов оценивания в классах адаптивных и программных измерителей. Отметим, что близкие вопросы рассматриваются в работах по теории оптимальных минимаксных алгоритмов [136, 144, 138].

В третьей главе рассмотренные абстрактные постановки конкретизируются для задач управления измерениями в динамических системах с неопределенными параметрами. В разделе 3.1 рассматривается проблема оптимального выбора состава измерений в задаче гарантированного оценивания для линейной системы с интегральными квадратичными ограничениями на неопределенные возмущения и ошибки измерения. Предполагается, что движение управляемой системы на отрезке [¿o>^i] описывается дифференциальным уравнением х = A(t)x + B(t)u + C(t)v, x{t0) = x°, (16) где x G jRn, и G v G Rq, u(t), to < t < ¿i, — известный вход; v(t) — неизвестное возмущение. Уравнения измерений имеют вид y(t) = G(t)x(t) + F(t)№- (17)

Компоненты возмущений v(t) и £(£) считаются принадлежащими Ь2[и), ¿1]. Начальное состояние системы (1) xQ = :r(io) точно неизвестно, вся доступная априорная информация о я0 и возмущениях г>(-), £(•) исчерпывается условием £ G W, где £ = {я0,-и(-), £(*)}: 1

W = {С : х°'Мх° + J[v'Rv + Ç'HÇ] dt < fi2}. (18) to

Здесь M, R(t), H(t), t G [io> h] — симметричные положительно определенные матрицы; /л — заданное положительное число; элементы матриц R(t), H{t), как функции t, измеримы и ограничены на [¿о? •

Пусть Q — заданное подмножество конечномерного линейного пространства Мпт матриц m х п, через G обозначим множество всех измеримых ограниченных функций [¿о, t\] Î7. Функции £?(•) G G назовем программами наблюдения.

Зафиксируем программу наблюдения G{-) Е G. Информационная область X(ti,y(•)), совместимая с у(-), есть эллипсоид [82]): х(*1,у{-)) = У + Аь),

Y = {xeRn: x'P(tх)х <fi2- h2(ti)}, (19) где вектор x°(t), симметричная положительно определенная матрица P(t) и неотрицательная функция h2(t) удовлетворяют дифференциальным уравнениям

Р = -РА - А'Р - PCR~lC'P + tp, P(t0) = М, (20) х° = Ах° + Ви + P^G'F-1'HF~\y - Gx°), x°(t0) = 0, (21) к2 = (Gx° - y)'F-rHF-\Gx° - у), h2(t0) = 0,

Ч> = y>(f, G) = G'F^'HF^G. (22)

Множество У = У((?(■), С) однозначно определяется выбором G(-) и реализацией £ Е W.

На множестве всех подмножеств Rn определяются отношения частичного порядка а, /3 и 7: АаБ тогда и только тогда, когда А С В\ А(ЗВ тогда и только тогда, когда существует ортогональное линейное преобразование Т : Rn —> Rn такое, что ТА С В\ пусть L = {Ii,., — заданное подмножество единичных векторов в Дп; А7Б тогда и только тогда, когда p{k\A) < г = 1,., к.

При фиксированном G?(-) подмножества Y(G(-),€), отвечающие всевозможным ( £ W линейно упорядочены относительно а, (3, 7, и существует точная верхняя грань (одна и та же для любого из рассмотренных отношений частичного порядка)

F(G(-)) = {х : s'P(ii)rc < fi2}. (23)

Программа наблюдения G*(-) £ G называется а-неулу читаемой, если не существует G(-) £ G такая, что

F(G(.))aF(G*(-)), -n(F(C?*(.))aF(G(.))).

Аналогично вводятся определения ¡3- и 7-неулучшаемых программ наблюдения. Далее в разделе 3.1 показано, что задача построения неулучшаемых программ наблюдения может быть сведена к решению задачи оптимального управления с векторным терминальным фунци-оналом для системы матричных дифференциальных уравнений Рик-кати (20), описывающих динамику оптимальных минимаксных фильтров, и доказаны необходимые условия оптимальности в форме принципа максимума Л.С.Понтрягина имеющие вид tr S^2(t)cp(UG*(t))S^2(t) = maxtrS1/2(t)<p(t,G)S1/2(t), п.в. t e [t0,ti], (24) gg П где S(t) — решение системы

S = {А + CR~lC'P*)S + S(A + CR-lC'P*)', Sfa) = 5, (25) tivl — след матрицы А. Соотношения принципа максимума для различных отношений порядка в классе информационных множеств отличаются видом краевых условий для сопряженной системы (25). Выяснено также влияние выбора неулучшаемых (эффективных) программ наблюдения на разброс минимаксных оценок состояния системы.

Подобной задаче, но для систем с геометрическими ограничениями, посвящен раздел 3.2. Исследована задача выбора состава наблюдений для линейных динамических систем при геометрических ограничениях на ошибки измерения при отсутствии априорной информации о начальном векторе. Доказана сводимость рассматриваемой задачи к задаче оптимального управления, особенность которой состоит в том, что для нее не выполняются условия теоремы существования. Для полученной задачи установлена теорема двойственности (теорема 3.2.2) и на ее базе обоснован алгоритм решения задачи. Исследована структура оптимальных программ наблюдения.

Раздел 3.3 посвящен выбору оптимальных входов в задаче идентификации коэффициентов линейной управляемой системы при геометрических и интегральных ограничениях на ошибки измерения. Задачи об оптимальных входах широко исследуются в литературе по теории идентификации систем со стохастическими возмущениями (см., например, [186, 187, 198], где приведена соответствующая библиография). Для задач гарантированного оценивания различные постановки задачи о выборе оптимальных входов рассматривалась в [176,169, 189, 197]. В данной работе исследованы оптимальные входы (управления), обеспечивающие минимальную гарантированную ошибку оценивания. 06основана редукция задачи выбора оптимальных входов к задачам оптимального управления, которая базируется на применении теорем двойственности для бесконечномерных задач математического программирования. В случае системы с геометрическими ограничениями на ошибки измерения показано, что задача сводится к некоторой нестандартной задаче оптимального управления для вспомогательной линейной управляемой системы большей размерности. Для систем с интегральными ограничениями на ошибки доказано сведение задачи к нелинейной задаче оптимального управления с терминальным функционалом, определяемым при помощи выпуклой функции на множестве положительно определенных матриц (и, в частности, задаче управления максимальным собственным числом матрицы). Доказаны условия оптимальности в форме принципа максимума, приведены примеры численного решения задачи об оптимальных входах.

Наконец в разделе 3.4 рассмотрена задача оптимального выбора стационарных сенсоров в задаче оценивания мощности входных стационарных воздействий для уравнений диффузионного типа на плоскости. Рассматривается распределенная система, описываемая уравнением переноса и диффузии в В? + ¿[утр + <г(р - ц Ду? = - а;), (26) г=1 с начальными и краевыми условиями р(0,х) = <ро(х), <£>(£, гг) —0 при \\х\\2 —> +оо.

Здесь х = (#1, #2), Аф = -г^ф + -^рф оператор Лапласа, 5(х) - дельта функция Дирака, измеримые ограниченные функции на отрезке [0,Т], а, [л, заданные положительные числа. Вектор-функция ги = ги(х) = (и)1(х),'Ш2{х)) удовлетворяет уравнению неразрывности

0 д шуги = -—101 + т;—М2 = 0.

ОХ\ ОХ2

Для фо(-) £ Ь2{В-2) существует единственное решение уравнениям (26), понимаемое в слабом смысле.

На систему действуют возмущения в к заданных точках плоскости - а\Величины возмущений, описываемые функциями и начальное состояние предполагаюся неизвестными. Информация о состоянии системы </? доставляется следующим уравнением измерений yj{t) = ip{tybj) + £j{t), j = 1) •••)5.

Здесь £(t) - ошибка измерения j-oro сенсора, а точки bi,. ,bs, описывающие размещение сенсоров на плоскости, выбираются внутри данной области f2*. Таким образом, возмущения в правой части системы, ошибки измерения и начальное состояние системы ipo считаются заранее неизвестными. Вся априорная информация о неизвестных параметрах задается условиями и := {Qi(-)> г = 1 £,(•), j = 1 <Ро(')} € U, где U заданное подмножество пространства Т] xL^JO, T]xL2(R2). Априорные ограничения могут иметь форму либо геометрических ограничений

U = {и : 0 < Qi(t) <Qi, i = l \€j(t)\ < ej, j = 1,., 5, ¿i < t < ¿i, 0 < ip0(x) < <£o{x), x e R2}, или форму интегральных квадратичных ограничений.

Задача оценивания состоит в том, что необходимо по результатам измерений y{t), 0 < t < Т восстановить величину интеграла т

1 = J J (p(t,x)dtdx. о n

Данная постановка мотивирована, в частности, проблемами экологического мониторинга [108, 122]. Уравнение (26) представляет двумерную модель распространения загрязнения атмосферы при известной скорости ветра w. Расположение источников загрязнения - аг- предполагается известным, однако интенсивность выбросов, описываемая функциями Qi(t), не известна. Таким образом, задача состоит в таком размещении сенсоров внутри области Q*, которое обеспечило бы наиболее точную оценку для величины загрязнения области П.

В работе рассмотрен случай, когда интенсивность источников Qi не зависит от времени и w = const. Исходная задача преобразуется в стационарную, так как все рассматриваемые величины не зависят от времени. Показано, что задача может быть сведена к нахождению величины минимума некоторой функции 2к переменных, причем для вычисления значения функции в одной точке необходимо решать задачу линейного программирования (в случае, если априорные ограничения заданы в форме системы линейных неравенств). Приведена упрощенная форма задачи, получаемая при достаточно большом числе сенсоров и проведен ее анализ, основанный на использовании соотношений двойственности для полубесконечных задач математического программирования.

Работа выполнена при частичной поддержке грантов РФФИ 97-0101003 и 00-01-00646. Результаты диссертации обсуждались на многих международных, всесоюзных и всероссийских конференциях по оптимальному управлению, математическому программированию, теории некорректных задач. Они докладывались на международных конференциях: "Стохастическая оптимизация", Киев, 1984; 12-ой конференции IFIP "Моделирование систем и оптимизация", Будапешт, 1985; "Mathematische Optimierungtheorie und Anwendungen", Эйзенах, 1981, 1989; "Modeling Techniques for Uncertain Systems", Шопрон, 1992; IFAC conference "Singular solutions and perturbations in control systems", Пере-яславль-Залесский, 1997; "Semi-Infinite Programming", Аликанте, 1999; "Control Applications of Optimization: 11th IFAC International Workshop", Санкт-Петербург, 2000; "Nonlinear Control Systems (NOLCOS' 2001), 5th IFAC Symposium", Санкт-Петербург, 2001; на Всесоюзных конференциях "Управление в механических системах", Москва, 1982, Казань, 1986, Львов, 1988, Свердловск, 1990; на Весоюзоюзных съездах по теоретической и прикладной механике, Ташкент, 1986, Москва, 1991, Пермь, 2001; Международном советско-польском семинаре "Мат. методы оптимального управления и их приложения", Минск, 1989; 2-м Международном семинаре "Негладкие и разрыв.задачи управления и оптимизации", Челябинск, 1993; Всероссийских конференциях "Алгоритм анализ неустойчивых задач", Екатеринбург, 1998, 2001, и др. Основные результаты опубликованы в работах [31]-[50], [156]-[167].

Автор глубоко благодарен Александру Борисовичу Куржанскому за постоянное внимание, помощь и поддержку.

Заключение

В заключение перечислим основные результаты диссертации.

• Получены оценки погрешности построения областей достижимости для некоторых классов управляемых систем с фазовыми ограничениями типа равенства при дискретных аппроксимациях ограничений в зависимости от шага дискретизации по времени.

• Для абстрактных задач гарантированного оценивания в банаховых пространствах с нормально разрешимым линейным оператором наблюдения получены оценки скорости сходимости информационных множеств, имеющие первый порядок малости от величины погрешности измерений.

1. Алексеев В.M., Тихомиров В.М., Фомин C.B. Оптимальное управление. М.: Наука, 1979, 432 с.

2. Альбрехт Э.Г., Примеры информационных множеств нелинейных систем // Сб. "Оценивание в условиях неопределенности", Тр.ИММ УНЦ АН СССР,1982.- С.5-9.

3. Альбрехт Э.Г., Красовский H.H. О наблюдении нелинейной управляемой системы в окрестности заданного движения // Автоматика и телемеханика.- 1964.- Т.25, № 7.- С. 1047-1057

4. Акуленко А.Д. Асимптотические методы оптимального управления. М:, Наука, 1987, 365 с.

5. Ананьев Б.И., Ширяев В.И. Определение наихудших сигналов в задачах гарантированного оценивания // Автоматика и телемеханика, 1987, №3. С.

6. Ананьев Б.И. Об информационных множествах для многошаговых статистически неопределенных систем // Труды Института математики и механики УрО РАН.-Екатеринбург, 2000, том 6, №2, С. 290-307.

7. Ананьев Б.И. О схеме нелинейной фильтрации для многошаговых статистически неопределенных систем // Автоматика и телемеханика. 2002. № 5. С. 56-67.

8. Аникин С.А. Об оценке погрешности метода регуляризации в задачах восстановления входов динамических систем // Журн.вычисл. матем. и мат.физики, 1997, Т.37, №9, С. 10561067.

9. Аникин С.А., Гусев М.И. Оценивание возмущающих сил по измерениям параметров движения // Гарантированное оценивание и задачи управления. Свердловск: УНЦ АН СССР, 1986. - С.19-30.

10. Арестов B.B. Наилучшее восстановление операторов и родственные задачи// Труды МИАН им. В.А.Стеклова, 1989, 189, С. 3-20.

11. Арутюнов A.B. Условия экстремума. Анормальные и вырожденные задачи М.: Факториал, 1997. 256

12. Афанасьев В.Н., Колмановский В.В., Носов В.Р. Математическая теория конструирования систем управления. М.: Высшая школа, 1989, 447 с.

13. Бажинов И.К., Покучаев В.Н. Оптимальное планирование навигационных измерений в космическом полете. М.: Машиностроение, 1976, 288 с.

14. Барабанов А.Е. Синтез минимаксных регуляторов. С.Петербург, Из-во С.-Петербургского университета, 1996, с.222.

15. Бахшиян Б.Ц., Эльясберг П.Е. Выбор оптимальной стратегии определения орбит // Автоматика и телемеханика, 1970, №3,

16. Бахшиян Б.Ц., Назиров Р.Р., Эльясберг П.Е. Определение и коррекция движения. М.: Наука, 1980, 360 с.

17. Беллман Р. Введение в теорию матриц. М. Наука, 1976, 351 с.

18. Богуславский И.А. Прикладные задачи фильтрации и управления. М.: Наука, 1983, 400 с.

19. Босов A.B., Панков А.Р. Алгоритмы управления в системах с переключающимися каналами наблюдений//Известия РАН, сер.Теория и сист. управления, 1996, 2, с. 98-103.

20. Боткин Н.Д. Погрешность аппроксимации в линейной дифференциальной игре // Автоматика и телемеханика.- 1984.-№ 12,- С.5-12.

21. Васильев Ф.П. Методы решения экстремальных задач.- М.: Наука, 1981.

22. Васильев Ф.П. Оценка скорости сходимости метода регуляризации А.Н.Тихонова для неустойчивых задач минимизации // Докл. АН СССР. 1988, Т.299, JV«4, С.792-796.

23. Вайнберг М.М. Вариационный метод и метод монотонных операторов в теории нелинейных уравнений, М.Наука, 1972, 416 с.

24. Васин В.В., Агеев A.JI. Некорректные задачи с априорной информацией.- Екатеринбург: Уиф 'Наука', 1993.- 262 с.

25. Вдовин А.Ю. К задаче восстановления возмущений в динамической системе // Автореферат дисс. канд. физ.-мат. наук, Свердловск, Институт математики и механики УрО АН СССР, 1989.

26. Галиуллин A.C. Обратные задачи динамики. М.Наука, 1981.

27. Габасов Р., Кириллова Ф. Качественная теория оптимальных процессов. М:Наука, 1971, 507с.

28. Гольштейн Е.Г. Теория двойственности в математическом программировании. М.: Наука, 1971 ,

29. Григорьев Ф.Н., Кузнецов H.A., Серебровский А.П. Управление наблюдениями в автоматических системах. М.Наука, 1986.

30. Гусев М.И. Векторная оптимизация линейных систем // Доклады Академии Наук, 1972, т.207, №1

31. Гусев М.И. Об одной игровой задаче управления наблюдением // Оценивание в условиях неопределенности. Из-во УНЦ АН СССР, Свердловск, 1982.- С.19-34.

32. Гусев М.И. О задаче оптимизации измерений в условиях неопределенности// Эволюционные системы в задачах оценивания. Из-во УНЦ АН СССР, Свердловск, 1985.

33. Гусев М.И. Об оптимизации измерений в задаче оценивания состояния динамич.системы при геометрических ограничениях на помехи // Дифференциальные уравнения, 1988, 24, №9, С.1862-1870

34. Гусев М.И. О структуре оптимальных минимаксных оценок в задачах гарантированного оценивания // Доклады Академии Наук, 1992, 322, №5, С. 832- 835.

35. Гусев М.И. Планирование эксперимента в задачах гарантированного оценивания и идентификации// Оцениваниеи идентификация неопределенных систем: Сб.тр. ИММ УрО РАН .-Екатеринбург, 1992, стр. 50-82. Деп. в ВИНИТИ 26.05.92 № 1754-В92.

36. Гусев М.И. Оптимальность линейных алгоритмов в задачах гарантированного оценивания // Известия РАН, Сер. Техническая кибернетика, 1994, №3, С. 87- 95.

37. Гусев М.И. Об устойчивости информационных множеств в задаче гарантированного оценивания // Труды Института математики и механики УрО РАН.-Екатеринбург, 2000, том 6, т, С. 55-72.

38. Гусев М.И. О задаче оптимального управления информационными множествами // Всесоюз. конф. "Динамическое управление", Тез докл.- Свердловск, 1979.- С.74-76.

39. Гусев М.И. Многокритериальные задачи оптимизации измерений для динамических систем в условиях непределенности // Теорет. и прилож. механика: 4 Нац. конгр.по теорет. и прилож. механика, Варна: Докл.- София: Изд-во Бълг. АН, 1981.- Кн.1.- С.62-67

40. Гусев М.И. Об одном классе обратных задач динамики управляемых систем // Стохаст. оптимизация: Междунар. конф., Киев, 1984: Тез. докл.- Киев, 1984.- Ч.1.- С.72-73.

41. Гусев М.И. Об оценке возмущений, действующих на управляющую систему, по результатам измерений //4 Всесоюз. конф. по оптим. упр. в мех. системах, Москва, 1982: Тез. докл.- М.: АН СССР. ИН-т пробл. механики, 1982.- С.67.

42. Гусев М.И. Об устойчивых методах решения обратных задач динамики управляемых движений //6 Весоюз. съезд по теорет. и прикл. механике, Ташкент, 1986: Аннот. докл.-Ташкент, 1986.- С.234.

43. Гусев М.И. Оптимальные входы для идентификации параметров управляемых систем //6 Всесоюз. конф. по упр. в мех. системах, 1988: Тез. докл.- Львов: Ин-т прикл.пробл. мех.и мат.АН СССР, 1988.- С.47.

44. Гусев М.И. Планирование эксперимента в обрантых задачах динамики управляемых систем // Междунар. сов.-пол. семинар'Мат. методы оптим. упр. и их прил.', Минск, 1989: Тез. докл.- Минск: ИМ АН БССР, 1989.- С.38-40.

45. Гусев М.И. Планирование эксперимента в задачах гарантированного оценивания //7 Всесоюз. конф. "Упр. в мех. системах", 12-14 июня 1990 г.: Тез. докл.- Свердловск, 1990.-С.32.

46. Гусев М.И. Оптимальность линейных алгоритмов в задачах гарантированного оценивания //2 Междунар. семинар "Негладкие и разрыв.задачи управления и оптимизации", Челябинск, 1993:Тез.докл.- Челябинск: Челяб. гос. унт, 1993.- С.44-46

47. Гусев М.И. Устойчивость алгоритмов гарантированной идентификации: оценки погрешности //8 Всерос. сьезд по теорет. и прикл. механике, Пермь, 23-29 авг. 2001 г.: Аннот. докл.- Пермь, 2001.- С.220.

48. Гусев М.И., Куржанский А.Б. О ситуациях равновесия в многокритериальных игровых задачах // Докл. АН СССР.-1976.- Т.229, № 6.- С.1295-1298.

49. Гусев М.И., Куржанский А.Б. Обратные задачи динамики управляемых систем// Механика и научн.-техн.прогресс. Т.1. М.: Наука, 1987. С.187-195.

50. Гусейнов Х.Г., Моисеев А.Н., Ушаков В.Н. Об аппроксимации областей достижимости управляемых систем // Прикл. математика и механика.- 1998.- Т.62, No.2.- С.179-187.

51. Данилин А.Р.Регуляризация нелинейных задач управления при возмущении ограничений// Изв. вузов. Математика.-1996.- № 8.- С.34-38

52. Данилин А.Р., Ильин A.M. Асимптотика решения задачи о быстродействии при возмущении начальных условий // Изв. РАН. Техн. кибернетика.- 1994.- № 3.- С.96-103

53. Демьянов И.Ф.,Васильев JI.B. Недифференцируемая оптимизация. М: Наука, 1981, 344 с.

54. Демьянов И.Ф.,Рубинов A.M. Основы негладкого анализа и квазидифференциального исчисления. М: Наука, 1990,432 с.

55. Джумаев С. Исследование методов решения устойчивых и неустойчивых задач. Дисс.на соиск. уч. степени доктора физ.-мат. наук, Математический институт с вычислительным центром АН ТССР, Душанбе, 1991.

56. Дончев А. Сиситемы оптимального управления. Возмущения, приближения и анализ чуствительности. М: Мир, 1987, 156 с.

57. Еремин И.И., Астафьев H.H. Введение в теорию линейного и выпуклого программирования. М: Наука, 1976, 191с.

58. Еремин И.И. Теория линейной оптимизации. Екатеринбург, 1999, 312с.

59. Иванов В.К., Васин В.В., Танана В.П. Теория линейных некорректных задач и ее приложения. М.: Наука, 1978, 206с.

60. Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач. М.: Наука, 1978, 480с.

61. Исаков А.И. Некоторые задачи идентификации для линейных дискретных систем с квадратичными ограничениями // Прикладная математика и механика, 1981, т. 45, вып. 2, с. 241-248.

62. Кирин Н.Е. Методы оценивания и управления в динамических системах. Санкт-Петербург, 1993, 308с.

63. КалманР., Фалб П., Арбиб М. Очерки по математической теории систем. М.: Мир, 1971, 400с.

64. Карлов В.И. Совместная оптимизация процессов наблюдения и управления //Известия АН СССР, Техническая кибернетика, 1990, №6, с.192-199.

65. Карлов В.И., Красильщиков М.Н. Оптимизация процесса измерений в динамических системах при различных критериях оптимальности //Известия АН СССР, Техническая кибернетика, 1987, №3, с.191-197.

66. Карлов В.И., Красильщиков М.Н., Малышев В.В. Управление процессом наблюдения в стохастических системах //Известия АН СССР, Техническая кибернетика, 1989, №1, с.79-94.

67. Кац А.Я., Куржанский A.B. Минимаксная многошаговая фильтрация в статистически неопределенных ситуациях //Автоматика и телемеханика, 1978, №11, с.79-87.

68. Кириченко Н.Ф. Минимаксное управление и оценивание в динамических системах//Автоматика, 1982, №1, с.32-39.

69. Кларк Ф. Оптимизация и негладкий анализ. М.: Наука, 1988, 280 с.

70. Колмановский В.Б. Оптимальные законы наблюдения для некоторых управляемых движений //Известия АН СССР, Техническая кибернетика, 1972, №6, с.221-226.

71. Колмановский В.В., Черноусько Ф.Л. Оптимизация помех при наблюдении за динамической системой //Известия АН СССР, Техническая кибернетика, 1972, №2, с.170-176.

72. Костоусова Е.К. Об аппроксимации задачи оптимизации измерений для параболической системы //Журнал вычислительной математики и математической физики, 1990 30, №9, 1994-1306.

73. Костоусова Е.К. О внешних полиэдральных оценках для множеств достижимости систем с билинейной неопределенностью// Прикладная математика и механика, 2002, т.66, вып.4, с. 559-571.

74. Короткий А.И. Восстановление множества управлений по измерениям состояний эволюционной системы // Прикл. математика и механика.- 1997.- Т.61, вып.З.- С.440-446

75. Красовский H.H. К теории управляемости и наблюдаемости линейных динамических систем, Прикладная математика и механика, 1964 28, №1, стр. 3-14.

76. Красовский H.H. Теория управления движением, М.: Наука, 1968.

77. Красовский H.H., Субботин А.И. Позиционные дифференциальные игры, М.: Наука, 1974.

78. Кремлев А.Г. О построении асимптотики информационных множеств для сингулярно возмущенных систем //Автоматика и телемеханика, 1996, №7, с.32-42.

79. Кремлев А.Г. Итерационный метод построения информационных множеств в сингулярно возмущенных системах.1 //Автоматика и телемеханика, 2000, №5, с.20-31.

80. Кумков С.И., Пацко B.C. Информационные множества в задаче импульсного управления // Автоматика и телемеханика.- 1997.- No.7.- С.195-206

81. Куржанский A.B. Управление и наблюдение в условиях неопределенности, М.: Наука, 1977.

82. Куржанский A.B. Дифференциальные игры наблюдения // Докл. АН СССР. 1972. Т.207, №3. С.527-530.

83. Куржанский А.Б. К теории позиционного наблюдения. Общие соотношения// Изв. АН СССР, Техн.кибернетика. 1973. т. с.20-31.

84. Куржанский А.Б Оптимальные системы сочетания управления и наблюдения // Прикл. матем. и мех. 1974. Т. 38, №1. С.12-24.

85. Куржанский A.B., Пищулина И.Я. Минимаксная фильтрация при квадратичных ограничениях I-III // Диффе-ренц.уравнения. 1976. Т.12, №8. С.1434-1446. №9. С.1568-1579, №12. С. 2149-2158.

86. Куржанский А.Б. Об информационных множествах управляемых систем // Дифференц.уравнения. 1977. Т. 13, №11. С. 1957-1965.

87. Куржанский А.Б.,Кощеев A.C. Адаптивное оценивание эволюции многошаговых систем в условиях неопределенности // Изв. АН СССР. Техн.кибернетика. 1983. №2. С.72-93.

88. Куржанский A.B., Хапалов А.Ю. Об оценивании распределенных полей по результатам наблюдений //Дифференциальные уравнения с частными производными: Тр.Междунар.конф. (Новосибирск, 1983). Новосибирск, 1986. С.102-108.

89. Куржанский А.Б., Сивергина И.Ф. О необратимых эволюционных системах: гарантированное оценивание и задачи регуляризации // Докл. АН СССР. 1990. Т.314, №2. С.292-296.

90. Куржанский А.Б., Сивергина И.Ф. Метод гарантированных оценок и задачи регуляризации для эволюционных систем // Журн.вычисл. матем. и мат.физики. 1992. Т.32, №11. С.1720-1733.

91. Куржанский А.Б., Сивергина И.Ф. е -наблюдаемость систем с распределенными параметрами // Тр. ИММ УрО РАН. 1992. С.122-137.

92. Куржанский А.Б. Об аналитическом описании пучка выживающих траекторий дифференциальной системы // Докл. АН СССР. 1986. Т.287, №5. С.1047-1050.

93. Куржанский А.Б.,Никонов О.И. К задаче синтеза стратегии управления. Эволюционные уравнения и многозначное интегрирование // Докл.АН СССР. 1990. Т.311, №4. С.788-793.

94. Куржанский А.Б., Филиппова Т.Ф. Об аналитическом описании пучка выживающих траекторий дифференциальной системы // Докл. АН СССР. 1986. Т.287, №5. С.1047-1050.

95. Куржанский А.Б., Филиппова Т.Ф. Об описании множества выживающих траекторий дифференциального включения // Докл. АН СССР. 1986. Т.289, №1. С.38-41.

96. Кряжимский A.B., Максимов В.И., Осипов Ю.С. О позиционном моделировании в динамических системах // Прикл. математика и механика.- 1983.- Т.47, № 6.- С.883-890

97. Кряжимский A.B., Осипов Ю.С. О моделировании управления в динамической системе // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика.- 1983.- №2.- С.51-60

98. Лаврентьев М.М. О некоторых некорректных задачах математической физики. Нововсибирск: Наука, 1962.

99. Левитин A.B. О задачах оптимального управления с фазовыми ограничениями// Вестник Московского университета, 1971 3, 59-68.

100. Ли Э.Б., Маркус Л. Основы теории оптимального управления. М.: Наука, 1972, 574 с.

101. Лидов МЛ. К априорным оценкам точности определения параметров по методу наименьших квадратов.-Космические исследования, 1964,т.2,№5.

102. Магарил-Ильяев Г.Г., Осипенко К.Ю. Об оптимальном восстановлении функционалов по неточным данным// Математические заметки, 1991, 50, №6, стр. 85-93 .

103. Мазко А.Г., Навродский В.А. О построении модального регулятора с целью управления экспериментом в задачах минимаксного оценивания // Доклады АН УССР, Сер.А. 1982, №5, с. 68-71.

104. Малышев В.В.,Красильщиков М.Н., Карлов В.И. Оптимизация управления и наблюдения летательных аппаратов. М., Машиностроение,1989.

105. Малышев В.В.,Кибзун А.И. Анализ и синтез высокоточного управления летательными аппаратами. М., Машиностроение,1987, 304 с.

106. Марчук А.Г.,Осипенко К.Ю. Наилучшее приближение функций заданных с погрешностью в конечном числе точек// Математические заметки, 1975, 17, №3 стр. 359-368.

107. Марчук Г.И. Математическое моделирование в проблеме окружающей среды.М., 1982, 320 с.

108. Максимов В.И. Задачи динамического восстановления входов бесконечномерных систем Екатеринбург, ИММ УрО РАН.- 2000.- 306 с.

109. Матасов А.И. Об оптимальности линейных алгоритмов гарантированного оценивания. 1, Космические исследования, 1988, 26, 5, стр. 632-641.

110. Математическая теория планирования эксперимента / под редакцией С.М.Ермакова. М.: Наука,1983, 392с.

111. Меликян A.A. Об оптимальном выборе интервалов помех в дифференциальных играх сближения// Прикладная математика и механика. -1975, т.39, вып.2.

112. Мильштейн Г.Н., Соловьева О.Э. Построение фильтров в нелинейных детерминированных системах // Прикладная мат. и мех. 1994. - Т.58, вып.6. - С.29-40.

113. Миллер Б.М. Оптимальное управление наблюдениями при фильтрации процессов диффузионного типа // Автоматика и телемеханика, 1985, №6, с.77-88.

114. Мордухович Б.Ш. Методы аппроксимаций в задачах оптимизации и управления. М. : Наука, 1988, 359 с.

115. Морозов В.А. Регулярные методы решения некорректно поставленных задач. М. : Наука, 1987.

116. Наконечный А.Г. К минимаксной теории оценивания функционалов от решений операторных уравнений // Доклады АН УССР, Сер.А. 1982, №5, с. 71-74.

117. Незнахин A.A., Ушаков В.Н. Сеточный метод приближенного построения ядра выживаемости для дифференциального включения // Журн. вычисл. математики и мат. физики.-2001.- Т.41, № 6.- С.895-908.

118. Никольский М.С. Об идеально наблюдаемых системах // Дифференциальные уравнения, 1971, т.7, №4, с. 631-638.

119. Никонов О.И. О некоторых экстремальных свойствах наблюдаемых дифференциальных систем // Дифференциальные уравнения, 1985, №21, с. 263-270.

120. Овсеевич А.И., Решетняк Ю.Н. Аппроксимация пересечения эллипсоидов в задачах гарантированного оценивания // Известия АН СССР, Техническая кибернетика, 1988, №4, с. 182-189.

121. Петросян JI.A., Захаров В.В. Математические модели в экологии. Из-во С.-Петербургского университета, С.-Петербург, 1997, 253 с.

122. Плотников В.А. Метод усреднения в задачах управления // Дифференциальные уравнения, 1985, №10, с. 1713-1717.

123. Понтрягин JI.С.,Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М. : Наука, 1962, 391 с.

124. Покотило В.Г. Оптимизация априорных наблюдений// Доклады АН СССР, 1991, т.317, №2, С. 312-315.

125. Поляк Б.Т., Цыпкин Я.З. Оптимальные алгоритмы оценивания критериальной оптимизации в условиях неопределенности// Доклады АН СССР, 1983, т.273, №2, С. 315-318.

126. Пшеничный Б.Н.,Покотило В.Г. Минимаксный подход к оценке параметров линейной регрессии // Изв. АН СССР, Техническая Кибернетика, 1983, №2, С. 77-85.

127. Пшеничный Б.Н.,Покотило В.Г., Кривонос И.Ю. Об оптимизации процесса наблюдения // Прикладная математика и механика, 1990, т.54, вып. 3, С.384-388.

128. Розенберг B.JI. О динамическом восстановления управлений при измерении части координат// Автореферат дисс. канд. физ.-мат. наук, Свердловск, Институт математики и механики УрО АН СССР, 1995.

129. Рокафеллар Р. Выпуклый анализ. М. : Наука, 1973, 496с.

130. Смоляк С.А. Оптимальное восстановление функций и функционалов от них, Кандидатская дисс., МГУ, 1965.

131. Соловьев В.Н. Двойственные алгоритмы оптимального гарантирующего оценивания// Космические исследования, 1992, т.ЗО, вып.1, с.10-24.

132. Соляник А.И., Черноусько Ф.Л. Оптимизация процесса наблюдения при случайных возмущениях // Прикладная математика и механика, 1969, т.ЗЗ, вып.4, стр.720-729.

133. Субботин А.И., Субботина H.H. Свойства потенциала дифференциальной игры // Прикладная математика и механика. 1982. т.46, вып.2. С. 204-211.

134. Субботин А.И., Ченцов А.Г. Оптимизация гарантии в задачах управления. М: Наука, 1981, с.

135. Сухарев А.Г. Минимаксные алгоритмы в задачах численного анализа, М.:Наука, 1989.

136. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М. : Наука, 1974.

137. Трауб Дж., Вожьняковский X. Общая теория оптимальных алгоритмов, М.:Мир, 1983.

138. Федоренко Р.П. Приближенное решение задач оптимального управления. М.: Наука, 1978, 488 с.

139. Филиппова Т.Ф. О связности информационного множества наблюдаемой системы// Динамические задачи оценивания в условиях неопределенности, Свердловск, УрО АН СССР, 1989, С.117-124.

140. Черноусько Ф.Л. Оптимизация процесса наблюдения при случайных возмущениях // Прикладная математика и механика, 1969, т.ЗЗ, вып.1.

141. Черноусько Ф.Л. Оценивание фазового состояния динамических систем. Метод эллипсоидов. М.: Наука, 1988, 320с.

142. Черноусько Ф.Л., Колмановский В.Б. Оптимальное управление при случайных возмущениях М.: Наука, 1978,351 с.

143. Черноусько Ф.Л., Меликян A.A. Игровые задачи управления и поиска, М.: Наука, 1978, 270с.

144. Шелементьев Г.С. Об оптимальном сочетании управления и наблюдения// Прикладная математика и механика, 1968, т.32, вып.2.

145. Ширяев В.И. Сигналы наихудшие для наблюдения в задаче минимаксной фильтрации. В сб. Гарантированное оценивание и задачи управления. Свердловск: УНЦ АН СССР, 1986, с.127-131.

146. Шориков А.Ф. Минимаксное программное управление процессом идентификации в нелинейных многошаговых системах // Кибернетика, 1988, №3, с.71-74.

147. Эльясберг П.Е. Определение движений по результатам измерений. М:Наука, 1976, 416 с.

148. Aubin J.P. and Ekeland I. Applied Nonlinear Analysis, John Wiley & Sons, N.-Y. etc., 1984.

149. Bertsekas D., Rhodes I.B. Recursive state estimation for a set-membership description of uncertainty // IEEE Trans. Automat. Control, 1971, AC-16, №2, p.117-128.

150. Herring K.D., Melsa J.I. Optimum mesurement for estimation // IEEE Trans. Autom. Control, 1974, v.AC-19, №3 p.264-266.

151. Hinshorn R.M. Invertibility of nonlinear control systems // SIAM J. on Conrol and Optim. 1979. - V.17. - P.289-297.

152. Hoffman, A.J. On approximate solutions of systems of linear inequalities// J. Res. Natl. Bur. Standards, 1952, 49, 263-265.

153. Gusev M.I. On a certain class of inverse problems in control system dynamics //Proc. of intern, conf. on stochastic opt. Lecture Notes in Control and Inform. Sci. Springer, 1986, v.81, pp. 650656.

154. Gusev M.I. On the Class of Dynamic Multicriteria Problems in the Design of Experiments // Lecture Notes in Econ.and Math. Systems. Springer, 1989, v.337, pp. 32-38.

155. Gusev M.I. On the stability of solution of the inverse problems in control system dynamics//Problems of Control and Information Theory. 1988, v. 17, 5, pp. 297-310.

156. Gusev, M.I. On the optimality of linear algorithms in guaranteed estimation// In Modeling Techniques for Uncertain Systems (A.B. Kurzhanski and V.M.Veliov, Eds) Birkhâuser, Boston, 1994, P. 93-110.

157. Gusev M.I. On Stability of Information Domains in Guaranteed Estimation Problems // Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, Suppl. 1, MAIK "Nauka/Interperiodika", 2000, S104-S118.

158. Gusev M.I., Romanov S.A. On the measurement allocation problem for distributed system. Singular solutions and perturbations in control systems (Pereslavl-Zalessky, 1997) IFAC Proc. Ser., IFAC, Laxenburg, 1997. P. 149-154.

159. Gusev M.I., Romanov S.A. On stability of guaranteed estimation problems: error bounds for information domains and experimental design//Semi-Infinite Programming: Recent Advances.

160. M.A.Goberna and M.A.Lopez (eds.), Nonconvex Optim. Appl., 57, Kluwer Acad. Pub., 2001, p. 299-326

161. Gusev M.I.Error bounds for reachable sets under discrete approximation of state constraints // Nonlinear Control Systems (NOLCOS'2001), Preprints of the 5th IF AC Symposium, S.Petersburg, Russia, July 4-6, 2001, pp. 1355-1360.

162. Gusev M.I.Dynamic procedures for synthesizing systems of control and estimation under uncertainty .-In: Intern.Congr.Math., Warszawa, 1982, Short Communs (Abstr.) XII,p.5.

163. Gusev M.I. Design of experiments in the inverse problems in control system dynamics // Mathematische Optimierungtheorie und Anwendungen: Vortragsauzuge, Eisenach, 1989. Techn. Hochschule Ilmenau, 1989, 87-90.

164. Gusev M.I. On Stability of Guaranteed Estimation Problems // Control Applications of Optimization: 11th IFAC Intern. Workshop, St.-Petersburg, 2000, IFAC Proc. Ser., IFAC, Laxenburg, 2000.- Vol.1.- P.132-137.

165. Gusev M.I., Kurzhanski A.B. On the inverse problems of control system dynamics // 12th IFIP Conf. on System Modelling and Optimiz., Budapest, Sept.2-6, 1985: Abstr.- Budapest, 1985.-P.132-133

166. Jaulin L. and Walter E. Guaranteed nonlinear parameter estimation from bounded-error data via interval analysis// Math. And Comput. In Simulation, 1993, v.35, №4, C. 1923-1937.

167. Kacewicz B., Milanese M. Optimal finite-sample experiment design in worst-case l\ system identification//31-th IEEE CDC, Tucson, 1992.

168. Klatte ,D. and W.Li . Asymptotic constraint qualification and global error bounds for convex inequalities// Mathematical programming, 1999, 84, m, 137-160.

169. Optimal measurement trajectories for distributed parameter systems// Systems & Control Letters, 1992, 18, 6, C. 467-477.

170. Kumkov S.I., Patsko V.S., Pyatko S.G., Fedotov A.A. Informational Sets in a Problem of Observation of Aircraft Trajectory //

171. Proc. Steklov Inst. Math: Problems Control Dynam. Systems.-2000.- Suppl.Issue 2.- P.S94-S112

172. Kuntsevich V.M., Lychak M.M. Guaranteed Estimates, Adaptation and Robustness in Control Systems. Heidelberg, Springer-Verlag, 1992.

173. Kurzhanskii A.B. Identification-a theory of guaranteed estimation, In From Data to Model (J.C.Willems ed.), SpringerVerlag, 1989, pp. 135-214.

174. Kurzhanskii A.B.Dynamic control system estimation under uncertainty conditions. 1 // Problems of Control and Information Theory, 1980, 9, №6, pp. 102-113.

175. Kurzhanskii A.B., Pschenichnyi B.N. and Pokotilo V.G. Optimal inputs for guaranteed identification// Laxenburg. 1989. (IIASA, WP-89-108).

176. Kurzhanski, A.B. and I.Valyi Ellipsoidal Calculus for Estimation and Control, Birkhäuser, Boston, 1997

177. Kurzhanski, A.B. and P.Varaiya Ellipsoidal techniques for reachability analisys: internal approximation. System and Control Letters, 2000, 41, c. 201-211.

178. Filippova, T.F. A note on the evolution property of the assembly of viable solutions to a differential inclusion// Computers Math. Applic., 1993, 25, №2, 115-121.

179. Fogel E., Huang.F. On the value of information in system identification bounded noise case. Automatica, 18(12),1982,c.229-238.

180. Laurent P.J. Approximation et Optimization, Hermann, Paris, 1972.

181. Lempio F. , Veliov V. Discrete approximation of differential inclusion// Bayr.Math.Sehr., 1998, 54, C. 149-232.

182. Maksarov D., Norton J. P. State bounding with ellipsoidal set description of the uncertainty// Int. J. Control,1996, 65, 5, C. 847-866.

183. Matasov A.I. Estimators for Uncertain Dynamic Systems, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht-Boston-London, 1999.

184. Mehra R.K. Optimal inputs for linear system identification// IEEE Trans, on Autom. Control, 1974, AC-19, №3, p.192-200.

185. Mehra R.K. Optimal inputs signals for parameter estimation in dynamic systems Survey and new results// IEEE Trans, on Autom. Control, 1974, AC-19, №6, p.753-768.

186. Micchelly Ch.A., Rivlin Th.J. A survey of optimal recovery. In Optimal estimation in approximation theory, N.Y.etc.-.Plenum Press, 1977, pp. 1-54.

187. Milanese, M. and Norton J., eds. Bounding Approaches To System Identification. Plenum Press, London, 1996.

188. Milanese M., Belforte G. Estimation theory and uncertainty intervals evaluation in presence of unknown but bounded errors: linear families of models and estimations// IEEE Trans. Automat. Control, 1982, 27, pp. 408- 413.

189. Milanese M.,Tempo R. Optimal Algorithms Theory for Robust Estimation and Prediction // IEEE Transactions on Automatic Control, 1985 AC-30, №8, pp. 730-738.

190. Nakamori, J., S.Miyamoto, S.Ikeda, J.Savaragi. Measurement optimization with sensitivity criteria for distributed parameter systems //IEEE Trans. Automat.Control, 1980, AC-25, №5, 889-900.

191. Neustadt, L.W. Optimization, a moment problem, and nonlinear programming // SIAM J. Control, Ser. A, 1964, 2, №1.

192. Nikolski, M.S. Some Linear Problems of Observability: Sampling, Ideal Observability// In Modeling Techniques for Uncertain Systems (A.B. Kurzhanski and V.M.Veliov, Eds) Birkhauser, Boston, 1994, P. 131-146.

193. Osipov Yu.S., Kryazhimskii A.V. Inverse problem of ordinary differential equations: Dynamical solutions.- London:Gordon & Breach, 1995.- 586 p.

194. Pokotilo, V. Necessary Conditions for Measurements Optimization. In: Modeling Techniques for Uncertain Systems (A.B. Kurzhanski and V.M.Veliov, Eds) Birkhauser, Boston, 1994, 147-159.

195. Pronsato L. , Walter E. Robust experiment design via maximum optimization // Math.Biosciences, 1988, 89, C. 161-176.

196. Rafajlowicz, E. Design of experiments for eigenvalue in identification distributed parameter system //Int. J. Control, 1981, 34, P. 1079.

197. Robinson, S.M. An application of error bounds for convex programming in a linear space// SIAM J. Control Optim., 1975, №13, 271-273.

198. Schlapfer F.M., Schweppe F.C. Continuous-time state estimation under disturbances bounded by convex sets //IEEE Trans. Automat.Control, 1972, AC-17, №2, 197-205.

199. Schweppe F.C. Recursive state estimation: Unknown but bounded errors and system inputs //IEEE Trans. Au-tomat.Control, 1968, AC-13, №1, 22-28.

200. Silverman L.M. Inversion of multi-variable linear systems // IEEE Tr. Aut. Control. 1969. - V.14. - P.270-276.

201. Ucinski D. Measurement Optimization for Parameter Estimation in Distributed Systems, Technical University Press, Zielona Gora, Poland, 1999.

202. Ucinski D.,Korbicz J., Zaremba M. On optimization of sensors motions in parameter identification of two-dimensional distributed systems. In Proc. 2nd European Control Conference, Groningen, The Netherlands, 1992, v.3, pp. 1359-1364.

203. Walter E., Piet-Lahanier H. Estimation of parameter bounds from bounded-error data: A survey // Math, and Computers in Simulation, 1990, 32, pp. 449-468.

204. Willsky A.S. On the invertibility of linear systems // IEEE Tr. Aut. Control. 1974. - V.19. - P.272-274.

205. Witsenhausen H.S. Sets of possible states of linear systems given perturbed observation //IEEE Trans. Automat.Control, 1968, AC-3, p.556-558.

206. Yu P.L. Cone convexity, cone extreme points and nondomi-nated solutions in decision problems with multiobjectives //J. Optimiz. Theory and AppL, 1974, vol. 14, №3, 319-379.