Рекуррентные решения задач оценивания при комбинированных возмущениях тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ

Введение.

1 Гарантированное оценивание.

1.1 Постановка задач гарантированного оценивания.

1.1.1 Задача множественного оценивания при неопределенности.

1.1.2 Априорная информация о наборе неизвестных параметров.

1.1.3 Задача множественного оценивания при заданном ограничении на меры неопределенности набора неизвестных параметров.

1.2 Метод динамического программирования. Гарантированное оценивание для задачи с ограничением на мягкую меру неопределенности.

1.3 Решение задач гарантированного оценивания систем, подверженных влиянию нескольких источников помех.

1.3.1 Задача оценивания при известном ограничении на смешанную меру неопределенности. Случай 1.

1.3.2 Задача оценивания при известном ограничении на смешанную меру неопределенности. Случай II.

1.3.3 Алгоритм решения задачи оценивания для системы с геомефиче-скими ограничениями.

1.4 Точечное оценивание неизвестного состояния системы. Ошибки оценивания.

1.4.1 Точечные оценки и множества ошибок при известном уровне ограничения на меру неопределенности.

1.5 Решение задачи типа Нж.

1.5.1 Построение оценок Нх в случае мягкой меры неопределенности.

1.5.2 Построение оценок Нос в случае жестких и смешанных мер неопределенности.

1.6 Совместное оценивание модели и состояния билинейной сис темы.

1.6.1 Преобразование исходной билинейной системы к линейному виду.

1.6.2 Постановка и реоление задач оценивания для преобразованной системы.

1.6.3 Схема получения оценок неизвестного состояния и переходной функции исходной системы.

1.7 Примеры к первой главе.

1.7.1 Динамическое изменение гарантированных множественных оценок при ограничении на различные меры неопределенное! и.

1.7.2 Пример оценивания неизвестного состояния и параметра модели некоторой билинейной системы.

1.7.3 Иллюстрации.

2 Доверительное оценивание состояния системы при смешанной неопределенности.

2.1 Задача точечного оценивания.

2.1.1 Постановка задачи точечного оценивания.

2.1.2 Построение рекуррентной точечной оценки математического ожидания при заданном векторе средних. Фильтр Калмана.

2.1.3 Построение множественной оценки неизвестного вектора средних.

2.1.4 Решение задачи точечного оценивания.

2.2 Задача доверительного оценивания.

2.3 Смешанный стохастический 'Ях фильтр.

2.4 Примеры ко второй главе.

2.4.1 Динамическое изменение доверительных множественных оценок при фиксированных векторах средних.

2.4.2 Динамическое изменение множественных оценок вектора средних при ограничении на различные меры неопределенности.

2.4.3 Построение доверительных множественных оценок при ограничении на различные меры неопределенности набора неизвестных векторов средних.

2.4.4 Условно-доверительные оценки.

2.4.5 Иллюстрации.

Задача оценивания (фильтрации) состояния параметров систем по результатам измерения доступных наблюдению величин в условиях постоянно действующих входных воздействий — одна из центральных в теории управления [5, 23]. Она мотивирована различными прикладными проблемами в областях обработки и передачи сигналов и телекоммуникации, навигации и управления но неполным данным, авюмашзацни, а также многочисленными задачами математического моделирования в целом. В названных задачах источники помех могут порождать входные воз teiici вия различной природы, например, электронной или механической. Электронные возмущения обычно полагаются случайными (распределенными чаще всего по нормальному закону). Априорная информация о механических возмущениях часто недостаточна для юго, чюбы высказать какие-либо предположения об их распределении. Обычно по.lauuoi, чн> доступна лишь информация о диапазоне значений некоторой неотрицаюльной функции этих возмущений — так называемой меры неопределенности. Отмешм, чи> .)ффек1, аналогичный воздействию возмущений, может быть 1акже вызван неполной информацией о параметрах модели системы.

В условиях статистического описания неопределенных параметров псе [едованпе задачи оценивания привело в сороковые годы прошлого столетия к ра)рабо|ке теории фильтрации Колмогорова—Винера |18, 95]. В связи с развитием с редел в лвгомашза-ции в 1960 году появилась теория фильтрации Калмана |60|, нацеленная на решение подобных задач для процессов управления. Главной особенное 1ью филыра Калмана является то, что оценка состояния системы может быть получена рекурреншо из досча-точно простых уравнений. Таким образом, процедура ее получения являекя адаптивной, позволяющей уточнять решения по мере поступления новых измерении

В отсутствие статистической информации о помехах подобными шдлчлмн занимается теория гарантированного оценивания, инициированная 11.11 Красовским [22] и получившая развитие в работах А.Ь.Куржанского \2i, 25, 261, Л II Берк-екаса и И.В.Родоса f381, Х.С.Вигзенхаузена |96], Ф.Л. Черноусько [33], Ф С Швенне |91]. Решение задачи в этих работах сводится, как правило, к описанию эволюции некоторых областей, называемых далее информационными множествами, которые содержат все состояния системы, совместимые как с результатами измерений, так и с априорными ограничениями на неопределенные возмущения. Описание указанных областей, таким образом, обеспечивает гарантированные оценки искомых величин. Они строятся, как и в первом случае, адаптивно, по реализовавшимся значениям измеренных параметров. В последующие годы теория гарантированного оценивания была широко развита в части изучения вопросов идентификации, нелинейных задач, а также задач оценивания для систем с распределенными параметрами [2, 34, 36, 37, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 76, 78, 79, 83, 84, 94, 33, 59, 63, 561. Интенсивно разрабатывались и соответствующие вычислительные процедуры [43, 46, 5л, 62, 75, 671.

На практике часто встречаются случаи, когда на траекторию движения системы и устройства, при помощи которых производятся измерения, оказываю! влияния несколько источников возмущений. Они могут порождать помехи как однотипной, так и различной функционатьной природы. Решению задач оценивания для систем с подобными комбинированными возмущениями посвящена настоящая работа.

Следует подчеркнуть что рассмотренные в диссертации задачи оценивания конечномерных траекторий по результатам измерений относятся к числу "обрашых" |4). При этом упомянутые в данной работе решения задачи с мягкими интегральными ограничениями являются в бесконечномерном случае аналогами уравнений известит регуля-ризатора А.Н.Тихонова. [73]. В данной работе основное внимание уделено рассмотрению комбинированных ограничений на возмущения, применению динамического программирования и обеспечению рекуррентности решений — эффективном) нос iроению динамических оценок, особенно важных для управляемых процессов.

Целыо работы является разработка методов динамического программирования для построения рекуррентных решений задач гарантированного и стохастической) оценивания неизвестного состояния дискретных систем с комбинированными возмущениями, в числе которых могут быть случайные составляющие, а также составляющие, не допускающие статистического описания, с заданным ограничением на меру неопределенности набора неизвестных параметров или с неизвестным ограничением на эту меру (задач типа II ж).

Предложенный в работе подход основан на применении техники динамического программирования. При получении решения использован принцип оптимальности [39], модифицированный для рассматриваемого круга задач. Это позволяет выполнить одно из основных требований к решениям — добиться их рекуррентности.

Как отмечалось в работах [35, 36, 67], центральным в методе динамического программирования для задач гарантированного оценивания является поняше информационной функции, которая задается как решение прямого уравнения Гамилыона—Якоби— -Беллмана или его дискретного аналога. Информационная функция обладает тем свойством, что ее множества уровня совпадают с упомянутыми выше информационными множествами — решениями задач гарантированного оценивания. Таким образом, последующие решения будут следовать схеме Л: принцип оптимальности — информационная функция — информационное множество. При этом соответствующие решения будут определены в рекуррентной форме.

Первая глава диссертации посвящена развитию методов гарантированного оценивания. Предполагается, что система подвержена комбинированному воздействию нескольких источников возмущений, причем какая-либо статистическая информация о помехах отсутствует.

Рассматривается линейная система, моделируемая уравнениями динамики х(?) 1).ф-1) f #(/-l)r(/- 1). / 1.п. (D и уравнениями наблюдений г/0)- Сг'(/).г(г) 4 ш(/), /-1.п. (2)

Здесь векторы т(0),. ,х(п) 6 Hir — начальное и текущие состояния сииемы Векторы v(i - 1) 6 BV' и w(i) б Я"', ) 1.п обозначают неопределенные возмущения, которые могут быть порождены несколькими источниками помех Матрицы А{г— 1). В(/- 1),(V(?), / - 1.п считаются известными, гапдА{/) г,/ 0.«-1.

Введем обозначение: а\д.1\ Ш.«(/)}.//</•

Под ((1,п) будем понимать следующий набор неопределенных параметров:

С(ТТп) ^ {x(Q),v\0.n- l],w[l,n]}.

Основная задача состоит в том, чтобы по известным измерениям у[ 1, п | у, „ оценить значение вектора х(п) при некоторой дополнительной информации о наборе неизвестных параметров ((l.n), входящих в систему.

В главе 1 предполагается, что информация о неизвестных параметрах набора <(1. п) задается при помощи ограничения на некоторую функцию Т(((\.п)), а именно, имеет место неравенство

М) < г- (3)

Под мерой неопределенности вектора и в работе понимается функция c/^(u,u*) — j|w — u'llj, - (и — u*)W(» — и*). где вектор а* и весовая матрица W -- W > 0 — заданы.

В данной работе в качестве ,F«(1,7j)) рассматриваются меры неопределенности набора неизвестных параметров. Они представляют собой различные комбинации, получаемые применением операций суммирования и / или максимизации к мерам неопределенности векторов, составляющих этот набор. Если используется юлько операция суммирования, то меру неопределенности набора неизвестных параметров будем называть мягкой, если только операция максимизации — жесткой, а в случае их комбинации — смешанной. Отметим, что основное внимание в работе уделяекя задачам оценивания неизвестного состояния систем, меры неопределенности набора неизвестных параметров которых являются смешанными.

В зависимости от того, доступна ли информация о числе р2 в неравенстве (3), можно рассматривать различные задачи. В работе анализируются два случая: когда число fi2 известно и когда оно априори не задано.

В первом случае предполагается, что р2 — фиксированное число, и рассматривается задача гарантированного оценивания вектора .г(т?) при помощи множества.

Во втором, когда число /у2 не задано, основное внимание уделяется поиску наименьшей положительной константы, ограничивающей отношение между "входом" и "выходом" системы (1)-(2) (аналогично тому, как это делается в /Ух теории управления [37]).

Заключение.

В заключении кратко сформулируем основные результаты работы.

1. Предложен общий подход к решению задач оценивания для систем с комбинированными возмущениями, основанный на применении техники динамического программирования.

2. Показано, что решения (информационные множества) задач гарантированного оценивания при смешанных мерах неопределенности могут быть предел авлены в виде пересечения параметрического семейства эллипсоидов, центры и матрицы которых вычисляются адаптивно. Предложен новый алгоритм оценивания неизвестного состояния системы в случае, когда на помехи наложены геометрические ограничения.

3. Рассмотрены задачи типа Нж, когда уровень ограничения па меру неопределенности не задан. Показано, что точечной оценкой неизвестного состояния сисчемы в этом случае будет предел последовательности чебышевских центров решений соответствующих задач множественного оценивания при фиксированных ограничениях

4. Для систем с мультипликативной неопределенностью получены множественные оценки как неизвестного состояния, гак и дискретного аналога переходной функции. Предложенный рекуррентный метод решения сочетает параметрическое оценивание с непараметрическим.

5. Для систем, помехи в которых являются гауссовскими случайными векторами с известными ковариационными матрицами, но неизвестными векторами средних, предложен рекуррентный способ построения верхних оценок доверительных областей — решений задачи множественного оценивания.

1. Айвазян С. А., Енюков И .С., Мешалкин Л.Д. Прикладная статистика Основы моделирования данных и первичная обработка. М.: Финансы и статистика, 1983

2. Арсенин В.Я., Тихонов А.Н. Методы решения некорректных задач М Паука, 1986.

3. Брайсон А.Е., Хо Ю-Ши. Прикладная теория оптимального управления М Мир, 1972.

4. Бертсекас Д.П., Шрив С. Стохастическое оптимальное управление М Наука, 1985.

5. Васильев Ф.II. Численные методы решения экстремальных задач М ■ Фактриал, 2002.

6. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1988.

7. Губанов B.C. Обобщенный метод наименьших квадратов. Теория и применение в астрономии. СП-б.: Наука, 1997.

8. Гусев МЛ. О структуре минимаксных оценок в задачах гарантированного оценивания. // Изв. РАН. Техническая кибернетика, N3., С.87-95, 1994.к

9. Гусев М.И. Устойчивость информационных областей в задаче гарантированного оценивания. // Труды Матем. ин-та им. Стеклова, Доп. вып. 2: Труды ИММ УрО РАН, с. 104-118, 2000.

10. Дигайлова И. А. Метод гарантированного оценивания состояния линейной динамической системы со смешанной неопределенностью //Вестник МГУ. Сер. 15. Вы-числ. математика и кибернетика, N3, С.37-40, 2000.

11. Дигайлова И.А. Задача фильтрации при смешанной неопределенное™. // Изв. РАН. Теория и системы управления, N5, С. 16-24, 2001.

12. Ивченко Г.П., Медведев Ю.И. Математическая статистика. М.: Высш. шк., 1984.15} Калман Р.Е. Об общей теории систем управления // Труды I Конгр ИФАК, Т.1, Изд. АН СССР, 1961.

13. Кац И.Я., Куржаиский А.Б. Минимаксное оценивание в многошаговых системах. // Докл. АН СССР, Т.221, В.5, 1975.

14. Кац II.Я., Тимофеева Г.А. Динамические оценки доверительных и информационных множеств в стохастически неопределенных системах. // Изв РАН Техническая кибернетика, N6, С.42-46, 1994.

15. Колмогоров А.И. Интерполирование и экстраполирование стационарных случайных последовательностей. // Изв. АН СССР. сер. Матем Т.5, С.3-11. 1911

16. Кощеев А. С., Куржанский А.Б. Управление и оценивание при неполной информации. // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика, N4, 1983.

17. Костоусова Е.К. О полиэдральном оценивании областей достижимости в линейных системах при помощи параллелотопов. // Выч. техн. Т.З, N2, С. 11-20, 1998.

18. Крамер Г. Математические методы статистики. М.: Мир, 1975.

19. Красовский Н.Н. К теории управляемости и наблюдаемости линейных динамических систем. // Прик. матем. и мех., Т.28, В.1, 1964.

20. Красовский Н.Н. Теория управления движением. М.: Наука, 1968.

21. Куржанский А.Б. Дифференциальные игры наблюдения. // Докл. АН СССР, Т.207, В.З, 1972.

22. Куржанский А.Б. К теории позиционного наблюдения. Общие соотношения. // Изв. АН СССР, Техн. кибернетика, N5, 1973.

23. Куржанский А.Б. Управление и наблюдение в условиях неопределенности. М.: Наука, 1977.

24. Ланкастер П. Теория матриц. М.: Мир, 1970.С.549.

25. Липцер Р.Ш., Ширяев А.Н. Статистика случайных процессов. М.: Наука, 1976.

26. Сивергина II.Ф. О некоторых экстремальных свойствах сигналов в задаче оценивания траекторий систем с априорными квадратичными ограничениями на неопределенные параметры. // Авт. и Телмех., N1, С.84-94, 1985.

27. Хьюбер II. Робастность в статистике. М: Мир, 1984.

28. Черноусько Ф.Л., Мсликян А.А. Игровые задачи управления и поиска. М: Наука,1978.32J Черноусько Ф.Л. Оптимальные гарантированные оценки неопределенноеiей при помощи эллипсоидов. // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика, N3-N5.1980

29. Черноусько Ф.Л. Оценивание фазового состояния динамических систем. Метод эллипсоидов. М.: Наука, 1988.

30. Ananiev B.I., Pischulina I.Ya. Minimax quadratic filtering in systems with time-lag. // Differential Control Systems, A.V. Kryazhimski, ed., Ural Sci. Cent., P. 3-12,1979.

31. Baras J.S., Bensoussan A., James M.R. Dynamic observers as asymptotic limits of recursive filters: special cases. // SIAM Journal on Appl. Math., V. 48, N5, P. 1И7-1158, 1988.

32. Baras J.S., Kurzhanski А.В. Nonlinear filtering: the set-membership (Bounding) and the IIX approaches. // Proceedings of the IFAC NOLCOS Conference, Tahoe, CA, Plenum Press, 1995.

33. Bazar Т., Bernhard P. H°° Optimal control and related minimax design problems. Boston: Ser. SCFA, Birkhauser, 1991.

34. Bertsekas D.P., Rhodes I.B. Recursive state estimation for a set-membership description of uncertainty.// IEEE Trans. Aut. Control, AC-16, P. 117-128, 1971.

35. Bertsekas D.P. Dynamic programming. V.1. Boston: Athena Scientific. 1995.

36. Boyd S., El Ghaoui L., Perron E., Balakrishnan A.V. Linear matrix inequalities in system and control theory. Philadelphia: SI AM Publ., 1994.

37. Cerone V. Feasible parameter set for linear models with bounded errors in all variables. // Automatica, V.29, P.1551-1555, 1993.

38. Chernousko F.L., Melikyan A.A. Some differential games with incomplete information. // Lecture Notes in Computer Science, Springer Ver., Berlin, Y.27, P.445-450, 1975.

39. Chernousko F.L. State estimation for dynamic systems. CRC Press, 1994.

40. Chernousko F.L., Rokityanskii D. Ya. Ellipsoidal bounds on reachable sets of dynamical systems with matrices subjected to uncertain perturbation. // Journ. Optim. Theory and Appl,, V.104,N.1,P.1-19,2000.

41. Chernousko F.L., Shmatkov A.M. New Results on Optimal Ellipsoidal Estimation for Uncertain Dynamical Systems. // Proc. World Congress IFAC-2002, Barcelona, Spain, 2002.

42. Chisci L., Garulli A., Zarra G. Recursive state bounding by parallelotopes. // Preprint, Univ. Firenze, 1995.

43. Clement Т., Gentil S. Recursive membership set estimation for output-errors models. // Mathem. and Comput. in Simul., V.32, P.505-513, 1990.

44. Digailova I.A., Kurzhanski A.B. On the state estimation problem under mixed uncertainty.// Proc. of the Conf. MTNS, Perpignan, 2000.

45. Digailova I.A., Kurzhanski A.B. The state estimation problem under mixed uncertainty. // Elsevier Science, NOLCOS-Ol, St.Petersburg, V.2, P.547-552, 2001.

46. Digailova I.A., Kurzhanski A.B. The joint model and state estimation problem under set-membership uncertainty. // Proc. Wo;id Congress IFAC-2002, Barcelona, Spain, 2002.

47. Digailova I.A., Kurzhanski A.B. On model and state estimation under mixed uncertainty. // Proc. MTNS-2002, Notre Dame, USA, 2002.

48. Doyle J.C., Francis B.A., Tannenbam A.R. Feedback control theory. N.Y.: McMillan, 1992.

49. Duricu C., Walter E , Polyak B.T. Multi-input-output ellipsoidal state bounding. // Journ. Optim. Theory and Appl., V.lll, N2, P.273-303, 2001.

50. Fogel E. System identification via membership set constraints with energy constrained noise. // IEEE, Trans. Aut. Contr. V. 24, N5, P. 7.52-757, 1979.

51. Fogel E., Huang Y.F. On the value of information in system identification — bound noise case. // Automatica. V. 18, P. 229-238, 1982.

52. Garulli A., Tesi A., Vicino A. (Eds) Robustness in identification and control. Springer, Lecture Notes in Control and Information Sciences, V.245, 1999.

53. Ghaoui L.E., Calafiore G. Bounded uncertainty models in finance: parameter estimation and forecasting. // Proc. World Congress IFAC-2002, Barcelona, Spain, 2002.

54. Gusev MJ. Errors bounds for reachable set under discrete approximation of state constraints.// Elsevier Science, NOLCOS-Ol, St.Petersburg, V.3, P. 1355-1360, 2001

55. Kailath T. Linear systems. Prentice Hall, Englewood Cliffs, NJ, 1980.

56. Kalman R.E. A new approach to linear filtering and prediction problems // Trans. ASME. Ser. D, V.82, 1960.

57. Khargonekar P.P., Rotes М.Л. Mixed II2/HX filtering.// Proc of the 31-th Conf. on Decision and Control. Tucson., 1992.

58. Kostousova E.K. State estimation for dynamic system via parallelotopies: optimization and parallel computations. // Optim. Meth. and Softwear, V.9. N4. P. 269-306. 1998.

59. Krener A. Necessary and sufficient conditions for worst-case //x control and estimation. // Math. Syst. Estim. and Control, N4, 1994.

60. Kuntsevich V.M., Lychak M. Guaranteed estimates, adaptation and robustness in control systems, // Letcure Notes in Contr. Inf. Sci., V. 169, Springer-Verlag, 1992.

61. Kurzhanski A., Valyi /. Ellipsoidal calculus for estimation and control. Boston-Birkhauser, 1997.

62. Kurzhanski А.В., Varaiya P. Ellipsoidal techniques for reachability analysis. // Lecture Notes in Computer Sciences. Springer,V. 1790, P.202-214, 2000.

63. Kurzhanski A.B. Identification: a theory of guaranteed estimates. // From Data to Model, J.C. Willems, (Ed.), Springer-Verlag, 1989.

64. Kurzhanski А.В., Tanaka M. On a unified framework for deterministic and stochastic treatment of identification problems. //Working Paper WP-89-13, 1IASA, Laxenburg, Austria, 1989.

65. Kurzhanski A.B. The Identification problem: a theory of guaranteed estimates, // Automation and Remote Control, translated from "Avtomatika i Telemekhanika", V. 52, N4, pt.l, P. 447-465, 1991.

66. Kurzhanski А.В., Pschcnichnyi B.N., Pokotilo \r.G. Optimal inputs for guaranteed identification. // Problems of Control and Information Theory, V 20, N1, P 13-23, 1991.

67. Kurzhanski А.В., Sivergina l.F. On noninvertible evolutionary systems' guaranteed estimates and the regularization problem. // Sov. Math. Doklady, V 12, N2, P 451455, 1991.

68. Kurzhanski А.В., Sugimoto K. Valyi I. Guaranteed state estimation tor dynamic systems: Ellipsoidal techniques. // International Journal of Adaptive Contr and Sign Proceedings, V. 8., P. 85-101, 1994.

69. Matasov A.I. Estimation for uncertain dynamic systems. Kluwer Acad Pub , 1998.

70. Melikyan A.A., Shinar J. Identification and construction of singular surface in pursuit-evasion games. // Sixth International Symposium on Dynamic Games and Applications, St-Jovite, Quebec, Canada, July 13-15, Vol. Preprint, 1994.

71. Milanese M., Vicino A. Optimal estimation for dynamic systems with set-membership uncertainty: an overview. // Automatica, V. 27, P. 997-1009, 1991.

72. Milanese M., Norton J., Piet-Lahanier II., eds. Bounding approaches to system identification. London: Plenum Press. 1995.

73. Milanese M., Novara C. Set membership identification of nonlinear systems. // Proc. of the 39 IEEE Conf. on Decision and Control, Sydney, AU, P.2831-2836, 2000.

74. Milanese M., Novara C. Set membership Prediction of nonlinear tine series. Estimation of nonlinear regressions. // Proc. of the 40 IEEE Conf. on Decision and Control, Orlando, FL., 2001.

75. Milanese M., Novara C. Set membership estimation of nonlinear regressions. // Proc. World Congress IFAC-2002, Barcelona, Spain, 2002.

76. Nagpal K.M. Khargonekar P.P. Filtering and smoothing in an IIX setting. // IEEE, Trans, on Aut. Contr., V.36, N2, P.152-166, 1991.

77. Norton J.P. Identification and application of bounded-parameter models, Automatica, V. 23, N4, P. 497-507, 1987.

78. Norton J.P. (Ed.) Special issues on bounded-error estimation. // Inter Journ of Addaptive Control and Signal. Proc., V. 8, N1, 1994.

79. Norton J.P. (Ed.) Special issues on bounded-error estimation. // Inter Journ of Addaptive Control and Signal. Proc., V. 9, N2, 1995.

80. Ovseevich A.I. Extremal properties of ellipsoids approximating attainability sets , ' Problems of Control and Information Theory, V.12, N1, P. 1-11, 1983.

81. Ovseevich A.I., Reshetnyak У U.S. Approximation of the intersection of ellipsoids in problems of guaranteed estimation, //m Sov. J. Comput. Syst. Sci., V. 27, N1, 1989.

82. Polyak B.T., Nazin 5.Л., Durieu C., Walter E. Ellipsoidal estimation under model uncertainty. // Proc. World Congress IFAC-2002, Barcelona, Spain, 2002.

83. Rokityanskii D.Ya. Opiinal ellipsoidal estimation of attainability sets for linear systems with uncertain matrix. // Isvestiya RAN. Theor. i Syst. Upr., N4, P. 17-20, 1997.

84. Schweppe F.C. Recursive state estimation: unknown but bounded errors and system inputs. // IEEE, Trans. Aut. Cont., AC-13, 1968.

85. Schweppe F.C. Uncertain dynamic systems. // Prentice Hall, Englewood Cliffs, NJ, 1973.

86. Walter E. (Ed.) Special issue on parameter identification with error bound. // Mathem. and Comput. in Simul., V.32, N5-6, 1990.

87. Walter E., Pronzato L. Identification of parametric models from experimental data. B.:Springer, 1997.